1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   36
Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати
Рисунок 3.2

Матриця щільностей ймовірностей переходів процесу розмножен- ня та вимирання має вигляд:
0 12 0  0  0

 0  0  0

21 23

0 32 0  0  0 

       .

(3.1)

 


0

0

0



0

0

0





n1n2 0 n1n


0



0


nn1
Користуючись правилом складання системи диференціальних рі- внянь Колмогорова (див. теорему 2.1), отримаємо систему диференці-

альних рівнянь для ймовірностей станів p1 t, p2 t, , pnt :

p1 t 12 p1 t 21 p2 t,

p t pt p t

k kk 1 kk 1 k k1k k1

(3.2)

p t, k 2, 3, , n1,

k 1k k 1



pn t nn 1 pnt n1npn 1 t.

Зауважимо, що якщо марковський процес є однорідним (стаціо-

нарні пуассонівські потоки), то щільності ймовірностей переходів (ін-

тенсивності потоків)

ij

у системі (3.2) не залежать від часу

t; якщо

марковський процес неоднорідний, то ij

є функціями часу: ij ij t.

Для інтегрування системи (3.2) необхідно задати початкові ймовір-

n

ності

p1 0,

p2 0, , pn0, які задовольняють умову

pi0 1.

i1

Розв’язок системи (3.2) також у будь-який момент часу tповинен задовольняти нормувальнуумову:

p1 t p2 t pnt 1.

Аналіз розміченого графа (див. рис. 3.2) показує, що система Sє ергодичною; усі потоки, які переводять систему зі стану в стан, – най- простіші, тому за теоремою 2.2 робимо висновок про існування грани-

чних ймовірностей станів

p1 ,

p2 , , pn.

Теорема 3.1. Граничні ймовірності станів

p1 ,

p2 , , pn

процесу

розмноження і вимирання з неперервним часом обчислюються за та- кими формулами:

n 1

p1 1 k ,
(3.3)



k 2


p
k k

p1 ,

k 2, , n

де

12 23 k 1k
, k 2, , n.
(3.4)

k 

kk 1 k1k 2 21

Доведення

За розміченим графом станів системи, у якій відбувається процес розмноження та вимирання (див. рис. 3.2), складемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

12 p1 21 p2 0,

p p p 0,

kk1



kk1

k k1kk1

k1kk1

(3.5)

k 2, 3,, n 1,

nn1 pn n1npn1 0.

Матриця коефіцієнтів при невідомих системи (3.5) має вигляд

12

21 0 

0 0 0

   0 0 0

12 21 32

 0 23

23 34

0 0 0 

      

 

0 0 0

0 0 0

n2 n3 n2 n1



n1n2 0

 

n2 n1

n1n2

n1n nn1

0 0 0  0

n1n

nn1

 

Виконаємо елементарні перетворення:

  • 1-й рядок додамо до 2-го рядка;

  • отриманий 2-й рядок додамо до третього рядка і т.д.;

  • отриманий n1 рядок додамо до n-го рядка.

У результаті перетворень отримаємо матрицю:

12

21

0 0

0 0 0


0


23 32 0 

0 0 0



 0 0

34

43

0 0 0 

        .

(3.6)

 

0 0 0 0


0

0

0

0



0

0

0

0

0



0





n2 n1

n1n2 0



n1n nn1

0 0

 

За матрицею (3.6) запишемо систему лінійних рівнянь для грани-

чних ймовірностей станів

p1 ,

p2 , , pn :

12 p1 21 p2 0,

 p p 0,

23 2 32 3

34 p3 43 p4 0,



(3.7)

n2 n1 pn2 n1n2 pn1 0,

p p 0.

n1n n1 nn1 n

Нормувальна умова для ймовірностей

p1 ,

p2 , , pn

має вигляд


p1 p2 p3  pn 1.

З першого рівняння системи (3.7), враховуючи (3.4) при k 2,

(3.8)
маємо




p12 pp.


(3.9)

2 1 2 1

21
З другого рівняння системи (3.7), враховуючи (3.9) і (3.4) при

k 3,

маємо

p 12 23 p


p.

(3.10)

3 1 3 1

32 21

З третього рівняння системи (3.7), враховуючи (3.10) і (3.4) при

k 4,

маємо

p 12 23 34 p


p.

(3.11)

4

1 4 1

43 32 21

Виконуючи аналогічні перетворення, отримаємо


p 12 23 n1n

p p.
(3.12)

n  1 n 1

nn1 n1n2 21

Отже, справедливість формули

pk k p1, k 2, , n

доведена.

Підставивши (3.9), (3.10), (3.12) в нормувальну умову (3.8), отри- маємо

звідки

p1 2 p1 3 p1  np1 1,

p1 1 2 3  np 1,

n 1

p1 1 k .

k2 

Таким чином, теорема доведена.

Зауважимо, що у формулах (3.3) всі граничні ймовірності вираже-

ні через граничну ймовірність

p1.

При розв’язуванні системи (3.7) їх

можна було виразити і через іншу граничну ймовірність.

Достатньо часто нумерацію станів системи Sпочинають не з оди-

ниці, а з нуля:

s0 ,

s1 , ,

sn.

У цьому випадку формули (3.3) і (3.4) на-

бувають вигляду



n1

p0 1 k ,

(3.13)

k1

p p, k 1, , n

k k 0

де

01 12 k1k

, k 1, , n.
(3.14)

k 

kk1 k1k2 10

Аналіз формул (3.3) і (3.13) показує, що правило обчислення гра-

ничних ймовірностей станів

p1 ,

p2 , , pn

процесу розмноження та ви-

мирання з неперервним часом можна сформулювати таким чином: гра-нична ймовірність будь-якого стану в схемі процесу розмноження тавимираннядорівнюєдробу,вчисельникуякогоміститьсядобутоквсіх

інтенсивностей“розмноження”,розташованихлівіше

sk ,

авзна-

менникудобутоквсіхінтенсивностей“вимирання”,розташованих

лівіше

(3.3) і

sk ,

p0

помноженийнаймовірністькрайньоголівогостану

для (3.13)).

( p1

для

    1. 1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   36

      скачати

© Усі права захищені
написати до нас