Міністерство науки і освіти України
ПДПУ ім. К.Д. Ушинського
Інститут фізики і математики
Курсова робота на тему:
"Інтеграція математичних і економ і чеських знань"
Франкіна А.В.
V МЕ
Одеса 2008
ЗМІСТ
Введення
Актуальність
Технологія та рівні інтеграції
Труднощі використання математичних моделей в економіці
Інтеграція математики та економіки для вищої освіти
Інтеграція математики та економіки длясреднего освіти
Інтегрований урок (план-конспект)
Використання нових інформаційних технологій навчання
Висновок
Список літератури
Введення
У нових соціально-економічних умовах, пов'язаних із входженням України в міжнародний інформаційний простір, переходом економіки країни до ринкових методів регулювання, опосредующим збільшення швидкості старіння знань і технологій їх засвоєння, перед школою гостро стоїть проблема вдосконалення системи підготовки випускників до майбутньої професійної діяльності.
Створення умов успішного оволодіння основами професійної майстерності і формування інтересу учнів до майбутньої діяльності є сьогодні однією з найважливіших завдань організації освітнього процесу, покликаного забезпечити професійне самовизначення особистості. Результатом професійного самовизначення виступає рівень сформованості готовності особистості до вибору і оволодіння спеціальністю, проектування варіантів професійної життєвого шляху.
Аналіз особливостей професійної діяльності незалежно від об'єкта діяльності та умов її реалізації показав, що фахівець повинен бути готовий до прийняття рішень в умовах невизначеності конкурентного середовища. Це актуалізує проблему формування у майбутнього фахівця таких елементів професійної культури, як уміння формулювати проблему; визначати можливості, шляхи і засоби її дозволу; оптимізувати процес прийняття рішень, які виступають ключовими компетенціями, опосередкованими успішність діяльності. Як показує практика, дана проблема є досить актуальною для середньої освіти, оскільки методично доцільно поєднати професійну підготовку з поглибленим вивченням окремих дисциплін у рамках інтегрованого курсу.
Актуальність
Сьогодні і дорослі і учні ставлять перед суспільством питання: «Чим (або ким) визначається сьогодні рівень цін? Чому вони тільки зростають? Чому держава не може їх встановити на такому низькому рівні, щоб книг, іграшок, продуктів та інших товарів вистачало на всіх? Чому "тануть" наші заощадження і як їх врятувати? Що хорошого або поганого у зміні ціни долара, про яку нам повідомляють по кілька разів на день? У чому сенс реструктуризації зовнішніх боргів? »І т. д.
На жаль, сьогодні вчитель школи знаходиться в такому ж «економічному невіданні», що і його учні, і відповідей на поставлені животрепетні проблемні питання вчитель дати не в змозі. Таке положення вчителя російської школи зовсім не типово: як правило, він завжди вмів, хоча б у загальних рисах, відповісти учневі на поставлене питання, будь то пристрій ядерної бомби, структура ДНК, особливості космічних польотів і т. д. і т. п. !
Саме в цьому місці відбувається взаємодія двох процесів - переходу Росії до ринкових відносин і перетворення системи середньої математичної освіти. Справа в тому, що стрімка економізація російського суспільства вимагає оволодіння школярами деяким набором економічних знань вже на шкільній лаві, а перебудова математичної освіти, посилення практичної спрямованості шкільного курсу математики, дозволить в його рамках розглянути нову змістовно-методичну лінію - економічну і сконструювати «економічну складову шкільного курсу математики ».
Під економічною складовою шкільного курсу математики ми маємо на увазі сукупність найпростіших економічних понять, їх властивості та спеціально сконструйований набір завдань, що мають реальне економічний зміст, які вирішуються на підставі математичного змісту програм відповідних класів, починаючи з 7 і до 11. Ці структури забезпечать безперервну економічну лінію в математиці 7-11 класів загальноосвітньої школи.
Такий підхід дозволить у рамках вивчення математики модифіковані лише об'єкти математичної діяльності, залишаючи без зміни методи і прийоми їх дослідження. Це, у свою чергу, як відзначала І.А. Сасова в [184, с.69], дозволяє здійснити перехід до безперервного економічної освіти дітей та учнівської молоді, який «передбачає зміну типу навчання з інформаційно-репродуктивного на активно-творчий, продуктивний, від дидактичних економічних ігор для молодших віків до ділових економічних ігор , пошукової та виробничо-економічної діяльності - для старших, від виправдали себе класичних форм і методів навчання до таких, які втілюють в собі змістовну педагогічну інтеграцію освіти, науки, виробництва, комп'ютерну технологію навчання ».
Реалізація описаних підходів вимагає перебудови методичної системи навчання математики, в якій найважливіше місце займе формування умінь застосовувати отримані теоретичні знання для аналізу і вирішення конкретних практичних завдань, що виникають у навколишньому всіх нас дійсності і економічних завдань - в тому числі. Саме це вміння виступає сьогодні як одна з найважливіших цілей сучасної математичної освіти.
Імплантація економічних знань у зміст завдань, що вирішуються математичними методами, переслідує досягнення двох цілей. Перша з них полягає в тому, щоб продемонструвати школярам ефективність застосування математичних методів до розв'язання реальних економічних завдань і тим самим показати зв'язок математики з навколишнім світом і реальний сенс її абстрактних конструкцій. Друга мета полягає в розвитку економічного способу мислення - вміння застосовувати апарат математики й економіки для аналізу конкретних економічних явищ і процесів.
В останні десятиріччя величезний набір робіт був присвячений проблемі вдосконалення математичної і методичної підготовки майбутніх викладачів у вищих педагогічних навчальних закладах. Однак, при цьому залишилися осторонь від обговорення найширші можливості, які надає шкільний курс математики для демонстрації різноманітних додатків математики до вивчення реальних завдань навколишнього світу. Уважний аналіз показав, що економіці в цьому питанні належить провідна роль, бо, як показано нижче, основні поняття курсу алгебри 7-9 і алгебри і початків аналізу 10-11 класів можуть бути основою для вирішення найважливіших економічних завдань. (Ми не обговорюємо чудових успіхів математичних методів у фізиці - їх розуміння виходить далеко за рамки шкільних програм і з фізики, і з математики.)
Однак, для того, щоб вчити школярів у процесі вивчення математики ще й елементам економіки необхідно, щоб до цієї роботи був готовий вчитель математики. Сьогодні він до цієї роботи не готовий.
Труднощі вирішення проблеми підготовки викладачів для роботи з розкриття зв'язків математики із завданнями навколишнього світу відрізняються тим, що до теперішнього часу не було концепції такої орієнтації навчання математики, були відсутні навчально-методичні посібники з проведення практикуму з пріложенческім питань математики, були відсутні дидактичні матеріали для вчителя та т . д.
Ми вважаємо, що вихід із ситуації може бути знайдений на наступному шляху:
- Виділення простих понять економіки, з якими учнів можна знайомити у 7-11 класах на уроках математики;
- Виділення змістовного економічного матеріалу, математичні моделі якого не вимагають знання математики в обсязі, що виходить за рамки програм 7-11 класів;
- Складання великого циклу прикладів і завдань з економічним змістом, його методичне та дидактичне забезпечення.
Питання підготовки вчителя математики, здатного обговорювати і економічні проблеми - це складне завдання, що стосується педагогічних вузів і вона чекає ще свого рішення. Ми обговорювати її не будемо.
Загальний напрям проведених автором досліджень пов'язаний з вивченням можливостей, що надаються численними і глибокими зв'язками математики та економіки. Це сприяє розвитку в учнів інтересу до вивчення математики, з'ясуванню її тісних зв'язків з реальними завданнями сучасної ринкової економіки, багатьма з яких повинен володіти кожна людина незалежно від сфери його інтересів. Це допоможе становленню економічної культури, економічної грамотності та економічної етики наших учнів, яким після закінчення школи доведеться «функціонувати» в суспільстві - новому, як для учнів, так і для більшості вчителів і батьків.
Розроблений в даній роботі принцип імплантації економічного змісту в коло вирішуваних в школі математичних завдань, розгляд питань інтеграції економічних і математичних знань у процес складання, аналізу і вирішення завдань, дозволив відновити набір завдань, що вирішуються в 7-11 класах. Це вдалося зробити за рахунок заміни частини «безідейних», застарілих або нецікавих завдань на нові завдання, що мають яскраво виражене економічний зміст. Оскільки математичний апарат при цьому не змінюється (міняється тільки об'єкт, до якого він додається), то на математичну підготовку це не впливає, а економічна складова шкільного курсу математики стає більш змістовною і дієвою. При цьому учень вперше стикається з тріадою «економіка-математика - економіка» і починає розуміти, яким чином економічні завдання переводяться на математичну мову, далі розв'язуються всім відомими, а якщо це необхідно, то і новими методами математики та обчислювальної техніки, і як потім отримані за допомогою математичного інструментарію результати знову тлумачаться в економічних термінах, даючи поради, рекомендації, перераховуючи сценарії розвитку економічних процесів і т. д.
Все це сприяє розвитку активності і свідомості в навчанні математики, які, як стверджує П. І. Підкасистий [161, с.181], реалізуються, якщо:
1) спиратися на інтереси учнів і одночасно формувати мотиви навчання, серед яких на першому місці - пізнавальні інтереси і професійні схильності;
2) включати учнів у вирішення проблемних ситуацій, «в процес пошуку і вирішення наукових та практичних проблем;
3) використовувати такі методи навчання, як дидактичні ігри, дискусії;
4) стимулювати колективні форми роботи, взаємодія учнів у навчанні.
Запропонована автором дослідження програма імплантації економічних знань в курс алгебри 7-9 і курс алгебри і початків аналізу в 10-11 класах, добре сполучається із закордонним досвідом. Так, наприклад, всі розглянуті методами математики теми економіки, включені в економічну складову шкільного курсу математики, входять в програму іспиту з економіки в школах Великобританії (див. А. Бухвалов [34, с.204] і К. West [281, с. 212]. Серед них:
- Попит та пропозиція (рівновага, еластичність);
- Ринки;
- Банківська справа;
- Податки та розподіл податкового тягаря;
- Фактори виробництва;
- Витрати;
- Заощадження та інвестиції.
Автор дослідження вважає, що введення в курс вивчення математики нової змістовно-методичної лінії - економічної, в якійсь мірі (далеко не повної) буде сприяти розвитку у школярів економічної грамотності, що безсумнівно надасть їм допомогу в майбутньому.
На закінчення наведемо цитату зі статті А. Бухвалова [34, с.205]: "незвичайним для нас є те, що школярі в більшості країн Заходу мають можливість протягом декількох років вивчати економіку в якості основної навчальної дисципліни. Тому до моменту вступу до університету у них є значний запас і повне уявлення про суть предмета. Навіть ті, хто не буде потім спеціалізуватися в галузі економіки, використовують надалі ці знання на користь, тому що в умовах ринку не можна і пересічному члену суспільства жити без розуміння котирування курсів акцій і облігацій, знання теорії та практики оподаткування ... вміння користуватися банківським кредитом і т. д. ».
Автор вважає, що впровадження в курс математики яких реальних економічних завдань сьогоднішнього дня, або «логічно» спроектованих економічних завдань значно розширить економічний кругозір і грамотність всіх учнів нашої школи безвідносно до того, який курс математики вони вивчають у старшій школі: гуманітарний, природничо-науковий або фізико -математичний.
У дослідженні з метою реалізації інтеграційного підходу в побудові змісту професійної підготовки учнів в умовах середньоосвітніх шкіл розроблений механізм багаторівневої інтеграції освітніх галузей "Математика", "Економіка". Запропонований механізм розглядається в роботі з позицій реалізації декількох рівнів інтеграції.
На першому рівні здійснюється виділення основних змістових ліній освітніх галузей "Математика" та "Економіка" відповідно до цільової установкою організації професійної підготовки учнів. Їх інтеграція забезпечує відбір змістових ліній на основі врахування системи вимог до рівня сформованості ключових професійних компетенцій.
Наступний рівень інтеграції передбачає визначення системи базових понять з урахуванням виділених змістових ліній, що дає можливість провести узгодження на основі визначення ролі і місця математичних понять в процесі дослідження економічних категорій.
Подальша інтеграція передбачає обгрунтування комплексу математичних методів і засобів вирішення завдань, а також методів дослідження економічних систем, процесів і явищ.
Даний комплекс дозволяє сформувати систему математичних методів і моделей дослідження економічних систем і процесів, на основі якої визначити структуру і зміст інтегрованого курсу.
Таким чином, у дослідженні була виділена структура методологічних знань, що визначають зміст математичної підготовки, і підходи до її трансформації на вивчення соціально-економічних систем, що дозволило визначити специфіку формування математичного апарату вирішення економічних завдань.
Технологія організації професійної підготовки включає в себе наступні аспекти розкриття змісту даного курсу:
• наповнення математичних завдань економічним змістом;
• розгляд економічних завдань, які передбачають використання математичного апарату.
Якщо в рамках першого аспекту передбачено освоєння учнями методів вирішення поставлених математичних завдань, то в рамках другого напрямку передбачається освоєння методів дослідження економічних систем та процесів за допомогою математичного інструментарію.
Враховуючи той факт, що інтегрований курс покликаний забезпечити формування в учнів узагальнених способів вирішення економічних завдань, в його змісті мають бути відображені всі названі аспекти, при переважній значенні другого напрямку, оскільки вивчення соціально-економічних систем передбачає подання аналітичних даних не тільки як результату математичної обробки , але і як результат аналізу функціонування системи (рис. 1).
Доступний рівень інтеграції дозволяє при виборі методу вирішення поставленого завдання в якості результату розглядати економіко-математичну модель. Таким чином, на підставі запропонованого підходу здійснено відбір завдань для реалізації названих аспектів вивчення даного курсу.
Дослідження практичної діяльності в цьому напрямку дозволили зробити висновок про доцільність розгляду в рамках інтегрованого курсу найбільш характерних методів дослідження економічних систем і вироблення технологій вирішення поставлених завдань. З цих позицій особливу увагу приділено вивченню якісних властивостей економічних систем, формалізації кількісних взаємозв'язків їх елементів і закономірностей розвитку.
Виходячи з даних положень, в якості основних розділів курсу виділено:
- Розвиток методології економіко-математичного моделювання;
- Моделювання як метод наукового пізнання;
- Класифікація моделей в економіці;
- Формалізація економічної задачі;
Рис. 1 Модель відбору і конструювання змісту інтегрованого курсу "Елементи економіко-математичного моделювання" на основі інтеграції освітніх галузей "Математика" та "Економіка" ПДПУ ім. К.Д. Ушинського
Інститут фізики і математики
Курсова робота на тему:
"Інтеграція математичних і економ і чеських знань"
Франкіна А.В.
V МЕ
Одеса 2008
ЗМІСТ
Введення
Актуальність
Технологія та рівні інтеграції
Труднощі використання математичних моделей в економіці
Інтеграція математики та економіки для вищої освіти
Інтеграція математики та економіки длясреднего освіти
Інтегрований урок (план-конспект)
Використання нових інформаційних технологій навчання
Висновок
Список літератури
Введення
У нових соціально-економічних умовах, пов'язаних із входженням України в міжнародний інформаційний простір, переходом економіки країни до ринкових методів регулювання, опосредующим збільшення швидкості старіння знань і технологій їх засвоєння, перед школою гостро стоїть проблема вдосконалення системи підготовки випускників до майбутньої професійної діяльності.
Створення умов успішного оволодіння основами професійної майстерності і формування інтересу учнів до майбутньої діяльності є сьогодні однією з найважливіших завдань організації освітнього процесу, покликаного забезпечити професійне самовизначення особистості. Результатом професійного самовизначення виступає рівень сформованості готовності особистості до вибору і оволодіння спеціальністю, проектування варіантів професійної життєвого шляху.
Аналіз особливостей професійної діяльності незалежно від об'єкта діяльності та умов її реалізації показав, що фахівець повинен бути готовий до прийняття рішень в умовах невизначеності конкурентного середовища. Це актуалізує проблему формування у майбутнього фахівця таких елементів професійної культури, як уміння формулювати проблему; визначати можливості, шляхи і засоби її дозволу; оптимізувати процес прийняття рішень, які виступають ключовими компетенціями, опосередкованими успішність діяльності. Як показує практика, дана проблема є досить актуальною для середньої освіти, оскільки методично доцільно поєднати професійну підготовку з поглибленим вивченням окремих дисциплін у рамках інтегрованого курсу.
Актуальність
Сьогодні і дорослі і учні ставлять перед суспільством питання: «Чим (або ким) визначається сьогодні рівень цін? Чому вони тільки зростають? Чому держава не може їх встановити на такому низькому рівні, щоб книг, іграшок, продуктів та інших товарів вистачало на всіх? Чому "тануть" наші заощадження і як їх врятувати? Що хорошого або поганого у зміні ціни долара, про яку нам повідомляють по кілька разів на день? У чому сенс реструктуризації зовнішніх боргів? »І т. д.
На жаль, сьогодні вчитель школи знаходиться в такому ж «економічному невіданні», що і його учні, і відповідей на поставлені животрепетні проблемні питання вчитель дати не в змозі. Таке положення вчителя російської школи зовсім не типово: як правило, він завжди вмів, хоча б у загальних рисах, відповісти учневі на поставлене питання, будь то пристрій ядерної бомби, структура ДНК, особливості космічних польотів і т. д. і т. п. !
Саме в цьому місці відбувається взаємодія двох процесів - переходу Росії до ринкових відносин і перетворення системи середньої математичної освіти. Справа в тому, що стрімка економізація російського суспільства вимагає оволодіння школярами деяким набором економічних знань вже на шкільній лаві, а перебудова математичної освіти, посилення практичної спрямованості шкільного курсу математики, дозволить в його рамках розглянути нову змістовно-методичну лінію - економічну і сконструювати «економічну складову шкільного курсу математики ».
Під економічною складовою шкільного курсу математики ми маємо на увазі сукупність найпростіших економічних понять, їх властивості та спеціально сконструйований набір завдань, що мають реальне економічний зміст, які вирішуються на підставі математичного змісту програм відповідних класів, починаючи з 7 і до 11. Ці структури забезпечать безперервну економічну лінію в математиці 7-11 класів загальноосвітньої школи.
Такий підхід дозволить у рамках вивчення математики модифіковані лише об'єкти математичної діяльності, залишаючи без зміни методи і прийоми їх дослідження. Це, у свою чергу, як відзначала І.А. Сасова в [184, с.69], дозволяє здійснити перехід до безперервного економічної освіти дітей та учнівської молоді, який «передбачає зміну типу навчання з інформаційно-репродуктивного на активно-творчий, продуктивний, від дидактичних економічних ігор для молодших віків до ділових економічних ігор , пошукової та виробничо-економічної діяльності - для старших, від виправдали себе класичних форм і методів навчання до таких, які втілюють в собі змістовну педагогічну інтеграцію освіти, науки, виробництва, комп'ютерну технологію навчання ».
Реалізація описаних підходів вимагає перебудови методичної системи навчання математики, в якій найважливіше місце займе формування умінь застосовувати отримані теоретичні знання для аналізу і вирішення конкретних практичних завдань, що виникають у навколишньому всіх нас дійсності і економічних завдань - в тому числі. Саме це вміння виступає сьогодні як одна з найважливіших цілей сучасної математичної освіти.
Імплантація економічних знань у зміст завдань, що вирішуються математичними методами, переслідує досягнення двох цілей. Перша з них полягає в тому, щоб продемонструвати школярам ефективність застосування математичних методів до розв'язання реальних економічних завдань і тим самим показати зв'язок математики з навколишнім світом і реальний сенс її абстрактних конструкцій. Друга мета полягає в розвитку економічного способу мислення - вміння застосовувати апарат математики й економіки для аналізу конкретних економічних явищ і процесів.
В останні десятиріччя величезний набір робіт був присвячений проблемі вдосконалення математичної і методичної підготовки майбутніх викладачів у вищих педагогічних навчальних закладах. Однак, при цьому залишилися осторонь від обговорення найширші можливості, які надає шкільний курс математики для демонстрації різноманітних додатків математики до вивчення реальних завдань навколишнього світу. Уважний аналіз показав, що економіці в цьому питанні належить провідна роль, бо, як показано нижче, основні поняття курсу алгебри 7-9 і алгебри і початків аналізу 10-11 класів можуть бути основою для вирішення найважливіших економічних завдань. (Ми не обговорюємо чудових успіхів математичних методів у фізиці - їх розуміння виходить далеко за рамки шкільних програм і з фізики, і з математики.)
Однак, для того, щоб вчити школярів у процесі вивчення математики ще й елементам економіки необхідно, щоб до цієї роботи був готовий вчитель математики. Сьогодні він до цієї роботи не готовий.
Труднощі вирішення проблеми підготовки викладачів для роботи з розкриття зв'язків математики із завданнями навколишнього світу відрізняються тим, що до теперішнього часу не було концепції такої орієнтації навчання математики, були відсутні навчально-методичні посібники з проведення практикуму з пріложенческім питань математики, були відсутні дидактичні матеріали для вчителя та т . д.
Ми вважаємо, що вихід із ситуації може бути знайдений на наступному шляху:
- Виділення простих понять економіки, з якими учнів можна знайомити у 7-11 класах на уроках математики;
- Виділення змістовного економічного матеріалу, математичні моделі якого не вимагають знання математики в обсязі, що виходить за рамки програм 7-11 класів;
- Складання великого циклу прикладів і завдань з економічним змістом, його методичне та дидактичне забезпечення.
Питання підготовки вчителя математики, здатного обговорювати і економічні проблеми - це складне завдання, що стосується педагогічних вузів і вона чекає ще свого рішення. Ми обговорювати її не будемо.
Загальний напрям проведених автором досліджень пов'язаний з вивченням можливостей, що надаються численними і глибокими зв'язками математики та економіки. Це сприяє розвитку в учнів інтересу до вивчення математики, з'ясуванню її тісних зв'язків з реальними завданнями сучасної ринкової економіки, багатьма з яких повинен володіти кожна людина незалежно від сфери його інтересів. Це допоможе становленню економічної культури, економічної грамотності та економічної етики наших учнів, яким після закінчення школи доведеться «функціонувати» в суспільстві - новому, як для учнів, так і для більшості вчителів і батьків.
Розроблений в даній роботі принцип імплантації економічного змісту в коло вирішуваних в школі математичних завдань, розгляд питань інтеграції економічних і математичних знань у процес складання, аналізу і вирішення завдань, дозволив відновити набір завдань, що вирішуються в 7-11 класах. Це вдалося зробити за рахунок заміни частини «безідейних», застарілих або нецікавих завдань на нові завдання, що мають яскраво виражене економічний зміст. Оскільки математичний апарат при цьому не змінюється (міняється тільки об'єкт, до якого він додається), то на математичну підготовку це не впливає, а економічна складова шкільного курсу математики стає більш змістовною і дієвою. При цьому учень вперше стикається з тріадою «економіка-математика - економіка» і починає розуміти, яким чином економічні завдання переводяться на математичну мову, далі розв'язуються всім відомими, а якщо це необхідно, то і новими методами математики та обчислювальної техніки, і як потім отримані за допомогою математичного інструментарію результати знову тлумачаться в економічних термінах, даючи поради, рекомендації, перераховуючи сценарії розвитку економічних процесів і т. д.
Все це сприяє розвитку активності і свідомості в навчанні математики, які, як стверджує П. І. Підкасистий [161, с.181], реалізуються, якщо:
1) спиратися на інтереси учнів і одночасно формувати мотиви навчання, серед яких на першому місці - пізнавальні інтереси і професійні схильності;
2) включати учнів у вирішення проблемних ситуацій, «в процес пошуку і вирішення наукових та практичних проблем;
3) використовувати такі методи навчання, як дидактичні ігри, дискусії;
4) стимулювати колективні форми роботи, взаємодія учнів у навчанні.
Запропонована автором дослідження програма імплантації економічних знань в курс алгебри 7-9 і курс алгебри і початків аналізу в 10-11 класах, добре сполучається із закордонним досвідом. Так, наприклад, всі розглянуті методами математики теми економіки, включені в економічну складову шкільного курсу математики, входять в програму іспиту з економіки в школах Великобританії (див. А. Бухвалов [34, с.204] і К. West [281, с. 212]. Серед них:
- Попит та пропозиція (рівновага, еластичність);
- Ринки;
- Банківська справа;
- Податки та розподіл податкового тягаря;
- Фактори виробництва;
- Витрати;
- Заощадження та інвестиції.
Автор дослідження вважає, що введення в курс вивчення математики нової змістовно-методичної лінії - економічної, в якійсь мірі (далеко не повної) буде сприяти розвитку у школярів економічної грамотності, що безсумнівно надасть їм допомогу в майбутньому.
На закінчення наведемо цитату зі статті А. Бухвалова [34, с.205]: "незвичайним для нас є те, що школярі в більшості країн Заходу мають можливість протягом декількох років вивчати економіку в якості основної навчальної дисципліни. Тому до моменту вступу до університету у них є значний запас і повне уявлення про суть предмета. Навіть ті, хто не буде потім спеціалізуватися в галузі економіки, використовують надалі ці знання на користь, тому що в умовах ринку не можна і пересічному члену суспільства жити без розуміння котирування курсів акцій і облігацій, знання теорії та практики оподаткування ... вміння користуватися банківським кредитом і т. д. ».
Автор вважає, що впровадження в курс математики яких реальних економічних завдань сьогоднішнього дня, або «логічно» спроектованих економічних завдань значно розширить економічний кругозір і грамотність всіх учнів нашої школи безвідносно до того, який курс математики вони вивчають у старшій школі: гуманітарний, природничо-науковий або фізико -математичний.
У дослідженні з метою реалізації інтеграційного підходу в побудові змісту професійної підготовки учнів в умовах середньоосвітніх шкіл розроблений механізм багаторівневої інтеграції освітніх галузей "Математика", "Економіка". Запропонований механізм розглядається в роботі з позицій реалізації декількох рівнів інтеграції.
На першому рівні здійснюється виділення основних змістових ліній освітніх галузей "Математика" та "Економіка" відповідно до цільової установкою організації професійної підготовки учнів. Їх інтеграція забезпечує відбір змістових ліній на основі врахування системи вимог до рівня сформованості ключових професійних компетенцій.
Наступний рівень інтеграції передбачає визначення системи базових понять з урахуванням виділених змістових ліній, що дає можливість провести узгодження на основі визначення ролі і місця математичних понять в процесі дослідження економічних категорій.
Подальша інтеграція передбачає обгрунтування комплексу математичних методів і засобів вирішення завдань, а також методів дослідження економічних систем, процесів і явищ.
Даний комплекс дозволяє сформувати систему математичних методів і моделей дослідження економічних систем і процесів, на основі якої визначити структуру і зміст інтегрованого курсу.
Таким чином, у дослідженні була виділена структура методологічних знань, що визначають зміст математичної підготовки, і підходи до її трансформації на вивчення соціально-економічних систем, що дозволило визначити специфіку формування математичного апарату вирішення економічних завдань.
Технологія організації професійної підготовки включає в себе наступні аспекти розкриття змісту даного курсу:
• наповнення математичних завдань економічним змістом;
• розгляд економічних завдань, які передбачають використання математичного апарату.
Якщо в рамках першого аспекту передбачено освоєння учнями методів вирішення поставлених математичних завдань, то в рамках другого напрямку передбачається освоєння методів дослідження економічних систем та процесів за допомогою математичного інструментарію.
Враховуючи той факт, що інтегрований курс покликаний забезпечити формування в учнів узагальнених способів вирішення економічних завдань, в його змісті мають бути відображені всі названі аспекти, при переважній значенні другого напрямку, оскільки вивчення соціально-економічних систем передбачає подання аналітичних даних не тільки як результату математичної обробки , але і як результат аналізу функціонування системи (рис. 1).
Доступний рівень інтеграції дозволяє при виборі методу вирішення поставленого завдання в якості результату розглядати економіко-математичну модель. Таким чином, на підставі запропонованого підходу здійснено відбір завдань для реалізації названих аспектів вивчення даного курсу.
Дослідження практичної діяльності в цьому напрямку дозволили зробити висновок про доцільність розгляду в рамках інтегрованого курсу найбільш характерних методів дослідження економічних систем і вироблення технологій вирішення поставлених завдань. З цих позицій особливу увагу приділено вивченню якісних властивостей економічних систем, формалізації кількісних взаємозв'язків їх елементів і закономірностей розвитку.
Виходячи з даних положень, в якості основних розділів курсу виділено:
- Розвиток методології економіко-математичного моделювання;
- Моделювання як метод наукового пізнання;
- Класифікація моделей в економіці;
- Формалізація економічної задачі;
- Методи математичного програмування в побудові та аналізі економічних моделей:
застосування лінійного програмування для побудови і аналізу моделей виробництва; методи нелінійного програмування в моделюванні економічних систем; цілочисельне програмування; динамічне програмування; оптимальне управління (принцип максимуму);
- Моделювання сфери споживання;
- Моделювання виробничих процесів
- Моделювання загальної економічної рівноваги.
Аналіз психолого-педагогічних особливостей організації професійної підготовки учнів спрямованої на формування готовності випускника до оволодіння спеціальністю, дозволив зробити висновок про те, що формування елементів професійної культури фахівця в процесі вивчення освітньої галузі
"Математика", можливо при одночасній реалізації двох напрямків підготовки:
• організація професійної підготовки учнів за допомогою реалізації задачного підходу, тобто здійснення прикладної спрямованості базового курсу математики;
• використання елементів проблемного навчання з метою активізації навчально-пізнавальної діяльності учнів і розвитку їх творчої самостійності.
Досвід показує, що для сучасної практики підготовки учнів характерно протиріччя між індивідуальним творчим процесом становлення та формування майбутнього фахівця на етапі довузівської підготовки та масово-репродуктивним характером його підготовки. Проте загальне і професійне саморозвиток навчається залежить від ступеня індивідуалізації і творчої спрямованості навчального процесу.
Отже, організація навчально-пізнавальної діяльності учнів, що забезпечує формування готовності останніх до сприйняття та використання спеціальної системи знань повинна бути орієнтована на реалізацію індивідуально-творчого підходу, важливою умовою реалізації якого є надання останнім можливості реалізації суб'єктивної позиції в рамках навчально-інформаційної моделі системи знань ( постановка, організація, реалізація проекту).
З урахуванням даних положень, вивчення кожної теми інтегрованого курсу "Елементи економіко-математичного моделювання" будується в дослідженні на основі реалізації такою технологією:
1) формулюється проблемна ситуація, що вимагає введення нового поняття, визначається його актуальність і значимість;
2) розкривається зміст нового поняття у взаємозв'язку з раніше вивченими категоріями;
3) розглядаються основні методи розв'язання типових завдань на основі використання засобів і методів з урахуванням нового поняття;
4) організується колективна, групова або індивідуальна самостійна робота учнів, орієнтована на розробку моделей та побудова проектів досліджуваних економічних процесів;
5) аналізуються отримані результати. Здійснюється перевірка якості засвоєння досліджуваного поняття в процесі вирішення завдань, що передбачають:
• проста операція поняттями;
• побудова математичної моделі досліджуваного поняття;
• дослідження економічних систем та процесів з використанням математичного апарату, що включає вивчене поняття.
Потрібно підкреслити особливу значущість реалізації умови змагальності та творчої самореалізації учнів у процесі пошуку знань, визначення шляхів і засобів їх вдосконалення, яке забезпечується в рамках вивчення курсу за допомогою організації конкурсів бізнес-ідей, міні-олімпіад, роботи творчих груп та ін
З метою їх проведення в дослідженні розроблено збірник економічних завдань, заснований на запропонованому підході до інтеграції математичного та економічного змісту, розглянута технологія організації такого типу заходів.
Труднощі застосування математичних методів в економіці
Труднощі застосування математичних методів в економіці, перш за все, пов'язані з тим, що це наука, яка не має можливості проводити лабораторні експерименти, не завжди можливо визначити число факторів, що впливають на досліджуваний економічне явище. Економічна наука, не дійшла до такого ступеня свого розвитку, коли можливо виділити досить однорідні і прості елементи, які можуть стати об'єктами рахунку. У 20-і роки нашого століття склався новий напрямок в економіці - економетрія. Основою цього напряму послужили регресійні методи. Після другої світової війни вирішальну роль найширшому впровадженню цих методів в усі галузі наукових досліджень, економічного аналізу та промислового виробництва зіграла обчислювальна техніка, тобто поява в 50-і роки масового виробництва ЕОМ призвело до регрессионному буму. Одна з базових (поряд з мікро-і макроекономікою) дисциплін економічної освіти в усьому світі - економетрика, на жаль, до початку 90-х років по суті не була визнана в СРСР і в Україну, не включалася до навчальних планів підготовки фахівців (студентів, аспірантів) економічного профілю. Пояснення цьому знайти неважко: з трьох основних складових економетрики - економічної теорії, економічної статистики та математико-статистичного інструментарію два перших були представлені в нашій країні явно незадовільно. Не було доброякісної економічної теорії, не було системи національних рахунків і необхідного інформаційного забезпечення економетричного моделювання. Зрозуміло, такий стан має свої причини. Головна - непотрібність для планової економіки фахівців, що володіють знаннями математики. Дійсно, центральна проблема економіки - це проблема раціонального вибору. У плановій економіці відсутня необхідність у фахівцях, які володіють апаратом аналізу і вибору економічних варіантів. Названа причина обумовлювала те, що економічна система, близька до замкнутої, не сприймала ідеї кількісного аналізу економіки.
Однією з характерних рис сучасного стану соціально-економічних досліджень має стати широке застосування в них методів математичної статистики. При цьому важливим є облік, як природи досліджуваного явища, так і математико-статистичних особливостей використовуваного методу. Недооцінка тієї чи іншої сторони цього положення, як правило, призводить до невдач. Логіка статистичного методу визначається специфікою об'єкта дослідження, природою досліджуваних зв'язків, цілями, завданнями і гіпотезами дослідження.
Інтеграція математики та економіки для вищої освіти
В даний час у сучасній економіці надзвичайно велика кількість майбутніх економістів, потребує серйозної математичної підготовки, яка давала б можливість математичними методами досліджувати широке коло нових проблем, застосовувати сучасну обчислювальну техніку, використовувати теоретичні досягнення в практиці. Добре володіння математичним апаратом, зокрема методами математичної статистики, - має стати стандартом економічної освіти. Це вимагає базової підготовки на основі, високого рівня загальної освіти в галузі фундаментальних наук. Для цього, щонайменше, необхідно отримання студентами чіткого уявлення про те, що таке математика і математична модель, в чому полягає математичний підхід до вивчення явищ реального світу, як його можна застосовувати і що вони можуть дати.
Отже, принциповими моментами проблеми математичної освіти є: вибір обсягу і змісту математичних курсів, визначення цілей навчання, правильне поєднання широти і глибини викладу, строгості і наочності, тобто вибір найбільш ефективних і раціональних шляхів навчання, і все це з урахуванням обмеженого часу , відведеного на вивчення математики.
Виходячи з цього, можна стверджувати, що в економічній науці не повинно бути поділу на «економіку» і «математичну економіку». Основна маса статей з економіки, так чи інакше, використовує математичний апарат. Або це опис моделі, або емпірична перевірка обговорюваних гіпотез чи явищ засобами кореляційного або регресійного аналізу, або зручна система позначень, що дозволяє в подальшому легко формулювати досліджувані відносини на кількісному мовою. Але кількісний опис економічних законів засобами математики і статистики вимагає використання складного математичного інструментарію і в більшості випадків виявляється більш складним завданням, ніж опис законів природи.
Таким чином, вже на стадії формування навчальних планів, робочих програм і логіко-структурних схем потрібно враховувати зміни, які відбуваються, і будуть відбуватися найближчим часом у постановці математичної освіти у вузах в результаті нових вимог, що пред'являються в даний час до випускників. Необхідність посилення прикладної спрямованості курсу математики для економістів і підвищення рівня фундаментальної математичної підготовки очевидна, але неможлива без взаєморозуміння тих, хто застосовує у своїй діяльності математичні методи дослідження для вивчення реальних економічних явищ, і так званих «чистих» математиків. Для досягнення цього порозуміння спеціальним кафедрам потрібно залучати до співпраці математиків, які повинні сприяти плідному співдружності математики і її додатків. У випадку, коли для розглянутих додатків вже є готові математичні поняття і основні математичні моделі, рішення завдання зазначеного взаєморозуміння просто і має навчальний характер. Це завдання дуже складна в тому випадку, коли відсутні навіть елементарні математичні моделі найпростіших явищ, коли їх треба тільки ще створювати, прикладом можуть послужити ряд питань економіки та соціології.
Для цього, перш за все, необхідно виходити з того, що навчання розв'язання прикладних задач математичними методами не є лише задачею математично. При цьому у фундаментальних поняттях математики потрібні: найпростіші конкретні приклади, що ілюструють застосування математичних понять для вивчення реальних явищ; навчання студентів рішенню прикладних задач математиками. Однак, необхідно застерегти новаторів-математиків, які сміливо вихолощують внутрішню логічну строгість математичних курсів, підміняючи докази основних тверджень прикладами і завданнями економічного змісту не відображають їх суті, втрачаючи логічну строгість мислення.
Однак, доводиться констатувати, що математична економіка не займає належного місця у спеціальних економічних курсах. На жаль, для багатьох викладачів спеціальних економічних дисциплін у силу специфіки використовуваного апарату навіть існуючі математичні методи і моделі не доступні.
Тільки при наявності чітких уявлень про використовуваних математичних методах може бути об'єктивна впевненість у правильності зроблених висновків. Для того щоб застосовувати математику як метод дослідження, дуже важливо усвідомити і добре засвоїти сутність і взаємозв'язок її основних ідей і понять. У цьому випадку можна сміливо використовувати правдоподібні міркування, бо вони надійні тільки, якщо базуються на щирому знанні. Будувати ж все навчання математики на правдоподібних міркуваннях завідомо неприпустимо, оскільки в цьому випадку неможливо чітко (а значить, правильно) окреслити межі допустимого застосування розглянутого математичного апарату.
Використання математичних і статистичних методів в економіці саме по собі не створює новий предмет досліджень, а завжди грунтується на засадах, тієї науки, в якій має місце такий додаток. Тому багато проблем на цьому шляху ще залишаються невирішеними. До них належить проблема модифікації або адаптації існуючих математико-статистичних методів, методології та методики їх застосування з урахуванням властивостей соціально-економічних даних. Це пов'язано з тим, що умови і припущення, використані математиками при розробці цих методів і виконуються з розумною строгістю в інших додатках, для соціально-економічних даних частіше порушуються, ніж виконуються. Зазначена обмежена можливість перенесення математичних прийомів дослідження породжує методологічні помилки двоякого роду: заперечення приложимости сформованого математико-статистичного апарату в соціально-економічних дослідженнях і уявлення, ніби один і той же метод без будь-яких модифікацій апарату або методики застосування здатний одно задовільно описувати явища різної природи . Тому поряд з модифікацією існуючих методів потрібна розробка нового математичного апарату, методології та методики аналізу, орієнтованих на соціально-економічну інформацію, і перш за все на нечислові дані. До цих проблем примикають проблеми використання ЕОМ. Доступність ЕОМ і зовнішня простота вирішення завдань, аналізу даних за допомогою стандартних програмних засобів, призвели до того, що часто на практиці багато хто з математичних методів використовуються неправильно. Це в свою чергу породжує помилкові рішення і висновки науково-практичного характеру, а тим самим дискредитується і сама ідея активного застосування сучасних методів прикладної статистики в комплексних системних дослідженнях соціально-економічних явищ.
Фетишизація емпіричних статистичних закономірностей, отриманих без досить ретельного попереднього теоретичного обгрунтування, зневага, а іноді і повна відмова від апріорних економічних теорій, від абстрактно-логічних рішень фундаментальних теоретичних проблем - нерідке явище при застосуванні математичних методів.
Повернімося до питання про математичні курсах ще раз. До математичним курсів нерідко пред'являються претензії, що в них у недостатній кількості виводяться математичні, що описують реальні явища. У цьому питанні слід чітко віддати собі звіт в тому, що математичне моделювання реальних явищ, тобто складання математичної моделі такого явища, - це не завдання математики.
Завдання математики полягає у вивченні математичної структури, її властивостей і особливостей. Великий подив повинно викликати не те, що в математичних курсах не будуються всі математичні моделі, необхідні для даної економічної спеціальності, а те, що це не робиться в спеціальних курсах. Так, наприклад, важко знайти загальний курс з економіки, в якому б будувалася математична модель опису будь-якого процесу. Оскільки математика вивчає математичні моделі, то її завданням при вивченні рівнянь можуть бути питання, наприклад, такого вигляду: як впливає зміна даного члена рівняння на існування рішення, його єдиність, на коректність постановки задачі, на стійкість рішення і т.д. і т. п.
Таким чином, володіння математичним апаратом, має стати стандартом економічної освіти. Для цього необхідна розробка методики викладання та здійснення самого процесу навчання студентів математики на основі систематичного застосування математичних методів, що вивчаються ними в курсі математики, до вирішення прикладних завдань, а здійснюватися це має на профілюючих кафедрах. Посилення прикладної спрямованості курсу математики для економістів і підвищення рівня фундаментальної математичної підготовки очевидно, але це вимагає базової підготовки на основі, високого рівня загальної освіти в галузі фундаментальних наук.
Інтеграція математики й економіки для середньої освіти
Економіку прийнято вважати гуманітарною дисципліною лише через непорозуміння. Насправді ця наука оперує переважно кількісно вимірюваними величинами - економічними показниками - і функціональними або статистичними зв'язками між ними - розрахунковими формулами і економічними законами. Сучасна економіка - наука точна.
З цього випливає, що методика викладання основ економічних знань, перш за все, в школі, цілком може (а швидше за все, повинна) мати спільні риси з технологією навчання іншим прикладним наукових дисциплін, скажімо, фізики або хімії. Зокрема, такий спільною рисою, на нашу думку, є широке застосування в ході навчання економіці і перевірки засвоєння матеріалу учнями математичних задач.
Варто зауважити, що закордонні методики викладання почав економіки як школярам, так і дорослим, зазвичай орієнтовані не на завдання, а на метод тестування. Дійсно, за допомогою тестів учні можуть згадати ті положення, які їм підносили вчителем, а викладачі - без особливої праці оцінити успіхи своїх учнів.
Досвід викладання економіки в школі показав, що для слов'янських школярів тести з наборами готових відповідей і з елементами гри в "Відгадайка" - це занадто просто, якщо не сказати - примітивно. Середня школа відрізняється добре відомими міцними математичними традиціями, і наші діти з наймолодших класів привчені самостійно вирішувати невеликі наукові проблеми - шкільні завдання. Теоретичний курс було вирішено доповнити широким набором практичних вправ з математичним ухилом.
Можна стверджувати, що використання завдань перетворює навчання засадам економіки у творчий процес, сприяючи більш глибокого осмислення і освоєння матеріалу. Попутно закріплюються і окремі теми шкільного курсу математики.
Економічних завдань потрібно багато. Вони повинні бути різноманітні за тематикою і по необхідному для вирішення математичному апарату, повинні бути самого різного рівня складності - від елементарних до головоломних олімпіадних.
Поки в якості поля діяльності тут можна запропонувати наступний набір тем курсу основ економічних знань і відповідних розділів курсу математики.
Звичайно, наведеним списком можливості укладача завдань не вичерпуються. Найчастіше завдання не вписуються ні в запропоновану вище, ні в яку-небудь іншу схему. Простір для творчості в галузі створення шкільних економіко-математичних завдань величезний. Це творчість може виявитися корисним для тисяч вчителів і для мільйонів школярів.
Повернемося до питання про роль математики на уроках економіки. Економіка та математика пов'язані між собою вже тисячоліття. Сама поява чисел, створення систем числення і всього того, що нині становить основу математики, було викликано до життя завданнями практики, виробництва, обміну та торгівлі. І в міру становлення та розвитку математики зміцнювалися її зв'язки з економікою. Тому не дивно, що і сучасна економіка широко використовує математичні методи.
Взаємодія математики та економіки приносить обопільну користь: математика отримує найширше поле для різноманітних програм, а економіка - могутній інструмент для отримання нових знань.
Сучасна економіка з її величезною кількістю різноманітних взаємозв'язків між основними її структурами представляє широку можливість для використання одного з основних понять математики - поняття функції. Справа в тому, що численні величини, що характеризують економічні процеси, існують не ізольовано один від одного, а, навпаки, дуже тісно один з одним пов'язані. Такі ціна товару і попит на нього, прибуток фірми та обсяг її виробництва, витрати ресурсів і обсяг випуску продукції, розмір кредиту, виданого банком і плата за його використання, і т.д.
У багатьох ситуаціях, де виникають тісно пов'язані між собою змінні величини, як правило, знайдеться місце для функції.
Задоволення необмежено зростаючих потреб людей відбувається, в основному через виробництво, під яким ми розуміємо процес створення різних видів економічного продукту і матеріальних благ в тому числі. Завдання максимального задоволення потреб людини призводить до того, що все суспільство в цілому, окреме господарство і кожна сім'я повинні вибирати найкращі варіанти господарювання, зіставляючи сьогоднішні витрати праці з його результатами в економічній і соціальній сферах.
Слід ще раз відзначити одну дуже важливу обставину: вивчення елементів економіки, має відбуватися в рамках стандартної програми з математики, яка відповідає даному віку і не вимагати залучення нового математичного матеріалу.
Інтегрований урок
План уроку.
Тема уроку: Цінова еластичність.
Цілі уроку:
Навчальна: вивчення поняття еластичності попиту за ціною, цінові фактори, що впливають на зміну еластичності, висновок формул і практичне застосування при вирішенні завдань.
Розвиваюча: розвиток уваги, пам'яті, мови, логічного мислення під час вирішення завдань, вміння аналізувати поведінку продавця в умовах зміни цін і отримання виручки.
Виховна: виховання самостійності, колективізму, відповідальності, наукового ставлення до вирішення життєвих проблем в умовах ринку.
Оснащення уроку:
1. Комплект формул.
2. Картки-завдання.
3. Інформація на стендах.
4. Презентація (формули, таблиця співвідношення ціни і виручки, задачі).
Тип уроку: інтегрований.
Міжпредметні зв'язки: математика, економіка.
Основні поняття для вивчення: поняття цінової еластичності попиту і пропозиції, коефіцієнт еластичності, еластичний і нееластичний попит, зміна еластичності при наявності замінників, необхідних благ, співвідношення витрат у сімейному бюджеті і часу.
Хід уроку
1. Організаційний момент. Повідомлення теми та мети уроку.
2. Вивчення нового матеріалу:
Поняття еластичності попиту за ціною.
Фактори, що впливають на зміну еластичності.
Рішення задач.
3. Закріплення нового матеріалу. Перевірка засвоєння основних понять теми.
4. Домашнє завдання.
5. Підведення підсумків уроку.
План-конспект уроку.
1. Поняття еластичності попиту за ціною
На попередньому уроці ми встановили, що величина попиту на товар перебуває у зворотній залежності від ціни. Припустимо, відбулося підвищення цін на молоко і "Пепсі-колу" в 2 рази. Але величина попиту на ці товари знизиться в різного ступеня: від "Пепсі-коли" покупець швидше відмовиться, ніж від молока. Поведінка покупців в умовах зниження або підвищення цін характеризується показником "цінова еластичність".
Цінова еластичність - це ступінь зміни величини попиту на товар при зміні ціни.
Кількісне значення визначається коефіцієнтом еластичності, який показує, на скільки зміниться в процентному відношенні величина попиту при зміні ціни на 1%.
Ер =
Ep =
; Ep = 
Значення коефіцієнта еластичності змінюється відносно одиниці:
Якщо Ер> 1, то попит на товар еластичний, тобто зміна величини попиту відбувається більшою мірою, ніж зміна ціни. Покупець швидко реагує на незначне зниження або підвищення цін. Наприклад, збільшення ціни на ювелірні вироби змусить покупців відмовитися від предметів розкоші.
Якщо Ер <1, то попит на товар нееластичний, тобто зміна ціни на товар відбувається в більшій мірі, ніж величина попиту. Покупець слабо реагує на незначне зниження або підвищення цін. Наприклад, збільшення ціни на хліб не змусить покупців відмовитися від цього життєво важливого продукту.
Якщо Ер = 1, то еластичність вважається одиничної, тобто величина попиту і ціна змінюються в рівній мірі.
Еластичність в різних точках кривої попиту проілюстрована на плакаті.
2. Нецінові фактори, що впливають на зміну еластичності
Наявність замінників у даного товару. Якщо є замінники, то попит еластичний (мило-порошок, автобуси - тролейбуси). Якщо немає замінників - попит нееластичний (електроенергія).
Ступінь необхідності товару для споживачів. Життєво важливі товари - попит нееластичний (продукти харчування, житло). Предмети розкоші (прикраси, автомобілі) - попит еластичний.
Частка витрат на товар у сімейному бюджеті. Дешеві товари (сіль, сірники, мило) - попит нееластичний. Дорогі товари (меблі, телевізор) - попит еластичний.
Фактор часу. Попит у довгостроковому періоді еластичний, тому що люди поступово знаходять замінники подорожчав. Попит, обмежений коротким проміжком часу, нееластичний (квіти до свята 8-е березня).
Інформація про еластичність або нееластичність попиту на товар дуже важлива для продавця, тому що від цього залежить розмір виручки або доходу від продажу. Виручка підраховується множенням ціни за одиницю товару на кількість проданого товару. Поведінка продавця можна проаналізувати при вирішенні практичних завдань.
3. Рішення задач на визначення коефіцієнта еластичності
Завдання № 1. Співвідношення ціни і величини попиту задано таблицею. Визначити коефіцієнт еластичності. Дати оцінку діям продавця.
Рішення:
Ер = ; Ep === 
= 
= 1,25> 1
Висновок: Попит еластичний. Дія продавця не вірне, оскільки в умовах еластичного попиту вигідніше знижувати ціну, а не підвищувати.
Можна стверджувати, що використання завдань перетворює навчання засадам економіки у творчий процес, сприяючи більш глибокого осмислення і освоєння матеріалу. Попутно закріплюються і окремі теми шкільного курсу математики.
Економічних завдань потрібно багато. Вони повинні бути різноманітні за тематикою і по необхідному для вирішення математичному апарату, повинні бути самого різного рівня складності - від елементарних до головоломних олімпіадних.
Поки в якості поля діяльності тут можна запропонувати наступний набір тем курсу основ економічних знань і відповідних розділів курсу математики.
| Теми курсу економіки | Розділи курсу математики |
| Крива виробничих можливостей. | Складання і розв'язання рівнянь і систем рівнянь. Аналіз функцій. |
| Попит, пропозиція, рівновага. Побудова та аналіз серії графіків в одній системі координат. Складання і розв'язання рівнянь. | Визначення найбільшого значення функції на відрізку. Аналіз функцій. |
| Еластичність попиту і пропозиції. | Складання і розв'язання рівнянь і систем рівнянь. Планіметрія з тригонометрією. |
| Виручка, витрати, прибуток, рентабельність. | Складання і розв'язання рівнянь і систем рівнянь. Визначення найбільшого значення функції на відрізку. |
| Банки: відсотки за вкладами і відсотки за кредит. | Складання і розв'язання рівнянь. Прогресії. |
| Показники економічної динаміки (прирости, темпи росту і приросту). | Складання і розв'язання рівнянь. |
| Темп інфляції; розрахунки в поточних і наведених цінах. | Складання і розв'язання рівнянь. |
| Порівняльна перевага: обмін, зовнішня торгівля. | Складання і розв'язання рівнянь. |
Повернемося до питання про роль математики на уроках економіки. Економіка та математика пов'язані між собою вже тисячоліття. Сама поява чисел, створення систем числення і всього того, що нині становить основу математики, було викликано до життя завданнями практики, виробництва, обміну та торгівлі. І в міру становлення та розвитку математики зміцнювалися її зв'язки з економікою. Тому не дивно, що і сучасна економіка широко використовує математичні методи.
Взаємодія математики та економіки приносить обопільну користь: математика отримує найширше поле для різноманітних програм, а економіка - могутній інструмент для отримання нових знань.
Сучасна економіка з її величезною кількістю різноманітних взаємозв'язків між основними її структурами представляє широку можливість для використання одного з основних понять математики - поняття функції. Справа в тому, що численні величини, що характеризують економічні процеси, існують не ізольовано один від одного, а, навпаки, дуже тісно один з одним пов'язані. Такі ціна товару і попит на нього, прибуток фірми та обсяг її виробництва, витрати ресурсів і обсяг випуску продукції, розмір кредиту, виданого банком і плата за його використання, і т.д.
У багатьох ситуаціях, де виникають тісно пов'язані між собою змінні величини, як правило, знайдеться місце для функції.
Задоволення необмежено зростаючих потреб людей відбувається, в основному через виробництво, під яким ми розуміємо процес створення різних видів економічного продукту і матеріальних благ в тому числі. Завдання максимального задоволення потреб людини призводить до того, що все суспільство в цілому, окреме господарство і кожна сім'я повинні вибирати найкращі варіанти господарювання, зіставляючи сьогоднішні витрати праці з його результатами в економічній і соціальній сферах.
Слід ще раз відзначити одну дуже важливу обставину: вивчення елементів економіки, має відбуватися в рамках стандартної програми з математики, яка відповідає даному віку і не вимагати залучення нового математичного матеріалу.
Інтегрований урок
План уроку.
Тема уроку: Цінова еластичність.
Цілі уроку:
Навчальна: вивчення поняття еластичності попиту за ціною, цінові фактори, що впливають на зміну еластичності, висновок формул і практичне застосування при вирішенні завдань.
Розвиваюча: розвиток уваги, пам'яті, мови, логічного мислення під час вирішення завдань, вміння аналізувати поведінку продавця в умовах зміни цін і отримання виручки.
Виховна: виховання самостійності, колективізму, відповідальності, наукового ставлення до вирішення життєвих проблем в умовах ринку.
Оснащення уроку:
1. Комплект формул.
2. Картки-завдання.
3. Інформація на стендах.
4. Презентація (формули, таблиця співвідношення ціни і виручки, задачі).
Тип уроку: інтегрований.
Міжпредметні зв'язки: математика, економіка.
Основні поняття для вивчення: поняття цінової еластичності попиту і пропозиції, коефіцієнт еластичності, еластичний і нееластичний попит, зміна еластичності при наявності замінників, необхідних благ, співвідношення витрат у сімейному бюджеті і часу.
Хід уроку
1. Організаційний момент. Повідомлення теми та мети уроку.
2. Вивчення нового матеріалу:
Поняття еластичності попиту за ціною.
Фактори, що впливають на зміну еластичності.
Рішення задач.
3. Закріплення нового матеріалу. Перевірка засвоєння основних понять теми.
4. Домашнє завдання.
5. Підведення підсумків уроку.
План-конспект уроку.
1. Поняття еластичності попиту за ціною
На попередньому уроці ми встановили, що величина попиту на товар перебуває у зворотній залежності від ціни. Припустимо, відбулося підвищення цін на молоко і "Пепсі-колу" в 2 рази. Але величина попиту на ці товари знизиться в різного ступеня: від "Пепсі-коли" покупець швидше відмовиться, ніж від молока. Поведінка покупців в умовах зниження або підвищення цін характеризується показником "цінова еластичність".
Цінова еластичність - це ступінь зміни величини попиту на товар при зміні ціни.
Кількісне значення визначається коефіцієнтом еластичності, який показує, на скільки зміниться в процентному відношенні величина попиту при зміні ціни на 1%.
Ер =
Ep =
Значення коефіцієнта еластичності змінюється відносно одиниці:
Якщо Ер> 1, то попит на товар еластичний, тобто зміна величини попиту відбувається більшою мірою, ніж зміна ціни. Покупець швидко реагує на незначне зниження або підвищення цін. Наприклад, збільшення ціни на ювелірні вироби змусить покупців відмовитися від предметів розкоші.
Якщо Ер <1, то попит на товар нееластичний, тобто зміна ціни на товар відбувається в більшій мірі, ніж величина попиту. Покупець слабо реагує на незначне зниження або підвищення цін. Наприклад, збільшення ціни на хліб не змусить покупців відмовитися від цього життєво важливого продукту.
Якщо Ер = 1, то еластичність вважається одиничної, тобто величина попиту і ціна змінюються в рівній мірі.
Еластичність в різних точках кривої попиту проілюстрована на плакаті.
2. Нецінові фактори, що впливають на зміну еластичності
Наявність замінників у даного товару. Якщо є замінники, то попит еластичний (мило-порошок, автобуси - тролейбуси). Якщо немає замінників - попит нееластичний (електроенергія).
Ступінь необхідності товару для споживачів. Життєво важливі товари - попит нееластичний (продукти харчування, житло). Предмети розкоші (прикраси, автомобілі) - попит еластичний.
Частка витрат на товар у сімейному бюджеті. Дешеві товари (сіль, сірники, мило) - попит нееластичний. Дорогі товари (меблі, телевізор) - попит еластичний.
Фактор часу. Попит у довгостроковому періоді еластичний, тому що люди поступово знаходять замінники подорожчав. Попит, обмежений коротким проміжком часу, нееластичний (квіти до свята 8-е березня).
Інформація про еластичність або нееластичність попиту на товар дуже важлива для продавця, тому що від цього залежить розмір виручки або доходу від продажу. Виручка підраховується множенням ціни за одиницю товару на кількість проданого товару. Поведінка продавця можна проаналізувати при вирішенні практичних завдань.
3. Рішення задач на визначення коефіцієнта еластичності
Завдання № 1. Співвідношення ціни і величини попиту задано таблицею. Визначити коефіцієнт еластичності. Дати оцінку діям продавця.
| Варіанти | Ціна за одиницю продукції P | Обсяг продажів Qd | Виручка P · Qd |
| Початкове положення | 50 руб. | 20 шт | 1000 руб. |
| Змінена положення | 60 крб. | 15 шт. | 900 руб. |
Ер =
Висновок: Попит еластичний. Дія продавця не вірне, оскільки в умовах еластичного попиту вигідніше знижувати ціну, а не підвищувати.
Варіанти | Ціна за одиницю продукції P | Обсяг продажів Qd | Виручка P · Qd |
| Початкове положення | 40 руб | 20кг | 800 руб |
| Змінена положення | 45руб. | 18 кг | 810 руб |
Ер =
Висновок: Попит нееластичний. Дія продавця вірне, тому що в умовах нееластичного попиту вигідніше здійснювати незначне підвищення ціни.
Зведемо висновки, зроблені нами після вирішення завдань в таблицю.
Якщо ціна і доход змінюються в протилежних напрямках, то ми маємо товар еластичного попиту. Якщо дохід і ціна змінюються в одному напрямку, то товар нееластичного попиту.
| Тип еластичності | Зміна ціни | Зміна доходу | Взаємне зміна цін і доходів |
| Попит еластичний | Зростання Зниження | Зниження Зростання | Протилежне |
| Попит нееластичний | Зростання Зниження | Зростання Зниження | Однакове |
| Одинична еластичність попиту | Зростання Зниження | Без зміни | Зміна ціни не впливає на дохід |
Дано: Рішення:
Qd = 38-3p Ep =
Висновок: При ціні товару 5 рублів попит нееластичний. При ціні 7 рублів попит еластичний.
Завдання № 3. Співвідношення ціни товару і величини попиту задано функцією Qd = 21-5P. При якій ціні попит на товар буде нееластичним (Ер = 0,9) або еластичним (Ер = 1,1).
Дано: Рішення:
Qd = 21-5P
5P = 18,9-4,5 P 5P = 23,1 -5,5 P
9,5 P = 18,9 10,5 P = 23,1
P = 1,99 P = 2,2
Висновок. Попит еластичний при ціні товару P = 2,2 рубля, попит нееластичний при ціні P = 1,99 рубля.
Питання для закріплення нового матеріалу.
Навіщо продавцю необхідно враховувати показник еластичності?
В умовах еластичного попиту вигідно знижувати або підвищувати ціну?
В умовах нееластичного попиту вигідно знижувати або підвищувати ціну?
Що означає цінова еластичність попиту?
Який еластичністю володіють наступні види товарів: бензин, легкові автомобілі вітчизняного виробництва, вантажні автомобілі, легкові автомобілі закордонного виробництва, комп'ютери, мобільні телефони.
Попит на перевезення пасажирів у маршрутних автобусах нееластичний. Що потрібно зробити, щоб попит став еластичним?
Наведіть приклади товарів, попит на які обмежений коротким проміжком часу.
Продавець вирішує збільшити ціну на морозиво на 20%, при цьому передбачає, що обсяг продажів, знизиться на 40%. Чи виграє продавець у виручці?
Домашня робота. Кожному учню видається картка з домашнім завданням, де три завдання подібні тим, які вирішували на уроці.
Рефлексія. Підведення підсумків уроку.
Нові Інформаційні Технології навчання (НІТН)
Проблема сістематізації навчального матеріалу в старших класах Сучасної школи є однією з найбільш актуальних Як для вчителів так І для учнів, особливо в умова характерної для останнього десятіліття кризи "інформаційного буху", що сталося Вже звичним явищем І породжує цілій ряд проблем Як загального психолого-педагогічного , так І дидактичного плану. Необхідність побудова єдиної системи знань на годину Закінчення дитиною середньої школи підкреслював Ще К.Д. Ушинський, зазначаючи: "Тільки система ... Що КОНТРАКТИ з самої суті предметів, дає нам повна владу над нашими знаннями". Вітчізняні досліднікі, зокрема С.Л. Рубінштейн, підкреслювалі, Що завдякі цілеспрямованому формуванню сістематізації Як цілісного мислительної процесу "... Загальне перестає буті Тільки Збирання сукупністю частково властивостями, окремих предметів, перетворюючого у сукупність однорідніх, Суттєво пов'язаних Між собою властивостями".
Нові Інформаційні Технології навчання (НІТН) надаються шірокі Можливості Щодо значної інтенсіфікації формування сістематізації Як мислительної операції, особливо з предметів природничо-математичного циклу, таких Як математика та основи економічніх знань. Мі розглядаємо сістематізацію Як один з чінніків, здатно Суттєво впливати на формування інформаційної культури Старшокласник, а засоби НІТН, залучені до виконання цієї Задачі, мо-жуть І повінні буті застосовані Як при поурочному освоєнні нового навчального матеріалу, так І при заключний тематичної повторенні.
Наш Досвід використання програмні засоби GRAN1 на уроках з основ економічніх знань свідчіть про принципово можлівість ефективного застосування НІТН при формуванні системи знань з основ ЕКОНОМІКИ, Що МАЄ Своїм підгрунтям доступні Старшокласник методи Створення математичних моделей, поєднані з графічнім аналізом необхідніх при цьому функцій.
Наведемо Декілька прікладів. Початкові етапи знайомства з основами ЕКОНОМІКИ містять Розгляд питання про найпростіші лінійні математічні Моделі в бізнес-аналізі. Поняття про лінійну функцію, добро відоме нашим учням з попередньою курсу математики, дістає при цьому Нової для них акцентуації в плані наповнення відоміх сімволів стандартного запису Y = kx + b новим змістом, а потужні засоби візуалізації інформації, Що також їх надає GRAN1, спріяють формуванню початків сістемної Якості знання. Розглянемо, зокрема, Як розв'язання простих задач економічного змісту з побудова їхніх математичних моделей та можлівістю перекладення на комп'ютер чисто технічніх операцій з побудова відповідніх графіків здатно однозначно розшіріті І поглібіті Міжпредметні зв'язки І вести до дієвої інтеграції окремих навчальних предметів.
Приклад 1. Нехай Видатки на ПЕРЕВЕЗЕННЯ вантажівкамі (Y) знаходяться в лінійній залежності від відстані, на Яку Необхідно доставіті вантаж (X): Y = 216 +5,16 X, де Y подано в грн., X - в км. З точки зору ЕКОНОМІКИ вантажних перевезень b = 216 (в позначені стандартного Подання лінійної функції Y = kx + b) означає Видатки у 216 грн. на шкірно вантажівку незалежно від того, відбуваються ПЕРЕВЕЗЕННЯ чи Ні. Графік функції, побудованій з допомогою метода GRAN1, перетінає вісь Y у точці (0; 216), ординату якої можна розуміті Як Видатки на утримання бізнесу - витрати на ліцензування, страхування і т.п. Кутовий коефіцієнт прямої k = 5,16 означає Фактично збільшення відатків на транспортування (на 5,16 грн.) При збільшенні Червоточини Не допускаються пробігу вантажівкі на 1 км. Аналогічно, зменшення шляху пробігу на 1 км шкірного разу веде до економії 5,16 грн.
Аналізуючі з учнямі наведень приклад, пріходімо до нового Подання змісту Кутового коефіцієнту прямої в термінах основ бізнесу: тангенс кута Нахил прямої, Що є графіком лінійної функції з однією Незалежною змінною дорівнює відношенню Перелік нормативних залежної змінної (наприклад, відатків на транспортування) до Перелік нормативних незалежної змінної ( напріклад, Червоточини Не допускаються пробігу вантажівкі). Використав GRAN1 для швідкісної І точної Побудова графіків різніх лінійніх функцій, отрімуємо Додаткові Можливості бізнес-аналізу сітуацій подібніх Вище опісаній.
Приклад 2. Щорічні прибутку від податкових надходжень у міську управу залежатись від рівня безробіття в даному регіоні, причому ця залежність віражається лінійною функцією Y = 3,7-0,4 X, де Y (у млн. грн.) Означає прибутку вказаної ДЕРЖАВНОЇ встанови, а X - Рівень безробіття (у відсотках). Виконуючи побудова Графіка функції з допомогою метода GRAN1, Учні Спочатку передбачають, а потім переконуються Самі, Що збільшення відатків на подолання безробіття в даному регіоні веде до Зменшення відсотку громадян, які НЕ мают роботи (така взаємна залежність обумовлена k =- 0,4). Отже, в процесі аналізу задовольняють нескладного прикладу отрімуємо НЕ Тільки швидку І точно геометрично інтерпретацію аналітічного виразивши, но й можлівість наповнення Його новим змістом економічного характеру. Так, напріклад, точка Перетин Графіка функції з віссю ординат (0; 3,7) МАЄ тієї Зміст, Що навіть при нульового рівні безробіття щорічні Видатки мерії становітімуть 3,7 млн.грн. значення k =- 0,4 означає, Що Кожній 1% збільшення безробіття (наприклад з 10 до 11 відсотків працездатного населення) прізведе до Зменшення доходної частин міського бюджету на 0,4 млн.грн. За графіком, побудованім в GRAN1, візначаємо, напріклад, Видатки з прібуткової частина бюджету при різніх значеннях відсотку незайнятого роботів працездатного населення.
У багатьох проблемних сітуаціях бізнес-аналізу вінікає Необхідність знаходження коефіцієнтів k І b для Побудова рівняння лінійної функції. З'ясування рівняння прямої за відомімі статистичний данімі дозволяє, з одного боку, передбачити гіпотетічні значення змінних, які визначають певне економічну сітуацію, оцініті інтенсівність їхніх взаємніх змін, а з іншого боку у вчителя з'являється можлівість розв'язання з учнямі комплексу взаємно- Обернення завдань, Що однозначно спріяє формуванню сістематізації. Таким чином, ми Фактично розв'язуємо з учнямі завдання протіставлення віхідної форми знання відозміненій, адже перетворення знань шляхом перекодування інформації Ще на ступені ціркулювання її в оператівній пам'яті дитини створює підгрунтя Як для ефективного засвоєння знань, так І для їхньої сістематізації. Подалі об'єктівування Отримання закономірностей в графічних образах з допомогою метода GRAN1 створює інформаційну спільність Між окремих елементами знання, адже кодування алгебраїчного через геометрично І навпаки повністю відповідає важлівій фізіологічній закономірності функціональної асіметрії головного мозку.
Застосування GRAN1 в даному випадка дозволяє окрім Усього Вище напрямній дати відповідь на питання, Чому сортаменту ця математична модель Може буті використана для опису І пояснення даної проблемної сітуації з ЕКОНОМІКИ, адже часто основою для аналізу тієї чи іншої Моделі є лінійна залежність Між двома зміннімі, Яку можна уявіті у вігляді "розсіпної" діаграмі, Яка складається з окремих Точок з відомімі координатами. Візуальній аналіз подібної графічної побудова дозволити учням Зробити прогноз Стосовно кута Нахил прямої до додатного напрямки осі абсціс І оцініті Ступінь майбутньої відповідності обраної математічної Моделі попереднім дослідженням або статистичний данім.
Література
1. С. І. Іванов, "Основи економічної теорії", Віта-Проф., Москва 2003р.
2. Б. І. Табачніков, "Основи економіки", Навчальний посібник для студентів закладів середньої професійної освіти, Віта-Пресс., Москва 2000р.
3. Л. Л. Любимов, Н. А. ранова, "Основи економічних знань", Віта-Проф., Москва 1999р.
4. В. С. Автономов "Введення в економіку", Віта-Пресс., Москва 2005р.
5. А. Г. Мордкович, "Алгебра і початки аналізу", Москва 2000р.
Висновок
Наростаючий потік громадської, наукової та технічної інформації призводить до ускладнення змісту освіти, перевантаження учнів інформацією, яка не має прикладного значення. У той же час стратегія сучасної освіти та соціальний запит суспільства визначають в якості одного з основних напрямків посилення практичної спрямованості шкільної викладання. • математичні знання часто виявляються формальними і незатребуваними в житті, а їх засвоєння вимагає від більшості школярів значних зусиль. • Стає очевидною необхідність формування знань про закони суспільства, зокрема, основ економічних знань, на уроках математики та у позаурочній діяльності, переходу від ізольованого вивчення дисциплін до комплексного, наприклад, до інтеграції математики та економіки.
Великого значення набуває рішення математичних задач з економічним змістом, використання ділових ігор, обговорення ситуацій, типових для економіки сімейного господарства, підприємства і країни в цілому.
У сфері інтересів кожної людини, починаючи зі шкільного віку, виявляються питання, пов'язані з проблемою вибору найкращого із запропонованих варіантів, оцінкою ступеня ризику, прогнозування можливих наслідків того чи іншого рішення. Тому актуальну значимість набуває вивчення ймовірнісно-статистичного матеріалу на уроках математики.
Школярам, які цікавляться комп'ютерними технологіями та прикладними питаннями, необхідно продемонструвати можливість моделювання випадкових експериментів за допомогою комп'ютера. При підготовці проектів в учнів формується вміння використовувати інформаційно-комунікаційні технології та мультимедійні ресурси для обробки інформації, створення баз даних, презентацій результатів пізнавальної і практичної діяльності.
Необхідно не тільки включити до комплексу завдань, пропонованих підручником, завдання прикладної спрямованості, але і продумати систему позакласних занять: факультативів та елективних курсів практичного змісту, сприяють реалізації діяльнісного підходу, формування навичок економічного обгрунтування при вирішенні завдань реальному житті.
Незалежно від того, який життєвий шлях і професію оберуть випускники в подальшому, досвід вирішення життєвих завдань, безсумнівно, стане в нагоді їм у житті і допоможе адаптуватися до змін, що відбуваються в російському суспільстві.
Економіка не розвивається по шаблонах, хоча в господарських процесах виявляється чимало закономірностей, тенденцій, існують об'єктивні економічні закони. Наукові передумови аналізу завжди в тій чи іншій мірі обмежують об'єкт дослідження. Без подібних передумов не обходиться жодна модель, жодна формула або функція. Важливо усвідомлювати ці обмеження математичного підходу і не абсолютизувати його ефективність.
Вивчення математичних дисциплін організує мислення, сприяє розвитку чіткості та лаконічності у викладі доводів і дисциплінує наукові дослідження і створює необхідну базу для розуміння і зіставлення дослідницьких робіт та навчальних дисциплін різних країн. Мова математики - це, образно кажучи, мова музики, які можуть у більшості випадків розуміти всі без перекладача. Проблема полягає в тому, щоб відібрати ті математичні дисципліни, які більш за все необхідні як економістам-теоретикам, так і економістам-практикам.
Література
1. Євген і Наталя Винокурова. Економіка в задачах. 50 непростих завдань про пропозицію грошей і середніх цінах, витратах і прибутку, попиті і пропозиції, виробництві та інфляції, експорті та імпорті. - М.: Почала-прес, 1995.
2. Є. і М. Винокурова. Економіка в задачах. - "Математика". Щотижневе навчально-методичне додаток до газети "Перше вересня". № 34, вересень 1998 р.
3. Євген Винокуров. Пограємо в економіку. - "Ять". № № 1-7 за 2000 р.
4. Є.Ф. Винокуров. Бізнес в три питання: Недоліки? Ціна? Виручка? - "Математика в школі", № 8 за 2002 р.
5. А.А. Міцкевич. Збірник завдань з економіки. Видання друге. - М.: Віта-Пресс, 1998.
6. А.С. Симонов. Економіка на уроках математики. М.: "Школа-Пресс", 1999.
7. Є. Ф. Винокуров, Н.А. Винокурова. Важкі завдання з економіки. - М.: Віта-Пресс, 2001.
8. Андрющенко Алла Рудольфівна (Дисертація)
9. Жалдак М.І. Комп'ютер на уроках математики: Посібник для вчітелів.-К.: Техніка, 1997.-303с.
10. Жалдак М.І. Яким буті шкільному курсу "Основи інформатики" / / Комп'ютер у школі та сім'ї .- 1998 .- № 1.-с.3-7.
11. Основи нових інформаційніх технологій навчання: Посібник для вчителів / Авт.кол.; За ред. Ю.І.Машбіця / Інститут псіхології ім.Г.С.Костюка АПН Україні.-К.: ІЗМН, 1997.-264с.
12. Бурда М.І. Структура І Зміст профільного навчання математики. / / Математика в школі. - 2007. - № 7, с.3-6.
13. Кремень В.Г. Освіта і наука в Україні - Інноваційні аспекти. Стратегія. Реалізація. Результати. - К.: Грамота, 2005. - 448 с.
14. Нічуговська Л.І. Науково-методичні основи математічної ОСВІТИ студентів економічніх спеціальностей вищіх навчальних закладів /: Дис. докт. пед. наук (13.00.04). - Полтава, 2004. - 464 с.
15. Раков С. Формування математичних компетентностей випускника школи Як Місія математічної ОСВІТИ. / / Математика в школі. - 2007. - № 5, с.2-7.
16. Хуторський А. Ключові компетенції як компонент особистісно-орієнтованої освіти. / / Народна освіта. - 2003. - № 2, с. 58-64.