Задача 1 Статистичний аналіз плану формування поїздів На заданому ділянці полігону
мережі залізниць (рис. 1.1) скласти варіанти плану формування поїздів і провести їх
статистичний аналіз з використанням теорії ймовірностей.
А Б В Г
Рис. 1.1. Схема Ділянки АГ
Вихідні дані:
Вагоно-години простою під накопиченням сm:
на станції А - 900 вагонів-год;
на станції Б - 800 вагонів-год;
на станції В - 900 вагонів-год.
Економія від проходження станції без переробки Т
ек: на станції Б - 4,5 год;
на станції В - 3,5 ч.
Середньоквадратичне відхилення вагонопотоків σ = 75 вагонів.
Параметр «а» в рівномірному розподілі = 60 вагонів.
Середньодобові вагонопоток в призначенні:
АГ - 150 вагонів;
АБ - 28 вагонів;
АВ - 30 вагонів;
БГ - 300 вагонів;
БВ - 50 вагонів;
ВГ - 0 вагонів;
Закони розподілу вагонопотоків у призначенні:
АГ - рівномірний розподіл;
БГ - нормальний розподіл.
Рішення: Уявімо ступеневий графік вагонопотоків на рис. 1.2.
А Б В Г
4,5 3,5
Рис. 1. 2. Схема ділянки АГ і ступінчастий графік вагонопотоків
Величини
є
середні значення вагонопотоків. Призначення ВГ відсутня за умовою.
Відомим умовою виділення струменя вагонопотоку в самостійне призначення є задоволення її нерівності:
(1.1)
де
- Потужність струменя вагонопотоку зі станції i призначенням на станцію J;
- Економія від проходження без переробки сортувальних станцій, розташованих між станціями призначення даної струменя і більш ближньої суміжної струменя i - 1;
с - параметр накопичення вагонів у сортувальному парку на склади вантажних поїздів;
m - середня кількість вагонів у складах вантажних поїздів.
З формули (1.1) випливає, що виділення даної струменя потоку в самостійне призначення буде ефективно у всіх випадках, коли
. (1.2)
Але внаслідок коливань потоку потужність струменя може зменшиться до величини
. (1.3)
При цьому вона, очевидно, перестає задовольняти необхідної та достатньої умов виділення. Вірогідність її появи в окремі j-а доба, а також ймовірність появи струменя, що задовольняє умові (1.2), може бути визначена при відомій
функції розподілу.
Для струменя N
1 відповідність достатньому умові починається з величини потоку:
вагонів
Необхідній умові
відповідає потік:
вагонів.
Для струменя N
4 необхідне і достатнє умови збігаються:
вагонів.
За умовою середні значення вагонопотоків N
1 = 150 вагонів, N
4 = 300 вагонів, отже, струмінь N
1 задовольняє необхідної та N
4 задовольняє достатньому умові, а інші, навіть будучи об'єднані, не задовольняють і необхідного (N
2 = 28 вагонів, N
3 = 30 вагонів, N
5 = 50 вагонів).
Оптимальний план формування з середнім значенням потоків N
1 ÷ N
5 представимо на рис. 1.3.
А Б В Г
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1.3.1 варіант оптимального плану формування поїздів
Розглянемо тепер полігон з урахуванням добових коливань вагонопотоків. Очевидно, що досить
мати інформацію про
коливання двох струменів потоку N
1 та N
4. Визначимо ймовірності збереження оптимальності наведеного на рис. 1.3 варіанту при змінах потоків, а також ймовірності збереження інших оптимальних планів формування поїздів.
Добові значення струменя N
1 розподілені рівномірно з параметрами
вагонів, а = 60 вагонів.
Відомо, що
математичне сподівання випадкової величини х, рівномірно розподіленої на ділянці від а до b:
. (1.4)
З формули (1.4) знайдемо параметр b:
b = 2 * M [x]-a = 2 * 150-60 = 240 вагонів.
Призначення АГ зі струменем N
1 буде, очевидно, ефективно для значень N
ij від 113 вагонів і більше (верхня межа за умовою розподілу - 240 вагонів, ймовірність ефективності при N
ij> 240 дорівнює нулю). Імовірність цієї події для рівномірного розподілу визначимо за формулою:
. (1.5)
.
Добові значення струменя N
4 розподілені за нормальним законом з параметрами
= 300 вагонів і σ = 75 вагонів.
Імовірність попадання випадкової величини на ділянку від
до
розраховується за формулою:
(1.6)
Імовірність появи добових розмірів струменя N
4 j ≥ 229 вагонів, розподіленої за нормальним законом розподілу,
розрахуємо наступним чином:
P (N
4 j ≥ 229) = 1-Ф ((229-300) / 75) = 1-Ф (-0,95) = 1-0,1711 = 0,8289.
Розрахунки показують, що окремо виділення струменів N
1 та N
4 в самостійні призначення ефективно у більшості випадків (
відповідно з 100 днів для N
1 - в 71 день, а для N
4 - в 83 дні). Проте в цілому ймовірність збереження оптимального плану, показаного на рис. 1.3, буде нижчою і складе:
P
1 = P (N
1 j ≥ 113) P (N
4 j ≥ 229) = 0.7056 * 0.8289 = 0.5849.
Розглянемо, що відбудеться, якщо вагонопоток N
1 j і N
4 j приймуть значення, менше критичних (
відповідно 113 і 229 вагонів).
Спершу розглянемо більш короткий призначення БГ з потоком N
4. Імовірність для N
4 j стати менш 229 вагонів на добу складає:
P (N
4 j <229) = 1-P (N
4 j ≥ 229) = 1-0.8289 = 0.1711.
При цьому по-різному складається
ситуація з призначенням АГ. Воно може зберегтися з ймовірністю 0,5323. У цьому випадку оптимальним буде варіант плану формування II, показаний на рис. 1.4.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1.4. II варіант оптимального плану формування поїздів
Імовірність
того, що
такий варіант буде оптимальним:
P
ІІ = P (N
1 j ≥ 113) P (N
4 j <229) = 0.7056 * 0.1711 = 0.1207.
Якщо ж обидва потоки будуть менше своїх критичних значень, то оптимальними можуть бути два варіанти. Так, при N
1 j + N
4 j <229 план формування не буде мати жодного наскрізного призначення (варіант III, рис. 1.5).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1.5. III варіант оптимального плану формування поїздів
Імовірність ІІI варіанту порахуємо наступним чином.
Припустимо N
1 j = X та N
4 j = Y. Тоді ймовірність поєднання подій N
1 j + N
4 j <229 може бути уподібнене ймовірності влучення точки M (X, Y) в певну площу, обмежену осями координат і прямої з рівнянням X + Y = 229 (рис. 1.6), при відомих законах розподілу координат X і Y. Для цього трикутник Oab розбивається на елементарні прямокутники зі сторонами, паралельними осям координат.
Ймовірність влучення точки в перший прямокутник
с (
площа трикутника, не потрапляє в область допустимих значень, дорівнює площі трикутника
abo,) дорівнює добутку ймовірностей 0 <X
1 <39 і 0 <Y
1 <209,5. При цьому, так як параметр X розподілений по рівномірному закону на відрізку (60; 240), то ймовірність у цьому випадку дорівнює 0.
P
1 = 0
Ймовірність влучення точки в другій прямокутник дорівнює добутку ймовірностей 39 <X <77 (врахуємо, що при X <60 ймовірність першого множника нульова, тому нижню межу в даному випадку 60 вагонів) і 0 <Y <171:
P
2 = [(77-60) / (240-60)] * [Ф ((171-300) / 75)-Ф ((0-300) / 75)] =
= 0.0944 * [Ф (-1,72)-Ф (-4)] = 0,0944 * (0,0427-0) = 0,0040.
Y 229
| a
| | | | | | |
b, 190
| o,
| b,, 209.5 a,
| | | | | |
152
| |
| 171
| | | | |
114
| | |
| 133
| | | |
76
| | | |
| 95
| | |
38
| | | | |
| 57
| |
| | | | | |
| 19 B
|
O 39 77 115 153 191 229 X
Рис. 1.6. Заміна площі трикутника площею ряду прямокутників для
визначення ймовірності влучення точки M (X, Y) в трикутник Oab, обмежений осями координат і відрізком прямої X + Y = 229
Розрахуємо аналогічно інші складові ймовірності влучення точки M (X, Y) в площу, обмежену осями координат і прямої з рівнянням X + Y = 229:
Р
3 = [(115-77) / (240-60)] * [Ф ((133-300) / 75)-Ф ((0-300) / 75)] =
= 0.2111 * [Ф (-2,23)-Ф (-4)] = 0.2111 * (0.0139-0) = 0.0029.
P
4 = [(153-115) / (240-60)] * [Ф ((95-300) / 75)-Ф ((0-300) / 75)] =
= 0.2111 * [Ф (-2,73)-Ф (-4)] = 0.2111 * (0.0035-0) = 0.0007.
P
5 = [(191-153) / (240-60)] * [Ф ((57-300) / 75)-Ф ((0-300) / 75)] =
= 0.2111 * [Ф (-3,24)-Ф (-4)] = 0.2111 * (0.0006-0) = 0.0001.
P
6 = [(229-119) / (240-60)] * [Ф ((19-300) / 75)-Ф ((0-300) / 75)] =
= 0.2111 * [Ф (-3,75)-Ф (-4)] = 0,2111 * (0,0001-0) = 0.
Сумарна ймовірність попадання точки M (X, Y) в трикутник дорівнює сумі ймовірностей її потрапляння в окремі прямокутники:
Р
III = Р
1 + Р
2 + Р
3 + Р
4 + Р
5 + Р
6 = 0 +0,0004 +0,0029 +0,0007 +0,001 +0 = 0,0077.
По теоремі повної ймовірності (сума всіх ймовірностей настання подій дорівнює одиниці) можна порахувати вірогідність IV варіанти оптимального плану формування поїздів, коли кожен окремо з потоків N
1 j і N
4 j менше своїх критичних знань, але в сумі N
1 j + N
4 j> 229, тобто більше критичного значення для призначення поїздів БГ (рис. 1.7).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1.7. IV варіант оптимального плану формування поїздів
Імовірність IV варіанти:
Р
IV = 1 - (Р
I + Р
II + Р
III) = 1 - (0,5849 + 0,1207 + 0,0077) = 0,2867.
На підставі проведеного статистичного аналізу плану формування поїздів можна зробити наступні висновки.
Перший варіант плану формування поїздів, розрахований за середнім значенням вагонопотоків, буде оптимальним 213 днів (0,5849 * 365 = 213), тобто більше половини року. Дещо менше третини року - 105 днів - буде вигідно застосування четвертого варіанту плану формування (0,2867 * 365 = 105). В інші дні з ймовірністю 0,1207 вигідно застосування другого варіанту плану формування (44 дня); з ймовірністю 0,0077 - третій варіант (3 дні). Це означає, що для дотримання оптимального режиму
роботи з організації вагонопотоків на полігоні АГ доцільно мати двухваріантний план формування поїздів (I і IV варіанти).
Знаючи критичні значення вагонопотоків, необхідно організувати їх добовий прогноз і відповідно до нього будувати роботу з формування поїздів.
Задача 2 Імітаційне моделювання входить на станцію поездопотоков Вихідні дані:
Годинна інтенсивність надходження поїздів на станцію - 5 поїзд / год.
Параметр Ерланга в розподілі інтервалів між прибуттям поїздів на станцію - 3.
Частка вантажних поїздів, що надходять у розформування - 30%.
Процентне співвідношення числа вантажних поїздів, що надходять з напрямків:
А - 18%;
Б - 22%;
В - 28%;
Г - 32%.
Середнє число вагонів у складах вантажних поїздів - 48 вагонів.
Середньоквадратичне відхилення числа вагонів у складах вантажних поїздів - 15 вагонів.
У цієї задачі потрібно змоделювати:
· Інтервали між прибуттям поїздів на сортувальну станцію (і на їх основі розробити графік надходження вантажних поїздів протягом доби);
· Напрямки, з яких прибувають поїзда;
· Категорії вступників поїздів (транзитні вантажні з переробкою та транзитні вантажні, що проходять станцію без переформування);
· Величини складів прибувають вантажних поїздів (число вагонів).
Рішення: Відомості про значення порядку розподілу Ерланга, який є величиною, зворотною квадрату коефіцієнта варіації інтервалів між надходженням поїздів на станцію, а також про інтенсивність поездопотоков дозволяють за допомогою
таблиці випадкових чисел змоделювати ці інтервали за формулою:
,
де 60 - коефіцієнт переведення
годинників у хвилини;
k - параметр розподілу Ерланга;
- Годинна інтенсивність прибуття вантажних поїздів на сортувальну станцію, поїзд-год;
- Випадкове число, рівномірно розподілене в інтервалі [0.1].
Моделювання зробимо наступним чином:
Прибуття першого вантажного поїзда на станції - о 18:00.
З таблиці випадкових чисел довільно виберемо і перемножимо 3 числа (візьмемо числа з 2, 3 і 4 стовпців, потім з 5, 6 і 7 стовпців, а потім з 8, 9 і 10 стовпців). Потім візьмемо натуральний логарифм
твори і помножимо на коефіцієнт - (60 / (3 * 5)), який вважається постійним для кожної конкретної сортувальної станції. Отриманий результат округлимо до цілої величини і додамо до попереднього часу прибуття вантажного поїзда.
= - (60 / (3 * 5)) 1n (0,6380 * 0,8199 * 0,4118) = 6 хв.
Другий потяг вважається прибулим о 18:06.
= - (60 / (3 * 5)) 1n (0,5138 * 0,1904 * 0,8227) = 10 хв.
Третій поїзд надійде на сортувальну станцію в 18:16 і т. д. до кінця
розрахункової доби (до 18 годин наступної доби).
Розрахунок інтервалу проведений в Додатку 2.
Моделювання категорії поїзда зробимо шляхом побудови осі ймовірностей і також з використання таблиці випадкових чисел. На рис. 2.1 показана вісь ймовірностей, коли 30% вантажних поїздів проходять сортувальну станцію з переформуванням.
з / п б / п
0 0,3 1
Рис. 2.1. Вісь ймовірностей для моделювання категорії вантажних поїздів
Оскільки випадкові числа розподілені рівномірно в інтервалі [0.1], то при багаторазовому повторенні експерименту близько 30% чисел потраплять в інтервал від 0 до 0,3 і близько 70% - в інтервал від 0,3 до 1.
Приймаючи послідовність випадкових чисел по одну колонку таблиці випадкових чисел (після першого використовуємо третій і п'ятий стовпці), бачимо, що перше 0,6340 потрапляє в інтервал від 0,3 до 1, що відповідає прибуттю на сортувальну станцію транзитного вантажного потяга без розформування і т . д.
Моделювання категорії вантажних поїздів вироблено в Додатку 3.