Міністерство освіти РФ
Південно-Уральський державний університет
Кафедра Автоматики і управління
Реферат
з математичних основ теорії систем
на тему
Теорія стійкості систем
Виконав:
Група: ПС-263
Перевірив: різностатева О. А.
Челябінськ
2003
Зміст:
"1-3" 1. Стійкість у сенсі Ляпунова .............................................. ................. 3
2. Властивості стійких систем ............................................... ....................... 4
3. Стійкість тривіального рішення ............................................... ......... 4
4. Стійкість лінійних систем ............................................... ................... 5
5. Стійкість лінійних систем з постійними коефіцієнтами ............ 5
6. Критерії стійкості лінійних систем .............................................. ... 6
7. Другий метод Ляпунова ............................................... ............................... 8
8. Лінеаризація систем диференціальних рівнянь ............................. 10
9. Дослідження стійкості лінійних систем з допомогою другого методу Ляпунова ......................................... .................................................. .............................. 12
10. Дослідження стійкості нелінійних систем за допомогою другого методу Ляпунова ......................................... .................................................. ............................. 12
11. Експоненціальна стійкість ................................................ ............ 16
12. Головна зворотній зв'язок по станам. Метод модального управління 19
13. Асимптотичний спостерігач Люенбергера ....................................... 21
Список літератури ................................................ ....................................... 23
1. Стійкість у сенсі Ляпунова
Під стійкістю системи зазвичай розуміють властивість системи автоматичного регулювання (САР) повертатися до початкового стану після припинення дії зовнішнього збурення. Вважаючи, що САР описується системою звичайних диференціальних рівнянь, розглянемо стійкість розв'язку диференціальних рівнянь. Нехай поведінка САР описується системою звичайних диференціальних рівнянь
де xi - змінні, що характеризують стан системи. Запишемо систему в векторному вигляді:
Введемо в розгляд (n +1)-мірний простір En +1, координатами в якому будуть змінні t, x1, x2, ..., xn. Будемо розглядати тільки такі системи, праві частини яких неперервні по всіх аргументів і мають безперервні приватні похідні через залежні змінним x1, x2, ..., xn в деякій опуклої області G простору En +1. У цьому випадку виконуються умови теореми існування і єдиності, тобто для будь-яких початкових значень t0, x10, x20, ..., xn0 існує і при тому єдине рішення xi = si (t, xi0), i = 1, 2, ..., n, задовольняє початковим умовам si (t0, xi0) = xi0, i = 1, 2, ..., n. Зажадаємо нескінченної продолжаемості даного рішення, тобто будемо вважати функції si (t) визначеними для t0 ≤ t ≤ ¥, причому t0 можна вважати рівним ¥.
Розглянемо деяке рішення xi = si (t) даної системи, визначене на інтервалі [t0, ¥), причому si (t0) = xi0. Рішення si (t), i = 1, 2, ..., n називається стійким за Ляпуновим при t ® ¥, якщо для будь-якого e> 0 існує таке d> 0, залежне від e і t0, що будь-яке рішення xi = ji (t ), для якого при t = t0 виконується нерівність
| Ji (t0)-si (t0) | <d,
задовольняє нерівності
| Ji (t)-si (t) | <e, t0 ≤ t ≤ ¥
для всіх i = 1, 2, ..., n.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Геометрично це означає, що всі рішення, які при t = t0 починаються в d-околі точки (x10, x20, ..., xn0), ніколи не залишать e-трубку рішення si (t) (рис. 1).
Рішення si (t), i = 1, 2, ..., n, називається нестійким, якщо існує e> 0 таке, що для будь-якого d> 0 знайдеться такий момент часу t = t1, що для деякого значення i = k буде виконуватися нерівність
| Jk (t1)-sk (t1) | ³ e,
незважаючи на те, що
| Ji (t0)-si (t0) | <d
для всіх i = 1, 2, ..., n.
Рішення si (t) називається асимптотично стійким, якщо:
1) рішення si (t) стійко за Ляпуновим при t ® ¥;
2) існує таке число H> 0, що для будь-якого рішення ji (t), задовольняє при t = t0 нерівності | ji (t0)-si (t0) | <H, i = 1, 2, ..., n, буде справедливо рівність
Якщо H = ¥, то динамічна система називається стійкою в цілому. Якщо нульовий стан лінійної системи асимптотично стійко, то воно асимптотично стійко у великому, то є асимптотична стійкість виконується для всіх початкових станів і не обмежена станами, досить близькими до нульового стану.
Лінійна система називається стійкою (асимптотично стійкою), якщо її початковий стан стійко (асимптотично стійко). Нелінійні системи можуть мати асимптотично стійкий стан рівноваги, не будучи асимптотично стійкими у великому, тобто стійкість справедлива в локальному сенсі.
2. Властивості стійких систем
Система, описувана векторним диференціальним рівнянням
стійка в сенсі Ляпунова тоді і тільки тоді, коли знайдеться постійна M, яка буде залежати від t, така, що
де Ф (t, t0) - перехідна матриця, тобто
Лінійна система
1) є постійна M, така, що
2)
Вектор стану стаціонарної системи не може зростати швидше, ніж деяка експонента. Це вірно і для нестаціонарної системи за умови, що матриця A (t) залишається обмеженою для всіх t ³ t0.
3. Стійкість тривіального рішення
Дослідження стійкості будь-якого рішення системи
можна звести до дослідження стійкості тривіального рішення
Нехай xi = si (t) - деякий розв'язок системи. Введемо нові змінні yi = xi-si (t), тоді
Очевидно, що gi (0,0, ..., 0) º 0, тобто остання система буде мати тривіальне рішення yi (t) º 0. Ця система має назву системи рівнянь збуреного руху.
Введемо в розгляд два простору: Ex рішень системи
і простір Ey рішень системи
Кожній інтегральної кривої простору Ex відповідає інтегральна крива простору Ey, причому кривої xi = si (t) відповідає yi (t) º 0 (рис. 2). Якщо рішення xi = si (t) стійко в просторі Ex, то рішення yi (t) º 0 стійко в просторі Ey, і навпаки. Тому замість дослідження стійкості рішення xi = si (t) можна дослідити стійкість тривіального рішення.
Тривіальне рішення yi (t) º 0 буде стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого e> 0 існує таке d> 0, залежне від e і від t0, що для будь-якого рішення yi = ji (t), що задовольнить при t = t0 нерівності | ji (t0) | <d, виконується нерівність | ji (t) | <e при t0 ≤ t <¥ для всіх i = 1,2, ..., n.
Особливе значення має стійкість стану рівноваги. Стан рівноваги визначається корінням рівняння
fi (x1, x2, ..., xn) = 0, i = 1,2, ..., n.
4. Стійкість лінійних систем
Розглянемо лінійну систему диференціальних рівнянь
де aij (t) і fi (t) - безперервні функції в полуінтервале t0 ≤ t <¥.
Однорідна система, що відповідає даній, має вигляд
Ця система має тривіальне рішення
Будь-яке рішення однорідної системи диференціальних рівнянь стійко тоді і тільки тоді, коли стійко тривіальне рішення. Звідси випливає, що в лінійній однорідної системі з безперервними коефіцієнтами з стійкості хоча б одного рішення випливає стійкість всіх інших рішень, і навпаки, якщо нестійкий хоча б одне рішення, то всі інші рішення також нестійкі.
Однорідна система диференціальних рівнянь, всі рішення якої стійкі, називається стійкою системою.
Лінійна однорідна система диференціальних рівнянь стійка тоді і тільки тоді, коли кожне її рішення обмежена для t ³ t0.
Лінійна однорідна система диференціальних рівнянь асимптотично стійка тоді і тільки тоді, коли асимптотично стійко її тривіальне рішення.
Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь стійка (асимптотично стійка) тоді і тільки тоді, коли стійка (асимптотично стійка) відповідна однорідна система диференціальних рівнянь.
5. Стійкість лінійних систем з постійними коефіцієнтами
Розглянемо стійкість лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами:
де A - квадратна матриця постійних коефіцієнтів,
Нехай l1, ..., lk - різні коріння характеристичного рівняння det (A-lE) = 0, а e1, ..., ek - максимальні показники ступеня елементарних дільників, які відповідають цим коріння. Рішення вихідної системи має вигляд:
причому Pi (t) - вектор-стовпець, елементами якого є многочлени від t; ступінь цих многочленів не перевищує ei-1.
Для стійкості лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами необхідно і достатньо, щоб коріння характеристичного рівняння системи мали недодатні речові частини, причому елементарні дільники, відповідні коріння характеристичного рівняння з нульовою дійсною частиною, були б простими. З цієї теореми випливає, що лінійна система з постійними коефіцієнтами буде стійкою і у випадку кратних коренів характеристичного рівняння, що лежать на уявної осі площині l, тільки цим коріння повинні відповідати прості елементарні дільники, то є відповідна клітка Жордана має складатися з одного елемента.
Розглянемо стійкість лінійного диференціального рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами:
Характеристичне рівняння:
Це характеристичне рівняння має корінь li кратності ei.
Для стійкості лінійного диференціального рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами необхідно і достатньо, щоб коріння характеристичного рівняння мали недодатні речові частини, причому коріння з нульовою дійсною частиною повинні бути простими.
Для асимптотичної стійкості лінійної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами необхідно і достатньо, щоб речові частини коренів характеристичного рівняння були негативні, тобто характеристичні числа матриці A повинні розташовуватися в лівій півплощині.
6. Критерії стійкості лінійних систем
Критеріями стійкості називаються правила, що дозволяють дослідити стійкість системи без безпосереднього знаходження коренів характеристичного рівняння. Математично всі форми критеріїв стійкості еквівалентні, тому що вони визначають умови, при яких корені характеристичного рівняння лежать в лівій півплощині комплексної площині коренів.
Одним з таких критеріїв є критерій Гурвіца - це алгебраїчний критерій, що дозволяє в аналітичній формі зв'язати умови стійкості з параметрами системи і виділити області стійкості.
Цей критерій полягає в наступному: якщо характеристичне рівняння n-го ступеня має вигляд
D (p) = cnpn + cn-1pn-1 + ... + c1p + c0 = 0,
то для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб при cn> 0 всі n визначників Гурвіца D1, D2, ..., Dn, складені за певною схемою, були позитивні.
Визначники Гурвіца складаються за допомогою таблиці:
за правилами:
1) виписуються по діагоналі всі коефіцієнти характеристичного рівняння, починаючи з cn-1;
2) заповнюються горизонтальні рядки - праворуч від даного коефіцієнта записуються коефіцієнти зі зростаючими індексами, а ліворуч - з убутними. У рядках, де індекс коефіцієнтів менше нуля або більше n, ставляться нулі;
3) відповідний визначник Di вийде отчерківаніем i-го рядка і i-го стовпця.
Для стійкості системи необхідно і достатньо виконання умов:
Необхідною умовою стійкості є позитивність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, тобто ci> 0, i = 1,2, ..., n.
Приклад: дослідити стійкість рішень лінійної однорідної системи зі сталими коефіцієнтами:
Характеристичне рівняння цієї системи:
Матриця Гурвіца має вигляд:
Визначники Гурвіца:
D1 = 3> 0, D2 = 9 - (1-a2b), D3 = D2 × (1-a2b).
Таким чином, для позитивних головних діагональних мінорів матриці Гурвіца потрібно, щоб параметр b задовольняв нерівностей:
Ще одним критерієм, що дозволяє дослідити стійкість системи без безпосереднього знаходження коренів характеристичного рівняння, є критерій Рауса - це алгебраїчний критерій, що дозволяє судити про стійкість системи за коефіцієнтами характеристичного рівняння. Особливо зручний він у тих випадках, коли ці коефіцієнти задані чисельно, а ступінь характеристичного рівняння висока і використання критерію Гурвіца важко.
Критерій Рауса полягає в наступному - для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти першого графи таблиці Рауса були позитивними. Південно-Уральський державний університет
Кафедра Автоматики і управління
Реферат
з математичних основ теорії систем
на тему
Теорія стійкості систем
Виконав:
Група: ПС-263
Перевірив: різностатева О. А.
Челябінськ
2003
Зміст:
"1-3" 1. Стійкість у сенсі Ляпунова .............................................. ................. 3
2. Властивості стійких систем ............................................... ....................... 4
3. Стійкість тривіального рішення ............................................... ......... 4
4. Стійкість лінійних систем ............................................... ................... 5
5. Стійкість лінійних систем з постійними коефіцієнтами ............ 5
6. Критерії стійкості лінійних систем .............................................. ... 6
7. Другий метод Ляпунова ............................................... ............................... 8
8. Лінеаризація систем диференціальних рівнянь ............................. 10
9. Дослідження стійкості лінійних систем з допомогою другого методу Ляпунова ......................................... .................................................. .............................. 12
10. Дослідження стійкості нелінійних систем за допомогою другого методу Ляпунова ......................................... .................................................. ............................. 12
11. Експоненціальна стійкість ................................................ ............ 16
12. Головна зворотній зв'язок по станам. Метод модального управління 19
13. Асимптотичний спостерігач Люенбергера ....................................... 21
Список літератури ................................................ ....................................... 23
1. Стійкість у сенсі Ляпунова
Під стійкістю системи зазвичай розуміють властивість системи автоматичного регулювання (САР) повертатися до початкового стану після припинення дії зовнішнього збурення. Вважаючи, що САР описується системою звичайних диференціальних рівнянь, розглянемо стійкість розв'язку диференціальних рівнянь. Нехай поведінка САР описується системою звичайних диференціальних рівнянь
де xi - змінні, що характеризують стан системи. Запишемо систему в векторному вигляді:
Введемо в розгляд (n +1)-мірний простір En +1, координатами в якому будуть змінні t, x1, x2, ..., xn. Будемо розглядати тільки такі системи, праві частини яких неперервні по всіх аргументів і мають безперервні приватні похідні через залежні змінним x1, x2, ..., xn в деякій опуклої області G простору En +1. У цьому випадку виконуються умови теореми існування і єдиності, тобто для будь-яких початкових значень t0, x10, x20, ..., xn0 існує і при тому єдине рішення xi = si (t, xi0), i = 1, 2, ..., n, задовольняє початковим умовам si (t0, xi0) = xi0, i = 1, 2, ..., n. Зажадаємо нескінченної продолжаемості даного рішення, тобто будемо вважати функції si (t) визначеними для t0 ≤ t ≤ ¥, причому t0 можна вважати рівним ¥.
Розглянемо деяке рішення xi = si (t) даної системи, визначене на інтервалі [t0, ¥), причому si (t0) = xi0. Рішення si (t), i = 1, 2, ..., n називається стійким за Ляпуновим при t ® ¥, якщо для будь-якого e> 0 існує таке d> 0, залежне від e і t0, що будь-яке рішення xi = ji (t ), для якого при t = t0 виконується нерівність
| Ji (t0)-si (t0) | <d,
задовольняє нерівності
| Ji (t)-si (t) | <e, t0 ≤ t ≤ ¥
для всіх i = 1, 2, ..., n.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
t |
x 1 |
x n |
j (t) |
s (t) |
x 10 |
e |
d |
t 0 |
x n0 |
Рис. 1 |
Геометрично це означає, що всі рішення, які при t = t0 починаються в d-околі точки (x10, x20, ..., xn0), ніколи не залишать e-трубку рішення si (t) (рис. 1).
Рішення si (t), i = 1, 2, ..., n, називається нестійким, якщо існує e> 0 таке, що для будь-якого d> 0 знайдеться такий момент часу t = t1, що для деякого значення i = k буде виконуватися нерівність
| Jk (t1)-sk (t1) | ³ e,
незважаючи на те, що
| Ji (t0)-si (t0) | <d
для всіх i = 1, 2, ..., n.
Рішення si (t) називається асимптотично стійким, якщо:
1) рішення si (t) стійко за Ляпуновим при t ® ¥;
2) існує таке число H> 0, що для будь-якого рішення ji (t), задовольняє при t = t0 нерівності | ji (t0)-si (t0) | <H, i = 1, 2, ..., n, буде справедливо рівність
Якщо H = ¥, то динамічна система називається стійкою в цілому. Якщо нульовий стан лінійної системи асимптотично стійко, то воно асимптотично стійко у великому, то є асимптотична стійкість виконується для всіх початкових станів і не обмежена станами, досить близькими до нульового стану.
Лінійна система називається стійкою (асимптотично стійкою), якщо її початковий стан стійко (асимптотично стійко). Нелінійні системи можуть мати асимптотично стійкий стан рівноваги, не будучи асимптотично стійкими у великому, тобто стійкість справедлива в локальному сенсі.
2. Властивості стійких систем
Система, описувана векторним диференціальним рівнянням
стійка в сенсі Ляпунова тоді і тільки тоді, коли знайдеться постійна M, яка буде залежати від t, така, що
де Ф (t, t0) - перехідна матриця, тобто
Лінійна система
1) є постійна M, така, що
2)
Вектор стану стаціонарної системи не може зростати швидше, ніж деяка експонента. Це вірно і для нестаціонарної системи за умови, що матриця A (t) залишається обмеженою для всіх t ³ t0.
3. Стійкість тривіального рішення
Дослідження стійкості будь-якого рішення системи
t |
x 1 |
x n |
j (t) |
s (t) |
x 10 |
e |
d |
t 0 |
x n0 |
Рис. 2 |
t |
x 1 |
x n |
j (t) |
e |
d |
можна звести до дослідження стійкості тривіального рішення
Нехай xi = si (t) - деякий розв'язок системи. Введемо нові змінні yi = xi-si (t), тоді
Очевидно, що gi (0,0, ..., 0) º 0, тобто остання система буде мати тривіальне рішення yi (t) º 0. Ця система має назву системи рівнянь збуреного руху.
Введемо в розгляд два простору: Ex рішень системи
і простір Ey рішень системи
Кожній інтегральної кривої простору Ex відповідає інтегральна крива простору Ey, причому кривої xi = si (t) відповідає yi (t) º 0 (рис. 2). Якщо рішення xi = si (t) стійко в просторі Ex, то рішення yi (t) º 0 стійко в просторі Ey, і навпаки. Тому замість дослідження стійкості рішення xi = si (t) можна дослідити стійкість тривіального рішення.
Тривіальне рішення yi (t) º 0 буде стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого e> 0 існує таке d> 0, залежне від e і від t0, що для будь-якого рішення yi = ji (t), що задовольнить при t = t0 нерівності | ji (t0) | <d, виконується нерівність | ji (t) | <e при t0 ≤ t <¥ для всіх i = 1,2, ..., n.
Особливе значення має стійкість стану рівноваги. Стан рівноваги визначається корінням рівняння
fi (x1, x2, ..., xn) = 0, i = 1,2, ..., n.
4. Стійкість лінійних систем
Розглянемо лінійну систему диференціальних рівнянь
де aij (t) і fi (t) - безперервні функції в полуінтервале t0 ≤ t <¥.
Однорідна система, що відповідає даній, має вигляд
Ця система має тривіальне рішення
Будь-яке рішення однорідної системи диференціальних рівнянь стійко тоді і тільки тоді, коли стійко тривіальне рішення. Звідси випливає, що в лінійній однорідної системі з безперервними коефіцієнтами з стійкості хоча б одного рішення випливає стійкість всіх інших рішень, і навпаки, якщо нестійкий хоча б одне рішення, то всі інші рішення також нестійкі.
Однорідна система диференціальних рівнянь, всі рішення якої стійкі, називається стійкою системою.
Лінійна однорідна система диференціальних рівнянь стійка тоді і тільки тоді, коли кожне її рішення обмежена для t ³ t0.
Лінійна однорідна система диференціальних рівнянь асимптотично стійка тоді і тільки тоді, коли асимптотично стійко її тривіальне рішення.
Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь стійка (асимптотично стійка) тоді і тільки тоді, коли стійка (асимптотично стійка) відповідна однорідна система диференціальних рівнянь.
5. Стійкість лінійних систем з постійними коефіцієнтами
Розглянемо стійкість лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами:
де A - квадратна матриця постійних коефіцієнтів,
Нехай l1, ..., lk - різні коріння характеристичного рівняння det (A-lE) = 0, а e1, ..., ek - максимальні показники ступеня елементарних дільників, які відповідають цим коріння. Рішення вихідної системи має вигляд:
причому Pi (t) - вектор-стовпець, елементами якого є многочлени від t; ступінь цих многочленів не перевищує ei-1.
Для стійкості лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами необхідно і достатньо, щоб коріння характеристичного рівняння системи мали недодатні речові частини, причому елементарні дільники, відповідні коріння характеристичного рівняння з нульовою дійсною частиною, були б простими. З цієї теореми випливає, що лінійна система з постійними коефіцієнтами буде стійкою і у випадку кратних коренів характеристичного рівняння, що лежать на уявної осі площині l, тільки цим коріння повинні відповідати прості елементарні дільники, то є відповідна клітка Жордана має складатися з одного елемента.
Розглянемо стійкість лінійного диференціального рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами:
Характеристичне рівняння:
Це характеристичне рівняння має корінь li кратності ei.
Для стійкості лінійного диференціального рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами необхідно і достатньо, щоб коріння характеристичного рівняння мали недодатні речові частини, причому коріння з нульовою дійсною частиною повинні бути простими.
Для асимптотичної стійкості лінійної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами необхідно і достатньо, щоб речові частини коренів характеристичного рівняння були негативні, тобто характеристичні числа матриці A повинні розташовуватися в лівій півплощині.
6. Критерії стійкості лінійних систем
Критеріями стійкості називаються правила, що дозволяють дослідити стійкість системи без безпосереднього знаходження коренів характеристичного рівняння. Математично всі форми критеріїв стійкості еквівалентні, тому що вони визначають умови, при яких корені характеристичного рівняння лежать в лівій півплощині комплексної площині коренів.
Одним з таких критеріїв є критерій Гурвіца - це алгебраїчний критерій, що дозволяє в аналітичній формі зв'язати умови стійкості з параметрами системи і виділити області стійкості.
Цей критерій полягає в наступному: якщо характеристичне рівняння n-го ступеня має вигляд
D (p) = cnpn + cn-1pn-1 + ... + c1p + c0 = 0,
то для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб при cn> 0 всі n визначників Гурвіца D1, D2, ..., Dn, складені за певною схемою, були позитивні.
Визначники Гурвіца складаються за допомогою таблиці:
за правилами:
1) виписуються по діагоналі всі коефіцієнти характеристичного рівняння, починаючи з cn-1;
2) заповнюються горизонтальні рядки - праворуч від даного коефіцієнта записуються коефіцієнти зі зростаючими індексами, а ліворуч - з убутними. У рядках, де індекс коефіцієнтів менше нуля або більше n, ставляться нулі;
3) відповідний визначник Di вийде отчерківаніем i-го рядка і i-го стовпця.
Для стійкості системи необхідно і достатньо виконання умов:
Необхідною умовою стійкості є позитивність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, тобто ci> 0, i = 1,2, ..., n.
Приклад: дослідити стійкість рішень лінійної однорідної системи зі сталими коефіцієнтами:
Характеристичне рівняння цієї системи:
Матриця Гурвіца має вигляд:
Визначники Гурвіца:
D1 = 3> 0, D2 = 9 - (1-a2b), D3 = D2 × (1-a2b).
Таким чином, для позитивних головних діагональних мінорів матриці Гурвіца потрібно, щоб параметр b задовольняв нерівностей:
Ще одним критерієм, що дозволяє дослідити стійкість системи без безпосереднього знаходження коренів характеристичного рівняння, є критерій Рауса - це алгебраїчний критерій, що дозволяє судити про стійкість системи за коефіцієнтами характеристичного рівняння. Особливо зручний він у тих випадках, коли ці коефіцієнти задані чисельно, а ступінь характеристичного рівняння висока і використання критерію Гурвіца важко.
Таблиця Рауса для характеристичного рівняння виду
D (p) = cnpn + cn-1pn-1 + ... + c1p + c0 = 0
складається наступним чином:
1) у першій та другій рядках таблиці виписуються відповідно коефіцієнти cn,
cn-2, ... і cn-1, cn-3, ...;
2) для визначення коефіцієнта aki таблиці потрібно з (k +1)-го коефіцієнта (i-2)-го рядка (ak +1, i-2) відняти твір множника ri-3 на (k +1)-й коефіцієнт ( i-1)-го рядка (ak +1, i-1), тобто aki = ak +1, i-2-ri-3 × ak +1, i-1. Множник ri-3 є ставлення першого коефіцієнта (i-2)-го рядка (a1, i-2) до першого коефіцієнту (i-1)-го рядка (a1, i-1). Він постійний для кожного рядка.
| i k | 1 | 2 | 3 | |
| 1 | Коефіцієнти | cn | cn-2 | cn-4 |
| 2 | ri | cn-1 | cn-3 | cn-5 |
| 3 | a13 = cn-2-r0cn-3 | a23 = cn-4-r0cn-5 | a33 = cn-6-r0cn-7 | |
| 4 | a14 = cn-3-r1a23 | a24 = cn-5-r1a33 | a34 = cn-7-r1a43 | |
| 5 | a15 = a23-r2a24 | a25 = a33-r2a34 | a35 = a43-r2a44 | |
| ... | ... | ... | ... | ... |
cn> 0, cn-1> 0, a13> 0, a14> 0, ..., a1, n +1> 0.
Приклад: задано характеристичне рівняння
D (p) = 0.104p7 +0.33 p6 +5.5 p5 +15.5 p4 +25 p3 +25 p2 +19.7 p +9.5 = 0
Визначимо стійкість системи. Для цього побудуємо таблицю Рауса:
| Коефіцієнти | an = 0.104 | an-2 = 5.5 | an-4 = 25 | an-6 = 19.7 |
| ri | an-1 = 0.33 | an-3 = 15.5 | an-5 = 25 | an-7 = 9.5 |
| r0 = 0.315 | 0.6 | 17.1 | 1.7 | 0 |
| r1 = 0.55 | 6.0 | 15.8 | 9.5 | 0 |
| r2 = 0.1 | 15.52 | 15.75 | 0 | 0 |
| r3 = 0.386 | 9.7 | 9.5 | 0 | 0 |
| r4 = 1.6 | 0.55 | 0 | 0 | 0 |
| r5 = 0 | 9.5 | 0 | 0 | 0 |
7. Другий метод Ляпунова
Другий, або прямий, метод Ляпунова дозволяє дослідити стійкість розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь, не виробляючи рішення самих рівнянь. Ми будемо досліджувати стійкість тривіального рішення автономних систем диференціальних рівнянь, тобто систем рівнянь виду
При цьому ми припускаємо, що функції fi (x1, ..., xn) мають безперервні приватні похідні по всіх аргументів в деякій опуклої області G:
Розглянемо функції V (x1, ..., xn), визначені і неперервні в області G:
Функція V (x1, ..., xn) називається знакододатнього (знакоотріцательной) у зазначеній області G, якщо для будь-якого
Функція V (x1, ..., xn) називається позитивно визначеною (негативно визначеній) в тій же області G, якщо для будь-якого
Функції V (x1, ..., xn) першого типу називають знакопостояннимі, другого типу - знакоопределеннимі.
Досить просто визначається знакоопределенность в тому випадку, якщо функція V (x1, ..., xn) є квадратичну форму, тобто
SHAPE \ * MERGEFORMAT
F (x) |
grad V (x) |
s (t) |
x 1 |
x 2 |
0 |
Рис. 3 |
Тоді функція V (x1, ..., xn) є позитивно визначеною, якщо позитивно визначена вищевказана квадратична форма.
Дамо знакоопределенной функції V (x1, ..., xn) геометричну інтерпретацію. Розглянемо функцію двох змінних V (x1, x2). На площині x1, x2 лінія V (x1, x2) = с (c - деяке число) представляє собою замкнуту криву, яка містить усередині себе початок координат (рис. 3). При c = 0 крива стягується в початок координат.
Нехай si (t) - деякий розв'язок системи (1), яке задовольняє початковим умовам si (t0) = xi0.
Повної похідної за часом t функції V (x1, ..., xn) в силу системи (1) називається функція
або, враховуючи формулу повної похідної,
З цієї формули випливає, що похідна
Похідна
Позитивно певні функції
Теорема Ляпунова про стійкість свідчить, що якщо для системи рівнянь (1) існує позитивно певна функція
Нехай для системи диференціальних рівнянь (1) існує позитивно певна функція
Теорема Ляпунова про нестійкість стверджує, що якщо для системи рівнянь (1) існує безперервна функція
8. Лінеаризація систем диференціальних рівнянь
Нехай поведінка САР описується системою диференціальних рівнянь
Нехай
а функції ji (x1, ..., xn) містять члени розкладання порядку малості вище першого відносно змінних x1, ..., xn і тому
З урахуванням рівностей (2) систему (1) можна переписати у вигляді
де A = [aij] - числова матриця, а
Система лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами
називається системою першого наближення для системи рівнянь (1).
Функцію fi (x1, ..., xn) можна отримати в іншому вигляді, не тільки розкладанням в ряд Тейлора. Істотно при цьому, щоб нелінійні члени ji (x1, ..., xn) задовольняли умові (3).
Теорема Ляпунова про стійкість за першим наближенням свідчить, що тривіальне рішення системи
асимптотично стійко за Ляпуновим, якщо всі корені характеристичного рівняння матриці A цієї системи мають негативні речові частини, тобто Re li <0, i = 1,2, ..., n.
Згідно з теоремою Ляпунова про нестійкість за першим наближенням, якщо серед коренів характеристичного рівняння матриці A є хоча б один корінь з позитивною дійсною частиною, то тривіальне вирішення даної системи нестійка.
У тому випадку, коли серед коренів характеристичного рівняння є нульові або суто уявні корені, не можна судити про стійкість тривіального рішення даної системи за рівняннями першого наближення. У цьому випадку, званому критичним, стійкість чи нестійкість тривіального рішення залежить від нелінійної частини
Приклад 1: дослідити стійкість тривіального розв'язку системи рівнянь
Система першого наближення для цієї системи має вигляд
Характеристичне рівняння
Його коріння:
Приклад 2: дослідити стійкість тривіального розв'язку системи рівнянь
Система першого наближення:
Характеристичне рівняння:
Його коріння: l1 = l2 =- 1.
Обидва кореня лежать в лівій півплощині, значить, тривіальне рішення системи стійко.
9. Дослідження стійкості лінійних систем з допомогою другого методу Ляпунова.
Розглянемо лінійну стаціонарну систему:
Нехай положення рівноваги цієї системи буде знаходиться в точці
Розглянемо похідну цієї функції в силу рівняння (1):
Ми отримали також квадратичну форму. Тому щоб похідна за часом від функції Ляпунова була негативно певної, ця квадратична форма повинна бути негативно визначеною. Позначимо:
Задамо матрицю G як деяку позитивно певну матрицю. Тоді ми отримаємо рівняння щодо матриці H, яке зветься рівнянням Ляпунова.
Якщо матриця H, знайдена з цього рівняння, є позитивно певної матрицею, то система стійка, в іншому випадку система нестійка.
10. Дослідження стійкості нелінійних систем за допомогою другого методу Ляпунова
Розглянемо аналіз стійкості стану рівноваги деякого класу нелінійних систем автоматичного регулювання з допомогою другого методу Ляпунова. Вважаємо, що нелінійна САР складається з лінійного об'єкта регулювання і нелінійного регулятора. Поведінка об'єкта регулювання описується лінійною системою диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, яка у векторній запису має вигляд:
де
y - скалярна координата, що характеризує вплив регулятора на об'єкт регулювання (регулює вплив).
Матриця А покладається невиродженої (det A
Регулятор має у своєму складі сервомеханізм, управління якого
і чутливий момент, формує сигнал помилки
де
Введемо наступну класифікацію аналізованих нелінійних САР в залежності від характеру коренів характеристичного рівняння матриці A. САР буде:
1) власне стійка, якщо всі корені характеристичного рівняння матриці A мають негативні речові частини, тобто Re li <0;
2) нейтральна за координатами x1, ..., xk, якщо Re l1 = Re l2 = ... = Re lk = 0, а інші коріння мають негативні речові частини;
3) власне нестійка, якщо хоча б один корінь характеристичного рівняння має позитивну речову частину.
Розглянемо випадок, коли корені характеристичного рівняння матриці A прості і задовольняють умові Re li ≤ 0, i = 1,2, ..., n. Визначимо стану рівноваги, які можуть бути в нелінійній САР, описуваної рівняннями (1) - (3). Ці стани рівноваги є рішеннями системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розглянемо допоміжну систему рівнянь:
Нехай визначник цієї системи не дорівнює нулю:
У цьому випадку ця система рівнянь має єдине рішення, яке ми знайдемо за правилом Крамера:
Якщо a2 = 0, то з другого рівняння системи (4) випливає, що e = 0, і, згідно равенствам (7) отримуємо xk = 0 (k = 1, ..., n) і y = 0. Таким чином, система диференціальних рівнянь (1) - (3) має єдиний стан рівноваги з координатами
xk = 0, y = 0 (k = 1, ..., n). (8)
Якщо a2 ¹ 0, то система рівнянь (4) може мати кілька рішень. З (7) і (4) випливає
Це рівняння може мати різні рішення в залежності від знаку величини Ba2 і форми кривої f (e). Якщо Ba2 <0, то рівняння (9) має єдине рішення e = 0, і система рівнянь (4) має рішення (8). Якщо Ba2> 0, то рівняння (9) може мати кілька рішень. Позначимо їх e1, ..., em; тоді система (4) має m рішень, визначених равенствами
xki = Akei (k = 1, ..., n), yi = Bei (i = 1, ..., m). (10)
Таким чином, в залежності від виду нелінійної функції f (e) і значень a2 і B в САР можливі наступні види стану рівноваги:
1) Єдине стан рівноваги (8);
2) Кінцеве число станів рівноваги (10).
Дослідження стійкості будь-якого із станів рівноваги (10) може бути зведене до розгляду стійкості тривіального рішення (8).
Нехай a1 = 1, a2 = 0. Тоді
Дослідження стійкості тривіального рішення системи (11) зручно проводити, коли рівняння приведені до канонічної форми. Канонічної формою рівнянь (11) назвемо такий їх вигляд, коли матриця A приведена до жорданова формі. Для будь-якої числової матриці A існує така невироджена матриця T, що T-1AT = J, де J - жорданова форма матриці A.
Зробимо в системі (11) заміну змінних:
Тоді з (11):
або
Нехай
Ця система рівнянь є канонічною формою рівнянь руху. Ми розглядаємо випадок простих коренів характеристичного рівняння матриці A, тому J = diag A.
Для того, щоб стану рівноваги xk = 0, y = 0 системи рівнянь (11) відповідало єдиний стан рівноваги zk = 0, e = 0 останньої системи рівнянь, потрібно, щоб визначник системи (12) був відмінний від нуля, тобто
Враховуючи, що J-1 = T-1A-1T,
Досліджуємо стійкість тривіального розв'язку системи рівнянь (12), приведеної до канонічної форми. Для дослідження побудуємо функцію Ляпунову спеціального виду, запропоновану А. І. Лур'є, за допомогою цієї функції знайдемо умови, що накладаються на параметри регулятора, при виконанні яких тривіальне рішення систем (12) і (11) асимптотично стійко.
Нехай всі корені характеристичного рівняння det (A-lE) = 0 прості і лежать в лівій півплощині, тобто Re li <0, i = 1,2, ..., n. Функцію Ляпунова будемо шукати у вигляді
Щоб
Складемо повну похідну функції 
Так як B - симетрична, то BT = B, отримаємо
Замінимо C =- (JTB + BJ). Матриця З симетрична, тому
Видно, що
Нехай матриця A стійка, тобто її характеристичні числа лежать в лівій півплощині. Існує теорема, яка стверджує, що якщо С - матриця деякої позитивно певної квадратичної форми, то визначена за формулою (13) матриця B також є матрицею позитивно певної квадратичної форми.
Отримаємо умови, що накладаються на параметри САР для того, щоб функція
Ця умова є необхідною і достатньою умовою негативною визначеності похідної
Згідно з другою теоремі про асимптотичної стійкості станів рівноваги zk = 0, e = 0 системи (12) буде асимптотично стійко. При виконанні нерівності
Це буде означати асимптотичну стійкість тривіального рішення xk = 0, y = 0 системи рівнянь (11). Таким чином, нерівності (14) і (15) є достатньою умовою асимптотичної стійкості стану рівноваги системи (11).
Коли характеристичне рівняння матриці A має один нульовий корінь, то виділимо компоненту z1 вектор-функції
де
Якщо квадратична форма
Для того, аби вираження у фігурних дужках являло собою негативно певну квадратичну форму, необхідно і достатньо, щоб
Якщо b0c0 <0, то можна підібрати таке позитивне a, щоб виконувалося рівність
Тоді похідна буде знакоотріцательной функцією.
11. Експоненціальна стійкість
Нехай вільний рух системи S описується рівнянням
де функція
Вважаємо, що
Крива
Згідно з теоремою Красовського, якщо кожне рішення
де с1, c2, c3, c4 - дійсні числа,
Умови теореми завжди виконуються для лінійних стаціонарних асимптотично стійких систем, і в цьому випадку функція Ляпунова не залежить від t і являє собою квадратичну форму
При t ® ¥ в стійкій вільно рухається системі з функцією Ляпунова виду
Замінимо у другому нерівності з (3) праву частину
Це лінійне диференціальне нерівність, на основі якого можна отримати мажоранту і побудувати мажорірующую модель порівняння.
Це рівняння, відповідне попереднього нерівності чи породжене нерівністю. Рішення цього рівняння має вигляд:
Уявімо отримане рішення у вигляді рівності:
де d (t) - невідома функція часу, про яку можна сказати лише те, що вона неотрицательна для всіх t ³ t0, для яких виконується (5). Тоді рішення:
Оскільки d (t) позитивна, отримаємо нерівність
Якщо вибрати V0 = z0, права частина цієї нерівності стає рівною рішенням (6), і ми отримаємо:
Замінимо в правій частині (7) V0 на бόльшую величину
Отримуючи з обох частин квадратний корінь, одержимо лінійне щодо
Таким чином рішення z (t) рівняння (5a), що визначається (6), буде мажоріровать:
а) функцію Ляпунова V (t), якщо V (t0) ≤ z0, що випливає з (7) і (6);
б) функцію квадрата норми змінної стану
Оскільки матриця H позитивно певна, то всі її власні значення речовинні і позитивні, і ми можемо висловити через них c1 і c2:
де lm (H) - найменше, а lM (H) - найбільше з власних значень матриці H. Далі
Так як H - симетрична, то
Звідси
При цьому в (9) - (10) було використано властивість симетричних речових матриць:
Найбільше lM (H) і найменше lm (H) власні значення матриці H, якщо H позитивно визначена, будуть речовими і позитивними.
Таким чином для функції
Коефіцієнт
Для лінійної стаціонарної системи
маємо
Позначимо
тобто в даному випадку
Таким чином, для квадратичних функцій Ляпунова та для коренів квадратних з них у разі стаціонарної системи всі коефіцієнти в нерівностях (3) Красовського виражені через власні значення матриць H і G.
12. Головна зворотній зв'язок по станам. Метод модального управління
Нехай система S описується рівнянням:
Потрібно знайти таке управління u (t), що вона переводить систему з деякої початкової точки
Будемо шукати управління u (t) у вигляді
- Це головна зворотній зв'язок по станам. Підставимо цю функцію у вихідне рівняння. Отримаємо
Для оцінки стійкості цієї лінійної системи скористаємося першим методом Ляпунова. Згідно з одним методом Ляпунова, у матриці
Таким чином, ввівши модальне керування виду (1), можна забезпечити будь-який заданий розподіл коренів характеристичного рівняння матриці
Методику знаходження модального керування найкраще пояснити на прикладі.
Приклад: потрібно знайти керування, що переводить систему
в стан
Управління будемо шукати у вигляді
Підставимо це управління у вихідне рівняння. Отримаємо
Знайдемо характеристичний поліном цієї матриці:
Задамо коріння характеристичного рівняння такими:
Зробимо інакше: складемо характеристичний поліном, корінням якого будуть
Однак поліном (2) має ті ж самі корені, що і останній поліном, отже, ми записали один і той же, тобто
Два полінома рівні, якщо рівні коефіцієнти при відповідних степенях незалежної змінної (в даному випадку l). Отримаємо систему рівнянь:
Звідси знаходимо, що
1 3. Асимптотичний спостерігач Люенбергера
Розглянемо систему
Якщо ця система повністю спостерігалася, то можна побудувати такий пристрій, який називається асимптотичний спостерігач Люенбергера, на виході якого отримаємо оцінку вектора стану:
де
Назвемо вектором помилки різниця між станом системи
Віднімемо з першого рівняння системи (1) перше рівняння системи (2). Отримаємо
Якщо (A-LCT) - гурвіцева матриця, то
Матриця
Приклад: знайти L для системи
для коренів характеристичного рівняння
Рішення:
Складемо характеристичні поліноми:
Коріння цих поліномів повинні бути рівні, тому прирівнюємо коефіцієнти при відповідних степенях:
Звідси одержимо, що
Щоб
Значить,
Список літератури
1. Математичні основи теорії автоматичного регулювання, т. 1. Під ред. Б. К. Чемоданова. М., 1977
2. Довідковий посібник з теорії систем автоматичного регулювання та керування. Під ред. Є. О. Санковський. Мінськ, 1973.
3. Воронов А. А. Введення в динаміку складних керованих систем.
Так як B - симетрична, то BT = B, отримаємо
Замінимо C =- (JTB + BJ). Матриця З симетрична, тому
Видно, що
Нехай матриця A стійка, тобто її характеристичні числа лежать в лівій півплощині. Існує теорема, яка стверджує, що якщо С - матриця деякої позитивно певної квадратичної форми, то визначена за формулою (13) матриця B також є матрицею позитивно певної квадратичної форми.
Отримаємо умови, що накладаються на параметри САР для того, щоб функція
Ця умова є необхідною і достатньою умовою негативною визначеності похідної
Згідно з другою теоремі про асимптотичної стійкості станів рівноваги zk = 0, e = 0 системи (12) буде асимптотично стійко. При виконанні нерівності
Це буде означати асимптотичну стійкість тривіального рішення xk = 0, y = 0 системи рівнянь (11). Таким чином, нерівності (14) і (15) є достатньою умовою асимптотичної стійкості стану рівноваги системи (11).
Коли характеристичне рівняння матриці A має один нульовий корінь, то виділимо компоненту z1 вектор-функції
де
Якщо квадратична форма
Для того, аби вираження у фігурних дужках являло собою негативно певну квадратичну форму, необхідно і достатньо, щоб
Якщо b0c0 <0, то можна підібрати таке позитивне a, щоб виконувалося рівність
Тоді похідна буде знакоотріцательной функцією.
11. Експоненціальна стійкість
Нехай вільний рух системи S описується рівнянням
де функція
Вважаємо, що
Крива
Згідно з теоремою Красовського, якщо кожне рішення
де с1, c2, c3, c4 - дійсні числа,
Умови теореми завжди виконуються для лінійних стаціонарних асимптотично стійких систем, і в цьому випадку функція Ляпунова не залежить від t і являє собою квадратичну форму
При t ® ¥ в стійкій вільно рухається системі з функцією Ляпунова виду
Замінимо у другому нерівності з (3) праву частину
Це лінійне диференціальне нерівність, на основі якого можна отримати мажоранту і побудувати мажорірующую модель порівняння.
Це рівняння, відповідне попереднього нерівності чи породжене нерівністю. Рішення цього рівняння має вигляд:
Уявімо отримане рішення у вигляді рівності:
де d (t) - невідома функція часу, про яку можна сказати лише те, що вона неотрицательна для всіх t ³ t0, для яких виконується (5). Тоді рішення:
Оскільки d (t) позитивна, отримаємо нерівність
Якщо вибрати V0 = z0, права частина цієї нерівності стає рівною рішенням (6), і ми отримаємо:
Замінимо в правій частині (7) V0 на бόльшую величину
Отримуючи з обох частин квадратний корінь, одержимо лінійне щодо
Таким чином рішення z (t) рівняння (5a), що визначається (6), буде мажоріровать:
а) функцію Ляпунова V (t), якщо V (t0) ≤ z0, що випливає з (7) і (6);
б) функцію квадрата норми змінної стану
Оскільки матриця H позитивно певна, то всі її власні значення речовинні і позитивні, і ми можемо висловити через них c1 і c2:
де lm (H) - найменше, а lM (H) - найбільше з власних значень матриці H. Далі
Так як H - симетрична, то
Звідси
При цьому в (9) - (10) було використано властивість симетричних речових матриць:
Найбільше lM (H) і найменше lm (H) власні значення матриці H, якщо H позитивно визначена, будуть речовими і позитивними.
Таким чином для функції
Коефіцієнт
Для лінійної стаціонарної системи
маємо
Позначимо
тобто в даному випадку
Таким чином, для квадратичних функцій Ляпунова та для коренів квадратних з них у разі стаціонарної системи всі коефіцієнти в нерівностях (3) Красовського виражені через власні значення матриць H і G.
12. Головна зворотній зв'язок по станам. Метод модального управління
Нехай система S описується рівнянням:
Потрібно знайти таке управління u (t), що вона переводить систему з деякої початкової точки
Будемо шукати управління u (t) у вигляді
- Це головна зворотній зв'язок по станам. Підставимо цю функцію у вихідне рівняння. Отримаємо
Для оцінки стійкості цієї лінійної системи скористаємося першим методом Ляпунова. Згідно з одним методом Ляпунова, у матриці
Таким чином, ввівши модальне керування виду (1), можна забезпечити будь-який заданий розподіл коренів характеристичного рівняння матриці
Методику знаходження модального керування найкраще пояснити на прикладі.
Приклад: потрібно знайти керування, що переводить систему
в стан
Управління будемо шукати у вигляді
Підставимо це управління у вихідне рівняння. Отримаємо
Знайдемо характеристичний поліном цієї матриці:
Задамо коріння характеристичного рівняння такими:
Зробимо інакше: складемо характеристичний поліном, корінням якого будуть
Однак поліном (2) має ті ж самі корені, що і останній поліном, отже, ми записали один і той же, тобто
Два полінома рівні, якщо рівні коефіцієнти при відповідних степенях незалежної змінної (в даному випадку l). Отримаємо систему рівнянь:
Звідси знаходимо, що
1 3. Асимптотичний спостерігач Люенбергера
Розглянемо систему
Якщо ця система повністю спостерігалася, то можна побудувати такий пристрій, який називається асимптотичний спостерігач Люенбергера, на виході якого отримаємо оцінку вектора стану:
де
Назвемо вектором помилки різниця між станом системи
Віднімемо з першого рівняння системи (1) перше рівняння системи (2). Отримаємо
Якщо (A-LCT) - гурвіцева матриця, то
Матриця
Приклад: знайти L для системи
для коренів характеристичного рівняння
Рішення:
Складемо характеристичні поліноми:
Коріння цих поліномів повинні бути рівні, тому прирівнюємо коефіцієнти при відповідних степенях:
Звідси одержимо, що
Щоб
Значить,
Список літератури
1. Математичні основи теорії автоматичного регулювання, т. 1. Під ред. Б. К. Чемоданова. М., 1977
2. Довідковий посібник з теорії систем автоматичного регулювання та керування. Під ред. Є. О. Санковський. Мінськ, 1973.
3. Воронов А. А. Введення в динаміку складних керованих систем.