Економетрика

ЗАВДАННЯ
Завдання 1. Використовуючи метод парного кореляційно-регресійного аналізу виявити залежність між обсягом продажу (Y) і витратами на рекламу (X). Побудуйте поле кореляції. Для апроксимації використовуйте як мінімум 3 види залежностей (прямолінійну, параболічну і логарифмічну). Оцінити тісноту зв'язку і точність апроксимації, зробіть висновки про можливість використання моделі для прогнозування.

	Витрати на рекламу X	Обсяг продажів Y
1	9	80
2	12	130
3	12	100
4	12	150
5	12	150
6	13	270
7	14	170
8	11	130
9	9	90
10	10	120
11	11	100
12	12	120
13	15	220
14	12	130
15	11	130
16	14	130
17	12	120
18	15	220
19	16	170

Задача 2 Визначити залежність між фактором і результатірующім ознакою за даними, наведеними в таблиці. Розрахувати коефіцієнт кореляції, визначити вид залежності, параметри лінії регресії, кореляційне відношення і оцінити точність апроксимації.

N	Основна заробітна плата (тис. грош. Од)	Витрати по експлуатації машин і механізмів (тис. грош. Од)
1	6.3	3.2
2	1.1	0.5
3	2.9	1.2
4	2.5	1.0
5	2.3	0.5
6	4.7	1.6
7	2.5	0.8
8	3.6	1.3
9	5.0	2.1
10	0.7	0.3
11	7.0	3.2
12	1.0	0.5
13	3.1	1.4
14	2.8	1.8
15	1.4	0.3
16	1.0	0.4
17	5.1	2.3
18	2.6	1.0
18	3.8	1.3
20	2.5	1.3

РІШЕННЯ
Задача 1
Поле кореляції:

1. Прямолінійна залежність
Рівняння прямої y = a + bx, таким чином, використовуючи метод найменших квадратів, мінімізуємо функцію

. Для знаходження коефіцієнтів a і b, продиференціюємо

по кожному параметру a і b прирівняємо, 0 і отримаємо систему рівнянь.

Для обчислення параметрів a і b прямий заповнюємо розрахункову таблицю:

	X	Y	XY	X ^ 2	Y ^ 2
1	9	80	720	81	6400
2	12	130	1560	144	16900
3	12	100	1200	144	10000
4	12	150	1800	144	22500
5	12	150	1800	144	22500
6	13	270	3510	169	72900
7	14	170	2380	196	28900
8	11	130	1430	121	16900
9	9	90	810	81	8100
10	10	120	1200	100	14400
11	11	100	1100	121	10000
12	12	120	1440	144	14400
13	15	220	3300	225	48400
14	12	130	1560	144	16900
15	11	130	1430	121	16900
16	14	130	1820	196	16900
17	12	120	1440	144	14400
18	15	220	3300	225	48400
19	16	170	2720	256	28900
å	232	2730	34520	2900	434700

	X	Y
1	X	Y	87.02	0.09	49.31	4055.68
2	9	80	139.97	0.08	99.37	187.26
3	12	130	139.97	0.40	1597.49	1908.31
4	12	100	139.97	0.07	100.63	39.89
5	12	150	139.97	0.07	100.63	39.89
6	12	150	157.62	0.42	12629.81	15955.68
7	13	270	175.27	0.03	27.74	692.52
8	14	170	122.32	0.06	58.99	187.26
9	11	130	87.02	0.03	8.87	2881.99
10	9	90	104.67	0.13	234.98	560.94
11	10	120	122.32	0.22	498.17	1908.31
12	11	100	139.97	0.17	398.75	560.94
13	12	120	192.92	0.12	733.58	5824.10
14	15	220	139.97	0.08	99.37	187.26
15	12	130	122.32	0.06	58.99	187.26
16	11	130	175.27	0.35	2049.05	187.26
17	14	130	139.97	0.17	398.75	560.94
18	12	120	192.92	0.12	733.58	5824.10
19	15	220	210.56	0.24	1645.46	692.52
å	16	170		2.89	21523.51	42442.11

= 0.88
r> 0, отже, зв'язок прямий.
| R |> 0.65 - зв'язок тісний

= 14.17%
Рівняння апроксимуючої прямої

= 0.88
2. Параболічна залежність
Рівняння параболи y = a + bx + cx ^2. Зробимо заміну x = x _1, x ² = x _2, перейдемо до рівняння: y = a + bx ₁ + cx _2. Продиференціюємо

по кожному параметру a, b і с, прирівняємо до 0, отримаємо систему рівнянь:

Для обчислення параметрів a, b і з заповнюємо розрахункову таблицю:

	X	Y	XY	X ^ 2	Y ^ 2	X ^ 3	X ^ 4	X ^ 2 * Y
1	12	130	1560	144	16900	1728	20736	18720
2	13	170	2210	169	28900	2197	28561	28730
3	12	110	1320	144	12100	1728	20736	15840
4	11	121	1331	121	14641	1331	14641	14641
5	15	130	1950	225	16900	3375	50625	29250
6	12	120	1440	144	14400	1728	20736	17280
7	11	110	1210	121	12100	1331	14641	13310
8	8	70	560	64	4900	512	4096	4480
9	12	140	1680	144	19600	1728	20736	20160
10	12	120	1440	144	14400	1728	20736	17280
11	13	150	1950	169	22500	2197	28561	25350
12	12	120	1440	144	14400	1728	20736	17280
13	14	200	2800	196	40000	2744	38416	39200
14	13	130	1690	169	16900	2197	28561	21970
15	15	240	3600	225	57600	3375	50625	54000
16	16	200	3200	256	40000	4096	65536	51200
17	17	290	4930	289	84100	4913	83521	83810
18	18	290	5220	324	84100	5832	104976	93960
19	17	200	3400	289	40000	4913	83521	57800
å	253	3041	42931	3481	554441	49381	720697	624261

Отримаємо систему рівнянь:
19a +253 b +3481 c = 3041
253a +3481 b +49381 c = 42931
3481a +49381 b +720697 c = 624261
Вирішимо дану систему засобами Matlab:
>> A = [19 253 3481; 253 3481 4938 1; 3481 49 381 720 697]
a =
19 253 3481
253 3481 4938 1
3481 49381 720697
>> B = [3041; 42931; 624261]
b =
3041
42931
624261
>> Format long
>> A \ b
ans =
70.030968707669246
-8.789656532559803
1.130190950098223
Таким чином, a = 70.030968707669246
b = -8.789656532559803
c = 1.130190950098223
Рівняння апроксимуючої параболи

	X	Y
1	12	130	127.30	0.02	7.28	903.16
2	13	170	146.77	0.14	539.74	98.95
3	12	110	127.30	0.16	299.38	2505.27
4	11	121	110.10	0.09	118.86	1525.11
5	15	130	192.48	0.48	3903.64	903.16
6	12	120	127.30	0.06	53.33	1604.21
7	11	110	110.10	0.00	0.01	2505.27
8	8	70	72.05	0.03	4.19	8109.48
9	12	140	127.30	0.09	161.22	402.11
10	12	120	127.30	0.06	53.33	1604.21
11	13	150	146.77	0.02	10.45	101.06
12	12	120	127.30	0.06	53.33	1604.21
13	14	200	168.49	0.16	992.68	1595.79
14	13	130	146.77	0.13	281.16	903.16
15	15	240	192.48	0.20	2258.24	6391.58
16	16	200	218.73	0.09	350.64	1595.79
17	17	290	247.23	0.15	1829.10	16886.32
18	18	290	278.00	0.04	144.02	16886.32
19	17	200	247.23	0.24	2230.86	1595.79
å	253	3041		2.21	13291.44	67720.95

= 0.88
r> 0, отже, зв'язок прямий.
| R |> 0.65 - зв'язок тісний

= 11.65%

= 0.90
Оскільки

> R, то крива краще апроксимує залежність

3. Логарифмічна залежність
y = a + b lnx
Після заміни lnx = z отримаємо лінійну залежність, формули для обчислення коефіцієнтів якої відомі. Після зворотної заміни отримаємо:

	X	lnX	Y	lnXY	(LnX) ^ 2	Y ^ 2
1	12	2.48	130	323.04	6.17	16900
2	13	2.56	170	436.04	6.58	28900
3	12	2.48	110	273.34	6.17	12100
4	11	2.40	121	290.15	5.75	14641
5	15	2.71	130	352.05	7.33	16900
6	12	2.48	120	298.19	6.17	14400
7	11	2.40	110	263.77	5.75	12100
8	8	2.08	70	145.56	4.32	4900
9	12	2.48	140	347.89	6.17	19600
10	12	2.48	120	298.19	6.17	14400
11	13	2.56	150	384.74	6.58	22500
12	12	2.48	120	298.19	6.17	14400
13	14	2.64	200	527.81	6.96	40000
14	13	2.56	130	333.44	6.58	16900
15	15	2.71	240	649.93	7.33	57600
16	16	2.77	200	554.52	7.69	40000
17	17	2.83	290	821.63	8.03	84100
18	18	2.89	290	838.21	8.35	84100
19	17	2.83	200	566.64	8.03	40000
å		48.86	3041	8003.32	126.34	554441

a = -542.07
b = 273.01
Рівняння апроксимуючої логарифмічній залежності

	X	lnX	Y
1	12	2.48	130	136.33	0.05	40.09	903.16
2	13	2.56	170	158.18	0.07	139.61	98.95
3	12	2.48	110	136.33	0.24	693.36	2505.27
4	11	2.40	121	112.58	0.07	70.95	1525.11
5	15	2.71	130	197.25	0.52	4522.87	903.16
6	12	2.48	120	136.33	0.14	266.73	1604.21
7	11	2.40	110	112.58	0.02	6.64	2505.27
8	8	2.08	70	25.64	0.63	1968.20	8109.48
9	12	2.48	140	136.33	0.03	13.46	402.11
10	12	2.48	120	136.33	0.14	266.73	1604.21
11	13	2.56	150	158.18	0.05	66.98	101.06
12	12	2.48	120	136.33	0.14	266.73	1604.21
13	14	2.64	200	178.42	0.11	465.85	1595.79
14	13	2.56	130	158.18	0.22	794.35	903.16
15	15	2.71	240	197.25	0.18	1827.37	6391.58
16	16	2.77	200	214.87	0.07	221.18	1595.79
17	17	2.83	290	231.42	0.20	3431.25	16886.32
18	18	2.89	290	247.03	0.15	1846.60	16886.32
19	17	2.83	200	231.42	0.16	987.41	1595.79
å		48.86	3041		3.18	17896.35	67720.95

r = 0.86
r> 0, отже, зв'язок прямий.
| R |> 0.65 - зв'язок тісний

= 16.71%

= 0.86
4. Висновок про можливість використання моделі для прогнозування
Для апроксимації було використано 3 види залежностей: прямолінійна, параболічна, логарифмічна.

	прямолінійна	параболічна	логарифмічна
Рівняння
r	0.88	0.88	0.86
	0.88	0.90	0.86
	14.17%	11.65%	16.71%

У всіх випадках зв'язок пряма і тісна. Найточніше апроксимує парабола, оскільки

> R,

мінімальна і дорівнює 11.65%.
Пряма апроксимує залежність менш точно, тому що

більше - 14.17%.
Найменш точно апроксимує логарифмічна залежність, тому що

максимальна і дорівнює 16.71%.
Висновок: найкраща модель для прогнозування - параболічна, найгірша - логарифмічна. Це пояснюється тим, що опуклість даних кривих різна.
Задача 2
Використовуємо лінійну залежність. Коефіцієнти прямої знаходяться за формулами

	X	Y	XY	X ^ 2	Y ^ 2
1	6.3	3.2	20.16	39.69	10.24
2	1.1	0.5	0.55	1.21	0.25
3	2.9	1.2	3.48	8.41	1.44
4	2.5	1	2.5	6.25	1
5	2.3	0.5	1.15	5.29	0.25
6	4.7	1.6	7.52	22.09	2.56
7	2.5	0.8	2	6.25	0.64
8	3.6	1.3	4.68	12.96	1.69
9	5	2.1	10.5	25	4.41
10	0.7	0.3	0.21	0.49	0.09
11	7	3.2	22.4	49	10.24
12	1	0.5	0.5	1	0.25
13	3.1	1.4	4.34	9.61	1.96
14	2.8	1.8	5.04	7.84	3.24
15	1.4	0.3	0.42	1.96	0.09
16	1	0.4	0.4	1	0.16
17	5.1	2.3	11.73	26.01	5.29
18	2.6	1	2.6	6.76	1
19	3.8	1.3	4.94	14.44	1.69
20	2.5	1.3	3.25	6.25	1.69
å	61.9	26	108.37	251.51	48.18

Поле кореляції:

N = 20
a = -0.14
b = 0.47 => y = -0.14 + 0.47 x

	X	Y
1	6.3	3.2	2.79	0.13	0.17	3.61
2	1.1	0.5	0.37	0.26	0.02	0.64
3	2.9	1.2	1.21	0.01	0.00	0.01
4	2.5	1	1.02	0.02	0.00	0.09
5	2.3	0.5	0.93	0.86	0.18	0.64
6	4.7	1.6	2.05	0.28	0.20	0.09
7	2.5	0.8	1.02	0.28	0.05	0.25
8	3.6	1.3	1.54	0.18	0.06	4.93038E-32
9	5	2.1	2.19	0.04	0.01	0.64
10	0.7	0.3	0.19	0.38	0.01	1
11	7	3.2	3.12	0.03	0.01	3.61
12	1	0.5	0.32	0.35	0.03	0.64
13	3.1	1.4	1.30	0.07	0.01	0.01
14	2.8	1.8	1.16	0.35	0.41	0.25
15	1.4	0.3	0.51	0.70	0.04	1
16	1	0.4	0.32	0.19	0.01	0.81
17	5.1	2.3	2.23	0.03	0.00	1
18	2.6	1	1.07	0.07	0.00	0.09
19	3.8	1.3	1.63	0.25	0.11	4.93038E-32
20	2.5	1.3	1.02	0.21	0.08	4.93038E-32
å	61.9	26		4.69	1.39	14.38

Коефіцієнт кореляції r знаходиться за формулою:
r

= 0.95
r> 0, отже, зв'язок прямий.
| R |> 0.65 - зв'язок тісний
Кореляційне відношення

= 0.95
Точність апроксимації

= 23.47%