Вища математика
Контрольна робота № 1
Варіант 3
Завдання № 1
Дана система лінійних алгебраїчних рівнянь:
Тр ебуется:
Записати матрицю коефіцієнтів (А) і вільних членів ( );
Вирішити систему методом Гаусса та (у разі її невиродженого) Крамера.
Рішення.
Запишемо матрицю коефіцієнтів:
Матриця вільних членів:
Вирішимо систему методом Гаусса.
Запишемо розширену матрицю системи і перетворимо її методом Гауса (приведемо до східчастого виду за допомогою елементарних перетворень рядків):
Крок 1: з рядка 2 віднімаємо рядок 1, помножену на 2; з рядка 3 віднімаємо рядок 1;
Крок 2: з рядка 3 віднімаємо рядок 2;
Отримали виродження систему рівнянь, тому що якщо записати рівняння по останньому рядку перетвореної матриці, отримаємо 0 = -1, що невірно. Значить, задана система не має рішень.
Відповідь: рішення системи не існує.
Завдання № 2
Вирішити матричне рівняння:
АXB т + m AB = С
, і , M = 2.
Рішення.
Для того, щоб вирішити заданий матричне рівняння, перенесемо всі відомі складові в праву частину, а невідомі залишимо в лівій:
Потім обидві частини рівняння домножити справа на матрицю, зворотну до транспонованої матриці В, і домножити зліва на матрицю, зворотний до матриці А, отримаємо:
де Е - одинична матриця.
Для того, щоб знайти Х, знайдемо всі необхідні матриці, потім перемножимо їх.
(*)
Запишемо транспоновану матрицю B т, для чого на місце стовпців запишемо відповідні рядки:
Обчислимо твір матриць А і В, потім помножимо отриману матрицю на m = 2:
Віднімемо отриману матрицю з матриці С:
Тепер знайдемо матриці .
Підставляємо всі знайдені матриці в рівняння (*)
Відповідь: .
Завдання № 3
Дано вектори:
, і .
Потрібно:
- Знайти довжину вектора ;
- Обчислити скалярний твір ;
- Знайти координати вектора ;
- Встановити, чи є система векторів , , лінійно залежною.
Рішення.
Довжина (модуль) вектора знаходиться за формулою:
Значить, довжина вектора дорівнює:
Скалярний добуток векторів і шукається наступним чином:
Підставляємо координати векторів і .
Додавання і віднімання векторів полягає в поелементному відповідно складання або віднімання їх координат. Щоб помножити вектор на число, необхідно помножити кожну координату вектора на це число. Тому:
Для того, щоб визначити, чи є система з трьох векторів, лінійно незалежної, досить обчислити визначник третього порядку, складений з координат цих векторів. Якщо визначник виявиться рівним 0, отже, система векторів лінійно залежна, якщо визначник буде відмінний від 0 - система векторів лінійно незалежна. Координати векторів будуть рядками визначника. Обчислимо визначник, розклавши його на першу колонку.
Так як визначник не дорівнює 0, отже, система векторів лінійно незалежна.
Відповідь: 1) , 2) , 3) ; 4) система векторів лінійно незалежна.
Завдання № 4
Дано координати точок:
Потрібно:
знайти загальне рівняння прямої , Що проходить через точки А 1 і А 2;
знайти рівняння прямої , Що проходить через точку паралельно прямий ;
знайти відстань між прямими і ;
написати рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно прямий і знайти координати точки перетину цих прямих;
побудувати схематичне креслення.
Рішення.
Спочатку запишемо рівняння прямої, що проходить через дві точки М 1 (x 1, y 1) і М 2 (x 2, y 2):
Підставляємо координати точок А 1 і А 2 і отримуємо:
Перетворимо отримане рівняння і отримаємо загальне рівняння прямої :
Запишемо рівняння прямої у вигляді :
Якщо прямі паралельні, то вони мають однаковий коефіцієнт k. Значить пряма має вигляд . Так як вона проходить через точку , Значить можемо підставити координати цієї точки і знайти b:
Рівняння прямої : або
Якщо дві паралельні прямі задані загальними рівняннями і , То відстань між ними можна обчислити за формулою:
Підставляючи коефіцієнти з рівнянь прямих і , Отримуємо:
Рівняння прямої, що проходить через точку М1 (x 1, y 1) і перпендикулярної до прямої , Представляється рівнянням:
Підставимо координати точки і коефіцієнти рівняння прямої :
Координати точки перетину прямих і знайдемо, вирішивши систему рівнянь:
Координати точки перетину прямих D (0,5; 5,5).
На малюнку зобразимо всі необхідні прямі і точки:
Відповідь: 1) , 2) , 3) ; 4) ; D (0,5; 5,5) ..
Завдання № 5
Побудувати на площині область рішень і визначити координати кутових точок області рішень системи нерівностей:
Рішення.
Побудуємо прямі:
На малюнку зображені прямі і виділена цікавить нас область рішень S.
Кутовими точками цій галузі є точки А, В, С і D. Знайдемо їх координати, як координати точок перетину відповідних двох прямих:
Отже, координати кутових точок області рішень нерівностей:
Відповідь: .
Завдання № 6
Не застосовуючи правило Лопіталя, обчислити наступні межі
1. , Якщо: а) , Б) , В) .
2.
Рішення.
а)
б)
в)
Введемо заміну , Тоді . Потім домножити чисельник і знаменник на вираз, поєднане чисельника:
Відповідь: 1) а) 2; б) 0; в) 6; 2) 2.
Завдання № 7
Задана функція попиту від ціни товару . Знайти еластичність попиту за ціною при ціні , І дати економічну інтерпретацію.
Рішення.
Еластичність функції y щодо змінної х обчислюється за формулою
Обчислимо похідну функції q по p і підставимо наші значення в формулу:
Підставимо значення , Тоді отримаємо:
Отримане значення еластичності попиту за ціною показує, що якщо ціна збільшиться на 1%, то попит знизиться на %.
Відповідь: .
Завдання № 8
Дослідити функцію і побудувати її графік:
Рішення.
Область визначення функції
Функція не є періодичною.
Функція є непарною, тому що
Так як функція непарна, значить точка перетину з віссю Оу - це початок координат, тобто точка (0, 0).
Точки перетину з віссю Ох: , Тобто тільки точка (0, 0).
y (x) неперервна на всій області визначення D (x), значить точок розриву немає, вертикальних асимптот немає.
Так як межі нескінченні, значить, горизонтальних асимптот немає.
Знайдемо похилі асимптоти виду , Якщо вони є:
Пряма буде похилій асимптотой.
Знайдемо екстремуми функції та інтервали зростання і зменшення. Для цього знайдемо точки, в яких перша похідна звертається до 0:
Тобто критичною є точка .
Але в точці x = 0, похідна не змінює знак, тому ця точка не є точкою екстремуму.
На всій області визначення функції y (x) похідна , Отже, функція зростає.
Знайдемо інтервали опуклості і угнутості кривої, а також точки її перегину. Для цього знайдемо точки, в якій друга похідна змінює знак.
Значить, функція має три точки перегину: .
На кожному з проміжків і друга похідна , Отже, функція увігнута. На кожному з проміжків і друга похідна , Отже, функція опукла.
Побудуємо графік функції
Завдання № 9
Знайти градієнт функції в зазначеній точці:
, М (1,1);
Рішення.
Градієнт функції в точці знаходиться за формулою:
Обчислимо приватні похідні заданої функції Z та їх значення в точці :
Підставимо значення приватних похідних в точці в формулу для обчислення градієнта в точці, отримаємо:
Відповідь: .