Середні величини
Наприклад, при вивченні доходів робітників концерну узагальнюючої характеристикою служить середній дохід одного робітника. Для його визначення загальну суму коштів, спрямовану на споживання ділять на кількість працівників концерну.
Природно, індивідуальне значення доходу відрізняється від середнього рівня по ряду причин (кваліфікація, стаж, кількість акцій). Середній дохід у свою чергу характеризує те загальне, що властиво всій сукупності робітників підприємства, тобто рівень доходу маси робітників у конкретних умовах функціонування даного концерну в розглянутих умовах.
Важливий внесок в обгрунтування теорії середніх величин вніс великий вчений 19 ст. Адольф Кетле. Відповідно до теорії Кетле масові явища і процеси формуються під впливом двох груп причин:
у першу групу загальних для всіх одиниць сукупності причин відносяться причини, що визначають стан загального процесу. Вони формують типовий рівень:
друга група (індивідуальних) причин формує специфічні особливості окремих одиниць масової сукупності. Ці причини не пов'язані з природою досліджуваного явища, їх називають випадковими причинами.
При обчисленні середньої величини за масою одиниць вплив випадкових причин взаимопогашающиеся і середня, абстрагуючись від індивідуальних особливостей окремих одиниць сукупності, висловлює загальні властивості, притаманні усім одиницям.
Середні величини застосовуються для оцінки досягнутого показника, що вивчається, при аналізі і плануванні виробничо-господарської діяльності підприємств, фірм, банків. Середня величина завжди величина іменована і має ту ж розмірність що і ознака в окремих одиниць сукупності. Основною умовою наукового використання середньої величини є якісна однорідність сукупностей, за якою обчислена середня.
Приклад. Акціонерний капітал ТОВ - 1000тис. грн, кількість робочих 100человек. Середній показник участі в акціонерному капіталі - середня величина пакету акцій - 10тис. грн. Ця величина показує, що капітал компанії знаходиться переважно в руках дрібних власників акцій. У дійсності положення може бути наступним: один акціонер має 1010 акцій на суму 505 тис. грн, а 99 акціонерів - 10 акцій на суму 495 тис. грн. Таким чином існує дві категорії акціонерів. До першої з них ставиться один акціонер з величиною пакета, яка дорівнює 505 тис. грн. і до другої групи - 99акціонеров з середньою величиною пакета акцій 5 тис. грн. Отримана середня не може вважатися надійною оцінкою, так як вона в два рази більше за своєю величиною, ніж індивідуальні пакети акцій 99% акціонерів.
Таким чином, перш ніж обчислювати середні величини, необхідно провести угруповання одиниць досліджуваної сукупності, виділивши якісно однорідні групи.
Середня, розрахована за сукупністю в цілому, називається загальною середньою, а для кожної групи - груповий середньої (народжуваність по регіонах).
Порівняльний аналіз групових і загальних середніх використовується для характеристики соціально-екологічних типів досліджуваного суспільного явища.
Існують дві категорії середніх величин:
Статечні середні (середнє арифметичне, гармонійне).
Структурні (мода, медіана).
При виборі виду середньої величини звичайно виходять з сутності осередненою ознаки і за взаємозв'язку з осередненою показником.
Величина підсумкового показника не повинна змінюватися при заміні індивідуальних значень ознаки середньої величиною. Здатність середніх величин зберігати властивості статистичної сукупності називається певною властивістю.
В економічній практиці широко використовується широке коло показників, обчислених у вигляді середніх величин:
показники середньої зарплати;
середній тривалості робочого дня;
середнього виконання норм виробітку робітника;
середньої врожайності сільгоспкультур і т.д.
У кожному разі середні величини мають певний соціально-економічний зміст, обумовлене природою об'єкта.
Наприклад, по кожній з 10 корів, закріплених за дояркою, добовий удій кожної корови склав:
12,5; 13,0; 13,5; 14,5; 15,5; 16,0; 16,5; 17,0; 17,5 кг.
Середній удій
по групі корів = (12,5 +13 +13,5 +14,5 +15,5 +16 +16,5 +17 +17,5) / 10 =
= 151/10 = 15,1 кг.
Середня величина характеризує всю масу одиниць досліджуваної сукупності і виражає те загальне, що характерно для даної сукупності, не характеризує окремі одиниці.
Середні величини можуть бути як абсолютними, так і відносними. Середній удій (15,1 кг) - абсолютна середня величина. Середній відсоток виконання плану реалізації продукції по групі промислових підприємств являє собою відносну середню величину.
Середня арифметична
Середня гармонійна.
Середня геометрична.
Середня квадратична.
Мода, медіана та ін
Найбільш поширеним видом середніх величин у статистиці є середня арифметична. Рідше застосовується середня гармонійна. При обчисленні середніх темпів динаміки використовується середня геометрична, а при обчисленні показників колеблемости величини ознаки застосовується середня квадратична.
Приклад. Припустимо, що є такі дані про щомісячне пробігу вантажних автомашин однієї марки на автобазі:
Для отримання шуканої середньої величини необхідно визначити сумарний пробіг всіх десяти автомашин і розділити цю суму на кількість автомашин.
(4,8 +5,1 +5,1 +6,5 +6,5 +6,5 +6,5 +7,0 +7,0 +7,0) / 10 = 62/10 = 6, 2тис. км.
У цьому прикладі дані про щомісячне пробігу складають варіаційний ряд, а щомісячний пробіг є ознакою, розмір якого коливається - варьирующим ознакою.
Варіаційний ряд може бути даний не впорядковано, тобто окремі його значення (варіанти), можуть бути розташовані в будь-якому порядку (4,8; 6,5; 5,1; 7,0; 6,5), а може бути даний, як у нашому прикладі, упорядкований, тобто коли варіанти розташовані в порядку або зростання, або зменшення їх значень. такий упорядкований варіаційний ряд називається ранжируваною.
Кожна варіанта (значення ознаки) позначається через Х (х1 ... ... .... Х10). якщо ж у варіаційному ряду n варіант, то обчислення середньої можна представити в наступному вигляді:
_
х = (х1 + х2 + ... .... + хn) / n;
Формула розрахунку середньої арифметичної простої:
_
х = åх / n, де
х - значення ознаки,
n - кількість варіант у варіаційному ряду.
У даному прикладі одна автомашина мала пробіг 4,8 тис. км; дві машини - по 5,1 тис. км; чотири - по 6,5 тис. км і три - за 7,0 тис. км.
Згрупуємо тепер автомашини за розмірами пробігу:
Маємо ряд розподілу, в якому однакові варіанти є різні групи та визначено їх частоти, тобто числа, що показують, скільки разів (як часто) зустрічається дана варіанту у всій сукупності. Частоти позначаються літерою f (у нашому прикладі 1, 2, 4,3).
Що б розрахувати середній пробіг за наявними даними необхідно:
_
х = (4,8 * 1 +5,1 * 2 +6,5 * 4 +7,0 * 3) / (1 +2 +3 +4) = 62/10 = 6,2 тис. км.
Порядок обчислення середньої в загальному вигляді:
_
х = (х1 * f1 + x2 * f2 + ... + xn * fn) / (f1 + f2 + ... + fn) = å (x * f) / åf, де
х - значення варіант,
f - значення ваг кожної варіанти (частоти).
Середня арифметична в цій формі називається середньої арифметичної зваженої.
Зіставлення двох розглянутих форм середньої арифметичної показує, що середня арифметична проста і зважена відрізняється один від одного лише способом обчислення.
Призначенням ж і простий і зваженої середньої арифметичної є визначення середнього значення варьирующего ознаки з урахуванням поширеності окремих варіант. Якщо у досліджуваній сукупності варіанти значень ознаки зустрічаються по одному разу або мають однакову вагу (тобто кожна зустрічається однакове число разів), то застосовується середня арифметична проста. Якщо варіанти в сукупності зустрічаються по кілька разів, але мають різні ваги (тобто кожна зустрічається різне число разів), то для визначення середнього значення застосовується середня арифметична зважена.
Іноді варіанти ознаки, за якими обчислюється середня, бувають представлені у вигляді інтервалів (від-до).
Так, наприклад, якщо щомісячний пробіг автомашини за групами автобаз представлений у вигляді інтервалів:
від 4,0 до 5,0 тис. км.
від 5,0 до 6,0 тис. км і т.д. то в цих випадках конкретні значення варіант незмінні. Тому конкретне значення кожної варіанти приймають умовно рівним середині наступного інтервалу. У нашому прикладі середина інтервалу становить: для першої групи - (4,0 + 5,0) / 2 = 4,5 тис. км; для другої групи автобаз - (5,0 +6,0) / 2 = 5,5 тис. км.
Обчислення середини інтервалу іноді ускладнюється тим, що у першої групи інтервального ряду відсутній початкова, а в останньої групи - кінцева межа інтервалу.
Наприклад, для першої групи інтервалу: до 5,0 тис. км; для останньої - 8,0 тис. км і більше.
У цих випадках при визначенні величини варіанти для першої групи виходять з того, що в цій групі величина інтервалу та ж, що і в наступній за нею (тобто другої групи), а при визначенні величини варіанти для останньої групи інтервального ряду розподілу - з припущення, що в останній групі величина інтервалу та ж, що і в попередній групі.
На основі даних таблиці потрібно визначити середній щомісячний пробіг автомашин.
Таблиця. Розподіл автомашин за розміром їх щомісячного пробігу
Визначаємо середини інтервалів, тобто умовні значення варіанти кожної інтервальної групи. Для другої і третьої груп їх визначають за формулою середньої арифметичної простої:
2гр = (5,0 +7,0) / 2 = 6 тис. км.
3гр = (7,0 +8,0) / 2 = 7,5 тис. км
При обчисленні середини інтервалу для першої групи, виходимо з припущення, що величина інтервалу цієї групи дорівнює величині інтервалу наступної (другої) групи,
тобто 7,0 - 5,0 = 2 тис. км.
У такому випадку початкове значення інтервалу першої групи складе 5,0 - 2,0 = 3,0 тис. км. Отже, середина інтервалу для першої групи складає: (3,0 + 5,0) / 2 = 4 тис. км.
При обчисленні середини інтервалу для останньої групи виходимо з припущення, що вона дорівнює величині інтервалу в попередній (третин) групі, а саме, 8,0 - 7,0 = 1,0 тис. км
Тоді кінцеве значення інтервалу останньої групи одно 8,0 +1,0 = 9,0 тис. км. Отже, середина інтервалу для останньої групи складає: (8,0 +9,0) / 2 = 8,5 тис. км. Результати розрахунків представлені в таблиці.
Таблиця. Показники середнього розміру щомісячного пробігу автомашин.
У даному прикладі середня величина становить:
_ Х = (4 * 40 +6 * 80 +7,5 * 130 +8,5 * 50) / (40 +80 +130 +50) = 2040/300 = 6,8 тискм
У даному випадку розмір середньої (середній щомісячний розмір пробігу автомашин в цілому) визначається наближено, т.к розрахунок заснований на умовному допущенні рівномірності розподілу варіант в межах кожного інтервалу.
Середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній:
_
А = А при А = const.
Сума відхилень окремих варіант від середньої арифметичної дорівнює "0". Це властивість середньої використовується для перевірки правильності розрахунків, а також дає можливість полегшити обчислення середньої арифметичної.
_
å (Х-Х) = 0
і для згрупованих даних:
_
å (Х-Х) * f = 0.
Сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознак (окремих варіантів) від середньої арифметичної є число найменше:
_
å (Х-Х) 2 = min.
І для згрупованих даних:
_
å (Х-Х) 2 * f = min.
Перші три властивості виражають сутнісні риси даної категорії. Наступні позиції можна розглядати, як обчислювальні, оскільки вони мають деякий прикладне значення.
Якщо всі варіанти ознаки Х збільшити або зменшити на постійне число А, то і з середньої арифметичної відбудеться те ж саме:
_
å (Х ± А) / n = Х ± А.
_
І å (Х ± А) * f / åf = Х ± А.
Якщо всі варіанти розділити на яке-небудь постійне число d, то середня арифметична зменшиться в d раз:
_
å (Х / d) / n = X / d,
_
і å ((Х / d) * f) / åf = X / d.
Якщо всі ваги розділити на яке-небудь постійне число d, то середня арифметична не зміниться:
_
å (X (f / d)) / å (f / d) = (1 / d) * å (X * f) / (1 / d) * åf = X.
З цієї властивості випливають два методичних слідства:
Наслідок 1. Абсолютні значення ваг можна замінювати їх відсотковим вираженням, прийнявши åf = 100,0.
Наслідок 2. Якщо всі ваги рівні між собою, то обчислення середньої арифметичної простої дає результат, аналогічний обчислення середньої арифметичної зваженої.
Прикладні властивості середньої арифметичної можна проілюструвати, застосувавши спрощений спосіб розрахунку, званий "способом моментів".
Формула середньої арифметичної, обчисленої способом моментів, має вигляд:
_
Х = m1 * d + A, де
m1 - перший момент, який вираховується за формулою:
m1 = å ((x-А) / d * f) / åf, де
А - довільна постійна величина, частіше за все - це те значення ознаки, яке займає серединне положення в даному ряду або те, яке має найбільшу частоту;
d - постійна довільна величина, вибирається після того, як знайдені різниці (х-А). Для варіаційного ряду з рівновеликими інтервалами d приймається рівним величині інтервалу. В інших випадках d - це загальний найбільший дільник різниці (х-А).
Середня гармонійна - це величина зворотна середньої арифметичної із зворотних значень ознаки.
Проста середня гармонійна - це величина, зворотна середньої арифметичної із зворотних значень ознаки. Середня гармонійна буває простий і зваженою.
Проста середня гармонійна обчислюється за формулою:
_
Х = n / å (1 / X).
Наприклад, на виготовлення одиниці продукції один робочий витрачає 40 хв, а інший - 48 хв. Слід визначити середню витрату часу на виготовлення одиниці продукції.
Якщо обчислити за формулою середньої арифметичної, то отримаємо:
_
Х = (40 +48) / 2 = 44мін.
Це середня неточна, неправильна. Якщо на один виріб витрачається 40 хв, то при 8-годинному робочому дні перший робочий виробляє 12 виробів (8 * 60/40), а другий - 10 виробів (8 * 60/48). Разом вони виробляють у зміну 22 вироби і витрачають 960 хв (480 +480), звідси середні витрати часу обчислити по формулі середньої гармонійної:
_
Х = 2 / (1 / 40 +1 / 48) = 43,6 хв.
Середня гармонійна зважена визначається за формулою:
_
Х = åМ / å (М / г), де М = х * f.
Приклад.
_
Х = åМ / å (М / Х) = (180 +400 +165) / (180 / 1,8 +400 / 2 +165 / 2,3) = 1,98 р.
Середня собівартість одиниці продукції обчислена за формулою середньої гармонійної, так як вихідною базою обчислення середньої собівартості є відношення витрат на виробництво всієї продукції до кількості одиниць продукції.
Вибір виду середньої залежить від завдання, що стоїть перед дослідником, і характеру вихідних даних. Якщо є варіанти і частота, то для розрахунку середньої величини застосовується середня арифметична. У тих випадках, коли є варіанти і твори варіант на частоти (Х * f), а частоти невідомі, для розрахунку середньої величини використовується середня гармонійна.
Середня гармонійна використовується в тих випадках, коли слід обчислити середню з величин, назад пропорційних досліджуваного явища.
Середнє геометричне розраховується за формулою
_
Х = n Öx1 * x2 * ... * xn = n Ön * xi
При застосуванні середньої геометричної індивідуальні значення ознаки являють собою відносні величини динаміки, побудовані у вигляді ланцюгових величин. Середня характеризує середній коефіцієнт зростання.
Середня геометрична використовується так само для визначення рівновіддаленою величини від max і min значень ознаки. Наприклад, страхова фірма укладає договір на надання клієнтам різних послуг медстрахування. Залежно від категорій медслучая, страхова сума може змінюватися від 100 до 10000грн. Середня сума виплат по страхуванню Ö100 * 10000 = 1000 грн.
При розрахунку середньої по згрупованим даними важливе значення має обгрунтування і вибір ваги при розрахунку середньої арифметичної зваженої. Наприклад, є дані про частку експорту у вартості товарної продукції підприємства, що випускає мінеральні добрива.
Середня частка експорту, обчислена як середня арифметична зважена за кількістю підприємств, є формальною середньої:
_
Х = (0,15 * 5 +0,2 * 7 +0,3 * 4) / 16 = 0, 209 = 20,9%
Логічно обгрунтованим можна вважати вибір в якості ваг обсягів товарної продукції, тому що частка експорту
_
Х = (0,15 * 200 +0,2 * 460 +0,3 * 600) / 1260 = 0,24 = 24%
У чисельнику загальна вартість експорту, в знаменнику - загальна вартість продукції за 6предпріятіям.
Застосування середніх хронологічній, геометричної і квадратической обмежується специфічними випадками, які будуть розглянуті в наступних темах.
1. Сутність і значення середніх величин
Середня величина - узагальнююча характеристика досліджуваного ознаки в сукупності. Вона відображає його типовий рівень у розрахунку на одиницю сукупності в конкретних умовах місця і часу.Наприклад, при вивченні доходів робітників концерну узагальнюючої характеристикою служить середній дохід одного робітника. Для його визначення загальну суму коштів, спрямовану на споживання ділять на кількість працівників концерну.
Природно, індивідуальне значення доходу відрізняється від середнього рівня по ряду причин (кваліфікація, стаж, кількість акцій). Середній дохід у свою чергу характеризує те загальне, що властиво всій сукупності робітників підприємства, тобто рівень доходу маси робітників у конкретних умовах функціонування даного концерну в розглянутих умовах.
Важливий внесок в обгрунтування теорії середніх величин вніс великий вчений 19 ст. Адольф Кетле. Відповідно до теорії Кетле масові явища і процеси формуються під впливом двох груп причин:
у першу групу загальних для всіх одиниць сукупності причин відносяться причини, що визначають стан загального процесу. Вони формують типовий рівень:
друга група (індивідуальних) причин формує специфічні особливості окремих одиниць масової сукупності. Ці причини не пов'язані з природою досліджуваного явища, їх називають випадковими причинами.
При обчисленні середньої величини за масою одиниць вплив випадкових причин взаимопогашающиеся і середня, абстрагуючись від індивідуальних особливостей окремих одиниць сукупності, висловлює загальні властивості, притаманні усім одиницям.
Середні величини застосовуються для оцінки досягнутого показника, що вивчається, при аналізі і плануванні виробничо-господарської діяльності підприємств, фірм, банків. Середня величина завжди величина іменована і має ту ж розмірність що і ознака в окремих одиниць сукупності. Основною умовою наукового використання середньої величини є якісна однорідність сукупностей, за якою обчислена середня.
Приклад. Акціонерний капітал ТОВ - 1000тис. грн, кількість робочих 100человек. Середній показник участі в акціонерному капіталі - середня величина пакету акцій - 10тис. грн. Ця величина показує, що капітал компанії знаходиться переважно в руках дрібних власників акцій. У дійсності положення може бути наступним: один акціонер має 1010 акцій на суму 505 тис. грн, а 99 акціонерів - 10 акцій на суму 495 тис. грн. Таким чином існує дві категорії акціонерів. До першої з них ставиться один акціонер з величиною пакета, яка дорівнює 505 тис. грн. і до другої групи - 99акціонеров з середньою величиною пакета акцій 5 тис. грн. Отримана середня не може вважатися надійною оцінкою, так як вона в два рази більше за своєю величиною, ніж індивідуальні пакети акцій 99% акціонерів.
Таким чином, перш ніж обчислювати середні величини, необхідно провести угруповання одиниць досліджуваної сукупності, виділивши якісно однорідні групи.
Середня, розрахована за сукупністю в цілому, називається загальною середньою, а для кожної групи - груповий середньої (народжуваність по регіонах).
Порівняльний аналіз групових і загальних середніх використовується для характеристики соціально-екологічних типів досліджуваного суспільного явища.
Існують дві категорії середніх величин:
Статечні середні (середнє арифметичне, гармонійне).
Структурні (мода, медіана).
При виборі виду середньої величини звичайно виходять з сутності осередненою ознаки і за взаємозв'язку з осередненою показником.
Величина підсумкового показника не повинна змінюватися при заміні індивідуальних значень ознаки середньої величиною. Здатність середніх величин зберігати властивості статистичної сукупності називається певною властивістю.
В економічній практиці широко використовується широке коло показників, обчислених у вигляді середніх величин:
показники середньої зарплати;
середній тривалості робочого дня;
середнього виконання норм виробітку робітника;
середньої врожайності сільгоспкультур і т.д.
У кожному разі середні величини мають певний соціально-економічний зміст, обумовлене природою об'єкта.
Наприклад, по кожній з 10 корів, закріплених за дояркою, добовий удій кожної корови склав:
12,5; 13,0; 13,5; 14,5; 15,5; 16,0; 16,5; 17,0; 17,5 кг.
Середній удій
по групі корів = (12,5 +13 +13,5 +14,5 +15,5 +16 +16,5 +17 +17,5) / 10 =
= 151/10 = 15,1 кг.
Середня величина характеризує всю масу одиниць досліджуваної сукупності і виражає те загальне, що характерно для даної сукупності, не характеризує окремі одиниці.
Середні величини можуть бути як абсолютними, так і відносними. Середній удій (15,1 кг) - абсолютна середня величина. Середній відсоток виконання плану реалізації продукції по групі промислових підприємств являє собою відносну середню величину.
2. Види середніх величин та способи їх обчислення
У статистиці застосовуються різні види середніх величин:Середня арифметична
Середня гармонійна.
Середня геометрична.
Середня квадратична.
Мода, медіана та ін
Найбільш поширеним видом середніх величин у статистиці є середня арифметична. Рідше застосовується середня гармонійна. При обчисленні середніх темпів динаміки використовується середня геометрична, а при обчисленні показників колеблемости величини ознаки застосовується середня квадратична.
2.1 Середня арифметична (проста і зважена)
Середня величина обчислюється як середня арифметична в тих випадках, коли є дані про окремі значеннях варійованої ознаки.Приклад. Припустимо, що є такі дані про щомісячне пробігу вантажних автомашин однієї марки на автобазі:
| Автомашини | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Пробіг Тис. км. | 4,8 | 5,1 | 5,1 | 6,5 | 6,5 | 6,5 | 6,5 | 7,0 | 7,0 | 7,0 |
(4,8 +5,1 +5,1 +6,5 +6,5 +6,5 +6,5 +7,0 +7,0 +7,0) / 10 = 62/10 = 6, 2тис. км.
У цьому прикладі дані про щомісячне пробігу складають варіаційний ряд, а щомісячний пробіг є ознакою, розмір якого коливається - варьирующим ознакою.
Варіаційний ряд може бути даний не впорядковано, тобто окремі його значення (варіанти), можуть бути розташовані в будь-якому порядку (4,8; 6,5; 5,1; 7,0; 6,5), а може бути даний, як у нашому прикладі, упорядкований, тобто коли варіанти розташовані в порядку або зростання, або зменшення їх значень. такий упорядкований варіаційний ряд називається ранжируваною.
Кожна варіанта (значення ознаки) позначається через Х (х1 ... ... .... Х10). якщо ж у варіаційному ряду n варіант, то обчислення середньої можна представити в наступному вигляді:
_
х = (х1 + х2 + ... .... + хn) / n;
Формула розрахунку середньої арифметичної простої:
_
х = åх / n, де
х - значення ознаки,
n - кількість варіант у варіаційному ряду.
У даному прикладі одна автомашина мала пробіг 4,8 тис. км; дві машини - по 5,1 тис. км; чотири - по 6,5 тис. км і три - за 7,0 тис. км.
Згрупуємо тепер автомашини за розмірами пробігу:
| Групи авто (тис. км) | Число авто |
| 4,8 | 1 |
| 5,1 | 2 |
| 6,5 | 4 |
| 7,0 | 3 |
Що б розрахувати середній пробіг за наявними даними необхідно:
_
х = (4,8 * 1 +5,1 * 2 +6,5 * 4 +7,0 * 3) / (1 +2 +3 +4) = 62/10 = 6,2 тис. км.
Порядок обчислення середньої в загальному вигляді:
_
х = (х1 * f1 + x2 * f2 + ... + xn * fn) / (f1 + f2 + ... + fn) = å (x * f) / åf, де
х - значення варіант,
f - значення ваг кожної варіанти (частоти).
Середня арифметична в цій формі називається середньої арифметичної зваженої.
Зіставлення двох розглянутих форм середньої арифметичної показує, що середня арифметична проста і зважена відрізняється один від одного лише способом обчислення.
Призначенням ж і простий і зваженої середньої арифметичної є визначення середнього значення варьирующего ознаки з урахуванням поширеності окремих варіант. Якщо у досліджуваній сукупності варіанти значень ознаки зустрічаються по одному разу або мають однакову вагу (тобто кожна зустрічається однакове число разів), то застосовується середня арифметична проста. Якщо варіанти в сукупності зустрічаються по кілька разів, але мають різні ваги (тобто кожна зустрічається різне число разів), то для визначення середнього значення застосовується середня арифметична зважена.
Іноді варіанти ознаки, за якими обчислюється середня, бувають представлені у вигляді інтервалів (від-до).
Так, наприклад, якщо щомісячний пробіг автомашини за групами автобаз представлений у вигляді інтервалів:
від 4,0 до 5,0 тис. км.
від 5,0 до 6,0 тис. км і т.д. то в цих випадках конкретні значення варіант незмінні. Тому конкретне значення кожної варіанти приймають умовно рівним середині наступного інтервалу. У нашому прикладі середина інтервалу становить: для першої групи - (4,0 + 5,0) / 2 = 4,5 тис. км; для другої групи автобаз - (5,0 +6,0) / 2 = 5,5 тис. км.
Обчислення середини інтервалу іноді ускладнюється тим, що у першої групи інтервального ряду відсутній початкова, а в останньої групи - кінцева межа інтервалу.
Наприклад, для першої групи інтервалу: до 5,0 тис. км; для останньої - 8,0 тис. км і більше.
У цих випадках при визначенні величини варіанти для першої групи виходять з того, що в цій групі величина інтервалу та ж, що і в наступній за нею (тобто другої групи), а при визначенні величини варіанти для останньої групи інтервального ряду розподілу - з припущення, що в останній групі величина інтервалу та ж, що і в попередній групі.
На основі даних таблиці потрібно визначити середній щомісячний пробіг автомашин.
Таблиця. Розподіл автомашин за розміром їх щомісячного пробігу
| Групи автомашин за розміром щомісячного пробігу тис. км. | Число автомашин у цій групі |
| До 5,0 | 40 |
| 5,0 - 7,0 | 80 |
| 7,0 - 8,0 | 130 |
| 8,0 і більше | 50 |
| Разом | 300 |
2гр = (5,0 +7,0) / 2 = 6 тис. км.
3гр = (7,0 +8,0) / 2 = 7,5 тис. км
При обчисленні середини інтервалу для першої групи, виходимо з припущення, що величина інтервалу цієї групи дорівнює величині інтервалу наступної (другої) групи,
тобто 7,0 - 5,0 = 2 тис. км.
У такому випадку початкове значення інтервалу першої групи складе 5,0 - 2,0 = 3,0 тис. км. Отже, середина інтервалу для першої групи складає: (3,0 + 5,0) / 2 = 4 тис. км.
При обчисленні середини інтервалу для останньої групи виходимо з припущення, що вона дорівнює величині інтервалу в попередній (третин) групі, а саме, 8,0 - 7,0 = 1,0 тис. км
Тоді кінцеве значення інтервалу останньої групи одно 8,0 +1,0 = 9,0 тис. км. Отже, середина інтервалу для останньої групи складає: (8,0 +9,0) / 2 = 8,5 тис. км. Результати розрахунків представлені в таблиці.
Таблиця. Показники середнього розміру щомісячного пробігу автомашин.
| Групи машин за розміром їх щомісячного пробігу, тис. км | Середина інтервалу, тис. км | Число автомашин |
| До 5,0 | 4,0 | 40 |
| 5,0-7,0 | 6,0 | 80 |
| 7,0-8,0 | 7,5 | 130 |
| 8,0 і більше | 8,5 | 50 |
_ Х = (4 * 40 +6 * 80 +7,5 * 130 +8,5 * 50) / (40 +80 +130 +50) = 2040/300 = 6,8 тискм
У даному випадку розмір середньої (середній щомісячний розмір пробігу автомашин в цілому) визначається наближено, т.к розрахунок заснований на умовному допущенні рівномірності розподілу варіант в межах кожного інтервалу.
2.2 Властивості середньої арифметичної
У процесі обчислення та статистико-економічного аналізу середньої арифметичної може виявитися корисним знання деяких її математичних властивостей (без розгорнутих доказів).Середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній:
_
А = А при А = const.
Сума відхилень окремих варіант від середньої арифметичної дорівнює "0". Це властивість середньої використовується для перевірки правильності розрахунків, а також дає можливість полегшити обчислення середньої арифметичної.
_
å (Х-Х) = 0
і для згрупованих даних:
_
å (Х-Х) * f = 0.
Сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознак (окремих варіантів) від середньої арифметичної є число найменше:
_
å (Х-Х) 2 = min.
І для згрупованих даних:
_
å (Х-Х) 2 * f = min.
Перші три властивості виражають сутнісні риси даної категорії. Наступні позиції можна розглядати, як обчислювальні, оскільки вони мають деякий прикладне значення.
Якщо всі варіанти ознаки Х збільшити або зменшити на постійне число А, то і з середньої арифметичної відбудеться те ж саме:
_
å (Х ± А) / n = Х ± А.
_
І å (Х ± А) * f / åf = Х ± А.
Якщо всі варіанти розділити на яке-небудь постійне число d, то середня арифметична зменшиться в d раз:
_
å (Х / d) / n = X / d,
_
і å ((Х / d) * f) / åf = X / d.
Якщо всі ваги розділити на яке-небудь постійне число d, то середня арифметична не зміниться:
_
å (X (f / d)) / å (f / d) = (1 / d) * å (X * f) / (1 / d) * åf = X.
З цієї властивості випливають два методичних слідства:
Наслідок 1. Абсолютні значення ваг можна замінювати їх відсотковим вираженням, прийнявши åf = 100,0.
Наслідок 2. Якщо всі ваги рівні між собою, то обчислення середньої арифметичної простої дає результат, аналогічний обчислення середньої арифметичної зваженої.
Прикладні властивості середньої арифметичної можна проілюструвати, застосувавши спрощений спосіб розрахунку, званий "способом моментів".
Формула середньої арифметичної, обчисленої способом моментів, має вигляд:
_
Х = m1 * d + A, де
m1 - перший момент, який вираховується за формулою:
m1 = å ((x-А) / d * f) / åf, де
А - довільна постійна величина, частіше за все - це те значення ознаки, яке займає серединне положення в даному ряду або те, яке має найбільшу частоту;
d - постійна довільна величина, вибирається після того, як знайдені різниці (х-А). Для варіаційного ряду з рівновеликими інтервалами d приймається рівним величині інтервалу. В інших випадках d - це загальний найбільший дільник різниці (х-А).
2.3 Середня гармонійна
Як вказувалося вище, у статистичній практиці в більшості випадків при визначенні середньої величини застосовується середня арифметична. Проте у ряді випадків використовуються і інші види середніх.Середня гармонійна - це величина зворотна середньої арифметичної із зворотних значень ознаки.
Проста середня гармонійна - це величина, зворотна середньої арифметичної із зворотних значень ознаки. Середня гармонійна буває простий і зваженою.
Проста середня гармонійна обчислюється за формулою:
_
Х = n / å (1 / X).
Наприклад, на виготовлення одиниці продукції один робочий витрачає 40 хв, а інший - 48 хв. Слід визначити середню витрату часу на виготовлення одиниці продукції.
Якщо обчислити за формулою середньої арифметичної, то отримаємо:
_
Х = (40 +48) / 2 = 44мін.
Це середня неточна, неправильна. Якщо на один виріб витрачається 40 хв, то при 8-годинному робочому дні перший робочий виробляє 12 виробів (8 * 60/40), а другий - 10 виробів (8 * 60/48). Разом вони виробляють у зміну 22 вироби і витрачають 960 хв (480 +480), звідси середні витрати часу обчислити по формулі середньої гармонійної:
_
Х = 2 / (1 / 40 +1 / 48) = 43,6 хв.
Середня гармонійна зважена визначається за формулою:
_
Х = åМ / å (М / г), де М = х * f.
Приклад.
| Партія деталей | Собівартість однієї деталі Х, р | Витрати на всю партію деталей М, р |
| 1 | 1,8 | 180 |
| 2 | 2,0 | 400 |
| 3 | 2,3 | 165 |
Х = åМ / å (М / Х) = (180 +400 +165) / (180 / 1,8 +400 / 2 +165 / 2,3) = 1,98 р.
Середня собівартість одиниці продукції обчислена за формулою середньої гармонійної, так як вихідною базою обчислення середньої собівартості є відношення витрат на виробництво всієї продукції до кількості одиниць продукції.
Вибір виду середньої залежить від завдання, що стоїть перед дослідником, і характеру вихідних даних. Якщо є варіанти і частота, то для розрахунку середньої величини застосовується середня арифметична. У тих випадках, коли є варіанти і твори варіант на частоти (Х * f), а частоти невідомі, для розрахунку середньої величини використовується середня гармонійна.
Середня гармонійна використовується в тих випадках, коли слід обчислити середню з величин, назад пропорційних досліджуваного явища.
Середнє геометричне розраховується за формулою
_
Х = n Öx1 * x2 * ... * xn = n Ön * xi
При застосуванні середньої геометричної індивідуальні значення ознаки являють собою відносні величини динаміки, побудовані у вигляді ланцюгових величин. Середня характеризує середній коефіцієнт зростання.
Середня геометрична використовується так само для визначення рівновіддаленою величини від max і min значень ознаки. Наприклад, страхова фірма укладає договір на надання клієнтам різних послуг медстрахування. Залежно від категорій медслучая, страхова сума може змінюватися від 100 до 10000грн. Середня сума виплат по страхуванню Ö100 * 10000 = 1000 грн.
При розрахунку середньої по згрупованим даними важливе значення має обгрунтування і вибір ваги при розрахунку середньої арифметичної зваженої. Наприклад, є дані про частку експорту у вартості товарної продукції підприємства, що випускає мінеральні добрива.
| Частка експорту в товарній продукції | Число підприємств | Товарна продукція підприємства тис. грн |
| 0,15 | 5 | 200 |
| 0,2 | 7 | 460 |
| 0,3 | 4 | 600 |
| Разом | 16 | 1260 |
_
Х = (0,15 * 5 +0,2 * 7 +0,3 * 4) / 16 = 0, 209 = 20,9%
Логічно обгрунтованим можна вважати вибір в якості ваг обсягів товарної продукції, тому що частка експорту
_
Х = (0,15 * 200 +0,2 * 460 +0,3 * 600) / 1260 = 0,24 = 24%
У чисельнику загальна вартість експорту, в знаменнику - загальна вартість продукції за 6предпріятіям.
Застосування середніх хронологічній, геометричної і квадратической обмежується специфічними випадками, які будуть розглянуті в наступних темах.