Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

тоді за теоремою про ймовірність суми несумісних подій маємо

P_B_it, t_ 

 ^P 




 

^jij

n
^Ej^{t, t}_ ^ _{ } ^p^t ^{ t.}
(2.12)

n

n


j 1, ji _ j 1, j i

_{ } j 1, j i _

Підставляючи (2.10) та (2.12) у (2.7), отримаємо



n

n
  


^{ }ij i

^jij
^pi^{t t} ^{ pi}^t ^ _{ } ^{ p}^t ^{ t} _ ^p^t ^{ t,}

_ j1, ji _{ } j1, j i _

звідси
^pi^{t t} ^{ pi}^t


t

^{ } _ ^{ p}^t ^

n
_ ^ _ji^p_j^t^.

(2.13)



n

^ij i
_ j 1, j i _

j1, j i

Якщо у рівності (2.13) перейти до границі за умови

t 0,

отри-

маємо диференціальне рівняння для функції

^pi ^t^:

^dpi^t



n
dt

^{ } _ ^{  p}^t ^

_ ^_ji^p_j^t^,



n

^iji
_ j1, ji _

j1, ji

яке співпадає з рівнянням системи (2.6) за умови, якщо

_ii 0 .

Таким чином, якщо розглядається однорідний процес Маркова,

тобто

^ij

не залежить від t,

то система (2.6) є системою nзвичайних

лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефі- цієнтами. Якщо ж процес Маркова є неоднорідним, тобто хоча б один

із коефіцієнтів

^ij

залежить від

t, то маємо систему звичайних дифе-

ренціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.

Система (2.6) називається системою диференціальнихрівняньКолмогорова, на честь академіка А. М. Колмогорова, який запропону- вав вказаний метод аналізу марковських процесів із дискретними ста- нами та неперервним часом.

Скласти систему диференціальних рівнянь Колмогорова можна, користуючись такими правилами.

Правило І. Для того, щоб скласти систему диференціальних рів- нянь Колмогорова зарозміченимграфомстанів, необхідно для кожної

^{функції pi}^t^{, i 1, 2, , nу лівій частині рівняння записати похідну}

^dpi^t _,

dt
а в правій – добуток ймовірності

^pi^t
стану

s_i ,
взятої зі зна-

ком “–”, на суму щільностей ймовірностей

^ij

переходу зі стану s_i в

інші стани

s_j ,

плюс суму добутків ймовірностей всіх станів

^pj^t^{, із}

яких можливий перехід до стану

s_i ,

на щільності ймовірностей відпо-

відних переходів _ji,

^dpi^t


dt

тобто



n

^ij i
^{  } _ ^{  p}^t ^

n
_ ^ _ji^p_j^t^.

_ j1, ji _

j1, ji

_ dp₁ t _{ }


  pt  

pt,

 
^ dt

^ dp₂ t

12 13 1

41 4

  ₂₄ p₂ t  ₁₂ p₁ t  ₄₂ p₄ t,

dt


31 3 13 1


 ^{dp3 t}   pt   pt,

^ dpt ^dt

 ₄

^ dt

 ₄₁  ₄₂ p₄ t  ₂₄ p₂ t  ₃₄ p₃ t.

ПравилоІІ.Для того, щоб скласти систему диференціальних рів- нянь Колмогорова заматрицеющільностейймовірностейпереходу,

^{необхідно для кожної функції pi}^t^{, i 1, 2, , nу лівій частині рів-}

няння записати похідну

^dpi^t _,

dt
а в правій – добуток ймовірності

n

^pi^t

стану

s_i ,

взятої зі знаком “–”, на суму
n

^{ }ij

j 1

елементів

^ij

i-го

ряд-

^{ка матриці}  ,

плюс суму

_^jipj ^t

j1

добутків

^{ jipj}^t

елементів

i-го

стовпця матриці  на відповідні їм ймовірності

^pj^t^,

тобто

^dpi^t



n
dt

^{ } _ ^{  p}^t ^

_ ^_ji^p_j^t^.



n

^iji
_ j1, ji _

j1, ji

Зокрема, система диференціальних рівнянь Колмогорова для ма- триці щільностей переходів



  ^

0 2 3_

6 0 0^

матиме вигляд

 


 
^1,5 4 0^

^{ dp1} ^t _{ 5 p}


^t ^{ 6 p}

^t ^{ 1,5 p}

^t^,


^ dt

1 2 3

^{ dp2 t}  6 p

^t ^{ 2 p}

^t ^{ 4 p}

^t^,


^ dt

2 1 3

^{ dp3 t  5,5 p}^t ^{ 3 p}


^t ^.


 _dt 3 1

_ ^pi^t ^{ 1,}

i 1

то будь-яку ймовірність

^pi^t^,

i 1, 2, , n

можна вира-

зити через інші ймовірності, що дозволить зменшити на одне число рівнянь системи (2.6).

Для того, щоб розв’язати систему (2.6), потрібно задати початко- вий розподіл ймовірностей

^p1 ⁰<sup>,

p2</sup> ⁰^{, , pn}⁰^,

(2.14)

сума яких дорівнює одиниці:


_ ^pi⁰ ^{ 1.}

i 1

Зокрема, якщо в початковий момент

t 0

система перебувала у

стані нулю:

s₁,

тобто

^p1 ⁰ ^{ 1,}

то всі інші ймовірності (2.14) дорівнюють

^p2 ⁰ ^{ p3} ⁰ ^{   pn}⁰ ^{ 0.}

Приклад 2.1. Досліджується надійність роботи лічильника банк-

нот, який може перебувати в таких трьох станах: s₁

• 
  лічильник спра-
  

вний, але не експлуатується; s₂

• 
  лічильник справний та експлуату-
  

ється; s₃

• 
  лічильник несправний. Будемо вважати, що лічильник мо-
  

же вийти з ладу під час його експлуатації, при цьому негайний ремонт лічильника не відбувається. Зауважимо, що проміжок часу, протягом якого досліджується робота лічильника, невеликий, а щільності ймо- вірностей переходів практично не залежать від часу. Розмічений граф станів системи має вигляд (рис. 2.2).




1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   36

скачати