Дисципліна: "Вища математика"
Тема: "Міра кута"
1. Градусна і радіанне міра кута
Як було показано раніше, функція задає певне співвідношення між двома числовими множинами. Проте в деяких випадках область визначення функції може бути безліччю чисел, що мають розмірність. Зокрема, мова йде про безліч значень деякого кута. Перш ніж приступити до розгляду подібних функцій, нагадаємо деякі факти, пов'язані з виміром кутів.
Визначення 1. Кутом в називається центральний кут, що спирається на дугу кола, що має довжину, рівну її
частини.
Історично склалося поділ градуси на 60 хвилин, а хвилини на 60 секунд, тобто: ,
. Секунди діляться на десяті, соті і т.д. частини. Градус є найбільш поширеною одиницею вимірювання кутів.
Визначення 2. Кутом в 1 радіан називається центральний кут, що спирається на дугу кола, що має довжину, рівну її радіусу.
Таким чином, для відшукання радіанної заходи центрального кута досить довжину дуги (l), на яку він спирається, розділити на довжину радіусу (R), тобто
.
Зі сказаного вище випливає, що повної окружності буде відповідати в градусах кут в 360 разів більший, тобто . У радіанах це буде
радіан. Необхідно також зазначити, що величина кута в градусної і радіанної мірою ніяк не пов'язана з радіусом окружності. Отже, надалі можна розглядати окружність якого радіуса, найпростіше - одиничного.
Формули переходу від градусної міри дуг і кутів до радіанної і навпаки мають вигляд:
,
.
Звідси випливає, що
1 рад = , А
радий
0,01745 радий.
Розглянемо тепер координатну площину з початком координат в точці О. Проведемо коло одиничного радіуса з центром в точці О і відзначимо точки її перетину з осями координат.
Розглянемо довільну точку M на колі і вектор , Який називається радіус-вектором точки M.
Будемо розглядати центральні кути AOM, утворені векторами і
при переміщенні точки M по колу.
Якщо точка M збігається з точкою A, то думають рівним нулю. Будемо вважати
позитивним, якщо обертання вектора
від початкового положення
відбувається в напрямку протилежному руху годинникової стрілки. В іншому випадку
будемо вважати негативним.
Так як повний оборот вектора приводить його в те саме положення, однозначно визначити величину кута, якщо це не обумовлено, не можна. Інакше кажучи, в загальному випадку
Або
.
2. Елементарні тригонометричні функції довільного кута
Введемо визначення основних тригонометричних функцій кута. Для цього зобразимо спочатку одиничну окружність.
Визначення 1. Синус кута називається відношення ординати
кінця рухомого радіус-вектора
, Який утворює кут
з віссю абсцис, до довжини цього радіус-вектора і позначається
.
Визначення 2. Косинус кута називається відношення абсциси
кінця рухомого радіус-вектора
, Який утворює кут
з віссю абсцис, до довжини цього радіус-вектора і позначається
.
Визначення 3. Тангенсом кута називається відношення ординати
кінця рухомого радіус-вектора
, Який утворює кут
з віссю абсцис, до абсциссе
кінця цього радіус-вектора і позначається
.
Визначення 4. Котангенс кута називається відношення абсциси
кінця рухомого радіус-вектора
, Який утворює кут
з віссю абсцис, до ординате
кінця цього радіус-вектора і позначається
.
З наведених визначень випливає, що
,
,
,
причому у одиничному колі
,
.
Введення довільних за знаком та абсолютною величиною кутів дозволяє кожному дійсному числу поставити у відповідність кут в
радіан і, навпаки, кожному кутку - однозначно визначається дійсне число, рівне числу радіан. Таке взаимнооднозначное відповідність дозволяє визначити тригонометричні функції числового аргументу.
Визначення 5. Тригонометрична функція числа це та ж тригонометрическая функція кута величиною в
радіан.
Розглянемо графіки основних елементарних тригонометричних функцій.
.
Тут
;
;
період ;
; Коріння
, Де
.
2. .
Тут
;
;
період ;
; Коріння
, Де
.
3. .
Тут
,
де ;
; Період
;
; Коріння
, Де
.
4. .
Тут
,
де ;
; Період
;
; Коріння
, Де
.
5.
.
Тут
;
;
; Корінь
.
6.
.
Тут
;
;
; Корінь
.
7. .
Тут
;
;
; Корінь
.
8. .
Тут
;
;
; Коренів немає.
Література
Єфімов Н.В. Вища геометрія. Вид-во: Физматлит ®, 2003. - 584c.
Клейн Ф., Фелікс Християн Клейн Вища геометрія: Пер. з йому. Изд.3. Вид-во: ЛІБРОКОМ, 2009. - 400c.
Крищенко Олександр, канатник Анатолій Аналітична геометрія: Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. Видавництво "Академія / Academia", 2009. - 2008c.
Фролов С. Нарисна геометрія Учебнік.3-е изд., Перераб. і доп. Вид-во: ИНФРА-М, ВИДАВНИЧИЙ ДІМ, 2007. - 286c.