Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

t 1,

якщо в початковий момент часу, при

t 0,

лічильник був справ-

ним, але не експлуатувався.

Розв’язання

Оскільки лічильник може змінювати свої стани у випадкові мо- менти часу, а в кожний момент часу він може перебувати в одному зі

станів

s₁ ,

s₂ ,

s₃ ,

то процес, який відбувається в системі

S, є дискретним

випадковим процесом з неперервним часом. Вказаний процес можна вважати процесом Маркова, оскільки стан лічильника в майбутньому істотно залежить від його стану в теперішній момент часу, а несуттєво – від його стану в минулому. Згідно з припущенням про незалежність щільностей ймовірностей переходів робимо висновок, що процес од- норідний.

За розміченим графом станів системи складемо матрицю щільно- стей ймовірностей переходів, яка матиме вигляд

_ 0 2 0 _


 
  ^ 1 0 2 ^.


 
^ 0 0 0 ^

Знайдемо ймовірності станів системи

^p1 ^t<sup>,

p2</sup> ^t<sup>,

p3</sup> ^t

як фун-

кції часу t. Складемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова:

^{ dp1} ^t _{ 2 p}


^t ^{ p}

^t^,


 _dt ^{1 2}

^{ dp2 t  3 p}^t ^{ 2 p}



^t^,
(2.15)


^ _dt 2 1

^{ dp3} ^t _{ 2 p}


^t^.


^ dt ²

Оскільки в початковий момент часу (при t 0) лічильник був спра-

^{вний, але не експлуатувався, то p1} ⁰ ^{ 1, p2} ⁰ ^{ 0, p3} ⁰ ^{ 0.}

^{Перші два рівняння системи (2.15) не містять функції p3} ^t^,

тому

розглянемо їх як систему двох рівнянь з двома невідомими функціями

^p1 ^t

^{і p2} ^t<sup>:

 dp1</sup> ^t _{ 2 p}


^t ^{ p}
^t ^{ 0,}

_{ dt 1} ²

^{ dp}^t

(2.16)

^{ 2  2 p}^t ^{ 3p}

^t ^{ 0.}

_{ dt1} ²

Розв’язок системи (2.16) будемо шукати у вигляді

^p^t ^{ }

_et_,

^p^t ^{ }

_et_,

де , 

1 1

, – невідомі сталі, які потрібно знайти. Після

2 2 1 2

підстановки значень

^p1 ^t<sup>,

p2</sup> ^t

в систему (2.16) і виконання пере-

творень отримаємо лінійну однорідну систему двох алгебраїчних рів-

нянь з невідомими ₁ і ₂:

^^{2  } ^₁ ^{ } ₂ ^{ 0,}


^{2} ^{3  }^{  0.}

1 2

(2.17)

Система (2.17) має ненульовий розв’язок, якщо

2   1

звідки

2 3  

 0 .

 ²  5 4  0,

₁  4, ₂  1.

Якщо

  ₂  4,

то система (2.17) має вигляд
_ 2₁  ₂  0,



1
^ 2   0,

2

звідки ₂  2₁.

Зокрема, якщо

 ₁  1, то

 ₂  2.

Отже,

1

2
p⁽¹⁾ (t)  e^4t,

p⁽¹⁾ (t)  2e^4t.

(2.18)

Аналогічно, якщо

  ₁  1,

то система (2.17) має вигляд

_ ₁  ₂  0,



^2 2  0,

1 2

звідки

 ₂  ₁.

Зокрема, якщо

 ₁  1, то

 ₂  1.

Отже,

1
p⁽²⁾ (t)  e^t,

p⁽²⁾ (t)  e^t.

(2.19)

2
Використовуючи (2.18), (2.19), знайдемо загальний розв’язок сис- теми (2.16):
^{ p}^t ^{ Cp(1)} ^t ^{ Cp(2)} ^t ^{ Ce4t Cet,}

_ 1 1 1 2 1 1 2

(2.20)

^p^t ^{ Cp(1)} ^t ^{ Cp(2)} ^t ^{ 2Ce4t Cet}

_ 2 1 2 2 2 1 2

де C₁, C₂

• 
  довільні сталі.
  

звідки

C ¹ ,

1 ₃

C ² .

2 ₃

Підставивши ці значення в (2.20), отримаємо

частинний розв’язок системи (2.16), що задовольняє початкові умови:



_ p₁

^t ^{ 1 e4t 2 et,}

3 3



^{ p}^t ^{ 2}



_e4t_

² _et_.

^{ 2} 3 3

Оскільки


_ ^pi ^t ^{ 1, то}

i 1

p_t_  1  _ p_t_  p_t_  ¹ e^4t ⁴ e^t 1.



3 1 2 _{3 3}

Зауважимо, що няння системи (2.15).

Таким чином,

^p3 ^t

можна було також знайти з третього рів-



_ p₁



^t  ^{ 1 e4t 2 et ,} 3 3

2 2

^{ p}^t ^

_e4t<sub>

e</sub>t _,



(2.21)


^{ 2} 3 3



^{ p}^t ^{ 1 e4t 4 et 1.}

_^{ 3} 3 3

Отже, ймовірності станів системи S у момент часу нюють

t 1

дорів-

^p¹ <sup> 1 e4  2 e1  0, 252,

1</sup> 3 3

^p¹ <sup> 2 e4  2 e1  0, 234,

2</sup> 3 3

^p¹ <sup> 1 e4  4 e1  1  0,514.

3</sup> 3 3

того, що в момент часу

t 1

лічильник

• 
  був справним, але не експлуатувався, наближено дорівнює 0, 252;
  
• 
  був справним та експлуатувався, наближено дорівнює 0, 234;
  
• 
  був несправний, наближено дорівнює 0,514.
  

Отже, для заданих умов якість роботи лічильника на момент часу

t 1

потребує покращення.

3. Стаціонарний режим. Граничні ймовірності станів

системи

У випадку застосування теорії марковських процесів до досліджен- ня фінансово-економічних систем розглядаються процеси, які відбува- ються в системах протягом достатньо великого проміжку часу, тобто

коли початкові умови вже не мають значного впливу на перебіг проце- су. За таких умов виникає питання про граничні ймовірності станів сис-

^{теми pi}^t ^{при t . В окремих випадках у системі може встанови-}

тися граничний стаціонарний режим процесу, коли ймовірності станів системи не залежать ні від часу, ні від початкового розподілу ймовір- ностей.

Нехай у системі Sз дискретними станами

s₁ , s₂ , ,

s_n відбува-

ється марковський процес із неперервним часом. Якщо всі потоки по- дій, що переводять систему зі стану в стан, є найпростішими (стаціонар-

ними пуассонівськими потоками зі сталими інтенсивностями _ij), в

окремих випадках існують граничні(фінальні)ймовірностістанів

i i
^{p lim p}^t^,

t

i 1, 2, 3, , n,

(2.22)

які не залежать від того, у якому стані знаходилася система Sу поча- тковий момент. Це означає, що в системі встановився граничний ста-ціонарнийрежим, при якому система переходить зі стану в стан, але

ймовірності станів вже не змінюються.

Означення. Ймовірності станів системи в граничному стаціонар- ному режимі називаються граничними(фінальними,стаціонар-

ними)ймовірностямиіпозначаються p₁ , p₂ , , p_n, а вектор

^p  ^{p1, p2, , pk, }^{, координатами якого є граничні ймовірно-}

сті, називається граничним(фінальним,стаціонарним)вектором.

Для марковського процесу з неперервним часом умови існування граничного стаціонарного режиму визначає наступна теорема.

_ p_i 1.

i1

(2.23)

Нагадаємо, що система називається ергодичною, якщо з будь-якого стану за скінченне число кроків може перейти в будь-який інший стан. Наприклад, граф станів ергодичної системи показано на рис. 2.3,

а на рис. 2.4 – граф неергодичної системи.

Рисунок 2.3

Граничну ймовірність

Рисунок 2.4

p_i можна розглядати як середній відносний

час перебування системи Sу стані s_i

після того, як у системі встанови-

вся граничний стаціонарний режим.

^{ } ij^{ p}i^

_  _jip_j 0, i 1, 2, , n.

(2.24)

_ j 1, j i _

j 1, j i

^{Однорідна система (2.24) має безліч ненульових розв’язків}  <sup>p1,

p2 , , pn</sup>^{. З цих розв’язків потрібно знайти той, що задовольняє нор-}

мувальнуумову(2.23).

Запишемо систему (2.24) у вигляді

n n

^{ }ij^pi^

_  _jip_j, i 1, 2, , n.

(2.25)

j 1, ji j 1, j  i

Скласти систему (2.25) можна, користуючись таким правилом.

n

ПравилоІ.Сума



j1, j i

^ij^pi

добутків щільностей ймовірностей

переходів

^ij

зі стану s_i

в інші стани s_j

n

на граничні ймовірності p_i

стану s_i

дорівнює сумі



j1, j i

^ ji^pj

добутків щільностей ймовірностей

переходів

^ ji

зі станів s_j

у стан s_i

на граничні ймовірності p_j

ста-

нів

s_j ,

тобто для кожного стану сумарний вихідний потік ймовірності

дорівнює сумарному вхідному потоку.

Наприклад, для системи на рис. 2.5,

S, розмічений граф станів якої показано

Рисунок 2.5

_

  _ p  

p  p,

_ 21 24 2 12 1 42 4

^{ }34 ^{ }35 ^{ p}3

 ₁₃ p₁ ,

^ p   p  p  p,

_ 42 4 24 2 34 3 54 5

^ ^54 ^p5

 ₃₅ p₃ .

Систему (2.24) можна скласти за матрицею щільностей ймовірно- стей переходів

^{ }11

^12

 _1i

 _1n

^       ^

_ 21 22 2i 2n_

       

  _{  }

    ^

_ i1 i2 ii in_

^       <sup>

</sup>       ^

 n1 n2 ni nn

ПравилоІІ.Для того, щоб скласти

n

i-те

рівняння системи (2.25)

за матрицею

, необхідно суму



j 1, j i

^ij ^pi

добутків елементів

i-го

рядка матриці ^ на граничну ймовірність p_i

n

дорівняти до суми

1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   36

скачати