Курсова робота
з курсу «Основи викладання математики»
на тему: «Методологія вивчення теми« Ознаки рівності трикутників »»
Кіровоград
2003

ЗМІСТ
I. Теоретичні відомості по темі «Ознаки рівності трикутників». ... .3
II. Методика вивчення теми «Ознаки рівності трикутників»
УРОК 1. Тема уроку «Трикутник. Види трикутників »... ... ... ... ... ... ... .... ... .. 8
УРОК 2. Тема уроку: «Властивості рівнобедреного і рівностороннього трикутників» ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .11
УРОК 3. Тема уроку: «Побудова трикутників. Рівність трикутників ».. 15

УРОК 4. Тема уроку: «Ознаки рівності трикутників» .................................. 18

УРОК 5. Тема уроку: "Рішення прикладних завдань» ....................................... ......... 22

УРОК 6. Узагальнюючий урок з теми «Ознаки рівності трикутників» ... ... 26

Додатки до уроків ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 30

Перелік використаної літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 33

I. Теоретичні відомості по темі «Ознаки рівності трикутників»
Ознаки рівності трикутників
Перша ознака

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака

Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглих до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака

Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні

Довідкова таблиця.

Теорема 1 (ознака рівності трикутників за двома сторонами та кутом між ними). Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Доказ.
Нехай у трикутників АВС і А ₁ В ₁ З ₁ Ð А = Ð А _1, АВ = А ₁ В _1, АС = А ₁ С _1. Доведемо, що трикутники рівні, тобто доведемо, що в них і ÐВ = ÐВ _1, ÐС = ÐС _1, ВС = В ₁ С _1.
За аксіомі існування трикутника, рівного даному, існує трикутник А ₁ В ₂ С _2, що дорівнює трикутнику АВС, у якого вершина У ₂ лежить на промені А ₁ В _1, а вершина З ₂ лежить однієї півплощини з вершиною З ₁ відноси-тельно прямий А ₁ У _1. Так як А ₁ В ₁ = А ₁ В _2, то за аксіомі відкладання відрізків точка В ₂ збігається з точкою В _1. Так як ÐВ ₁ А ₁ З ₁ = ÐВ ₂ А ₁ З _2, то за аксіомі відкладання кутів промінь А ₁ З ₂ збігається з променем А ₁ С _1. І так як А ₁ З ₁ = А ₁ С _2, то вершина З ₂ збігається вершиною З _1. Отже, трикутник А ₁ В ₁ З ₁ збігається з трикутником А ₁ В ₂ С _2, а значить, дорівнює трикутнику АВС. Теорема доведена.
Теорема 2 (ознака рівності трикутників по стороні і прилеглих до неї кутах). Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні і прилеглих до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Доказ.
Нехай АВС і А ₁ В ₁ С ₁ - два трикутники, у яких Ð А = Ð А _1, ÐВ = ÐВ _1, АВ = А ₁ В _1. Доведемо, то трикутники рівні, тобто доведемо, що АС = А ₁ С _1, ÐС = ÐС _1, ВС = В ₁ С _1. За аксіомі існування трикутника, рівного даному, існує трикутник А ₁ В ₂ С ₂ рівний трикутнику АВС, у якого вершина У ₂ лежить на промені А ₁ В _1, а вершина З ₂ лежить в одній півплощині вершиною З ₁ відносно прямої А ₁ В ₁ . Так як А ₁ В ₂ = А ₁ В _1, то вершина У ₂ збігається з вершиною В _1. Так як ÐВ ₁ А ₁ З ₂ = ÐВ ₁ А ₁ З ₁ і ÐА ₁ У ₁ З ₂ = ÐА ₁ В ₁ С _1, то по аксіомі відкладання кутів промінь А ₁ З ₁ збігається з променем А ₁ З _2, а промінь В ₁ З ₁ збігається з променем В ₁ С _2. Звідси випливає, що вершина З ₂ збігається вершиною З _1. Отже, трикутник А ₁ В ₁ З ₁ збігається з трикутником А ₁ В ₂ С _2, а значить, дорівнює трикутнику АВС. Теорема доведена.
Визначення. Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона називається підставою трикутника.
Теорема 3. У трикутник кути при основі рівні.
Доказ.
Нехай АВС - рівнобедрений трикутник з основою АВ. Доведемо, що у нього ÐА = ÐВ. Трикутник САВ дорівнює трикутнику СВА за першою ознакою рівності трикутників. Дійсно, СА = В, СВ = СА, ÐС = ÐС. З рівності трикутників випливає, що ÐА = ÐВ. Теорема доведена.
Визначення. Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім.
Теорема 4. Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.
Доказ.
Нехай АВС - трикутник, в якому ÐА = ÐВ. Доведемо, що він рівнобедрений з основою АВ. Трикутник АВС дорівнює трикутнику ВАС за другою ознакою рівності трикутників. Дійсно, АВ = ВА, ÐВ = ÐА, ÐА = ÐВ. З равентва трикутників випливає, що АС = НД Теорема доведена.
Теорема 4 називається зворотним теоремі 3. Висновок теореми 3 є умовою теореми 4. А умова теореми 3 є висновком теореми 4.
Визначення. Висотою трикутника, опущеною з даної вершини, називається перпендикуляр, проведений з цієї вершини до прямої, що містить протилежні сторону трикутника.
Визначення. Бісектрисою трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок бісектриси кута трикутника, поєднує цю вершину з точкою на протилежній стороні.
Визначення. Медіною трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок, що з'єднує цю вершину з серединою противолежащей сторони трикутника.
Теорема 5. У трикутник медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою.
Доказ.
Нехай АВС - даний рівнобедрений трикутник з основою АВ. Нехай СК - медіана, проведена до основи. Трикутники САД і СВД рівні за першою ознакою рівності трикутників. (У них сторони АС і ВС рівні, тому що трикутник АВС рівнобедрений. Кути САК та СВК рівні за теоремі 3. Сторони АК і ВК рівні, тому що К - середина відрізка АВ.) З рівності трикутників слід рівність кутів: ÐАСК = ÐВСК, ÐАКС = ÐВКС. Так як кути АКС і ВКС рівні, то СК - бісектриса. Так як кути АКС і ВКС суміжні і рівні, то вони прямі, тому СК - висота трикутника. Теорема доведена.
Теорема 6 (ознака рівності трикутників за трьома сторонами). Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.
Доказ.
Нехай АВС і А ₁ В ₁ З ₁ два трикутника, у яких АВ = А ₁ В _1, АС = А ₁ С _1, ВС = В ₁ С _1. Доведемо, що ці трикутники рівні. За аксіомі існування трикутника, рівного даному, існує трикутник А ₁ В ₁ С _2, що дорівнює трикутнику АВС, у якого вершина З ₂ лежить в одній півплощині з вершиною З ₁ відносно прямої А ₁ В _1. Припустимо, що вершина З ₁ не лежить ні на промені А ₁ С _1, ні на промені В ₁ С _1. Нехай К - середина відрізка З ₁ С _2. Трикутники А ₁ З ₁ З ₂ і В ₁ С ₁ С ₂ - рівнобедрені із загальним підставою З ₁ С _2. По теоремі 5 їх медіани А ₁ К і В ₁ К є висотами. Значить, прямі А ₁ К і В ₁ До перпендикулярні прямий З ₁ С _2. Але це неможливо, так як через точку прямої можна провести тільки одну перпендикулярну їй пряму. Ми прийшли до протиріччя. Значить, вершина З ₂ лежить або на промені А ₁ С _1, або на промені В ₁ С _1. У першому випадку крапка З ₂ збігається з З _1, так як А ₁ З ₁ = АС. А це означає, що трикутник АВС дорівнює трикутнику А ₁ В ₁ С _1. Точно так само приходимо до висновку про рівність трикутників в другому випадку. Теорема доведена.
II. Методика вивчення теми «Ознаки рівності трикутників»

УРОК 1

Тема уроку: «Трикутник. Види трикутників »
Цілі уроку:

• розвинути уявлення про багатокутнику;
• вивести поняття трикутника і його елементів, познайомитися з класифікацією трикутників по сторонах і кутах;

З досвіду практичної діяльності отримати висновок про суму кутів трикутника.
Обладнання: слайди для кодоскопа; моделі трикутників різних видів; моделі тетраедра; друковані картки.
Хід уроку
I. Урок починається з розмови вчителя.
· Серед безлічі різних фігур на площині виділяється велике сімейство багатокутників. Слово «багатокутник» вказує на те, що у всіх фігур з цього сімейства «багато кутів». Для визначення багатокутника важливо вказати, що ця фігура обмежена замкнутою ламаною лінією, ланки якої не перетинають один одного.
· Яка з фігур, зображених на малюнку 1, є багатокутником?

Рис. 1

• Чим відрізняються багатокутники 2 і 3 на малюнку 1?
• Яким найменшим числом можна замінити «багато» в слові «багатокутник»? [Числом 3.]

Значить, найпростішим багатокутником є ​​трикутник. Знайомий всім нам з дитинства трикутник таїть у собі чимало цікавого і загадкового.
II. На екрані зображено трикутник ABC (рис. 2). (Вводяться назви основних його елементів і робиться запис у зошитах.)
D ABC: A, B, C - вершини;
AB, BC, CA - сторони;
ÐA, ÐB, ÐC - кути.

Рис. 2
Завдання. Виміряйте кути D ABC і обчисліть їх суму. (Більшість учнів отримують результат, рівний 180 °.)
Висновок: сума градусних заходів кутів трикутника дорівнює 180 °.
Завдання
1. У трикутнику один із кутів дорівнює 65 °, а інший 80 °. Чому дорівнює третій кут цього трикутника?
2. У трикутнику ABC градусна міра кута B дорівнює 40 °, а градусна міра кута A в три рази більше. Знайдіть градусну міру кута C.
III. Фізкультурна пауза
IV. Продовжимо знайомство з трикутниками. (Учитель звертає увагу на моделі трикутників, розміщені на магнітній дошці.)
· Усе велике сімейство трикутників можна розділити на групи в залежності від сторін і кутів. (По ходу введення видів трикутників заповнюється таблиця (рис. 3) у зошити.)
Рис. 3

• На картках, що є на кожному столі, зображені різні трикутники (рис. 4). Визначте на-віч вигляд кожного трикутника.

Рис. 4
Завдання. З шести однакових паличок складіть чотири рівних трикутника.
[Тетраедр.]
Демонструються: каркасна модель тетраедра, моделі пірамід, октаедра.
 
V. Завдання будинок
1. Складіть малюнки з геометричних фігур (переважно з трикутників), візерунки з трикутників.

УРОК 2
Тема уроку: «Властивості рівнобедреного і рівностороннього трикутників»
Цілі уроку:

• розвинути уявлення про трикутниках;
• вивчити термінологію, пов'язану з поняттями рівнобедреного і рівностороннього трикутників;
• відкрити невідомі раніше властивості рівнобедреного і рівностороннього трикутників;
• продовжити побудову трикутників із заданими властивостями на нелінованому папері;
• вчити дітей аналізу задач на побудову.

Обладнання: схема-класифікація трикутників; виставка малюнків учнів (на попередньому уроці було задано домашнє завдання - виконати малюнки з використанням зображення трикутника); слайди з зображеннями трикутників.
Хід уроку
I. Організаційний момент
Перевірка готовності до уроку (наявність креслярських інструментів, нелінованому папери).
II. Два учні отримують завдання і виконують їх на дошці.
1. Накресліть прямокутний трикутник так, щоб сторони, що утворюють прямий кут, були рівні 3 дм та 5 дм.
2. У трикутнику ABC градусна міра кута A дорівнює 58 °, а кута B дорівнює 49 °. Обчисліть градусну міру кута C.
Чотири учня отримують картки із завданням і виконують роботу на нелінованому папері.
1) Накресліть прямокутний трикутник так, щоб сторони, що утворюють прямий кут, були рівні 3 см і 5 см.
2) Взяли дріт довжиною 17 см і з неї зробили трикутник, дві сторони якого дорівнюють 5 см і 6 см. Який вид цього трикутника?
З іншими учнями проводиться фронтальне опитування.
1. Назвіть трикутники, зображені на дошці (рис. 5).
2. Назвіть вершини D MKN.
3. Назвіть сторони D PST.
4. Назвіть кути D ABC.
[Ð ABC, Ð BCA, Ð BAC.]
5. Чи може бути трикутник з двома прямими кутами? З двома тупими кутами? Відповідь обгрунтуйте.
6. Чи існує трикутник, всі кути якого більше 70 °? Менше 50 °?

Рис. 5
7. За схемою (рис. 6) повторюються види трикутників.
Рис. 6
8. Визначте «на око» вигляд кожного з трикутників, зображених на слайдах (рис. 7).

Рис. 7
III. Учні, які працюють за картками, здають виконане завдання. Ті, хто працював біля дошки, розповідають, як виконували завдання. Додаткові питання їм ставлять учні.
IV. Отже, на попередньому уроці ми познайомилися з трикутником і вивчили їх види.
· Як же побудувати рівнобедрений трикутник за допомогою циркуля і лінійки?
· Учні пропонують провести довільний відрізок, потім з кінців відрізка як з центрів, не змінюючи розчину циркуля, провести дуги до перетину. Точку перетину з'єднати з кінцями відрізка.
· Чому ви впевнені, що вийшов рівнобедрений трикутник?
(Взяли розчин циркуля, не рівний побудованому відрізку і провели дуги рівних кіл. Точка їх перетину знаходиться на рівній відстані від кінців відрізка.)

• Вводиться назва сторін: підстава, бічні сторони (рис. 8).

D ABC: AB = BC, ÐA = ÐC.

Рис. 8

• Виміряйте кути при вершинах A і C.

Більшість учнів отримують рівні градусні заходи, і вчитель повідомляє, що саме таким чином у Стародавній Греції практичним шляхом встановили, що «кути при основі» рівні. І лише через багато років це було доведено.
V. Фізкультурна пауза
(Учні повторюють за вчителем всі рухи.)
VI. Продовжуємо роботу.

• З'єднайте вершину B з серединою протилежної сторони. Виміряйте кути BMC і BMA. Що ви отримали?

Учні роблять висновок: ÐBMC = ÐBMA = 90 ° і доповнюють малюнок. Використовуючи модель рівнобедреного трикутника, вчитель перегинає модель по відрізку BM. Учні помічають, що трикутники ABM і BMC при накладенні збіглися, і роблять висновок: D ABM = D BMC.
VII. Завдання будинок
1. Побудуйте рівнобедрений трикутник.
2. Виміряйте всі його кути. Зробіть висновок.
3. Проведіть відрізки, що з'єднують вершини з серединами протилежних сторін. Що ви помітили?

УРОК 3
Тема уроку: «Побудова трикутників. Рівність трикутників »
Цілі уроку:

• навчити учнів будувати трикутник, рівний даному, використовуючи циркуль та лінійку;
• з досвіду практичної діяльності учні повинні зрозуміти, що трикутники рівні за трьох елементів; кожна сторона трикутника менша за суму двох інших.

Обладнання: у кожного учня набір креслярських інструментів, кольоровий папір, ножиці.
Хід уроку
I. Робота з класом
На дошці зображено постаті.
Завдання
1. На рисунку 9 проведіть пряму так, щоб вона розбила чотирикутник на два трикутники. Визначте «на око» вигляд одержані трикутників.

Рис. 9
2. Проведіть пряму так, щоб вона розбила чотирикутник (рис. 10) на трикутник і чотирикутник, а на малюнку 11 - на трикутник і п'ятикутник.

Рис. 10

Рис. 11

3. Дріт довжиною 15 см зігнули так, що вийшов різнобічний трикутник. Чому дорівнює периметр цього трикутника?
4. Підстава рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а бічні сторони вдвічі більше підстави. Знайдіть периметр трикутника.

5. У трикутник один з кутів дорівнює 64 °. Знайдіть два інших кута цього трикутника.
II. Робота в групах з чотирьох осіб
(Завдання для кожної групи з різними даними.)

• Побудуйте трикутник ABC, якщо:

1) AB = 5 см, AC = 8 см, Р BAC = 50 °;
2) CA = 4 см, CB = 6 см, Р ABC = 120 °;
3) AB = 7 см, Р CAB = 60 °, Р CBA = 30 °;
4) OP = 4 см, Р KOP = 20 °, Р OPK = 70 °;
5) KL = 4 см, LM = 3 см, MK = 2,5 см;
6) AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 5 см.
Три групи з шести груп розповідають, як проводили побудова.

• Виріжте вийшов трикутник. Порівняйте його з трикутниками, побудованими учнями зі своєї групи.

У кожній групі отримали рівні трикутники. Здавалося б, нічого дивного немає, дані були однакові, але ...
III. Загальне завдання
· Побудуйте трикутник, в якому Ð A = 30 °, Ð B = 60 °, Ð C = 90 °.
· Що ви помічаєте? Який висновок можна зробити? (У всіх різні трикутники.)
IV. Робота в групах
(Завдання однаково для пар груп.)

• Побудуйте трикутники, у яких сторони рівні:

1) 6 см, 2 см, 3 см;
2) 6 см, 2 см, 4 см;
3) 6 см, 2 см, 7 см.
У ході побудов і міркувань учні приходять до висновку, що у трикутника кожна сторона менше суми двох інших сторін, в іншому випадку трикутник побудувати неможливо.
V. Хвилинка відпочинку

• Передайте свій настрій за допомогою зображення трикутника.

Хтось розфарбовує трикутник в різні кольори, хтось складає фігурки з трикутників, хтось зображує пики, проявляючи вигадку і фантазію (рис. 12, 13).

Рис. 12

Рис. 13

VI. Перевірочна робота
Варіант 1
1. Побудуйте рівнобедрений тупокутний трикутник.
2. У трикутнику DCE ÐD = 24 °, ÐC = 58 °. Знайдіть ÐE.
3. Підстава рівнобедреного трикутника дорівнює 6 см, а бічні сторони в три рази більше. Знайдіть периметр трикутника.
4. Побудуйте трикутник, в якому AB = 4 см, ÐBAC = 35 °, ÐCBA = 80 °.
Варіант 2
1. Побудуйте рівнобедрений гострокутий трикутник.
2. У трикутнику MNL ÐM = 64 °, ÐN = 57 °. Знайдіть ÐL.
3. Підстава рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а бічні сторони в три рази більше. Знайдіть периметр трикутника.
4. Побудуйте трикутник, в якому AB = 4 см, AC = 3 см, ÐBAC = 60 °.
VII. Завдання будинок.

УРОК 4

Тема уроку: «Ознаки рівності трикутників»
Цілі уроку:

• систематизувати теоретичні знання з теми, закріпити вміння і навички використання теоретичних знань до вирішення завдань;
• розвинути творчий підхід і інтерес до навчання.

Хід уроку
I. Перевірка домашнього завдання.
Три учні біля дошки записують опорний конспект:
1) три ознаки рівності трикутників, 2) рівнобедрений трикутник і його властивості; 3) ознаки рівності прямокутних трикутників.
У цей час вчитель проводить фронтальне опитування класу.
1. Сформулюйте 1 ознака рівності трикутників.
2. Сформулюйте 2 ознака рівності трикутників.
3. Який трикутник називається рівнобедреним?
4. Сформулюйте ознаку рівнобедреного трикутника.
5. Сформулюйте властивості рівнобедреного трикутника.
6. Чим відрізняється ознака геометричної фігури від її властивості?
7. Сформулюйте 3 ознака рівності трикутників.
8. Який трикутник називається рівностороннім?
9. Що вважається ознакою, що - властивістю рівностороннього D-ка?
10. До кожної Чи теоремі існує зворотна?
11. Наведіть приклад теореми, до якої не існує зворотній.
12. Наведіть приклад теореми, до якої існує зворотна.
13. Як будується зворотна теорема?
14. Сформулюйте ознаки рівності прямокутних трикутників.
Після фронтального опитування вчитель проводить бесіду по опорних конспектах на дошці. Якщо необхідно, то учні класу доповнюють і виправляють записи на дошці.
ІІ. Рішення задач.
Два учні біля дошки розв'язують задачі з готовим малюнків, які виконані вчителем до уроку. Якщо необхідно, то учні класу доповнюють і виправляють записи на дошці.
Завдання по готових малюнках

D

M

A

B

З

1. Дано: DАВС, BD = CD, BM = CM, ÐDBM = 40 ^0, ÐADB = 80 ^0. Знайти: ÐBDM, ÐMDC, ÐDMC, ÐMCD.
Відповідь: ÐBDM = ÐMDC = 50 ^0, ÐDMC = 90 ^0, ÐMCD = 40 ^0.

O

A

M

E

F

2. DAOM = DFOE, периметр DOEF = 40 см, AF = 20 см. Знайти: периметр DAEF.
Відповідь: 60 см.
III. Фізкультурна пауза
(Учні повторюють за вчителем всі рухи.)
IV. Усна робота.
Вчитель з учнями усно вирішує завдання за готовими малюнками, зображеним на плакатах. Учні повинні знайти на малюнках рівні трикутники і пояснити рівність, назвавши відповідний ознака рівності трикутників.
Завдання для усного рішення.

ІV. Домашнє завдання.

УРОК 5

Тема уроку: "Рішення прикладних завдань»

Мета уроку:

• розглянути життєві та прикладні завдання, на яких можна продемонструвати важливу роль ознак рівності трикутників в життя, навчити учнів творчо застосовувати ознаки рівності трикутників під час вирішення завдань.

Хід уроку

І. Гімнастика розуму.

При написанні математичного диктанту повторюються три ознаки рівності трикутників, поняття рівнобедреного трикутника, його властивості та ознаки. Мета диктанту - систематизувати і повторити важливі факти даної теми, сприяти розвитку уваги, логічного мислення та математичного зору учнів, сформувати навички розумової діяльності. Вчитель зачитує завдання, а учні записують відповіді до них або ставлять знак «+», якщо вчитель називає правильну відповідь.

Після виконання завдання учні обмінюються зошитами для перекрес-тної перевірки. Така система контролю розвиває в учнів чесність та об'єктивність в оцінюванні результатів своєї діяльності та діяльності однокласників. Завдання диктанту пропонується за варіантами.

Математичний диктант.

Варіант І.

1. У DKNO і DPQT рівні сторони KN та PQ і кути K і P. Яке ще рівність має виконуватися, щоб трикутники були рівні по 1 ознакою рівності трикутників?

2. У рівних DBCD і DMPQ кути B і D дорівнюють відповідно кутах M і Q. Що випливає з умови по 2-му ознакою рівності трикутників?

3. У DАВС проведені медіани AD, BE, CF. Довжини відрізків AF, AE, BD відповідно рівні 3 см, 5 см, 6 см. Знайти периметр DАВС.

4. У DАВС і DPOT сторони AB = PO, BC = OT. Яке ще умова повинна виконуватися, щоб трикутники були рівні по 3 ознакою рівності трикутників?

5. Продовжити речення: "У трикутник медіана є ..."

Варіант ІІ.

1. У DABC і DDEF рівні сторони AB і DE і кути A і D. Яке ще рівність має виконуватися, щоб трикутники були рівними по 1 ознакою рівності трикутників?

2. У рівних DMRQ і DKLT кути M і Q рівні відповідно кутах K і T. Що випливає з умови згідно 2 ознакою рівності трикутників?

3. У DАВС проведені бісектриси AD, BE, CF. Градусні заходи кутів відповідно рівні ÐBAD = 30, ÐCBE = 40, ÐACE = 20. знайдіть суму кутів DАВС.

4. У DMNQ і DRST боку MN = RT, NQ = NS. Яке ще умова повинна виконуватися, щоб трикутники були рівні по 3 ознакою рівності трикутників?

5. Продовжити речення: "Якщо в трикутнику всі кути рівні, то він ..."

Відповіді вчителя.

І варіант. 1. KO = PT. 2. BD ¹ MQ. 3. 28 см. 4. AC = PT. 5. бісектрисою і висотою

IІ варіант. 1. AC = DF. 2. MQ ¹ KT. 3. 180 ^0. 4. MQ = RS. 5. рівносторонній

ІІ. Рішення прикладних завдань.

Завдання 1. Щоб виміряти на місцевості відстань між двома точками А і В, між якими не можна пройти з мірною ланцюгом, вибирають таку точку С, з якої було б видно як точка А, так і В і з якої можна було б до них пройти. Провішують *) АС і ВС, продовжують їх за точку С і відміряють CD = AC і EC = CB. Тоді відрізок ED дорівнює шуканого відстані АВ. Чому?
*) Тобто відзначають напрямок жердинами - віхами.

Завдання 2. Щоб виміряти на місцевості відстань між двома точками А і В, з яких одна (точка А) відсутнє, провішують напрям відрізка АВ і на його продовження відміряють довільний відрізок BE. Вибирають на місцевості точку D, з якої можна було б бачити точку А і пройти до точок В і E. Провішують прямі BDG та EDF і відміряють FD = DE і DG = BD. Потім йдуть по прямій FG, дивлячись на точку А, поки не знайдуть таку точку Н, яка лежить на прямій AD. Тоді Нg одно шуканого відстані. Довести.

Завдання 3. Щоб виміряти відстань між пунктами А і В, розташованими на різних берегах річки, за допомогою Еккер провішують перпендикулярно до АВ відрізок BD довільної довжини. Ділять BD в точці Е навпіл. Проводять перпендикуляр DC до BD в точці D; йдуть по DC, дивлячись на А, до точки С, яка лежить на прямій АЕ. Довжина DC дорівнює АВ. Довести.

ІII. Домашнє завдання.

Завдання 1. На кожній стороні рівностороннього трикутника АВС відкладені відрізки АВ ₁ = ВС ₁ = СА _1. Точки А _1, В ₁ і С ₁ з'єднані прямими. Довести, що трикутник А ₁ В ₁ З ₁ теж рівносторонній.
Завдання 2. Кожна зі сторін рівностороннього трикутника АВС продовжена: АВ - за вершину У; НД - за вершину С; СА - за вершину А; на продовженнях відкладені відрізки однакової довжини, і кінці їх з'єднані між собою. Визначити вид отриманого трикутника.
Завдання 3. Всередині трикутника АВС проведена до боку ЗС пряма AD так, що кут CAD дорівнює куту ACD. Периметри трикутників АВС і ABD рівні 37 м і 24 м. Визначити довжину АС.
Завдання 4. У трикутник АВС проведена висота BD. Периметр трикутника АВС дорівнює 50 м, а периметр трикутника ABD дорівнює 40 м. Визначити висоту BD.

УРОК 6

Узагальнюючий урок з теми «Ознаки рівності трикутників»

Всі вчителі на початку вивчення теми визначають для себе і для учнів вимоги, які пред'являються до знань учнів в кінці її вивчення. Протягом всього часу, відведеного на конкретну тему, робота вчителя та учнів націлена на досягнення всіма учнями обов'язкових результатів навчання. При цьому використовуються різні види уроків і різні форми роботи. Результати засвоєння теми виявляє урок-залік або контрольна робота. Напередодні останнього уроку по темі доцільно проводити по ній узагальнюючі уроки. Вдало спланований, детально продуманий, такий урок дозволяє повною мірою розкритися як вчителю, так і учням. Ці уроки дозволяють вчителю за короткі проміжки часу (3-5 хв або 10-15 хв), змінюючи форми і прийоми роботи, перевірити якість знань учнів з конкретної теми, перевірити вміння застосовувати ці знання в різних завданнях. Саме на уроках узагальнення знань найбільш яскраво простежується структура пізнавальної діяльності учнів. Вона може бути охарактеризована наступним чином: навчально-практичне завдання ® процес виконання завдання ® узагальнення результату у практичній діяльності, абстрагування ® формулювання математичних понять ® систематизація математичних знань ® інтерпретація отриманих знань.
За дидактичним функціям заняття можуть бути навчальними, пізнавальними, перевірочними. На таких уроках триває процес пізнання, хоча цей урок заключний, тобто урок-«підсумкова риса», але пізнавальна діяльність тут є саморух. У результаті роботи на уроці знання не надходять ззовні у вигляді інформації, а є внутрішнім продуктом практичної діяльності самих учнів.
Досвід показує, що на таких уроках активність учнів набагато вище, ніж на інших уроках, а в результаті і якість запам'ятовування і відтворення досліджуваного матеріалу набагато вище. Принцип полягає в тому, що на таких уроках учні не тільки сприймають матеріал від вчителя, а й самі активно беруть участь у його створенні і засвоєнні шляхом поєднання розумових операцій з практичними діями.
У цей час у хлопців розвивається творча самостійність, ініціатива, краще реалізується принцип зв'язку теорії та практики.
I. Організаційний момент (2-3 хв.)
Завершується повідомленням теми та мети уроку (які, в принципі, учням вже відомі). Це робиться ще й для того, щоб переналаштувати їх розумову діяльність після попереднього уроку на справжній урок.
II. Повторення ознак рівності трикутників (3-5 хв.)
Працюють відразу 6 учнів (краще слабких). Троє - на дошці на кресленні «показують ознаки», а троє учнів їх формулюють.
III. Тест на знання ознак рівності трикутників (8-10 хв.)
Кожен учень одержує лист із зображенням 10 пар трикутників, у яких відзначені відповідно рівні елементи (додаток 1). Пропонується відшукати пари трикутників, про рівність яких можна стверджувати, спираючись на один з ознак.
На перший погляд робота здається простою, але це тільки в разі глибокого знання ознак. Свої результати учні вносять до листа фіксування результатів (додаток 2). Така форма роботи повинна бути вже випробувана, щоб час на організацію було мінімально. У разі позитивної відповіді учень вносить в 1-й стовпець номер ознаки, за яким трикутники рівні, у разі негативної відповіді рядок залишають порожньою. Під час роботи над тестом учні отримують коди для перевірки (додаток 3). Після 5-6 хв роботи - самоперевірка. Для цього аркуш-код прикладають на дві колонки. При цьому збіг відповідей учня та коду зазначається знаком «+» у третьому стовпці. Підраховується кількість зароблених балів. Робота відразу ж оцінюється.
Критерії оцінок:
10 балів - оцінка «5»,
9 балів - «4»,
8 балів - «3»,
менше - «2».
Як правило, двійок на цьому етапі навчання вже не буває. Перевірка та підбиття підсумків займає 1-2 хв.
IV. Робота з опорною таблицею (5 хв.)
Зміна письмової роботи на усну не дозволяє знизитися працездатності. У кожного учня протягом вивчення всієї теми є опорна таблиця (додаток 4). Розглядаємо задачі 4, 7, 6. На будь-якому етапі роботи учень може за сигналом вчителя передати «естафету» рішення будь-якому учневі за своїм бажанням. Цим досягається гранична увага. Робота з таблицями корисна для розвитку геометричної спостережливості і для вироблення вміння застосовувати ознаки рівності трикутників. Крім того, учні привчаються розуміти малюнок.
V. Групова робота (8-10 хв.)
Групові заняття є проміжними між колективним (фронтальним) та індивідуальним видами роботи. Першочергова мета групової роботи - ефективна допомога всім середнім та слабоуспевающим учням. Робота йде в ланках. Кожна ланка складається з чотирьох осіб, в нього входять як сильні, так і слабкі учні. Ланки розсідаються так, щоб одна пара учнів сиділа за одною. Під час роботи «передня пара» повертається до пари, що сидить ззаду. На даному уроці учням кожної ланки пропонується по одній задачі, участь в обговоренні та вирішенні якої беруть все. Це обумовлено тим, що учні заздалегідь не знають, хто з них буде «звітувати про виконану роботу». Це може бути представник, «висунутий» учнями або призначений учителем.
Групам пропонуються завдання, які є підготовчими до вирішення завдання наступного етапу; це «сходинки до вершини». Тут яскраво простежується многоступенчатость у вирішенні складних завдань, де кожен ступінь - це завдання, але більш проста. Підготовчі завдання дозволяють сформувати в учнів досвід у вирішенні завдань і тим самим полегшити вирішення складного завдання. На цю роботу відводиться 10-12 хв.
VI. Рішення підсумкової завдання (8-10 хв.)
Форма роботи - фронтальна. Пропонується завдання з готовим кресленням і записаними даними; учні повинні уважно її вивчити. Мета вважається досягнутою, якщо в цьому завданні вони побачать «свою» завдання, яку вони вирішували в групі. Завдання вирішується в кілька кроків з посиланням на 3 раніше розібрані завдання, причому поетапність у вирішенні дуже добре проглядається з допомогою кодоскопних плівок накладенням. Завдання, її рішення та обговорення займають 7-10 хв.
VII. Математичний диктант (3-4 хв.)
Ця форма роботи дозволяє за короткий проміжок часу (3-4 хв) перевірити глибину знань учнів, виставити оцінки, проаналізувати помилки. Диктант слід проводити на листочках під копірку: один примірник учні здають вчителю для перевірки, інший залишають собі. Запитання побудовані так, що мається на увазі відповідь «так» чи «ні».
1. Чи вірно, що якщо трикутники рівні, то кожен кут першого трикутника дорівнює кожному розі другого трикутника? [Ні.]
2. Чи правда, що кожному кутку першого трикутника можна знайти кут, рівний йому в другому, рівному трикутнику? [Так.]
3. Чи вірно, що якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглих до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні? [Так.]
4. Чи вірно, що якщо три кути одного трикутника відповідно рівні трьох кутах іншого трикутника, то такі трикутники рівні? [Ні.]
5. Чи вірно, що якщо дві сторони і кут одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту іншого трикутника, то такі трикутники рівні? [Ні.]
VIII. Підведення підсумків уроку. Завдання будинок (1-2 хв.)
Учням повідомляються результати їх роботи, заохочуються кращі відповіді учнів. Урок можна вважати вдалим, якщо учні отримали від нього почуття задоволення. Уроки підсумкового повторення проходять в кінці вивчення великої теми, тобто не часто, тому на них необхідно створювати атмосферу свята. Кожен учень повинен усвідомлювати, що він щось знає, щось уміє, що пройдена тема «залишила слід» у його голові.
Додаток 1

Додаток 3
Прізвище __________

Зароблено __________ балів.
Додаток 4
Таблиця 2 Ознаки рівності трикутників

Знайдіть пари рівних трикутників і доведіть їх рівність.
Додаток 5

Дано: MK = KN, OK перпендикулярно MN, Ð BMO = Ð CNO.
Довести: D MBO = D NCO.
Додаток 6

Дано: MO = ON, Ð BMO = Ð CNO.
Довести: D BOC - рівнобедрений.
Додаток 7

Дано: MO = ON, AM = DN, AB = CD, Ð BMO = Ð CNO.
Довести: D ABM = D DCN.

ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Погорєлов А.В. Геометрія: навч. посібник для 6-10 кл. середовищ. шк. - 6-е вид. - М.: Просвещение, 1987.
2. Гребеннікова Л.Ю. 90 хвилина Спілкування з трикутник у 7-му класі. / / Всеукраїнська газета для вчителів «Математика» № 45 (153), грудень, 2001, с. 4-6.
3. Галайко Р.П. Ознака рівності трікутніків. 7-й клас. / / Всеукраїнська газета для вчителів «Математика» № 1 (205), січень, 2003, с. 6-10.
4. Готман Е.Г., Скопець З.А. Завдання одне-рішення разние.-К.: Рад. шк., 1988.-173 с.
5. Лоповок Л.М. Факультативні завдання з геометрії для 7-11 класів: Посібник для вчителів. - К.: Рад. шк., 1990. - 128с.