Контрольна робота № 11
ВАРІАНТ 8
1. У ящику 10 деталей, серед яких 3 бракованих. Випадково витягли 4 деталі. Знайти ймовірність того, що серед них виявляться дві бракованих.
Будемо використовувати класичне визначення ймовірності.
Чотири деталі з десяти можна вибрати способами (число поєднань з десяти елементів по чотири). Тому n - число равновозможних подій одно т.к.
Дві бракованих деталі з трьох можна вибрати способами:
Дві стандартних деталі з семи можна вибрати способами:
,
тому m - число сприятливих подій одно .
2. ОТК перевіряє виріб на стандартність. Ймовірність стандартності вироби дорівнює 0,85. Знайти ймовірність того, що з двох перевірених виробів тільки одне стандартно. Відповідь записати у вигляді десяткового дробу.
Введемо події - Перше перевірене виріб стандартне,
- Друге перевірене виріб стандартне,
- Перше перевірене виріб нестандартне,
- Друге виріб нестандартне,
- З двох перевірених виробів тільки одне стандартне. Тоді
. Події
несумісні, тому за правилом додавання ймовірностей
, Отримуємо:
, Тому що події
і
- Незалежні, то
.
За умовою:
Отримуємо:
3. Три стрілка А, В, С стріляють по деякій цілі, роблячи не більше одного пострілу. Вірогідність потрапляння їх при одному пострілі відповідно рівні 0,7, 0,8, 0,9. Стрілянину починає А. Якщо він промахнеться, то стріляє в. Якщо і В промахнеться, то стріляє С. Знайти ймовірність (у вигляді десяткового дробу) того, що мета буде вражена.
Нехай подія - Мета вражена, гіпотези:
- Перший стрілок влучив у ціль,
- Перший стрілок промахнувся, другий потрапив,
- Перший промахнувся, другий промахнувся, третій потрапив.
Ймовірність події :
.
За формулою множення ймовірностей (враховуючи, що ймовірності промаху стрілками дорівнює відповідно ).
За формулою складання ймовірностей отримаємо:
4. При рентгенівському обстеженні ймовірність виявити туберкульоз дорівнює 0,9. Ймовірність прийняти здорової людини за хворого дорівнює 0,01. Частка хворих на туберкульоз до всього населення дорівнює 0,001. Знайти ймовірність того, що людина здорова, хоча він визнаний хворим при обстеженні. Відповідь округлити до 0,001.
За формулою множення ймовірностей:
У нашому випадку
Шукана ймовірність:
5.Стрельба триває до першого влучення, але не більше 4-х пострілів. Ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,6. Х - число витрачених патронів. Знайти (відповіді вводити у вигляді десяткового дробу): а) ряд розподілу Х; б) функцію розподілу F (х), у відповідь записати F (1,5), F (3,5), в) ; Г)
, Відповідь округлити до 0,01; д)
.
а) Випадкова величина Х може приймати значення (1, 2, 3, 4). Знайдемо ймовірності цих значень, використовуючи правило множення ймовірностей (Промах при першому пострілі, попадання при другому),
(Промахи при перших двох пострілах, попадання при третьому),
(Перші три постріли - промах).
Запишемо ряд розподілу Х:
Х
1
2
3
4
Р
0,6
0,24
0,096
0,064
б) Функцію розподілу знайдемо, користуючись співвідношенням:
, Де
, Отримуємо:
в) Математичне сподівання дискретної випадкової величини знайдемо за формулою:
г) Дисперсію випадкової величини знайдемо за формулою:
д) шукану ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення знайдемо за формулою:
, Тобто
6. Дана щільність розподілу випадкової величини Х:
Знайти: а) константу А; б) функцію розподілу , У відповідь записати
F (3); в) ; Г)
, Д)
а) З умови нормування випливає, що
, Звідки
, Тобто
.
б) Скористаємося формулою
Якщо
,
тому
, При
.
Якщо ,
.
Отримуємо:
в) Застосовуємо формулу:
г) Застосовуємо формулу:
д) Застосуємо формулу:
7. Деталь, виготовлена автоматом, вважається придатною, якщо відхилення Х її контрольованого розміру від номіналу не перевищує 18 мм. Величина Х розподілена нормально, причому σ х = 9 мм. Знайти ймовірність того, що деталь буде визнана придатною. Відповідь округлити до 0,01.
Застосуємо формулу:
де
Δ - допустиме відхилення;
σ - середнє квадратичне відхилення,
ця функція табульованого, її значення беремо з таблиці.
Отримуємо:
.
З таблиці знаходимо
.
Контрольна робота № 12
ВАРІАНТ 8
1. Дана матриця розподілу ймовірностей системи (X, Y)
Х
Y
-1
0
3
2
0,11
0,25
0,14
3
0,12
0,20
0,18
Знайти: а) ряди розподілів X і Y, б) ; В)
; Г)
; Д)
; Е)
; Ж)
, Округлити до 0,01; ж) ряд розподілу Y, якщо X = 0; і)
, Округлити до 0,01.
а) Підсумовуючи по стовпцях, а потім по стовпцях елементи матриці розподілу, отримуємо шукані ряди розподілу.
Х
-1
0
3
Р
0,23
0,45
0,32
Y
2
3
Р
0,5
0,5
б) Використовуємо формулу:
в) .
г) Використовуємо формулу:
д) .
е) Використовуємо формулу:
ж) . Віднімаємо за формулою:
з) Використовуємо формулу:
Отримуємо ряд розподілу:
2
3
Р
і)
2. Дана щільність розподілу ймовірностей системи (X, Y)
Знайти: а) константу
С; б) ; В)
; Г)
; Д)
; Е)
; Ж)
; З)
, І) F (2,10); к)
а) Константу З знайдемо з умови нормування:
Знайдемо рівняння прямої ОВ:
Отримаємо:
б) Використовуємо формули:
, Якщо x <0 або x> 4, якщо 0 <x <4
, Якщо у <0 або y> 1, якщо 0 <y <1, то:
в) За формулою
отримуємо:
г) .
д)
е)
ж) .
,
де D - область, що лежить всередині трикутника ОАВ
з) .
і) ,
де D - трикутник ОС D:
к)
При величина x змінюється рівномірно від
до
, Тому
3. За даними вибірки обсягу n = 12 нормально розподіленої випадкової величини Х знайдена виправлена дисперсія s = 5,1. Знайти довірчий інтервал, що містить середнє квадратичне відхилення величини Х з імовірністю 0,99. У відповідь ввести координату правого кінця інтервалу.
Знайдемо виправлене середнє квадратичне відхилення S ':
Довірчий інтервал шукаємо у вигляді:
або
в залежності від величини q, яке знаходимо з таблиці.
При n = 12, γ = 0,99 знаходимо q = 0,9, отже, т.к. q <1 довірчий інтервал шукаємо у вигляді
.
або