Підсумовування розбіжних рядів

Зміст

Введення

Глава 1. Основні поняття теорії рядів

1.1 Визначення і терміни

1.2 Витоки проблеми

Глава 2. Метод статечних рядів

2.1 Суть методу

2.2 Теорема Абеля

2.3 Теорема Таубер

Глава 3. Метод середніх арифметичних

3.1 Суть методу

3.2 Взаємовідносини між методами Пуассона-Абеля і Чезаро

3.3 Теорема Харді-Ландау

3.4 Застосування узагальненого підсумовування до множення рядів

Глава 4. Інші методи узагальненого підсумовування

4.1 Методи Г.Ф. Вороного

4.2 Узагальнені методи Чезаро

4.3 Метод Бореля

4.4 Метод Ейлера

Висновок

Список використаної літератури

Введення

Як ми вже знаємо математичний аналіз, займається проблемами вивчення безлічі об'єктів, таких як: числа, змінні, функції, послідовності, ряди та ін При вивченні властивостей того чи іншого об'єкта можуть виникати прогалини або "порожнечі". Це виникає тоді, коли наука не може пояснити: "Чому відбувається так, а не інакше?". Такий казус існував деякий час і при вивченні рядів, а точніше при вивченні розбіжних рядів.

При вивченні рядів заданому числовому ряду

(А)

в якості його суми ми приписували межа її часткової суми , У припущенні, що ця межа існує і кінцевий. "Коливний" розходиться ряд виявлявся позбавленим суми і подібні ряди, як правило, з розгляду виключали. Природно виникає питання про можливість підсумовування розбіжних рядів у якомусь новому сенсі, звичайно відмінному від звичайного. Це питання виникло ще до другої половини XIX століття. Деякі методи такого підсумовування виявилися досить-таки плідними.

У даній роботі я хочу розглянути ці методи, звернути увагу на те, де і який метод найбільш застосовний, вивчити зв'язок між цими методами. Моя робота складається з 4 глав, перша з яких містить основні терміни та визначення необхідних для роботи. Наступні глави розглядають безпосередньо самі методи підсумовування. Друга і третя глави присвячені двом основним методам підсумовування: метод степеневих рядів і метод середніх арифметичних, а третя містить відомості про інших існуючих, але рідше застосовуваних методах. Кожна з чотирьох глав містить приклади підсумовування рядів з даного конкретного методу.

Глава 1. Основні поняття теорії рядів

1.1 Визначення і терміни

Як ми згадали спочатку мета нашого дослідження - розбіжні ряди. А що ж таке, взагалі, ряд?

Нехай задана деяка нескінченна послідовність чисел

(1)

Складена з цих чисел символ

(2)

називається нескінченним поруч, а самі числа (1) - членами ряду. Замість (2), користуючись знаком суми, часто пишуть так:

(2а)

Станом послідовно складати члени ряду, складаючи (у нескінченній кількості) суми;

(3)

їх називають частковими сумами ряду.

Кінцевий або нескінченну границю А часткової суми ряду (2) при :

називають сумою ряду і пишуть

,

Надаючи тим самим символу (2) або (2а) числовий сенс. Якщо ряд має кінцеву суму, його називають збіжним, в іншому ж випадку (тобто якщо сума дорівнює , Або ж суми зовсім немає) - розбіжним.

Прімери.1) найпростішим прикладом нескінченної низки є вже знайома геометрична прогресія:

Його часткова сума буде (якщо )

Якщо знаменник прогресії, q, за абсолютною величиною менше одиниці, то має кінцевий межа

тобто наш ряд сходиться, і буде його сумою.

При та ж прогресія дає приклад розходиться ряду. Якщо , То його сумою буде нескінченність (певного знака), в інших випадках суми зовсім немає. Відзначимо, зокрема, цікавий ряд, який виходить при a = 1 і q = - 1;

... 1 + (-1) +1 + (-1) +1 + ...

Його часткові суми поперемінно рівні то 1, то 0.

2) Легко встановити расходимость ряду

Справді, так як члени його зменшуються, то його n-я часткова сума

і зростає до нескінченності разом з n.

1.2 Витоки проблеми

Різні факти з галузі математичного аналізу, як, наприклад, розбіжність, твори двох збіжних рядів, природно висунули вищезазначене питання: "Про можливість підсумовування розбіжних рядів, в якомусь новому значенні".

Потрібно сказати, що до створення Коші суворої теорії меж (і пов'язаної з нею теорії рядів) розходяться ряди нерідко зустрічалися в математичній практиці.

Хоча застосування їх при доказах і оскарженню, проте іноді робилися спроби надавати їм навіть числовий сенс.

Згадаймо, знову, наш коливний ряд

Ще з часів Лейбніца в якості "суми" приписувалося число . Ейлер, наприклад, мотивував це тим, що з розкладання

(Яке насправді має місце лише для ) При підстановці замість х одиниці якраз і виходить

У цьому вже містилося зерно істини, але постановці питання не вистачало чіткості; самий свавілля у виборі розкладання залишав відкритою можливість, скажімо з іншого розкладу (де п і т - будь-які, але )

отримати одночасно

Сучасний аналіз ставить питання по-іншому. В основу кладеться те чи інше точно сформульоване визначення "узагальненої суми" ряду, не придумане тільки для конкретно цікавить нас числового ряду, але застосовні до цілого ряду класів таких рядів. Визначення "узагальненої суми" зазвичай підпорядковується двом вимогам.

По-перше, якщо ряду приписується "узагальнена сума" А, а ряду - "Узагальнена сума" В, то ряд , Де p, q - дві довільні постійні, то повинен мати в якості "узагальненої суми" число . Метод підсумовування, що задовольняє цій вимозі, називається лінійним.

По-друге, нове визначення має містити звичайне визначення як окремий випадок. Точніше кажучи, ряд, що сходиться в звичайному сенсі до суми А, повинен мати "узагальнену суму", і то також рівну А. Метод підсумовування, що володіє цією властивістю, називають регулярним. Зрозуміло, інтерес представляють лише такі регулярні методи, які дозволяють встановлювати "суму "у більш широкому класі випадків, ніж звичайний метод підсумовування: лише тоді з повним правом можна говорити про" узагальненому підсумовуванні ". Ми переходимо до тепер безпосередньо до розгляду особливо важливих з точки зору додатків методів 'узагальненого підсумовування".

Глава 2. Метод статечних рядів

2.1 Суть методу

Цей метод, в істотному належить Пуассону, який зробив першу спробу застосувати його до тригонометричних рядів. Він полягає в наступному.

За даним числовому ряду (А) будується степеневий ряд

(1)

Якщо цей ряд для сходиться і його сума при має межу А:

,

то число А і називають "узагальненої (в сенсі Пуассона) сумою" даного ряду. Прімери.1) Ряд, розглянутий Ейлером:

Тут вже в силу самого визначення призводить до статечному ряду, сума якого при прагне до межі . Значить, число , Дійсно, є "узагальненої сумою" зазначеного в точній встановленому тут сенсі.

2) Візьмемо більш загальний приклад: тригонометричний ряд

(2)

є розбіжним при всіх значеннях

Дійсно, якщо має вигляд , Де і - Натуральні числа, то для значень , Кратних , Буде , Так що порушене необхідна умова збіжності ряду. Якщо ж відношення ірраціонально, то, розкладаючи його на нескінченну безперервний дріб і складаючи відповідні знаки , Будемо мати, як відомо,

звідки

Таким чином, для нескінченної кількості значень

, Так що .

Це також свідчить про порушення необхідної умови збіжності. Якщо утворити степеневий ряд:

(Тут буква замінює колишню букву ), То його сума при значенні , Відмінному від 0, буде

(3)

і при прагне до 0. Таким чином, для "Узагальненої сумою" ряду буде 0. якщо , То ряд (2), очевидно має суму, рівну Та проте, вираз (3), яке в цьому випадку зводиться до , Також має межею .

3) Аналогічно ряд

,

який сходиться лише при або , Призводить до статечному ряду

.

Так що "узагальнена сума" на цей раз виявляється рівною при і рівною нулю при .

Безпосередньо ясно, що даний метод "узагальненого підсумовування" є лінійним. Що ж до регулярності цього методу, то вона встановлюється наступною теоремою належить Абелю.

2.2 Теорема Абеля ¹

Теорема. Якщо ряд (А) сходиться і має суму А (у звичайному сенсі), то для сходиться степеневий ряд (1), і його сума прагне до межі А, коли .

Доказ. Почнемо з того, що радіус збіжності ряду (1) не менше 1, так що для ряд (1), дійсно, сходиться. Ми мали вже тотожність

(Де ); Віднімемо його почленно з тотожності

.

Вважаючи , Прийдемо до тотожності

(4)

Так як то по довільно заданому знайдеться такий номер , Що , Лише тільки .

Розіб'ємо суму ряду в правій частині (4) на дві суми

Друга оцінюється відразу і незалежно від :

Що ж стосується першої, то вона прагне до 0 при і при достатній близькості до 1 буде

так що остаточно що і доводить твердження.

Якщо ряд (А) підсумовуємо по Пуассону-Абелю до суми А, то в звичайному сенсі, як ми бачили, він може і не мати суми. Іншими словами з існування межі

, (5)

взагалі кажучи, не випливає збіжність ряду (А). Природно виникає питання, які додаткові умови слід накласти на поведінку членів цього ряду, щоб з (5) можна було укласти про збіжність ряду ( ), Тобто про існування для нього суми у звичайному сенсі. Перша теорема в цьому напрямі була доведена Таубер.

2.3 Теорема Таубер

Теорема. Нехай ряд (1) сходиться при 0 <x <1, і має місце граничне рівність (5). Якщо члени ряду (А) такі, що

(6)

то й

Доказ. Розіб'ємо доказ на дві частини. Спочатку

припустимо, що Якщо покласти то при величина , Монотонно убуваючи, прагне до нуля.

Маємо при будь-якому натуральному N

так що:

Взявши довільно мале число , Покладемо

Так що при . Нехай тепер вибрано досить великим щоб: виконувалася нерівність ; Відповідне x було настільки близько до 1, що

. Тоді

Що й доводить твердження теореми.

До розглянутого окремого випадку теореми наводиться і загальний. Покладемо

так що

і потім

(7)

Але з припущення теореми, тобто з того, що при , Легко отримати, що

. (8)

Для доказу цього достатньо розбити тут суму на дві:

і вибрати N таким, щоб у другий сумі всі множники були за абсолютною величиною меншими наперед заданого числа , Тоді й друга сума за абсолютною величиною буде менше , Яке було х; щодо першої суми, що складається з певного кінцевого числа доданків, того ж можна досягти за рахунок наближення х до 1.

Але тут вже можна застосувати доведений окремий випадок теореми, так що й

З іншого боку,

Звідси, так як перший доданок справа прагне до нуля

Що й завершує доведення теореми.

Глава 3. Метод середніх арифметичних

3.1 Суть методу

Ідея методу в найпростішому його здійсненні належить Фробеніуса, але пов'язують його зазвичай з ім'ям Чезаро, який дав методу подальший розвиток.

За частковим сумами даного числового ряду (А) будуються їх послідовні середні арифметичні

Якщо варіанти при має межу А, то це число і називають "узагальненої (в сенсі Чезаро) сумою" даного ряду.

Прімери.1) Повертаючись до низки

Маємо тут

так що . Ми прийшли до тієї ж сумі, що і за методом Пуассона-Абеля.

2) Для ряду . Часткові суми будуть (якщо тільки )

Тепер неважко підрахувати середні арифметичні:

Отже, остаточно

Очевидно, : Для значень "Узагальненої сумою" і тут служить 0.

3) Нарешті, нехай знову запропонований ряд

Маємо при ,

і потім

Звідси ясно, що

У всіх випадках за методом Чезаро вийшла та ж "узагальнена сума", що й вище, за методом Пуассона-Абеля. Виявляється це не випадковість.

3.2 Взаємовідносини між методами Пуассона-Абеля і Чезаро

Почнемо з простого зауваження: якщо ряд (А) підсумовуємо за методом середніх арифметичних до кінцевої "сумі" А, то необхідно

Дійсно, з і випливає, що

а тоді й

що потрібно було довести.

Теорема (Фробеніуса). Якщо ряд (А) підсумовуємо за методом середніх арифметичних до кінцевої "сумі" А, то одночасно він підсумовуємо також за методом Пуассона-Абеля і притому до тієї ж суми.

Доказ. Отже, нехай . Зважаючи зробленого спочатку зауваження очевидна збіжність степеневого ряду

для 0 <x <1. Виконавши двічі перетворення Абеля, послідовно отримаємо

[При цьому слід пам'ятати, що ].

Відомо, що (для 0 <x <1) або

Помножимо обидві частини тотожності на А і віднімемо з нього почленно попереднє тотожність:

Суму справа розіб'ємо на дві:

Причому число N виберемо так, щоб при було

де - Довільне наперед заданий позитивне число. Тоді друга сума за абсолютною величиною і сама буде менше (Незалежно від ), А для першої суми того ж можна домогтися за рахунок наближення x до 1. Цим і завершується доказ.

Отже, ми встановили, що у всіх випадках, де докладемо метод Чезаро, докладемо і метод Пуассона-Абеля з тим же результатом.

Зворотне ж невірно: існують ряди підсумовувані методом Пуассона-Абеля, але не мають "узагальненої суми" в сенсі Чезаро. Розглянемо, наприклад, ряд

Так тут явно не дотримано необхідна умова сумовності за методом середніх арифметичних, то цей метод не докладемо. У той же час ряд

Має (при 0 <x <1) суму , Яка при прагне до межі . Це і є "узагальнена сума" нашого ряди по Пуассону-Абелю.

Таким чином, метод Пуассона-Абеля є більш потужним, тобто докладемо в більш широкому класі випадків, ніж метод Чезаро, але не суперечить йому в тих випадках, коли вони опиняються застосовні обидва.

3.3 Теорема Харді-Ландау

Як і у випадку Пуассона-Абеля, для методу Чезаро також можуть бути доведені теореми "тауберовского" типу, що встановлюють ті додаткові умови щодо членів ряду, при наявності яких з сумовності ряду за методом середніх арифметичних випливає його збіжність у звичайному сенсі слова. Зважаючи теореми Фробеніуса ясно, що кожна тауберовская теорема для методу Пуассона-Абеля призводить, зокрема, до такої ж теоремі для методу Чезаро. Наприклад, сама теорема Таубер перефразируйте тепер так: якщо і виконується умова

(9)

то одночасно і . Втім, тут вона безпосередньо випливає з легко перевіряється тотожності

,

яке для даного випадку вказує навіть на необхідність умови (9).

Харді встановив, що висновок від до можна зробити не тільки, якщо , Але і при більш широкому припущенні, що

( ).

Ландау показав, що можна задовольнитися навіть "одностороннім" виконанням цього співвідношення;

Теорема. Якщо ряд (А) підсумовуємо до "сумі" А за методом середніх арифметичних і при цьому виконується умова ( ), То одночасно і

.

[Змінюючи знаки всіх членів ряду, бачимо, що достатньо також припустити нерівність іншого сенсу:

.

Зокрема, теорема, очевидно застосовні до рядів з членами постійного знака.

Доказ. Для доказу розглянемо спочатку суму

,

де n і k - Довільні натуральні числа; шляхом тотожного перетворення вона легко приводиться до виду

(10)

Якщо взяти будь (При ), То використовуючи припущення нерівність , Можна отримати таку оцінку знизу:

,

звідки, підсумовуючи по m, знайдемо

.

Звідси, зіставляючи з (10), приходимо до такого нерівності:

. (11)

Станом тепер довільно збільшувати п до нескінченності, а зміна k підпорядкуємо вимогу, щоб ставлення прагнуло до наперед заданого числа . Тоді права частина нерівності (11) буде прагнути до межі , Так що для досить великих значень п буде

. (12)

Абсолютно аналогічно, розглядаючи суму

і провівши для (При ) Оцінку зверху:

,

прийдемо до нерівності

Звідси

Якщо і одночасно , Як і раніше (але цього разу нехай ), То права частина цієї нерівності прагне до межі

.

Отже, для досить великих n виявиться

. (13)

Зіставляючи (12) і (13), бачимо, що, дійсно,

.

Теорема доведена.

3.4 Застосування узагальненого підсумовування до множення рядів

Зупинимося на застосуванні узагальнених методів підсумовування в питанні про примноження рядів за правилом Коші. Нехай, крім ряду (А), даний ще ряд

(В)

тоді ряд

(С)

і називається твором рядів (А) і (В) в формі Коші. Якщо дані ряди сходяться і мають звичайні суми А та В, то ряд (С) все ж може виявитися розбіжним.

Однак у всіх випадках ряд (С) підсумовуємо за методом Пуассона-Абеля і саме до суми АВ.

Дійсно, для 0 <x <1 ряд (1) так само як і ряд

обидва абсолютно сходяться; позначимо їх суми, відповідно, через і . Твір цих рядів, то є низка

,

За класичною теоремою Коші також сходиться і має сумою твір * . Ця сума при прагне до АВ, бо як ми бачили, окремо

Отже, "узагальненої (в сенсі Пуассона-Абеля) сумою" ряду (С) дійсно буде АВ, що й потрібно було довести.

Звідси як наслідок виходить теорема Абеля про примноження рядів. Так само з самого докази ясно, що те ж закінчення залишається в силі, якщо ряди (А) і (В) - замість того, щоб сходитися у власному розумінні - лише сумовних за методом Пуассона-Абеля до сум А і В.

У такому разі, враховуючи теорему Фробеніуса, можна зробити і таке твердження: якщо (А), (В) і (С) сумовних в сенсі Чезаро і мають, відповідно, "узагальнені суми" А, В і С, то необхідно С = АВ .

Як приклад розглянемо зведення в квадрат ряду

який виходить з біноміального розкладання

при х = 1. множачи вказаний числовий ряд на самого себе, прийдемо до добре знайомому нам ряду

"Узагальнена сума" якого є .

Далі, "зведемо в квадрат" і цей розходиться ряд. Ми одержимо ряд

"Узагальнена сума" якого в сенсі Пуассона-Абеля є .

Глава 4. Інші методи узагальненого підсумовування

4.1 Методи Г.Ф. Вороного

Нехай ми маємо позитивну числову послідовність і

З часткових сум ряду (А) складемо вираження

Якщо при то А називається "узагальненої сумою" ряду (А) в сенсі Вороного - при заданому виборі послідовності .

Теорема.

Для регулярності методу Вороного необхідно і достатньо умова.

Доказ. Необхідність.

Припустимо спочатку регулярність розглянутого методу: нехай з завжди слід і . Якщо, зокрема, взяти ряд для якого а інші (Так що й ), То необхідно

Достатність. Припустимо тепер умова теореми виконаним і доведемо, що з випливає і .

Звернемося до теоремі Теплиця і замінимо там на і на Умова (а) цієї теореми задоволено, бо

Виконання умов (б) і (в) очевидно, так як

Отже, як і вимагалося довести, .

4.2 Узагальнені методи Чезаро

Ми вже знайомі з методом середніх арифметичних; він є найпростішим з нескінченної послідовності методів підсумовування, запропонованих Чезаро.

Фіксуючи натуральне число к, Чезаро вводить варіанту

і її межа при розглядає як "узагальнену суму" (к-го порядку) ряду (А). При до = 1 ми повертаємося до методу середніх арифметичних.

Надалі нам не раз знадобиться наступне співвідношення між коефіцієнтами:

Він легко доводиться за методом математичної індукції щодо n, B і якщо виходити з відомого співвідношення

. (14)

Перш за все, покажемо, що методи Чезаро всіх порядків є окремими випадками регулярних методів Вороного. Для цього достатньо покласти , Бо з (14) тоді випливає, що і до того ж, очевидно,

За допомогою того ж рівності (14), користуючись самим визначенням величин , Встановлюється, що

. (15)

Це дає можливість з'ясувати взаємовідношення між підсумовуванням по Чезаро к-го і (к-1) - го порядку. Нехай ряд (А) допускає підсумовування (к-1) - го порядку, так що . В силу (14) і (15) маємо

Застосовуючи сюди теорему Теплиця, причому вважаємо

прийдемо до висновку, що і . Таким чином, якщо ряд (А) допускає підсумовування за методом Чезаро якогось порядку, то він допускає і підсумовування будь-якого вищого порядку, до того ж до тієї ж суми.

Наведемо тепер узагальнення вже відомої нам теореми Фробеніуса: якщо ряд (А) підсумовуємо по якомусь з методів Чезаро (скажімо к-го порядку), то він підсумовуємо до тієї ж суму і за методом Пуссона-Абеля.

Доказ. Нехай дано, що

(16)

Легко укласти звідси, що ряд

(17)

для - 1 <x <1 сходиться. Дійсно, так як то з (16) маємо:

Якщо , То

так що по теоремі Коші-Адамара, радіус збіжності ряду (17) дорівнює 1. Він в усякому разі не менше 1, якщо А = 0.

Розглянемо тепер ряд тотожностей

²

Вище ми встановили збіжність останнього ряду в проміжку (-1,1), звідси випливає збіжність і всіх попередніх рядів. Крім того,

(18)

Зіставимо з цим тотожністю інше:

(19)

яке має місце в тому ж проміжку (-1;

1); воно виходить к-кратним диференціюванням прогресії

Помноживши обидві частини тотожності (19) на А і віднімаючи з нього почленно рівність (18), отримаємо нарешті,

Подальші міркування [з урахуванням (16)] цілком аналогічні тим, за допомогою яких була доведена теорема Абеля і теорема Фробеніуса. В результаті ми і отримаємо:

що потрібно було довести.

Зазначимо, що існують розбіжні ряди, підсумовувані за методом Пуассона-Абеля, але не підсумовувані жодним з узагальнених методів Чезаро. Таким чином, перший з названих методів виявляється сильніше за всіх останніх, навіть разом узятих.

4.3 Метод Бореля

Він полягає в наступному: по ряду (А) і його частковим сумами будується вираз:

Якщо останній ряд сходиться, хоча б для досить великих значень х, і його сума при має межу А, то це число і є "узагальненої сумою" в сенсі Борелядля даного ряду (А).

Доведемо регулярність методу Бореля. Припустимо збіжність ряду (А) і позначимо його суму через А, а залишки через . Маємо (для досить великих х)

Задамося довільно малим числом ; Знайдеться такий номер N, що для буде:

.

Уявімо останній вираз у вигляді суми,

.

Другий доданок за абсолютною величиною , Яке було х, а перше представляє собою твір на многочлен, цілий відносно х, стає абсолютно при досить великих х. Цим все доведено.

4.4 Метод Ейлера

Нехай дано ряд . Формула, що виражає "перетворення Ейлера" виглядає наступним чином

. (20)

При цьому, як було доведено, з збіжності ряду в лівій частині випливає збіжність ряду в правій частині і рівність між їх сумами.

Однак і при расходимости першого ряду другий ряд може виявитися сходящимся; в подомной разі його суму Ейлер приписував як "узагальненої суми" першому ряду. У цьому власне і полягає метод Ейлера підсумовування рядів; зроблене тільки що зауваження гарантує регулярність методу.

Якщо писати розглянутий ряд у звичайному вигляді (А), не виділяючи знаків , І мати на увазі вириженіе

для р-ой різниці, то можна сказати, що методом підсумовування Ейлера як "узагальненої суми" ряду (А) береться звичайна сума ряду

(У припущенні, що останній сходиться)

Методи Гельдера є ще один клас методів узагальненого підсумовування. Але вони полягають у простому повторенні методу середніх арифметичних. Тому розглядати їх не варто.

Висновок

У своїй дипломній роботі я розглянув методи підсумовування розбіжних рядів, теореми, що випливають з цих методів, а також взаємозв'язок цих методів між собою. Ми побачили розмаїття підходів до питання підсумовування розбіжних рядів. Регулярність кожного методу ми встановлювали у всіх випадках. На жаль, я не завжди мав можливість досить заглибитися в питання про взаємовідносини цих методів між собою. А тим часом може статися, що два методи мають пересічні області приложимости, або, навпаки, може виявитися і що два методи приписують одному і тому ж розходяться ряду різні "узагальнені суми".

Теорія рядів є важливим і широко використовуваним розділом математичного аналізу, або іншими словами нескінченні ряди є найважливішим знаряддям дослідження в математичному аналізі і його додатках.

Список використаної літератури

1. Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики. М., 1982.

2. Данко П.Є., Попов А.Г. Вища математика у вправах і завданнях, частина 1, М., 1974.

3. Зельдович Я.Б. Вища математика для початківців. М., 1970.

4. Леонтьєв А.Ф. Цілі функції. Ряди експонент. М., 1983.

5. Фіхтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального числення, I, II т., М., 1966.