Диференціювання інтегрування обчислення меж сум рядів функцій і математичних виразів

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Кафедра: Інформаційні Технології

Лабораторна Робота

На тему: ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ, ІНТЕГРУВАННЯ, обчислення границь, СУМ, РЯДІВ ФУНКЦІЙ І МАТЕМАТИЧНИХ ВИСЛОВІВ.

Москва, 2008 рік

ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ, ІНТЕГРУВАННЯ, обчислення границь, СУМ, РЯДІВ ФУНКЦІЙ І МАТЕМАТИЧНИХ ВИСЛОВІВ

Цілі роботи:

· Знати команди, використовувані при обчисленні звичайних і приватних похідних аналітичного виразу по одній або кільком змінним у системі обчислень Maple;

· Знати команди, використовувані при інтегруванні аналітичних виразів у системі обчислень Maple;

· Знати команди, використовувані при обчисленні меж, сум, рядів функцій в системі обчислень Maple;

· Вміти застосовувати зазначені команди для вирішення математичних завдань.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

  1. Диференціювання виразів

Команди diff () і Diff () призначені для обчислення звичайних і приватних похідних аналітичного виразу по одній або кільком змінним. Друга команда є відкладеним командою, яка не обчислює похідну від виразу, а просто відображає математичну запис взяття похідної. Результат дії відкладеної команди можна привласнити змінній Maple, а в подальшому за допомогою команди value () обчислити результат цієї відкладеної команди. Відкладена форма команди зручна, коли необхідно бачити, які операції були зроблені для отримання потрібного виразу. Окрім цієї команди ще цілий ряд команд мають відкладену форму, інформацію про які можна отримати в Довідці.

Синтаксис команди диференціювання наступний:

diff (вираз, переменная_1, переменная_2, ..., переменная_n);

diff (вираз, [переменная_1, переменная_2, ..., переменная_n]);

У результаті виконання будь-якої з наведених команд буде обчислено приватна похідна n-гo порядку від заданого першим параметром виразу за заданим n змінним.

При обчисленні похідних високого порядку можна використовувати оператор послідовності $, який дозволяє простіше і наочніше задати похідну. Наприклад, для обчислення третій похідної функції f (х) по змінній х можна використовувати команду diff (f (х), х, х, х), в якій три рази зазначено диференціювання по змінній х, або застосувати в команді диференціювання оператор послідовності х $ 3 , що спрощує і робить більш наочним завдання третього похідної: diff (f (х), х $ 3).

Приклад 1. Обчислення похідних.

> S: = x ^ 3 * cos (x) + y ^ 2 * ln (sin (x));

> Diff (s, x);

> Diff (s, x $ 2);

> Diff (s, x, y);

> Fs: = Diff (s, x);

> Q: = sqrt (fs);

> Value (%);

Останні три команди показують використання відкладеної форми команди диференціювання.

2. Інтегрування виразів

Команда int () має відкладену форму Int () і здійснює інтеграцію виразів по заданій змінній. Ця команда обчислює невизначений інтеграл від виразу (при цьому, щоправда, у відповіді не буде ніякої постійної інтегрування) використовуючи наступний синтаксис:

int (вираз, змінна);

Визначений інтеграл обчислюється при наступному синтаксисі команди:

int (вираз, змінна = a .. b);

де a і b є межами інтегрування, причому вони можуть бути і аналітичними виразами.

Приклад 2. Інтегрування функцій.

> F: = x ^ 2 * cos (k * x);

> Int (f, x);

> Int (f, x = 0 .. 1);

> Int (f, x = 0 .. Pi);

> Value (%);

Для символьного обчислення визначеного інтеграла існують дві опції, керуючі обробкою розривів підінтегральної функції. Ці опції задаються третім параметром в командах int () і Int ().

За замовчуванням команда інтегрування перевіряє вираз на безперервність в області інтегрування і обчислює інтеграл як суму окремих визначених інтегралів на проміжках безперервності функції. Опція `continuous` відключає цей режим і обчислює інтеграл як різницю значень первісної підінтегральної функції в точці початку і кінця проміжку інтегрування. Ще одна опція `CauchyPrincipalValue` обчислює невласні інтеграли першого і другого роду в сенсі головного значення Коші.

Якщо Maple не знаходить замкнуту форму вираження для певного інтеграла, то команда інтегрування повертає виклик самої себе (в області виведення друкується математична запис обчислення інтеграла, як при зверненні до відкладеної команді інтегрування). У таких випадках можна обчислити значення визначеного інтеграла чисельним способом за допомогою команди evalf (). Синтаксис при цьому наступний:

evalf (int (f, x = a.. b));

evalf (Int (f, x = a.. b));

evalf (Int (f, x = a.. b), digits, flag);

Параметр digits дозволяє задати кількість значущих цифр при обчисленнях наближеного значення інтеграла (за умовчанням це число дорівнює числу значущих цифр, визначених значенням системної константи Digits).

При чисельному інтегруванні за замовчуванням використовується квадратурна формула Кленшо-Куртіса (Clenshaw - Curtis). Якщо в Фундаментальний вираз зустрічається сингулярність, то застосовується спеціальна методика символьного аналізу для її вирішення. Для завдань з неусувними сингулярностями використовується адаптивний метод подвійних експоненційних квадратур. Параметр flag дозволяє явно задати метод чисельного інтегрування. Він може приймати значення, подані в табл. 1.

Таблиця 1. Значення параметра flag при чисельному інтегруванні.

Значення

Сенс

_ Ccquad

Застосовується тільки квадратура Кленшо-Куртіса без виклику процедури обробки сингулярності

_ Dexp

Застосовується адаптивний метод подвійних експоненційних квадратур

_ Ncrule

Застосовується метод квадратурної формули Ньютона-Котеса, що є методом фіксованого порядку, і не ефективний для високих точностей (Digits> 15)

Приклад 3 допомагає освоїтися з використанням вищенаведеної методики.

Приклад 3. Чисельне інтегрування функцій.

> Int (sin (x) * ln (x), x = 0 .. 1);

> Evalf (int (sin (x) * ln (x), x = 0 .. 1));

> Int (sin (x) * ln (x), x = 0 .. 1) = evalf (Int (sin (x) * ln (x), x = 0 .. 1,20, _Dexp));

> Int (1 / (1 ​​+ x ^ 2), x = 0 .. infinity) = evalf (Int (1 / (1 ​​+ x ^ 2), x = 0 .. infinity, 30, _Dexp));

> Int (exp (xx ^ 2 / 2) / (1 ​​+ exp (x) / 2), x =- infinity .. infinity) = evalf (Int (exp (xx ^ 2 / 2) / (1 ​​+ exp ( x) / 2), x =- infinity .. infinity));

Перший інтеграл прикладу 3 обчислюється в аналітичному вигляді, але представляється через значення спеціальної функції інтегральний косинус. Для отримання відповіді у вигляді десяткового числа застосовується алгоритм чисельного інтегрування. Тут же показано використання відкладеної форми команди інтегрування для більш зручного подання відповіді.

Чисельне інтегрування навіть функцій, зовнішній вигляд яких представляється не досить складним, може зажадати значного часу. Якщо буде здаватися, що Maple завис (а таке трапляється), то треба стежити за зміною часу в правій частині рядка стану. Якщо воно змінюється, то просто слід дочекатися завершення інтегрування.

У системі Maple є набір команд для повного дослідження функцій: limit () - для відшукання границі функції, sum () - для знаходження всіляких кінцевих сум, series () - для розкладання функцій в ряди Тейлора, Маклорена і Лорана, extrema () - для дослідження екстремумів функцій як однієї, так багатьох змінних, minimize () і maximize () - для пошуку мінімуму і максимуму функції на заданому проміжку. Опис усіх цих та інших команд можна, природно, знайти в довідці Maple.

3. Межі.

Для знаходження межі висловлювання чи функції в Maple використовується команда limit (параметр 1, параметр 2). Перший параметр - вираз, другий параметр - ім'я змінної, прирівняна значенням змінної в точці межі. Необов'язковий третій параметр - напрям межі. Якщо напрямок не задано, обчислюється стандартний двосторонній межа. Якщо межа не існує, як відповідь повертається повідомлення "undefined". Якщо Maple не здатний обчислити межа (однак він може існувати), повертається невиконання команд.

> Limit (cos (x) / x, x = Pi / 2);

> Limit ((-x ^ 2 + x +1) / (x +4), x = infinity);

> Limit (tan (x), x = Pi / 2);

У великій кількості випадків вираз, який не має двостороннього межі, має односторонній межа:

limit (tan (x), x = Pi / 2, left);

limit (tan (x), x = Pi / 2, right);

limit ((1 + a / x) ^ x, x = infinity);

У команді limit () може бути присутнім також необов'язкова опція complex або real в якості третього параметра аргументу. Ця опція визначає, в комплексній або дійсної області обчислюється межа.

Завдання для самостійного рішення.

1. Знайти похідну:

1.1. ; 1.7. ;

1.2. ; 1.8. ;

1.3. ; 1.9. ;

1.4. ; 1.10. ;

1.5. ; 1.11. ;

1.6. ; 1.12. ;

1.13. .

2. Знайти інтеграл:

2.1. , 2.7. ,

2.2. , 2.8. при ,

2.3. , 2.9. ,

2.4. , 2.10. при ,

2.5. , 2.11. при

при ,

2.6. , 2.12. ,

2.13. .

3. Знайти такі межі:

3.1. ;

3.2. ;

3.3. ;

3.4. ;

3.5. ;

3.6. ;

3.7. ;

3.8. ;

3.9. ;

3.10. ;

3.11. ;

3.12. ;

3.13. .

Варіанти завдань.

. 1.1; 2.1; 3.1; . 1.9; 2.9; 3.9;

. 1.2; 2.2; 3.2; . 1.10; 2.10; 3.10;

. 1.3; 2.3, 3.3, . 1.11; 2.11; 3.11;

. 1.4; 2.4; 3.4; . 1.12; 2.12; 3.12;

. 1.5; 2.5; 3.5; . 1.13; 2.13; 3.13;

. 1.6; 2.6; 3.6; . 1.1; 2.2, 3.3,

. 1.7; 2.7; 3.7; . 1.13; 2.12; 3.11.

. 1.8; 2.8; 3.8;

Контрольні питання.

1. Команда diff (), її призначення і синтаксис.

2. Команда int (), її призначення і синтаксис.

3. Відкладені форми команд diff () і int ().

4. Формування похідних високого порядку з допомогою оператора послідовності $.

5. Як обчислити значення визначеного інтеграла чисельним способом?

6. Призначення параметра digits в команді evalf ().

7. Призначення параметра flag в команді evalf ().

8. Команда limit (), її призначення і синтаксис.

Література

1. Говорухін В.М., Цибуліно В.Г. Введення в Maple. Математичний пакет для всіх. - М.: Світ, 1997. - 208 с.

2. Дьяконов В.П. Математична система Maple V. - М.: Видавництво "Солон", 1998.

3. Двайт Г.Б. Таблиці інтегралів та інші математичні формули. - М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1983. - 176 с.

4. Матросов А. В. Maple 6. Рішення задач вищої математики і механіки. - СПб.: БХВ - Петербург, 2001 .- 528 с.

5. Манзон Б. М. Maple V Power Edition - М.: Інформаційно-видавничий дім "Філін", 1998р.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Програмування, комп'ютери, інформатика і кібернетика | Лабораторна робота
61.7кб. | скачати


Схожі роботи:
Диференціювання інтегрування обчислення меж сум рядів фу
Властивості степеневих рядів Неперервність суми Інтегрування і диференціювання степеневих ряді
Обчислення меж функцій похідних та інтегралів
Інтегрування ірраціональних виразів
Диференціювання Інтегрування
Інтегрування виразів що містять тригонометричні функції Приклади первісних що не є елементарн
Однопроходныйдвухпроходный транслятор з мови математичних виразів на мову дерев виведення
Використання команд перетворення виразів Maple для математичних обчислень
Програма обчислення виразів
© Усі права захищені
написати до нас