МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І
УНІВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ФІЛОСОФІЇ
РЕФЕРАТ
З ДИСЦИПЛІНИ "ФІЛОСОФІЯ"
НА ТЕМУ: "математизація науки ТА ЇЇ МОЖЛИВОСТІ"
Факультет: Математичний
Аспірант: Рибалов О.М.
Викладач:
2. Історія математизації науки 3
3. Основні методи математизації 9
4. Межі і проблеми математизації 18
5. Висновок 22
6. Список літератури 23
Актуальність проблеми пов'язана з багатовіковим розвитком і проникненням математичних методів у різні галузі людської діяльності, яке з часом тільки розширюється і поглиблюється. В даний час ми бачимо бурхливе зростання числа математичних додатків, пов'язаний насамперед з розвитком комп'ютерних технологій, появою глобальної мережі Internet. Ті математичні ідеї, які раніше не покидали області академічної науки, зараз є звичними в побуті програмістів, прикладників, економістів.
Інтерес автора до проблеми пов'язаний з професійною його діяльністю в області математики: хоч і не в прикладній математиці, але в досить близькою до неї - теорії складності обчислювальних алгоритмів, а тому йому цікаво дізнатися можливості математики в пізнанні об'єктивної реальності, додатку до інших наук.
Реферат складається з трьох частин. У першій коротко описується історія багатовікового проникнення математики в інші науки, і паралельно деякі віхи у розвитку самої математики. У другій частині описуються деякі основні методи математизації, їх сильні і слабкі сторони. У третій обговорюються межі математизації науки, проблеми, пов'язані з цим.
До. Ф. Гаус
Математика є однією з найдавніших наук. Саме слово "математика" має давньогрецькі коріння і означає "наука" або "знання". Зараз предмет вивчення математики настільки величезний і різноманітний, що досить важко дати визначення математики, як науки, що займається тим-то і тим-то. Хоча й вузьке, але досить просте визначення дається в [1]: "Математика - наука про кількісні співвідношення, структури, форми та перетворення". Відомо також жартівливе визначення своєї науки, яке дають математики: "Математика - це те, чим я займаюся".
Майже з самого зародження математики, вона була нерозривно пов'язана з практичною діяльністю людини. Більше того, саме з цієї повсякденної практики і з'явилися перші математичні абстракції - натуральні числа і найпростіші дії з ними: додавання, віднімання і множення. Це відбулося ще в доісторичні часи.
З появою перших держав (Стародавнього Єгипту, Вавилону, Китаю) виникає потреби у розвитку та поглибленні математичних знань. Розвиток землеробства, архітектури дає поштовх до виникнення геометрії. Математичні знання ще були тільки емпіричними фактами, про необхідність їх докази мови не виникало. Багато формули представлялися у вигляді якихось рецептів, дотримуючись яких можна отримати результат. Доказом виступала практика та досвід: якщо який-небудь факт підтверджувався практично, хоча б приблежения, але досить точно для практичних потреб, він вважався вірним. Тому деякі факти, відкриті єгиптянами, виявилися правильними лише приблизно. Наприклад, вони вважали, що відношення довжини кола до діаметра одно 3,16.
Давньогрецькі філософи і математики дуже багато зробили для розвитку математики. Це і практика строгих доказів, введена Фалесом, і чудові теореми Піфагора, і методи Архімеда обчислення об'ємів різних тіл, і аксіоматична система геометрії Евкліда, і система буквених позначень Діофанта.
Піфагор намагався застосувати математику для потреб своєї філософської системи, згідно з якою в основі світобудови - числа. Пізнати світ - це значить пізнати керуючі їм кількісні співвідношення. Йому приписується модель сонячної системи, в якій планети рухаються по сферичним орбітах, що підкоряється деяким кількісним відносинам - так звана гармонія сфер. Також Піфагором і його школою були виявлені цікаві числові закономірності в музиці (висота тону коливання струни залежить від її довжини). Його вчення дає перший приклад цілеспрямованого застосування математики в поясненні явищ природи, суспільства і всесвіту в цілому. Відомий вираз, приписуване Піфагору: "Все є число". Місцями його вчення носить містичний характер, далекий від реального стану речей. Наприклад, обожнювання деяких чисел: 1 - мати богів, загальне першооснова (мабуть аналогія з початком натурального ряду), 2 - принцип протилежності в природі (так як протилежності завжди зустрічаються парами), 3 - природа як триєдність першооснови і його суперечливих сторін (3 = 1 +2), і т.д. Цікаві (хоча і абсолютно не відповідають дійсності) його міркування про зв'язок деяких арифметичних властивостей чисел та суспільними явищами. Наприклад, піфагорійці виділяють так звані вчинені числа: 6, 28, і т.д. - Числа, рівні сумі своїх власних (тобто крім самого числа) дільників: 6 = 1 +2 +3, 28 = 1 +2 +4 +7 +14. Ці числа, за Піфагором, відображають досконалість. Пари чисел, сума власних дільників одного з котрих дорівнює іншому і навпаки, як наприклад, 284 і 220, називаються дружніми і відображають явище дружби в суспільстві. Піфагорійці про вірну дружбу говорили: "Вони дружні, як 220 і 284". Незважаючи на ці наївні уявлення, такі числа до цих пір представляють інтерес для теорії чисел - області математики, що займається арифметичними властивостями цілих чисел. Наприклад, до цих пір не відомо, нескінченно Чи є безліч досконалих чисел, або чи існують непарні досконалі числа?
Наступний період, аж до 16 ст. характеризується досить повільним процесом проникнення математики в інші науки. Вирішуються завдання, викликані торговельною діяльністю, як у Західній Європі, астрономією і мореплавством (тригонометрія), як на Арабському Сході та в Індії.
Бурхливий розвиток як самої математики, так і її додатків спостерігається в Новий час. Перехід до нових капіталістичних відносин, ослаблення впливу церкви на філософію і науку розв'язують дослідникам руки, роблять їх думки сміливіше. Відтепер "природа - не храм, а майстерня" і людина - не слухняна маріонетка в руках бога, а сам господар своєї долі і дослідник навколишнього світу.
Одним з перших, хто відчув віяння нового часу і почав по-новому підходити до науки, був Г. Галілей. Всім зі шкільної лави відомі його досліди з вивчення падіння тіл, якими він спростував тисячолітні омани Арістотеля і його послідовників. Для опису результатів, Галілей вперше застосував математичний апарат: почала диференціального числення. Відомий вираз Галілея: "книга природи написана мовою математики: літери в ній - це трикутники, кола, лінії".
І. Кеплер приблизно в той же час, аналізуючи прискіпливі спостереження Т. Браге за рухом Марса, приходить до висновку, що планети рухаються по еліптичних орбітах навколо Сонця. При цьому він використовує теорію конічних перетинів, відкритих більше тисячі років тому давньогрецьким математиком Аполлонія Пергського. Це характерний приклад того, як математична теорія, що не одержала популярності за життя автора і майже забута, знаходить застосування у важливих питаннях науки через багато років.
Р. Декарт відомий у математиці завдяки методу координат - своєрідний місток між алгеброю і геометрією. Ця плідна ідея по суті стала основним поштовхом для подальшого розвитку математики. У філософії Декарт відомий як засновник раціоналізму - спроби математизувати все наукове знання того часу. Він використовує методи математики і логіки у фізиці, фізіології, етики, філософії. Математика взята за еталон з огляду на те, що він вважав її зразком стрункості та істинності. Строго довівши те чи інше твердження, математик повністю переконує інших у його істинності і звільняє тим самим свою науку від суперечок і сумнівів. Якщо є якась математична задача, то її рішення повністю закриває питання. Філософія ж, наприклад, чи мораль мають багато таких питань, які протягом усієї історії викликали бурхливі суперечки та до остаточного думку щодо них філософи так і не прийшли. А чому б не спробувати їх вирішити, використовуючи математичні методи, які у своїй області успішно спрацьовують? Адже у справедливості доведених геометричних теорем ніхто не сумнівається, а правильне рішення якої-небудь завдання не викликає споров.Своі роздуми Декарт виклав у роботі "Міркування про метод, щоб вірно спрямовувати свій розум і відшукувати істину в науках".
Приблизно в той же час два інших французьких математика, Б. Паскаль і П. Ферма, закладають основи теорії ймовірності - важливої галузі для математичних додатків.
Справжньою революцією в математиці та її прикладних стало відкриття диференціального й інтегрального числення І. Ньютоном і Г. Лейбніцем. Це стало початком широкого проникнення математичних методів в фізику, механіку і астрономію. Основна ідея цього методу - ідея межі змінної величини - бере свій початок ще у працях Архімеда, Демокріта та інших давньогрецьких учених. Але всю його міць оцінили лише після введення зручної системи позначень та методу координат - чого у стародавніх греків не було. Чому ж цей метод став таким плідним саме для фізичних додатків? Справа в тому, що характерною особливістю майже всіх фізичних процесів є наявність безперервного руху, зміни в часі деяких числових параметрів, а межі (а з ними і інтеграли і похідні) якраз і є найважливіший інструмент для дослідження безперервних функцій.
Інший заслугою Ньютона, по суті зробила фізику самостійною наукою, стала ідея аксіоматизації механіки, запропонована у праці "Математичні начала натуральної філософії". Там Ньютон, натхненний "Початками геометрії" Евкліда, висуває кілька фундаментальних законів механічного руху, відомих зараз як три закони Ньютона. Спираючись на ці "аксіоми", він, використовуючи математичні методи і дедукцію, описує якісно і кількісно численні фізичні явища.
Лейбницу ми також зобов'язані зручною системою позначень для основних граничних операцій. Розвиваючи символьні позначення далі, Лейбніц мріє про такого собі універсальному обчисленні, використовуючи яке можна знаходити істину, механічно застосовуючи деякі правила. "Тоді філософи перестануть сперечатися, а почнуть вираховувати". Його мрія в деякому сенсі здійсниться на початку XX століття, коли математики формалізують логіку, створивши числення предикатів.
XVIII століття характеризується остаточної математизацією фізики. Найбільші математики того часу: Л. Ейлер, Ж.-Л.Лагранж, П.С. Лаплас розвивають аналіз нескінченно-малих, роблячи його основним знаряддям дослідження в природознавстві. Повний успіх був досягнутий з його допомогою в небесній механіці - описані руху планет, Місяця в рамках закону тяжіння Ньютона. Лаплас в своєму капітальному творі "Трактат про небесної механіки" проголосив тезу, відомий як принцип детермінізму: "Знаючи положення всіх частинок у всесвіті і їх швидкості в даний момент, ми можемо визначити стан всесвіту в будь-який момент у майбутньому". Математичне обгрунтування йому дається вже в наступному столітті в теоремі Коші-Ковалевської про існування та єдиності розв'язку звичайного диференціального рівняння.
XIX століття ознаменувалося не лише соціальними революціями, а й революціями в точних науках. Нові ідеї, народжені в абстрактних надрах математики, такі як поняття групи, неевклідової геометрія знайшли і досі знаходять застосування у фізиці, кристалографії, хімії. Нові явища у фізиці - електрика і магнетизм виявляються добре описуваними "старими" методами диференціального й інтегрального числення з деякими доповненнями з векторного аналізу. Здавалося б все чудово: математичний дух витав над усіма областями знання, які тоді вважалися науками, а сама математика була еталоном строгості і несуперечності, до якого повинні прагнути інші науки. Але в кінці XIX століття в працях Г. Кантора з'являється порушник спокою - теорія множин. Власне по-началу нічого такого небезпечного в ній не було - Кантор спробував математично описати поняття безлічі - довільного набору будь-яких математичних: натуральних чисел, точок на прямій, речовинно-значних функцій і т.д. Паралельно тривали роботи з так званим підставою математики: вчені намагалися на аксіоматичної основі побудувати математичний аналіз, теорію дійсних чисел, геометрію (список аксіом Евкліда виявився неповним, повну аксіоматику геометрії дав Гільберт в 1899 р.). Пояснення цього процесу можна дати наступне: математичний апарат (особливо метод нескінченно-малих) протягом декількох століть використовувався в багатьох додатках і зарекомендував себе як ефективне знаряддя природознавства; але пояснення чому всі застосовувані методи правильні з точки зору логічної строгості, не було - ну узгоджуються зі спостереженнями й добре, але це не означає, що ми застраховані від "збоїв" у майбутньому. Для підведення фундаменту під ці методи, математики вирішили використовувати випробуваний аксіоматичний метод. У зв'язку з цим було розроблено числення предикатів - система логічних аксіом і правил виведення з них нових тверджень. З його допомогою, спираючись на аксіоми будь-якій області математики, за допомогою буквально механічного застосування правил виведення можна отримати будь-яку теорему даній області. На цьому шляху вдалося знайти аксіоми багатьох областей математики і звести питання про несуперечність математичного аналізу до несуперечності арифметики. Теорія множин ж є в певному сенсі фундаментом математики: всі об'єкти, з якими працюють математики є множинами. Але ось вже на перших етапах розвитку цієї теорії почали з'являтися протиріччя, що загрожувало фундаменту всієї математики. На щастя на початку XX століття вдалося придумати аксіоматизації теорію множин, вільну (на сьогоднішній день) від протиріч.
Розвиток математики та її застосувань в XX столітті було настільки бурхливим, що його важко описати досить докладно. Виділимо лише деякі основні моменти. Фізичні програми продовжували розвиватися, не обмежуючись вже одним диференціальним та інтегральним численнями: в ядерній фізиці, наприклад, почали широко використовувати багатовимірну геометрію і теорію груп; в теорії відносності чудові застосування знайшла неевклідова геометрія. Теорія ймовірностей можливо навіть обігнала математичний аналіз за кількістю додатків: методи математичної статистики використовують у величезному числі наук, починаючи з фізики і закінчуючи психологією і лінгвістикою. Розвиток математичної логіки, викликане програмою Гільберта обгрунтування математики, призвело до появи комп'ютерів, які змінили світогляд сучасної людини. Практика ставить нові завдання, які вже не вирішуються випробуваними у фізиці методами аналізу безперервних функцій. Ці дискретні завдання з економіки, генетики, криптографії та ін характеризуються трудомістким перебором величезного числа варіантів, який не під силу навіть комп'ютерів.
може дізнатися ніякої іншої науки
і навіть не може знайти свого
невігластва.
Р. Бекон
У чому ж полягає потужність і дивовижна плідність застосування математики в різних науках? Щоб відповісти на це питання, проаналізуємо деякі методи математизації.
Найважливіший метод - це математичне моделювання. Він полягає в тому, що дослідник будує математичну модель, що розглядається, тобто виділяє істотні для нього властивості та кількісні характеристики явища, виділяє істотні відносини між ними і намагається знайти будь-якої схожий об'єкт в математиці. ПРОФЕСІЙНОГО ОСВІТИ
ОМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙУНІВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ФІЛОСОФІЇ
РЕФЕРАТ
З ДИСЦИПЛІНИ "ФІЛОСОФІЯ"
НА ТЕМУ: "математизація науки ТА ЇЇ МОЖЛИВОСТІ"
Факультет: Математичний
Аспірант: Рибалов О.М.
Викладач:
Зміст
1. Введення 22. Історія математизації науки 3
3. Основні методи математизації 9
4. Межі і проблеми математизації 18
5. Висновок 22
6. Список літератури 23
Введення
Предметом даної роботи є проблема взаємовідношення математики та інших наук, а конкретно методів і можливостей математики в додатку до решти наук.Актуальність проблеми пов'язана з багатовіковим розвитком і проникненням математичних методів у різні галузі людської діяльності, яке з часом тільки розширюється і поглиблюється. В даний час ми бачимо бурхливе зростання числа математичних додатків, пов'язаний насамперед з розвитком комп'ютерних технологій, появою глобальної мережі Internet. Ті математичні ідеї, які раніше не покидали області академічної науки, зараз є звичними в побуті програмістів, прикладників, економістів.
Інтерес автора до проблеми пов'язаний з професійною його діяльністю в області математики: хоч і не в прикладній математиці, але в досить близькою до неї - теорії складності обчислювальних алгоритмів, а тому йому цікаво дізнатися можливості математики в пізнанні об'єктивної реальності, додатку до інших наук.
Реферат складається з трьох частин. У першій коротко описується історія багатовікового проникнення математики в інші науки, і паралельно деякі віхи у розвитку самої математики. У другій частині описуються деякі основні методи математизації, їх сильні і слабкі сторони. У третій обговорюються межі математизації науки, проблеми, пов'язані з цим.
Історія математизації науки
Математика - цариця наук.До. Ф. Гаус
Математика є однією з найдавніших наук. Саме слово "математика" має давньогрецькі коріння і означає "наука" або "знання". Зараз предмет вивчення математики настільки величезний і різноманітний, що досить важко дати визначення математики, як науки, що займається тим-то і тим-то. Хоча й вузьке, але досить просте визначення дається в [1]: "Математика - наука про кількісні співвідношення, структури, форми та перетворення". Відомо також жартівливе визначення своєї науки, яке дають математики: "Математика - це те, чим я займаюся".
Майже з самого зародження математики, вона була нерозривно пов'язана з практичною діяльністю людини. Більше того, саме з цієї повсякденної практики і з'явилися перші математичні абстракції - натуральні числа і найпростіші дії з ними: додавання, віднімання і множення. Це відбулося ще в доісторичні часи.
З появою перших держав (Стародавнього Єгипту, Вавилону, Китаю) виникає потреби у розвитку та поглибленні математичних знань. Розвиток землеробства, архітектури дає поштовх до виникнення геометрії. Математичні знання ще були тільки емпіричними фактами, про необхідність їх докази мови не виникало. Багато формули представлялися у вигляді якихось рецептів, дотримуючись яких можна отримати результат. Доказом виступала практика та досвід: якщо який-небудь факт підтверджувався практично, хоча б приблежения, але досить точно для практичних потреб, він вважався вірним. Тому деякі факти, відкриті єгиптянами, виявилися правильними лише приблизно. Наприклад, вони вважали, що відношення довжини кола до діаметра одно 3,16.
Давньогрецькі філософи і математики дуже багато зробили для розвитку математики. Це і практика строгих доказів, введена Фалесом, і чудові теореми Піфагора, і методи Архімеда обчислення об'ємів різних тіл, і аксіоматична система геометрії Евкліда, і система буквених позначень Діофанта.
Піфагор намагався застосувати математику для потреб своєї філософської системи, згідно з якою в основі світобудови - числа. Пізнати світ - це значить пізнати керуючі їм кількісні співвідношення. Йому приписується модель сонячної системи, в якій планети рухаються по сферичним орбітах, що підкоряється деяким кількісним відносинам - так звана гармонія сфер. Також Піфагором і його школою були виявлені цікаві числові закономірності в музиці (висота тону коливання струни залежить від її довжини). Його вчення дає перший приклад цілеспрямованого застосування математики в поясненні явищ природи, суспільства і всесвіту в цілому. Відомий вираз, приписуване Піфагору: "Все є число". Місцями його вчення носить містичний характер, далекий від реального стану речей. Наприклад, обожнювання деяких чисел: 1 - мати богів, загальне першооснова (мабуть аналогія з початком натурального ряду), 2 - принцип протилежності в природі (так як протилежності завжди зустрічаються парами), 3 - природа як триєдність першооснови і його суперечливих сторін (3 = 1 +2), і т.д. Цікаві (хоча і абсолютно не відповідають дійсності) його міркування про зв'язок деяких арифметичних властивостей чисел та суспільними явищами. Наприклад, піфагорійці виділяють так звані вчинені числа: 6, 28, і т.д. - Числа, рівні сумі своїх власних (тобто крім самого числа) дільників: 6 = 1 +2 +3, 28 = 1 +2 +4 +7 +14. Ці числа, за Піфагором, відображають досконалість. Пари чисел, сума власних дільників одного з котрих дорівнює іншому і навпаки, як наприклад, 284 і 220, називаються дружніми і відображають явище дружби в суспільстві. Піфагорійці про вірну дружбу говорили: "Вони дружні, як 220 і 284". Незважаючи на ці наївні уявлення, такі числа до цих пір представляють інтерес для теорії чисел - області математики, що займається арифметичними властивостями цілих чисел. Наприклад, до цих пір не відомо, нескінченно Чи є безліч досконалих чисел, або чи існують непарні досконалі числа?
Наступний період, аж до 16 ст. характеризується досить повільним процесом проникнення математики в інші науки. Вирішуються завдання, викликані торговельною діяльністю, як у Західній Європі, астрономією і мореплавством (тригонометрія), як на Арабському Сході та в Індії.
Бурхливий розвиток як самої математики, так і її додатків спостерігається в Новий час. Перехід до нових капіталістичних відносин, ослаблення впливу церкви на філософію і науку розв'язують дослідникам руки, роблять їх думки сміливіше. Відтепер "природа - не храм, а майстерня" і людина - не слухняна маріонетка в руках бога, а сам господар своєї долі і дослідник навколишнього світу.
Одним з перших, хто відчув віяння нового часу і почав по-новому підходити до науки, був Г. Галілей. Всім зі шкільної лави відомі його досліди з вивчення падіння тіл, якими він спростував тисячолітні омани Арістотеля і його послідовників. Для опису результатів, Галілей вперше застосував математичний апарат: почала диференціального числення. Відомий вираз Галілея: "книга природи написана мовою математики: літери в ній - це трикутники, кола, лінії".
І. Кеплер приблизно в той же час, аналізуючи прискіпливі спостереження Т. Браге за рухом Марса, приходить до висновку, що планети рухаються по еліптичних орбітах навколо Сонця. При цьому він використовує теорію конічних перетинів, відкритих більше тисячі років тому давньогрецьким математиком Аполлонія Пергського. Це характерний приклад того, як математична теорія, що не одержала популярності за життя автора і майже забута, знаходить застосування у важливих питаннях науки через багато років.
Р. Декарт відомий у математиці завдяки методу координат - своєрідний місток між алгеброю і геометрією. Ця плідна ідея по суті стала основним поштовхом для подальшого розвитку математики. У філософії Декарт відомий як засновник раціоналізму - спроби математизувати все наукове знання того часу. Він використовує методи математики і логіки у фізиці, фізіології, етики, філософії. Математика взята за еталон з огляду на те, що він вважав її зразком стрункості та істинності. Строго довівши те чи інше твердження, математик повністю переконує інших у його істинності і звільняє тим самим свою науку від суперечок і сумнівів. Якщо є якась математична задача, то її рішення повністю закриває питання. Філософія ж, наприклад, чи мораль мають багато таких питань, які протягом усієї історії викликали бурхливі суперечки та до остаточного думку щодо них філософи так і не прийшли. А чому б не спробувати їх вирішити, використовуючи математичні методи, які у своїй області успішно спрацьовують? Адже у справедливості доведених геометричних теорем ніхто не сумнівається, а правильне рішення якої-небудь завдання не викликає споров.Своі роздуми Декарт виклав у роботі "Міркування про метод, щоб вірно спрямовувати свій розум і відшукувати істину в науках".
Приблизно в той же час два інших французьких математика, Б. Паскаль і П. Ферма, закладають основи теорії ймовірності - важливої галузі для математичних додатків.
Справжньою революцією в математиці та її прикладних стало відкриття диференціального й інтегрального числення І. Ньютоном і Г. Лейбніцем. Це стало початком широкого проникнення математичних методів в фізику, механіку і астрономію. Основна ідея цього методу - ідея межі змінної величини - бере свій початок ще у працях Архімеда, Демокріта та інших давньогрецьких учених. Але всю його міць оцінили лише після введення зручної системи позначень та методу координат - чого у стародавніх греків не було. Чому ж цей метод став таким плідним саме для фізичних додатків? Справа в тому, що характерною особливістю майже всіх фізичних процесів є наявність безперервного руху, зміни в часі деяких числових параметрів, а межі (а з ними і інтеграли і похідні) якраз і є найважливіший інструмент для дослідження безперервних функцій.
Інший заслугою Ньютона, по суті зробила фізику самостійною наукою, стала ідея аксіоматизації механіки, запропонована у праці "Математичні начала натуральної філософії". Там Ньютон, натхненний "Початками геометрії" Евкліда, висуває кілька фундаментальних законів механічного руху, відомих зараз як три закони Ньютона. Спираючись на ці "аксіоми", він, використовуючи математичні методи і дедукцію, описує якісно і кількісно численні фізичні явища.
Лейбницу ми також зобов'язані зручною системою позначень для основних граничних операцій. Розвиваючи символьні позначення далі, Лейбніц мріє про такого собі універсальному обчисленні, використовуючи яке можна знаходити істину, механічно застосовуючи деякі правила. "Тоді філософи перестануть сперечатися, а почнуть вираховувати". Його мрія в деякому сенсі здійсниться на початку XX століття, коли математики формалізують логіку, створивши числення предикатів.
XVIII століття характеризується остаточної математизацією фізики. Найбільші математики того часу: Л. Ейлер, Ж.-Л.Лагранж, П.С. Лаплас розвивають аналіз нескінченно-малих, роблячи його основним знаряддям дослідження в природознавстві. Повний успіх був досягнутий з його допомогою в небесній механіці - описані руху планет, Місяця в рамках закону тяжіння Ньютона. Лаплас в своєму капітальному творі "Трактат про небесної механіки" проголосив тезу, відомий як принцип детермінізму: "Знаючи положення всіх частинок у всесвіті і їх швидкості в даний момент, ми можемо визначити стан всесвіту в будь-який момент у майбутньому". Математичне обгрунтування йому дається вже в наступному столітті в теоремі Коші-Ковалевської про існування та єдиності розв'язку звичайного диференціального рівняння.
XIX століття ознаменувалося не лише соціальними революціями, а й революціями в точних науках. Нові ідеї, народжені в абстрактних надрах математики, такі як поняття групи, неевклідової геометрія знайшли і досі знаходять застосування у фізиці, кристалографії, хімії. Нові явища у фізиці - електрика і магнетизм виявляються добре описуваними "старими" методами диференціального й інтегрального числення з деякими доповненнями з векторного аналізу. Здавалося б все чудово: математичний дух витав над усіма областями знання, які тоді вважалися науками, а сама математика була еталоном строгості і несуперечності, до якого повинні прагнути інші науки. Але в кінці XIX століття в працях Г. Кантора з'являється порушник спокою - теорія множин. Власне по-началу нічого такого небезпечного в ній не було - Кантор спробував математично описати поняття безлічі - довільного набору будь-яких математичних: натуральних чисел, точок на прямій, речовинно-значних функцій і т.д. Паралельно тривали роботи з так званим підставою математики: вчені намагалися на аксіоматичної основі побудувати математичний аналіз, теорію дійсних чисел, геометрію (список аксіом Евкліда виявився неповним, повну аксіоматику геометрії дав Гільберт в 1899 р.). Пояснення цього процесу можна дати наступне: математичний апарат (особливо метод нескінченно-малих) протягом декількох століть використовувався в багатьох додатках і зарекомендував себе як ефективне знаряддя природознавства; але пояснення чому всі застосовувані методи правильні з точки зору логічної строгості, не було - ну узгоджуються зі спостереженнями й добре, але це не означає, що ми застраховані від "збоїв" у майбутньому. Для підведення фундаменту під ці методи, математики вирішили використовувати випробуваний аксіоматичний метод. У зв'язку з цим було розроблено числення предикатів - система логічних аксіом і правил виведення з них нових тверджень. З його допомогою, спираючись на аксіоми будь-якій області математики, за допомогою буквально механічного застосування правил виведення можна отримати будь-яку теорему даній області. На цьому шляху вдалося знайти аксіоми багатьох областей математики і звести питання про несуперечність математичного аналізу до несуперечності арифметики. Теорія множин ж є в певному сенсі фундаментом математики: всі об'єкти, з якими працюють математики є множинами. Але ось вже на перших етапах розвитку цієї теорії почали з'являтися протиріччя, що загрожувало фундаменту всієї математики. На щастя на початку XX століття вдалося придумати аксіоматизації теорію множин, вільну (на сьогоднішній день) від протиріч.
Розвиток математики та її застосувань в XX столітті було настільки бурхливим, що його важко описати досить докладно. Виділимо лише деякі основні моменти. Фізичні програми продовжували розвиватися, не обмежуючись вже одним диференціальним та інтегральним численнями: в ядерній фізиці, наприклад, почали широко використовувати багатовимірну геометрію і теорію груп; в теорії відносності чудові застосування знайшла неевклідова геометрія. Теорія ймовірностей можливо навіть обігнала математичний аналіз за кількістю додатків: методи математичної статистики використовують у величезному числі наук, починаючи з фізики і закінчуючи психологією і лінгвістикою. Розвиток математичної логіки, викликане програмою Гільберта обгрунтування математики, призвело до появи комп'ютерів, які змінили світогляд сучасної людини. Практика ставить нові завдання, які вже не вирішуються випробуваними у фізиці методами аналізу безперервних функцій. Ці дискретні завдання з економіки, генетики, криптографії та ін характеризуються трудомістким перебором величезного числа варіантів, який не під силу навіть комп'ютерів.
Основні методи математизації
Той, хто не знає математики, неможе дізнатися ніякої іншої науки
і навіть не може знайти свого
невігластва.
Р. Бекон
У чому ж полягає потужність і дивовижна плідність застосування математики в різних науках? Щоб відповісти на це питання, проаналізуємо деякі методи математизації.
Наприклад, вивчаючи чисельності популяцій сардин і риб-хижаків у Середземному морі, В. Вольтерра виділив такі кількісні характеристики:
· Чисельність сардин (позначивши їх за x)
· Чисельність хижаків (відповідно y)
далі він виявив важливі для нього відносини між ними:
· В середньому всі особини однакові
· Популяція сардин збільшується, якщо немає зустрічей з хижаком
· Швидкість зростання її чисельності пропорційна самої чисельності (так як кожна особина може зробити потомство)
· Число сардин, що гинуть від хижаків пропорційно числу зустрічей з ними, а це число в середньому пропорційно xy
· Популяція хижаків зменшується при відсутності сардин (гинуть від голоду)
· Швидкість цієї убутку пропорційна чисельності хижаків
· Швидкість приросту числа хижаків пропорційна числу їх зустрічей з кормом-сардинами, тобто величиною xy.
Будучи великим фахівцем в теорії диференціальних рівнянь, Вольтерра розглядає x і y як фунції від часу і швидко знаходить необхідний об'єкт в математиці - систему звичайних диференціальних рівнянь
де A, B, C, D - деякі позитивні коефіцієнти, які залежать від конкретних природних умов. Вивчаючи потім цю систему методами, розробленими іншими математиками задовго до нього, Вольтерра отримує опис і пояснення багатьох явищ, помічених за довгу історію рибальства в Італії, таких наприклад, як дивні коливання величини улову сардин (а значить і їх загальної чисельності).
Цей приклад показує ще одну ідею моделювання - деяке спрощення, відкидання зайвої, непотрібної інформації. Тут, це допущення однаковості особин, равновероятности їх зустрічей, рівноможливими виробляти потомство. Ми ніби-то абстрагуємося від конкретної сардини і виділяємо тільки потрібні для нас її властивості. Звичайно в підсумку, ми отримуємо трохи спрощену картину явища, але в даному випадку нам це і було потрібно. Найважливішим моментом є те, щоб при спрощенні не упустити потрібні нам риси, не огрубіть модель настільки, щоб вона перестала досить добре для нас описувати явище. З іншого боку, модель не повинна вийти дуже складною, не піддається математичному аналізу. Правда, з появою потужних ЕОМ, можливості аналізу помітно розширилися, але деякі завдання, наприклад довгострокове прогнозування погоди, до цих пір є недоступними.
Дивним чином виявляється, що одна і та ж математична модель може описувати багато різноманітних явищ у різних областях. Наприклад, одне диференціальне рівняння може описувати та зростання чисельності популяції, і хімічний розпад, і ланцюгову ядерну реакцію, і распростроненности інформації в соціальній групі. У чому причина такої всепрімінімості математичних моделей? Відповіді на це питання математика не дає. Ось що говорить академік В. І. Арнольд у лекції [2]:
Чому модель перерізу конуса описує рух планет? Містика. Загадка. Відповіді на це запитання немає. Ми віримо в силу раціональної науки. Ньютон бачив у цьому доказ існування Бога: "Таке найвишуканіших з'єднання Сонця, планет і комет не могло статися інакше, як за наміром і по владі могутнього і премудрого істоти ... Цей керує всім не як душа світу, а як володар Всесвіту, і по панування своєму повинен іменуватися Господь Бог Вседержитель ".
Але можна дати і таке деяке "обгрунтування" цим фактом. Коли дослідник вивчає якесь явище і будує скажімо кількісну модель, він прагне до простоти моделі і виділяє тільки невелике число параметрів і відносин між ними. У підсумку, по величезній кількості явищ отримуємо моделі, пов'язані скажімо з певними диференціальними рівняннями. Але в теорії диференціальних рівнянь ці рівняння класифіковані в достоточно невелике число типів, які різняться за властивостями і методам їх вирішення. У результаті і виходить, що диференціальні рівняння (а значить і моделі) для великого числа явищ потрапляють в один клас, в якому вони практично невиразні.
Крім моделей, пов'язаних з диференціальними рівняннями, є ще величезна кількість інших моделей, в тому числі і не кількісних (тобто не пов'язаних з будь-якими числовими параметрами). Наприклад, у математичній логіці та теорії алгоритмів існує модель, що описує роботу людину, вирішального якусь проблему по строго описаній програмі (рецептом). Ця модель називається машиною Тьюринга і придумана в 1936 році англійським математиком Аланом Тьюрінгом у зв'язку з проблемою формалізації поняття алгоритму. Вона виявилася дуже корисною для розробки перших ЕОМ, і з тих пір є загальноприйнятою математичної моделлю сучасних комп'ютерів.
Тьюринг виходив з таких спрощень:
· У процесі роботи, людина (комп'ютер) має справу з наборами символів (словами) з кінцевої множини (алфавіту)
· На початку роботи на деякому носії інформації, наприклад в зошиті (стрічці) записаний вхід
· В кінці роботи, на стрічці пишеться вихід
· Стрічка розділена на клітинки, кожна або порожня, або там є один символ алфавіту
· Стрічка потенційно нескінченна і одномерна (тобто кожна клітинка має двох сусідів: правого і лівого)
· У процесі роботи людина може за один крок записувати символ в поточну клітинку (якщо вона зайнята, то попередньо стерти вміст) і читати його, а також зрушуватися вправо або вліво
· Всі вищеописані дії він виконує в строгій відповідності з програмою, яка за поточним розглядаємого символу і поточному стану людини (їх кінцеве число) говорить, який символ записати в комірку, куди зрушитися (вправо або вліво) і як змінити стан
· Людина зупиняє обчислення, коли потрапляє в деякий вибраного стан (заключне)
Звідки така модель могла виникнути? Наприклад з аналізу роботи математика, який щось вирішує в зошити: на перших сторінках записано умову задачі - слово в досить великому (але кінцевому!) Алфавіті; далі він згідно деяких правил своєї науки (программе!) і своєму внутрішньому стану (цих станів багато, але звичайно), гортаючи зошит то вперед, то назад, записуючи і стираючи символи, поступово вирішує задачу. Потрапивши в заключне стан (зрозумівши, що відповідь знайдено), він зупиняється. Є й можливість того, що він ніколи не зупиниться - модель це не забороняє.
Дивно те, що ця проста модель, прекрасно описує роботу сучасних комп'ютерів, народилася раніше, ніж з'явилися перші ЕОМ.
З яких етапів складається побудова математичної моделі? Це залежить, взагалі кажучи, від області, в якій розробляється ця модель. Наприклад, в економіці етапи можна виділити такі [3]:
1. Визначення мети, тобто чого хочуть домогтися, вирішуючи поставлене завдання.
2. Визначення параметрів моделі, тобто заздалегідь відомих фіксованих факторів, на значення яких дослідник не впливає.
3. Формування керуючих змінних, змінюючи значення яких можна наближатися до поставленої мети. Значення керуючих змінних є розв'язками задачі.
4. Визначення області допустимих рішень, тобто тих обмежень, яким повинні задовольняти керуючі змінні.
5. Виявлення невідомих факторів, тобто величин, які можуть змінюватися випадковим або невизначеним чином.
6. Вираз мети через управляючі змінні, параметри і невідомі чинники, тобто формування цільової функції, званої також критерієм оптимальності задачі.
Це пов'язано зі специфікою області: в економіці важливі саме такі числові моделі, так як предметна область там в основному складається з понять, які мають кількісний характер. Такі приклади, як машина Тьюрінга під цю схему не підходять.
Отже, основні риси методу математичного моделювання полягає у наступному:
· Абстракція, певне спрощення предметної області, виділення тільки істотних для дослідника рис даного явища
· Виявлення потрібних параметрів чи характеристик процесу, які і складають предмет подальшого дослідження
· Виявлення істотних взаємин між цими параметрами
· Пошук потрібного математичного об'єкта, який буде описувати всі досліджувані параметри і відносини між ними
· Застосування математичного апарату до цього об'єкта для опису вихідного явища
Висловлюючись математичною мовою, можна сказати, що відбувається відображення предметної області, реального явища в математичні безлічі (поняття, структури). Причому це відображення має властивість зберігати деякі відносини між реальними об'єктами, в тому сенсі, що при зміні в реальності відбувається схоже зміна і в математичному її образі.
Не слід думати, що математика завжди в своєму розпорядженні необхідний апаратом для дослідження математичної моделі. Найчастіше доводилося відкривати нові поняття і методи в математиці або розробляти старі, щоб робити це. Наприклад, Ньютон відкрив основні поняття диференціального числення, щоб якраз використовувати їх в механіці. І взагалі більшість областей сучасної математики мають таке практичне походження.
Дуже цікавий також наступне питання: чому ж математичні моделі, сам математичну мову настільки корисний для вивчення багатьох явищ у різних науках? Я вважаю, що це частково пов'язано з неперевершеною строгістю і точністю математичної мови, частково з його ефективністю і стислістю. Професор А. К. Гуц в [4] ілюстрував цю ефективність наступним відзнакою гуманітарного мислення від математичного. Коли гуманітарій вирішує яку-небудь проблему, на шляху до її вирішення він повинен пройти дуже велике число проміжних етапів, на кожному з яких робляться, аналізуються та перевіряються якісь логічні висновки. Це можна зобразити на діаграмі:
Оскільки таких проміжних кроків може бути багато, шлях до вирішення може зайняти дуже багато часу. Тепер розглянемо вирішення завдання математиком. Рух його до мети по суті теж полягає в серії проміжних кроків, але він може застосовувати теореми, формули, факти встановлені та перевірені іншими математиками, які містять в собі сотні, тисячі елементарних логічних кроків, які вже немає необхідності проробляти. Його шлях можна зобразити такою діаграмою:
тут "згустки" - це факти, перевірені іншими. Тому за той же проміжок часу математик може зробити набагато більше.
Адекватність математики при відображенні реальності у своїх моделях пов'язана з тим, що сама математика, її поняття та структури є не чим іншим, як абстракцією самої об'єктивної реальності. Коли ми створюємо якийсь безліч математичних понять, абстрагуючись від реальних об'єктів, ми неявно переносимо в поняття і зв'язки між цими об'єктами, які потім виникають при побудові математичних моделей. Наприклад, при виділенні поняття "натуральне число" як абстракції властивостей реальних об'єктів бути елементом деякого набору однорідних предметів, які можна перекласти один за іншим з однієї купки в іншу, ми переносимо на абстракцію і деякі властивості натуральних чисел, такі як упорядкованість чисел. При "моделюванні" потім скажемо колективу людей, досліджуємо чисельність колективу x (натуральне число) і виявляємо, що при додаванні одного індивіда, колектив збільшується, але збільшується при цьому на 1 і x - ми неявно перенесли впорядкованість реального об'єкта "колектив" на його математичну модель "натуральнозначная змінна". Видатний фізик, лауреат Нобелівської премії, Поль Дірак говорив: "При побудові фізичної теорії слід не довіряти всім фізичним концепціям. ... Слід довіряти математичної схемою, навіть якщо вона, на перший погляд, не пов'язана з фізикою ".
Можна окремо виділити метод математизації, який неявно є частиною математичного моделювання: формалізація. Він полягає в тому, що всі досліджувані об'єкти реальності і відносини між ними замінюються наборами символів і відносин між ними в деякому штучною мовою. Так, в моделі машини Тьюрінга всі об'єкти - слова в якомусь алфавіті, і розглядаються правила роботи з цими словами. Та й взагалі, система зручних позначень - важлива частина будь-якої галузі математики. Цей штучний мова повинна бути по можливості компактним, недвозначним і простим. Це відрізняє його від природних людських мов, для яких характерна деяка неоднозначність і невизначеність семантики та синтаксису. Недарма до цих пір не створено задовільних автоматичних систем перекладу з однієї мови на іншу. Тому найважливішою частиною формалізації є правильний переклад предметної області на формальну мову. Як пише Герман Вейль в [6]: "Потужність науки, як свідчить розвиток сучасної техніки, спирається на комбінацію апріорних знакових конструкцій і систематичного досвіду у формі планованих і відтворювальних експериментів і відповідних вимірювань." У самій математиці процес формалізації почався ще з давньогрецького математика Діофанта , який запропонував деяку ще недосконалу систему алгебраїчних позначень. Звичні нам позначення основних математичних об'єктів вводилися поступово, починаючи з Вієта, Декарта, Лейбніца і закінчуючи Ейлером, Лагранжем, Коші. Цей процес продовжується до цих пір, так як кожен день виникають нові й нові математичні поняття і об'єкти.
У кінці XIX - початку XX століття процес формалізації математики досяг своєї кульмінації у працях Фреге, Рассела, Гільберта та ін Це пов'язано з так званою програмою Гільберта обгрунтування математики. У чому вона полягає? Хоча математику та математичні міркування прийнято вважати логічно суворими і бездоганними, що працюють математики ніколи не проводять докази своїх теорем на формальному рівні, порівнянному наприклад з алгоритмічними мовами програмування типу C або PASCAL, тобто так, щоб правильність докази міг би перевірити комп'ютер. Тому Гільберт і його колеги вирішили побудувати такий формальний мову з відповідними правилами, в якому можна було висловити і довести всі математичні теореми. В основу цієї мови була покладена логіка, основними об'єктами стали безлічі, які позначалися символами в кінцевому алфавіті. Відштовхуючись від деяких найпростіших тверджень - аксіом, прімменяя деякі суворо окреслені правила виведення, можна було б отримати усі твердження математики. Якби ця програма вдалася, то всіх математиків можна було б замінити комп'ютерами, які б чисто механічно крок за кроком отримували б математичні теореми.
Перш ніж описати причини краху програми Гільберта, виділимо ще один метод математизації, який тісно пов'язаний з цією програмою. Мова йде про аксіоматизації. Вона полягає в тому, що в деякій області знання з усіх істинних тверджень виділяється набір деяких найпростіших тверджень або аксіом, з яких через логічного висновку можна в принципі отримати будь-яке твердження цієї області. Звичайно, бажано щоб цей набір був досить компактним (хоча б кінцевим) і простим. Класичним прикладом аксіоматично побудованої теорії є геометрія Евкліда (хоча у нього список аксіом був неповний). Конституція держави і всілякі кодекси в деякому сенсі є списками аксіом в юриспруденції. Правила дорожнього руху є ні що інше, як аксіоми теорії правильного вуличного руху. З часів Евкліда аксіоматичний метод побудови теорії став еталоном. Аксіоматізіровать намагалися і такі неточні науки, як етика (Спіноза). Мабуть найбільш вдалим прикладом аксіоматизації є побудова механіки Ньютоном на основі виділених їм 3 законів. Звичайно, не слід вважати, що цих 3 аксіом достатньо для побудови механіки - до цього списку необхідно додати всі аксіоми тривимірної геометрії, теорії дійсних чисел і, якщо вже бути остаточно суворим, то і в самій логіці можна виділити теж деякі аксіоми. Подальший розвиток фізики додавало ще аксіоми: закони термодинаміки, електромагнетизму, постулати Ейнштейна в теорії відносності і закони квантової механіки. Але принцип залишався той самий - додаються по можливості найпростіші і незалежні від попередніх факти, з яких можна пояснити як можна більше нових явищ. Продовжувалася і триває аксіоматизації в самій математиці: за допомогою аксіомам в алгебрі визначаються найважливіші поняття групи, поля, кільця; аксіоматика Колмогорова зробила теорію ймовірностей математичною наукою.
Повернемося тепер до програми Гільберта. Вона, крім формалізації і виділення основних понять, включала в себе аксіоматизації всієї математики на основі аксіом арифметики і теорії множин. У працях багатьох математиків був знайдений відповідний список аксіом і правил виводу (одне з яких - правило modus ponens, описане ще Аристотелем), з якого виводилися всі відомі факти математики. Залишалися неясними два питання:
· Чи буде цей список аксіом несуперечливим? Тобто не існує такого твердження, що з аксіом можна вивести його само і його заперечення? Відомо, що в цьому випадку можна буде вивести будь-яке твердження - це зруйнує авторитет математики як еталона строгості, зробить безглуздою і непотрібною дану систему аксіом.
· Чи буде цей система аксіом повною? Тобто будь-яка математична істина може бути отримана з даних аксіом за допомогою послідовних логічних висновків? Це означає, що будь-яке твердження ми можемо або довести, або спростувати (довести його заперечення).
Математики і логіки, натхнені першими успіхами програми Гільберта, почали шукати доказ повноти і несуперечності арифметики - проміжного кроку на шляху до всієї математики. Було досягнуто кілька обнадійливих результатів. Здавалося, мета була близька. Але в 1931 році грянув грім, який звернув програму Гільберта в руїни: австрійський логік Курт Гедель довів так звану теорему про неповноту, яка стверджувала, що якщо система аксіом арифметики несуперечлива, то існує таке твердження, що ні вона сама, ні його заперечення не доказові . Це означає, що умови несуперечності та повноти арифметики та математики в цілому несумісні. Більш того, вона залишається неповною, якщо до списку додати додаткові аксіоми (будь-яке кінцеве число), тобто не існує кінцевого набору аксіом для арифметики. Це був шок. Один математик у зв'язку з цим сказав: "Бог існує, тому що математика несуперечлива. Диявол існує, тому що ми це не можемо довести". Теорема Геделя показала межі можливостей аксіоматичного методу в самій математиці.
Потрібно все-таки сказати, що це був крах деякого ідеалу, який насправді не надав великого впливу на практичне використання математики. Системи аксіом арифметики і теорії множин до цих пір є підставою математичного знання. Аксіоми у різних областях знання не втратили своєї цінності.
Межі і проблеми математизації
- Це був математик.
- Але чому, Холмс?
- Це елементарно, Ватсон.
По-перше, він відповів
абсолютно правильно.
По-друге, те, що він сказав, абсолютно
марно для нас.
З відомою анекдоту.
Проблеми, з якими стикаються дослідники, що застосовують математичні методи в інших науках, можна розділити на два типи. Перші - пов'язані з проблемами в самій математиці, тобто коли, наприклад, математична модель явища побудована, а її дослідження утруднено через те, що відповідні методи ще не розроблені, або їх розробка - невирішена поки проблема (в математиці дуже багато своїх " внутрішніх "проблем). Другий тип пов'язаний з самими областями знання, які піддаються математизації: або складно побудувати математичну модель, або побудована і вивчена модель неправильно описує досліджуване явище.
Розглянемо докладніше проблеми першого типу. Не варто вважати, що самі математики так вже всесильні в своїй науці. Та й сама математика розрослася до таких величезних розмірів, що давно вже немає таких універсальних геніїв, подібних Ньютону, Ейлера, Гільберт або Пуанкаре, які працювали майже в усіх галузях математики свого часу. Сьогоднішня картина математичних досліджень нагадує більше величезний мурашник, де кожен математик розробляє свою вузьку область, і, деколи не знає, що відбувається у сусідній. Але, незважаючи на таку роз'єднаність, залишаються невирішені проблеми, важливі для багатьох галузей математики, і, тому відомі всім математикам. Можливо, що для їх вирішення необхідні знання цих багатьох областей, тому вони такі важкі для сучасних дослідників. Але, може бути, вони подібно відомій теоремі Ферма, представляють чисто внутріматематіческій інтерес, і їх не вирішується ніяк не позначається на додатках? На жаль, це не так. Наприклад, відома відкрита проблема P = NP найтіснішим чином пов'язана з криптографією, генетикою, теорією управління, а рішення диференціальних рівнянь Нав'є-Стокса здійснило би прорив в аеродинаміці, гідродинаміці. Багато сучасні математичні моделі (наприклад, метеорологічного прогнозу) дуже складні і не піддаються аналізу навіть за допомогою комп'ютерів: хоч і теорія вивчення таких рівнянь розроблено давно, але через їх громіздкість застосовувати алгоритми теорії людині не під силу. Тому тут застосовують комп'ютери. Але часом і комп'ютерам необхідна величезна час для перевірки теоретичних умов. Звідси потреба в розробці швидких алгоритмів. А як правило, розробка таких алгоритмів пов'язана з вирішенням деяких важких, часом суто математичних проблем.
У зв'язку з цим цікаво спостерігати, яким чином математики все-таки вирішують складні проблеми. Анрі Пуанкаре в [5] пише: "Вивчаючи праці великих і навіть рядових математиків, неможливо не помітити і не розрізнити дві протилежні тенденції .... Одні насамперед зайняті логікою; читаючи їх роботи, хочеться думати, що вони йшли вперед лише крок за кроком .... Інші довіряють себе інтуїції і подібно сміливим кавалеристам авангарду відразу роблять швидкі завоювання, втім, іноді не зовсім надійні. "Таким чином, часто успіх у вирішенні великої проблеми досягається не шляхом послідовних логічних кроків, а деяким інтуїтивно-наочним, до кінця не обгрунтованим розглядом, залишаючи на майбутнє суворе логічне його обгрунтування. Цікаві також думки багатьох математиків щодо естетичних міркувань у своїй роботі. Герман Вейль говорив, що у своїх дослідженнях, "якщо треба було вибирати між істиною і красою, я вибирав красу". Можливо, естетичні відчуття, як відчуття прихованої істини чи гармонії, допомагають математикам при вирішенні складних завдань. Це, можна сказати - один із засобів боротьби з дедалі ускладнюється математичної дійсністю.
Інші проблеми другого типу пов'язані з тим, що побудована у відповідності зі звичайною методологією математична модель може неправильно описувати процес або взагалі не мати сенсу в досліджуваній області. Згідно [7] такі моделі містять неконструктивні елементи, що може призвести до суперечностей у теорії та неузгодженості з досвідом навіть перспективних математичних апаратів. У сучасній фізиці теорія створюється не так, як це було в класичній фізиці, коли виходячи з деякою картини світу (наприклад, незалежність матеріальних об'єктів від простору і часу у Ньютона), будувалася відповідна математична гіпотеза. Зараз же, згідно [7], спочатку формується математичний апарат, а потім вже адекватна теоретична схема, що інтерпретує цей апарат. На відміну від онтологічних принципів класичної фізики, які допомагали створювати або вибирати математичні моделі дослідження, квантово-релятивістська фізика змістила акценти для такого вибору в бік гносеологічних принципів (принцип відповідності, простоти, невизначеності та ін.) Те що спочатку вводиться деяка математична модель, а потім інтерпретується, створює проблему з експериментальним підтвердженням теорії: щоб обгрунтувати математичну гіпотезу досвідом, недостатньо просто порівнювати слідства з рівнянь з досвідченими даними, необхідно кожен раз експлікувати гіпотетичні моделі, які були введені на стадії математичної екстраполяції, відокремлюючи їх від рівнянь, обгрунтовувати ці моделі конструктивно, знову звіряти зі створеним математичним формалізмом і тільки після цього перевіряти слідства з рівнянь досвідом. Довга серія математичних гіпотез породжує небезпеку накопичення в теорії неконструктивних елементів і втрати емпіричного сенсу величин, що фігурують в рівняннях. Тому в сучасній фізиці на певному етапі розвитку теорії стають необхідними проміжні інтерпретації, що забезпечують операціональні контроль за створюваної теоретичною конструкцією. У системі таких проміжних інтерпретацій якраз і створюється конструктівнообоснованная теоретична схема, що забезпечує адекватну семантику апарату і його зв'язок з досвідом.
В [7] наводиться приклад такого накопичення. Квантова електродинаміка почалася з побудови формалізму, що дозволяє описати "мікроструктуру" електромагнітних взаємодій. Створення зазначеного формалізму досить чітко розчленовується на чотири етапи. Спочатку був введений апарат квантованного електромагнітного поля випромінювання (поле, не взаємодіє з джерелом). Потім на другому етапі, була побудована математична теорія квантованного електронно-позитронного поля (було здійснено квантування джерел поля). На третьому етапі було описано взаємодію вказаних полів в рамках теорії збурень у першому наближенні. Нарешті, на заключному, четвертому етапі був створений апарат, що характеризує взаємодію квантованих електромагнітного та електронно-позитронного полів з урахуванням наступних наближень теорії збурень (цей апарат був пов'язаний з методом перенормувань, що дозволяє здійснити опис взаємодіючих полів у вищих порядках теорії збурень).
У період, коли вже був пройдений перший і другий етапи побудови математичного формалізму теорії і почав успішно створюватися апарат, що описує взаємодію вільних квантованих полів методами теорії збурень, в самому фундаменті квантової електродинаміки були виявлені парадокси, які поставили під сумнів цінність побудованого математичного апарату. Це були так звані парадокси вимірності полів. У роботах П. Йордану, В. А. Фока і особливо у спільному дослідженні Л. Д. Ландау і Р. Пайерлса було показано, що основні величини, які фігурували в апараті нової теорії, зокрема, компоненти електричної та магнітної напруженості в точці, не мають фізичного змісту. Поля в точці перестають бути емпірично виправданими об'єктами, як тільки дослідник починає враховувати квантові ефекти.
Джерелом парадоксів вимірності була неадекватна інтерпретація побудованого формалізму. Така інтерпретація була неявно введена в самому процесі побудови апарату методом математичної гіпотези.
Математичні гіпотези вельми часто формують спочатку неадекватну інтерпретацію математичного апарату. Вони "тягнуть за собою" старі фізичні образи, які "підкладаються" під нові рівняння, що може привести до неузгодженості теорії з досвідом. Тому вже на проміжних етапах математичного синтезу вводяться рівняння повинні бути підкріплені аналізом теоретичних моделей і їх конструктивним обгрунтуванням.
Моделювання представляє собою деяке відображення явища об'єктивної реальності в структури і безлічі математичних об'єктів. При цьому повинні зберігатися необхідні для дослідника відносини між об'єктами предметної області. А також має відбуватися деяке спрощення (абстракція): зникають непотрібні, що відволікають увагу деталі. Але, при цьому, модель не повинна занадто спрощувати картину. Дивовижна продуктивність математичного моделювання в природознавстві пов'язана з тим, що народившись за допомогою абстаркціі від об'єктів реальної дійсності, математичні поняття зберегли (можливо неявно) ті відносини між цими об'єктами, які потім і виявляються при їх моделюванні.
Формалізація - процес "кодування" об'єктів досліджуваної реальності деякими штучною мовою, і формулювання основних законів досліджуваного явища на цій мові. Корисність цього підходу полягає в тому, що спочатку неясна і смутна картина замінюється суворими і точними маніпуляціями з мовою.
Аксіоматизації передбачає виявлення найпростіших понять і аксіом області дослідження, з яких за допомогою логічних правил виходять всі теореми (істинні твердження) даної теорії. Цей метод дозволяє охоплювати всю досліджувану область за допомогою відносно невеликого списку аксіом.
Проблеми застосування математичних методів в різних науках пов'язані з самою математикою (математичне вивчення моделей), з областю моделювання (складно побудувати модель через розмитості меж явища) і c інтерпретацією моделі (побудована модель неправильно описує явище).
Можливості математизації обмежуються швидше за все складністю досліджуваних явищ. Тому, як я думаю, якщо формулювання проблеми розумна (тобто якщо не намагатися математизувати естетику, наприклад), то рано чи пізно можна буде застосувати математику для її вирішення.
[2] Арнольд В.І. Для чого ми вивчаємо математику? Що про це думають самі математики? / / Квант № 1, 1993
[3] Хазанова Л.Е. Математичні методи в економіці. М. Вид-во "Бек", 2002
[4] Гуц А.К. Лекції з семінару "Основні ідеї в математиці", 2 семестр, 2000 р.
[5] Пуанкаре А. Інтуїція і логіка в математиці. (Пуанкаре А. Про науку (за ред. Л. С. Понтрягіна). - М., Наука, 1989, стор 205-218)
[6] Вейль Г. Математичний спосіб мислення (за ред. Б. В. Бірюкова та А. Н. Паршина; пер. З англ. Ю. А. Данилова). М.: Наука, 1989. стор 6-24
[7] Горохів В.Г. Розов М.А. Стьопін В.С. Філософія науки і техніки.
· Чи буде цей список аксіом несуперечливим? Тобто не існує такого твердження, що з аксіом можна вивести його само і його заперечення? Відомо, що в цьому випадку можна буде вивести будь-яке твердження - це зруйнує авторитет математики як еталона строгості, зробить безглуздою і непотрібною дану систему аксіом.
· Чи буде цей система аксіом повною? Тобто будь-яка математична істина може бути отримана з даних аксіом за допомогою послідовних логічних висновків? Це означає, що будь-яке твердження ми можемо або довести, або спростувати (довести його заперечення).
Математики і логіки, натхнені першими успіхами програми Гільберта, почали шукати доказ повноти і несуперечності арифметики - проміжного кроку на шляху до всієї математики. Було досягнуто кілька обнадійливих результатів. Здавалося, мета була близька. Але в 1931 році грянув грім, який звернув програму Гільберта в руїни: австрійський логік Курт Гедель довів так звану теорему про неповноту, яка стверджувала, що якщо система аксіом арифметики несуперечлива, то існує таке твердження, що ні вона сама, ні його заперечення не доказові . Це означає, що умови несуперечності та повноти арифметики та математики в цілому несумісні. Більш того, вона залишається неповною, якщо до списку додати додаткові аксіоми (будь-яке кінцеве число), тобто не існує кінцевого набору аксіом для арифметики. Це був шок. Один математик у зв'язку з цим сказав: "Бог існує, тому що математика несуперечлива. Диявол існує, тому що ми це не можемо довести". Теорема Геделя показала межі можливостей аксіоматичного методу в самій математиці.
Потрібно все-таки сказати, що це був крах деякого ідеалу, який насправді не надав великого впливу на практичне використання математики. Системи аксіом арифметики і теорії множин до цих пір є підставою математичного знання. Аксіоми у різних областях знання не втратили своєї цінності.
Межі і проблеми математизації
- Це був математик.
- Але чому, Холмс?
- Це елементарно, Ватсон.
По-перше, він відповів
абсолютно правильно.
По-друге, те, що він сказав, абсолютно
марно для нас.
З відомою анекдоту.
Проблеми, з якими стикаються дослідники, що застосовують математичні методи в інших науках, можна розділити на два типи. Перші - пов'язані з проблемами в самій математиці, тобто коли, наприклад, математична модель явища побудована, а її дослідження утруднено через те, що відповідні методи ще не розроблені, або їх розробка - невирішена поки проблема (в математиці дуже багато своїх " внутрішніх "проблем). Другий тип пов'язаний з самими областями знання, які піддаються математизації: або складно побудувати математичну модель, або побудована і вивчена модель неправильно описує досліджуване явище.
Розглянемо докладніше проблеми першого типу. Не варто вважати, що самі математики так вже всесильні в своїй науці. Та й сама математика розрослася до таких величезних розмірів, що давно вже немає таких універсальних геніїв, подібних Ньютону, Ейлера, Гільберт або Пуанкаре, які працювали майже в усіх галузях математики свого часу. Сьогоднішня картина математичних досліджень нагадує більше величезний мурашник, де кожен математик розробляє свою вузьку область, і, деколи не знає, що відбувається у сусідній. Але, незважаючи на таку роз'єднаність, залишаються невирішені проблеми, важливі для багатьох галузей математики, і, тому відомі всім математикам. Можливо, що для їх вирішення необхідні знання цих багатьох областей, тому вони такі важкі для сучасних дослідників. Але, може бути, вони подібно відомій теоремі Ферма, представляють чисто внутріматематіческій інтерес, і їх не вирішується ніяк не позначається на додатках? На жаль, це не так. Наприклад, відома відкрита проблема P = NP найтіснішим чином пов'язана з криптографією, генетикою, теорією управління, а рішення диференціальних рівнянь Нав'є-Стокса здійснило би прорив в аеродинаміці, гідродинаміці. Багато сучасні математичні моделі (наприклад, метеорологічного прогнозу) дуже складні і не піддаються аналізу навіть за допомогою комп'ютерів: хоч і теорія вивчення таких рівнянь розроблено давно, але через їх громіздкість застосовувати алгоритми теорії людині не під силу. Тому тут застосовують комп'ютери. Але часом і комп'ютерам необхідна величезна час для перевірки теоретичних умов. Звідси потреба в розробці швидких алгоритмів. А як правило, розробка таких алгоритмів пов'язана з вирішенням деяких важких, часом суто математичних проблем.
У зв'язку з цим цікаво спостерігати, яким чином математики все-таки вирішують складні проблеми. Анрі Пуанкаре в [5] пише: "Вивчаючи праці великих і навіть рядових математиків, неможливо не помітити і не розрізнити дві протилежні тенденції .... Одні насамперед зайняті логікою; читаючи їх роботи, хочеться думати, що вони йшли вперед лише крок за кроком .... Інші довіряють себе інтуїції і подібно сміливим кавалеристам авангарду відразу роблять швидкі завоювання, втім, іноді не зовсім надійні. "Таким чином, часто успіх у вирішенні великої проблеми досягається не шляхом послідовних логічних кроків, а деяким інтуїтивно-наочним, до кінця не обгрунтованим розглядом, залишаючи на майбутнє суворе логічне його обгрунтування. Цікаві також думки багатьох математиків щодо естетичних міркувань у своїй роботі. Герман Вейль говорив, що у своїх дослідженнях, "якщо треба було вибирати між істиною і красою, я вибирав красу". Можливо, естетичні відчуття, як відчуття прихованої істини чи гармонії, допомагають математикам при вирішенні складних завдань. Це, можна сказати - один із засобів боротьби з дедалі ускладнюється математичної дійсністю.
Проблеми другого типу, пов'язані з труднощами побудови потрібних математичних моделей можна проілюструвати на прикладі задачі комп'ютерного перекладу з однієї природної мови на іншу. На початку 1950-х, з появою перших ЕОМ та з перебільшенням їх реальних можливостей, дослідники були впевнені, що створення достатньо хороших програм-перекладачів можливо, треба лише запрограмувати основні правила мови і відпо словник. Але, час минав, а здійснити цей проект не вдавалося. Наприклад, на тестуванні однієї з таких програм, машині пропонувалося спочатку перевести пропозицію з російської на англійську, а потім назад. Було введено пропозиція: "Дух сильний, а плоть немічна", на виході отримали: "Вино гарне, але м'ясо протухлу". Виявилося, що людські мови дуже складні для формалізації: сенс деяких слів залежить від контексту, правила часто неоднозначні, цих правил дуже багато і вони складні. До цих пір немає задовільних програм-перекладачів.
Трудність застосування математичних методів в даному випадку, як мені здається, пов'язана з природою самої досліджуваної області. А саме тим, що основні математичні абстракції походять від таких об'єктів реальності, як простір, час, природні об'єкти, а не від якихось явищ соціальної дійсності (до яких належить і мова). Тому вони корисні і достатньо просто описують фізичні, хімічні і біологічні процеси, але відповідні моделі, наприклад, мови виходять дуже складними. Можна ще додати таке зауваження: правила мови, на відміну від законів природи досить часто (безперервно) змінюються, тому математика, "від'єдналася" від природи за допомогою абстракції 1000 років тому, продовжує зберігати деяких законів природи в собі, а якщо б це "відділення "походить від мови, який з тих пір змінився значно, багато корисні зв'язки руйнувалися б, або ускладнилися.Інші проблеми другого типу пов'язані з тим, що побудована у відповідності зі звичайною методологією математична модель може неправильно описувати процес або взагалі не мати сенсу в досліджуваній області. Згідно [7] такі моделі містять неконструктивні елементи, що може призвести до суперечностей у теорії та неузгодженості з досвідом навіть перспективних математичних апаратів. У сучасній фізиці теорія створюється не так, як це було в класичній фізиці, коли виходячи з деякою картини світу (наприклад, незалежність матеріальних об'єктів від простору і часу у Ньютона), будувалася відповідна математична гіпотеза. Зараз же, згідно [7], спочатку формується математичний апарат, а потім вже адекватна теоретична схема, що інтерпретує цей апарат. На відміну від онтологічних принципів класичної фізики, які допомагали створювати або вибирати математичні моделі дослідження, квантово-релятивістська фізика змістила акценти для такого вибору в бік гносеологічних принципів (принцип відповідності, простоти, невизначеності та ін.) Те що спочатку вводиться деяка математична модель, а потім інтерпретується, створює проблему з експериментальним підтвердженням теорії: щоб обгрунтувати математичну гіпотезу досвідом, недостатньо просто порівнювати слідства з рівнянь з досвідченими даними, необхідно кожен раз експлікувати гіпотетичні моделі, які були введені на стадії математичної екстраполяції, відокремлюючи їх від рівнянь, обгрунтовувати ці моделі конструктивно, знову звіряти зі створеним математичним формалізмом і тільки після цього перевіряти слідства з рівнянь досвідом. Довга серія математичних гіпотез породжує небезпеку накопичення в теорії неконструктивних елементів і втрати емпіричного сенсу величин, що фігурують в рівняннях. Тому в сучасній фізиці на певному етапі розвитку теорії стають необхідними проміжні інтерпретації, що забезпечують операціональні контроль за створюваної теоретичною конструкцією. У системі таких проміжних інтерпретацій якраз і створюється конструктівнообоснованная теоретична схема, що забезпечує адекватну семантику апарату і його зв'язок з досвідом.
В [7] наводиться приклад такого накопичення. Квантова електродинаміка почалася з побудови формалізму, що дозволяє описати "мікроструктуру" електромагнітних взаємодій. Створення зазначеного формалізму досить чітко розчленовується на чотири етапи. Спочатку був введений апарат квантованного електромагнітного поля випромінювання (поле, не взаємодіє з джерелом). Потім на другому етапі, була побудована математична теорія квантованного електронно-позитронного поля (було здійснено квантування джерел поля). На третьому етапі було описано взаємодію вказаних полів в рамках теорії збурень у першому наближенні. Нарешті, на заключному, четвертому етапі був створений апарат, що характеризує взаємодію квантованих електромагнітного та електронно-позитронного полів з урахуванням наступних наближень теорії збурень (цей апарат був пов'язаний з методом перенормувань, що дозволяє здійснити опис взаємодіючих полів у вищих порядках теорії збурень).
У період, коли вже був пройдений перший і другий етапи побудови математичного формалізму теорії і почав успішно створюватися апарат, що описує взаємодію вільних квантованих полів методами теорії збурень, в самому фундаменті квантової електродинаміки були виявлені парадокси, які поставили під сумнів цінність побудованого математичного апарату. Це були так звані парадокси вимірності полів. У роботах П. Йордану, В. А. Фока і особливо у спільному дослідженні Л. Д. Ландау і Р. Пайерлса було показано, що основні величини, які фігурували в апараті нової теорії, зокрема, компоненти електричної та магнітної напруженості в точці, не мають фізичного змісту. Поля в точці перестають бути емпірично виправданими об'єктами, як тільки дослідник починає враховувати квантові ефекти.
Джерелом парадоксів вимірності була неадекватна інтерпретація побудованого формалізму. Така інтерпретація була неявно введена в самому процесі побудови апарату методом математичної гіпотези.
Математичні гіпотези вельми часто формують спочатку неадекватну інтерпретацію математичного апарату. Вони "тягнуть за собою" старі фізичні образи, які "підкладаються" під нові рівняння, що може привести до неузгодженості теорії з досвідом. Тому вже на проміжних етапах математичного синтезу вводяться рівняння повинні бути підкріплені аналізом теоретичних моделей і їх конструктивним обгрунтуванням.
Висновок
Сформулюємо основні ідеї, до яких ми прийшли в результаті виконаної роботи. Отже, в процесі математизації наук в основному використовуються три методи: математичне моделювання, формалізація та аксіоматизації.Моделювання представляє собою деяке відображення явища об'єктивної реальності в структури і безлічі математичних об'єктів. При цьому повинні зберігатися необхідні для дослідника відносини між об'єктами предметної області. А також має відбуватися деяке спрощення (абстракція): зникають непотрібні, що відволікають увагу деталі. Але, при цьому, модель не повинна занадто спрощувати картину. Дивовижна продуктивність математичного моделювання в природознавстві пов'язана з тим, що народившись за допомогою абстаркціі від об'єктів реальної дійсності, математичні поняття зберегли (можливо неявно) ті відносини між цими об'єктами, які потім і виявляються при їх моделюванні.
Формалізація - процес "кодування" об'єктів досліджуваної реальності деякими штучною мовою, і формулювання основних законів досліджуваного явища на цій мові. Корисність цього підходу полягає в тому, що спочатку неясна і смутна картина замінюється суворими і точними маніпуляціями з мовою.
Аксіоматизації передбачає виявлення найпростіших понять і аксіом області дослідження, з яких за допомогою логічних правил виходять всі теореми (істинні твердження) даної теорії. Цей метод дозволяє охоплювати всю досліджувану область за допомогою відносно невеликого списку аксіом.
Проблеми застосування математичних методів в різних науках пов'язані з самою математикою (математичне вивчення моделей), з областю моделювання (складно побудувати модель через розмитості меж явища) і c інтерпретацією моделі (побудована модель неправильно описує явище).
Можливості математизації обмежуються швидше за все складністю досліджуваних явищ. Тому, як я думаю, якщо формулювання проблеми розумна (тобто якщо не намагатися математизувати естетику, наприклад), то рано чи пізно можна буде застосувати математику для її вирішення.
Література
[1] Математичний енциклопедичний словник. Москва, 1988р.[2] Арнольд В.І. Для чого ми вивчаємо математику? Що про це думають самі математики? / / Квант № 1, 1993
[3] Хазанова Л.Е. Математичні методи в економіці. М. Вид-во "Бек", 2002
[4] Гуц А.К. Лекції з семінару "Основні ідеї в математиці", 2 семестр, 2000 р.
[5] Пуанкаре А. Інтуїція і логіка в математиці. (Пуанкаре А. Про науку (за ред. Л. С. Понтрягіна). - М., Наука, 1989, стор 205-218)
[6] Вейль Г. Математичний спосіб мислення (за ред. Б. В. Бірюкова та А. Н. Паршина; пер. З англ. Ю. А. Данилова). М.: Наука, 1989. стор 6-24
[7] Горохів В.Г. Розов М.А. Стьопін В.С. Філософія науки і техніки.