З усього цього можна зробити висновок, що спочатку над нами довгий час був достатній постулат не сводимости логічних принципів, якими надихалися прихильники «психології мислення». Вивчення формування операцій у дитини ввело нас, навпаки, до переконання, що логіка є дзеркалом мислення, а не навпаки. Після багатовікових спорів проблема відносин між формальною логікою і психологією інтелекту отримує рішення, аналогічне тому, яке свого часу поклало край конфлікту між дедуктивної геометрією і геометрією реальної, чи фізично. Як і у випадки цих двох дисциплін, логіка і психологія мислення спочатку збігалися, не будучи диференційовані. Аристотель, формулюючи закони силогізмів, вважав, що він створив природну історію розуму. Коли ж психологія стала незалежною наукою, психологи добре зрозуміли, що міркування про поняття, судження і умовиводи, що містяться в підручниках логіки, не звільняють їх від необхідності шукати розгадку каузального механізму інтелекту. Однак у силу збереженого впливу первісної нерозчленованій вони ще продовжували розглядати логіку як науку про реальність, що лежить в тій же площині, що і психологія, але займається виключно «істинним мисленням», на противагу мислення взагалі, взятому в абстракції від яких би то не було норм . Звідси та ілюзорна перспектива «психології мислення», згідно з якою мислення як психологічного явища являє собою відображення законів логіки. Навпаки, як тільки ми зрозуміли, що логіка є математику, відразу ж - у результаті простого перевертання вихідної позиції - зникає помилкове рішення проблеми відносин між логікою і мисленням [4].
Більшість же радянських психологів (Л. С. Виготський, А. Н. Леонтьєв та інші) дотримувалися діаметрально протилежної точки зору. Вони, не ототожнюючи процеси навчання і розумового розвитку, вважають, що навчання повинно йти попереду розвитку.
Саме розумовий розвиток розглядається як процес присвоєння дитиною суспільно-історичного досвіду, і тому він має конкретно-історичну, соціальну природу: його етапи та психологічні особливості визначаються системою організації та у спосіб передачі дитині суспільного досвіду. Всі види і особливості розумової діяльності мають об'єктивні, суспільно - задаються зразки і засвоюються дитиною як в стихійному, так і в цілеспрямованому навчанні. При цьому роль навчання в розумовому розвитку історично весь час зростає і в даний час є вирішальною.
Л.С. Виготський вказував, що навчання повинно орієнтуватися головним чином на ще не сформовані, але виникаючі психічні види діяльності дитини. Він ввів поняття зони найближчого розвитку, дитина ще не може самостійно виконувати дану діяльність, але вже може її виконати за допомогою дорослого. Виконуючи цю діяльність при постійно зменшується допомоги дорослого, дитина переходить із зони найближчого розвитку до зони актуального розвитку, в якій він вже цю діяльність може виконувати цілком самостійно. Отже, процеси розумового розвитку та навчання є тісно пов'язаними і взаємно обумовленими: навчання спирається на доступний рівень розвитку. Але розвиток не слід за навчанням як тінь, автоматично: воно залежить від змісту і характеру навчання та багатьох інших факторів, соціальних та виховних (сім'ї, середовища, природних задатків і т.д.). Я не поділяю таке категоричне думку про одностороннє вплив навчання на розумовий розвиток чи навпаки. Я розглядаю обидва ці процеси у взаємному впливі: навчання залежить від розвитку та розвиток зумовлений навчанням. Навчання, стимулюючи розумовий розвиток, саме на нього спирається. Розумовою може бути лише таке навчання, яке, спираючись на вже досягнуте розвиток школяра, просуває його вперед, розвиваючи його пізнавальні можливості. У психології довго вважалося, що наочно-образне мислення є нижчими в порівнянні з словесно-логічним (понятійним).
У заслугу математики ставився розвиток абстрактного мислення. Довгий шлях розвитку математики, все більша її формалізація, найчастіше відрив від змістовної сторони поступово впливали і на зміст шкільного курсу. Він стає все більш формалізованим. У підручниках і на уроках математики здійснювався швидкий перехід від визначень понять до оперування знаками, що заміщають ці поняття, без належного з'ясування змісту, без свідомості повноцінного уявного образу. Школярі (більша частина) змушені формально запам'ятовувати визначення понять, їх властивості, оперування ними. Вивчення математики для декого стало нестерпним працею, не приносить радості. Внаслідок цього на сучасному етапі розвитку психолого-педагогічної науки на одному з перших по значущості місць висувається проблема формування і розвитку образного мислення учнів, особливо при навчанні математики, найбільш абстрактної з наук. Значимість наочно-образного подання навчальної інформації, стає ще більш зрозумілою на фоні даних нейрофізіології останніх двох десятиліть, яка переконливо довела функціональну асиметрію півкуль головного мозку людини. Крім того, у значної частини школярів (близько 20%) спостерігається латерализация правої півкулі. Тому для успішного засвоєння ними математичних знань необхідне посилення наочно-образної складової пред'являється матеріалу, як противаги (у деяких випадках) або необхідної, переважаючою в математиці абстрактно-логічної частини.
Математика бере свій початок у практичній діяльності людей, в описі просторових форм і кількісних відносин видимого навколишнього світу. Вводячи математичні поняття вчені математики користувалися відповідними образами. Багато хто з цих образів, як допоміжні елементи, використовувались у навчанні. У силу ряд причин з плином часу деякі образи нерозумно витіснялися з процесу навчання. Більшою мірою це пов'язано зі зростаючою формалізацією математики.
Численними дослідженнями, виконаними в рамках загальної, вікової та педагогічної психології показано, що інтелектуальний розвиток особистості в онтогенезі нерозривно пов'язане з оволодінням простором спочатку практично, а потім і теоретично. Саме розвиток оволодіння простором розуміється при цьому, як ускладнення і якісна зміна видів і способів орієнтації. Важливою стороною інтелектуального розвитку є просторове мислення, що забезпечує під час пізнання виділення в об'єктах і явищах дійсності просторових властивостей і відносин (форми, величини, напрями, протяжності і т.п.), створення на цій основі просторових образів і оперування ними в процесі вирішення завдань . Важко назвати хоча б одну область людської діяльності, де створення просторових образів і оперування ними не грало істотної ролі.
Особливе значення просторове мислення має в різних видах конструктивно-технічної, образотворчої, графічної діяльності (дослідження Б. Афанасьєва, А. Д. Ботвіннікова, Л. Л. Гурова, Є. І. Ігнатьєва, С. М. Кабанова - Міллер, В. І. Киреенко, Т. В. Кудрявявцева, Н. П. Ліньковлой, Б. Ф. Ломова, В. О. Моляко, В. С. Мухіної, М. П. Сакулиной та інші).
Роль просторового мислення в оволодінні різними видами діяльності особливо зросла в даний час у зв'язку з широким використанням в науці і техніці графічного моделювання, що дозволяє більш наочно і разом з тим досить формалізовано виявляти і описувати досліджувані теоретичні залежності, прогнозувати їх прояв в різних галузях дійсності. Відмінною особливістю праці в умовах сучасного виробництва є опосередкований характер управління автоматично діючими технічними об'єктами і процесами, на основі сигналізують пристроїв, різних не тільки за своїм виробничим змістом, але і тим вимогам, які вони пред'являють до просторового мислення.
З цієї точки зору всі застосовувані в даний час в техніці сигналізують пристрою розрізняють на відтворюють реальні властивості об'єктів і позначають їх за допомогою спеціальної системи символів і знаків. Технологічні дослідження (М. В. Гамезо, В. П. Зінченко, Б. Ф. Ломов, В. Н. Пушкін, В. Ф. Рубахін та інші) показують, що в цих умовах швидкість, надійність прийому й переробки зорової інформації про керовані об'єкти залежить головним чином від уміння створювати адекватні зорові образи, вільно переходити від однієї знакової системи до іншої, «перекодувати» інформацію, що надходить з урахуванням динаміки сигналів-кодів, не допускаючи неузгодженості між сприйняттям безпосередньо надходить на пульт управління звукової інформації та образами конкретних виробничих об'єктів . Вся ця діяльність відбувається у розумі, без зорової опори на реально діючі механізми і процеси, що вимагає добре розвиненого просторового мислення. Останнім часом при конструюванні технічних Систем особливе значення надається розробці спеціальної різновиди сигналів-символів, що відображають різні ознаки керованого об'єкта у вигляді цілісної просторової структури - просторового кодування. Аналогічні тенденції спостерігаються і в інженерній графіці, де посилюється роль схематизації, формалізації зображень, заміни наочних зображень умовними позначеннями з метою надання їм більш універсального значення дозволяє тим самим відображати велику кількість реальних об'єктів, що відрізняються різноманітністю властивостей і функцій. У багатьох галузях наукового знання (біологія, хімія, фізика, математика та ін) також широко використовуються узагальнені графічні засоби, що моделюють властивості та співвідношення досліджуваних об'єктів.
Все це не може не позначитися на змісті і методах засвоєння шкільних завдань, де також велике поширення отримав метод графічного моделювання. Як наголошується у ряді досліджень (П. Р. Атутов, В. Г. Болтянский, А. Д. Ботвинника і ін) умовні графічні моделі є наочністю принципово іншого змісту та характеру, ніж зображення конкретних об'єктів. Оперування просторовими графічними моделями у багатьох предметах, які вивчаються в школі, стає самостійним видом навчальної діяльності і широко використовується при засвоєнні не тільки фізико-математичних, а й гуманітарних дисциплін (В. В. Давидов, Л. І. Айдарова, А. І. Маркова , Л. М. Фрідман та ін.) Підвищення теоретичного змісту знань, виконання методу графічного моделювання та структурного аналізу у вивченні явищ об'єктивної дійсності, розвиток і вдосконалення засобів знаковою культури - все це призводить до того, що людина в процесі діяльності постійно оперує просторовими образами, перекодує їх, що створює принципово нові вимоги до розвитку просторового мислення.
Образи, які формуються на основі різних графічних моделей, мають іншу психологічну природу, ніж ті, які виникають на основі наочних зображень конкретних предметів. За своїм змістом і функціями вони швидше наближаються до понять, ніж до уявлень - ілюстрацій.
Все це спонукає до додаткового вивчення особливостей просторового мислення з урахуванням сучасних вимог до его розвитку.
Гносеологічна функція просторового мислення. Мислення суб'єкта може виділяти тільки ті сторони та властивості дійсності, які складають зміст його перетворюючої діяльності. Будучи узагальненим і опосередкованим відображенням дійсності, мислення може бути направлено на аналіз якісно різних сторін цієї дійсності, що визначається спрямованістю, вибірковістю, пізнавальною активністю людини, його потребами, мотивами, які склалися у нього засобами діяльності (знаннями, вміннями, навичками).
Саме сфера діяльності (теоретична або емпірично-практична) визначає зміст індивідуального мислення, спеціалізуючи його, направляючи на аналіз тих сторін дійсності, які найбільш важливі для продуктивного здійснення цієї діяльності. Є такі області людської діяльності, в якій встановлення просторових співвідношень, їх перетворення є спеціальною і нерідко дуже складним завданням. Все це дає підставу для виділення цієї сфери людської діяльності в особливий вид та позначення її відповідним терміном.
Мислення, яке забезпечує створення образів простору та оперування ними в процесі вирішення різноманітних завдань є «просторове мислення».
Гносеологічна його функція полягає в тому, що воно забезпечує перетворення просторових співвідношень об'єктів: їх форми, величини, взаємного розташування частин, які виражаються поняттями про направлення, відстані, місцезнаходження, протяжності і т.п. Для визначення просторового розміщення об'єктів (з взаємного положення) необхідна система відліку. В якості її найчастіше використовується вихідна позиція спостерігача. Її зміна нерідко тягне за собою перебудову всієї системи просторових співвідношень. Вибір точки відліку визначається, як правило, самою людиною або задається умовами задачі, її об'єктивними вимогами. Вихідна позиція спостереження є стійкою системою відліку, загальною у людини і тварин. Керуючись »схемою тіла», спостерігач орієнтується в навколишньому його просторі щодо розміщених у ньому об'єктів. Він виділяє просторові співвідношення з урахуванням власного становища (ближче далі, праворуч ліворуч, спереду ззаду, зверху-знизу і т.п.). Назвемо умовно цей тип зв'язків «суб'єкт - об'єкт» (SO). У цілому ряді випадків взаємодія об'єктів матеріального світу відбувається і без участі суб'єкта. У цих випадках враховуються просторові залежності між самими об'єктами, позиція спостерігача (суб'єкта) при цьому не відіграє суттєвої ролі. Назвемо умовно цей тип зв'язків «об'єкт - об'єкт» (О-О). Виділення цих двох типів зв'язків носить не абсолютний, а відносний характер, так як суб'єкт, тимчасово вимикаючись з цілісної системи просторових відносин, постійно присутній в ній. Він не тільки змінює своє положення в навколишньому просторі завдяки здатності до пересування, а й активно взаємодіє з об'єктами, надаючи тим самим вирішальний вплив на виявлення просторових зв'язків між самими об'єктами, перетворюючи їх. Тому відображення просторових властивостей і відносин носить динамічний характер.
Особливістю просторових зв'язків, як підкреслював Б.Г. Ананьєв, є те, що це є один з видів відображення відносин між об'єктами. Тому вони можуть бути виявлені і використані лише в ході активної перетворюючої діяльності суб'єкта, завдяки якій з об'єкта як би «викреслюються» (С. Л. Рубінштейн). Потрібні просторові зв'язки і відносини, безпосередньо не задані в самому об'єкті пізнання.
Таким чином, просторове мислення виконує дуже важливу гносеологічну функцію і має яскравий якісною своєрідністю.
Просторове мислення - вид розумової діяльності, який забезпечує створення просторових образів і оперування ними в процесі вирішення практичних і теоретичних завдань. Це складний процес, куди включаються не тільки логічні (словесно-зрозумілі) операції, але і безліч перспективних дій, без яких мислення протікати не може, а саме впізнання об'єктів, представлених реально чи зображених різними графічними засобами, створення на цій основі адекватних образів і оперування ними за поданням. Будучи різновидом образного мислення, просторове мислення зберігає всі його основні риси, і тим самим відрізняється від словесно-дискурсивних форм мислення. Це відмінність ми бачимо насамперед у тому, що просторове мислення оперує образами; в процесі цього оперування відбувається їх відтворення, перебудова, переворот у необхідному напрямку. Образи тут є і вихідним матеріалом, і основний оперативної одиницею, і результатом розумового процесу. Це не означає, звичайно, що при цьому не використовуються словесні знання. Але на відміну від словесно-діскуссівного мислення, де словесні знання є основним змістом, в образному мисленні слова використовуються як засоби інтерпретації вже виконаних в образах перетворень.
Будучи більш тісно і безпосередньо пов'язаних з відображенням реальної дійсності, образ дає знання не про ізольовані сторонах (властивостей) цієї дійсності, а являє собою цілісну уявну картину конкретної ділянки дійсності, де відтворюються не окремі ознаки і властивості об'єктів, а обов'язково їх просторового розміщення.
Для створення образу, як уявної картини істотним моментом є вибір вихідної точки відліку, що також відрізняє образ від поняття (словесного знання). Отже, просторове мислення, володіючи усіма характерними особливостями образного мислення, виконує специфічну функцію в пізнанні і навчанні. Воно дозволяє виокремлювати з реальних об'єктів, теоретичних (графічних) моделей просторові властивості і відносини, робити їх об'єктом аналізу і перетворення. Основний оперативної одиницею просторового мислення є просторові образи, в яких відображаються не всі властивості, ознаки предметного світу, а лише просторові властивості і відносини. Просторове мислення, у своїх найбільш розвинених формах формується на графічній основі, тому провідними для нього є зорові образи.
Аналіз гносеологічних і психологічних особливостей просторового мислення важливий для визначення основних напрямів та перспектив його розвитку у школярів. Вивчаючи зміст просторового мислення школярів, мається на увазі, що і практично, і теоретично воно формується в основному на матеріалі евклідового простору, при розгляді різних інерційних систем, де діють закони класичної фізики і механіки, теорії тяжіння. Поряд з ними в школі закладаються основи наукових уявлень про простір, що відображають залежності, що існують у неінерціонних системах, де не діють класичні закони механіки і земного тяжіння. На уроках фізики старшокласники знайомляться з елементами ядерної фізики, теорії відносності, вивчають закони не тільки макро, - але і мікросвіту. Аналогічні тенденції проявляються і на уроках з інших предметів.
Розвитку просторового мислення необхідно приділяти більше уваги, ніж це передбачається в підручниках, тому ми ставимо перед собою завдання, розробити елементи методики формування просторового мислення в учнів основної школи, які будуть включати в себе вправи в певній системі, про які йтиметься нижче, а також спробувати на основі того матеріалу, який є в підручнику, так організувати роботу з дітьми, щоб вона сприяла розвитку просторового мислення.

2. Методика формування просторового мислення учнів основної школи при вивченні векторного простору

2.1. Методичні аспекти розвитку просторового мислення як елемента образного

Розглянемо, які підходи пропонують для розвитку просторового мислення в середній школі і з'ясуємо можливості їх використання.
А. Пардала виділяє такі основні типи вправ, дидактичним призначенням яких є формування та розвиток просторових уявлень учнів: математичні ігри, пов'язані з просторовими уявленнями; дослідження конкретних геометричних об'єктів-фігур і перетворень; конструктивні завдання; прикладні задачі; проекційні стереометричні завдання; завдання на проектування геометричних тіл, побудова перерізів; діагностичні завдання на перевірку сформованості просторових уявлень.
Однак А.Я. Цукарь вважає, що хоча це не класифікація, тим не менше так змішувати (як це зробив А. Пардала) в одному переліку типи вправ, одні з яких є окремим випадком інших, а у деяких абсолютно різні підстави, недозволено. Очевидно, що виділяти в окремий тип діагностичні задачі не має сенсу. У математичних іграх можуть використовуватися самі різні завдання: і на проектування, і на побудову перерізів. А хіба завдання на проектування геометричних тіл не є конструктивними? У наявності часта для методичних публікацій непарність в розподілі, як логічної операції, іноді доходить до еклектики.
Г.Н. Нікітіна говорить про методичних прийомах розвитку просторового мислення учнів: залучення неплоских просторових образів при розгляді питань планіметрії, створення цілісного геометричного образу з опорою на наочність; створення ситуацій, що сприяють активному оперування геометричним чином; творче конструювання нових геометричних образів. В іншій роботі Г.М. Нікітіна з авторам до показників розвитку просторового мислення відносить уміння: 1. створювати вихідний геометричний образ, тобто в графічній моделі передавати форму, розміри і взаємне розташування окремих елементів об'єкта; 2. вибирати і довільно змінювати точку відліку; 3. зберігати в пам'яті геометричний образ; 4. аналізувати і синтезувати геометричні образи; 5. розглядати об'єкт з різних точок зору; 6. подумки робити різні геометричні перетворення над вихідним геометричним чином, 7. подумки змінювати структуру геометричного образу; 8. здійснювати окомірні оцінки лінійних та кутових величин. У наведених вище поділках також є змішання різних підстав.
На якомусь етапі фахівці, образно кажучи, займаються «збиранням», щоб потім більш уважно вивчити та систематизувати накопичений матеріал. Останнім часом з'явилося розуміння того, що не тільки 5-6 класи середньої ланки, а також і початкова школа, - сприятливий час для розвитку просторового мислення. Тому хоч і повільно, але на уроці математики в початкових класах проникають спеціальні вправи, спрямовані на його розвиток. Потім у 6-9 класах ця проблема забувається і спливає (за необхідності) в 10 класі, оскільки явно дає про себе знати. Традиційно для розвитку просторової уяви учнів 10-11 класів використовувалися завдання на побудову перерізів многогранників площиною. Ця тема перебувала в центрі уваги багатьох дослідників, починаючи з Н.Ф. Четвертухіна. Їй присвятив свою невелику книгу К.С. Богушевської, яка допомогла вчителям побачити місце таких завдань при вивченні аксіом стереометрії та тем »Паралельність прямих і площин». Методистами розроблялися системи завдань, пов'язаних з зображенням просторових фігур і з побудовою перерізів многогранників площиною.
Основою формування просторової уяви є практична робота дитини з просторовими об'єктами, маніпулювання ними, зміна їх положення в просторі роз'єднання і з'єднання декількох в один. Зовнішні дії суб'єкта з об'єктами є необхідними для того, щоб він міг потім проводити з ними внутрішні, уявні дії. Але вони не є достатніми. Будь-яка діяльність уяви неможлива без фіксації її проміжних етапів (конструкцій) яким-небудь простим способом (у знаково-символічній формі). Тому для розвитку просторової уяви школярів потрібно озброювати їх відповідними знаннями про способи такої фіксації. Одним з найпоширеніших є зображення просторових об'єктів за прийнятими правилами. Необхідна умова формування та розвитку просторової уяви - наявність досить великого і різноманітного матеріалу для сприйняття. Правильність, продуктивність його зростає під впливом вправ, що враховують всю гаму можливих операцій над просторовими об'єктами, що призводять до створення нових образів, адже основна його функція - оперування просторовими образами. Таким чином, явно виділяються два типи вправ, що лежать в основі формування і розвитку просторового мислення: вправи на вміння читати зображення і зображати просторові об'єкти, і вправа на оперування просторовими образами. У свою чергу, в них можна виділити різні види: відшукання зображення з декількох даних для пред'явленого об'єкта; знаходження об'єкта з деякого набору, відповідного даному зображенню; завершення зображення відомого об'єкта з його фрагментом; ідентифікація різних зображень того ж просторового об'єкта; впізнавання фігури за її проекція; 6. визначення взаємного розташування кількох фігур за їхніми зображеннями; 7. оцінювання форми і розмірів фігури; 8. побудова проекцій заданої фігури; 9. побудови зображення об'єкта з його 10. зображення об'єкта з його опису; 11. виготовлення моделі за її кресленням, за пред'явленим об'єкта, за його описом; 12. впізнавання і зображення об'єкта, отриманого (уявним) зміною (за допомогою повороту, симетрії, паралельного переносу) положення заданого; 13. впізнавання і зображення фігури, складеної з заданих за відомим правилом; 14. зображення перетину заданих фігур (у тому числі після уявного їх переміщення); 15 зображення частин фігур після її уявного розчленування.
Вимоги до змісту (вправ) навчання, спрямованого на досягнення необхідного рівня просторового мислення (по Нурмагомедову). Вправи повинні будуватися з розрахунком: - використання конкретних уявлень про матеріальні тілах, їх взаємне розташування в просторі, про їх властивості (рухливість, нерухомість, стійкість, нестійкість, здатність збереження і зміни форми і т.п.); врахування необхідності домінанти якісної оцінки оточуючих предметів над кількісної, властивої учнів основної школи. Звідси, наприклад метричні уявлення не повинні випереджати уявлення про форму або взаємне розташування; забезпечення необхідною і обов'язковою роботи з розвитку мовлення, формування активного словника, що характеризує форму предметів і фігур, їх властивостей, відносини взаємного розташування в просторі; - забезпечення використання при виконанні завдань і вправ всіх можливих рецепторів сприйняття навколишнього простору (зору, дотику, слуху). Звідси необхідність забезпечення при вирішенні вправ різноманітних видів діяльності і способів рішень.

2.2 Методика формування просторового мислення учнів основної школи при вивченні елементів геометрії

Відомо, що геометрія як наука, першооснови якій викладаються в школі, має своїм предметом вивчення просторових форм і відносин реального світу. Наукове пізнання цих форм і відносин можливий за наявності у людини розвиненого мислення та уяви. Такі якості купуються життєвим досвідом та навчанням. Звідси найважливішою метою навчання шкільної геометрії є формування просторових уявлень та розвитку уяви та мислення в учнів.
При навчанні геометрії її цілі і засоби перебувають у складних діалектичних причинно - наслідкових взаємозв'язках. Якщо учень при рішенні геометричних задач погано уявляє форми лідерів та їх деталі, він допускає помилки або зовсім губиться в подоланні труднощів. Це показник того, що в нього слабко розвинені просторові уявлення та уяву. Розкриття цих взаємозв'язків з урахуванням індивідуальних здібностей школярів є найважливішою проблемою педагогіки геометрії. Формування геометричних уявлень і розвиток просторового мислення учнів на матеріалі шкільного курсу геометрії переслідує не тільки загальнонавчальні, але й теоретико-пізнавальні цілі - підвести учнів до розуміння істотних властивостей реального простору (симетричність, подібність, конгруентність в собі, безперервність і переривчастість, тривимірність, нескінченність і ін), знаннями яких вони могли б користуватися в трудовій діяльності.
Процес пізнання просторових форм і відносин протікає у людини все його життя, цілеспрямований сенс йому надається лише при навчанні в школі, тому, займаючись цими питаннями на уроках геометрії, слід ретельно враховувати рівень і характер формування цих якостей у дитини і на кожному наступному етапі, що передує даному.
Для досягнення розглянутих навчальних цілей геометрії можливо піти двома шляхами: -
удосконалювати зміст шкільної програми;
- Застосовувати систему методів, засобів і форм організації навчальної діяльності учнів.
Відомо, що процес формування і розвитку просторових уявлень у людини проходить емпіричну і абстрактну логіко-геометричні щаблі. При цьому друга майже повністю визначається і залежить від шкільного геометричного освіти (програми та методів). За останнє десятиліття життєві умови (на економічній ступені) для пізнання властивостей простору учнями основної школи значно збагатилися і розширилися під впливом змін їх «комунікаційного, візуального та метричного клімату». Практично всі вчені-дослідники вказують на особливу роль геометрії, геометричного матеріалу в розвитку мислення школярів. Так, наприклад А. Пишкало в числі найважливіших методичних ліній виділяє формування геометричних уявлень, розвиток мислення, формування просторових уявлень і уяви. У своїй дисертації А. Пишкало каже, що в процесі викладу матеріалу в учнів формуються навички індивідуального мислення, виховуються вміння робити найпростіші індуктивні умовиводи. Одночасно з цим поступово розвиваються і використовуються навички дедуктивного мислення. Все це ведеться через формування прийомів розумових дій таких, як аналіз і синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення.
У першому класі ведеться робота по первинному ознайомленню з фігурами. Вже при цьому діти виконують розумові операції аналізу та синтезу. Важливим завданням методики навчання в цей момент є забезпечення цілеспрямованого і повного аналізу фігури, на основі якого виділяються її істотні властивості і відбувається відволікання від несуттєвих властивостей. У ході такої роботи з необхідністю виникає потреба застосування геометричної і логічної термінології, символіки, умовних зображень. Їх введення тому не може бути формальним актом. У традиційному навчанні вже в першому класі часто починають вивчення фігур з введення формального визначення. Експеримент показав, що використання формальних визначень в першому класі виявляється передчасним. Але вже в третьому класі, коли діти оволоділи значним запасом уявлень, виникає потреба в узагальненнях, учні вже повинні вміти давати опис фігур та їх властивості за своїм характером близькі до визначень.
Одне із завдань у розробці методики вивчення геометричного матеріалу А. Пишкало полягала в дослідженні можливості здійснення первинного ознайомлення учнів третіх класів зі структурою логічного слідування. З цією метою в дисертації Пишкало намічені спеціальні вправи. Основу роботи з формування просторових уявлень становить насамперед створення запасу просторових уявлень, одержуваних на основі безпосереднього знайомства з матеріальними образами геометричних об'єктів, які в подальшому удосконалюються з залученням геометричних моделей. На базі створення запасу уявлень вже по-друге - третє класах стає можливим формування власне просторових уявлень, коли нові просторові уявлення створюються як комбінація раніше створених.
Важливим методичним прийомом, що забезпечує міцні геометричні знання є формування просторових уявлень через безпосередні сприйняття учнями конкретних речей, матеріальних моделей геометричних образів. У першому класі просторові уявлення виробляються у процесі набуття дітьми практичного досвіду просторового орієнтування реальних предметів, матеріальних моделей геометричних фігур. У другому - третьому класі характер роботи з формування просторових уявлень ускладнюється. Слід, наприклад, формувати уявлення про одну фігуру з опорою на безпосереднє сприйняття іншої фігури. Наприклад, уявлення про кубі з опорою на безпосереднє сприйняття моделі квадрата, виготовленого з паличок та пластиліну. Діти виготовили таку модель. На деякий час учням показується модель куба, і після того, як вона прибрана ставляться питання: «Чи можна з паличок і шматочків пластиліну виготовити модель куба? Скільки для цього потрібно взяти паличок, скільки шматочків пластиліну? »Учні вирішують це завдання подумки, в уяві. У дисертації розроблена система вправ і методика їх використання, основним призначенням яких є формування просторових уявлень і розвиток просторового мислення та уяви учнів.
Однак, незважаючи на декларований розвиваючий характер методики А. Пишкало, з точки зору сучасних психологів вивчення спочатку плоских, а потім об'ємних фігур є невірним. Дані психологічних та фізіологічних досліджень вказують на інтенсивне збагачення просторових уявлень в учнів основної школи, збільшення числа виконуваних ними просторових операцій пересування, розміщення, відтворення форм, а також розташування ближче, далі, поруч, разом, окремо і ін Ці уявлення і операції мають яскраво виражений якісний, а не кількісний метричний характер. Розумова діяльність учнів основної школи проходить передусім у формах встановлення зв'язків між його досвідом у фізичному просторі та конкретною дією. Тому початкове ознайомлення учнів з основними геометричними поняттями (форма, тіло, поверхня, площина та ін) потрібно проводити на матеріалі, з яким школяр може оперувати своїми руками. Помічено також, що у дітей формуються раніше деякі топологічні, потім проективні, а пізніше - метричні поняття і властивості фігур. При розробці змісту програми початкового навчання не можна не враховувати зазначеній послідовності психологічного розвитку дитини.