Вища математика

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РФ
НОУ ВПО «С.І.Б.У.П.»

Контрольна робота
по дисципліни «Вища математика»
Варіант 13.
Виконала студентка
Перевірив:
Красноярськ, 2008р.


ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Завдання 1

Коефіцієнти використання робочого часу у двох комбайнів відповідно рівні 0,8 і 0,6. Вважаючи, що зупинки в роботі кожного комбайна виникають випадково і незалежно один від одного, визначити відносний час (ймовірність: а) роботи тільки одного комбайна; б) простою обох комбайнів.

А) Дана подія (працює тільки один комбайн) є сума 2 несумісних подій:

A = B + C,
де B: працює лише 1-й (2-й простоює); C: працює тільки 2-й (1-й простоює). Кожне з цих подій є твір 2 незалежних подій:
B = D ;
C = E,
де D, E - події, що складаються в тому, що 1-й і 2-й комбайни працюють; , - Протилежні їм події, тобто 1-й і 2-й комбайни не працюють. Їх ймовірності:
P (D) = 0,8
P (E) = 0,6
P ( ) = 1 - P (D) = 1 - 0,8 = 0,2
P ( ) = 1 - P (E) = 1 - 0,6 = 0,4
За теоремам додавання і множення ймовірностей
P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P ( ) + P ( ) P (E) = 0,8 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,44
Б) Дана подія (обидва комбайна простоюють) є твір 2 незалежних подій:
F =
По теоремі множення ймовірностей
P (F) = P ( ) P ( ) = 0,2 * 0,4 = 0,08

Завдання 2

Імовірність того, що пасажир запізниться до відправлення поїзда, дорівнює 0,01. Знайти найбільш ймовірне число тих, що запізнилися з 800 пасажирів і ймовірність такого числа тих, що запізнилися.
Відбувається n = 800 незалежних випробувань, в кожному з яких дана подія (запізнення на поїзд) відбувається з імовірністю p = 0,01. Найбільш вірогідне число наступів події задовольняє нерівностям
np - q ≤ k <np + p,
де q = 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99
800 * 0,01 - 0,99 ≤ k <800 * 0,01 + 0,01
7,01 ≤ k <8,01
k = 8
Так як n велике, p мала, відповідну ймовірність знайдемо за формулою Пуассона:
Pn (k) = ,
де a = np = 800 * 0,01 = 8

P800 (8) = = 0,140

Завдання 3

На двох автоматичних верстатах виробляються однакові вироби, дані закони розподілу числа бракованих виробів, вироблених протягом зміни на кожному з них для першого і для другого.
X 0 1 2 Y 0 2
p 0,1 0,6 0,3 p 0,5 0,5
Скласти закон розподілу випадкової величини Z = X + Y числа вироблених протягом зміни бракованих виробів обома верстатами. Скласти функцію розподілу і побудувати її графік. Перевірити властивість математичного сподівання суми випадкових величин.
Розмір Z може приймати значення:
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 2 = 3
2 + 0 = 2
2 + 2 = 4
Ймовірності цих значень (за теоремам додавання і множення ймовірностей):
P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05
P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2
P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15
Закон розподілу:
Z 0 1 2 3 4
p 0,05 0,3 0,2 0,3 0,15
Перевірка:
Σ pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1.
Функція розподілу
F (x) = P (X <x) = =
\ S
Математичні очікування:
M (x) = Σ xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 \ * MERGEFORMAT 1,2
M (y) = Σ yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1
M (z) = Σ zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 \ * MERGEFORMAT 2,2
M (z) = M (x) + M (y) = = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 \ * MERGEFORMAT 1,2 + 1 = = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 \ * MERGEFORMAT 2,2

Завдання 4

Випадкова величина X задана функцією розподілу
F (x) =
Знайти: 1) ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал (1 / 3; 2 / 3); 2) функцію щільності розподілу ймовірностей f (x), 3) математичне сподівання випадкової величини X; 4) побудувати графіки F (x) і f (x).

1) Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (a, b) дорівнює

P (a <X <b) = F (b) - F (a)

P (1 / 3 <X <2 / 3) = F (2 / 3) - F (1 / 3) = (2 / 3) 3 - (1 / 3) 3 = 8 / 27 - 1 / 27 = 7 / 27

2) Функція щільності

f (x) = F `(x) =
3) Математичне сподівання
M (X) = = = = = ¾ (14 - 04) = ¾
4) Графіки:
\ S
\ S

Завдання 5

Поточна ціна акції може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з математичним очікуванням a = 26 і середнім квадратичним відхиленням σ = 0,7. Потрібно: а) записати функцію щільності ймовірності випадкової величини X - ціни акції і побудувати її графік; б) знайти ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, що належить інтервалу (25,2; 26,8); в) знайти імовірність того, що абсолютна величина | X - 26 | виявиться менше ε = 0,5.

А) Функція щільності нормального розподілу має вигляд

f (x) = = =

\ S

Б) Імовірність того, що нормальна величина прийме значення з інтервалу (α; β), дорівнює
P (α <X <β) = - = - = Ф (1,14) - Ф (-1,14) = 0,3735 + 0,3735 = 0,747
Значення функції Лапласа Ф (x) = беремо з таблиць.
В) Імовірність того, що відхилення нормальної величини від математичного очікування не перевищує ε, дорівнює
P (| X - a | <ε) =
P (| X - 26 | <0,5) = = 2Ф (0,714) = 2 * 0,2611 = 0,5222

СТАТИСТИКА

Завдання 1

У задачі наведена вибірка, витягнута з відповідної генеральної сукупності. Потрібно: 1) за несгруппірованним даними знайти вибіркову середню, 2) знайти довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного сподівання ознаки X генеральної сукупності (генеральної середньої), якщо ознака X розподілений за нормальним законом; відомі γ = 0,98 - надійність і σ = 200 - середнє квадратичне відхилення; 3) скласти інтервальний розподіл вибірки з кроком h = 200, взявши за початок першого інтервалу x1 = 700; 4) побудувати гістограму частот; 5) дати економічну інтерпретацію отриманих результатів.
Проведено вибіркове обстеження обсягу промислового виробництва за 16 місяців і отримані наступні результати (тис. крб.):
750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550
1) Вибіркова середня
* = = (750 + 950 + 1000 + 1050 + 1050 + 1150 + 1150 + 1150 + 1200 + 1200 + 1250 + 1250 + 1350 + 1400 + 1400 + 1550) / 16 = 18850 / 16 = 1178,1 тис. руб.
2) Довірчий інтервал
* - <A < * + ,
де Ф (t) = γ / 2 = 0,98 / 2 = 0,49. По таблиці функції Лапласа знаходимо: t = 2,32.
1178,1 - <A <1178,1 +
1178,1 - 116,3 <a <1178,1 + 116,3
1061,8 <a <1294,4 тис. руб.
3) Підрахуємо межі інтервалів:
x2 = x1 + h = 700 + 200 = 900 і т.д.
Підрахуємо частоти інтервалів (тобто кількість значень обсягу виробництва, що потрапили в даний інтервал). Інтервальний розподіл вибірки:

Інтервал

Частоти
(700; 900)
1
(900; 1100)
4
(1100; 1300)
7
(1300; 1500)
3
(1500; 1700)
1
4) Гістограма частот:
\ S
5) Економічна інтерпретація. Середній обсяг промислового виробництва за 16 місяців склав 1178,1 тис. руб. З надійністю 0,98 можна стверджувати, що середній обсяг виробництва знаходиться в межах від 1061,8 до 1294,4 тис. крб. Найбільше число місяців (7) обсяг виробництва знаходився в інтервалі від 1100 до 1300 тис. руб.

Завдання 2

За кореляційної таблиці потрібно: 1) в прямокутній системі координат побудувати емпіричні ламані регресії Y на X і X на Y, зробити припущення про вид кореляційної зв'язку; 2) оцінити тісноту лінійної кореляційної зв'язку; 3) скласти лінійні рівняння регресії Y на X і X на Y, побудувати їх графіки в одній системі координат, 4) використовуючи отримане рівняння, оцінити очікуване середнє значення ознаки Y при заданому x = 98. Дати економічну інтерпретацію отриманих результатів.
У таблиці дано розподіл 200 заводів по основних фондах X в млн. крб. і по готовій продукції Y у млн. крб.:
y \ x
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ny
12
4
4
18
6
10
2
18
24
8
13
1
1
23
30
4
7
9
3
4
2
29
36
1
2
3
12
4
8
30
42
1
3
18
24
1
47
48
7
12
3
22
54
9
18
27
nx
10
23
24
14
19
26
41
22
21
n = 200

1) Розрахункова таблиця:
X
Y
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ny
yny
y2
y2ny
Σxnxy
Ум. СР y
12
4
4
48
144
576
80
20,0
18
6
10
2
18
324
324
5832
500
27,8
24
8
13
1
1
23
552
576
13248
870
37,8
30
4
7
9
3
4
2
29
870
900
26100
1470
50,7
36
1
2
3
12
4
8
30
1080
1296
38880
1900
63,3
42
1
3
18
24
1
47
1974
1764
82908
3500
74,5
48
7
12
3
22
1056
2304
50688
1940
88,2
54
9
18
27
1458
2916
78732
2610
96,7
nx
10
23
24
14
19
26
41
22
21
200
7362
296964
12870
xnx
200
690
960
700
1140
1820
3280
1980
2100
12870
x2
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
8100
10000
x2nx
4000
20700
38400
35000
68400
127400
262400
178200
210000
944500
Σynxy
156
528
630
444
672
1020
1692
1104
1116
7362
Σxynxy
3120
15840
25200
22200
40320
71400
135360
99360
111600
524400
Ум. СР * x
15,6
23,0
26,3
31,7
35,4
39,2
41,3
50,2
53,1

Підрахуємо умовні середні:
* x = 20 = = (12 * 4 + 18 * 6) / 10 = 15,6 і т.д.
* y = 12 = = 20 * 4 / 4 = 20,0 і т.д.
Емпіричні ламані регресії:
\ S
\ S
Емпіричні лінії регресії близькі до прямих. Можна зробити припущення про лінійний характер зв'язку між величиною основних фондів і готовою продукцією.
2) Вибіркові середні:
* = = 12870 / 200 = 64,35
= = 7362 / 200 = 36,81
Вибіркові середні квадратичні відхилення
σx = = = 24,12
σy = = = 11,39
Вибірковий коефіцієнт кореляції
r = = = 0,922
3) Рівняння лінійної регресії Y по X:
* x - = R (X - * )
* x - 36,81 = 0,922 * (X - 64,35)
* x = 0,435 x + 8,786
Рівняння лінійної регресії X по Y:
* y - * = R (Y - )
* y - 64,35 = 0,922 * (Y - 36,81)
* y = 1,951 y - 7,452
Графіки:
\ S
4) Очікуване середнє значення Y при X = 98:
* x = 98 = 0,435 * 98 + 8,786 = 51,5 млн. крб.
Економічна інтерпретація. Зв'язок між величиною основних фондів і готової продукцій пряма і дуже тісний: коефіцієнт кореляції позитивний і близький до 1. При збільшенні основних фондів на 1 млн. крб. готова продукція зростає в середньому на 0,435 млн. руб. При збільшенні готової продукції на 1 млн. крб. основні фонди зростають у середньому на 1,951 млн. руб. При величині основних фондів 98 млн. руб. очікуване середнє значення готової продукції 51,5 млн. руб.

Завдання 3

Дано емпіричні значення випадкової величини. Потрібно: 1) висунути гіпотезу про вид розподілу; 2) перевірити гіпотезу за допомогою критерію Пірсона при заданому рівні значимості α = 0,05. За значення параметрів a і σ прийняти середню вибіркову і вибіркове середнє квадратичне відхилення, обчислені за емпіричними даними.
У таблиці дано розподіл доходу від реалізації деякого товару:
8-12
12-16
16-20
20-24
24-28
28-32
6
11
25
13
4
1
1) Обчислимо середини інтервалів доходу:
xi = (8 + 12) / 2 = 10 і т.д.
Розрахункова таблиця:

xi
ni
xini
xi -
(Xi - ) 2
(Xi - ) 2 ni
1
10
6
60
-8,067
65,071
390,4
2
14
11
154
-4,067
16,538
181,9
3
18
25
450
-0,067
0,004
0,1
4
22
13
286
3,933
15,471
201,1
5
26
4
104
7,933
62,938
251,8
6
30
1
30
11,933
142,404
142,4
Сума
60
1084
1167,7
Вибіркове середнє
* = = 1084 / 60 = 18,067
Вибіркове середнє квадратичне відхилення
s = = = 4,412
Висуваємо гіпотезу про нормальний розподіл.
2) Розрахункова таблиця для застосування критерію Пірсона:
i
xi
Частоти ni
ui = (xi - * ) / S
φ (ui) =
Теорет. частоти ni `= nh φ (ui) / s
ni - ni `
(Ni - ni `) 2
(Ni - ni `) 2 / ni`
1
10
6
-1,829
0,0750
4,1
1,9
3,7
0,9
2
14
11
-0,922
0,2609
14,2
-3,2
10,2
0,7
3
18
25
-0,015
0,3989
21,7
3,3
10,9
0,5
4
22
13
0,892
0,2681
14,6
-1,6
2,5
0,2
5
26
4
1,798
0,0792
4,3
-0,3
0,1
0,0
6
30
1
2,705
0,0103
0,6
0,4
0,2
0,3
Сума
60
59,4
2,7
Спостережуване значення
χн2 = Σ (ni - ni `) 2 / ni` = 2,7
Критичне значення (з таблиць при рівні значимості α = 0,05 і числі ступенів свободи k = 6 - 3 = 3)
χкр2 = 7,8
Так як χн2 <χкр2, гіпотезу про нормальний розподіл приймаємо.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
189.3кб. | скачати


Схожі роботи:
Вища математика 2
Вища математика 2
Вища математика 4
Вища математика Матриця
Вища математика в економіці
Вища математика для менеджерів
Тестувальна програма з дісциплини Вища математика
Вища математика у професійній діяльності військового юриста
Методичні матеріали з навчальної дисципліни Вища математика для студентів I курсу заочної форми
© Усі права захищені
написати до нас