Формування поїздів

Задача 1
Статистичний аналіз плану формування поїздів
На заданому ділянці полігону мережі залізниць (рис. 1.1) скласти варіанти плану формування поїздів і провести їх статистичний аналіз з використанням теорії ймовірностей.
А Б В Г
Рис. 1.1. Схема Ділянки АГ
Вихідні дані:
Вагоно-години простою під накопиченням сm:
на станції А - 900 вагонів-год;
на станції Б - 800 вагонів-год;
на станції В - 900 вагонів-год.
Економія від проходження станції без переробки Т _ек:
на станції Б - 4,5 год;
на станції В - 3,5 ч.
Середньоквадратичне відхилення вагонопотоків σ = 75 вагонів.
Параметр «а» в рівномірному розподілі = 60 вагонів.
Середньодобові вагонопоток в призначенні:
АГ - 150 вагонів;
АБ - 28 вагонів;
АВ - 30 вагонів;
БГ - 300 вагонів;
БВ - 50 вагонів;
ВГ - 0 вагонів;
Закони розподілу вагонопотоків у призначенні:
АГ - рівномірний розподіл;
БГ - нормальний розподіл.
Рішення:
Уявімо ступеневий графік вагонопотоків на рис. 1.2.
А Б В Г

сm	900	800	900

4,5 3,5
Рис. 1. 2. Схема ділянки АГ і ступінчастий графік вагонопотоків
Величини є середні значення вагонопотоків. Призначення ВГ відсутня за умовою.
Відомим умовою виділення струменя вагонопотоку в самостійне призначення є задоволення її нерівності:
(1.1)
де - Потужність струменя вагонопотоку зі станції i призначенням на станцію J;
- Економія від проходження без переробки сортувальних станцій, розташованих між станціями призначення даної струменя і більш ближньої суміжної струменя i - 1;
с - параметр накопичення вагонів у сортувальному парку на склади вантажних поїздів;
m - середня кількість вагонів у складах вантажних поїздів.
З формули (1.1) випливає, що виділення даної струменя потоку в самостійне призначення буде ефективно у всіх випадках, коли
. (1.2)
Але внаслідок коливань потоку потужність струменя може зменшиться до величини
. (1.3)
При цьому вона, очевидно, перестає задовольняти необхідної та достатньої умов виділення. Вірогідність її появи в окремі j-а доба, а також ймовірність появи струменя, що задовольняє умові (1.2), може бути визначена при відомій функції розподілу.
Для струменя N ₁ відповідність достатньому умові починається з величини потоку:
вагонів
Необхідній умові відповідає потік:
вагонів.
Для струменя N ₄ необхідне і достатнє умови збігаються:
вагонів.
За умовою середні значення вагонопотоків N ₁ = 150 вагонів, N ₄ = 300 вагонів, отже, струмінь N ₁ задовольняє необхідної та N ₄ задовольняє достатньому умові, а інші, навіть будучи об'єднані, не задовольняють і необхідного (N ₂ = 28 вагонів, N ₃ = 30 вагонів, N ₅ = 50 вагонів).
Оптимальний план формування з середнім значенням потоків N ₁ ÷ N ₅ представимо на рис. 1.3.
А Б В Г

N 2 + N 5

SHAPE \ * MERGEFORMAT

N 1

N 4

N 2 + N 3

Рис. 1.3.1 варіант оптимального плану формування поїздів
Розглянемо тепер полігон з урахуванням добових коливань вагонопотоків. Очевидно, що досить мати інформацію про коливання двох струменів потоку N ₁ та N _4.
Визначимо ймовірності збереження оптимальності наведеного на рис. 1.3 варіанту при змінах потоків, а також ймовірності збереження інших оптимальних планів формування поїздів.
Добові значення струменя N ₁ розподілені рівномірно з параметрами вагонів, а = 60 вагонів.
Відомо, що математичне сподівання випадкової величини х, рівномірно розподіленої на ділянці від а до b:
. (1.4)
З формули (1.4) знайдемо параметр b:
b = 2 * M [x]-a = 2 * 150-60 = 240 вагонів.
Призначення АГ зі струменем N ₁ буде, очевидно, ефективно для значень N _ij від 113 вагонів і більше (верхня межа за умовою розподілу - 240 вагонів, ймовірність ефективності при N _ij> 240 дорівнює нулю). Імовірність цієї події для рівномірного розподілу визначимо за формулою:
. (1.5)
.
Добові значення струменя N ₄ розподілені за нормальним законом з параметрами = 300 вагонів і σ = 75 вагонів.
Імовірність попадання випадкової величини на ділянку від до розраховується за формулою:
(1.6)
Імовірність появи добових розмірів струменя N _{4 j} ≥ 229 вагонів, розподіленої за нормальним законом розподілу, розрахуємо наступним чином:
P (N _{4 j} ≥ 229) = 1-Ф ((229-300) / 75) = 1-Ф (-0,95) = 1-0,1711 = 0,8289.
Розрахунки показують, що окремо виділення струменів N ₁ та N ₄ в самостійні призначення ефективно у більшості випадків (відповідно з 100 днів для N ₁ - в 71 день, а для N ₄ - в 83 дні). Проте в цілому ймовірність збереження оптимального плану, показаного на рис. 1.3, буде нижчою і складе:
P ₁ = P (N _{1 j} ≥ 113) P (N _{4 j} ≥ 229) = 0.7056 * 0.8289 = 0.5849.
Розглянемо, що відбудеться, якщо вагонопоток N _{1 j} і N _{4 j} приймуть значення, менше критичних (відповідно 113 і 229 вагонів).
Спершу розглянемо більш короткий призначення БГ з потоком N _4. Імовірність для N _{4 j} стати менш 229 вагонів на добу складає:
P (N _{4 j} <229) = 1-P (N _{4 j} ≥ 229) = 1-0.8289 = 0.1711.
При цьому по-різному складається ситуація з призначенням АГ. Воно може зберегтися з ймовірністю 0,5323. У цьому випадку оптимальним буде варіант плану формування II, показаний на рис. 1.4.

Г

N 4

N 2 + N 3

N 2 + N 4 + N 5

SHAPE \ * MERGEFORMAT

N 1

А

Б

У

Рис. 1.4. II варіант оптимального плану формування поїздів
Імовірність того, що такий варіант буде оптимальним:
P _ІІ = P (N _{1 j} ≥ 113) P (N _{4 j} <229) = 0.7056 * 0.1711 = 0.1207.
Якщо ж обидва потоки будуть менше своїх критичних значень, то оптимальними можуть бути два варіанти. Так, при N _{1 j} + N _{4 j} <229 план формування не буде мати жодного наскрізного призначення (варіант III, рис. 1.5).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

А

Б

У

Г

N 1 + N 2 + N 3

N 1 + N 2 + N 4 + N 5

N 1 + N 4

Рис. 1.5. III варіант оптимального плану формування поїздів
Імовірність ІІI варіанту порахуємо наступним чином.
Припустимо N _{1 j} = X та N _{4 j} = Y. Тоді ймовірність поєднання подій N _{1 j} + N _{4 j} <229 може бути уподібнене ймовірності влучення точки M (X, Y) в певну площу, обмежену осями координат і прямої з рівнянням X + Y = 229 (рис. 1.6), при відомих законах розподілу координат X і Y. Для цього трикутник Oab розбивається на елементарні прямокутники зі сторонами, паралельними осям координат.
Ймовірність влучення точки в перший прямокутник с (площа трикутника, не потрапляє в область допустимих значень, дорівнює площі трикутника ^abo,) дорівнює добутку ймовірностей 0 <X ₁ <39 і 0 <Y ₁ <209,5. При цьому, так як параметр X розподілений по рівномірному закону на відрізку (60; 240), то ймовірність у цьому випадку дорівнює 0.
P ₁ = 0
Ймовірність влучення точки в другій прямокутник дорівнює добутку ймовірностей 39 <X <77 (врахуємо, що при X <60 ймовірність першого множника нульова, тому нижню межу в даному випадку 60 вагонів) і 0 <Y <171:
P ₂ = [(77-60) / (240-60)] * [Ф ((171-300) / 75)-Ф ((0-300) / 75)] =
= 0.0944 * [Ф (-1,72)-Ф (-4)] = 0,0944 * (0,0427-0) = 0,0040.

Y 229	a
b, 190	o,	b,, 209.5 a,
152			171
114				133
76					95
38						57
							19 B

O 39 77 115 153 191 229 X
Рис. 1.6. Заміна площі трикутника площею ряду прямокутників для визначення ймовірності влучення точки M (X, Y) в трикутник Oab, обмежений осями координат і відрізком прямої X + Y = 229
Розрахуємо аналогічно інші складові ймовірності влучення точки M (X, Y) в площу, обмежену осями координат і прямої з рівнянням X + Y = 229:
Р ₃ = [(115-77) / (240-60)] * [Ф ((133-300) / 75)-Ф ((0-300) / 75)] =
= 0.2111 * [Ф (-2,23)-Ф (-4)] = 0.2111 * (0.0139-0) = 0.0029.
P ₄ = [(153-115) / (240-60)] * [Ф ((95-300) / 75)-Ф ((0-300) / 75)] =
= 0.2111 * [Ф (-2,73)-Ф (-4)] = 0.2111 * (0.0035-0) = 0.0007.
P ₅ = [(191-153) / (240-60)] * [Ф ((57-300) / 75)-Ф ((0-300) / 75)] =
= 0.2111 * [Ф (-3,24)-Ф (-4)] = 0.2111 * (0.0006-0) = 0.0001.
P ₆ = [(229-119) / (240-60)] * [Ф ((19-300) / 75)-Ф ((0-300) / 75)] =
= 0.2111 * [Ф (-3,75)-Ф (-4)] = 0,2111 * (0,0001-0) = 0.
Сумарна ймовірність попадання точки M (X, Y) в трикутник дорівнює сумі ймовірностей її потрапляння в окремі прямокутники:
Р _III = Р ₁ + Р ₂ + Р ₃ + Р ₄ + Р ₅ + Р ₆ = 0 +0,0004 +0,0029 +0,0007 +0,001 +0 = 0,0077.

Г

По теоремі повної ймовірності (сума всіх ймовірностей настання подій дорівнює одиниці) можна порахувати вірогідність IV варіанти оптимального плану формування поїздів, коли кожен окремо з потоків N _{1 j} і N _{4 j} менше своїх критичних знань, але в сумі N _{1 j} + N _{4 j>} 229, тобто більше критичного значення для призначення поїздів БГ (рис. 1.7).

N 1 + N 4

SHAPE \ * MERGEFORMAT

А

N 1 + N 2 + N 3

Б

N 2 + N 5

У

Рис. 1.7. IV варіант оптимального плану формування поїздів
Імовірність IV варіанти:
Р _IV = 1 - (Р _I + Р _II + Р _III) = 1 - (0,5849 + 0,1207 + 0,0077) = 0,2867.
На підставі проведеного статистичного аналізу плану формування поїздів можна зробити наступні висновки.
Перший варіант плану формування поїздів, розрахований за середнім значенням вагонопотоків, буде оптимальним 213 днів (0,5849 * 365 = 213), тобто більше половини року. Дещо менше третини року - 105 днів - буде вигідно застосування четвертого варіанту плану формування (0,2867 * 365 = 105). В інші дні з ймовірністю 0,1207 вигідно застосування другого варіанту плану формування (44 дня); з ймовірністю 0,0077 - третій варіант (3 дні). Це означає, що для дотримання оптимального режиму роботи з організації вагонопотоків на полігоні АГ доцільно мати двухваріантний план формування поїздів (I і IV варіанти).
Знаючи критичні значення вагонопотоків, необхідно організувати їх добовий прогноз і відповідно до нього будувати роботу з формування поїздів.

Задача 2
Імітаційне моделювання входить на станцію поездопотоков
Вихідні дані:
Годинна інтенсивність надходження поїздів на станцію - 5 поїзд / год.
Параметр Ерланга в розподілі інтервалів між прибуттям поїздів на станцію - 3.
Частка вантажних поїздів, що надходять у розформування - 30%.
Процентне співвідношення числа вантажних поїздів, що надходять з напрямків:
А - 18%;
Б - 22%;
В - 28%;
Г - 32%.
Середнє число вагонів у складах вантажних поїздів - 48 вагонів.
Середньоквадратичне відхилення числа вагонів у складах вантажних поїздів - 15 вагонів.
У цієї задачі потрібно змоделювати:
· Інтервали між прибуттям поїздів на сортувальну станцію (і на їх основі розробити графік надходження вантажних поїздів протягом доби);
· Напрямки, з яких прибувають поїзда;
· Категорії вступників поїздів (транзитні вантажні з переробкою та транзитні вантажні, що проходять станцію без переформування);
· Величини складів прибувають вантажних поїздів (число вагонів).

Рішення:
Відомості про значення порядку розподілу Ерланга, який є величиною, зворотною квадрату коефіцієнта варіації інтервалів між надходженням поїздів на станцію, а також про інтенсивність поездопотоков дозволяють за допомогою таблиці випадкових чисел змоделювати ці інтервали за формулою:
,
де 60 - коефіцієнт переведення годинників у хвилини;
k - параметр розподілу Ерланга;
- Годинна інтенсивність прибуття вантажних поїздів на сортувальну станцію, поїзд-год;
- Випадкове число, рівномірно розподілене в інтервалі [0.1].
Моделювання зробимо наступним чином:
Прибуття першого вантажного поїзда на станції - о 18:00.
З таблиці випадкових чисел довільно виберемо і перемножимо 3 числа (візьмемо числа з 2, 3 і 4 стовпців, потім з 5, 6 і 7 стовпців, а потім з 8, 9 і 10 стовпців). Потім візьмемо натуральний логарифм твори і помножимо на коефіцієнт - (60 / (3 * 5)), який вважається постійним для кожної конкретної сортувальної станції. Отриманий результат округлимо до цілої величини і додамо до попереднього часу прибуття вантажного поїзда.
= - (60 / (3 * 5)) 1n (0,6380 * 0,8199 * 0,4118) = 6 хв.
Другий потяг вважається прибулим о 18:06.
= - (60 / (3 * 5)) 1n (0,5138 * 0,1904 * 0,8227) = 10 хв.
Третій поїзд надійде на сортувальну станцію в 18:16 і т. д. до кінця розрахункової доби (до 18 годин наступної доби).
Розрахунок інтервалу проведений в Додатку 2.
Моделювання категорії поїзда зробимо шляхом побудови осі ймовірностей і також з використання таблиці випадкових чисел. На рис. 2.1 показана вісь ймовірностей, коли 30% вантажних поїздів проходять сортувальну станцію з переформуванням.
з / п б / п
0 0,3 1
Рис. 2.1. Вісь ймовірностей для моделювання категорії вантажних поїздів
Оскільки випадкові числа розподілені рівномірно в інтервалі [0.1], то при багаторазовому повторенні експерименту близько 30% чисел потраплять в інтервал від 0 до 0,3 і близько 70% - в інтервал від 0,3 до 1.
Приймаючи послідовність випадкових чисел по одну колонку таблиці випадкових чисел (після першого використовуємо третій і п'ятий стовпці), бачимо, що перше 0,6340 потрапляє в інтервал від 0,3 до 1, що відповідає прибуттю на сортувальну станцію транзитного вантажного потяга без розформування і т . д.
Моделювання категорії вантажних поїздів вироблено в Додатку 3.

Аналогічним чином зробимо моделювання та напрямків підходу вантажних поїздів. Для цього побудуємо вісь ймовірностей, коли 18% вантажних поїздів надходять з напряму А, 22% - з напряму Б, 28% - з напряму В, і 32% - з напряму Г (рис. 2.2.).
А Б В Г
0 0,18 0,4 0,68
Рис. 2.2. Вісь ймовірностей для моделювання напрямки підходу вантажних поїздів
При моделюванні напрямків підходу вантажних поїздів використовуємо послідовно другий, четвертий і шостий стовпчики.
Моделювання напрямків підходу вантажних поїздів наведено у Додатку 4.
Відомо, що кількість вагонів у складах вантажних поїздів розподілено за нормальним законом. Сукупність випадкових чисел із заданим нормальним законом розподілу отримаємо способом, заснованим на центральній граничній теоремі теорії ймовірностей. Відповідно до неї при додаванні великого числа незалежних випадкових величин, порівнянних за дисперсій, виходить випадкова величина, розподілена приблизно за нормальним законом. Досвід показує, що випадкова величина, яка з точністю, достатньою для більшості прикладних задач, може вважатися нормальною, виходить при додаванні шести випадкових чисел від 0 до 1. Значення такої випадкової величини з математичним очікуванням і середньоквадратичним відхиленням визначимо за формулою:

Послідовність випадкових чисел приймемо починаючи з перших чисел перших шести стовпців, потім чисел з третього по восьмий стовпці, потім чисел з п'ятого по десятий стовпці.
вагонів
Розрахунок кількості вагонів у складі поїзда наведений у Додатку 5.
Результати всіх розрахунків відобразимо в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1.
Результати моделювання входить на станцію поездопотоков