Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Південно-Уральський державний університет
Кафедра Системи управління
Курсова робота
за курсом
Дослідження операцій і Теорія систем
Виконав: Пушніков А.А.
Група: ПС-669
Перевірила Плотнікова Н.В.
Дата «____»____________ 2006р.

Челябінськ
2006р

Зміст
Теорія систем
Моделі системи
Модель чорного ящика
Модель складу
Модель структури
Структурна схема
Динамічна модель
Класифікація моделі
Закономірності моделі
Дослідження операцій
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4

Теорія систем

Моделі системи

Розглядається модель руху жорсткого літального апарату літакового типу. В якості досліджуваного апарату взято якийсь гіпотетичний літак сучасного типу.

Модель чорного ящика

До входів системи відносяться керуючі органи літального апарату і обурення навколишнього середовища. Розглянутий літак володіє органом управління тягою двигуна і аеродинамічними рулями: елерони, закрилки, кермо напряму і висоти (мал. 1). Так само на літак впливає швидкість вітру, температура і щільність навколишнього повітря.

Малюнок 1. Рульова органи ЛА
До виходів ЛА відносяться дані, отримані з датчиків літака. Безпосередньо вимірюється положення літального апарата в просторі щодо нормальної системи координат, для цього використовуються датчики кутового положення і система глобального позиціонування (GPS). Так само вимірюються кутові швидкості, кутові прискорення, лінійні швидкості і лінійні прискорення (перевантаження).

Модель складу

Модель руху літального апарата можна розбити на наступні підсистеми та елементи:
· Аеродинаміка літального апарату. Висловлює повітряний потік навколо літака. Вплив повітряного потоку полягає у створенні сил і моментів.
· Момент і сила тяги, що викликаються двигуном.
· Поступальний рух. Обчислюється швидкість руху літака в зв'язковою системі координат.
· Обертальний рух. Обчислюються кутові швидкості літака в зв'язаній системі координат.
· Навігація. Обчислює положення літака в нормальній системі координат.
· Відносна. Через кути Ейлера або матрицю напрямних косинусів.
· Показання датчиків.
· Сигнали керуючих приводів. Положення ручка тяги, закрилок, елеронів, керма висоти і напряму.

Модель структури

Структура руху літального апарата визначається відносинами між наступними парами елементів, вказані прямі відносини (табл. 1).
Таблиця 1

Аеродинамічні моменти	Кутові швидкості
Аеродинамічні сили	Кутові швидкості
Аеродинамічні сили	Аеродинамічні моменти
Момент, що викликається двигуном	Кутові швидкості
Сила тяги	Швидкість руху літака
Сила тяги	Момент, що викликається двигуном
Швидкість руху літака	Навігація
Навігація	Показання датчиків
Швидкість руху літака	Показання датчиків
Кутові швидкості	Показання датчиків
Сигнали керуючих приводів	Аеродинамічні моменти
Сигнали керуючих приводів	Аеродинамічні сили
Сигнали керуючих приводів	Момент і сила тяги, що викликаються двигуном
Відносна	Кутові швидкості

Структурна схема

Так як в моделі нас цікавить функції кожного елемента системи, розглянемо структурну схему в залежності від сил і моментів, що діють на модель (рис. 2).

F д

кутове положення

(X, y, z)

w

V

M д

M a

F a

Зовнішні впливи

Навігація

Відносна

показання датчиків

Поступальний рух

Обертальний рух

Аеродинаміка

Сила

Момент

Сила тяги

Момент двигуна

Сигнали приводів

Малюнок 2.Структурная схема.

Динамічна модель

Позначення:
- Набір вхідних впливів (входів) у системі - вектор управління (вхід системи);
- Набір вихідних впливів (виходів) в системі - набір даних одержуваних з датчиків буде виходом системи;
- Набір параметрів, що характеризують властивості системи, постійні в усі час розгляду, і які впливають на вихідні впливу системи, - конструктивні і неконструктивні параметри літального апарату;
- Набір параметрів, що характеризують властивості системи, що змінюються під час її розгляду (параметри стану) - лінійні і кутові швидкості, положення в просторі і кутове положення, аеродинамічні сили і моменти, сили і моменти в двигуні;
- Параметр (або параметри) процесу у системі - t;
- Правило - Нелінійна залежність швидкостей і положення в просторі літального апарата від вектора управління;
- Правило - Нелінійна залежність показів датчиків від вектора управління, швидкостей і положення в просторі літального апарату;
- Правило - Нелінійна залежність показів датчиків від швидкостей і положення в просторі.
Тоді модель може бути записана так:

Класифікація моделі

Класифікація системи:
за їх походженням - штучна система, машина;
за описом вхідних і вихідних процесів - c кількісними змінними, безперервна, детермінована система;
за описом оператора системи - параметрезованих, розімкнена, нелінійна;
за способами управління - система керована ззовні, з управлінням типу регулювання;

Закономірності моделі

1. Цілісність. Сукупність аеродинамічній моделі та моделі двигуна дають літальний апарат можливість руху в повітрі.
2. Ієрархічність. Сукупність керуючих елементів, датчиків, аеродинамічної моделі та моделі двигуна дають літальний апарат можливість керованого руху в повітрі.
3. Комунікативність. На політ літального апарату діють температура навколишнього середовища, швидкість і напрямок вітру, щільність повітря і ін
4. Еквіфінальними. Рано чи пізно, літак змушений буде приземлиться або розіб'ється. Т.ч. швидкості, прискорення, моменти, і сили будуть рівні нулю.

Дослідження операцій

Задача 1

Авіакомпанія «Небесний вантажівка», яка обслуговує периферійні райони країни, має в своєму розпорядженні А ₁ літаками типу 1, А ₂ літаками типу 2, А ₃ літаками типу 3, які вона може використовувати для виконання рейсів протягом найближчої доби. Вантажопідйомність (в тисячах тонн) відома: В ₁ для літаків типу 1, В ₂ для літаків типу 2, В ₃ для літаків типу 3.
Авіакомпанія обслуговує два міста. Першому місту потрібно тоннаж в С _1, а другому - в С ₂ т. Надмірна тоннаж не оплачується. Кожен літак протягом дня може виконати тільки один рейс.
Витрати, пов'язані з перельотом літаків за маршрутом «центральний аеродром - пункт призначення», позначені символом a _ij, де перший індекс відповідає номеру міста, а другий - типу літака.
А ₁ = 8, А ₂ = 15, А ₃ = 12, В ₁ = 45, В ₂ = 7, У ₃ = 4, С ₁ = 20000, З ₂ = 30000, a ₁₁ = 23,
a ₁₂ = 5, a ₁₃ = 1.4, a ₂₁ = 58, a ₂₂ = 10, a ₂₃ = 3.8.
Рішення
1. Складемо математичну модель задачі. Візьмемо в якості цільової функції витрати на перельоти літаків (відповідно, необхідна мінімізація цільової вункціі), а в якості змінних - число рейсів на день x _ij, де перший індекс відповідає номеру міста, а другий - типу літака.
Цільова функція:

Обмежень завдання:

Основне завдання лінійного програмування:

2. Праву частина рівнянь (обмеження і цільову функцію) представляємо у вигляді різниці між вільним членом і сумою всіх інших:


Складемо симплекс - таблицю:

	bi		x 11		x 12		x 13		x 21				x 22				x 23
	0		23		5		7 / 5		58				10				19 / 5
y 1	8		1		0		0		1				0				0
y 2	15		0		1		0		0				1				0
y 3	12		0		0		1		0				0				1
y 4	-20000		-45		-7		-4		0				0				0
y 5	-30000		0		0		0		-45				-7				-4
	bi		x 11		x 12		x 13		x 21			x 22				x 23
	0		23		5		7 / 5		58			10				19 / 5
		-150		0		-10		0		0				-10				0
y 1	8		1		0		0		1			0				0
		0		0		0		0		0				0				0
y 2	15		0		1		0		0			1				0
		15		0		1		0		0				1				0
y 3	12		0		0		1		0			0				1
		0		0		0		0		0				0				0
y 4	-20000		-45		-7		-4		0			0				0
		0		0		0		0		0				0				0
y 5	-30000		0		0		0		-45			-7				-4
		105		0		7		0		0				7				0

	bi		x 11		x 12		x 13		x 21		y 2		y 3
	-978 / 5		23		-5		-12 / 5		58		-10		-19 / 5
		464		-58		0		0		-58		0		0
y 1	8		1		0		0		1		0		0
		8		1		0		0		1		0		0
x 22	15		0		1		0		0		1		0
		0		0		0		0		0		0		0
x 23	12		0		0		1		0		0		1
		0		0		0		0		0		0		0
y 4	-20000		-45		-7		-4		0		0		0
		0		0		0		0		0		0		0
y 5	-29847		0		7		4		-45		7		4
		360		45		0		0		45		0		0

	bi		x 11		x 12		x 13		y 1		y 2		y 3
	1342 / 5		-35		-5		-12 / 5		-58		-10		-19 / 5
x 21	8		1		0		0		1		0		0
x 22	15		0		1		0		0		1		0
x 23	12		0		0		1		0		0		1
y 4	-20000		-45		-7		-4		0		0		0
y 5	-29487		45		7		4		45		7		4

Відповідь: Завдання не має допустимого рішення

Задача 2

№ вар	з 1		з 2		з 3		з 4		з 5		з 6		b 1		b 2		b 3		Знаки обмежень							a 11		a 12		a 13	a 14
																			1		2			3
8	2		6		2		-2		2		0		2		6		1		=		=			=		-1		2		1	0
№ вар.		a 15		a 16		a 21		a 22		a 23		a 24		a 25		a 26		a 31		a 32		a 33	a 34		a 35		a 36		Тип екстра.
8		0		0		2		1		1		1		2		0		1		-1		0	0		1		0		max

1. Основне завдання лінійного програмування:


Праву частина рівнянь (обмеження і цільову функцію) представляємо у вигляді різниці між вільним членом і сумою всіх інших:


2. Складемо симплекс - таблицю:

	bi		x 1		x 2
	2		-4		-6
x 3	2		-1		2
x 4	2		1		1
x 5	1		1		-1

3. Вирішимо задачу лінійного програмування.

	bi		x 1		x 2
	2		-4		-6
		6		-3		3
x 3	2		-1		2
		1		-0.5		0.5
x 4	2		1		1
		-1		0.5		-0.5
x 5	1		1		-1
		1		-0.5		0.5

	bi		x 1		x 3
	8		-7		3
		21 / 4		21 / 4		-21 / 8
x 2	1		-0.5		0.5
		3 / 8		3 / 8		-3/16
x 4	1		1.5		-0.5
		3 / 4		3 / 4		-3 / 8
x 5	2		0.5		0.5
		-3 / 8		-3 / 8		3 / 16

	bi		x 4		x 3
	53 / 4		21 / 4		3 / 8
x 2	11 / 8		3 / 8		5 / 16
x 1	3 / 4		3 / 4		-3 / 8
x 5	13 / 8		-3 / 8		11/16

Оптимальне рішення знайдено.
Відповідь: F = 53 / 4, x ₁ = 3 / 4, x ₂ = 11 / 8, x ₃ = 0, x ₄ = 0, x ₅ = 13 / 8, x ₆ = 0.

Задача 3

№ вар.	а 1	а 2	а 3	b 1	b 2	b 3	b 4	b 5	з 11	з 12	з 13
8	200	200	600	200	300	200	100	200	25	21	20

№ вар.	з 14	з 15	з 21	з 22	з 23	з 24	з 25	з 31	з 32	з 33	з 34	з 35
8	50	18	15	30	32	25	40	23	40	10	12	21

Вихідні дані:

	B 1	B 2	B 3	B 4	B 5	а i
A 1	25	21	20	50	18	200
A 2	15	30	32	25	40	200
A 3	23	40	10	12	21	600
b i	200	300	200	100	200	1000

Визначення опорного плану задачі
L = 5000 +9000 +6400 +2500 +4200 = 27300
r + m-1 = 7> 5 це вироджений випадок.

Визначення оптимального плану
1.


2.


3.



4.



5. Результат
6.



Так у системі немає позитивних чисел, то знайдений план називається оптимальним.

Відповідь: F = 19100

Задача 4

№	b 1	b 2	c 11	c 12	c 22	extr	a 11	a 12	a 21	a 22	p 1	p 2	Знаки огр.
													1	2
8	1	2	-1	0	-1	max	1	2	1	1	16	8	£	=

Наведемо систему до стандартного вигляду:

Визначення стаціонарної точки:

Очевидно, що дані координати не задовольняють умовам обмежень.
1. Перевірка стаціонарної точки на відносний max або min:

Стаціонарна точка є точкою відносного максимуму.
2. Складання функції Лагранжа:

3. Застосуємо теорему Куна-Таккера:



Знаходження рішення системи:
Перепишемо цю систему, залишивши всі змінні в лівій частині:
З рівняння 3 системи випливає, що x ₁ = 8-x _2:

Тоді:

Для звернення нерівностей системи в рівності введемо V _1, V _2, W і перетворимо систему:

Запишемо умови доповнює нежорсткої:

4. Метод штучних змінних:
Введемо штучні змінні , в перше і друге рівняння зі знаками, співпадаючими зі знаками відповідних вільних членів:

Далі вирішуємо отриману завдання лінійного програмування, для цього з 1 і 2 рівнянь висловлюємо змінні , і приймаємо їх у якості базисних.

Складаємо симплекс-таблицю:

	bi		x 2		u 1		u 2		V 1		V 2
	-17M		-4M		-M		0		-M		M
		M		M		0.5M		-0.5M		0		-0.5M
z 1	15		2		-1		1		1		0
		1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
z 2	2		2		2		-1		0		-1
		1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
W	8		-1		0		0		0		0
		0		0		0		0		0		0

	bi		x 2		z 2		u 2		V 1		V 2
	-16M		-3M		0.5M		-0.5M		-M		0.5M
		3M		3M		1.5M		-1.5M		0		-1.5M
z 1	16		3		0.5		0.5		1		-0.5
		-3		-3		-1.5		1.5		0		1.5
u 1	1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
		1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
W	8		-1		0		0		0		0
		1		1		0.5		-0.5		0		-0.5

	bi		u 1		z 2		u 2		V 1		V 2
	-13M		3M		2M		-2M		-M		-M
		13M		-3M		M		2M		M		M
z 1	13		-3		1		2		1		1
		13		-3		1		2		1		1
x 2	1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
		0		0		0		0		0		0
W	9		1		0.5		-0.5		0		-0.5
		0		0		0		0		0		0

	bi		u 1		z 2		u 2		z 1		V 2
	0		0		3M		0		M		0
V 1	13		-3		1		2		1		1
x 2	1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
W	9		1		0.5		-0.5		0		-0.5

u ₁ = u ₂ = z ₁ = z ₂ = V ₂ = 0
V ₁ = 13
x ₂ = 1
W = 9
x ₁ = 8-x ₂ = 7


Відповідь: x ₂ = 1, x ₁ = 7,

Список використаної літератури

1. Волков І. К., Загоруйко Є. А. Дослідження операцій. - Москва: Видавництво МГТУ імені Баумана М. Е., 2000р. - 436с.
2. Плотнікова Н.В. «Дослідження операцій» Частина 1. Лінійне програмування.
3. Плотнікова Н.В. «Лекції з курсу теорія систем»