Контрольна робота
з дисципліни: Теорія ймовірностей
2009р.
Завдання № 1.
Умова:
З 10 виробів, серед яких 4 браковані, витягають 3. Знайти ймовірність того, що серед них одне браковане.
Рішення:
Число N всіх рівноймовірно результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна з 10 деталей вийняти три, тобто числу сполучень із 10 елементів по 3:
За умовами задачі з трьох витягнутих виробів одне браковане, а два придатні. Таким чином m A:
Знайдемо ймовірність події, при якому з 3 витягнутих навмання деталей одна виявиться бракованою:
Відповідь: ймовірність події, при якому з 3 витягнутих навмання деталей одна виявиться бракованою дорівнює 0,5
Завдання № 2
Умова:
Відомі ймовірності незалежних подій А, В і С:
Р (А) = 0,5; Р (В) = 0,4; Р (С) = 0,6.
Визначити ймовірність того, що а) відбудеться принаймні одне з цих подій, б) відбудеться не більше 2 подій.
Рішення:
а) Для того щоб знайти ймовірність того, що станеться хоча б 1 подія, знайдемо ймовірність того, що жодна подія не відбудеться (позначимо цю ймовірність P 0). Оскільки події незалежні за умовою, ймовірність P 0 дорівнює добутку ймовірностей того, що не відбудеться кожне окреме подія.
Таким чином, вірогідність того, що не відбудеться:
подія А: А 0 = 1 - 0,5 = 0,5
подія В: У 0 = 1 - 0,4 = 0,6
подія З: З 0 = 1 - 0,6 - 0,4
Скористаємося правилом множення ймовірностей і отримаємо ймовірність того, що жодна подія не відбудеться:
P 0 = А 0 * В 0 * З 0 = 0,5 * 0,6 * 0,4 = 0,12
Ситуація, при якій не відбудеться жодна подія, і ситуація, при якій відбудеться хоча б одна подія, утворюють повну систему подій. Сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому шукана ймовірність P задовольняє рівнянню:
P + P 0 = 1, звідки випливає, що
P = 1 - P 0 = 1 - 0,12 = 0,88.
б) Для того, щоб знайти ймовірність того, що відбудеться не більше 2 подій, знайдемо ймовірність того, що відбудуться всі три події, і позначимо як Р 1:
Р 1 = А * В * С = 0,5 * 0,4, * 0,6 = 0,12
Ситуація, при якій відбудуться всі 3 події, і ситуація, при якій відбудеться не більше 2 подій (від 0 до 2), складають повну систему подій. Сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому шукана ймовірність P задовольняє рівнянню:
P + Р 1 = 1, звідки випливає, що
P = 1 - Р 1 = 1 - 0,12 = 0,88.
Відповідь:
а) ймовірність того, що відбудеться принаймні одна подія, дорівнює 0,88
б) імовірність того, що відбудеться не більше двох подій, дорівнює 0,88
Завдання № 3
Умова:
Вірогідність попадання в ціль: першого стрілка - 0,6; другого - 0,7; третього - 0,8. Знайти ймовірність хоча б одного влучення в ціль при одночасному пострілі всіх трьох.
Рішення:
Для того щоб знайти ймовірність попадання в ціль хоча б 1 стрілка, знайдемо ймовірність того, що жоден з стрільців не влучить у ціль (позначимо цю ймовірність через P 0). Так як потрапляння різних стрільців в ціль слід вважати незалежними подіями, ймовірність P 0 дорівнює добутку ймовірностей того, що промаже кожен зі стрільців.
Подія, що полягає в тому, що деякий стрілок влучить у ціль, і подія, що полягає в тому, що він промаже, складають повну систему подій. Сума ймовірностей двох цих подію дорівнює одиниці.
Таким чином, вірогідність того, що
А) промаже 1 стрілок дорівнює: 1 - 0,6 = 0,4
Б) промаже 2 стрілок дорівнює: 1 - 0,7 = 0,3
В) промаже 3 стрілок дорівнює: 1 - 0,8 = 0,2
Скористаємося правилом множення ймовірностей і отримаємо ймовірність того, що промажут всі троє стрільців:
P 0 = 0,4 * 0,3 * 0,2 = 0,024
Подія, що полягає в тому, що не потрапить у ціль жоден із стрільців, і подія, що полягає в тому, що потрапить хоча б один, утворюють повну систему подій. Сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому шукана ймовірність P задовольняє рівнянню:
P + P 0 = 1, звідки випливає, що
P = 1 - P 0 = 1 - 0,024 = 0,976
Відповідь: вірогідність попадання в ціль хоча б одного стрільця при одночасному пострілі всіх трьох дорівнює 0,976 (або 97,6%)
Завдання № 4
Умова:
Відомо, що 80% продукції стандартно. Спрощений контроль визнає придатної стандартну продукцію з імовірністю 0,9 і нестандартну з імовірністю 0,3. Знайти ймовірність того, що визнане придатним виріб - стандартно.
Рішення:
1) Знайдемо ймовірність того, що стандартна продукція буде визнана придатною:
Р1 = 0,8 * 0,9 = 0,72 (72% продукції)
2) Знайдемо ймовірність того, що нестандартна продукція буде визнана придатною:
Р2 = 0,2 * 0,3 = 0,06 (6% продукції)
3) Таким чином, спрощений контроль визнає придатної Р1 + Р2 = 0,82 (82% продукції)
4) Знайдемо ймовірність того, що визнане придатним виріб - стандартно:
0,8 * 0,82 = 0,656
Відповідь: вірогідність того, що визнане придатним виріб - стандартно, дорівнює 0,656.
Завдання № 5
Умова:
Є 4 радіолокатора. Імовірність виявити мету для першого - 0,86; для другого - 0,9; для третього - 0,92; для четвертого - 0,95. Включений один з них. Яка ймовірність знайти мета?
Рішення:
Позначимо через А подію - мета виявлена, а можливі події (гіпотези) виявлення цілі 1-м, 2-м, 3-м або 4-м локаторами - через, відповідно, В 1, В 2, В 3 і В 4.
За умовами задачі включений один з чотирьох локаторів, отже, ймовірність виявлення цілі:
Р (В 1) = Р (В 2) = Р (В 3) = Р (В 4) = 1 \ 4.
Відповідні умовні ймовірності (за умовою завдання) виявлення мети рівні:
Р (A | У 1) = 0,86; Р (A | У 2) = 0,9; Р (A | У 3) = 0,92; Р (A | У 4) = 0,95.
Таким чином, згідно з формулою повної ймовірності, шукана ймовірність виявлення цілі дорівнює:
Відповідь: ймовірність виявлення цілі дорівнює 0,9075
Завдання № 1.
Умова:
Відома ймовірність події А: р (А) = 0,3. Дискретна випадкова величина x - число появ А в трьох дослідах. Побудувати ряд розподілу випадкової величини x; знайти її математичне сподівання m x і дисперсію D x.
Рішення:
1) Обчислимо ймовірності р (х i) за формулою Бернуллі:
Таким чином, одержимо ряд розподілу випадкової величини x:
Графічно ряд розподілу випадкової величини x виглядає наступним чином:
2) Знайдемо математичне сподівання m x:
Математичним очікуванням m x дискретної випадкової величини
називається сума парних творів усіх можливих значень випадкової величини на відповідні їм ймовірності, тобто
3) Знайдемо дисперсію D x:
Дисперсією D x дискретної випадкової величини
називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, тобто:
Відповідь:
Ряд розподілу випадкової величини x:
математичне сподівання m x = 0,9;
дисперсія D x = 0,63
Завдання № 2
Умова:
Розподіл дискретної випадкової величини x містить невідомі значення х 1 і х 2 (х 1 <х 2):
Відомі числові характеристики випадкової величини: М x = 3,6; D x = 0,24. Потрібно визначити значення х 1 і х 2.
Рішення:
Оскільки
Для того, щоб знайти х 1 і х 2, необхідно вирішити систему рівнянь:
Висловимо з першого рівняння х 1 і підставимо в друге:
Вирішуємо друге рівняння:
Помножимо весь рядок на 5:
Помножимо весь рядок на 2:
Розділимо на 3:
Враховуючи умова х 1 <х 2, отримуємо, що підходить тільки 1 варіант.
Відповідь: х 1 = 3, х 2 = 4
Завдання № 3
Умова
Щільність ймовірності неперервної випадкової величини x задана наступним виразом:
якщо 0 <x <1, при інших х
Знайти постійну С, функцію розподілу F (x), математичне сподівання М x і дисперсію D x випадкової величини x.
Рішення:
Властивість щільності розподілу:
Отримуємо, що С = 3.
Математичне сподівання:
Дисперсія:
Відповідь: З = 3, М = ѕ, D = 3 / 80
Завдання № 4.
Умова:
Випадкова величина x має нормальний розподіл з математичним очікуванням a = 56 і середньоквадратичним відхиленням s = 8. Знайти інтервал, симетричний відносно математичного сподівання, вірогідність попадання в який дорівнює Р = 0,95
Рішення:
Оскільки, за умовою задачі, випадкова величина x має нормальний розподіл, а також відома ймовірність Р = 0,95, то є можливим використання правила трьох сигм, а саме даної його частини:
Підставивши наявні за умовою завдання дані, отримаємо наступний інтервал, симетричний відносно математичного сподівання:
Відповідь:
Завдання № 5.
Умова:
Відомо розподіл системи двох дискретних величин (x, h).
Визначити приватні, умовні (при x = 1, h = 0) розподілу та числові характеристики системи випадкових величин m x, D x, m h, D h, K x, h, r x, h; а також знайти ймовірність попадання двовимірної випадкової величини (x, h) в область
Рішення:
Приватне розподіл для x виходить підсумовуванням ймовірностей у стовпцях:
Р (x = 1) = Р (x = 1, h = 0) + Р (x = 1, h = 1) + Р (x = 1, h = 2) = 0,16 + 0,08 + 0, 06 = 0,3
Р (x = 2) = Р (x = 2, h = 0) + Р (x = 2, h = 1) + Р (x = 2, h = 2) = 0,12 + 0,10 + 0, 04 = 0,26
Р (x = 3) = Р (x = 3, h = 0) + Р (x = 3, h = 1) + Р (x = 3, h = 2) = 0,14 + 0,09 + 0, 03 = 0,26
Р (x = 4) = Р (x = 4, h = 0) + Р (x = 4, h = 1) + Р (x = 4, h = 2) = 0,08 + 0,08 + 0, 02 = 0,18
Приватне розподіл для h виходить підсумовуванням ймовірностей у рядках:
Р (h = 0) = Р (h = 0, x = 1) + Р (h = 0, x = 2) + Р (h = 0, x = 3) + Р (h = 0, x = 4) = 0,16 + 0,12 + 0,14 + 0,08 = 0,5
Р (h = 1) = Р (h = 1, x = 1) + Р (h = 1, x = 2) + Р (h = 1, x = 3) + Р (h = 1, x = 4) = 0,08 + 0,10 + 0,09 + 0,08 = 0,35
Р (h = 2) = Р (h = 2, x = 1) + Р (h = 2, x = 2) + Р (h = 2, x = 3) + Р (h = 2, x = 4) = 0,06 + 0,04 + 0,03 + 0,02 = 0,15
Отримані дані можна представити у вигляді таблиці:
Обчислимо математичне сподівання m x:
Обчислимо математичне сподівання m h:
Обчислимо дисперсію D x:
Обчислимо дисперсію D h:
Умовне розподіл x / h = 0:
Умовний розподіл h / x = 1:
Обчислимо ковариацию K x, h:
Обчислимо коефіцієнт кореляції r x, h:
Вірогідність потрапляння двовимірної випадкової величини (x, h) в область:
До необхідного умові підходять тільки точки (1; 0) і (2;)
Відповідь: m x = 2,32, D x = 1,1776, m h = 0,80, D h = 1,06, K x, h = - 0,056, r x, h = - 0,0501.
Вірогідність потрапляння двовимірної випадкової величини (x, h) в область:
з дисципліни: Теорія ймовірностей
2009р.
Контрольна робота № 1
Варіант 1.Завдання № 1.
Умова:
З 10 виробів, серед яких 4 браковані, витягають 3. Знайти ймовірність того, що серед них одне браковане.
Рішення:
Число N всіх рівноймовірно результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна з 10 деталей вийняти три, тобто числу сполучень із 10 елементів по 3:
За умовами задачі з трьох витягнутих виробів одне браковане, а два придатні. Таким чином m A:
Знайдемо ймовірність події, при якому з 3 витягнутих навмання деталей одна виявиться бракованою:
Відповідь: ймовірність події, при якому з 3 витягнутих навмання деталей одна виявиться бракованою дорівнює 0,5
Завдання № 2
Умова:
Відомі ймовірності незалежних подій А, В і С:
Р (А) = 0,5; Р (В) = 0,4; Р (С) = 0,6.
Визначити ймовірність того, що а) відбудеться принаймні одне з цих подій, б) відбудеться не більше 2 подій.
Рішення:
а) Для того щоб знайти ймовірність того, що станеться хоча б 1 подія, знайдемо ймовірність того, що жодна подія не відбудеться (позначимо цю ймовірність P 0). Оскільки події незалежні за умовою, ймовірність P 0 дорівнює добутку ймовірностей того, що не відбудеться кожне окреме подія.
Таким чином, вірогідність того, що не відбудеться:
подія А: А 0 = 1 - 0,5 = 0,5
подія В: У 0 = 1 - 0,4 = 0,6
подія З: З 0 = 1 - 0,6 - 0,4
Скористаємося правилом множення ймовірностей і отримаємо ймовірність того, що жодна подія не відбудеться:
P 0 = А 0 * В 0 * З 0 = 0,5 * 0,6 * 0,4 = 0,12
Ситуація, при якій не відбудеться жодна подія, і ситуація, при якій відбудеться хоча б одна подія, утворюють повну систему подій. Сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому шукана ймовірність P задовольняє рівнянню:
P + P 0 = 1, звідки випливає, що
P = 1 - P 0 = 1 - 0,12 = 0,88.
б) Для того, щоб знайти ймовірність того, що відбудеться не більше 2 подій, знайдемо ймовірність того, що відбудуться всі три події, і позначимо як Р 1:
Р 1 = А * В * С = 0,5 * 0,4, * 0,6 = 0,12
Ситуація, при якій відбудуться всі 3 події, і ситуація, при якій відбудеться не більше 2 подій (від 0 до 2), складають повну систему подій. Сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому шукана ймовірність P задовольняє рівнянню:
P + Р 1 = 1, звідки випливає, що
P = 1 - Р 1 = 1 - 0,12 = 0,88.
Відповідь:
а) ймовірність того, що відбудеться принаймні одна подія, дорівнює 0,88
б) імовірність того, що відбудеться не більше двох подій, дорівнює 0,88
Завдання № 3
Умова:
Вірогідність попадання в ціль: першого стрілка - 0,6; другого - 0,7; третього - 0,8. Знайти ймовірність хоча б одного влучення в ціль при одночасному пострілі всіх трьох.
Рішення:
Для того щоб знайти ймовірність попадання в ціль хоча б 1 стрілка, знайдемо ймовірність того, що жоден з стрільців не влучить у ціль (позначимо цю ймовірність через P 0). Так як потрапляння різних стрільців в ціль слід вважати незалежними подіями, ймовірність P 0 дорівнює добутку ймовірностей того, що промаже кожен зі стрільців.
Подія, що полягає в тому, що деякий стрілок влучить у ціль, і подія, що полягає в тому, що він промаже, складають повну систему подій. Сума ймовірностей двох цих подію дорівнює одиниці.
Таким чином, вірогідність того, що
А) промаже 1 стрілок дорівнює: 1 - 0,6 = 0,4
Б) промаже 2 стрілок дорівнює: 1 - 0,7 = 0,3
В) промаже 3 стрілок дорівнює: 1 - 0,8 = 0,2
Скористаємося правилом множення ймовірностей і отримаємо ймовірність того, що промажут всі троє стрільців:
P 0 = 0,4 * 0,3 * 0,2 = 0,024
Подія, що полягає в тому, що не потрапить у ціль жоден із стрільців, і подія, що полягає в тому, що потрапить хоча б один, утворюють повну систему подій. Сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому шукана ймовірність P задовольняє рівнянню:
P + P 0 = 1, звідки випливає, що
P = 1 - P 0 = 1 - 0,024 = 0,976
Відповідь: вірогідність попадання в ціль хоча б одного стрільця при одночасному пострілі всіх трьох дорівнює 0,976 (або 97,6%)
Завдання № 4
Умова:
Відомо, що 80% продукції стандартно. Спрощений контроль визнає придатної стандартну продукцію з імовірністю 0,9 і нестандартну з імовірністю 0,3. Знайти ймовірність того, що визнане придатним виріб - стандартно.
Рішення:
1) Знайдемо ймовірність того, що стандартна продукція буде визнана придатною:
Р1 = 0,8 * 0,9 = 0,72 (72% продукції)
2) Знайдемо ймовірність того, що нестандартна продукція буде визнана придатною:
Р2 = 0,2 * 0,3 = 0,06 (6% продукції)
3) Таким чином, спрощений контроль визнає придатної Р1 + Р2 = 0,82 (82% продукції)
4) Знайдемо ймовірність того, що визнане придатним виріб - стандартно:
0,8 * 0,82 = 0,656
Відповідь: вірогідність того, що визнане придатним виріб - стандартно, дорівнює 0,656.
Завдання № 5
Умова:
Є 4 радіолокатора. Імовірність виявити мету для першого - 0,86; для другого - 0,9; для третього - 0,92; для четвертого - 0,95. Включений один з них. Яка ймовірність знайти мета?
Рішення:
Позначимо через А подію - мета виявлена, а можливі події (гіпотези) виявлення цілі 1-м, 2-м, 3-м або 4-м локаторами - через, відповідно, В 1, В 2, В 3 і В 4.
За умовами задачі включений один з чотирьох локаторів, отже, ймовірність виявлення цілі:
Р (В 1) = Р (В 2) = Р (В 3) = Р (В 4) = 1 \ 4.
Відповідні умовні ймовірності (за умовою завдання) виявлення мети рівні:
Р (A | У 1) = 0,86; Р (A | У 2) = 0,9; Р (A | У 3) = 0,92; Р (A | У 4) = 0,95.
Таким чином, згідно з формулою повної ймовірності, шукана ймовірність виявлення цілі дорівнює:
Відповідь: ймовірність виявлення цілі дорівнює 0,9075
Контрольна робота № 2
Варіант 1.Завдання № 1.
Умова:
Відома ймовірність події А: р (А) = 0,3. Дискретна випадкова величина x - число появ А в трьох дослідах. Побудувати ряд розподілу випадкової величини x; знайти її математичне сподівання m x і дисперсію D x.
Рішення:
1) Обчислимо ймовірності р (х i) за формулою Бернуллі:
Таким чином, одержимо ряд розподілу випадкової величини x:
| Значення x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Ймовірності р (х i) | 0,343 | 0,441 | 0,189 | 0,027 |
2) Знайдемо математичне сподівання m x:
Математичним очікуванням m x дискретної випадкової величини
3) Знайдемо дисперсію D x:
Дисперсією D x дискретної випадкової величини
Відповідь:
Ряд розподілу випадкової величини x:
| Значення x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Ймовірності р (х i) | 0,343 | 0,441 | 0,189 | 0,027 |
дисперсія D x = 0,63
Завдання № 2
Умова:
Розподіл дискретної випадкової величини x містить невідомі значення х 1 і х 2 (х 1 <х 2):
| x i | х 1 | х 2 |
| р i | 0,4 | 0,6 |
Рішення:
Оскільки
Для того, щоб знайти х 1 і х 2, необхідно вирішити систему рівнянь:
Висловимо з першого рівняння х 1 і підставимо в друге:
Вирішуємо друге рівняння:
Помножимо весь рядок на 5:
Помножимо весь рядок на 2:
Розділимо на 3:
Враховуючи умова х 1 <х 2, отримуємо, що підходить тільки 1 варіант.
Відповідь: х 1 = 3, х 2 = 4
Завдання № 3
Умова
Щільність ймовірності неперервної випадкової величини x задана наступним виразом:
якщо 0 <x <1, при інших х
Знайти постійну С, функцію розподілу F (x), математичне сподівання М x і дисперсію D x випадкової величини x.
Рішення:
Властивість щільності розподілу:
Отримуємо, що С = 3.
Математичне сподівання:
Дисперсія:
Відповідь: З = 3, М = ѕ, D = 3 / 80
Завдання № 4.
Умова:
Випадкова величина x має нормальний розподіл з математичним очікуванням a = 56 і середньоквадратичним відхиленням s = 8. Знайти інтервал, симетричний відносно математичного сподівання, вірогідність попадання в який дорівнює Р = 0,95
Рішення:
Оскільки, за умовою задачі, випадкова величина x має нормальний розподіл, а також відома ймовірність Р = 0,95, то є можливим використання правила трьох сигм, а саме даної його частини:
Підставивши наявні за умовою завдання дані, отримаємо наступний інтервал, симетричний відносно математичного сподівання:
Відповідь:
Завдання № 5.
Умова:
Відомо розподіл системи двох дискретних величин (x, h).
| x h | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 0,16 | 0,12 | 0,14 | 0,08 |
| 1 | 0,08 | 0,10 | 0,09 | 0,08 |
| 2 | 0,06 | 0,04 | 0,03 | 0,02 |
Рішення:
Приватне розподіл для x виходить підсумовуванням ймовірностей у стовпцях:
Р (x = 1) = Р (x = 1, h = 0) + Р (x = 1, h = 1) + Р (x = 1, h = 2) = 0,16 + 0,08 + 0, 06 = 0,3
Р (x = 2) = Р (x = 2, h = 0) + Р (x = 2, h = 1) + Р (x = 2, h = 2) = 0,12 + 0,10 + 0, 04 = 0,26
Р (x = 3) = Р (x = 3, h = 0) + Р (x = 3, h = 1) + Р (x = 3, h = 2) = 0,14 + 0,09 + 0, 03 = 0,26
Р (x = 4) = Р (x = 4, h = 0) + Р (x = 4, h = 1) + Р (x = 4, h = 2) = 0,08 + 0,08 + 0, 02 = 0,18
Приватне розподіл для h виходить підсумовуванням ймовірностей у рядках:
Р (h = 0) = Р (h = 0, x = 1) + Р (h = 0, x = 2) + Р (h = 0, x = 3) + Р (h = 0, x = 4) = 0,16 + 0,12 + 0,14 + 0,08 = 0,5
Р (h = 1) = Р (h = 1, x = 1) + Р (h = 1, x = 2) + Р (h = 1, x = 3) + Р (h = 1, x = 4) = 0,08 + 0,10 + 0,09 + 0,08 = 0,35
Р (h = 2) = Р (h = 2, x = 1) + Р (h = 2, x = 2) + Р (h = 2, x = 3) + Р (h = 2, x = 4) = 0,06 + 0,04 + 0,03 + 0,02 = 0,15
Отримані дані можна представити у вигляді таблиці:
| x h | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 0 | 0,16 | 0,12 | 0,14 | 0,08 | 0,5 |
| 1 | 0,08 | 0,10 | 0,09 | 0,08 | 0,35 |
| 3 | 0,06 | 0,04 | 0,03 | 0,02 | 0,15 |
| 0,3 | 0,26 | 0,26 | 0,18 |
Обчислимо математичне сподівання m h:
Обчислимо дисперсію D x:
Обчислимо дисперсію D h:
Умовне розподіл x / h = 0:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x | 0 | 1 | 3 |
Обчислимо ковариацию K x, h:
Обчислимо коефіцієнт кореляції r x, h:
Вірогідність потрапляння двовимірної випадкової величини (x, h) в область:
| x h | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 0,16 | 0,12 | 0,14 | 0,08 |
| 1 | 0,08 | 0,10 | 0,09 | 0,08 |
| 2 | 0,06 | 0,04 | 0,03 | 0,02 |
Відповідь: m x = 2,32, D x = 1,1776, m h = 0,80, D h = 1,06, K x, h = - 0,056, r x, h = - 0,0501.
Вірогідність потрапляння двовимірної випадкової величини (x, h) в область: