Основи теорії ймовірності

Контрольна робота

Основи теорії ймовірності

Завдання 1

Перевірка здійсненності теореми Бернуллі на прикладі надійності електричної схеми.

Формулювання теореми Бернуллі: "Частота появи події в серії дослідів сходиться за ймовірністю до ймовірності даної події."

p ₁ = 0.7

p ₂ = 0.8

p ₃ = 0.9

p ₄ = 0.7

p ₅ = 0.8

Перевірка теореми за допомогою програми:

Текст програми:

Program Cep;

Uses CRT;

Const c = 5;

Var op, i, j, n, m: integer;

a, rab, pp, ppp, ppp1, ppp2: real;

p: array [1 .. c] of real;

x: array [1 .. c] of byte;

Begin

ClrScr;

Randomize;

p [1]: = 0.7; p [2]: = 0.8; p [3]: = 0.9; p [4]: = 0.7; p [5]: = 0.8;

Writeln ('Дослідів: Мсходи: Вер - ть:'); Writeln;

For op: = 1 to 20 do Begin

n: = op * 100; m: = 0;

Write ('n =', n: 4);

For i: = 1 to n do Begin

For j: = 1 to c do Begin

x [j]: = 0;

a: = random;

if a <p [j] then x [j]: = 1;

End;

rab: = x [i] + x [2] * (x [3] + x [4] + x [5]);

If rab> 0 then m: = m +1;

End;

pp: = m / n;

writeln ('M =', m: 4, 'P *=', pp: 3:3);

End;

ppp1: = p [1] + p [2] * (p [3] + p [4] + p [5]-p [3] * p [4]-p [3] * p [5]-p [4] * p [5] + p [3] * p [4] * p [5]);

ppp2: = p [1] * p [2] * (p [3] + p [4] + p [5]-p [3] * p [4]-p [3] * p [5]-p [4] * p [5] + p [3] * p [4] * p [5]);

ppp: = ppp1-ppp2;

Writeln; Writeln ('Вер. В досвіді: p = ', ppp: 6:3);

Readln;

End.

Результати роботи програми

Дослідів

М-сходи

Вер-ть

n = 200

n = 300

n = 400

n = 500

n = 600

n = 700

n = 800

n = 900

n = 1000

n = 1100

n = 1200

n = 1300

n = 1400

n = 1500

n = 1600

n = 1700

n = 1800

n = 1900

n = 2000

n = 100

M = 163

M = 247

M = 337

M = 411

M = 518

M = 591

M = 695

M = 801

M = 908

M = 990

M = 1102

M = 1196

M = 1303

M = 1399

M = 1487

M = 1576

M = 1691

M = 1782

M = 1877

M = 94

P *= 0.815

P *= 0.823

P *= 0.843

P *= 0.822

P *= 0.863

P *= 0.844

P *= 0.869

P *= 0.890

P *= 0.908

P *= 0.900

P *= 0.918

P *= 0.920

P *= 0.931

P *= 0.933

P *= 0.929

P *= 0.927

P *= 0.939

P *= 0.938

P *= 0.939

P *= 0.940

Вер. в досвіді: p = 0.939

Перевірка в ручну:

Перший спосіб:

Другий спосіб:

Висновок: Теорема Бернуллі вірна

Завдання № 2

Кидають дві гральні кістки. Визначити ймовірність того, що: а) сума чисел окулярів не перевершує N; б) твір числа очок не перевершує N; в) твір числа очок ділиться на N. (N = 8)

Виходячи:

1-1 2-1 3-1 4-1 5-1 6-1

1-2 2-2 3-2 4-2 5-2 6-2

1-3 2-3 3-3 4-3 5-3 6-3

n = 36 - кількість комбінацій

1-4 2-4 3-4 4-4 5-4 6-4

1-5 2-5 3-5 4-5 5-5 6-5

1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6

а). Сума чисел не перевершує N = 8: к-ть сприятливих результатів m = 26

Ймовірність

б). Твір чисел не перевершує N = 8: к-ть сприятливих результатів m = 16

Ймовірність

в). Твір числа очок ділиться на N = 8: к-ть сприятливих результатів m = 5

Ймовірність

Завдання № 3

Є вироби чотирьох сортів, причому число виробів i - го сорту одно n _i, i = 1, 2, 3, 4.

Для контролю навмання беруться m - виробів. Визначити ймовірність того, що серед них m ₁ першосортних, m _2, m ₃ та m ₄ другого, третього і четвертого сорту відповідно.

Завдання № 4

У ліфт k - поверхового будинку сіли n пассажіроа (n <k). Кожен незалежно від інших з однаковою ймовірністю може вийти на будь-якому (починаючи з другого) поверсі. Визначити ймовірність того, що: а) усі вийшли на різних поверхах, б) принаймні, двоє зійшли на одному поверсі.

k = 11, n = 4

а) Все на різних:

n = 11 ⁴ = 14 641

б) Хоча б два на одному:

Завдання № 5

У двох партіях k ₁ і k _2% доброякісних виробів відповідно. Навмання вибирають по одному виробу з кожної партії. Яка ймовірність виявити серед них:

а) хоча б одне браковане; б) два бракованих; в) одне доброякісне і одне браковане.

k ₁ = 86%, k ₂ = 32%

A ₁ - доброякісні в 1-й партії

A ₂ - доброякісні в 2-й партії

а). одне браковане:

б). два бракованих:

в). Одне доброякісне і одне браковане:

Завдання № 6

З 1000 ламп n _i належать i - партії, i = 1, 2, 3. У першій партії 6%, у другій 5%, в третій 4% бракованих лам. Навмання вибирається одна лампа. Визначити ймовірність того, що обрана лампа - бракована.

n ₁ = 700 n ₂ = 90 n ₃ = 210

p ₁ = 0.06 p ₂ = 0.05 p ₃ = 0.04

Нехай:

H ₁ - взяли з 1-ї партії

H ₂ - взяли з 2-ї партії

H ₃ - взяли з 3-ї партії

Нехай B _i - шлюб з i - й партії =>

Так як

то =>

Завдання № 7

В альбомі k чистих і l гашені марок. З них навмання витягуються m марок (серед яких можуть бути і чисті і гашені), піддаються спецпогашення і повертаються в альбом. Після цього знову навмання витягуються n марок. Визначити ймовірність того, що все n марок чисті.

k = 8, l = 7, m = 3, n = 3

Нехай:

H ₁ - всі чисті марки

H ₂ - 1-чиста, 2-гашені

H ₃ - 2-чисті, 1-гашене

H ₄ - все гашені

По теоремі про повну ймовірності:

Завдання № 8

У магазин поставляють однотипні вироби з трьох заводів, причому i - заводпоставляет m _i% виробів (i = 1, 2, 3). Серед виробів i - го заводу n _1% першосортних. Придбано один виріб.

Воно виявилося першосортних. Визначити ймовірність того, що куплений виріб випущено i - заводом.

m ₁ = 60 m ₂ = 20 m ₃ = 20

n ₁ = 70 n ₂ = 80 n ₃ = 90

Нехай:

H ₁ - поставив перший завод

H ₂ - поставив другий завод

H ₃ - поставив третій завод

Нехай: А - першосортних виробів =>