МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РФ
НОУ ВПО «С.І.Б.У.П.»
Контрольна робота
по дисципліни «Вища математика»
Варіант 13.
Виконала студентка
Перевірив:
Красноярськ, 2008р.
де B: працює лише 1-й (2-й простоює); C: працює тільки 2-й (1-й простоює). Кожне з цих подій є твір 2 незалежних подій:
B = D ;
C = E,
де D, E - події, що складаються в тому, що 1-й і 2-й комбайни працюють; , - Протилежні їм події, тобто 1-й і 2-й комбайни не працюють. Їх ймовірності:
P (D) = 0,8
P (E) = 0,6
P ( ) = 1 - P (D) = 1 - 0,8 = 0,2
P ( ) = 1 - P (E) = 1 - 0,6 = 0,4
За теоремам додавання і множення ймовірностей
P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P ( ) + P ( ) P (E) = 0,8 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,44
Б) Дана подія (обидва комбайна простоюють) є твір 2 незалежних подій:
F =
По теоремі множення ймовірностей
P (F) = P ( ) P ( ) = 0,2 * 0,4 = 0,08
Відбувається n = 800 незалежних випробувань, в кожному з яких дана подія (запізнення на поїзд) відбувається з імовірністю p = 0,01. Найбільш вірогідне число наступів події задовольняє нерівностям
np - q ≤ k <np + p,
де q = 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99
800 * 0,01 - 0,99 ≤ k <800 * 0,01 + 0,01
7,01 ≤ k <8,01
k = 8
Так як n велике, p мала, відповідну ймовірність знайдемо за формулою Пуассона:
Pn (k) = ,
де a = np = 800 * 0,01 = 8
P800 (8) =
X 0 1 2 Y 0 2
p 0,1 0,6 0,3 p 0,5 0,5
Скласти закон розподілу випадкової величини Z = X + Y числа вироблених протягом зміни бракованих виробів обома верстатами. Скласти функцію розподілу і побудувати її графік. Перевірити властивість математичного сподівання суми випадкових величин.
Розмір Z може приймати значення:
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 2 = 3
2 + 0 = 2
2 + 2 = 4
Ймовірності цих значень (за теоремам додавання і множення ймовірностей):
P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05
P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2
P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15
Закон розподілу:
Z 0 1 2 3 4
p 0,05 0,3 0,2 0,3 0,15
Перевірка:
Σ pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1.
Функція розподілу
F (x) = P (X <x) = =
\ S
Математичні очікування:
M (x) = Σ xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 \ * MERGEFORMAT 1,2
M (y) = Σ yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1
M (z) = Σ zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 \ * MERGEFORMAT 2,2
M (z) = M (x) + M (y) = = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 \ * MERGEFORMAT 1,2 + 1 = = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 \ * MERGEFORMAT 2,2
F (x) =
Знайти: 1) ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал (1 / 3; 2 / 3); 2) функцію щільності розподілу ймовірностей f (x), 3) математичне сподівання випадкової величини X; 4) побудувати графіки F (x) і f (x).
3) Математичне сподівання
M (X) = = = = = ¾ (14 - 04) = ¾
4) Графіки:
\ S
\ S
= =
Б) Імовірність того, що нормальна величина прийме значення з інтервалу (α; β), дорівнює
P (α <X <β) = - = - = Ф (1,14) - Ф (-1,14) = 0,3735 + 0,3735 = 0,747
Значення функції Лапласа Ф (x) = беремо з таблиць.
В) Імовірність того, що відхилення нормальної величини від математичного очікування не перевищує ε, дорівнює
P (| X - a | <ε) =
P (| X - 26 | <0,5) = = 2Ф (0,714) = 2 * 0,2611 = 0,5222
Проведено вибіркове обстеження обсягу промислового виробництва за 16 місяців і отримані наступні результати (тис. крб.):
750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550
1) Вибіркова середня
= = (750 + 950 + 1000 + 1050 + 1050 + 1150 + 1150 + 1150 + 1200 + 1200 + 1250 + 1250 + 1350 + 1400 + 1400 + 1550) / 16 = 18850 / 16 = 1178,1 тис. руб.
2) Довірчий інтервал
- <A < + ,
де Ф (t) = γ / 2 = 0,98 / 2 = 0,49. По таблиці функції Лапласа знаходимо: t = 2,32.
1178,1 - <A <1178,1 +
1178,1 - 116,3 <a <1178,1 + 116,3
1061,8 <a <1294,4 тис. руб.
3) Підрахуємо межі інтервалів:
x2 = x1 + h = 700 + 200 = 900 і т.д.
Підрахуємо частоти інтервалів (тобто кількість значень обсягу виробництва, що потрапили в даний інтервал). Інтервальний розподіл вибірки:
4) Гістограма частот:
\ S
5) Економічна інтерпретація. Середній обсяг промислового виробництва за 16 місяців склав 1178,1 тис. руб. З надійністю 0,98 можна стверджувати, що середній обсяг виробництва знаходиться в межах від 1061,8 до 1294,4 тис. крб. Найбільше число місяців (7) обсяг виробництва знаходився в інтервалі від 1100 до 1300 тис. руб.
У таблиці дано розподіл 200 заводів по основних фондах X в млн. крб. і по готовій продукції Y у млн. крб.:
НОУ ВПО «С.І.Б.У.П.»
Контрольна робота
по дисципліни «Вища математика»
Варіант 13.
Виконала студентка
Перевірив:
Красноярськ, 2008р.
ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Завдання 1
Коефіцієнти використання робочого часу у двох комбайнів відповідно рівні 0,8 і 0,6. Вважаючи, що зупинки в роботі кожного комбайна виникають випадково і незалежно один від одного, визначити відносний час (ймовірність: а) роботи тільки одного комбайна; б) простою обох комбайнів.
А) Дана подія (працює тільки один комбайн) є сума 2 несумісних подій:
A = B + C,де B: працює лише 1-й (2-й простоює); C: працює тільки 2-й (1-й простоює). Кожне з цих подій є твір 2 незалежних подій:
B = D
C =
де D, E - події, що складаються в тому, що 1-й і 2-й комбайни працюють;
P (D) = 0,8
P (E) = 0,6
P (
P (
За теоремам додавання і множення ймовірностей
P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P (
Б) Дана подія (обидва комбайна простоюють) є твір 2 незалежних подій:
F =
По теоремі множення ймовірностей
P (F) = P (
Завдання 2
Імовірність того, що пасажир запізниться до відправлення поїзда, дорівнює 0,01. Знайти найбільш ймовірне число тих, що запізнилися з 800 пасажирів і ймовірність такого числа тих, що запізнилися.Відбувається n = 800 незалежних випробувань, в кожному з яких дана подія (запізнення на поїзд) відбувається з імовірністю p = 0,01. Найбільш вірогідне число наступів події задовольняє нерівностям
np - q ≤ k <np + p,
де q = 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99
800 * 0,01 - 0,99 ≤ k <800 * 0,01 + 0,01
7,01 ≤ k <8,01
k = 8
Так як n велике, p мала, відповідну ймовірність знайдемо за формулою Пуассона:
Pn (k) =
де a = np = 800 * 0,01 = 8
P800 (8) = = 0,140
Завдання 3
На двох автоматичних верстатах виробляються однакові вироби, дані закони розподілу числа бракованих виробів, вироблених протягом зміни на кожному з них для першого і для другого.X 0 1 2 Y 0 2
p 0,1 0,6 0,3 p 0,5 0,5
Скласти закон розподілу випадкової величини Z = X + Y числа вироблених протягом зміни бракованих виробів обома верстатами. Скласти функцію розподілу і побудувати її графік. Перевірити властивість математичного сподівання суми випадкових величин.
Розмір Z може приймати значення:
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 2 = 3
2 + 0 = 2
2 + 2 = 4
Ймовірності цих значень (за теоремам додавання і множення ймовірностей):
P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05
P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2
P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15
Закон розподілу:
Z 0 1 2 3 4
p 0,05 0,3 0,2 0,3 0,15
Перевірка:
Σ pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1.
Функція розподілу
F (x) = P (X <x) =
Математичні очікування:
M (x) = Σ xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 \ * MERGEFORMAT 1,2
M (y) = Σ yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1
M (z) = Σ zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 \ * MERGEFORMAT 2,2
M (z) = M (x) + M (y) = = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 \ * MERGEFORMAT 1,2 + 1 = = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 \ * MERGEFORMAT 2,2
Завдання 4
Випадкова величина X задана функцією розподілуF (x) =
Знайти: 1) ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал (1 / 3; 2 / 3); 2) функцію щільності розподілу ймовірностей f (x), 3) математичне сподівання випадкової величини X; 4) побудувати графіки F (x) і f (x).
1) Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (a, b) дорівнює
P (a <X <b) = F (b) - F (a)
P (1 / 3 <X <2 / 3) = F (2 / 3) - F (1 / 3) = (2 / 3) 3 - (1 / 3) 3 = 8 / 27 - 1 / 27 = 7 / 27
2) Функція щільності
f (x) = F `(x) =3) Математичне сподівання
M (X) =
4) Графіки:
Завдання 5
Поточна ціна акції може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з математичним очікуванням a = 26 і середнім квадратичним відхиленням σ = 0,7. Потрібно: а) записати функцію щільності ймовірності випадкової величини X - ціни акції і побудувати її графік; б) знайти ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, що належить інтервалу (25,2; 26,8); в) знайти імовірність того, що абсолютна величина | X - 26 | виявиться менше ε = 0,5.
А) Функція щільності нормального розподілу має вигляд
f (x) = \ S
Б) Імовірність того, що нормальна величина прийме значення з інтервалу (α; β), дорівнює P (α <X <β) =
Значення функції Лапласа Ф (x) =
В) Імовірність того, що відхилення нормальної величини від математичного очікування не перевищує ε, дорівнює
P (| X - a | <ε) =
P (| X - 26 | <0,5) =
СТАТИСТИКА
Завдання 1
У задачі наведена вибірка, витягнута з відповідної генеральної сукупності. Потрібно: 1) за несгруппірованним даними знайти вибіркову середню, 2) знайти довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного сподівання ознаки X генеральної сукупності (генеральної середньої), якщо ознака X розподілений за нормальним законом; відомі γ = 0,98 - надійність і σ = 200 - середнє квадратичне відхилення; 3) скласти інтервальний розподіл вибірки з кроком h = 200, взявши за початок першого інтервалу x1 = 700; 4) побудувати гістограму частот; 5) дати економічну інтерпретацію отриманих результатів.Проведено вибіркове обстеження обсягу промислового виробництва за 16 місяців і отримані наступні результати (тис. крб.):
750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550
1) Вибіркова середня
2) Довірчий інтервал
де Ф (t) = γ / 2 = 0,98 / 2 = 0,49. По таблиці функції Лапласа знаходимо: t = 2,32.
1178,1 -
1178,1 - 116,3 <a <1178,1 + 116,3
1061,8 <a <1294,4 тис. руб.
3) Підрахуємо межі інтервалів:
x2 = x1 + h = 700 + 200 = 900 і т.д.
Підрахуємо частоти інтервалів (тобто кількість значень обсягу виробництва, що потрапили в даний інтервал). Інтервальний розподіл вибірки:
Інтервал | Частоти |
(700; 900) | 1 |
(900; 1100) | 4 |
(1100; 1300) | 7 |
(1300; 1500) | 3 |
(1500; 1700) | 1 |
5) Економічна інтерпретація. Середній обсяг промислового виробництва за 16 місяців склав 1178,1 тис. руб. З надійністю 0,98 можна стверджувати, що середній обсяг виробництва знаходиться в межах від 1061,8 до 1294,4 тис. крб. Найбільше число місяців (7) обсяг виробництва знаходився в інтервалі від 1100 до 1300 тис. руб.
Завдання 2
За кореляційної таблиці потрібно: 1) в прямокутній системі координат побудувати емпіричні ламані регресії Y на X і X на Y, зробити припущення про вид кореляційної зв'язку; 2) оцінити тісноту лінійної кореляційної зв'язку; 3) скласти лінійні рівняння регресії Y на X і X на Y, побудувати їх графіки в одній системі координат, 4) використовуючи отримане рівняння, оцінити очікуване середнє значення ознаки Y при заданому x = 98. Дати економічну інтерпретацію отриманих результатів.У таблиці дано розподіл 200 заводів по основних фондах X в млн. крб. і по готовій продукції Y у млн. крб.:
y \ x | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | ny |
12 | 4 | 4 | ||||||||
18 | 6 | 10 | 2 | 18 | ||||||
24 | 8 | 13 | 1 | 1 | 23 | |||||
30 | 4 | 7 | 9 | 3 | 4 | 2 | 29 | |||
36 | 1 | 2 | 3 | 12 | 4 | 8 | 30 | |||
42 | 1 | 3 | 18 | 24 | 1 | 47 | ||||
48 | 7 | 12 | 3 | 22 | ||||||
54 | 9 | 18 | 27 | |||||||
nx | 10 | 23 | 24 | 14 | 19 | 26 | 41 | 22 | 21 | n = 200 |
1) Розрахункова таблиця:
X Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | ny | yny | y2 | y2ny | Σxnxy | Ум. СР |
12 | 4 | 4 | 48 | 144 | 576 | 80 | 20,0 | ||||||||
18 | 6 | 10 | 2 | 18 | 324 | 324 | 5832 | 500 | 27,8 | ||||||
24 | 8 | 13 | 1 | 1 | 23 | 552 | 576 | 13248 | 870 | 37,8 | |||||
30 | 4 | 7 | 9 | 3 | 4 | 2 | 29 | 870 | 900 | 26100 | 1470 | 50,7 | |||
36 | 1 | 2 | 3 | 12 | 4 | 8 | 30 | 1080 | 1296 | 38880 | 1900 | 63,3 | |||
42 | 1 | 3 | 18 | 24 | 1 | 47 | 1974 | 1764 | 82908 | 3500 | 74,5 | ||||
48 | 7 | 12 | 3 | 22 | 1056 | 2304 | 50688 | 1940 | 88,2 | ||||||
54 | 9 | 18 | 27 | 1458 | 2916 | 78732 | 2610 | 96,7 | |||||||
nx | 10 | 23 | 24 | 14 | 19 | 26 | 41 | 22 | 21 | 200 | 7362 | 296964 | 12870 | ||
xnx | 200 | 690 | 960 | 700 | 1140 | 1820 | 3280 | 1980 | 2100 | 12870 | |||||
x2 | 400 | 900 | 1600 | 2500 | 3600 | 4900 | 6400 | 8100 | 10000 | ||||||
x2nx | 4000 | 20700 | 38400 | 35000 | 68400 | 127400 | 262400 | 178200 | 210000 | 944500 | |||||
Σynxy | 156 | 528 | 630 | 444 | 672 | 1020 | 1692 | 1104 | 1116 | 7362 | |||||
Σxynxy | 3120 | 15840 | 25200 | 22200 | 40320 | 71400 | 135360 | 99360 | 111600 | 524400 | |||||
Ум. СР | 15,6 | 23,0 | 26,3 | 31,7 | 35,4 | 39,2 | 41,3 | 50,2 | 53,1 |
Підрахуємо умовні середні:
x = 20 = = (12 * 4 + 18 * 6) / 10 = 15,6 і т.д.
y = 12 = = 20 * 4 / 4 = 20,0 і т.д.
Емпіричні ламані регресії:
\ S
\ S
Емпіричні лінії регресії близькі до прямих. Можна зробити припущення про лінійний характер зв'язку між величиною основних фондів і готовою продукцією.
2) Вибіркові середні:
= = 12870 / 200 = 64,35
= = 7362 / 200 = 36,81
Вибіркові середні квадратичні відхилення
σx = = = 24,12
σy = = = 11,39
Вибірковий коефіцієнт кореляції
r = = = 0,922
3) Рівняння лінійної регресії Y по X:
x - = R (X - )
x - 36,81 = 0,922 * (X - 64,35)
x = 0,435 x + 8,786
Рівняння лінійної регресії X по Y:
y - = R (Y - )
y - 64,35 = 0,922 * (Y - 36,81)
y = 1,951 y - 7,452
Графіки:
\ S
4) Очікуване середнє значення Y при X = 98:
x = 98 = 0,435 * 98 + 8,786 = 51,5 млн. крб.
Економічна інтерпретація. Зв'язок між величиною основних фондів і готової продукцій пряма і дуже тісний: коефіцієнт кореляції позитивний і близький до 1. При збільшенні основних фондів на 1 млн. крб. готова продукція зростає в середньому на 0,435 млн. руб. При збільшенні готової продукції на 1 млн. крб. основні фонди зростають у середньому на 1,951 млн. руб. При величині основних фондів 98 млн. руб. очікуване середнє значення готової продукції 51,5 млн. руб.
У таблиці дано розподіл доходу від реалізації деякого товару:
Емпіричні ламані регресії:
Емпіричні лінії регресії близькі до прямих. Можна зробити припущення про лінійний характер зв'язку між величиною основних фондів і готовою продукцією.
2) Вибіркові середні:
Вибіркові середні квадратичні відхилення
σx =
σy =
Вибірковий коефіцієнт кореляції
r =
3) Рівняння лінійної регресії Y по X:
Рівняння лінійної регресії X по Y:
Графіки:
4) Очікуване середнє значення Y при X = 98:
Економічна інтерпретація. Зв'язок між величиною основних фондів і готової продукцій пряма і дуже тісний: коефіцієнт кореляції позитивний і близький до 1. При збільшенні основних фондів на 1 млн. крб. готова продукція зростає в середньому на 0,435 млн. руб. При збільшенні готової продукції на 1 млн. крб. основні фонди зростають у середньому на 1,951 млн. руб. При величині основних фондів 98 млн. руб. очікуване середнє значення готової продукції 51,5 млн. руб.
Завдання 3
Дано емпіричні значення випадкової величини. Потрібно: 1) висунути гіпотезу про вид розподілу; 2) перевірити гіпотезу за допомогою критерію Пірсона при заданому рівні значимості α = 0,05. За значення параметрів a і σ прийняти середню вибіркову і вибіркове середнє квадратичне відхилення, обчислені за емпіричними даними.У таблиці дано розподіл доходу від реалізації деякого товару:
8-12 | 12-16 | 16-20 | 20-24 | 24-28 | 28-32 |
6 | 11 | 25 | 13 | 4 | 1 |
1) Обчислимо середини інтервалів доходу:
xi = (8 + 12) / 2 = 10 і т.д.
Розрахункова таблиця:
Вибіркове середнє
= = 1084 / 60 = 18,067
Вибіркове середнє квадратичне відхилення
s = = = 4,412
Висуваємо гіпотезу про нормальний розподіл.
2) Розрахункова таблиця для застосування критерію Пірсона:
Спостережуване значення
χн2 = Σ (ni - ni `) 2 / ni` = 2,7
Критичне значення (з таблиць при рівні значимості α = 0,05 і числі ступенів свободи k = 6 - 3 = 3)
χкр2 = 7,8
Так як χн2 <χкр2, гіпотезу про нормальний розподіл приймаємо.
xi = (8 + 12) / 2 = 10 і т.д.
Розрахункова таблиця:
№ | xi | ni | xini | xi - | (Xi - | (Xi - |
1 | 10 | 6 | 60 | -8,067 | 65,071 | 390,4 |
2 | 14 | 11 | 154 | -4,067 | 16,538 | 181,9 |
3 | 18 | 25 | 450 | -0,067 | 0,004 | 0,1 |
4 | 22 | 13 | 286 | 3,933 | 15,471 | 201,1 |
5 | 26 | 4 | 104 | 7,933 | 62,938 | 251,8 |
6 | 30 | 1 | 30 | 11,933 | 142,404 | 142,4 |
Сума | 60 | 1084 | 1167,7 |
Вибіркове середнє квадратичне відхилення
s =
Висуваємо гіпотезу про нормальний розподіл.
2) Розрахункова таблиця для застосування критерію Пірсона:
i | xi | Частоти ni | ui = (xi - | φ (ui) = | Теорет. частоти ni `= nh φ (ui) / s | ni - ni ` | (Ni - ni `) 2 | (Ni - ni `) 2 / ni` |
1 | 10 | 6 | -1,829 | 0,0750 | 4,1 | 1,9 | 3,7 | 0,9 |
2 | 14 | 11 | -0,922 | 0,2609 | 14,2 | -3,2 | 10,2 | 0,7 |
3 | 18 | 25 | -0,015 | 0,3989 | 21,7 | 3,3 | 10,9 | 0,5 |
4 | 22 | 13 | 0,892 | 0,2681 | 14,6 | -1,6 | 2,5 | 0,2 |
5 | 26 | 4 | 1,798 | 0,0792 | 4,3 | -0,3 | 0,1 | 0,0 |
6 | 30 | 1 | 2,705 | 0,0103 | 0,6 | 0,4 | 0,2 | 0,3 |
Сума | 60 | 59,4 | 2,7 |
χн2 = Σ (ni - ni `) 2 / ni` = 2,7
Критичне значення (з таблиць при рівні значимості α = 0,05 і числі ступенів свободи k = 6 - 3 = 3)
χкр2 = 7,8
Так як χн2 <χкр2, гіпотезу про нормальний розподіл приймаємо.