Хвильові процеси та елементи векторного аналізу

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра ЕТТ
РЕФЕРАТ
На тему:
«Хвильові процеси та елементи векторного аналізу»
МІНСЬК, 2008

1. Введення. Хвильові процеси.
 
При взаємодії середовища з фізичними полями і пружними матеріальними об'єктами, в середовищах виникають обурення. Одним з таких збурень є хвилі.
Хвилі представляють собою зміни стану середовища (збурення), що поширюються в цьому середовищі і несуть із собою енергію, без перенесення речовини. Математично процес поширення хвиль описується за допомогою хвильового рівняння. У найбільш загальному вигляді хвильове рівняння записується:
(1.)
Де t-час; x, y, z-просторові декартові координати, W = W (x, y, z, t)-функція обурення середовища в точці з координатами x, y, z в момент часу t, з-параметр, що характеризує швидкість, яка в граничному випадку досягає швидкості світла,  - оператор Д'Аламбера (даламберіан); Δ-оператор Лапласа (лапласиан).
Приватними видами хвильового рівняння є двомірне і одномірне хвильові рівняння. Хвильове рівняння допускає розділення змінних за координатами і часу: W = W (x, y, z,) φ (t). У представленому вигляді хвильове рівняння називають неоднорідним, тому що в його правій частині стоїть задана функція координат і часу, тобто  W = f (x, y, z, t).
Для розгляду завдань квантової механіки, що вивчає закони руху частинок в області мікросвіту (в масштабах-10 -6 -10 - 13 см . зі швидкостями як менше v <<c, так і порівнянних із швидкістю світла v ≈ c), в 1926 році Ервін Шредінгер було запропоновано нове рівняння. Він у хвильове рівняння увів постулат де Бройля λ = h / p. Це відоме сьогодні рівняння Шредінгера:
(2.)
Де h-постійна планка; m-маса частинки; ψ-хвильова функція частинки, U-потенційна енергія частки, - Оператор Лапласа.
Суворе рішення рівняння (2) сьогодні здійснено лише для атома водню, що дозволяє вважати обчислені при вирішенні рівняння Шредінгера для атома водню хвильові функції точними. Але вже для двох електронного атома, що має електронну конфігурацію 1S 2 точне рішення рівняння Шредінгера принципово неможливо. Запишемо вираз для потенційної енергії атома гелію:
(3.)
Тут Z = 2, заряд ядра; перші два числа враховують тяжіння першого і другого електрона ядром, третій член висловлює частина потенційної енергії, обумовленої взаємним відштовхуванням електронів. Для багатоелектронних атомів з числом електронів більше двох точне рішення рівняння Шредінгера неможливо, оскільки в гамільтоніан H повної енергії атома з n електронами і відповідним зарядом ядра:
(4.)
входять не тільки оператор кінетичної енергії і оператор потенційної енергії для електронів, притягує ядром, але і оператор енергії відштовхування електронів один від одного. Так як останній оператор має протилежний знак, виключається можливість розділення змінних і стає принципово неможливим точне рішення рівняння Шредінгера для багатоелектронних атомів.
Всі подальші спроби розгляду квантово механічних багатоелектронних систем заснована на використанні різних наближень методів і моделей. Найбільшого поширення отримала модель воднеподібних атомів. На основі цієї моделі в одноелектронного наближення для багатоелектронних атомів розглядається взаємодія одного зовнішнього електрона з ядром, заряд якого екранований усіма іншими внутрішніми електронами. Підкреслимо, що в даній моделі передбачається, що інші електрони рівномірно екранують заряд ядра в усіх напрямках. Константі екранування σ враховує це екранування:
Z еф = Z-σ
У цій моделі відповідні орбіталі відрізняються від орбіталей атома водню радіальними складовими R (r), але мають ідентичні кутові складові V e, m і отже форми s-, p-, d-, f-орбіталей буде такою ж як і в атома водню. Цей розрахунок багатоелектронних атомів, заснований на роботах Слетера, називається воднеподібних. Подальше більш точне значення засновано на роботах Хартрі і Фокса. У цьому наближенні враховується усереднене відштовхування одного даного електрона від кожної з решти електронів. Хвильові функції атома в методі Хартрі-Фокс представляють собою твір воднеподібних хвильових функцій.

2. Хвилі і швидкості хвиль
2.1Основние положення. Поняття хвилі.
Хвилею називають поширення обурення в безперервному середовищі. Хвиля
може поширюватися також в просторово періодичної структурі, тобто в твердому тілі.
Хвилю представляють як обурення у просторі та часі, тобто завданням обурення як функції координат r = c часом t.
Скалярний обурення w = w (r, t). Векторне обурення W = W (r, t).
Хвилі бувають різними і можуть розповсюджуватися в різних випадках:
1) У випадку одночасної хвилі вздовж струни середовищем є пружна струна. Обуренню відповідає відхилення струни.
2) Поверхнева хвиля може виникнути в середовищі, яким є двовимірна поверхню рідини або кристала. Обурення представляє собою відхилення частинок рідини чи атомів твердого тіла на поверхні від їх положення рівноваги.
3) Відомі звукові або акустичні хвилі. Вони можуть поширюватися в речовинах, що знаходяться в різних агрегатних станах: газоподібному, рідкому, твердому.
Обурення в цьому випадку представляє собою локальні зміни тиску. Воно визначається середнім локальним зміщенням атомів або молекул. В абсолютно твердому тілі звукові хвилі неможливі.
4) Електромагнітні хвилі можуть поширюватися в наступних випадках: вакуумі, газі, рідині та твердому тілі. У цьому випадку обурення представляє собою змінюється в часі електричне і магнітне поля.
5) Хвиля може поширюватися вздовж лінійного ланцюжка. У цьому випадку
середовищем є лінійно упорядкований розташування ідентичних
матеріальних точок m, розташованих на рівних відстанях і взаємодіють один з одним. Ця взаємодія задають коеф. жорсткості. Обурення представляє собою зміщення цих точок уздовж ланцюжка.
Хвиля поширюється в середовищі як збурення, обумовлене взаємодією між частинками або виникають локальними збуреннями. У більшості випадків хвиля переносить енергію.
Розрізняють поздовжні і поперечні хвилі. У поперечних хвиль обурення перпендикулярно до напрямку поширення хвилі (хвилі в струні, електромагнітні хвилі у вакуумі, поверхневі хвилі). У поперечних хвиль у тривимірних середовищах мають місце поляризаційні ефекти. У поздовжніх хвилях (наприклад, звукові хвилі в рідинах і газах) обурення паралельно напрямку розповсюдження. Поляризаційних явищ у цих хвилях немає. Різниця поздовжніх і поперечних хвиль у тривимірних середовищах наступні:
поздовжні хвилі: rot w (r, t) = 0;
поперечні хвилі: div w (r, t) = 0.
У кристалах можуть поширюватися електромагнітні та акустичні хвилі, що містять як поздовжні, так і поперечні компоненти.
2.2 Фазова і групова швидкості.
Фазова і групова швидкості хвилі позначаються відповідно U і Ur. Вони принципово відрізняються один від одного.
Фазова швидкість і характеризує швидкість поширення гармонійної хвилі (синусоїдальної або косинусоидальной).
Поширення локального обурення імпульсного типу (хвильового пакета) характеризують груповою швидкістю U r. Вона відповідає швидкості, з якою переноситься енергія у хвилі і передається сигнал.
Максимальна групова швидкість відповідає швидкості світла у вакуумі.
Якщо групова швидкість і фазова швидкість у будь-якій хвилі відрізняються говорять про наявність дисперсії. Дисперсія (розсіювання) - залежність фазової швидкості гармонійної хвилі від її частки .
2.3 Гармонійні хвилі
Введемо математичну інтерпретацію обурення в одномірної гармонійної хвилі (w (x, t)).
w (x, t) = W 0 cos (wt-kx- ) = W 0 cos (2 t-2 ) = W 0 cos (2 t/T-2 x / - )
W 0-амплітуда; -Фаза; w-кругова частота;
частота; Т-період; k-круговий хвильове число; - Хвильове число; - Довжина хвилі. При цьому
;
Пояснимо малюнками для хвиль у фіксованому місці і у фіксований момент часу.
w (0, t) w (x, 0)




tx

Т
Хвильова картина у фіксованому Хвильова картина в фиксир-й
місці. момент часу
Гармонійні хвилі періодичні у просторі та часі

У фіксованому місці:
;
У фіксований момент часу;
, ,
2.4. Фазова швидкість
Фазова швидкість і хвилі є швидкість розповсюдження точок однаковою фази:

Ця швидкість дорівнює швидкості гармонійної хвилі. Фазова швидкість:
u = / K =

k = 2 т.е.u =

Доказ:
W (x, t)
U


t-kx- = Const диференціюємо
u
W
tk , U = lim (
W (x, t + )
U
X



U x
x


U Е = U x / cos тобто тому що cos <1,.
то фазова швидкість може перевищувати швидкість світла

Елементи векторного аналізу

Необхідно вміти аналізувати не тільки скалярні, але і векторні функції точкі.Скалярние функції: температура нерівномірно нагрітого тіла, щільність неоднорідного тіла і т. д.Векторние функції: швидкість частинок поточної рідини, сила земного тяжіння, магнітне і електричне напруга електричного поля.Рассмотреніе скалярних і векторних функцій пункту призвело до побудови теорії поля.
Векторне поле а (М) називається диференційовна в точці М, якщо вона визначена в околі точки М і якщо приріст Δa = a (M ')-a (M) поля може бути представлено у вигляді:
Δa = А (Δr) + E (Δr);
Δr = MM '; A і E - лінійні оператори;
А - не залежить від Δr; E залежить, при Δr = 0 E = 0;
Необхідна і достатня умова диференційованості векторного поля а полягає в диференційовності його координат P, Q, R. При цьому лінійний оператор А зображується матрицею:
ДР / дх, ДР / ду, ДР / д z
А = д Q / дх, д Q / ду, д Q / д z
д R / дх, д R / ду, д R / д z
і вектор-функція А (Δr) має вигляд:
A (Δr) = 1 / 2 {A (Δr) + A * (Δr)} +1 / 2 [p A (r)].

Дивергенція

Сума діагональних елементів матриці, що представляє симетричну лінійну вектор-функцію ½ {A (Δr) + A * (Δr)} не залежить від вибору системи координат: вона називається дивергенцією (розбіжністю) векторного поля а й позначається div a:
div a = д P / дх + д Q / ду + д R / д z.
Вектор Р називається вихором (ротором) поля а і записується у вигляді:
rot a = (д R / ду-д Q / д z, ДР / д z - R д / дх, д Q / дх-дР/ду);
Якщо V поле швидкостей поточної рідини і rot V 0, то частка рухається по замкнутих лініях (утворюються вихори). div V в цьому випадку характеризує інтенсивність джерела div V> 0 і стоку div V <0, що знаходиться в цій точці або відсутність джерела і стоку.
Сьогодні загальноприйнято представляти рівняння Максвелла у векторній формі. Описи в декартових координатах менш інформативно.
Ми в основному будемо користуватися следующіміобозначеніямі:
1.Всегда використовується права сістемакоордінат: тобто така вкоторой позитивна вісь Х поєднується з віссю У, якщо спостерігач дивиться вздовж позитивного напрямку осі Z.
2.Вектори позначаються літерами:
Е - жирний шрифт - вектор;
Е - його модуль
е - одиничний вектор у напрямку вектора Е.
Амплітуда вектора, який змінюється по синусоїді, позначається символом з індексом:
Е = їЇ
і (5)
Е = Е о ехрi (wt-xz).
3.Проізведеніе двох векторів Е і Н записується
- Скалярний добуток модуль котрого дорівнює ЕНcos q Е Н
- Векторний добуток, модуль якого дорівнює ЕНsinq E H,
Обертання від Е до Н відбувається за годинниковою стрілкою, якщо дивитися у напрямку векторного добутку.
4. i, j, k - символи позначають одиничні вектори OX, OY, OZ.
Диференціальний векторний оператор (набла):
Ñ ​​= i ¶ / ¶ x + j ¶ / ¶ y + k ¶ / ¶ z; (2) (6)
5.Градіент скалярної функції V визначається наступним чином:
gradV = i ¶ V / ¶ x + j ¶ V / ¶ y + k ¶ V / ¶ z; (7)
V - скалярна величина
gradV - вектор, який може змінюватися від точки до точки як за величиною, так і за напрямком.
6.Компоненти вектора Е по осях координат координат позначаються Ex, Ey, Ez, тобто
                                                    E = iEx + jEykEz (8)
7.Дівергенція векторної функції Е визначається як
div E = Ñ E = ¶ Ex / ¶ x + ¶ Ey / ¶ y + ¶ Ez / ¶ z; (9)
Дивергенція вектора Е - це скалярна величина.
Вихор. Вихор вектора E - це векторна величина
rot E = Ñx E = i (¶ Ez / ¶ y-¶ Ey / ¶ z) + j (¶ Ex / ¶ z-¶ Ez / ¶ x) + k (¶ Ey / ¶ x-¶ Ex / ¶ y) ; (10)
іноді пишуть curl E замість rot Є.
Дивергенція бути подана в вигляді суми наступних скалярних проезведеній:
div E = i E / ¶ x + j E / ¶ y + k E / ¶ z (11)
8.Віхрь представимо у вигляді суми наступних векторних творів:
rot E = i E / ¶ x) + j E / ¶ y) + k E / ¶ z)
Оператор Лапласа:
D = ¶ 2 / ¶ x2 + ¶ 2 / ¶ y2 + ¶ 2 / ¶ z2
Для скалярної функції |
D | = ¶ 2 | / ¶ x2 + ¶ 2 | / ¶ y2 + ¶ 2 | / ¶ z2
Для вектора Е
D Е = ¶ 2 Е / ¶ x2 + ¶ 2 Е / ¶ y2 + ¶ 2 Е / ¶ z2
Е = iEx + jEy + kEz
D Е = iDЕx + jDЕy + kDЕz.
Вихор (ротор) - це векторна функція, компоненти якої по осях x, y, z рівні відповідно:
(¶ Ez / ¶ y-¶ Ey / ¶ z); (¶ Ex / ¶ z-¶ Ez / ¶ x); (¶ Ey / ¶ x-¶ Ex / ¶ y)
Цей запис циклічна перестановка індексів.
9.Прімененія оператора Ñ2 до скаляру V означає
Ñ2V = Ñ * ÑV = div (gradV) = ¶ 2V / ¶ x2 + ¶ 2V / ¶ y2 + ¶ 2V / ¶ z2; (12)
Ñ2V - скаляр.
10.Прімененіе оператора Ñ2 до вектора Е означає
Ñ2 Е = iÑ2Ex + jÑ2Ey + kÑ2Ez = i (¶ 2Ex / ¶ x2 + ¶ 2Ey / ¶ y2 + ¶ 2Ez / ¶ z2) +
+ J (¶ 2Ex / ¶ x2 + ¶ 2Ey / ¶ y2 + ¶ 2Ez / ¶ z2) + k (¶ 2Ex / ¶ x2 + ¶ 2Ey / ¶ y2 + ¶ 2Ez / ¶ z2); (13)

ЛІТЕРАТУРА
1. Гурський Л.І., Зеленін В.О., Жебін А.П., Вахрін Г.Л. Структура, топологія і властивості плівкових резісторов.-Мн.: Навука i технiка, 2007 - 250 с.
2. Гурський Л.І., Румак Н.В., Кукса В.В. Зарядові властивості МОН-структур.-Мн.: Навука i технiка, 2000 - 200 с.
3. Міщенко В.А., Городецький Л.М., Гурський Л.І. та ін Інтелектуальні системи автоматизованого проектування ВІС і НВІС. Мн.: Радіо і зв'язок - 2005. - 450 с.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Фізика та енергетика | Реферат
48.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Елементи векторного аналізу
Теорія поля та елементи векторного аналізу
Хвильові процеси Акустика
Хвильові процеси в зоровій корі мозку
Літосфера її елементи процеси формування земної кори
Елементи індексного аналізу
Елементи спектрального аналізу
Елементи синтаксичного аналізу
Робочі процеси і елементи розрахунку механізмів автомобіля Ford Fiesta
© Усі права захищені
написати до нас