Узагальнення класичних середніх величин

Аналогічно, , ..., . Але дані рішення
, P _i R.
2. Характеристичне властивість квазі-середніх
Тепер ми готові для квазі-середніх вказати згадане вище аксіоматичне визначення. Будемо виходити від окремих випадків - найпростіших середніх. Так зважені середнє арифметичне і середнє геометричне можна визначити як безперервні хоча б в одній точці рішення функціональних рівнянь і відповідно, а також ці рішення повинні задовольняти умові усереднення, інакше не обов'язково і . Перша умова є результат теореми 1, а друга умова ми доведемо далі в загальному випадку.
Зауважимо, що операцію множення, яка використовується в рівнянні для середнього геометричного, можна представити як , Де , Тобто функція, що задає середнє геометричне. Операція додавання в рівнянні для середнього арифметичного представляється аналогічно, але з функцією .
Тоді взагалі для квазі-середніх розглянемо операцію, узагальнюючу додавання і множення, , Де - Довільна безперервна, строго монотонна функція, безліч значень якої - один із проміжків (- ; А), (- ; А], (b; ), [B; ), (- ; ), Де a ≤ 0 і b ≥ 0, що гарантує існування операції для будь-яких x та y з області визначення функції . Сформулюємо загальний результат, що виражає аксіоматичне визначення квазі-середніх [1].
Теорема 2. Квазі-середні - це такі функції від n змінних, для яких виконані умови:
1) безперервність хоча б в одній точці;
2) ;
3) .
Доказ. Очевидно, що квазі-середні, раніше визначені як задовольняють перерахованим властивостям. Важливо показати протилежне - інших величин з даними властивостями не існує. Для цього виведемо вид функцій , Виходячи із зазначених умов.
Розпишемо рівняння , Використовуючи визначення операції :
  =
= ,
=
=
Далі, якщо визначити і позначити , , То останній вираз перепишеться так , Де функція H   неперервна хоча б в одній точці. Тоді єдиною такою функцією буде , P _i R. Повертаючись до колишніх змінним і функцій, знайдемо     ,   p _i R.
Залишилося показати, що і . Використовуємо властивість усереднення знайденого рішення:   .
Візьмемо , Але тоді   або   , І тому . А якщо припустити, що якийсь , То для і , маємо
= =
= , Що суперечить умові.
Аналогічно можна визначити квазі-середні виду .
Теорема 3. Квазі-середні виду - Це такі функції від n змінних, для яких виконані умови:
1) безперервність хоча б в одній точці;
2) ;
3) рефлексивність, тобто ;
4) симетричність.
Дійсно, властивості 1 і 2 виділяють функції ,   p _i R, далі властивість 3 забезпечує , А з властивості 4 випливає .
Тепер ми можемо аксіоматично задавати окремі випадки квазі-середніх, вказуючи для них свої операції у функціональному рівнянні . Наприклад:
для середнього арифметичного задає його функція , І тому ;
для середнього геометричного , ;
для середнього гармонійного , ;
для середнього квадратичного , .
3. Тотожні квазі-середні
Квазі-середнє визначено, якщо задана функція . Виникає природне запитання, чи справедливо зворотне пропозиція: якщо для будь-яких або і -Тотожні, то варто звідси, що задають їх функції і також тотожні. Відповідь на це питання дає наступна
Теорема 4. Необхідною і достатньою умовою тотожності квазі-середніх   і є умова , Де .
Доказ. Якщо зазначена умова виконується, то

, І тому
= або = для будь-яких , Тобто умова достатньо.
Зворотно, нехай = , = або . Позначаючи і , Перепишемо = .
Зведемо це рівність до функціонального рівняння. Візьмемо точку з області значень функції і представимо . Тоді = або = . Вважаючи , Де для кожного i, знайдемо = ,   де      не залежить від .
Тому = , Що з позначеннями , , перепишеться так: .
Тоді   вирішенням цього функціонального рівняння буде функція , , Де . Оскільки , То , або , Якщо взяти .
Таким чином, щоб задати одне і те ж квазі-середнє ми можемо взяти будь-яку функцію з цілого класу функцій , Де а ≠ 0 і b - довільні постійні, і іншого способу отримати тотожні квазі-середні не існує.
4. Однорідні квазі-середні
Раніше ми говорили, що квазі-середні в загальному випадку неоднорідні, тобто співвідношення для будь-яких не виконується, але їх підклас - зважені середні статечні володіють однорідністю. Тепер покажемо, що інших квазі-середніх з даними властивістю не існує [2].
Теорема 5. Зважені середні статечні - єдині однорідні квазі-середні.
Доказ. Припустимо, що рівність   має місце, і виведемо з нього вид задає квазі-середнє функції . Перепишемо    або = . Отримали тотожні квазі-середні, задані функціями і . У силу теореми 4 маємо (*), Де і - Функції від λ, ≠ 0. Також ми можемо покласти .
Тоді . Підставляючи тепер в (*) і замінюючи λ на   y, знайдемо, що (**). Аналогічно .
Останні два рівності дають для x, y ≠ 1 (***).
Звідси випливає, що функції в лівій і правій частинах (***) рівні постійної d, тобто   .
З (**) випливає зараз рівність , Яке, очевидно, справедливо і для значень x = 1 і y = 1, і тому обмеження на (***) неістотно.
Отже, ми отримали функціональне рівняння , Розглядаючи його, розрізняємо два випадки:
1) при d = 0 , І тому для x> 0 ;
2) при d ≠ 0 вважаючи , Зведемо рівняння до , І тому для x> 0 і .
У першому випадку по теоремі 4 про тотожних квазі-середніх можна замінити на , І тоді отримуємо середнє геометричне, яке прийнято вважати окремим випадком середнього степеневого при . У другому, замінюючи на - Середнє степеневе.
Слідство. Середні статечні - єдиний клас квазі-середніх, що задовольняють сильному визначення середньої величини.
5. Адитивні квазі-середні
Розглянемо ще один клас квазі-середніх. Назвемо властивість аддитивностью і знайдемо всі квазі-середні з даними властивістю.
Теорема 6. Виважена середнє арифметичне і квазі-середнє, заданий показовою функцією - Єдині адитивні квазі-середні.
Доказ. Адитивність зазначених квазі-середніх показується простою перевіркою. Для доказу їх єдиності припускаємо, що рівність    має місце, і виводимо з нього вид задає квазі-середнє функції . Переписуємо співвідношення
  або = . Отримуємо тотожні квазі-середні, задані функціями і . У силу теореми маємо (*), Де і - Функції від t, ≠ 0, а також можемо покласти .
Далі розмірковуючи аналогічно попередньої теореми, приходимо до функціонального рівняння , Розглядаючи яке, знову розрізняємо два випадки:
1) при d = 0 , І тому ;
2) при d ≠ 0 вважаючи , Зведемо рівняння до , І тому   і .
У першому випадку   маємо середнє арифметичне. У другому - квазі-середнє, заданий показовою функцією .
І у висновку цієї глави на основі доведених теорем 5 і 6 просте
Слідство. Виважена середнє арифметичне - єдине однорідне і одночасно адитивна квазі-середнє.
Глава 3. Квазі-середні і опуклі функції
Для класичних середніх існує безліч нерівностей, які можуть бути узагальнені в різних напрямках. Одним з таких узагальнень є нерівності для квазі-середніх, які ми і розглянемо в цьому розділі. Як їх окремі випадки ми також отримаємо основні нерівності для середніх статечних (нерівність Коші про середню арифметичному і середньому геометричному; нерівності, що характеризують властивість монотонності середніх статечних; нерівність Гюйгенса; нерівність Гельдера) та їх аналоги.
Як в основі доказів наведених раніше теорем лежали функціональні рівняння, так і зараз нам буде важливо окремо розглянути низку положень, що стосуються опуклих функцій.
1. Деякі питання теорії опуклих функцій
Опуклі функції визначаються по-різному, але найбільш природним, мабуть, є засноване на геометричних міркуваннях таке
Визначення. Функція називається опуклою вниз (вгору) на проміжку X, якщо будь-яка хорда кривої лежить не нижче (не вище) дуги, яку ця хорда стягує.
Далі будемо розглядати опуклі вниз функції, а всі результати для опуклих вгору функцій при бажанні можна отримати простим зверненням знака в нерівностях.
Теорема 7 (нерівність Иенсена). Для того, щоб безперервна функція була опуклою вниз на проміжку X, необхідно і достатньо, щоб виконувалося нерівність для всіх і , , .
Доказ [2]. З'ясуємо спочатку, що геометрично означає вказане нерівність при n = 2. Будь-яка точка може бути представлена ​​у вигляді , Де , . Так як кінці хорди - це точки і , То точка хорди з абсцисою x має ординату . Таким чином нерівність означає, що при точка графіка функції лежить не вище відповідної точки хорди, і це вірно для будь-якої точки хорди, так як ми беремо будь-які p _i   за умови , .
І тому для безперервної функції визначення опуклості вниз і таку нерівність при n = 2 еквівалентні.
Покажемо зараз, що ця нерівність справедливо і для будь-якого числа точок. Міркуємо по індукції. Якщо , То   

і т.д.
Вірно і зворотне, якщо нерівність виконується для якогось n> 2, то воно виконується і для n = 2.
Дійсно, перепишемо і візьмемо для . Тоді , Де , і .
Очевидно, якщо всі дорівнюють один одному, то ми отримуємо рівність у нашому нерівності. В іншому випадку рівність при n = 2 ( ) Означає, що будь-яка хорда кривої збігається з дугою, яку ця хорда стягує, тобто функція лінійна. Ми можемо тому зробити наступне
Зауваження. Якщо функція не лінійна на проміжку X, то рівність у нерівності Иенсена досягається тільки тоді, коли всі дорівнюють один одному.
Таким чином визначення опуклої функції і таку нерівність для будь-якого n еквівалентні. Тому здійснимість нерівності, якщо необхідно, ми можемо вважати аналітичним визначенням опуклої функції.
Теорема 8 (аналог нерівності Иенсена). Для опуклої вниз на відрізку функції справедливо нерівність
для всіх і , , .
Доказ. Представивши , , Де , Доведемо спочатку допоміжне твердження. Справедливо нерівність , . Дійсно,

Тепер маємо:

.
Рівність у нашому нерівності досягається тільки тоді, коли забезпечується рівність в кожній з вироблених оцінок. Тому, якщо функція не лінійна, то рівність буде тільки тоді, коли дорівнюють або , Або , Що випливає з умови , І тільки тоді, коли всі дорівнюють один одному, що випливає з умови . У результаті ми маємо таке
Зауваження. Якщо функція не лінійна на , То рівність в доведеному співвідношенні досягається тільки тоді, коли всі дорівнюють a або всі дорівнюють b.
І важлива для практичного застосування теорем 7 і 8, що дозволяє визначати опуклість досить широкого класу функцій
Теорема 9 (достатня ознака опуклої функції). Якщо функція двічі диференційована в деякому інтервалі і ( ), То опукла вниз (вгору) на цьому інтервалі.
Доказ [4]. Якщо , То , І за формулою Тейлора . Примножуючи p _i і складаючи ці рівності, ми отримуємо , А звідси в силу укладаємо, що .
Тепер наведемо визначення опуклої функції від двох змінних і сформулюємо аналогічні затвердження, докази яких будуть тими ж, якщо не вважати очевидних змін в позначеннях.
Визначення. Функція називається опуклою вниз (вгору) в опуклої області D (тобто області, цілком містить відрізок, що з'єднує будь-які її точки), якщо будь-яка хорда поверхні лежить не нижче (не вище) відповідної дуги на поверхні, яку ця хорда стягує.
Теорема 10 (нерівність Иенсена). Для того, щоб безперервна функція була опуклою вниз в області D, необхідно і достатньо, щоб виконувалося нерівність для всіх і , , .
Теорема 11 (аналог нерівності Иенсена). Для опуклої вниз у прямокутній області , , функції справедливо нерівність
,
для всіх , , , , .
Теорема 12 (достатня ознака опуклої функції). Якщо функція двічі диференційована в деякому відкритої області та , , , , , То опукла вниз (вгору) в цій області.
Зараз на основі доведених теорем перейдемо безпосередньо до узагальнень нерівностей Коші і Гельдера та їх аналогам.
2. Узагальнення нерівності Коші і його аналог
Відоме нерівність Коші або говорить про те, що середнє геометричне і середнє арифметичне порівнянні для будь-яких чисел x _i> 0 і будь-яких терезів ,   , .
Виникає питання, чи будуть порівнянні квазі-середні, їх узагальнюючі, тобто чи справедливо нерівність ≤ , Або ≤ .
Теорема 13 (про порівняння квазі-середніх). Для того, щоб виконувалося нерівність ≤ , Або ≤ для всіх , , , Необхідно і достатньо, щоб функція була опуклою вниз, якщо зростає, або опуклою вгору, якщо убуває.
Доказ [2]. Нехай зростає. Тоді з нерівності ≤ слід . Позначаючи і , Отримуємо ≤ , Тобто ми просто переписуємо нерівність ≤ в іншій формі. Нове ж нерівність по теоремі 7 справедливо тоді і тільки тоді, коли функція , Або опукла вниз.
При убуванні розмірковуємо аналогічно.
Зауваження. Якщо , Де , На деякому проміжку, що містить всі , То рівність в доведеному співвідношенні досягається тільки тоді, коли всі дорівнюють один одному.
Дійсно, нехай = . Тоді = , І тому якщо функція не лінійна, тобто , Або , То рівність досягається тільки тоді, коли всі все , А отже, і , Рівні один одному.