Філософія математики

У цих міркуваннях Платоном вперше було поставлено питання про специфіку об'єктів досліджуваних математикою, який є одним з основних і в сучасній філософії математики.
Поряд з піфагорейської філософією існувала, хоча і в не досить вираженій формі, інша, більш реалістична філософія математики, що йде від атомізму Левкіппа і Демокріта. Відомо, що Демокріт заперечував можливість геометричних побудов в порожнечі: геометричні фігури були для нього не умоглядними сутностями, а перш за все матеріальними тілами, що складаються з атомів. Демокріт не допускав нескінченної подільності відрізка: на його думку, відрізок складається з великого числа далі неподільних частин. Дана позиція частково диктувалася загальною установкою атомізму, але головне було в тому, що допущення нескінченної подільності призводило до численних парадоксів. Однак і допущення, що відрізки складаються з неподільних частин, призводило до протиріч. Зокрема звідси випливало, що невимірних величин не існує.
Математично атомізм з'явився скоріше як приватна евристична ідея в геометрії, ніж як особливий погляд на природу математики в цілому. Однак, він неявно містив у собі певну антитезу піфагореїзму. Якщо для піфагорійців математичні об'єкти (числа) становили основу світу в антологической сенсі і основу його розуміння, то в атомістичної евристики математичні закономірності виступають вже як вторинні по відношенню до атомів як першосутність. Фізичне тут логічно передує математичного і визначає властивості математичних об'єктів. Піфагорійці були праві, заперечуючи проти перетворення математики в фізику, наполягав на частоті математичного методу, а так само і на ідеалізації нескінченної подільності геометричних величин. Система евклідової математики не могла бути побудована без такої ідеалізації. Але математичний атомізм, тим не менш, містив у зародку майбутню, більш емпіричну філософію математики, яка неминуче повинна була вийти на сцену у зв'язку із зростанням впливу природних наук.
Перший найбільш сильний удар по філософії піфагореїзму було завдано відкриттям несумірних відрізків. Це підривало не тільки гармонію між геометрією і арифметикою, яка була для піфагорійців сама собою зрозумілою, але і їхню ідеологію в цілому. У зв'язку з кризою піфагорейської філософії математики необхідно так само згадати про апориях Зенона - кількох міркуваннях, які будучи (принаймні, на позір) строгими, разом з тим ставлять під сумніви деякі очевидні чинники, зокрема час і руху. Головна помилка в цих міркуваннях в неправильному використанні понять.
Широка критика піфагореїзму була дана Арістотелем у "метафізиці". Хоча Аристотель - безпосередній учень Платона, його світосприйняття відрізняється від платонівського радикальним чином.
Аристотеля можна назвати (384 - 322 рр.. До н. Е.) "найбільшим філософом стародавності". Основні питання філософії, логіки, психології, природознавства, техніки, політики, етики та естетики, поставлені в науці Древньої Греції, одержали в Аристотеля повне і всебічне освітлення. У математиці він, очевидно, не проводив конкретних досліджень, проте найважливіші сторони математичного пізнання були піддані їм глибокому філософському аналізу, що послужило методологічною основою діяльності багатьох поколінь математиків. Хоча питання методології математичного пізнання не були викладені Аристотелем у якійсь окремій роботі, але за змістом в сукупності вони утворюють повну систему.
В основі філософії математики Аристотеля лежить розуміння математичних знань як відображення об'єктивного світу. Ця установка зіграла важливу роль у боротьбі Аристотеля з Платоновим ідеалізмом, адже "якщо в явищах почуттєвого світу не знаходиться все математичне, то яким чином можливо, що до них додаються його властивості?" - Писав він. Зрозуміло, матеріалізм Аристотеля був непослідовним, у цілому його погляди в більшому ступені відповідали потребам математичного пізнання, ніж погляди Платона. У свою чергу математика була для Аристотеля одним із джерел формування ряду розділів його філософської системи.
Аристотель, швидше дослідник природи, ніж умоглядний філософ. Він цінує факти і логіку більше, ніж будь-які умоглядні уявлення. Наука для Арістотеля - не конструювання гармонії, але відшукання причин явищ. З філософії Аристотель видаляє всяку домішка поезії; його стиль лаконічний, сухий і підпорядкований тільки думки. Основний гріх піфагорійців складається, за Арістотелем, в тому, що вони мислять про природу, не рахуючись з фактами, і штучно наводять факти відповідно до числами, придумуючи для цього фіктивні сутності. Математика за Арістотелем - це не знання про ідеальних сутності, що існують незалежно від речей, але знання, абстрактні від речей.
Якщо підвести підсумок тих результатів, які, ймовірно, були отримані піфагорійцями в V столітті н.е., то вони виглядають досить переконливо: створено вчення про парному і непарному, побудована теорія подільності і пропорційності чисел, закладаються основи планіметрії, геометричні дослідження поширюються на просторові об'єкти; поставлена ​​проблема ірраціональності; вцілому математичні залежності розглядаються як відносно самостійний об'єкт дослідження, а не як рецепти для виконання тих чи інших прикладних обчислень; математика перетворюється на теоретичну науку зі своїм предметом, специфічними прийомами дослідження і обгрунтування. Але при цьому слід мати на увазі, що більшість історичних джерел перейнято "тенденцією приписувати піфагорійцям багато відкриттів, зроблені просто в їх час". Не виключено, що багато чого з того, що вважається піфагорейським отримано їх ідеальними супротивниками. Паралельно з піфагорійцями протікала діяльність і цілого ряду інших шкіл: ефейсской, найбільш видатний представник якої Геракліт (близько 530-470 рр.. До н. Е.); математична діяльність мілетської школи; елейскої школи в особі Парменіда і Зенона (близько 450 рр.. До н . е.); школа грецьких матеріалістів-атомістів, очолювана Демокрітом (близько 460-370 рр.. до н. е.).
Оцінюючи математичну діяльність піфагорійців, слід мати на увазі також те, що найбільш значні результати були отримані не стільки шляхом послідовного проведення релігійно-ідеалістичних установок їх світогляду, скільки подоланням їх. Адже якщо слідувати за вчителем, розглядати його вивчення як джерело знань про числа, тоді не мало ніякого сенсу вести самостійну дослідницьку роботу; авторитарність і схиляння перед пророцтвами глави секти перетинають пошук істини за допомогою власного мислення, одкровення стають вище розуму.
Таким чином, вже у вихідному пункті свого розвитку теоретична математика знаходиться під активним впливом гострої боротьби двох основних типів світогляду - матеріалістичного по своїй основі світогляду мілетської школи і релігійно-ідеалістичного світогляду Піфагора і його найближчих послідовників. У різних світоглядних системах істотно іншими виявляються: розуміння природи математичного знання, вибір об'єктів досліджень, ставлення до прикладних задач, тобто особисті найважливіші боку математичної діяльності. У межах піфагорійської школи відбувається подальший розвиток математики, але внутрішні закони математичного пізнання тут вступають в протиріччя з низкою методологічних установок (необхідність наукового спілкування - з обітницею мовчання, об'єктивний пошук істини - з авторитарністю, схилянням перед висловами глави секти). Еволюція піфагореїзму переконує в тому, що як би майстерно не погоджувалися математичні знання з релігійно-містичними поглядами, вони чужі останнім; прогрес математики приводить до розриву з ними. Якщо ж в силу конкретних історичних умов методологічні положення ідеалістичного характеру послідовно витримуються, то математична діяльність отримує односторонню орієнтацію, що в кінцевому підсумку негативно позначається на його прогрес. Має місце не тільки активне і глибоке вплив світогляду на розвиток математичного пізнання, але і зворотний вплив; про його силу можна судити по тих наслідків, які зробило відкриття ірраціональності на всю світоглядну систему піфагорійців.
Проте занепад піфагореїзму в грецькій філософії не призвів до повного зникнення пифагорейских тенденцій. Не визнаючи піфагореїзму як вчення про математичні засадах світу, можна визнавати його як певний метод аргументації. У цьому плані він зробив величезний вплив на подальший розвиток філософської та наукової думки аж до XIX століття. Піфагореїзм в сучасній науці зберігається як антологізація різного виду числових збігів. Переважна більшість вчених скептично ставиться до числових зіставленням, однак саме числове збіг допомогло Максвеллу відкрити електромагнітну природу світла. Як можна відокремити тут зерна від полови і чи можливо зробити це взагалі. Древнє філософське вчення виявляється, таким чином, тісно пов'язаним з тонкими проблемами методології сучасної науки.

2. Взаємозв'язок філософії і математики від початку епохи відродження до кінця XVII століття

За тисячу років, яку ми називаємо епохою середньовіччя, в математиці не відбулося істотних переворотів, хоча математичні і логічні істини були постійним об'єктом різних схоластичних спекуляцій. Філософія математики так само стояла на мертвій точці: вона не вийшла за рамки піфагореїзму в його платоністской і неоплатоністской інтерпретації. Тільки в XIV - XV століттях у Європі почалося відродження творчого математичного мислення в арифметиці, алгебрі і геометрії. Математика стала розглядатися не як вроджене і абсолютне знання, а скоріше як знання вторинне, дослідно залежне у своїй структурі від деяких зовнішніх реальностей. Важливими результатами природничо-наукового напряму у філософії епохи Відродження були методи експериментально-математичного дослідження природи.
У період середньовіччя вважалося, що центр Землі збігається з центром Всесвіту. Сонце, місяць і зірки укріплені на прозорих сферичних оболонках і обертаються навколо єдиного центру. Коперник на підставі ретельних астрономічних спостережень і їх математичної обробки зробив висновок, що Земля обертається навколо Сонця. Цю ідею висловлювали ще древні, але ніхто з попередників Коперника не міг дати їй достатньо повного математичного обгрунтування. Математичну форму викладу вчення Коперника відрізняв і Джордано Бруно, який вийшов за межі Сонячної системи, представивши Всесвіт як безмежну область, заповнену незліченними світами. Кеплер, на основі широкого використання математики, відкривав закони руху планет. Галілей підтвердив і розвинув вчення Коперника. "Важливо підкреслити, що одним з керівних критеріїв, що направляли Галілея на шляху до вироблення саме цієї світоглядної концепції була математика", - писав Кедровський О.І.
Таким чином, виникало нове наукове мислення. Створені у перші десятиліття XVII століття роботами Кеплера і Галілея фрагменти нової науки були ізольовані, оскільки земні небесні рухи розглядалися як якісно відмінні один від одного. Була відсутня синтезує концепція, яка з'єднала б закони Кеплера та Галілея. Істотну роль у вирішенні цього завдання зіграли роботи Р. Декарта. Світ представлявся Декарту заповненим матерією простору. Природа матерії полягає в протяжності, всі властивості матеріальних тіл зводяться до перетворення протяжності, а всі рухи - до механічного переміщення. Таким чином, природа світобудови визначається в кінцевому підсумку математичними і механічними характеристиками. Вплив математики при вирішенні важливих філософських проблем безсумнівно, але воно не виражається через виявлення строгих кількісних закономірностей.
Декарт створив метод координат, перекинувши місток між алгеброю і геометрією. Алгебраїчні завдання тепер можна вирішувати геометричними методами і навпаки. Дуже важливо також було систематизування їм математичних позначень та перекладів математики на сучасну мову. Декарт розглядав всю математику як теорію алгебраїчних рівнянь. Він вважав усю математику універсальною, що дозволяє вирішувати математичні та нематематичних проблеми - "потрібно лише слідувати по тому ж шляху". Поворотним пунктом математики була Декартова змінна величина. Завдяки цьому в математику ввійшли руху і тим самим діалектика і завдяки цьому ж стало негайно необхідним диференціальне і інтегральне числення, яке одразу ж і виникало і яке було і в цілому завершене, а не винайдено Ньютоном і Лейбніцем.
Проте вже самому Декарту доводиться шукати не алгебраїчні шляху при вирішенні деяких завдань. Треба було змінити статус алгебри як універсального математичного методу. У силу жорсткого зв'язку між математичним методом і загальною методологією пізнання, така зміна зачіпало основи філософської системи.
І. Ньютон синтезує численні дослідження, проведені його попередниками і їм самим, і створює принципово нову систему знань про природу. Читаючи лекцію з теорії світла і квітів, він на основі вимірювального математичного досвіду і математичного розрахунку, робив висновок, що науку про квіти "слід почитати математичної, оскільки вона викладається математичним міркуванням". Ньютон у своїх "Засадах" вперше створив математичне природознавство про сенс математичного вивчення механічних, фізичних і астрономічних явищ, виходячи з єдиного підстави. Математика, згідно Ньютону, відіграє дуже важливу роль: її поняття є як би прообразами і необхідними компонентами фундаментальних понять теоретичного дослідження. У "Началах" натурфілософські уявлення часу простору, місця і руху формалізуються, в них виділяється математично точний компонент.
При вирішенні деяких фізичних завдань Ньютону доводилося стикатися з проблемою проведення дотичних до кривих. Їм був розроблений універсальний метод побудови дотичних - метод флюксій, що був, по суті, методом знаходження похідних. Створення теорії флюксій Ньютона було здійснено в органічній єдності математичних знань філософських ідей. Філософські поняття виконали синтезуючу роль по відношенню до фактів математичного знання.
Успіхи, що досягаються на шляху математизації природознавства, зміцнювали віру в значимості математики. Поява робіт Ньютона, як образно висловився Д.А. Граве, відкрило епоху переходу цієї віри в повне внутрішнє переконання. Зі сфери умоглядних натурфілософських міркувань за коштами математики і досвіду виводиться велика область явищ, які тепер знаходять більш приховане пояснення в межах конкретної науки. Широке поширення отримує думка, що за допомогою математики і механіки, які роз'яснили настільки багато, можна пояснити все. Коли ж виявилася нездатність "математизувати метафізики" виконувати покладені на неї функції, то це послужило однією з підстав для дискредитації всієї системи механічного матеріалізму, приводу для відродження ідеалістичних і теологічних позицій в науці. Подібного роду тенденція знаходить прояв в роботах Г.В. Лейбніца.
Одним з прихильників нової науки стає Лейбніц. Він передбачає незадоволення механічної картиною світу і робить спробу змінити її. Великої заслугою німецького мислителя було те, що він, хоча і в теологічній формі, але підходив до принципу нерозривною (і універсальною, абсолютною) зв'язку матерії і руху.
Але Лейбніц неправий, коли додаток кількості якістю по суті справи призводить як доповнення матеріального ідеальним.
Тенденція дематематізаціі почав буття, що проводиться Лейбніцем, оскільки вона була продиктована прагненням знайти більш глибоке пояснення явищ дійсності і встановити більш раціональне ставлення між математикою і філософією, мала прогресивне значення.
Незалежно від Ньютона Лейбніц так само прийшов до відкриття диференціального, а потім і інтегрального числення. Багато основні риси нового методу математики виступили як конкретне переломлення, примиритель до математичного пізнання визначальних характеристик його філософської методології.
Погляд М. Коперника, Дж. Бруно, І. Кеплера, Г. Галілея, Р. Декарта, І. Ньютона і Г.В. Лейбніца представляють основну течію формування нової системи поглядів на світ. Найбільш ортодоксальними супротивниками цієї лінії були прихильники релігійно-схоластичного світобачення. Між тими і іншими формувалися і еволюціонували проміжні напрямки, більшою чи меншою мірою вони рівнялися на математику. Однак найбільш яскраво остання проявила себе саме в творах розглянутих вище вчених.
Успіхи, досягнуті на шляху широкого застосування математичних засобів, на шляху кількісного аналізу послужили приводом для поширення останнього за рамки допустимого. Використання математики в ряді випадків супроводжується абсолютизацією дедуцірованія в порівнянні з досвідченим дослідженням, перебільшенням ролі кількісного підходу і приниження значущості якісного аналізу, неправомірною підміною світоглядних, філософських принципів положеннями математичного природознавства, надмірне захоплення математикою в системі філософського пізнання робить останній одностороннім. Абсолютизація ролі математики справила негативний вплив на прогрес науки, оскільки послужила монологічним джерелом виникнення на новій основі ідеалістичних поглядів.
Філософський аналіз у мислителів нової епохи не охоплює настільки широкого спектру проблем, як період античності, особливо в логіко-монологічному аспекті, але поставлені проблеми вирішуються в значно більш різноманітних формах. Запропоновані рішення не настільки строго аргументовані як у період античності, але вони присвячені більш оригінальним і продуктивним ідеям. Філософські проблеми математики в період античності мають більш чітко виражений системний характер, так як вони піддалися ретельній логічній обробці. У даному разі залежності між вмістом окремих проблем, детермініруемая одних проблем іншими носять дещо фрагментарний характер.
Перетворення системи філософії математики античності здійснювалася як представниками конкретної дослідницької діяльності в математиці, так і представниками філософської науки, втім, у розглянуту епоху часом важко визначити в яку категорію віднести того чи іншого вченого. В особі Галілея ми маємо особливо яскравий приклад вченого, який займався філософськими проблемами математики не настільки для вирішення філософських чи натурфілософських проблем, скільки під впливом конкретних досліджень в математиці і механіці. Спіноза і Гоббс займалися аналізом філософських проблем математики, переважно виходячи з потреб розробки системи філософського знання. У діяльності таких енциклопедистів як Декарт і Лейбніц перший шлях (від математики) і другий (від системи філософського знання) тісно переплітаються. Філософські проблеми математики займають проміжне положення між системою філософії, у власному розумінні цього слова, і системою математики. Це прикладна область по відношенню до філософії і основа системи математики. Проблематика, що розробляється в межах філософії математики виходячи з потреб математичних досліджень, дещо відрізняється від тієї, яка особливо актуальна для розвитку філософії, але і перша і друга проблеми вимагають узгодження з утримання, подання всіх їх відносно єдиної системи. У цей період негативний вплив на прогрес математики і філософії надають як зневага філософським аналізом математичного пізнання, так і ототожнення філософських проблем математики з основоположеннями філософської системи. Вузькість конкретно наукового підходу у деяких талановитих математиків була однією з причин того, що вони не змогли зробити більше, ніж створити чергову різновид приватних прийомів диференціального й інтегрального числення. З іншого боку, абсолютизація методологічної ролі деяких аспектів математичного пізнання (наприклад, у Декарта) створює перешкоду, як на шляху удосконалення математичного методу, так і на шляху розвитку філософських знань.
У висновку, оглядаючи історичний розвиток математики від епохи Відродження до кінця XVII століття, виділимо найбільш важливі форми впливу філософії на цю науку.
Коли під визначальним впливом виробничих потреб "після темної ночі середньовіччя раптом знову відроджувалися з несподіваною силою науки, початківці розвиватися з чудовою швидкістю", на шляху їх прогресу стояли світоглядні установки схоластики. Процес пошуку нових знань третирували як непотрібний, теоретичні побудови протиставлялися практичним прийомам і були відірвані від досвідчених досліджень. Боротьба прогресивних мислителів проти схоластики сприяла розкріпаченню творчої ініціативи в математиці, з'єднанню обчислювальних і вимірювальних прийомів зі зрозумілим апаратом теоретичної математики, органічному поєднанню математичних знань з природничо.
Перші спроби створення нових математичних методів досліджень (Кеплер, Кавальєрі) базувалися на концепції неподільних, зобов'язаною своїм походженням атомістичного навчання, висхідному до Демокріту. Філософська думка античності, передана через багато проміжних ланок, виявилася продуктивною основою математичного творчості в нову епоху.
Реформа алгебри, проведена Декартом, здійснювалася як один з основних етапів побудови його філософської методології. Введення символічних позначень, методика відомості всякої проблеми до математичної задачі, рішення останнє як складання рівнянь і знаходження їх коренів обгрунтовується виходячи із загальних уявлень про процес пізнання.
Створення теорії флюксій Ньютона здійснюється в органічній єдності математичних знань і філософських ідей. Філософські поняття виконують синтезуючу роль по відношенню до фактів математичного пізнання, співвідношення між цими поняттями переносяться на відповідний понятійний апарат диференціального й інтегрального числення, вони використовуються в процесі обгрунтування останнього.
Незадоволеність склалися засобами розв'язання математичних задач і прагнення створити новий загальний метод математики у Лейбніца обумовлені методологічними міркуваннями. Багато основні риси нового методу математики (диференціального числення) виступають як конкретне переломлення стосовно до математичного пізнання визначальних характеристик його філософської методології. Обгрунтування аналізу проводиться переважно метафізичними міркуваннями.
Перехід математики на новий етап історичного розвитку вимагав переосмислення її світоглядної та методологічної основ, розробки нового комплексу філософських проблем математики. Такого роду дослідження в аналізований період виступають як одне з найважливіших напрямків філософського пізнання.

3. Філософія і математика в епосі просвітництва

"Географія" епохи Просвітництва досить обширна. Філософське пізнання та математична діяльність активно розвиваються в країнах Західної Європи, в Росії, на Американському континенті.
Логічна суперечливість підстав аналізу, неузгодженість між його ідейним змістом і обчислювальним апаратом робили його вразливим для критики. Цим не забарилися скористатися ті представники ідеалістичної філософії, які хотіли дискредитувати математику, розвиток якої здійснювалося переважно на матеріалістичній основі. Найбільш видатним філософом такого типу є Дж. Берклі (1685-1753 рр.)..
У своїй основній роботі - "трактат про початки людського знання, в якому досліджуються головні причини помилок і труднощі наук, а так само підстави скептицизму, атеїзму і безвір'я" - Дж. Берклі оголошує причиною всіх зазначених у заголовку зол матеріалізм і основне завдання роботи бачить у спростування фундаментального поняття матеріалістичного світогляду - поняття матерії. Щоб розірвати зв'язок математики з матеріалізмом, Берклі прагне максимально прив'язати її чуттєво сприйманим чином, дати їй суб'єктивістською трактування, а все що не піддається такої трансформації, видалити, посилаючись на практичну марність і умоглядність. Тому Берклі заперечував нескінченне у формі нескінченної подільності кінцевого, і у формі нескінченно малих і великих величин. Англійський філософ представляє математику як науку про ідеї, одержуваних від відчуттів. Її об'єкти - це знаки, що позначають комплекси ідей. Берклі намагається змінити не тільки "внутрішнє життя" математики, але і застосовність її в інших науках. Берклі висуває свою концепцію математики як логічний наслідок суб'єктивно-ідеалістичної філософії, і той факт, що ця концепція виявилася регресивною, свідчить про хибність тієї філософської основи, на якій вона споруджена. Берклі на догоду своїй філософській доктрині деформує процес наукового пізнання в тій мірі, що прогрес його стає не можливий. Його вчення про ідеї стало перехідним ступенем до виникнення агностицизму у формі юмізма. Подальший розвиток математики не виправдало надії Берклі.
У тому, що англійська математика зуміла зберегти матеріалістичну платформу розвитку своєї науки, незважаючи на настільки активні нападки суб'єктивного ідеалізму, істотну роль зіграло наявність сильних матеріалістичних традицій в англійській філософії.
Серед англійських філософів - матеріалістів кінця XVII-першої половини XVIII століть, особливої ​​уваги заслуговують погляди Джона Толанд (1670-1722), який приділяв багато уваги аналізу таких понять як матерія, рух, простір, час, аналізував зв'язок математичного пізнання з фізичним і філософським.
Толанд наполягає на необхідності розмежування "між просторовим рухом і рушійною силою, або активністю, або просторове рух є тільки зміна в положенні тіла". У даному випадку англійський матеріаліст виходить за межі механічного розуміння руху, властивого філософії XVII - XVIII століть і наближається до діалектичного погляду, згідно з яким "рух, в застосуванні до матерії - це зміна взагалі".
Історична заслуга Толанд полягає у висуненні та обгрунтуванні положення про те, що "рух є істотне властивість матерії ... Настільки ж невіддільна від її природи, настільки не віддільні від неї непроникність і протяг". Толанд заклав основу для нового розуміння природи математичного пізнання. У його творах можна зустріти чимало цікавих висловлювань, що відносяться до логіко-гносеологічному аналізу математики. Толанд вказував, що зміст математичних понять береться з реально існуючого світу. Не можна не погодитися з зауваженням Толанд, що різниця між математичним і реальним об'єктами постійно треба мати на увазі при користуванні методу математичної дедукції.
Видатним представником філософської думки континентальної Європи, діяльність якого тісно пов'язана з математичним знанням, у розглянутий період був Християн Вольф (1679-1754).
Ідеалом наукової системи у Вольфа виступає математика: по-перше, в силу "незрівнянно хорошого порядку, яким міститься в ній вчення призначається та затверджується", по-друге, тому що її знання "як в істинному пізнанні єства, так і в людському житті дуже багато приносять користі. Під методом математики він розуміє "порядок, який математики вживають", коли викладу своїх знань починають з визначень, аксіом, потім переходять до теорем, проблем, приміток тощо Вольф все піддає розумової обробці, класифікує, визначає, дедуціруется . Просвітницька діяльність Вольфа, її прагнення до ясного, точного, доступному викладу знань мали в певній мірі позитивне значення. Спосіб викладу математики в його системі абсолютизував до межі і це зробило регресивний вплив, як на розвиток філософії, так і на розвиток математики.
Необгрунтоване прагнення представити математичний спосіб побудови системи науки як універсальний засіб осягнення істини, в кінцевому підсумку, призвело до підриву авторитету математики, до дискримінації процесу математизації наукового пізнання.
У межах самої математики точна і педантично нудна схема викладу в кращому випадку могла служити для представлення початкових відомостей з елементарної математики, але вона сковувала самостійну дослідницьку діяльність і в найбільш інтенсивно розвивалася області - області математичного аналізу - її не дотримувалися.
Слід відзначити також діяльність Петербурзької академії наук. Іноземні вчені зробили їй істотну підтримку, але стрімкий прогрес зміг мати місце, перш за все тому, що для цього були створені необхідні умови, російська наука висунула своїх талановитих дослідників. Найбільш видними з них є М.В. Ломоносов (1711 - 1765).
М.В. Ломоносов був добре знайомий з математикою того часу. З висловлювань видно, що він дуже високо оцінював математику як засіб пізнання логічно суворих і загальних істин. Математичний метод розглядався вченим не тільки як спосіб упорядкування знань, йому відводилася роль важливого евристичного засоби по відношенню до інших наук, його дослідження в багатьох областях науки грунтувалися на кількісному аналізі.
Якщо порівняти погляд М.В. Ломоносова на природу математики з третирування цієї науки у Берклі або з догматичним накладенням математичної схеми на чуже їй зміст у Х. Вольфа, то потрібно визнати, що великий російський вчений дотримувався значно більш продуктивної методологічної основи математичної діяльності і в цьому відношенні може бути віднесений до найбільш прогресивним мислителям світового масштабу першої половини XVIII століття.
Філософія Франції в XVIII столітті представлена ​​численною плеядою видатних мислителів. Одним з яких є Ж.А. Кондорсе, який розглядає основні історичні етапи математичного пізнання у зв'язку із загальним розвитком матеріальної і духовної культури людства.
Кондорсе в схематичне формі відрізнив найбільш суттєві етапи еволюції математичної думки. Основну цінність становлять не стільки наведені факти, скільки спроби пояснити їх. Кондорсе вважає, що математика виникла лише на певному етапі розвитку людської культури і розвивалася поступально. Це положення розділяє з ним і Гельвецій: "Уявлення про числа ... так вражаюче обмежені в деяких народів, що вони не вміють рахувати далі трьох, і висловлюють число більше трьох, словом багато". Виникнення вихідних геометричних і арифметичних знань Кондорсе пов'язує з необхідністю задоволення виробничих потреб. Ідея визначального впливу виробничої діяльності на процес наукового пізнання в загальному вигляді формується у Кондорсе досить чітко. Цікава його спроба виявити в процесі прогресуючого розвитку знань тенденції та закономірності як якісного, так і кількісного характеру. Мірилом прогресу деякої науки у нього виступає "сума полягають в ній істин". Важлива роль у прискоренні прогресу математики відводиться Кондорсе посилення взаємодії її окремих дисциплін. Узагальнюючи пройдений науковим пізнанням шлях, Кондорсе приходить до висновку, що жодна наука не може спуститися нижче того ступеня, на яку вона зведена.
Істотно іншої думки, ніж Кондорсе дотримувався Руссо і особливо Дідро. Останній вважав: "За тією схильності умів до моралі, до літератури, до історії природи, до дослідної фізики, яка помічається в даний час, я майже з упевненістю скажу, що не мине й ста років, як в Європі не можна буде нарахувати і трьох великих геометрів ".
Французькі мислителі підкреслювали зв'язок навіть найбільш абстрактних математичних побудов з чуттєво сприймається дійсністю. Загальний характер поняття простору і тісний зв'язок його з існуванням неодноразово приводили в історії філософії до уявленні про нього як про якусь сутності. Подібного роду трактування, на думку Гельвеція, є зловживанням словами. Так слово "величина" дає ясні, реальні ідеї лише в той момент, коли його застосовують до певного предмета. І Гельвецій та Дідро підкреслювали, що наукове мислення має об'єктивне предметний зміст. Їхня позиція в даному випадку протилежна позиціях суб'єктивного ідеалізму.
Одночасно з інтенсивним розвитком матеріалістичних філософських шкіл відбувалася і еволюція ідеалістичних філософій, деякі представники якої багато уваги приділяли математики. Одним з них є Давид Юм. Він цікавий тим, що дає послідовне розгортання принципів своєї філософії стосовно до математичного пізнання. Юм вістря критики направив проти матеріалізму в пізнанні.
Порівнюючи погляди Юма на природу математичного пізнання з поглядами французьких матеріалістів, неважко встановити принципові відмінності між ними за багатьма фундаментальним питанням. Матеріалізм і суб'єктивний ідеалізм як би пропонували різні платформи для математичної діяльності, які є наслідками і їх загальних філософських принципів.
Серед чудової плеяди математиків розглянутого періоду можна виділити трьох вчених: Л. Ейлера, Ж. Д ^{'Аламбера} і Ж.Л. Лагранжа.
Л. Ейлер зробив перші статечні відкриття майже у всіх областях сучасної йому математики, заклав фундамент усного ряду нових напрямків досліджень. Будучи, насамперед представником російської науки, він надав виключно сильний вплив на всіх найбільш відомих математиків XVIII століття.
Однією з визначальних рис творчості вченого є глибока і органічний зв'язок його математичних досліджень з потребами природних наук і техніки. Розробляючи математичні теорії, Ейлер був переконаний, що він тим самим виявляє об'єктивно існуючі закономірності матеріального світу, а не суб'єктивні зв'язку між сприйняттями. Математика була для нього критерієм оцінки даних відчуттів. Ейлер, відкидаючи ідеалістичні твердження, звертається до здорового глузду. Матеріалістична основа наукової діяльності була їм глибоко продумана, про що свідчить критичне ставлення вченого до вузького матеріалістичного емпіризму. Ейлер підкреслює видатну роль у науковому пізнанні гіпотез і абстрактних понятійних побудов. Розробка формального апарату математичної теорії поєднується у нього з змістовним аналізом її фундаментальних понять. Удосконалюючи математичні поняття, Ейлер звертає увагу на сам механізм формування понять. Він примикає до ньютонівської розуміння межі як такого значення, яке мінлива все-таки досягає. Математичні дослідження вченого сприяли науковому прогресу, торжества наукового знання над неуцтвом і релігійним фанатизмом. Однак сам Ейлер, на відміну від французьких мислителів не тільки не виступав активно проти релігії, але навіть намагався захистити її.
Ж. Д ^{'Аламбер} (1717-1783) відомий як видатний математик, який зробив ряд важливих відкриттів. Його творчість становить одну з найбільш яскравих ілюстрацій органічної взаємозв'язку філософських і математичних знань. Розробка проекту нової системи математичної освіти і проблема обгрунтування математичного аналізу отримали особливо яскраву своєрідне трактування в діяльності Даламбера.
Жозеф-Луї Лагранж (1736-1813) належить до числа найбільш великих математиків XVIII століття, поступаючись лише Ейлера по багатогранності математичного творчості і різноманітності вирішених завдань. Аналогом його математичних і механічних конструкцій можуть служити розвинені в ту епоху філософські, філософсько-історичні та інші ідеологічні системи. Звичайно, робіт Лагранжа по аналітичній механіці, теорії функцій, алгебри, теорії чисел властива більш високий ступінь абстрактності і спільності, ніж його попередникам. Рух пізнання до більш високих рівнів абстрагування, прогресуюча формалізація цілком закономірні. Можна погодитися, що у цього вченого і його послідовників має місце деяке захоплення знову розробленими формальними побудовами, до певної міри навіть абсолютизація їх значимості при вирішенні окремих завдань, але це не знімає того, що Лагранж є яскраво вираженим представником механістичного матеріалізму XVIII століття. Лагранж не обмежується тільки складанням гранично загальних диференціальних рівнянь механіки, але постійно прагне довести рішення завдань цієї науки до результатів, порівнянних з матеріалом спостережень і експериментів. Механіка у Лагранжа стала загальною наукою про рух матеріальних систем.
Підіб'ємо підсумки проведеного аналізу розвитку філософії і математики в епоху Просвітництва.
Головним напрямком математичної діяльності в перші десятиліття XVIII було оволодіння прийомами диференціального й інтегрального числення і широке використання їх для вирішення геометричних, механічних, астрономічних і оптичних завдань. З боку математиків спостерігається падіння інтересу до філософії. Пояснюється це, мабуть, тим, що математика перейшла на еволюційний етап розвитку, попередня метафізика вичерпала в значній мірі свої можливості по відношенню до математики. За своїм характером математика є дещо більш віддаленої від філософського знання, зв'язок з філософією стає опосередкованою через фундаментальні принципи і поняття аналізу, які як би насичені необхідними філософськими ідеями. Математика та інші конкретні науки як би "відлежувався собі самостійні області".
Не можна сказати, що філософський аналіз повністю відсутня на новому етапі розвитку математичних знань. Хоча він не носить характеру створення великого комплексу філософських проблем, але у вигляді постановки окремих питань зустрічається досить часто. Проте можливості колишньої метафізики в цьому відношенні були обмежені. Усі найбільш суттєве, що вона могла дати математики, було пристосоване для потреб цієї науки у вигляді основних понять і принципів аналізу. Філософські проблеми, пов'язані з розширенням практичної застосовності аналізу і його більш конкретними удосконаленнями, в області умоглядної метафізики не могли бути вирішені. Колишня метафізика в умовах XVII століття в цілому задовольняла запити математики, в нових умовах вона стала плоскою.
Змінилося на початку XVIII століття ставлення філософів до математики. У філософських трактатах аналіз природи математичного пізнання якщо і має місце, то в значно менших масштабах. За рідкісним винятком, нічого істотно нового в розробку філософських проблем математики внесено не було. Втрачається одностайність у високій оцінці значущості математики в пізнанні.
На прикладі Л. Ейлера, Ж. Д ^{'Аламбера} і Ж.Л. Лагранжа видно, що, в порівнянні з першими десятиліттями XVIII століття, в середовищі математиків значно розширюється філософський аналіз різних аспектів їх наук. Цього вимагали об'єктивні умови розвитку математичних знань.
Математики в принципі мали можливість звернутися для задоволення своїх потреб до різних філософських систем: матеріалістичної філософії Просвітництва, суб'єктивно-ідеалістичному вченню Юма, метафізиці XVII століття, на якій базували свої дослідження Ньютон і Лейбніц.
Не становить особливих труднощів встановити невідповідність між юмовская розумінням природи математики і тими філософськими принципами, якими керувалися математики XVIII століття.
Математична філософія епохи Просвітництва в порівнянні з іншими існуючими філософськими вченнями створювала найбільш сприятливі умови для прогресу математики і зробила на неї багатоаспектний вплив. Вона ламала відсталість мислення, застарілі традиції, прагнула раціонально пояснити основні аспекти життя суспільства і тим самим створювала творчу атмосферу для удосконалення математичних знань.
Мислителі Просвітництва провели розробку багатьох важливих філософських проблем математики: вони проробили значну роботу по розкриттю механізму абстрагування, вивчення чуттєвої сторони математичного пізнання дозволило виявити ряд цікавих властивостей математичних понять, їм належить спроба пояснити теоретико-пізнавальні особливості математики виходячи з природи її предмета, вони вказали на важливе значення виробничої діяльності для розвитку математичних знань, аналізуючи тенденції історичного розвитку математики, вони намагалися використовувати як якісний, так і кількісний підхід, вони переконливо показали негативний вплив релігії на прогрес науки, досліджували механізм використовували математики в інших науках, розробили основні принципи системи математичної освіти , провели критику ідеалістичних поглядів на предмет і метод математики. У свою чергу, математика була дієвим союзником в ідеологічній боротьбі передових французьких мислителів проти колишньої метафізики, проти сил реакції.
Вказуючи на плідність взаємодії між філософією епохи Просвітництва і математикою, слід мати на увазі обмеженість масштабів цього процесу, деякі негативні моменти, якими він супроводжувався. У порівнянні з філософськими трактатами XVII століття в творах філософів розглянутої епохи математичний матеріал використовується у значно меншій мірі. Аналіз природи математичного пізнання носить фрагментарний характер, використання математики нерідко проводиться некритично.
Певні сторони математичного пізнання викликали незадоволеність у філософів епохи Просвітництва. Тісний зв'язок деяких теоретичних побудов математики з попередньої метафізикою, проти якої виступала філософія часів Просвітництва, іноді служила підставою для поширення критики на математику. Для представників математичного пізнання почасти були неприйнятними вузький практицизм і емпіризм, проявлялися у поглядах окремих філософів епохи Просвітництва, вони не могли погодитися і з недооцінкою останніми перспектив розвитку їхньої науки. Проте, в цілому, зазначені розбіжності не знімають того факту, що саме матеріалізм служив філософською основою тих чудових успіхів, яких домоглися математики у XVIII столітті, а математика грала істотну роль у боротьбі матеріалізму проти ідеалізму та релігії.

4. Аналіз природи математичного пізнання німецької класичної філософії

Політичної революції у Франції супроводжувала філософська революція в Німеччині. Кант почав її тим, що поруйнував застарілу систему лейбніцевской метафізики, яка до кінця минулого сторіччя прийнята була в усіх європейських університетах. Фіхте і Шеллінг почали перебудову філософії, а Гегель завершив нову систему.
Німецька класична філософія представляє одне з найбільш грандіозних створінь людського розуму. Її неминуще історичне значення полягає в тому, що в ній, хоча і в помилковій, ідеалістичної формі, здійснювалася систематична розробка діалектики.
Наукову діяльність Канта відповідно до еволюції його філософських поглядів, зазвичай ділять на два періоди - "до критичний" (до 1770 року) і наступний "критичний", що отримав своє найменування від назви основної роботи цього періоду - "Критики чистого розуму".
Саме по собі прагнення послідовно простежити в області математичного пізнання прояви загальних філософських принципів і логічних наслідків з них, що пронизує роботи Канта, заслуговує позитивної оцінки, і велика заслуга Канта полягає в тому, що після Аристотеля йому вдалося створити найбільш велику, логічно розгорнуту систему філософії математики . Але якщо філософські принципи не зовсім відповідають природі математики, а їх догматично намагаються впровадити в неї, то ідейний зміст даної науки деформується. Подібного роду негативні моменти впливу філософії на математику знаходять прояви у творчості Канта. Так, виявивши невідповідність деякого філософського положення з фактом математичного пізнання, він критично підходить до з'ясування того, що ж у такому випадку вимагає зміни - філософське положення або трактування математичних законів.
Згідно з Кантом, поняття геометрії та арифметики не є відображенням структури космосу, як думали піфагорійці, і не витягнуті за допомогою абстракцій з досвіду, але є відбиток чистого або апріорного споглядання, властивого людині поряд з спогляданням емпіричним. Геометрія за Кантом не що інше, як виражена в поняттях чиста інтуїція простору, арифметика знаходиться в такому ж відношенні до чистого поданням часу. Математика, таким чином, може бути визначена як система синтетичних суджень, що виражає структури апріорних форм чутливості. Як система висновків і доказів математика повинна бути повністю інтуїтивно зрозуміла: за Кантом, всі математичні докази "постійно йдуть за чистим спогляданням на підставі завжди очевидного синтезу".
Виходячи з сучасних уявлень, не складає особливих труднощів вказати на неспроможність кантівських поглядів на математику, але не слід забувати, що сучасна позиція є результат тривалого історичного розвитку як філософської, так і конкретно наукової думки. Цей розвиток призвело до критичної переробки кантівського вчення про математику, причому критика не зводилася до відкидання його тверджень. Якісно нові погляди виникли шляхом утримання всього того цінного, що зумів відкрити цей видатний мислитель.
Філософські погляди Фіхте не містить настільки ж багатого матеріалу для вивчення проблеми взаємозв'язку філософії та математики, як це має місце у творах Канта, але, тим не менше, ряд міркувань зачіпає деякі її цікаві аспекти.
Метою Фіхте було зміцнити підстави філософського знання, зміцнити той фундамент, на якому будував філософію Кант. На вдосконаленому підставі, на його думку, філософія повинна будуватися з математичною вірогідністю. Крім міркувань про процес взаємозв'язку філософії та математики в роботах Фіхте є і деякі більш конкретні зауваження щодо окремих філософських проблем математики, зокрема, кілька видозмінені викладу кантівської концепції простору. Фіхте, вважає, що "протяжність у просторі є не що інше, як самоспоглядання свій здатності бути нескінченним у созерцающим". Можна відзначити деякі окремі ідеї Фіхте, сприйняті у подальшому розвитку наукового пізнання (ідею циклічності при обгрунтованому побудові наукової системи, положення про відносну самостійність обгрунтування математики по відношенню до філософії і в той же час твердження про необхідність філософського аналізу вихідних принципів математики), але в цілому цей мислитель не вніс якихось суттєвих змін у кантівську філософію математики, яку він взяв за основу своїх досліджень, його діяльність не вплинула відчутним чином на процес взаємодії філософії і математики.
Приблизно той же висновок можна зробити щодо Шеллінга. У творах цього мислителя зустрічаються окремі натурфілософські роздуми про природу математики та її основних об'єктів: про простір і час, співвідношенні нескінченного і кінцевого і т.д. Єдність і відмінність філософії і математичних наук він пов'язує з різним розумінням співвідношення кінцевого і нескінченного.
Звернення до аналізу математичного пізнання у Гегеля, судячи з його першому великому твору - "Феноменологія духу", обумовлена ​​мотивами, подібними до тих, якими керувався Кант. У обох мислителів інтерес до математики прямував прагненням до досягнення єдиної мети: Кант намагався побудувати метафізику як систему достовірного знання, Гегель заявив, що його наміром "було - сприяти наближенню філософії до форми науки - до тієї мети, досягнувши, якої вона могла б відмовитися від свого імені "любові до знання" і бути "дійсним знанням" ". Якщо Кант вважав, що філософське і математичне знання щодо вірогідності в ідеалі можуть бути однорідними, то Гегель переконаний, що природа математичних істин "відрізняється від природи філософських істин". Математика, як пише Гегель, вважається наукою, перш за все тому, що вона доказательна. Тільки доведене положення вважається правомірним елементом системи, в математиці "повне виведення результатів є хід та засоби пізнавання". Чи є такий шлях пізнання ідеальним? Ні, відповідає Гегель.
Союз між філософією і математикою може бути дійсним, якщо він заснований на взаємному інтересі. Гегель у принципі вважав необхідним звернення математиків до філософії. Що стосується звернення філософів до математики, то з цього питання він зайняв іншу позицію, не сприяла зміцненню союзу даних наук. "Оскільки очевидність в математиці" спочиває лише на бідності її мети і недосконалості її матеріалу ", то вона неприйнятна в філософії". Сам Гегель, якщо врахувати, що він не був фахівцем математики, для свого часу був дуже добре знайомий, як з історією математики, так і з її новими досягненнями на рівні поширених навчальних посібників вищої школи.
Гегель знав математику на стільки, що ніхто з його учнів не був у змозі видати залишилися від нього численні математичні рукописи.
Але думка Гегеля з питання про необхідність філософам звертатися до математики було протилежно тому, що він сам робив. З його точки зору математика не може "щось визначити для методу і змісту філософської науки".
Більшість дослідників акцентують увагу на негативізм Гегеля до математики і недостатньо приділяють увагу тим цікавим, оригінальним ідеям, які вимагають осмислення й подальшого розвитку. Крім того, при оцінці гегелівської позиції, вона не розглядається у співвідношенні з реальним процесом розвитку математичних знань того часу. Щоб усунути останній недолік дамо коротку характеристику найбільш видатних досягнень математичної думки кінця XVIII - перших десятиліть XIX століття і простежимо, який вплив на її розвиток погляди Гегеля та інших представників німецької класичної філософії.