Елементи векторного аналізу

МІНІСТЕРСТВО АГЕНСТВО ДО ОСВІТИ
Державна освітня установа вищої НАУКИ
Московський державний гуманітарний університет
імені М.А. Шолохова
Факультет інформатики та математики
Кафедра вищої математики
Курсова робота за темою:
«Елементи векторного аналізу»
Виконала:
студентка IV курсу групи ФІМ-М-1402
очного відділення
спеціальність «математика»
Шакурова М.М.
Перевірила:
доцент Дорошкевич О.А.
Москва 2008

ЗМІСТ
Введення
Глава I. Криволінійні та поверхневі інтеграли
§ 1. Криволінійний інтеграл I роду
§ 2. Криволінійний інтеграл II роду
§ 3. Поверхневий інтеграл I роду
§ 4. Поверхневий інтеграл II роду
§ 5. Формули Гріна, Остроградського-Гауса, Стокса
Глава II. Теорія поля
§ 1. Основні поняття теорії поля
§ 2. Скалярний поле
Похідна скалярного поля у напрямку
Градієнт скалярного поля
§ 3. Векторне поле і його циркуляція
Потік векторного поля
Дивергенція векторного поля. Формула Остроградського-Гаусса у векторній формі
Вихровий вектор поля. Формула Стокса у векторній формі
§ 4. Спеціальні векторні поля
§ 5. Оператор Лапласа. Гармонійні функції
Глава III. Практична частина.
Висновок
Список літератури

ВСТУП
Для опису фізичної реальності математикам стало не діставати основних типів чисел (цілі, раціональні, ірраціональні, комплексні, ...). Щоб мати можливість для деяких величин вказувати не тільки їх числове значення, а й напрямок, було введено поняття вектора як спрямованого відрізка. Отже, вектор - абстракція математичних об'єктів, що характеризуються модулем і напрямом. Прикладами фізичних векторних величин є переміщення, швидкість, прискорення, напруженість електричного мул магнітного поля.
Сам термін «вектор» (від лат. Vector - несучий) вперше з'явився у Гамільтона в 1845г. У роботах з побудови числових систем, узагальнюючих комплексні числа. Гамільтону належать терміни «скаляр», «скалярний твір», «векторний добуток».
Після введення поняття вектора були більш детально розроблені правила операцій над векторами, що призвело до появи спочатку векторної алгебри, а потім і векторного аналізу. Векторна алгебра вивчає найпростіші операції над векторами. Вона стала своєрідною мовою аналітичної геометрії. Векторний аналіз вивчає векторні та скалярні поля. Основними поняттями векторного аналізу є «градієнт», «дивергенція», «ротор» («вихор») і «лапласиан».
Багато результатів векторного числення отримані Германом Грассманом і англійським математиком Вільямом Клиффордом. Остаточний вигляд векторна алгебра і векторний аналіз набули у працях американського фізика і математика Джозайн Уілларда Гіббса, який у 1901р. Опублікував великий підручник з векторного аналізу.
Слід зазначити, що в ясно окресленому вигляді векторна алгебра з'явилася приблизно на 30 років пізніше перших робіт з теорії кватерніонів (це числа, кожне з яких визначає величину і напрямок у просторі). Гіббс показав зв'язок векторної алгебри з теорією кватерніонів і алгеброю Грассмана. Він був великим ентузіастом поширення векторного числення в різних областях точних наук.
Поняття вектора може бути введено аксіоматично, тоді вектор буде розумітися як елемент векторного простору. Розвитком поняття «вектор» можна вважати поняття «тензор».
Тензорне числення - розділ математики, що вивчає тензори і тензорні поля. Тензорне числення поділяється на тензорну алгебру, що входить в якості основної частини у полілінейную алгебру, і тензорний аналіз, що вивчає диференціальні оператори на алгебрі тензорних полів. Тензорне числення є важливою складовою частиною апарату диференціальної геометрії. У зв'язку з цим воно вперше систематично було розвинуто Дж.Річчі і Т.Леві-Чівіта, його часто називали «обчисленням Річчі».
Термін «тензор» ще з середини XIX ст. вживається в механіці при описі пружних деформацій тіл. З початку XX ст. апарат тензорного числення систематично використовується в релятивістській фізиці.
Вивчення векторного аналізу зводиться до вивчення диференціального й інтегрального числення, що включає криволінійні та поверхневі інтеграли, їх основні властивості та поняття; а також теорію поля, яка є узагальненням основних понять векторного аналізу.
Теорія поля - великий розділ фізики, механіки, математики, в якому вивчаються скалярні векторні і тензорні поля. Теорія поля встановлює і досліджує зв'язок між величинами, що характеризують поле.
Отже, ми можемо виділити основну мету нашої роботи: розгляд найважливіших операцій векторного аналізу - градієнта, ротора, циркуляції та дивергенції, а також найбільш важливих теорем векторного аналізу - формули Гріна, теореми Стокса, формули Остроградського-Гаусса.
Вчені, які займалися дослідженням векторного аналізу:
Гамільтон Вільям Роуа (Hamilton William Rowan)
Гамільтон Вільям Роуа (04.08.1805-02.09.1865)-ірландський математик, член Ірландської Академії Наук. Народився в Дубліні. До 17 років він вивчив "Початки" Евкліда, а також твори І. Ньютона і П. Лапласа. Закінчив Трініті - коледж Дублінського університету, в 22 роки став професором астрономії в Дублінському університеті і директором університетської астрономічної обсерваторії. Основні праці з механіки та теорії диференціальних рівнянь (Гамільтона-Остроградського-Якобі рівняння) і функціонального аналізу, де важливу роль відіграє оператор Гамільтона («набла»). Відкрив варіаційний принцип в механіці, який був узагальнений М. В. Остроградським. Гамільтон майже одночасно з німецьким математиком Г. Грассманом дав точне формальний виклад теорії комплексних чисел як окремого випадку числових систем з кількома одиницями. Побудував своєрідну систему чисел (кватерніонів). Над теорією кватерніонів Гамільтон трудився 8 років. Це вчення в подальшому було одним із джерел розвитку векторного аналізу. Гамільтон ввів терміни "вектор", "асоціативний закон". Відомі роботи Гамільтона в геометрії (де він займався теорією хвильових поверхонь) та алгебри. Гамільтон і Келі розробили теорію матриць.
Грассман Герман Гюнтер (Grassmann Hermann Günter)
Грассман Герман Гюнтер (15.04.1809-26.09.1877) - німецький математик, що займався також фізикою і філологією. Народився в Штеттинi. C 1842 працював в Штеттінской гімназії. У творі "Вчення про лінійне протягом" ("Lineale Ausdehnungslehre", Lpz., 1844) дав перший систематичний побудова вчення про багатовимірний евклідовому просторі, що сприяло розвитку векторного та тензорного числень. Однак через абстрактного викладу і надзвичайною термінології твір було малодоступним. В області фізики Грассману належать роботи з акустики й магнітному взаємодії струмів. Загальні ідеї Грассмана про абстрактні векторних просторах привели його до відкриття важливого положення - можливості розглядати колірні відчуття як тривимірні вектори, що лежить в основі сучасного вчення про колір. Їм встановлені (1853) закони додавання квітів. Грассман склав (1875) повний словник до гімнам Рігведи (пам'ятника староіндійської літератури).
Гіббс Джозайя Віллард (Gibbs, Josiah Willard)
Американський фізик і математик Гіббс Джозайя Віллард (11.02.1839-28.04.1903) народився в Нью-Хейвені, штат Коннектикут. Він закінчив Єльський університет, де його успіхи в грецькому, латини та математики були відзначені призами та преміями. У 1863 р. Гіббс отримав ступінь доктора філософії і став викладачем університету; перші два роки викладав латинь і лише потім - математику. У 1866-1869 рр.. Гіббс продовжив освіту в Сорбонні і Коллеж де Франс в Парижі, в Берлінському та Гейдельберзькому університетах. Після повернення до Нью-Хейвен очолив кафедру математичної фізики Єльського університету і займав її до кінця життя.
Розробив теорію термодинамічних потенціалів, відкрив загальна умова рівноваги гетерогенних систем правило фаз, вивів рівняння Гіббса Гельмгольца, Гіббса Дюгема, адсорбційну рівняння Гіббса. Встановив фундаментальний закон статистичної фізики розподіл Гіббса. Запропонував графічне зображення стану трикомпонентної системи (трикутник Гіббса). Заклав основи термодинаміки поверхневих явищ та електрохімічних процесів. Ввів поняття адсорбції. Є також одним з творців векторного числення в його сучасній формі ("Елементи векторного аналізу", 1881 - 1884).
Остроградський Михайло Васильович
Михайло Васильович Остроградський (12.11.1801-20.12.1861) - російський і український математик і механік, визнаний лідер математиків Російської імперії середини XIX століття. Народився в селі Пашенна Полтавської губернії, в сім'ї поміщика. Отримав початкову освіту в пансіоні при полтавської гімназії. Закінчив курс математичного факультету в Харківському університеті, потім відвідував у Парижі лекції в Сорбонні і в College de France. Тут він звернув на себе увагу знаменитих математиків Лапласа, Фур'є, Ампера, Пуассона, Коші. Після повернення із Санкт-Петербурга він у 1828 р. обраний був ад'юнктом Академії Наук, через два роки - ординарним академіком. Викладав в офіцерських класах морського корпусу, в інституті інженерів шляхів сполучення, в головному педагогічному інституті, в училищах інженерному та артилерійському. У військово-навчальних закладах він був головним спостерігачем викладання з математичних наук. Основні роботи Остроградського відносяться до прикладних аспектів математичного аналізу, механіки, теорії пружності і магнетизму, теорії ймовірностей. Він вніс також внесок у алгебри та теорії чисел. Добре відомий метод Остроградського для інтегрування раціональних функцій (1844). У фізиці надзвичайно корисна формула Остроградського для перетворення об'ємного інтеграла в поверхневий. В останні роки життя Остроградський опублікував дослідження з інтегрування рівнянь динаміки.

Глава I. Криволінійні та поверхневі інтеграли
§ 1. Криволінійного інтеграла I РОДА

Рис. SEQ Рисунок \ * ARABIC 1

Нехай на площині Oxy задана безперервна крива L = АВ довжини l. Розглянемо безперервну функцію f (X; y), визначену в точках дуги L. Розіб'ємо криву L послідовними точками
А ₀ = А, А _1, А _2,. . .   , А _n = В на n дуг
d ₁ = А ₀ А _1, d ₂ = А ₁ А _2,. . . , D _n = А _{n -1} А _n.
На дузі d _i   виберемо довільну точку М _i (T _i ; s _i) (i = 1,2,. . . , N) (рис. 1). Позначимо D l _i довжину дуги d _i, а

Складемо інтегральну суму функції f (X, y) по кривій L:

Визначення. Межа QUOTE , Якщо він існує, називається криволінійним інтегралом I роду від функції f (X; y) по кривій L і позначається

         У випадку замкнутої кривої L криволінійний інтеграл I роду визначається аналогічно нагоди незамкненою кривої.
Основні властивості криволінійного інтеграла I роду:

тобто криволінійний інтеграл I роду не залежить від напрямку шляху інтегрування.








7 ˚ Якщо функція f (x; y) неперервна на кривій АВ, то на цій кривій знайдеться точка (x _c; y _c):

Обчислення криволінійного інтеграла 1-го роду
Нехай крива L задана параметричними рівняннями:
x = x (T), y = y (t), a ≤ t ≤ b, де x (T), y (t) - безперервно диференціюються функції на відрізку [a, b ] Функції. Тоді

Нехай крива L задана явно рівнянням:



Нехай крива L задана в полярних координатах:


Геометричні застосування
v Довжина кривої АВ обчислюється за формулою

v Площа циліндричної поверхні   z = f (x; y) з направляючою АВ і утворює, паралельної Oz, знаходиться

v Маса матеріальної кривої АВ визначається формулою


v Статистичні моменти і координати центра ваги кривої АВ визначаються за формулами

v Для кривої АВ моменти інерції відносно осей Ox, Oy і початку координат дорівнюють:

§ 2. Криволінійного інтеграла II РОДА

Рис. SEQ Рисунок \ * ARABIC 2

Нехай на площині Oxy задана безперервна крива L = АВ і функція P (x; y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву L послідовними точками А ₀ = А, А _1, А _2,. . . , А _n = В в напрямку від точки А до точки В на n дуг d _i = QUOTE   з довжинами QUOTE   (I = 1,2,. . . , N). На кожній елементарної дузі d _i візьмемо точку (QUOTE ; QUOTE ) І складемо суму види:

де QUOTE проекція дуги d i на вісь Ox (рис.2).

Визначення. Якщо при δ = QUOTE інтегральна сума (2.1) має кінцевий межа, що не залежить ні від способу розбиття кривої АВ, ні від вибору точок (QUOTE ; QUOTE ), То його називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P (x; y) по кривій L:      

Аналогічно вводиться криволінійний інтеграл від функції Q (x; y) по координаті y:

де QUOTE проекція дуги QUOTE на вісь Oy.
Криволінійний інтеграл II роду загального виду визначається рівністю:

Основні властивості криволінійного інтеграла II роду
1 ˚ При зміні напрямку шляху інтегрування криволінійний інтеграл II роду змінює свій знак на протилежний:

2 ˚ Якщо крива АВ точкою С розбита на дві частини АС і СВ, то інтеграл по всій кривій дорівнює сумі інтегралів за її частинах:

3 ˚ Якщо крива АВ лежить у площині, перпендикулярної осі Ox, то

аналогічно для кривої, що лежить в площині, перпендикулярної осі Oy:

4 ˚ Криволінійний інтеграл по замкненій кривій (позначається QUOTE
не залежить від вибору початкової точки (залежить тільки від напрямку обходу кривої).

Обчислення криволінійного інтеграла 1-го роду
Нехай крива L задана параметричними рівняннями:
x = x (T), y = y (t), a ≤ t ≤ b, де x (T), y (t) - безперервно диференціюються функції на відрізку [a, b ] Функції. Тоді

Нехай крива L задана явно рівнянням:


Геометричні застосування
v Площа S плоскої фігури, розташованої в площині Oxy і обмеженої замкненою лінією L, можна знайти за формулою

при цьому крива L обходиться проти годинникової стрілки.
v Мінлива сила на ділянці АВ дорівнює

Умови незалежності криволінійного інтеграла II роду від шляху інтегрування
Для того щоб криволінійний інтеграл

не залежав від шляху інтегрування в однозв''язної області D (область без «дірок»), в якій існують і безперервні QUOTE і QUOTE необхідно і достатньо, щоб

Зауваження. Криволінійні інтеграли I і II роду зв'язані співвідношенням

де QUOTE і QUOTE - Кути, утворені дотичною до кривої АВ в точці M (x; y) з осями Ox і Oy.
§ 3. ПОВЕРХНЕВИЙ ІНТЕГРАЛ I РОДА
Нехай S - поверхня в тривимірному просторі Oxyz, а f (x; y; z) - безперервна функція, визначена в точках цієї поверхні. Поверхня S мережею ліній розіб'ємо на n ділянок ΔS _1, ΔS _2, ...., ΔS _i, ..., ΔS _n, що не мають спільних внутрішніх точок (рис. 3). Площі "елементарних" ділянок позначимо тими ж буквами S _i (i = 1 ,..., n), а найбільший з діаметрів цих ділянок - через λ На кожному "елементарному" ділянці ΔS _i довільним чином виберемо по точці M _i (x _i ; y _i; z _i) (i = 1 ,..., n) і складемо інтегральну суму:

Визначення. Якщо існує скінченна границя

не залежить від способу розбиття поверхні S на "елементарні" ділянки ΔS _i і від вибору точок M _i ΔS _i (i = 1 ,.... n), то він називається поверхневим інтегралом I роду від функції QUOTE   поверхні S і позначається

Якщо поверхня S гладка (в кожній її точці існує дотична площина, яка безперервно змінюється з переміщенням точки по поверхні), а функція f (x; y; z) неперервна на цій поверхні, то поверхневий інтеграл існує (теорема існування).
Основні властивості криволінійного інтеграла I роду:

7 ˚ Якщо QUOTE неперервна на поверхні QUOTE , То на цій поверхні існує точка QUOTE (Теорема про середнє значення):

Обчислення криволінійного інтеграла I роду
Обчислення поверхневих інтегралів першого роду зазвичай проводиться шляхом їх зведення до подвійним інтегралів.
Нехай виконані умови теореми існування, тоді, позначивши проекцію ΔS _i (і площа проекції) на площину Oxy через Δτ _i, по теоремі про середнє значення будемо мати:

де (x _i, y _i) Δτ _i, а, отже

при цьому специфічному виборі точок M _i. Але сума, що стоїть праворуч, в останньому інтегралі є інтегральна сума для функції

по плоскій області τ. Переходячи до межі, отримуємо:

Якщо проектувати поверхню S не на координатну площину Oxy, а на координатну площину Oxz або Oyz, то можна записати формули для обчислення поверхневого інтеграла аналогічно формулі (3.5):

і

Геометричні застосування
v Площа поверхні, заданої рівнянням z = z (x; y):

v Маса поверхні S:

де QUOTE - Щільність розподілу маси.
v Моменти, центр ваги поверхні:




Глава II. Теорія поля
§ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ПОЛЯ
Теорія поля - великий розділ, фізики, механіки, математики, в якому вивчаються скалярні, векторні, тензорні поля.
До розгляду скалярних і векторних полів призводять багато завдань фізики, електротехніки, математики, механіки та інших технічних дисциплін.
Полем називається область V простору, в кожній точці якої визначено значення деякої величини. Якщо кожній точці М цій галузі відповідає певне число U = U (M), говорять, що в області визначено, задано скалярний поле (або функція точки). Інакше кажучи, скалярний полі - це скалярна функція U (M) разом з її областю визначення. Якщо ж кожній точці М області простору відповідає певний вектор QUOTE , То говорять, що задано векторне поле (або векторна функція точки).
Прикладами скалярних полів можуть бути поля температури, атмосферного тиску, щільності, електричного потенціалу і т.д. Прикладами векторних полів є поле сили тяжіння, поле швидкостей частинок поточної рідини (вітру), магнітне поле, поле щільності електричного струму і т.д.
Якщо функція U (M) (QUOTE ) Не залежить від часу, то скалярний (векторне) поле називається стаціонарним; поле, яке змінюється з плином часу називається нестаціонарним.
Далі будемо розглядати лише стаціонарні поля.
Якщо V - область тривимірного простору, то скалярний полі U можна розглядати як функцію трьох змінних x, y, z (координат точки M):

Поряд з позначеннями U = U (M), U = U (x; y; z), використовують запис U = U (QUOTE , Де QUOTE радіус-вектор точки М.)
Якщо скалярна функція U (M) залежить тільки від двох змінних, наприклад x і y, відповідне скалярний полі U (x; y) називають плоским.
Аналогічно: вектор QUOTE можна розглядати як векторну функцію трьох скалярних аргументів x, y і z: QUOTE або QUOTE . Вектор QUOTE можна представити у вигляді

де P (x; y; z), Q (x; y; z), R (x; y; z) - проекції вектора QUOTE на осі координат. Якщо у вибраній системі координат Oxyz одна з проекцій вектора QUOTE дорівнює 0, а дві інші залежать тільки від двох змінних, то векторне поле називається плоским.
Векторне поле називається однорідним, якщо QUOTE - Постійний вектор (P, Q, R - постійні величини).
Надалі будемо вважати, що скалярні функції: U (x; y; z) - визначальна скалярний поле, P (x; y; z), Q (x; y; z), R (x; y; z) - задає векторне поле, неперервні разом зі своїми приватними похідними.
§ 2. Скалярний ПОЛІ
Нехай задано скалярний стаціонарне поле U = f (M) = f (x; y; z), де функцію f (x; y; z) будемо завжди припускати безперервно диференціюється в даній області.
Основне питання дослідження скалярного поля є питання про зміну функції U при переході з однієї точки простору в іншу. Для з'ясування цього питання розглянемо, перш за все, геометричне місце точок, в яких величина U зберігає постійне значення. Це геометричне місце точок називають поверхнею рівня скалярного поля U. Її рівняння в обраній системі координат має вигляд: U (x; y; z) = C, де C = const. Отже, змінюючи значення C, отримуємо сімейство поверхонь рівня, які заповнюють всю область, де визначено поле, і ніякі дві поверхні рівня , що відповідають різним значенням C, не мають спільних точок.
Завдання всіх поверхонь рівня з зазначенням відповідних значень C рівносильно завданням самого поля. Зазначений спосіб зображення поля особливо зручний, якщо мова йде про поле, заданому в плоскій області D двох змінних. У цьому випадку рівняння U (x, y) = C визначає, взагалі кажучи, деяку криву лінію, яка називається лінією рівня плоского скалярного поля.
Такі лінії різних скалярних полів всім добре відомі: лінії рівних висот (горизонталі) зручні для зображення розміру місцевості, лінії рівних температур (ізотерми) або лінії рівних тисків (ізобари) у метеорології і т. д.
Похідна скалярного поля у напрямку
Похідною скалярної функції U = f (x;, y; z) за напрямом вектора

Рис. 8

M ₀ (x _0; y _0; z ₀₎ називається границя, якщо він існує, відношення приросту Δ U ₀ функції при зміщенні з точки M ₀ (x _0; y _0; z ₀₎ в напрямку вектора QUOTE в точку M ₁ (x; y; z) до величини цього зміщення QUOTE , Коли ρ → 0, тобто

Отже, QUOTE характеризує швидкість зміни величини U в точці M ₀ в напрямку вектора QUOTE .
Очевидно, що функція U має незліченну кількість похідних за напрямками в кожній точці M. Отримаємо формулу для обчислення похідної за напрямом. Так як


де величини x _0, y _0, z _0, cos α, cos β, cos γ фіксовані, то U (M ₁₎ є функція тільки зміщення ρ
Позначимо цю функцію

При ρ = 0 маємо ψ (0) = U (x _0, y _0, z ₀₎ = U (M _0). Отже:


Т. е. отримаємо формулу:

виражає похідну від функції U = f (x;, y; z) за напрямом вектора QUOTE
Градієнт скалярного поля
Нехай задано скалярний полі U = f (x; y; z). Градієнтом скалярного поля U = f (x; y; z) в точці M (x; y; z) називають вектор

Якщо функція U = f (x; y; z) має приватні похідні U _'x, U' _y, U _'z в кожній точці деякої області, то скалярний поле породжує в цій області векторне поле QUOTE . Перетворимо формулу для обчислення похідної за напрямом:


Кут між векторами QUOTE і QUOTE позначимо через φ, тоді скалярний твір QUOTE одно QUOTE але QUOTE Значить:

тобто похідна скалярної функції U = f (x; y; z) в точці M в напрямку вектора QUOTE дорівнює проекції QUOTE на напрям вектора QUOTE
З формули () слід, що, коли напрям вектора QUOTE збігається з напрямком вектора QUOTE , Похідна за напрямом QUOTE має своє найбільше значення, тобто вектор QUOTE , Обчислений в точці М, показує напрям найбільшого зростання скалярного поля, і швидкість його зростання дорівнює QUOTE

Рис. 9

У напрямку, перпендикулярному напрямку QUOTE , Як це випливає з формули (), QUOTE , Тобто в цьому напрямку з точки М полі не змінюється.
Згадаймо, що, якщо поверхня задана рівнянням F (x, y, z) = 0, нормаль до поверхні в точці M ₀ (x _0, y _0, z ₀₎ може бути задана рівнянням:

Тепер для скалярної функції U = f (x, y, z) побудуємо поверхні рівня f (x, y, z) = C, тоді рівняння нормалі до поверхні рівня в точці M ₀ (x _0, y _0, z ₀₎ запишеться:


тобто має направляючий вектор
Отже, вектор QUOTE є вектор, перпендикулярний поверхні рівня функції U = f (x, y, z).
Властивості градієнта функції:
1 ˚ Градієнт спрямований по нормалі до поверхні рівня, що проходить через цю точку.





§ 3. Векторне поле І його циркуляцію
Однією з характеристик стаціонарного векторного поля служать векторні лінії.
Векторній називається лінія, в кожній точці якої напрямок дотичної співпадає з напрямком векторного поля в даній точці.
Нехай задано векторне поле

тоді вектор

коллінеарен вектору поля QUOTE т. е.



Отже, рівняння векторних ліній поля можна отримати, розв'язавши систему диференціальних рівнянь:

Знайдемо роботу, яка здійснюється при переміщенні матеріальної точки М з точки А в точку У уздовж деякого гладкого контура L під дією безперервного силового поля QUOTE (Рис. 10).
Контур L розбиваємо на n елементарних дуг точками
А = М _0, М _1, ..., М _i-1, М _i, ..., М _n = В.
Якщо елементарні дуги досить малі, то в силу безперервності QUOTE можна вважати, що на кожній елементарної дузі сила QUOTE є постійною і дорівнює своїм значенням QUOTE в деякій точці N _i,

Рис. 10

При цих припущеннях елементарна робота ΔA _i, чинена при пересуванні матеріальної точки вздовж дуги М _{i - 1} М _i, наближено дорівнює скалярному добутку

Отже, вся робота вздовж контуру L наближено виражається сумою


Позначимо через λ довжину найбільшої з хорд QUOTE Тоді

Тобто ми прийшли до криволинейному інтегралу другого роду, який в координатній формі має вигляд:

і який називають лінійним інтегралом вектора _{QUOTE   (X; y; z)} уздовж лінії L.
Криволінійний інтеграл по замкненому контуру L називають циркуляцією векторного поля QUOTE по контуру L і позначають:

Розглянемо різні форми запису циркуляції. Оскільки

де QUOTE - Проекція вектора QUOTE на дотичну τ, проведену у напрямку обходу кривої L, то рівність можна записати у вигляді:

або

Цей вираз має простий фізичний зміст: якщо крива L розташована в силовому полі, то циркуляція - це робота сили QUOTE поля при переміщенні матеріальної точки вздовж L.
Уздовж замкнутих векторних ліній циркуляція відмінна від нуля, тому що в кожній точці векторної лінії скалярний твір QUOTE зберігає знак: «+» - якщо напрямок вектора QUOTE збігається з напрямком обходу векторної лінії; «-» - в іншому випадку.
Потік векторного поля
Поняття потоку векторного поля зручно розглядати на прикладі потоку рідини, що рухається через деяку поверхню. Об'єм рідини, що протікає в одиницю часу через поверхню, розташовану в рідини, що рухається, назвемо потоком рідини через цю поверхню.

Рис. 11

Нехай поверхня S розташована в полі QUOTE швидкостей частинок нестисливої ​​рідини з густиною ρ = 1. Можна показати, що потік векторного поля в цьому випадку дорівнює

де QUOTE - Одиничний нормальний вектор до поверхні S, розташований по один бік з вектором QUOTE , А величина QUOTE
Незалежно від фізичного сенсу вектора QUOTE інтеграл () по поверхні називають потоком векторного поля через поверхню S.
Нехай QUOTE і QUOTE , Тоді потік П вектора QUOTE через поверхню S можна записати у вигляді:

Або враховуючи зв'язок поверхневих інтегралів першого та другого родів, можна записати потік П через поверхневий інтеграл у координатах:

Дивергенція векторного поля. Формула Остроградського-Гаусса у векторній формі
Нехай задано векторне поле

Дивергенцією або розбіжність векторного поля QUOTE називається скалярна функція, визначена рівністю:

На цей раз векторне поле QUOTE породжує скалярний полі QUOTE .
З урахуванням понять дивергенції і потоку векторного поля формулу Остроградського-Гауса можна представити у формі:

тобто потік векторного поля QUOTE через замкнену поверхню S в напрямку зовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу від дивергенції векторного поля по області, що обмежена цією поверхнею.
На підставі формули () можна записати:

і, переходячи до межі, стягуючи V в точку М (при цьому величина V → 0), маємо:

Тобто QUOTE є межа відносини потоку поля QUOTE через нескінченно малу замкнуту поверхню, навколишнє точку М, до величини обсягу, обмеженого цією поверхнею. З цього випливає, що дивергенція не залежить від вибору системи координат.
Якщо потік

то в область V втікає більшу кількість рідини, ніж випливає з неї, тобто всередині області V є джерела рідини.
Якщо П <0, то всередині області V є стоки. Але потік векторного поля характеризує інтенсивність джерел та стоків лише сумарно, тобто при П ≥ 0 всередині області V можуть бути як джерела, так і стоки.
Для характеристики точки можна використовувати QUOTE .
Якщо QUOTE , То дана точка є джерело, якщо QUOTE - То стік.
Зауважимо, що QUOTE можна записати за допомогою символічного вектора Гамільтона

в наступному вигляді:

Властивості дивергенції:
1 ˚ Якщо QUOTE - Постійний вектор, то QUOTE


4 ˚ QUOTE , U - скалярна функція.
Вихровий вектор поля. Формула Стокса у векторній формі
Вихровим вектором (вихором), або ротором векторного поля

називається вектор, що має координати:

Тим самим векторне поле QUOTE породжує векторне поле вихору QUOTE
Через символічний вектор Гамільтона

вихровий вектор записується як векторний добуток вектора QUOTE на вектор поля QUOTE , Т. е.

Як легко бачити, вираз

що стоїть під знаком поверхневого інтеграла у формулі Стокса, являє собою скалярний твір QUOTE вихору векторного поля QUOTE на одиничний вектор нормалі QUOTE до поверхні S.
Отже, формулу Стокса можна представити у векторній формі наступним чином:

Ліва та права частини формули () представляють, відповідно, циркуляцію векторного поля QUOTE і потік його вихору. Значить, формула Стокса стверджує: циркуляція векторного поля QUOTE по замкнутому контуру L дорівнює потоку його вихору QUOTE через поверхню S, натягнутий на цей контур.

Рис. 12

Можна визначити проекцію вектора QUOTE на будь-який напрямок QUOTE наступним чином:

тобто QUOTE є вектор, проекція якого на будь-який напрямок QUOTE дорівнює границі частки циркуляції векторного поля по контуру L плоскої площадки τ, перпендикулярної цьому напрямку QUOTE , До площі цього майданчика, коли розміри цього майданчика прагнуть до нуля.
Або іншими словами: QUOTE є вектор, нормальний до поверхні, на якій щільність циркуляції досягає найбільшого значення.
Це, крім іншого, означає і те, що вихор поля (як і градієнт, так і дивергенція) не залежить від вибору системи координат, а є характеристикою самого поля.
Відзначимо деякі властивості ротора:
1 ˚ Якщо QUOTE - Постійний вектор, то QUOTE
2 ˚ QUOTE
3 ˚ QUOTE
4 ˚ Якщо U - скалярна функція, а QUOTE - Векторна, то

§ 4. СПЕЦІАЛЬНІ ВЕКТОРНІ ПОЛЯ
Векторне поле QUOTE називається соленоїдальних, якщо в усіх точках його дивергенція дорівнює нулю, тобто QUOTE Прикладами соленоїдальних полів є: поле швидкостей обертового твердого тіла; магнітне поле, створюване прямолінійним провідником, вздовж якого тече електричний струм, і т.д.
Векторне поле називається безвихорової, якщо його ротор тотожно дорівнює нулю в області визначення поля: QUOTE
Векторне поле QUOTE називається потенційним, якщо воно є полем градієнтів деякої скалярної функції φ (M), тобто QUOTE   У цьому випадку функція φ (M) називається потенціалом поля.
Має місце важливе твердження.
Теорема
Якщо векторне поле QUOTE неперервно диференційовна в замкнутій однозв''язної області V, то кожне з наступних чотирьох пропозицій рівносильно будь-якому іншому з них:
ü QUOTE - Потенційне поле;
ü QUOTE - Безвихорової полі;
ü циркуляція поля по будь-якому замкнутому контуру, який лежить всередині області V, дорівнює нулю;
ü криволінійний інтеграл

не залежить від форми шляху інтегрування.
Якщо φ (М) - потенціал поля, то потенціалом цього поля, як легко бачити, буде і будь-яка інша функція виду ψ (М) = φ (М) + const.
Будь-який потенціал φ (М) поля QUOTE очевидно, можна представити у вигляді:

Відзначимо важливу властивість зазначених вище спеціальних векторних полів.
Теорема
Довільне векторне поле QUOTE завжди може бути представлено у вигляді суми потенційного поля QUOTE і соленоїдальних поля QUOTE , Тобто QUOTE .
Зауважимо, що для соленоїдальних поля можна визначити векторний потенціал поля.
§ 5. Оператор Лапласа. ГАРМОНІЧСЕКІЕ ФУНКЦІЇ
Розглянемо диференціальну операцію другого порядку QUOTE де U - скалярна функція. Тоді

І так як

то скалярний квадрат записують у вигляді:

і, отже

Подібно символічного оператору Гамільтона QUOTE , Можна ввести символічний оператор:

званий оператором Лапласа.
Скалярна функція φ (x; y; z) називається гармонійної в деякій області, якщо вона неперервна в цій області разом зі своїми похідними QUOTE задовольняє рівнянню


ВИСНОВОК
Векторний аналіз - розділ математики, що вивчає речовинний аналіз векторів у двох або більше вимірах. Методи векторного аналізу знаходять більше застосування у фізиці та інженерії.
Векторний аналіз вивчає векторні поля - функції з n-мірного векторного простору в m-мірний - і скалярні поля - функції з n-мірного векторного простору в безліч скалярів.
Багато хто з результатів векторного аналізу розглядаються як окремі випадки результатів з диференціальної геометрії.
Для отримання основних співвідношень, які використовуються у векторному аналізі, виявляється практично важливим розгляд криволінійних і поверхневих інтегралів, і їх геометричних додатків. Так, наприклад, теорема Стокса у векторній формі набуває зовсім новий фізичний зміст.
Практично корисним є і введення оператора Гамільтона, з його допомогою зручно записувати векторні операції першого порядку (градієнт, дивергенція, ротор), а також комбінації зі скалярними і векторними функціями. Для введення диференціальних операцій другого порядку використовується оператор Лапласа. Диференціальне рівняння Лапласа QUOTE відіграє важливу роль в різних розділах математичної фізики.
До розгляду скалярних і векторних полів призводять багато завдань фізики, електротехніки, математики, механіки та інших технічних дисциплін. Вивчення одних фізичних полів сприяє вивченню та інших. Математичним ядром теорії поля є розглянуті нами поняття градієнта, потоку, потенціалу, дивергенції, ротора, циркуляції та ін Ці поняття важливі і в засвоєнні основних ідей математичного аналізу функцій багатьох змінних.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ:
1. Березанський Ю. М., Левітан Б. М.. Функціональний аналіз / http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/117/905.htm
2. Бронштейн І.М., Семендяев К.А. Довідник з математики для і інженерів і учнів втузів. - М.: Наука, 1964. - 608 с.
3. Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики. - М.: Наука, 1966. - 872 с.
4. Квальвассер В.І., Фрідман М.І. Теорія поля. Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення. - М.: Вища школа, 1967. - 240 с.
5. Кузнєцов Д.С. Спеціальні функції. - М.: Вища школа, 1965. - 424 с.
6. Лекції з математичного аналізу: Учеб. для вузів / Г.І. Архипов, В.А. Садовничий, В.М. Чубарик; Під ред. В.А. Садовничого. - 4-е вид., Испр. - М.: Дрофа, 2004. - 640 с.
7. Ляшко І.І., Боярчук О.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Довідковий посібник поп вищої математики. Т.3. Ч.2: Математичний аналіз: кратні і криволінійні інтеграли. Вид. 6-е. - М.: КомКніга, 2007.
8. Магазінніков Л.І. Функції комплексної змінної. Ряди. Інтегральні перетворення. Навчальний посібник. - Томськ: Томський міжвузівський центр дистанційної освіти, 1999. - 205 с.
9. Панов В.Ф. Математика древня і юна. - 2-е вид. - М.: Із МГТУ ім. Н. Е. Баумана, 2006.
10. Письмовий Д.Т. - Ч.2 - 4-е вид. - М.: Айрис-пресс, 2006.
11. Фіхтенгольц Г.М. Основи математичного аналізу. Т. 2. - М.: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1956. - 464 с.
12. Фіхтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального числення. Т. 2. - М.: Наука, 1969. - 800 с.
13. www.wikipedia.ru