Теорія поля та елементи векторного аналізу

Елементи математичної теорії скалярних і векторних полів

Математична теорія поля займається вивченням його властивостей, відволікаючись від його конкретного фізичного змісту. Тому що отримується в цій теорії поняття і закономірності відносяться до всіх конкретних полях.
Визначення 1
Полем називається сукупність значень тієї чи іншої величини (швидкість, щільність, тиск і т.п.), заданих в кожній точці даної області.
Якщо розглянута величина
а) скаляр, то поле називається скалярним, наприклад

- Поле щільності
б) вектор, то поле називається векторним

- Поле швидкостей
в) тензор, то поле називається тензорним

- Поле напруг.
Визначення 2
Якщо значення величин, що розглядаються не змінюються в часі, то поле називається стаціонарним (сталим), якщо ж вони

змінюються в часі, то поле називається нестаціонарним.
Тут ми зупинимося на розгляді властивостей стаціонарних полів.

Скалярний поле

Характеристики скалярного поля
1) Скалярний поле характеризується поверхнею рівня

(Див. мал.)
2) Градієнт поля визначається як вектор, складений з приватних похідних

(1)
Він спрямований по нормалі до поверхонь рівня і характеризує величину і напрям наібистрейшего зміни величини поля. Повний диференціал скалярного поля

можна представити у вигляді:

, (2)
де

.
3) Похідна за напрямом

(Див. рис. 2) визначається як проекція градієнту на даний напрямок

(3)
Окремий випадок: похідна по нормалі:

(4)
4) Приватні і повні похідні за часом
Розглянемо нестаціонарне скалярний полі:

Швидкість зміни r у фіксованій точці

дорівнює

і називається приватної похідною (локальної похідної). Нехай задана деяка траєкторія у просторі, де визначено скалярний полі (рис. 3)

Швидкість зміни r вздовж траєкторії визначається як повна похідна за t від складної функції і дорівнює:

(5)

- Конвективна похідна, вона пов'язана з переміщенням точки (частки) з однієї точки простору в іншу.
Зауваження:
ОператорÑ «набла» - це грецьке слово, що означає «арфа» - музичний інструмент, що формою нагадує перевернутий трикутник.
Характеристики векторного поля

1) Векторна лінія - крива, напрямок якої в кожній її точці збігаються з напрямом вектора

, Що відповідає цій точці (див. рис. 4)

- Колінеарні (паралельні) вектори і, отже,

| | =

= L

(6)
2) Похідна від вектора у напрямку визначається наступним чином:

(7)

- Напрямні косинуси вектора

, В декартовій системі координат.
Доказ:
Врахуємо, що

і так далі, підставимо в

, Отримаємо:

Отже, ми довели

.
3) Приватна і повна похідні за часом від вектора

(9)
Доказ:

4) Потік вектора через поверхню. Дивергенція

- Потік векторної величини через елементарну площадку (елементарний потік)

(11)
векторний потік через незамкнену майданчик;

(12)
потік вектора через замкнену майданчик.

-
потік вектора швидкості через поверхню S дорівнює обсягу рідини, що протікає через цей майданчик поверхні за одиницю часу.
По теоремі Остроградського-Гауса (рис. 7)

(13)
Стискаючи обсяг

і, отже

отримаємо, використовуючи теорему осреднения

(14)
Отже,

можна визначити як межа

(15)
Приклад:
У гідродинаміці поле швидкостей

має

дивергенція дорівнює кількості рідини, розрахованому на одиницю об'єму, що випливає з даної точки простору за одну секунду, тобто

дорівнює потужності джерела рідини (якщо

> 0).
Якщо

<0, то в цих точках простору розташований сток рідини, з потужністю

.
5. Циркуляція вектора вздовж лінії
Роток векторного поля
Елементарна циркуляція вектора

вздовж лінії dl дорівнює (рис. 8а)

(16)

Циркуляція вектора

вздовж замкнутого лінії L (рис. 8б)

(17)
Нехай контур L обмежує деяку поверхню S (рис. 8а). Використовуємо теорему Стокса і перетворимо інтеграл по кривій L в інтеграл по поверхні S:

(18)
Роток (вихор) вектора

визначається як

(19)
Визначення
Циркуляція вектора

вздовж замкнутого контуру дорівнює потоку його ротора через поверхню, обмежену цим контуром (рис. 9)

(20)
Потенційне векторне поле
Визначення:
Векторне поле

називається потенційним, якщо існує скалярна величина

, Така, що

- Називається скалярним потенціалом поля.
Властивості потенційного поля
1. У потенційному полі відсутні вихори (відсутній ротація), тобто

Доказ:

2. Циркуляція по будь-якому замкнутому контуру дорівнює нулю (це наслідок п.1)

3. Робота потенційного поля при переміщенні точки з одного положення в інше не залежить від шляху з'єднує ці положення і дорівнює різниці потенціалів в кінцевих точках.
Циркуляція потенційного поля не залежить від виду кривої, що з'єднує дві різні точки, і дорівнює різниці значень потенціалу в даних точках.

звідси отримуємо

4. Векторні лінії потенційного поля не можуть бути замкненими.
Доказ від протилежного:
Припустимо, що є замкнута векторна лінія L. Тоді за визначенням векторної лінії вздовж відповідного контуру

і, отже, і циркуляція по ньому більше нуля

, Що суперечить властивості 2.
5. Сума потенційних векторних полів є потенційним полем, і потенціал суми полів дорівнює сумі потенціалів.

Соленоїдальних векторне поле

Визначення:
Векторне поле

називається соленоїдальних (вихровим), якщо існує векторна величина

така, що

= Rot

- Називається векторним потенціалом поля

Властивості соленоїдальних поля

1. Для того щоб поле

було соленоїдальних, необхідно і достатньо, щоб у всій розглянутій області виконувалося рівність div

= 0, тобто його потік через будь-яку замкнену поверхню, занурену в полі, = 0. Отже, соленоїдальних поля позбавлені джерел та стоків.
Зауваження: Це властивість можна покласти у визначення.
Доказ грунтується на тому, що

=
Слідство

= 0

як наслідок цієї властивості отримуємо, що потік вектора

соленоїдальних поля через дві однаково орієнтовані поверхні S ₁ і S _2, що спираються на один і той же контур L, однаковий.
2. Потік соленоїдальних поля через два будь-яких перетину векторної трубки однаковий.
Доказ:
Відрізок векторної трубки, обмежений перерізами S _1, S ₂ і S _d, можна розглядати як замкнуту поверхню, вміщену в соленоїдальних полі. Тому

, Але

, Тому що

.
Враховуючи, що

спрямовані в протилежні сторони, і вводячи (-

), Отримаємо

звідси випливає

3. У соленоїдальних полі векторні лінії або замкнуті, або йдуть до межі поля. Так як

, То векторні лінії поля

не можуть починатися або закінчуватися в ділянці поля, інакше в ...? буде існувати сток або витік, що суперечить властивості 1.
4. Сума соленоїдальних векторних полів є соленоїдальних полі.

Потенційне нестисливої полі. Гармонійне полі

звідси випливає

Це поле часто називають гармонійним або полем Лапласа.
Резюме
По заданому полю

ми завжди можемо знайти поля u і

. Справедливо і зворотне твердження: за відомим u і

завжди можна знайти шукане поле

.
Нехай поле

відомо, тоді потенціали u і

знаходяться з рівнянь:

Якщо u і

відомі, тоді векторне поле

визначається з рівнянь:

Ці рівняння завжди можна розв'язати.

Теорема про разложимости довільного векторного поля

Довільне векторне поле

завжди може бути представлено у вигляді суми потенційного

і соленоїдальних

полів.
Визнач

де

;

і, отже

Потенціали

і u повинні задовольняти наступному співвідношенню:
1.

але дивергенція соленоїдальних поля повинна бути дорівнює 0.

звідси

™

(**)
Для визначення

і u отримали два диференціальних рівняння, які завжди мають рішення і, отже, довільне поле

завжди можна представити у вигляді суми потенційного і соленоїдальних полів.

Знаходження векторного поля за його характеристикам

Для знаходження

і u потрібно вирішити систему чотирьох рівнянь

Нехай відомі характеристики векторного поля

(1)
або в інтегральній формі:

Будемо шукати розподіл поля

. Для цього розкладемо його на потенційне

і вихровий

(2)
Підставляючи (2) в рівняння (1), отримаємо систему рівнянь для відшукання

(3)
Потенційне поле зручно представити через градієнт

(4)
тому що в цьому випадку доводиться знаходити всього лише одну скалярну величину замість трьох. Підставляємо (4) до першого рівняння (3), отримуємо рівняння