Збіжність рядів

Контрольна робота № 9

ВАРІАНТ 9.3.

Знайти область збіжності зазначених рядів

9.3.1.

а)

За ознакою Лейбніца для знакозмінних рядів ряд сходиться умовно (відповідний ряд Діріхле розходитися)

.

б)

Звідси випливає, що при ряд сходиться, тобто при . При ряд розходиться.

Розглянемо випадок

Для даного ряду виконується теорема Лейбніца для знакозмінних рядів Ряд сходиться умовно, т.к. ряд

При аналогічно одержимо ряд , Ряд сходиться умовно.

Відповідь:

9.3.2.

а)

. За ознакою Даламбера ряд сходиться, якщо .

Ряд буде сходиться при

Перший випадок або

У проміжку ряд сходиться.

Другий випадок

У проміжку 1 <x <l ряд сходиться. Об'єднуємо інтервали і отримаємо . Розглянемо кінці інтервалу.

При x = 1 одержимо ряд , Тобто ряд виду - -1 +1-1 +1-1 + ...

Даний ряд розходиться, т.к. його сума має два різних межі (коливний ряд).

При одержимо ряд тобто ряд виду 1 +1 +1 + ...; ряд розходиться, т.к.

б)

Ряд буде сходитися при .

1)

в інтервалі ряд сходиться.

2)

в інтервалі 3 <x <8 ряд сходиться.

Загальний інтервал збіжності -2 <x <8.

На кінцях інтервалу х =- 2, маємо ряд:

- Розходиться гармонійний ряд.

в п.9.3.1 б) показано, що ряд сходиться умовно.

Відповідь: (-2,8]

9.3.3.

а)

Ряд сходиться за умови

1)

Вирішимо нерівність:

коренів немає, отже: - Завжди.

Гілки параболи спрямовані вгору, отримуємо два інтервали: Тут ряд сходиться.

Досліджуємо кінці інтервалів:

1) . Отримуємо ряд: . Ряд розходиться, т.к. всі його члени не менше розходиться гармонійного ряду .

2)

б)

.

Ряд сходиться при .

1) інтервал збіжності .

2) інтервал збіжності .

Досліджуємо межі інтервалу.

1)

По теоремі Лейбніца ряд сходиться, причому умовно, тому що ряд - Розходиться.

2) .

Порівняємо з низкою по другому ознакою порівняння

розходиться, то розходиться і ряд .

3.9.4.

а)

Ряд сходиться при

1) тоді

коренів немає, .

Вирішуємо нерівність:

.

Вирішуємо отримане нерівність:

У проміжку (1,3) ряд сходиться.

На кінцях інтервалу маємо:

1)

Ряд розходиться, т.к. .

2)

б)

Ряд сходиться за умови або

Інтервал збіжності .

На кінцях інтервалу.

1)

- Ряд розходиться, т.к. розходиться ряд .

2)

Ряд, як попередній, але всі члени негативні.

9.3.5.

а)

Ряд сходиться за умови .

1)

2)

Досліджуємо кінці інтервалу:

1)

2)

б)

Ряд сходиться за умови звідки

9.3.6.

а)

Ряд сходиться при

і коріння немає, отже, має умова

Інтервал збіжності .

Досліджуємо кінці інтервалів:

1)

Ряд Знакозмінні, перевіримо умова Лейбніца

- Виконується

Ряд сходиться при

Отримаємо такий же ряд.

б)

Перевіряємо ознака Даламбера:

Умова збіжності

На кінцях інтервалу маємо:

1)

Ряд Знакозмінні, ознака Лейбніца виконується.

Ряд сходиться умовно при .

Отримаємо такий самий ряд, але члени мають зворотні знаки.

.

9.3.7.

а)

Перевіряємо кінці інтервалів

1)

Ознака Лейбніца виконується, ряд сходиться.

При вийде такий же ряд (т.к. x в парному ступеня).

б)

9.3.8.

а)

Умова збіжності .

Знайдемо дискриминант знаменника: D = 64-72 <0. Умова набуває вигляду

Інтервал збіжності .

На кінцях інтервалу

Отримуємо один і той же ряд

.

Члени цього ряду не менше членів ряду , Отже, ряд розбігається.

б)

Умова збіжності

На краях інтервалів:

1) . Виходить ряд:

Ряд Знакозмінні, за ознакою Лейбніца сходиться.

2)

9 .3.9.

а)

1. Якщо , Тобто і необхідно вирішити нерівність: . Виходить інтервал .

2.

Інтервал з урахуванням .

На кінцях інтервалу:

1)

Ряд сходиться. Аналогічно при .

.

б)

Інтервал збіжності визначається нерівністю

9.3.10.

а)

Знайдемо дискриминант чисельника

б)

1)

2)

1.

2.