Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

^{ p} ^t ^ ^k1^p ^t ^{ kp}

^t^,

^ k k1 k

(3.25)


^k 1, 3, , n1,

_^{ pn} ^t ^ ^n1^{ pn1} ^t^.

Згідно з (3.18)

1
^p^t ^{ et,}
t 0.

Використовуючи рекурентну формулу (3.22), отримаємо
t t t

k 2  p

^t <sup> e2t

 p</sup>^ ^e2d

_{ e}2t

_e_{ e}2<sub>d

 e</sub>2t

e^d

²  ¹  

0 0 0

 e^2t _e^t1_  e^t_1  e^t_ ;
t t

k 3  p₃

^t ^{ e3t}

_ 2p₂

^ ^e3d

_{ e}3t

_ 2 e^_1  e^_e^3d

0 0

t t

 2e^3t_ e^2 _1  e^_d 2e^3t_{ }e^2 e^_d

2e^3t

0 0





_ ^{ 1} _e2t_ ¹ _ ¹ _et_ ^{1 } _{ e}t_{1  2e}t_{ e}2t_{  e}t_{1  e}t_² _.

^ 2 2  ^

 

Аналогічно

p_t_  e^t_1  e^t_k 1 ,
t 0, 1  k n1.

k
Таким чином, процесчистогорозмноженнязінтенсивністю

^{  kв момент часу tє випадкове число народжень X}^t <sup>в інтер-

валі</sup> ^{0; t}^{, яке розподілене за геометричним законом з ймовірністю ус-}

піху p e^t. Отже,

n1

• 
  ^pn^t ^{ 1 } _ ^pk^t^,
  

k 1

n ;

• 
  M_ Xt_  ¹
  

p

 e^t;

• 
  
  _p2
  D_ X_t_  ^1p e^t_1  e^t_.
  

2. 
   Процесичистоговимирання
   

Розглянемо процес експлуатації деяких виробів (банкоматів, авто-

^{машин, комп’ютерів тощо) на підприємстві. Нехай X}^t ^{– число}

виробів, які знаходяться в експлуатації на момент часу t, при цьому

^X⁰ ^{ nта X}^t ^{набуває значень k n, n 1, , 0. Припустимо, що}

нові вироби на підприємство не надходять, а ті, що виходять з ладу, –

списуються. Вважаємо, що потік списаних виробів – найпростіший з

параметром _k.

випадкового процесу

^X^t^.

Зазначений процес моделюється процесом чистого вимирання, розмічений граф якого зображено на рис. 3.6. Система диференціаль- них рівнянь Колмогорова (3.16) матиме вигляд
^{ p} ^t ^{ p}^t^, 

n n n

^{ p} ^t ^{  p} ^t ^{ p}

^t^,

^ k k 1 k 1 k k

(3.26)


^k 1, 3, , n1,

_^{ p0} ^t ^{ 1 p1} ^t^,

з початковою умовою

^pn ⁰ ^{ 1.}

Знайдемо розв’язок

n-го

рівняння системи, що задовольняє почат-

кову умову

^pn⁰ ^{ 1:}

dp_ndt

 

_np_n,

dp_np_n

 _n

dt,


dp_np_n

 _ _n

dt,

ln p_n _nt ln C,

ln ^pn

C

 _nt,

n
^p ^t ^{ C ent,}
тоді, враховуючи початкову умову, маємо


n
^p⁰ ^{ 1  1  C e0  C 1.}

гляд

Отже, частинний розв’язок

n-го

рівняння системи (3.26) має ви-

n
^p^t ^{ ent,}

t 0.

(3.27)

Розглянемо

k-те

рівняння системи (3.26),

k 1, 3, ,

n 1

та знай-

демо його розв’язок методом варіації довільної сталої. Розв’яжемо спо- чатку відповідне однорідне рівняння

^pk ^t ^{ kpk}^t <sup> 0,

pk</sup> ^t ^{ kpk}^t^,

dp_k

 dt,

k
 _pk 

ln p_k

ln ^pk

C_k

 _kt ln C_k,

 _kt,

k k
^p^t <sup> C ekt.

Нехай Ck Ck</sup>^t^{, тоді}


k k
^p^t ^{ C}^t ^{ ekt,}


(3.28)

звідки

k k k k
^p ^t ^{ C} ^t ^{ ekt  C}
^t ^ekt.

Після підстановки значень

^pk^t

^{і pk} ^t

в k-те

рівняння маємо

k k k 1
^C ^t^{ ekt   C}^k <sup>ekt  

p</sup>k1

^t ^{ kCk}

^t ^ekt,

k k 1
^C ^t <sup> ekt  

p</sup>k1

^t^,

Таким чином,

^C_k^ ^t ^{ }_k1

^pk1

^t^ekt.

^C_k^ ^t ^{ }_k1

^pk1

^t ^ekt.

(3.29)

Проінтегрувавши обидві частини рівності (3.29) від 0 до t,

мемо

мати-

^Ck^t ^{ Ck}

⁰ ^

t

_ ^k 1 0

t
^pk 1

^  ^{ek d ,}

(3.30)

^Ck^t ^{ Ck}

⁰ ^

_ ^k 1 0

^pk1

^  ^{ek d .}

^{Ураховуючи значення Ck}^t

(3.30), розв’язок (3.28) матиме вигляд

^ t  ^  

^pk^t ^ _ ^Ck



⁰ ^

_ ^k 1 0

^pk 1

^  <sup>e

k</sup>d_  e



_kt_.

Згідно з початковою умовою

^pk⁰ ^{ Ck}⁰ ^{ 0.}

Отже, для 1  k

 n 1

отримаємо рекурентну формулу

t


k
^p^t ^{ ekt} _

0

^k 1

^pk 1

^ ^{ek d .}
(3.31)

яка разом з (3.27) дозволяє послідовно знайти ймовірності

^pn^t^{, pn1} ^t^,

...,

^p1 ^t^,

а також



n1

^p0 ^t ^{ 1  pk}^t^.

k 0

(3.32)

Математичне сподівання та дисперсію випадкового процесу знаходять, використовуючи формули

^X^t

n
m_xt_  M_ X_t_  _kp_kt_;

k1

_t_  D_ X_t_  _ kp
n


D
2

x k

k 1

_t_  M² _ X_t_.

Розглянемо окремі випадки процесу чистого вимирання.

І. Процес чистого вимирання з інтенсивністю

_k ,

1  k n.

Розглянемо процес чистого вимирання зі сталою інтенсивністю

_k (пуассонівськийпроцесчистоговимирання), розмічений граф

якого зображено на рис. 3.9.



1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   36

скачати