МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ Астраханської області
Державні освітні установи
СЕРЕДНЬОГО ПРОФЕСІЙНОГО ОСВІТИ
Астраханський педагогічний УЧИЛИЩЕ № 1
НА ТЕМУ:
«ФОРМУВАННЯ ПРОСТОРОВОГО МИСЛЕННЯ
ПРИ ВИВЧЕННІ Векторний простір
У УЧНІВ ОСНОВНОЇ ШКОЛИ »
Виконала: студентка гр. 3В
Джоржанова К.К
Перевірила:
викладач алгебри
Нікуліна І.Є.
АСТРАХАНЬ 2006
ЗМІСТ
Введення
Глава I Теоретичні основи формування просторового мислення в учнів основної школи при вивченні векторного простору
1.1 Поняття просторового мислення
1.2 Векторний простір
1.3 Роль векторного простору у формуванні просторового мислення учнів основної школи
Глава II. Методика формування просторового мислення учнів основної школи при вивченні векторного простору
2.1 Методичні аспекти розвитку просторового мислення як елемента образного
2.2 Методика формування просторового мислення учнів основної школи при вивченні елементів геометрії
2.3 Методика формування просторового мислення учнів основної школи при побудові моделі до задач
Висновок
Список літератури
Введення
Завдання розвитку просторового мислення учнів основної школи має особливу значущість, вона повинна з перших днів перебування дітей у школі, тому що розвиток мислення, а особливо наочно-образного та просторового тісно пов'язане з інтелектом людини. Людська істота з самого свого народження заглиблені в соціальне середовище, що впливає на нього в тій же мірі, що і середовище фізична. Більш того, подібно до того, як це робить фізичне середовище, суспільство не просто впливає на індивіда але невпинно трансформує самого його структуру, бо воно не тільки примушує його до прийняття фактів, але і представляє йому цілком усталені системи знаків, що змінюються мислення індивіда, пропонує йому нові цінності і покладає на нього нескінченний ряд обов'язків. Це дозволяє зробити очевидний висновок, що соціальне життя трансформує інтелект через вплив трьох посередників: мови (знаки), зміст взаємодій суб'єкта з об'єктами (індивідуальні цінності) і правил, встановлених мислення (колективні логічні або Дологическое норми). (Піаже, с. 213)
Тому в даний час інтерес до розвитку мислення і як окремого випадку образно-просторового мислення значно зріс. Але він має недовгу історію. Проблемі просторового мислення останнім часом в психології стало приділятися значно більше уваги, ніж було раніше. Йому присвячені роботи А. М. Леонтьєва, С. Д. Смирнова, А. Р. Лурія, А. А. Госпеева, В. М. Гордона, І. С. Якиманською, Є. М. Кабанова-Меллер, М. У . Рижика, Л. М. Фрідмана та інші.
У них розглядаються питання значення просторового мислення людини для формування понять і для продуктивної діяльності, вікові та індивідуальні особливості образного та просторового мислення, можливості його при вирішенні різноманітних проблем; наводяться феноменальні випадки образного, просторового мислення, вивчаються види образів.
Психологами вивчалося функціонування уяви і роль його у творчій діяльності людини, види уяви і прийоми створення нових образів. Цьому присвячені роботи Л. С. Виготського, І. В. Страхова, О. М. Дяченко, Ц. П. Короленко, С. В. Фатєєва та інші. У них підкреслюється зв'язок уяви з цілепокладанням, відзначається значення практичної діяльності для його розвитку.
Філософського осмислення образного мислення, виявлення значення знаків у пізнавальній діяльності людини, обговоренню зв'язку та образу присвячені роботи І. І. Мантатова, В. С. Тюхтіпа, А. В. Славіна, Н. Г. Салминой.
Велике значення в розкритті механізмів створення образів, у виявленні закономірностей зорового сприйняття мають роботи по візуальному мислення психологів Р. Арнхейма, І. Рока, Ж. Піаже, В. В. Сташка, Р. Франс і ін
Серед частини педагогів математиків має усвідомлення важливості просторового мислення в засвоєнні математики. Про це можна знайти явні чи неявні висловлювання у Ж. Адашора, А. Д. Александрова, Р. Куранта, Д. Пельберта, В. М. Тихомирова.
Різні аспекти просторового мислення при вивченні математики (від науково-популярних до методичних розробок) досліджували Ю. П. Попов, Ю. В. Пухначев, М. І. Башмаков, В. Г. Болтяскій, С. Б. Вергенко, Г. Д . Глейзер, В. А. Далингер, Г. М. Нікітіна, А. Пардала.
В даний час має місце протиріччя між наявністю розроблених методів і прийомів формування просторового мислення в психології і методиці та відсутністю системи завдань, яка сприяла б формуванню просторового мислення в учнів початкової школи. Відсутність такої системи є причиною низького рівня сформованості в учнів основної школи, а також у випускників середньої ланки, просторового мислення, без якого не можна говорити про повне розвитку мислення учнів.
Зазначене протиріччя зумовлює актуальність обраної теми дослідження.
Мета цього дослідження - розробити систему завдань, що сприяють розвитку просторового мислення учнів основної школи при вивченні векторного простору.
Завдання курсової роботи:
-Вивчити і проаналізувати психолого-педагогічну, методичну літературу з даної проблеми;
-Провести аналіз стану проблеми в практиці;
-Розробити та експериментально перевірити методику формування просторового мислення учнів основної школи при вивченні векторного простору.
Для вирішення поставлених завдань були використані наступні методи: вивчення робіт психологів, педагогів, фахівців з методики викладання математики; спостереження за діяльністю вчителів та учнів під час навчання математики; бесіди з учителем і учнем початкової школи; протоколювання уроків та їх аналіз; вивчення письмових робіт учнів; тестування.
Глава I Теоретичні основи формування просторового мислення в учнів основної школи при вивченні векторного простору
1.1 Поняття просторового мислення
Перш, ніж говорити про просторове мислення і його сутності, необхідно зрозуміти що ж таке мислення, які її види бувають які їхні особливості.
Відомий радянський психолог А. Н. Леонтьєв обгрунтовано вважав, що "життєвий, правдивий підхід до виховання - це такий підхід до окремих виховним і навіть освітнім завданням, який виходить із вимог до людини: яким людина повинна бути в житті і чим він має бути для цього озброєний, якими повинні бути його знання, його мислення, почуття і т. д. "1. Отже, організовуючи і проводячи навчання математики, необхідно весь час мати на увазі той ідеал людини, який створений суспільством. Якщо ми з цієї точки зору подивимося на завдання загальної освіти, і зокрема на завдання шкільного курсу математики, то прийдемо до висновку, що однією з першочергових та найважливіших завдань є завдання розвитку мислення учня.
Якості людини, що формуються у навчально-виховному процесі, поділяються на загальні та спеціальні. Мислення, звичайно, відноситься до загальних якостям, і його формування відбувається в процесі навчання всіх навчальним предметом, в процесі всього життя учнів.
Однак, загальновизнано та історичний досвід це підтверджує, що навчання математики у формуванні мислення відіграє першорядну і виключно велику роль, у якій роль математики ще більш значна. Ось що з цього приводу пише академік В. В. Давидов: "Рішення конкретних завдань сучасної шкільної освіти в кінцевому рахунку пов'язане зі зміною типу мислення, що проектується цілями, змістом і методами навчання. Всю систему навчання, необхідно переорієнтувати з формування у дітей розсудливо-емпіричного мислення на розвиток у них сучасного науково-технічного мислення "2. Тому потрібно встановити, який внесок у вирішення завдання формування науково-технічного мислення може внести навчання математики, як воно повинно бути для цього організовано, яке має бути його зміст і методи навчання.
Щоб розібратися у всьому цьому, необхідно попередньо з'ясувати, у чому сутність мислення, які його особливості та види, яким чином відбувається процес формування мислення у дітей.
За допомогою мислення людина пізнає навколишній світ. Однак пізнання може здійснюватися і без мислення, за допомогою одних лише органів почуттів (чуттєве пізнання), що дає людині різного роду відчуття, сприйняття і уявлення про зовнішній світ. Чуттєве пізнання є безпосереднім, бо воно здійснюється в результаті прямого контакту людини, його органів почуттів, з пізнаваним об'єктом. Між тим мислення є опосередкованим пізнанням об'єкта, бо воно здійснюється шляхом чуттєвого сприйняття зовсім іншого об'єкта, закономірно пов'язаного з пізнавальним об'єктом, або ж шляхом уявної переробки чуттєвих уявлень.
Таким чином, мислення, звичайно, спирається на чуттєве пізнанням без нього неможливо, проте вони далеко виходить за його межі і тому дозволяє пізнати також об'єкти, такі сторони явищ, які недоступні органам почуттів. Мислення дозволяє людині виявити в пізнаваних об'єктах не лише окремі їх властивості і сторони, що можливо встановити за допомогою почуттів, але і відносини і закономірності зв'язків і відносин між цими властивостями і сторонами. Тим самим з допомогою мислення людина пізнає загальні властивості і відносини, виділяє серед цих властивостей суттєві, що визначають характер об'єктів. Це дозволяє людині передбачити результати можна побачити подій, явищ і своїх власних дій.
І так, якщо чуттєве пізнання дає людині первинну інформацію про об'єкти навколишнього світу у вигляді окремих властивостей і наочних уявлень (образів) про них, то мислення переробляє цю інформацію, виділять у виявлених властивості суттєві, зіставляє одні об'єкти з іншими, що дає можливість узагальнення властивостей і свідомості загальних понять, а на основі уявлень образів - будувати ідеальні дії з цими об'єктами і тим самим передбачати можливі результати дій і перетворень об'єктів, дозволяє планувати свої дії з цими об'єктами.
Вся ця величезна робота виконується за допомогою розумових операцій: порівняння, аналізу та синтезу, узагальнення та іоніретізаціі
Порівняння - це зіставлення об'єктів пізнання з метою знаходження подібності (виділення загальних властивостей) і відмінності (виявлення особливих властивостей) кожного з порівнюваних об'єктів між ними. Ця операція лежить в основі всіх інших розумових операцій.
Аналіз - це уявне розчленування предмета на частини.
Синтез - це уявне з'єднання окремих елементів або частин в єдине ціле. У реальному розумовому процесі аналіз і синтез завжди виконуються спільно.
Абстракція - це уявне виділення яких-небудь істотних властивостей і ознак об'єктів при одночасному відверненні від всіх інших їх властивостей і ознак. У результаті абстракції виділене слово чи ознака сам стає предметом мислення. Всі математичні поняття як раз і є абстрактні об'єкти. Так, наприклад, поняття геометричної фігури утворюється шляхом виділення в спостережуваних предмети їх форми, довжини і взаємного положення в просторі і відвернення від всіх інших властивостей (матеріалу, кольору, маси і т. д.) Але при цьому виробляється не тільки абстрагування виділення вказаних властивостей і відкидання всіх інших, але й ідеалізація цих властивостей шляхом уявного переходу до граничних форм, які реально, звичайно, не існують (ідеальна пряма, точка, площина і т. д.).
Узагальнення використовується у двох різних формах: 1). як уявне виділення загальних властивостей (інваріантів) у двох або декількох об'єктах і об'єднання цих об'єктів в групи на основі виділених інваріантів (емпіричне узагальнення), 2). як уявне виділення в аналізованому обсязі або декількох об'єктах, в результаті аналізу їх істотних властивостей у вигляді загального поняття, для цілого класу об'єктів (науково-теоретичне узагальнення)
Конкретизація також може виступати у двох формах: 1. як уявний перехід від загального до приватного 2. як сходження про абстрактно-загального і конкретно-приватного шляхом виявлення різних властивостей і ознак цього абстрактно-загального, як наповнення, збагачення абстрактно-загального конкретним змістом.
У залежності від зв'язку між чуттєвими і абстрактними елементами розрізняють три види мислення: 1. наочно-дійове; 2. наочно-образне; 3. теоретичне (абстрактне, понятійне).
Наочно-діюче мислення характерно для дитини дитячого віку (до 3-х років включно), коли уявне пізнання об'єктів відбувається у процесі практичних дій з цими об'єктами.
Наочно-образне мислення являє собою мислення за допомогою наочних образів, тому таке мислення підпорядковане сприйняття, в ньому відсутня в розгорнутому вигляді абстрагування.
1.2 Векторний простір
Вектором називається сімейство всіх паралельних між собою однаково спрямованих і мають однакову довжину відрізків (рис.1). Вектор зображають на кресленнях відрізком зі стрілкою (тобто зображують не все сімейство відрізків, що представляє собою вектор, а лише один із цих відрізків). Для позначення векторів в книгах і статтях застосовують жирні латинські літери а, в, с і так далі, а в зошитах і на дошці - латинські літери з рискою зверху,
Тієї ж буквою, але не жирна, а світлою (а в зошиті і на дошці-тій же буквою без риски) позначають довжину вектора. Довжину іноді позначають також вертикальними рисками - як модуль (абсолютну величину) числа. Таким чином, довжина вектора а позначається через а чи IаI, а в рукописному тексті довжина вектора а позначається через а чи IаI. У зв'язку із зображенням векторів у вигляді відрізків (рис.2) слід пам'ятати, що кінці відрізка, що зображає вектор, нерівноправні: одного кінця відрізка до іншого. Розрізняють початок і кінець вектора (точніше, відрізка, що зображає вектор).
Дуже часто поняття вектора дається інше визначення: вектором називається спрямований відрізок. При цьому вектори (тобто спрямовані відрізки), що мають однакову довжину і одне і те ж напрям (рис.3), умовляються вважати рівними.
Вектори називаються однаково спрямованими, якщо їх напівпрямі однаково спрямовані.
Додавання векторів.
Все сказане поки ще не дає поняття вектора досить змістовним і корисним. Велику змістовність і багату можливість додатків поняття вектора отримує тоді, коли ми вводимо своєрідну «геометричну арифметику» - арифметику векторів, що дозволяє складати вектори, віднімати їх і робити над ними цілий ряд інших операцій. Зазначимо у зв'язку з цим, що ж і поняття числа стає цікавим лише при введенні арифметичних дій, а не саме по собі.
Сумою векторів а і в с координатами а1, а2 і в1, в2 називається вектор з з координатами а1 + в1, а2 + в2, тобто
а (а1; а2) + в (в1; в2) = с (а1 + в1; а2 + в2).
Наслідок:
а + в = в + а, (комутативність)
а + (в + с) = (а + в) + с. (Асоціативність)
Для доказу комутативності додавання векторів на площині необхідно розглянути приклад.
а та в - вектори (мал. 5).
Нехай ОА = а, ОВ = в.
1. Будуємо паралелограм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.
2. а = ОА = ВС,
в = ВВ = АС, тому що паралелограм.
3. ОА + АС = ОВ + ЗС = ОС, значить а + в = в + а. ч.т.д.
Для доказу асоціативності ми відкладемо від довільної точки О вектор ОА = а, від точки А вектор АВ = в і від точки в - вектор ЗС = с. Тоді ми маємо: АВ + ВС = АС.
(А + в) + с = (ОА + АВ) + ЗС = ОВ + ЗС = ОС,
а + (в + с) = ОА + (АВ + ВС) = ОА + АС = ОС,
звідки і слід рівність
а + (в + с) = (а + в) + с.
Зауважимо, що наведене доказ зовсім не використовує креслення. Це характерно (при деякому навику) для вирішення завдань за допомогою векторів.
Зупинимося тепер на разі, коли вектори а і в спрямовані в протилежні сторони і мають рівні довжини; такі вектори називають протилежними. Наше правило додавання векторів призводить до того, що сума двох протилежних векторів являє собою «вектор», який має нульову довжину і не має ніякого напряму; цей «вектор» зображується «відрізком нульової довжини», тобто точкою. Але це теж вектор, який називається нульовим і позначається символом 0.
Рівність векторів.
Два вектора називаються рівними, якщо вони поєднуються паралельним переносом. Це означає, що існує паралельний перенос, який переводить початок і кінець одного вектора відповідно на початок і кінець іншого вектора.
З даного визначення рівності векторів випливає, що різні вектори однаково спрямовані і рівні за абсолютною величиною.
І навпаки: якщо вектори однаково спрямовані і рівні за абсолютною величиною, то вони рівні.
Дійсно, нехай вектори АВ і СD - однаково спрямовані вектори, рівні за абсолютною величиною (рис.6). Паралельний перенос, що переводить точку З в точку А, поєднує полупрямую СD з полупрямой АВ, так як вони однаково спрямовані. А так як відрізки АВ і CD рівні, то при цьому крапка D поєднується з точкою В, тобто паралельний перенос переводить вектор CD у вектор АВ. Значить, вектори АВ і СD рівні, що й потрібно було довести.
Скалярний добуток двох векторів і його властивості.
Скалярним добутком двох нульових векторів називається число, що дорівнює добутку числових значень довжин цих векторів на косинус кута між векторами.
Позначення:
а x в = IaI * IbI * cos (а, в).
Властивості скалярного твори:
1. а x в = в х а.
Для того, щоб два нульових вектора а і в були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб скалярний добуток цих векторів було дорівнює нулю, тобто а х у = 0.
Вираз а х а будемо позначати а2 і називати скалярним квадратом вектора а.
Властивості операцій над векторами.
Мають місце наступні теореми про операції над векторами, заданими в координатній формі.
1. Нехай дано а = (ах, аy, АZ) і в = (вx, ву, вz), тоді сума цих векторів є вектор с, координати якого дорівнюють сумі однойменних координат доданків векторів, тобто з = а + в = (ах + вx; аy + ву; АZ + вz).
Приклад 1.
а = (3, 4, 6) і в = (-1; 4; -3), тоді з = (3 + (-1); 4 + 4; 6 + (-3)) = (2; 8; 3).
2. а = (ах, аy, АZ) і в = (вx, ву, вz), тоді різниця цих векторів є вектор с, координати якого дорівнюють різниці однойменних координат даних векторів, тобто з = а - в = (ах - вx; аy - ву; АZ - вz).
Приклад 2.
а = (-2; 8; -3) і в = (-4; -5; 0), тоді з = а - в = (-2 - (-4), 8 - (-5); -3 - 0) = = (2; -13; -3).
3. При множенні вектора а = (ах, аy, АZ) на число му всі його координати множаться на це число, тобто ма = (мах, маy, маz).
Приклад 3.
а = (-8; 4; 0) і м = 3, тоді 3а = (-8 х 3; 4 х 3; 0 х 3) = (-24; 12; 0).
Поняття вектора, яке знайшло широке поширення в прикладних науках, стало плідним і в геометрії. Апарат векторної алгебри дозволив спростити виклад деяких складних геометричних понять, докази деяких теорем шкільного курсу геометрії, дозволив створити особливий метод вирішення різних геометричних задач.
Розглянемо доказ деяких теорем за допомогою векторів.
Теорема 1.
Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
Доказ.
Нехай АВСD - даний ромб (рис.7). Введемо позначення: АВ = а, ВС = в. З визначення ромба: АВ = DC = а, AD = ВС = в.
За визначенням суми і різниці векторів АС = а + в; DВ = а - в.
Розглянемо АС * DВ = (а + в) (а - в) = а2 - в2.
Бо сторони ромба рівні, то а = в. Отже, AC * DB = 0. З останнього отримуємо АС
DВ, тобто DB АС. Ч.т.д.
З'ясуємо, що можна сказати про тих множинах, між елементами яких відображення 
встановлює відповідність. Розглянемо площину. Виберемо на ній деяку точку, назвемо її нулем і позначимо знаком . Після цього з будь-якою точкою площині ми можемо пов'язати вектор (такий, яким його уявляють в школі: спрямованим відрізком, стрілочкою, що йде з точки в будь-яку точку площині). Тепер безліч точок площини можна трактувати як безліч векторів, що мають спільний початок у точці . Це трактування є, зрозуміло, не що інше, як взаємно однозначне відображення множини точок площини на безліч компланарних вектоpов, що виходять з точки . Нехай дві точки і лежать на одній пpямой з точкою (Або, що те ж, два вектоpа і лежать на одній пpямой). Припустимо, якимось обpазом ми вміємо ізмеpять довжину. Позначимо довжину вектоpа чеpез . Якщо
,
то будемо говоpить, що
,
коли і лежать по один бік від точки , І
,
коли вони лежать по pазной осторонь (pіс.1 а).
Таким обpазом, ми опpеделить множення вектоpа на число. Далі, нехай і - Два пpоизвольного вектоpа. Опpеделяя їх суму як вектоp, напряму по діагоналі паpаллелогpамма, Побудована на цих вектоpах, довжина якого pавна довжині діагоналі, тобто
(Pіс.1 б).
|
Малюнок 1. Дії над векторами. |
Необхідно розуміти, що способи знаходження і ми саме визначено, pуководствуясь або особистими уподобаннями, або дpугими зовнішніми пpичин. Саме по собі безліч точок не пpедполагает будь-якого способу визначених і . Ми можемо (якщо в тому виникне потpебность) опpеделить ці опеpации іншим способом і навіть назвати по-дpугому (ні, знову ж таки, ніяких внутpенних пpичин називати вектоp сумою, а не, скажімо, вироблених). Те, як ми опpеделить множення на число і суму, є данина тpадиції і тим фізичним сообpаженіям, якому лягли в основу цієї тpадиции. Множення на число і сума вектоpов - пpимеp отобpаженій, про котоpих говоpилось вище. Пеpвое отобpажает площину в себе: деяка точка площини відображається в точку тієї ж самої площині. Втоpое отобpажает будь-яку паpу вектоpов (елемент області визначених є будь-яка паpа вектоpов) у вектоp: будь-якій парі точок площини ставиться у відповідність третя точка цій площині. Визначених нами отобpаженія володіють pядом властивостей. По-перше, має місце комутативність та асоціативність додавання і множення на число:
де - Числа, а і - Вектори. Далі, точці , Очевидно, відповідає нульовий вектор, для якого справедливо
Крім того, для будь-якого вектоpа існує вектоp , Такий, що
і він, природно, позначається чеpез . І, нарешті, якщо вектоp помножити на 1, то він отобpазітся в себе (і довжина, та направлення залишаться пpежними). Безліч, для елементів котоpого опpеделен додавання і множення на число, що має вказаними властивостями, ми будемо називати вектоpним пpостpанством. Чудовим виявляється те, що вектоpом, тобто елементом вектоpного пpостpанства, може бути не тільки точка площині (або стpелочка), а об'єкт будь-якої природи (як ми побачимо далі - число, функція, опеpатоpа і пpочих). Необхідно лише опpеделить додавання і множення на число, що володіють зазначеними вище властивостями. Фоpмалізуем все вищесказане наступним обpазом. Нехай - Некотоpое непорожнє безліч і - Деякі його елементи. Це безліч називається вектоpним (або лінійним) пpостpанством, коли вказано пpаво, за котоpому будь-яким двом елементам з ставиться у відповідність тpетий елемент з , Званий сумою елементів, і пpаво, за котоpому будь-якого елементу з і будь-якого числа (взагалі говоpя, комплексного) ставиться у відповідність елемент з , Званий пpоизведений елемента на число, і ці пpавила підкоряються наступним аксіомам:
- Комутативне закон;
- Асоціативний закон;
існує елемент , Званий нулем, такий, що ;
для будь-якого існує пpотівоположний елемент такий, що ;
;
;
;
.
У аксіомах (5) - (8) - Числа. Елементи називаються точками (або вектоpамі).
- Безліч дійсних чисел. Виконання аксіом (1) - (8), для стандартної обpазом визначених додавання і множення, нетpудно пpовеpіть. Таким обpазом, - Це вектоpное пpостpанство, точками або вектоpамі котоpого служать дійсні числа. До речі, якщо "pазместіть" всі речові числа на пpямой (тобто ВИБІР нульову точку, а крапку пов'язати з числом , Якщо pасстояния від до pавно ), То і тут вектоpи можна пpедставить у вигляді стpелочек, направлених з точки в точку .
- Безліч, елементом котоpого є будь-яка впорядкована 1.1 сукупність з чисел (Значок над - Не ступінь, а індекс). Число будемо називати -Й компонентою елемента. Опpеделяя складання елементів і множення їх на число покомпонентно, тобто якщо і - Елементи і - Число, то
і
Нульовим елементом назвемо елемент . Легко Перевіряйте аксіоми (1) - (8), так що і безліч є вектоpним пpостpанством.
Зробимо попутно невеликий додаток до пpимеpу 2. Нехай і - Два пpоизвольного множини, що складаються з елементів і відповідно. Можна обpазованное нову множину, елементами котоpого будуть всілякі упоpядоченние паpи . Це нове безліч називається спрямовувач пpоизведений множин і і позначається чеpез . Нехай тепеpь і - Вектоpние пpостpанства. Пpямое пpоизведений можна також пpевpатить в вектоpное пpостpанство, якщо додавання і множення на число опpеделить такий спосіб:
для і - Дійсне або комплексне число. Очевидно, пpостpанство можна тpактовать як пpямое пpоизведений вектоpних пpостpанства
- Безліч комплексних чисел , Де , А . Додавання і множення на число опpеделен такий спосіб:
Нульовим назвемо елемент . Аксіоми (1) - (8) виконуються і тут, звідки випливає, що і також є вектоpним пpостpанством.
Безліч матpіц також буде вектоpним пpостpанством, якщо суму матpіц і множення матpіци на число опpеделить так, як це робиться в лінійній алгебpе, тобто покомпонентно. Нульовим елементом цього пpостpанства буде нульова матpіца, всі елементи котоpой pавна нулю.
І так далі, і так далі. Треба подчеpкнуть, що множина має шанс називатися вектоpним пpостpанством, якщо: 1) воно володіє достатнім числом елементів і 2) належним обpазом опpеделен опеpации додавання і множення на число. Звернув також увагу на те, що наші пpовеpки спpаведлівості аксіом (1) - (8) спираються на пpавила додавання і множення дійсних чисел. Якщо некотоpое підмножина вектоpного пpостpанства саме обpазуют вектоpное пpостpанство, то воно називається подпpостpанством вектоpного пpостpанства . Напpимеp, будь-яка площину, пpоходящая чеpез точку 0 (чому саме така?) В є подпpостpанством , Так як сама є вектоpним пpостpанством . Аналогічно будь-яка пpямая, пpоходящая чеpез точку 0, є подпpостpанством . Кpім того, дана пpямая є подпpостpанством тих площин , В котоpих вона лежить. Упражненіе.Із яких елементів складається безліч, що є подпpостpанством і що не збігається з одним з них? Сума пpоизведений ненульових вектоpов на числа
називається лінійною комбінацією векторів . Очевидно, якщо - Вектоpное пpостpанство, то воно містить і будь-яку лінійну комбінацію своїх елементів, тобто лінійна комбінація є вектоp. Вектоp, якому є лінійною комбінацією яких-небудь дpугих вектоpов, називається лінійно залежним від цих вектоpов. Якщо ж він не може бути пpедставлена у вигляді лінійної комбінації зазначеного набоpа вектоpов, то він від них лінійно незалежний. Якщо ми в оберіть який-небудь вектоp , Не рівний нулю, то всі інші вектори виявляються лінійно від нього залежними, так як можуть бути записані у вигляді , Де - Число. У вектоpном пpостpанстве картина дpугая. ВИБІР ненульовий вектоp , Ми не можемо стверджувати, що всі інші вектоpи будуть лінійно залежати від нього, оскільки вектоpи, лінійно залежні від , Будуть лежати на пpямой, пpоходящей чеpез точки і . Але вже двох вектоpов, які не лежать на одній пpямой, достатньо для того, щоб всі інші вектоpи лінійно від них залежали. Сукупність ненульових вектоpов з некотоpое лінійного (або вектоpного, що те саме) пpостpанства називається лінійно незалежною, якщо не існує такого ненульового набоpа чисел , Що
Для пpоизвольного безлічі вектоpов максимальне число лінійно незалежних вектоpов називається його pазмеpностью. Так, безліч точок на пpямой має pазмеpность один, тобто одномеpно, а безліч точок на площині - двумеpно. Якщо такого максимального числа не існує (число лінійно незалежних вектоpов більше будь-якого напеpед заданого числа ), То множина називається бесконечномеpним, у пpотивном випадку - конечномеpним.
1.2 Роль векторного простору у формуванні просторового мислення учнів основної школи
Ряд зарубіжних психологів на чолі з відомим психологом Ж. Піаже вважають, що процес розумового розвитку є самостійним і незалежним від навчання, він має свої власні внутрішні закономірності. Навчання може лише затримувати або прискорювати терміни появи у дитини відповідних видів мислення, не змінюючи їх послідовності та особливостей. Жан Піаже писав: "це велика помилка думати, що дитина набуває поняття числа та інші математичні поняття безпосередньо в навчанні. Навпаки, в значній мірі він розвиває їх самостійно і спонтанно" 3.
У Б. Рассела була скоєно інша точка зору. Він вважав, що психологія максимально підпорядкована логістиці. "Коли ми сприймаємо білу троянду, говорить Рассел, ми осягаємо одночасно два поняття - поняття троянди і білизни. Це відбувається в результаті процесу, аналогічного процесу сприйняття: ми схоплює безпосередньо і як би ззовні" універсалії ", відповідні відчутним об'єктах, які" існують " і відчуваються незалежно від мислення суб'єкта. Він вважав, що властивості істинності і хибності додаються до понять незалежно не від чого. Що стосується законів, керуючих універсалами і регулюючих їх відносини, то вони випливають з логіки, і психологія може лише схилитися перед цими попередніми знанням , яке було дано їй, в абсолютно готовому вигляді. Така гіпотеза Б. Рассела. Безглуздо було б відносити її до метафізики чи метопсіхологіі на тій підставі, що вона суперечить здоровому глузду експериментаторів; адже здоровий глузд математиків пристосовується до неї цілком успішно, а психологія повинна зважати на математиками. Однак настільки радикальну тезу змушує замислитися. Перш за все він усуває поняття операції, тому, що якщо універсалії беруться ззовні, то їх не треба конструювати. У виразі "1 +1 = 2" знак "+" не означає тоді нічого іншого, крім відносини між двома одиницями, і не включає ніякої діяльності, що породжує число "2"; як гранично чітко говорить Кутюра, поняття операції по суті "антропоморфними". Отже, теорія Рассела а fortiori різко відокремлює суб'єктивні фактори мислення (переконаність і т. д.) від факторів об'єктивних (необхідність, ймовірність і т. п.). Нарешті, ця теза усуває генетичну точку зору: прагнучи підкреслити непотрібність последований мислення дитини, один англійський прихильник Рассела сказав якось, що "логік цікавиться справжніми думками, тоді як психолог знаходить задоволення в тому, щоб описувати думки помилкові. "У німецькій" психології мислення "виникають такі ж проблеми, що і в концепції Б. Рассела, хоча тут мова йде вже про роботи психологів. Правда з точки зору прихильників цієї школи, логіка вноситься у свідомість не ззовні, а з всередині.
Як метод "психологія мислення" зародилася одночасно у Франції та Німеччині. Біке повністю відмовившись від ассоціаціонізма, який він відстоював у своїй невеликій книзі "психологія умовиводи" знову повернувся до питання про взаємовідносини мислення та образів і, спираючись на досить цікаве використання процесу провоцируемой інтроспекції, відкрив наявність потворного мислення: виявилося, що відносини, судження, займані позиції і т. п. виходять за межі системи образів, і тоді процес мислення вже не може бути зведений до "споглядання галереї образів." Що ж стосується визначення цих актів мислення, що не укладаються в рамки ассоціаністкой інтерпретації, то тут Біке вельми обережний. Він обмежується констатацією наявності близькості між інтелектуальними та моторними "позиціями" і приходить до висновку, що розглянуте з точки зору однієї лише інтроспекції, "мислення являє собою неусвідомлену діяльність свідомості". Урок нескінченно повчальний, але що вводить в оману щодо можливості методу, який плідніше скоріше для постановки проблем, ніж для їх вирішення.
З усього цього можна зробити висновок, що спочатку над нами довгий час був достатній постулат не сводимости логічних принципів, якими надихалися прихильники "психології мислення". Вивчення формування операцій у дитини ввело нас, навпаки, до переконання, що логіка є дзеркалом мислення, а не навпаки. Після багатовікових спорів проблема відносин між формальною логікою і психологією інтелекту отримує рішення, аналогічне тому, яке свого часу поклало край конфлікту між дедуктивної геометрією і геометрією реальної, чи фізично. Як і у випадки цих двох дисциплін, логіка і психологія мислення спочатку збігалися, не будучи диференційовані. Аристотель, формулюючи закони силогізмів, вважав, що він створив природну історію розуму. Коли ж психологія стала незалежною наукою, психологи добре зрозуміли, що міркування про поняття, судження і умовиводи, що містяться в підручниках логіки, не звільняють їх від необхідності шукати розгадку каузального механізму інтелекту. Однак у силу збереженого впливу первісної нерозчленованій вони ще продовжували розглядати логіку як науку про реальність, що лежить в тій же площині, що і психологія, але займається виключно "істинним мисленням", на противагу мислення взагалі, взятому в абстракції від яких би то не було норм . Звідси та ілюзорна перспектива "психології мислення", згідно з якою мислення як психологічного явища являє собою відображення законів логіки. Навпаки, як тільки ми зрозуміли, що логіка є математику, відразу ж - у результаті простого перевертання вихідної позиції - зникає помилкове рішення проблеми відносин між логікою і мисленням 4.
Більшість же радянських психологів (Л. С. Виготський, А. Н. Леонтьєв та інші) дотримувалися діаметрально протилежної точки зору. Вони, не ототожнюючи процеси навчання і розумового розвитку, вважають, що навчання повинно йти попереду розвитку.
Саме розумовий розвиток розглядається як процес присвоєння дитиною суспільно-історичного досвіду, і тому він має конкретно-історичну, соціальну природу: його етапи та психологічні особливості визначаються системою організації та у спосіб передачі дитині суспільного досвіду. Всі види і особливості розумової діяльності мають об'єктивні, суспільно - задаються зразки і засвоюються дитиною як в стихійному, так і в цілеспрямованому навчанні. При цьому роль навчання в розумовому розвитку історично весь час зростає і в даний час є вирішальною.
Л. С. Виготський вказував, що навчання повинно орієнтуватися головним чином на ще не сформовані, але виникаючі психічні види діяльності дитини. Він ввів поняття зони найближчого розвитку, дитина ще не може самостійно виконувати дану діяльність, але вже може її виконати за допомогою дорослого. Виконуючи цю діяльність при постійно зменшується допомоги дорослого, дитина переходить із зони найближчого розвитку до зони актуального розвитку, в якій він вже цю діяльність може виконувати цілком самостійно. Отже, процеси розумового розвитку та навчання є тісно пов'язаними і взаємно обумовленими: навчання спирається на доступний рівень розвитку. Але розвиток не слід за навчанням як тінь, автоматично: воно залежить від змісту і характеру навчання та багатьох інших факторів, соціальних та виховних (сім'ї, середовища, природних задатків і т. д.). Я не поділяю таке категоричне думку про одностороннє вплив навчання на розумовий розвиток чи навпаки. Я розглядаю обидва ці процеси у взаємному впливі: навчання залежить від розвитку та розвиток зумовлений навчанням. Навчання, стимулюючи розумовий розвиток, саме на нього спирається. Розумовою може бути лише таке навчання, яке, спираючись на вже досягнуте розвиток школяра, просуває його вперед, розвиваючи його пізнавальні можливості. У психології довго вважалося, що наочно-образне мислення є нижчими в порівнянні з словесно-логічним (понятійним).
У заслугу математики ставився розвиток абстрактного мислення. Довгий шлях розвитку математики, все більша її формалізація, найчастіше відрив від змістовної сторони поступово впливали і на зміст шкільного курсу. Він стає все більш формалізованим. У підручниках і на уроках математики здійснювався швидкий перехід від визначень понять до оперування знаками, що заміщають ці поняття, без належного з'ясування змісту, без свідомості повноцінного уявного образу. Школярі (більша частина) змушені формально запам'ятовувати визначення понять, їх властивості, оперування ними. Вивчення математики для декого стало нестерпним працею, не приносить радості. Внаслідок цього на сучасному етапі розвитку психолого-педагогічної науки на одному з перших по значущості місць висувається проблема формування і розвитку образного мислення учнів, особливо при навчанні математики, найбільш абстрактної з наук. Значимість наочно-образного подання навчальної інформації, стає ще більш зрозумілою на фоні даних нейрофізіології останніх двох десятиліть, яка переконливо довела функціональну асиметрію півкуль головного мозку людини. Крім того, у значної частини школярів (близько 20%) спостерігається латерализация правої півкулі. Тому для успішного засвоєння ними математичних знань необхідне посилення наочно-образної складової пред'являється матеріалу, як противаги (у деяких випадках) або необхідної, переважаючою в математиці абстрактно-логічної частини.
Математика бере свій початок у практичній діяльності людей, в описі просторових форм і кількісних відносин видимого навколишнього світу. Вводячи математичні поняття вчені математики користувалися відповідними образами. Багато хто з цих образів, як допоміжні елементи, використовувались у навчанні. У силу ряд причин з плином часу деякі образи нерозумно витіснялися з процесу навчання. Більшою мірою це пов'язано зі зростаючою формалізацією математики.
Численними дослідженнями, виконаними в рамках загальної, вікової та педагогічної психології показано, що інтелектуальний розвиток особистості в онтогенезі нерозривно пов'язане з оволодінням простором спочатку практично, а потім і теоретично. Саме розвиток оволодіння простором розуміється при цьому, як ускладнення і якісна зміна видів і способів орієнтації. Важливою стороною інтелектуального розвитку є просторове мислення, що забезпечує під час пізнання виділення в об'єктах і явищах дійсності просторових властивостей і відносин (форми, величини, напрями, протяжності і т. п.), створення на цій основі просторових образів і оперування ними в процесі вирішення завдань . Важко назвати хоча б одну область людської діяльності, де створення просторових образів і оперування ними не грало істотної ролі.
Особливе значення просторове мислення має в різних видах конструктивно-технічної, образотворчої, графічної діяльності (дослідження Б. Афанасьєва, А. Д. Ботвіннікова, Л. Л. Гурова, Є. І. Ігнатьєва, С. М. Кабанова - Міллер, В. І. Киреенко, Т. В. Кудрявявцева, Н. П. Ліньковлой, Б. Ф. Ломова, В. О. Моляко, В. С. Мухіної, М. П. Сакулиной та інші).
Роль просторового мислення в оволодінні різними видами діяльності особливо зросла в даний час у зв'язку з широким використанням в науці і техніці графічного моделювання, що дозволяє більш наочно і разом з тим досить формалізовано виявляти і описувати досліджувані теоретичні залежності, прогнозувати їх прояв в різних галузях дійсності. Відмінною особливістю праці в умовах сучасного виробництва є опосередкований характер управління автоматично діючими технічними об'єктами і процесами, на основі сигналізують пристроїв, різних не тільки за своїм виробничим змістом, але і тим вимогам, які вони пред'являють до просторового мислення.
З цієї точки зору всі застосовувані в даний час в техніці сигналізують пристрою розрізняють на відтворюють реальні властивості об'єктів і позначають їх за допомогою спеціальної системи символів і знаків. Технологічні дослідження (М. В. Гамезо, В. П. Зінченко, Б. Ф. Ломов, В. Н. Пушкін, В. Ф. Рубахін та інші) показують, що в цих умовах швидкість, надійність прийому й переробки зорової інформації про керовані об'єкти залежить головним чином від уміння створювати адекватні зорові образи, вільно переходити від однієї знакової системи в іншу, "перекодувати" інформацію, що надходить з урахуванням динаміки сигналів-кодів, не допускаючи неузгодженості між сприйняттям безпосередньо надходить на пульт управління звукової інформації та образами конкретних виробничих об'єктів . Вся ця діяльність відбувається у розумі, без зорової опори на реально діючі механізми і процеси, що вимагає добре розвиненого просторового мислення. Останнім часом при конструюванні технічних Систем особливе значення надається розробці спеціальної різновиди сигналів-символів, що відображають різні ознаки керованого об'єкта у вигляді цілісної просторової структури - просторового кодування. Аналогічні тенденції спостерігаються і в інженерній графіці, де посилюється роль схематизації, формалізації зображень, заміни наочних зображень умовними позначеннями з метою надання їм більш універсального значення дозволяє тим самим відображати велику кількість реальних об'єктів, що відрізняються різноманітністю властивостей і функцій. У багатьох галузях наукового знання (біологія, хімія, фізика, математика та ін) також широко використовуються узагальнені графічні засоби, що моделюють властивості та співвідношення досліджуваних об'єктів.
Все це не може не позначитися на змісті і методах засвоєння шкільних завдань, де також велике поширення отримав метод графічного моделювання. Як наголошується у ряді досліджень (П. Р. Атутов, В. Г. Болтянский, А. Д. Ботвинника і ін) умовні графічні моделі є наочністю принципово іншого змісту та характеру, ніж зображення конкретних об'єктів. Оперування просторовими графічними моделями у багатьох предметах, які вивчаються в школі, стає самостійним видом навчальної діяльності і широко використовується при засвоєнні не тільки фізико-математичних, а й гуманітарних дисциплін (В. В. Давидов, Л. І. Айдарова, А. І. Маркова , Л. М. Фрідман та ін.) Підвищення теоретичного змісту знань, виконання методу графічного моделювання та структурного аналізу у вивченні явищ об'єктивної дійсності, розвиток і вдосконалення засобів знаковою культури-все це призводить до того, що людина в процесі діяльності постійно оперує просторовими образами, перекодує їх, що створює принципово нові вимоги до розвитку просторового мислення.
Образи, які формуються на основі різних графічних моделей, мають іншу психологічну природу, ніж ті, які виникають на основі наочних зображень конкретних предметів. За своїм змістом і функціями вони швидше наближаються до понять, ніж до уявлень - ілюстрацій.
Все це спонукає до додаткового вивчення особливостей просторового мислення з урахуванням сучасних вимог до его розвитку.
Гносеологічна функція просторового мислення. Мислення суб'єкта може виділяти тільки ті сторони та властивості дійсності, які складають зміст його перетворюючої діяльності. Будучи узагальненим і опосередкованим відображенням дійсності, мислення може бути направлено на аналіз якісно різних сторін цієї дійсності, що визначається спрямованістю, вибірковістю, пізнавальною активністю людини, його потребами, мотивами, які склалися у нього засобами діяльності (знаннями, вміннями, навичками).
Саме сфера діяльності (теоретична або емпірично-практична) визначає зміст індивідуального мислення, спеціалізуючи його, направляючи на аналіз тих сторін дійсності, які найбільш важливі для продуктивного здійснення цієї діяльності. Є такі області людської діяльності, в якій встановлення просторових співвідношень, їх перетворення є спеціальною і нерідко дуже складним завданням. Все це дає підставу для виділення цієї сфери людської діяльності в особливий вид та позначення її відповідним терміном.
Мислення, яке забезпечує створення образів простору та оперування ними в процесі вирішення різноманітних завдань є "просторове мислення".
Гносеологічна його функція полягає в тому, що воно забезпечує перетворення просторових співвідношень об'єктів: їх форми, величини, взаємного розташування частин, які виражаються поняттями про направлення, відстані, місцезнаходження, протяжності і т. п. Для визначення просторового розміщення об'єктів (з взаємного положення) необхідна система відліку. В якості її найчастіше використовується вихідна позиція спостерігача. Її зміна нерідко тягне за собою перебудову всієї системи просторових співвідношень. Вибір точки відліку визначається, як правило, самою людиною або задається умовами задачі, її об'єктивними вимогами. Вихідна позиція спостереження є стійкою системою відліку, загальною у людини і тварин. Керуючись "схемою тіла", спостерігач орієнтується в навколишньому його просторі щодо розміщених у ньому об'єктів. Він виділяє просторові співвідношення з урахуванням власного становища (ближче далі, праворуч ліворуч, спереду ззаду, зверху-знизу і т. п.). Назвемо умовно цей тип зв'язків "суб'єкт-об'єкт" (SO). У цілому ряді випадків взаємодія об'єктів матеріального світу відбувається і без участі суб'єкта. У цих випадках враховуються просторові залежності між самими об'єктами, позиція спостерігача (суб'єкта) при цьому не відіграє суттєвої ролі. Назвемо умовно цей тип зв'язків "об'єкт - об'єкт" (О-О). Виділення цих двох типів зв'язків носить не абсолютний, а відносний характер, так як суб'єкт, тимчасово вимикаючись з цілісної системи просторових відносин, постійно присутній в ній. Він не тільки змінює своє положення в навколишньому просторі завдяки здатності до пересування, а й активно взаємодіє з об'єктами, надаючи тим самим вирішальний вплив на виявлення просторових зв'язків між самими об'єктами, перетворюючи їх. Тому відображення просторових властивостей і відносин носить динамічний характер.
Особливістю просторових зв'язків, як підкреслював Б. Г. Ананьєв, є те, що це є один з видів відображення відносин між об'єктами. Тому вони можуть бути виявлені і використані лише в ході активної перетворюючої діяльності суб'єкта, завдяки якій з об'єкта як би "викреслюються" (С. Л. Рубінштейн). Потрібні просторові зв'язки і відносини, безпосередньо не задані в самому об'єкті пізнання.
Таким чином, просторове мислення виконує дуже важливу гносеологічну функцію і має яскравий якісною своєрідністю.
Просторове мислення - вид розумової діяльності, який забезпечує створення просторових образів і оперування ними в процесі вирішення практичних і теоретичних завдань. Це складний процес, куди включаються не тільки логічні (словесно-зрозумілі) операції, але і безліч перспективних дій, без яких мислення протікати не може, а саме впізнання об'єктів, представлених реально чи зображених різними графічними засобами, створення на цій основі адекватних образів і оперування ними за поданням. Будучи різновидом образного мислення, просторове мислення зберігає всі його основні риси, і тим самим відрізняється від словесно-дискурсивних форм мислення. Це відмінність ми бачимо насамперед у тому, що просторове мислення оперує образами; в процесі цього оперування відбувається їх відтворення, перебудова, переворот у необхідному напрямку. Образи тут є і вихідним матеріалом, і основний оперативної одиницею, і результатом розумового процесу. Це не означає, звичайно, що при цьому не використовуються словесні знання. Але на відміну від словесно-діскуссівного мислення, де словесні знання є основним змістом, в образному мисленні слова використовуються як засоби інтерпретації вже виконаних в образах перетворень.
Будучи більш тісно і безпосередньо пов'язаних з відображенням реальної дійсності, образ дає знання не про ізольовані сторонах (властивостей) цієї дійсності, а являє собою цілісну уявну картину конкретної ділянки дійсності, де відтворюються не окремі ознаки і властивості об'єктів, а обов'язково їх просторового розміщення.
Для створення образу, як уявної картини істотним моментом є вибір вихідної точки відліку, що також відрізняє образ від поняття (словесного знання). Отже, просторове мислення, володіючи усіма характерними особливостями образного мислення, виконує специфічну функцію в пізнанні і навчанні. Воно дозволяє виокремлювати з реальних об'єктів, теоретичних (графічних) моделей просторові властивості і відносини, робити їх об'єктом аналізу і перетворення. Основний оперативної одиницею просторового мислення є просторові образи, в яких відображаються не всі властивості, ознаки предметного світу, а лише просторові властивості і відносини. Просторове мислення, у своїх найбільш розвинених формах формується на графічній основі, тому провідними для нього є зорові образи.
Аналіз гносеологічних і психологічних особливостей просторового мислення важливий для визначення основних напрямів та перспектив його розвитку у школярів. Вивчаючи зміст просторового мислення школярів, мається на увазі, що і практично, і теоретично воно формується в основному на матеріалі евклідового простору, при розгляді різних інерційних систем, де діють закони класичної фізики і механіки, теорії тяжіння. Поряд з ними в школі закладаються основи наукових уявлень про простір, що відображають залежності, що існують у неінерціонних системах, де не діють класичні закони механіки і земного тяжіння. На уроках фізики старшокласники знайомляться з елементами ядерної фізики, теорії відносності, вивчають закони не тільки макро, - але і мікросвіту. Аналогічні тенденції проявляються і на уроках з інших предметів.
Розвитку просторового мислення необхідно приділяти більше уваги, ніж це передбачається в підручниках, тому ми ставимо перед собою завдання, розробити елементи методики формування просторового мислення в учнів основної школи, які будуть включати в себе вправи в певній системі, про які йтиметься нижче, а також спробувати на основі того матеріалу, який є в підручнику, так організувати роботу з дітьми, щоб вона сприяла розвитку просторового мислення.
Глава II. Методика формування просторового мислення учнів основної школи при вивченні векторного простору
2.1 Методичні аспекти розвитку просторового мислення як елемента образного
Розглянемо, які підходи пропонують для розвитку просторового мислення в середній школі і з'ясуємо можливості їх використання.
А. Пардала виділяє такі основні типи вправ, дидактичним призначенням яких є формування та розвиток просторових уявлень учнів: математичні ігри, пов'язані з просторовими уявленнями; дослідження конкретних геометричних об'єктів-фігур і перетворень; конструктивні завдання; прикладні задачі; проекційні стереометричні завдання; завдання на проектування геометричних тіл, побудова перерізів; діагностичні завдання на перевірку сформованості просторових уявлень.
Однак А. Я. Цукарь вважає, що хоча це не класифікація, тим не менше так змішувати (як це зробив А. Пардала) в одному переліку типи вправ, одні з яких є окремим випадком інших, а у деяких абсолютно різні підстави, недозволено. Очевидно, що виділяти в окремий тип діагностичні задачі не має сенсу. У математичних іграх можуть використовуватися самі різні завдання: і на проектування, і на побудову перерізів. А хіба завдання на проектування геометричних тіл не є конструктивними? У наявності часта для методичних публікацій непарність в розподілі, як логічної операції, іноді доходить до еклектики.
Г. М. Нікітіна говорить про методичних прийомах розвитку просторового мислення учнів: залучення неплоских просторових образів при розгляді питань планіметрії, створення цілісного геометричного образу з опорою на наочність; створення ситуацій, що сприяють активному оперування геометричним чином; творче конструювання нових геометричних образів. В іншій роботі Г. М. Нікітіна з авторам до показників розвитку просторового мислення відносить уміння: 1. створювати вихідний геометричний образ, тобто в графічній моделі передавати форму, розміри і взаємне розташування окремих елементів об'єкта; 2. вибирати і довільно змінювати точку відліку; 3. зберігати в пам'яті геометричний образ; 4. аналізувати і синтезувати геометричні образи; 5. розглядати об'єкт з різних точок зору; 6. подумки робити різні геометричні перетворення над вихідним геометричним чином, 7. подумки змінювати структуру геометричного образу; 8. здійснювати окомірні оцінки лінійних та кутових величин. У наведених вище поділках також є змішання різних підстав.
На якомусь етапі фахівці, образно кажучи, займаються "збиранням", щоб потім більш уважно вивчити та систематизувати накопичений матеріал. Останнім часом з'явилося розуміння того, що не тільки 5-6 класи середньої ланки, а також і початкова школа, - сприятливий час для розвитку просторового мислення. Тому хоч і повільно, але на уроці математики в початкових класах проникають спеціальні вправи, спрямовані на його розвиток. Потім у 6-9 класах ця проблема забувається і спливає (за необхідності) в 10 класі, оскільки явно дає про себе знати. Традиційно для розвитку просторової уяви учнів 10-11 класів використовувалися завдання на побудову перерізів многогранників площиною. Ця тема перебувала в центрі уваги багатьох дослідників, починаючи з М. Ф. Четвертухіна. Їй присвятив свою невелику книгу К. С. Богушевської, яка допомогла вчителям побачити місце таких завдань при вивченні аксіом стереометрії і тим "Паралельність прямих і площин". Методистами розроблялися системи завдань, пов'язаних з зображенням просторових фігур і з побудовою перерізів многогранників площиною.
Основою формування просторової уяви є практична робота дитини з просторовими об'єктами, маніпулювання ними, зміна їх положення в просторі роз'єднання і з'єднання декількох в один. Зовнішні дії суб'єкта з об'єктами є необхідними для того, щоб він міг потім проводити з ними внутрішні, уявні дії. Але вони не є достатніми. Будь-яка діяльність уяви неможлива без фіксації її проміжних етапів (конструкцій) яким-небудь простим способом (у знаково-символічній формі). Тому для розвитку просторової уяви школярів потрібно озброювати їх відповідними знаннями про способи такої фіксації. Одним з найпоширеніших є зображення просторових об'єктів за прийнятими правилами. Необхідна умова формування та розвитку просторової уяви - наявність досить великого і різноманітного матеріалу для сприйняття. Правильність, продуктивність його зростає під впливом вправ, що враховують всю гаму можливих операцій над просторовими об'єктами, що призводять до створення нових образів, адже основна його функція - оперування просторовими образами. Таким чином, явно виділяються два типи вправ, що лежать в основі формування і розвитку просторового мислення: вправи на вміння читати зображення і зображати просторові об'єкти, і вправа на оперування просторовими образами. У свою чергу, в них можна виділити різні види: відшукання зображення з декількох даних для пред'явленого об'єкта; знаходження об'єкта з деякого набору, відповідного даному зображенню; завершення зображення відомого об'єкта з його фрагментом; ідентифікація різних зображень того ж просторового об'єкта; впізнавання фігури за її проекція; 6. визначення взаємного розташування кількох фігур за їхніми зображеннями; 7. оцінювання форми і розмірів фігури; 8. побудова проекцій заданої фігури; 9. побудови зображення об'єкта з його 10. зображення об'єкта з його опису; 11. виготовлення моделі за її кресленням, за пред'явленим об'єкта, за його описом; 12. впізнавання і зображення об'єкта, отриманого (уявним) зміною (за допомогою повороту, симетрії, паралельного переносу) положення заданого; 13. впізнавання і зображення фігури, складеної з заданих за відомим правилом; 14. зображення перетину заданих фігур (у тому числі після уявного їх переміщення); 15 зображення частин фігур після її уявного розчленування.
Вимоги до змісту (вправ) навчання, спрямованого на досягнення необхідного рівня просторового мислення (по Нурмагомедову). Вправи повинні будуватися з розрахунком: - використання конкретних уявлень про матеріальні тілах, їх взаємне розташування в просторі, про їх властивості (рухливість, нерухомість, стійкість, нестійкість, здатність збереження і зміни форми і т. п.); врахування необхідності домінанти якісної оцінки оточуючих предметів над кількісної, властивої учнів основної школи. Звідси, наприклад метричні уявлення не повинні випереджати уявлення про форму або взаємне розташування; забезпечення необхідною і обов'язковою роботи з розвитку мовлення, формування активного словника, що характеризує форму предметів і фігур, їх властивостей, відносини взаємного розташування в просторі; - забезпечення використання при виконанні завдань і вправ всіх можливих рецепторів сприйняття навколишнього простору (зору, дотику, слуху). Звідси необхідність забезпечення при вирішенні вправ різноманітних видів діяльності і способів рішень.
2.2 Методика формування просторового мислення учнів основної школи при вивченні елементів геометрії
Відомо, що геометрія як наука, першооснови якій викладаються в школі, має своїм предметом вивчення просторових форм і відносин реального світу. Наукове пізнання цих форм і відносин можливий за наявності у людини розвиненого мислення та уяви. Такі якості купуються життєвим досвідом та навчанням. Звідси найважливішою метою навчання шкільної геометрії є формування просторових уявлень та розвитку уяви та мислення в учнів.
При навчанні геометрії її цілі і засоби перебувають у складних діалектичних причинно-наслідкових взаємозв'язках. Якщо учень при рішенні геометричних задач погано уявляє форми лідерів та їх деталі, він допускає помилки або зовсім губиться в подоланні труднощів. Це показник того, що в нього слабко розвинені просторові уявлення та уяву. Розкриття цих взаємозв'язків з урахуванням індивідуальних здібностей школярів є найважливішою проблемою педагогіки геометрії. Формування геометричних уявлень і розвиток просторового мислення учнів на матеріалі шкільного курсу геометрії переслідує не тільки загальнонавчальні, але й теоретико-пізнавальні цілі - підвести учнів до розуміння істотних властивостей реального простору (симетричність, подібність, конгруентність в собі, безперервність і переривчастість, тривимірність, нескінченність і ін), знаннями яких вони могли б користуватися в трудовій діяльності.
Процес пізнання просторових форм і відносин протікає у людини все його життя, цілеспрямований сенс йому надається лише при навчанні в школі, тому, займаючись цими питаннями на уроках геометрії, слід ретельно враховувати рівень і характер формування цих якостей у дитини і на кожному наступному етапі, що передує даному.
Для досягнення розглянутих навчальних цілей геометрії можливо піти двома шляхами: -
удосконалювати зміст шкільної програми;
- Застосовувати систему методів, засобів і форм організації навчальної діяльності учнів.
Відомо, що процес формування і розвитку просторових уявлень у людини проходить емпіричну і абстрактну логіко-геометричні щаблі. При цьому друга майже повністю визначається і залежить від шкільного геометричного освіти (програми та методів). За останнє десятиліття життєві умови (на економічній ступені) для пізнання властивостей простору учнями основної школи значно збагатилися і розширилися під впливом змін їх "комунікаційного, візуального та метричного клімату". Практично всі вчені-дослідники вказують на особливу роль геометрії, геометричного матеріалу в розвитку мислення школярів. Так, наприклад А. Пишкало в числі найважливіших методичних ліній виділяє формування геометричних уявлень, розвиток мислення, формування просторових уявлень і уяви. У своїй дисертації А. Пишкало каже, що в процесі викладу матеріалу в учнів формуються навички індивідуального мислення, виховуються вміння робити найпростіші індуктивні умовиводи. Одночасно з цим поступово розвиваються і використовуються навички дедуктивного мислення. Все це ведеться через формування прийомів розумових дій таких, як аналіз і синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення.
У першому класі ведеться робота по первинному ознайомленню з фігурами. Вже при цьому діти виконують розумові операції аналізу та синтезу. Важливим завданням методики навчання в цей момент є забезпечення цілеспрямованого і повного аналізу фігури, на основі якого виділяються її істотні властивості і відбувається відволікання від несуттєвих властивостей. У ході такої роботи з необхідністю виникає потреба застосування геометричної і логічної термінології, символіки, умовних зображень. Їх введення тому не може бути формальним актом. У традиційному навчанні вже в першому класі часто починають вивчення фігур з введення формального визначення. Експеримент показав, що використання формальних визначень в першому класі виявляється передчасним. Але вже в третьому класі, коли діти оволоділи значним запасом уявлень, виникає потреба в узагальненнях, учні вже повинні вміти давати опис фігур та їх властивості за своїм характером близькі до визначень.
Одне із завдань у розробці методики вивчення геометричного матеріалу А. Пишкало полягала в дослідженні можливості здійснення первинного ознайомлення учнів третіх класів зі структурою логічного слідування. З цією метою в дисертації Пишкало намічені спеціальні вправи. Основу роботи з формування просторових уявлень становить насамперед створення запасу просторових уявлень, одержуваних на основі безпосереднього знайомства з матеріальними образами геометричних об'єктів, які в подальшому удосконалюються з залученням геометричних моделей. На базі створення запасу уявлень вже по-друге - третє класах стає можливим формування власне просторових уявлень, коли нові просторові уявлення створюються як комбінація раніше створених.
Важливим методичним прийомом, що забезпечує міцні геометричні знання є формування просторових уявлень через безпосередні сприйняття учнями конкретних речей, матеріальних моделей геометричних образів. У першому класі просторові уявлення виробляються у процесі набуття дітьми практичного досвіду просторового орієнтування реальних предметів, матеріальних моделей геометричних фігур. У другому - третьому класі характер роботи з формування просторових уявлень ускладнюється. Слід, наприклад, формувати уявлення про одну фігуру з опорою на безпосереднє сприйняття іншої фігури. Наприклад, уявлення про кубі з опорою на безпосереднє сприйняття моделі квадрата, виготовленого з паличок та пластиліну. Діти виготовили таку модель. На деякий час учням показується модель куба, і після того, як вона прибрана ставляться питання: "Чи можна з паличок і шматочків пластиліну виготовити модель куба? Скільки для цього потрібно взяти паличок, скільки шматочків пластиліну?" Учні вирішують це завдання подумки, в уяві . У дисертації розроблена система вправ і методика їх використання, основним призначенням яких є формування просторових уявлень і розвиток просторового мислення та уяви учнів.
Однак, незважаючи на декларований розвиваючий характер методики А. Пишкало, з точки зору сучасних психологів вивчення спочатку плоских, а потім об'ємних фігур є невірним. Дані психологічних та фізіологічних досліджень вказують на інтенсивне збагачення просторових уявлень в учнів основної школи, збільшення числа виконуваних ними просторових операцій пересування, розміщення, відтворення форм, а також розташування ближче, далі, поруч, разом, окремо і ін Ці уявлення і операції мають яскраво виражений якісний, а не кількісний метричний характер. Розумова діяльність учнів основної школи проходить передусім у формах встановлення зв'язків між його досвідом у фізичному просторі та конкретною дією. Тому початкове ознайомлення учнів з основними геометричними поняттями (форма, тіло, поверхня, площина та ін) потрібно проводити на матеріалі, з яким школяр може оперувати своїми руками. Помічено також, що у дітей формуються раніше деякі топологічні, потім проективні, а пізніше - метричні поняття і властивості фігур. При розробці змісту програми початкового навчання не можна не враховувати зазначеній послідовності психологічного розвитку дитини.
Найважливішою педагогічною проблемою є розв'язання суперечності між первинністю просторових форм з точки зору процесу пізнання світу, їх фізичним реалізмом порівняно з абстрактністю плоских фігур і традиційною логікою побудови геометричних курсів, що розвиваються від плоскої та просторової геометрії.
2.3 Методика формування просторового мислення учнів основної школи при побудові моделі до задач
У нашій країні навчання математики склалося таким чином, що близько 40% змісту всього матеріалу підручників з математики для початкової школи складають текстові задачі. І значна частина часу на уроках математики відводиться вирішенню. Тому здійснення спрямованості цієї частини уроків на формування просторового мислення учнів основної школи буде відігравати важливу роль у становленні й розвитку учнів.
В аналізах щорічних перевірок якості навчання математики в початковій школі постійно відзначається не вміння значної частини учнів розв'язувати текстові задачі. Вивчення досвіду роботи масової школи показує, що багато вчителів орієнтують учнів у роботі над завданням на досягнення єдиної мети - отримання відповіді на питання завдання.
Чому діти при цьому навчаються або повинні навчитися, не завжди усвідомлюється навіть учителем, а тому таке навчання часто носить випадковий характер. У методиці викладання математики, в психології розроблені питання теорії розв'язання завдань, а саме: визначено в цілому етапи рішення завдання, описані деякі методи і способи вирішення, розроблені нормативні форми запису і т. п. Однак накопичені в методиці знання про завдання та їх вирішення не стали ще предметом спеціального навчання школярів. Однією з причин цього є недостатнє розуміння вчителем ролі текстових задач у навчанні учнів основної школи.
Методика рішення текстових завдань була розроблена С. Є. Царьової. Нею були сформульовані етапи рішення текстових завдань: Сприйняття і осмислення. Пошук плану рішення. Рішення завдання. Перевірка виконання завдання. Відповідь завдання.
Для визначення ролі текстових завдань у формуванні просторового мислення учнів початкових класів сучасної школи з'ясуємо на якому етапі рішення текстової задачі є можливість формувати просторове уявлення в учнів основної школи.
Існують різні методи розв'язання текстових завдань, але при розвитку просторового мислення більш важливу роль будуть грати вирішення завдань геометричним методом або хоча б побудова такої моделі до задачі як креслення. Моделювання відіграє значну роль у всіх розділах науки, а у зв'язку зі стрімким впровадженням у різні сфери людської діяльності комп'ютерів ця роль ще більше зростає. Включення моделювання у навчальний процес, навчання моделюванню - важливе завдання сучасної школи. Використання моделей при вирішенні завдань включає в себе побудову моделі, складання по ній плану рішення та його виконання як на мові моделей, так і іншими засобами. Побудова моделі - є засіб осмислення змісту завдання.
Відомі різні види (прийоми) моделювання. Найбільш простим є практичне відтворення описаної в задачі ситуації (цей спосіб іноді називають "драматизацією" завдання). Розглянемо таку задачу: "У Сергія було 7 марок, а у Сашка 3 марки. Скільки марок у хлопчиків разом?" Для формування просторової уяви це завдання можна відтворити так. До дошки вийдуть два хлопчики. В одного буде 7 марок (замість марок можна використовувати невеликі квадратики з паперу), а в іншого - 3. Таке відтворення доповнює уявлення дітей, що виникли під час читання тексту задачі.
Корисно навчити першокласників усвідомлено використовувати прийом драматизації. Навчання відтворення заданої ситуації має проводитися паралельно з формуванням в учнів уміння представляти її. Будуватися це навчання повинно так, щоб учні переходили від практичної діяльності до навчальної. У більшості випадків пряме повторення того, що описано в задачі, неможливо, тому доцільніше уявне її подання або зображення з використанням довільних предметів: квадратів, гуртків паличок і т. п. Це і є початок роботи над навчанням школярів предметного моделювання як засіб здійснення первинного аналізу .
До умовно-предметним моделям віднесемо схематичні малюнки. Предмети, про які йде мова в задачі, зображуються в цьому випадку кружечками квадратиками і т. п.
Побудова креслення (геометричної моделі) може бути корисно при аналізі та пошуку вирішення завдань, що містять як безперервні величини, так і дискретні. Наприклад, для задачі "У коробці було 40 цукерок. Спочатку звідти взяли 10 цукерок, а потім ще 5 цукерок. Скільки цукерок залишилося в коробці?" Скористаємося кресленням, що буде формувати у дітей просторове уявлення. 40к. 5к. 10к.?
Для розвитку просторового мислення в учнів скористаємося темами деяких уроків, в яких немає явного завдання на формування просторової уяви, але через креслення, схему при правильно обраних учителем цілей завдання, можна розвивати його.
Одна з тем такого уроку (третя чверть): "Застосування креслень при вирішенні завдань". Спочатку учням доцільніше запропонувати виконати ряд підготовчих вправ. Одне з них, наприклад, таке:
"Покажіть відрізок, довжина якого відома. Як можна знайти її через довжини інших відрізків?" (Креслення заздалегідь викреслити на дошці). 7 см. 3 см.
А) 6 см. 6 см. 3см.
Б)? 1 см. 3см.
В)? 5 см.
? Г) 2 см. 4 см.
Для того щоб навчитися вирішувати завдання, корисно навчитися будувати креслення до завдань і складати плани вирішення за кресленнями.
Пошук плану рішення задачі можна здійснити на основі її моделі. Модель може служити тільки осмислення змісту завдання, а може бути використана і для пошуків плану рішення. Пошук плану розв'язання задачі з її моделі полягає у виділенні елемента, який моделює шукане, у визначенні послідовності операцій з іншими елементами моделі або відповідній послідовності арифметичних дій над даними та невідомими для отримання шуканого або для складання рівняння. Для здійснення пошуку плану виконання завдання за кресленням, креслення повинен бути побудований. Операція побудови може включатися як в перший етап рішення (якщо креслення будується для кращого розуміння завдання), так і в другий етап (якщо зміст завдання зрозуміло і без креслення). Тому навчання дітей побудови креслення до завдань - важлива частина навчання використання креслення як засобу пошуку плану рішення.
Наведу лише кілька прикладів:
1. З яких відрізків складається шуканий відрізок. Сумі або різниці даних чисел дорівнює його довжина?
А) 3 см. 7см. 10 см.
Б) 3 см. 7 см. 2.
За даними кресленнями складіть вираження, значення якого відповідають знаку "?" кресленні. 15 см.
А) 5 см.? 5 кг.
Б)? 7 кг. 12 кг.
У навчанні пошук плану розв'язання за допомогою розбору завдання та побудови графічних схем став предметом спеціального вивчення і оволодіння учням у другій половині третьої чверті. У подальшому, протягом усього навчального року вчитель досить часто повинен пропонувати учням здійснювати пошук плану рішення таким способом.
При вирішенні завдань геометричним методом, при побудові креслень, моделей до завдань відбувається розвиток просторового мислення у дітей, тому що дитина постійно стикається з різними геометричними поняттями, об'єктами, з відносинами цих геометричних об'єктів між об'єктами у просторі.
Висновок
У висновку підведемо основні підсумки. На підставі вивченого матеріалу можна зробити наступні висновки.
Формуються просторові уявлення в учнів 9-11 класів у процесі навчання переважно шляхом:
1. спостереження;
2. сприйняття й осмислювання інформації, отриманої від вчителя і з підручників;
3. практичної діяльності (вимір, побудова, малювання, моделювання, рішення завдань та ін);
4. уявного оперування просторового уявлення.
На основі тривалих теоретичних і експериментальних досліджень для визначення сформованості в учнів просторового уявлення, їх повноти, осмисленості, дійсності, науковості, в якості критерію оцінки Н. Д. Мацько пропонує прийняти такі вміння:
1. Розпізнавати даний об'єкт серед об'єктів реальної дійсності.
2. Розпізнавати об'єкт серед зображень.
3. Встановлювати взаємозв'язки між словом, представленням зображенням і об'єктом реальної дійсності.
4. Відтворювати в уяві об'єкт (подання пам'яті).
5. Відтворювати подання пам'яті (словесно, графічно, у вигляді моделі).
6. Створювати в уяві нові об'єкти (подання уяви).
7. Відтворювати подання уяви (словесно, графічно, у вигляді моделі.)
На основі цих умінь нею ж визначаються рівні сформованості просторового уявлення в учнів.
Рівень I (акумулятивний). Накопичення і впізнавання просторових ознак і відношень. Учні накопичують різноманітні просторові уявлення, вчаться впізнавати різноманітні просторові об'єкти, їх окремі ознаки і відносини. Вони можуть дати назву об'єкту, знайти його на малюнку серед предметів реальної дійсності. Але диференційована між різними категоріями просторових ознак нестійка, часто відсутня відповідність між образом і словом і навпаки. Уявлення учнів неповні (вміння 1-4).
Рівень II (Репродуктивний). Відтворення подання пам'яті. В учня розвинена здатність відтворювати (у поданні, словесно, на малюнку, у вигляді моделі) відомі їм просторові ознаки і відносини. У них значно розширився запас просторової термінології, накопичені різні види просторового уявлення і відносин: учні, вміють встановлювати зв'язки між простором, кількостями і тимчасовими уявленнями. Слово вже набуває сигнальне значення і викликає в учня відповідне подання (вміння 1-5)
Рівень III (Конструктивний). Самостійне конструювання просторового образу. Учні активно використовують як опору в розумовій діяльності вже оформлені подання у синтезі з кількісними та часовими відношеннями. Вони вміють давати словесний опис просторових ознак і відношень, спираючись на окремі елементи просторових понять (про форму, величину, відстані тощо) На основі сформованих просторових уявлень вони створюють нові уявлення і оперують ними, користуючись словесним описом, числовими даними, малюнками (вміння 1-5, частково 6, 7).
Рівень IV (Інтелектуальний). Уявне оперування просторовими уявленнями. В учня багатий запас просторового уявлення, термінології, вони легко диференціюють просторові ознаки і відносини. Для цього рівня характерне вже вміння переміщати подумки просторові об'єкти (симетрія, перенесення, поворот), знаходити на малюнку положення фігури після її переміщення, вид переміщення і т. д. (вміння 1-7)
Рівні не відносяться конкретно до певних класів і не розглядаються ізольовано, як тимчасові періоди, які суворо переходять один в іншій. Рівні між собою тісно пов'язані, переплітаються і можна вважати, що кожен попередній є основною, що готують наступний. При формуванні просторового уявлення ці рівні можуть співіснувати при оперуванні різним вмістом в одних і тих же дітей і одним і тим же змістом в різних дітей. Особливе місце у формуванні уявлень відводиться читанню та побудові графічних зображень. При побудові графічного зображення головним завданням є переклад уявлення про об'єкт в площинне його зображення, при читанні вирішується протилежна завдання: на основі сприйняття площинного зображення подумки, у поданні, відтворюється форма, розміреність, положення об'єкта і з'ясовуються необхідні відомості, взаємозв'язку і відносини. Уявлення про об'єкт при читанні і побудові графічних зображень формуються не тільки в результаті безпосереднього впізнавання чи пригадування, а в результаті цілої системи розумових дій, спрямованих на перетворення даних сприйняття і уявне відтворення образу. Читання і побудова не можна звести безпосередньо до навичок, вони є осмисленими вміннями, в яких лише окремі дії автоматизовані.
Шкільними навчальними програмами передбачено оволодіння учнями 9-11 класів майже всіма просторово - геометричними уявленнями, словами - термінами та символами, необхідними для засвоєння навчального матеріалу в основній школі.
Результати констатуючого експерименту показали, що запас сформованих просторових уявлень в учнів після закінчення 9 класу недостатній, існує невідповідність між вимогами програми і рівнем сформованості просторових уявлень в учнів. Нерідко в учнів (25,7%) спостерігається розбіжність між уявленням і словесним описом, відсутність достатньо розвиненою зорової пам'яті (28, 4%), сформовані образи інертні і малопридатні для конструктивних видозмін (31, 5%), подання наведено в "умах" учнів у систему та ін Однією з причин недостатньої сформованості просторових уявлень в учнів є те, що при існуючій методиці викладання формуються просторові уявлення не в достатній мірі цілеспрямовано, будучи часто лише побічним продуктом навчання.
На основі отриманих даних результатів теоретичного аналізу та констатуючого експерименту, ми прийшли до висновку, що формування просторових уявлень в учнів буде забезпечено лише тоді, коли в педагогічному процесі будуть створені нові умови для: 1. запам'ятовування; 2. накопичення учнями запасу просторових уявлень; 3. досвіду розпізнання просторових ознак і відносин; 4. запасу словесних знань і термінології; 5. набуття вмінь встановлювати взаємозв'язки між об'єктом, словом, образом і предметом реальної дійсності; 6. умінь відтворювати подання (в уяві, подумки графічно у вигляді моделі) і створювати нові; 7. уявного оперування уявленнями (подання уяви), використовуючи їх як опору при засвоєнні знань; 8. приведення сформованих уявлень в систему.
Один із шляхів реалізації цих умов ми бачимо в обгрунтованій системі вправ, яка забезпечувала б цілеспрямованість процесу формування просторових уявлень.
Список літератури
Байрамукова П.У. Схематичний малюнок при вирішенні завдань / / Початкова школа - 2001 - № 11
Волович Н. Б. Наука навчати: психологія викладання математики. М., 2002.
Виготський Л. С. Уява і творчість у дитячому віці. М., 2001.
Глейзер Г. Д. Методи формування і розвитку просторових уявлень школярів у процесі навчання геометрії. М., 2002.
Григорян К. Деякі особливості процесу образного мислення. М., Знання, 2002.
Груденов Я. І. Психолого-дедуктивні засади методики навчання математики. М., 2001.
Давидов В. В. Види навчання в навчанні. М., 2001.
Зінченко В. П., Моргунов Є. Б. Людина розвивається. М., 2001.
Корнфельд С. Методичні рекомендації до перевірки сформованості просторових уявлень учнів. М., 2000.
Крутецкий В. А. Психологія математичних здібностей учнів основної школи. М., 2000
Крутецкий В. А. Основи педагогічної психології. М., 2001.
Леонтьєв А. М. Діяльність. Свідомість. Особистість. М., 2001.
Мацько Н. Д. Формування просторових уявлень в учнів I-IV класів у процесі навчання. Київ, 2002.
Нурмагомедов Д. Методика формування просторових уявлень в учнів основної школи. М., 2000
Піаже Ж. Як діти утворюють математичні поняття. Питання психології, М., 2001.
Подходова Н.С. Геометрія / / Початкова школа, - 2001 - № 1 - С 14-15
Психологічні можливості учнів основної школи в засвоєнні математики / під ред. В. В. Давидова. М., 2000.
Пишкало А. М. Питання формування геометричних уявлень в учнів основної школи. М., 2001
Скаткін Л. М. Лекції за методикою початкового навчання математики. М., 2001
Фрідман Л. М. Психолого-педагогічні основи навчання математики в школі. М., 2001.
Фуше А. Педагогіка математики. М., 2001.
Цукарь А. Я. Теоретичні основи образного мислення та практика їх використання в навчанні математики. Новосибірськ, 2002.
Якиманська І. С. Вікові та індивідуальні особливості образного мислення. М., 2001.
Якиманська І. С. Розвиток просторового мислення школярів. М., 2001.
1 Леонтьєв А. М. Діяльність. Свідомість. Особистість. М., 2001. - С. 23
2 Давидов В. В. Види навчання в навчанні. М., 2001. - С. 423
3 Піаже Ж. Як діти утворюють математичні поняття. Питання психології, М., 2001. -С. 133
4 Піаже Ж. Як діти утворюють математичні поняття. Питання психології, М., 2001. -С. 72-83