МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КІРОВОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. Винниченка
Курсова робота
з курсу «Основи викладання математики»
на тему: «Методологія вивчення теми« Ознаки паралельності прямих »
Кіровоград

2003

ЗМІСТ

ВСТУП ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... 3
РОЗДІЛ 1. Методика викладання теми «Паралельні прямі. Завдання,
пов'язані з паралельними прямими »... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... .. ... 4
1.1. Паралельні прямі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1.2. Кути при паралельних прямих ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 7
1.3. Ознаки паралельності прямих ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
1.4. Ознаки непаралельності прямих ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.5. Кути з взаємно паралельними сторонами, кути із взаємно-
перпендикулярними сторонами ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
1.6. Сума кутів трикутника ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
РОЗДІЛ 2. Проведення практичних уроків з теми «Паралельність прямих і
використання ознак паралельності при вирішенні
геометричних завдань »... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... 15

2.1 УРОК 1. Тема "Сума кутів трикутника "............................................ ........... 15

2.2. УРОК 2. Тема "Ознаки паралельності прямих. Частина 1 "... ... ... ... ... .. ... 20

2.3. УРОК 3. Тема "Ознаки паралельності прямих. Частина 2 "... ... ... ... .... ... 22
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 24

ВСТУП

Учні, приступаючи до систематичного вивчення курсу геометрії, вже володіють деяким запасом геометричних знань. Знання ці переважно почерпнуті або безпосередньо з досвіду або сприйняті ними інтуїтивно, шляхом зіставлення низки аналогічних або вже знайомих їм геометричних фактів.
Викладач повинен зуміти: 1) належним чином використовувати накопичені знання учнями для розгортання перед ними шкільного логічного курсу геометрії, в якому логічне доказ висувається на перше місце, де інтуїція відіграє роль розвідки, в досвід відходить на задній план, 2) привчити учнів знаходити нові геометричні факти, 3) підкріплювати при розгляді окремих питань теоретичні висновки ілюстрацією їх практичної цінності і тим самим знаходити тісну ув'язку теорії з практикою, 4) використовувати явища навколишньої дійсності, досвід та інтуїцію як стимул для постановки питання, аж ніяк не замінюючи логічний доказ досвідом, 5) привчати учнів вбачати взаємозалежність між окремими геометричними фактами, 6) розвинути в учнів спостережливість, строгість і послідовність у судженнях, любов до дослідження, 7) навчити учнів користуватися підручником, вести чітку конспективно запис, виконувати охайно і точно креслення і бути завжди готовими до відповіді - ось відповідальна і складна задача викладача, починаючи з перших занять з геометрії.
У своїй роботі викладач завжди повинен пам'ятати, що учні повинні навчитися доводити, але аж ніяк не заучувати незрозуміле доказ-ство. Необхідно вести роботу так, щоб учні вміли чітко відрізняти при розборі теореми, то що дано, і те, що потрібно довести. Будь-яке доказ вимагає від учнів зосередженості уваги і напруження думки, тому не можна перевантажувати урок розбором і доказом більш ніж двох-трьох теорем.
Юнг у своєї книги «Як викладати геометрію» писав: «якщо геометрію вивчати так, щоб учень сам робив відкриття, то він відчує її життя».
РОЗДІЛ 1
Методика викладання теми «Паралельні прямі. Завдання, пов'язані з паралельними прямими »
1.1. Паралельні прямі
До поняття про паралельні прямі слід підвести учнів наступним чином. Учням пропонується провести довільну пряму АВ, відзначити на ній дві довколишні точки М і N і провести через ці точки до прямої АВ перпендикуляри ММ ₁ і NN _1. Ставиться питання, перетнуться ці перпендикуляри, якщо їх продовжити в ту або іншу сторону від прямої АВ.
Якщо на поставлене запитання послідує відповідь, що прямі не перетнуться, а це учні відчувають інтуїтивно, або, навпаки, буде дана відповідь, що прямі перетнуться, необхідно вказати учням, що кожна зі зроблених ними тверджень має бути доведено, тобто обгрунтовано посиланням на відомі їм аксіоми і теореми.
Доказ: маємо ММ ₁ перпендикулярно АВ, NN ₁ перпендикулярно АВ. Доведемо, що перпендикуляри ММ ₁ і NN _1, проведені до однієї і тієї ж прямий АВ, не можуть перетнутися. Припустимо гидке, а саме - що перпендикуляри ММ ₁ і NN ₁ перетнуться в деякій точці О, тоді виходить трикутник МОN, в якому сума двох внутрішніх кутів, Ð1 і Ð2, дорівнює двом прямим: Ð1 + Ð2 = 180, що неможливо, так як згідно сума двох кутів трикутника завжди менше 180 градусів. Звідси випливає, що прийняте допущення, що перпендикуляри ММ ₁ і NN ₁ при своєму продовженні перетнуться в деякій точці О, невірно. Отже, два перпендикуляра до однієї і тієї ж прямій не перетинаються, скільки б їх не продовжувати.
Після такої "роботи учням вказується, що на площині можна розташувати дві прямі так, що вони ніколи не перетнуться, і дається визначення: прямі, які розташовані в одній площині і не перетинаються, називаються паралельними.
Повертаючись потім у отриманому вище висновку про взаємне положення двох перпендикулярів до однієї і тієї ж прямий, викладач зазначає, що цей висновок можна формулювати у вигляді теореми: дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні.
Вводиться знак для позначення паралельності двох прямих: АВ ççCD.
Викладач повинен підкреслити, що необхідною умовою для паралельності двох прямих є те, що прямі повинні лежати в одній площині. Це вказівка ​​повинна бути виявлено у визначенні, а тому визначення паралельних прямих без слів «які розташовані в одній площині» є неповним.
Слід використовувати модель куба для показу паралельних і непаралельних прямих. Так, ребра куба АВ і А ₁ D ₁ не перетинаються: вони лежать у різних площинах; пояснюється, що такі прямі, на відміну від прямих паралельних, називаються перехресними. ребра ж куба АВ і А ₁ В _1, АА ₁ і ВВ _1, ВВ ₁ і СС ₁ також не перетинаються, а проте вони попарно розташовані на одній площині, вони паралельні.
Теорема про двох перпендикулярах на площині до однієї і тієї ж прямої є одним з ознак паралельності прямих. Необхідно показати учням її практичне застосування, для чого слід вирішити завдання:
На площині дано дві точки А і В. Провести через ці точки дві паралельні прямі.
Побудова. Через точки А і В проводиться пряма MN, і в цих же точках будуються до прямої MN перпендикуляри АС і BD (АС ççBD). Продовжуючи обидва перпендикуляра по іншу сторону від прямої MN маємо: СС ₁ çç DD _1. Це одне з численних рішень; через точки А і В можна провести безліч пар паралельних прямих.
Дійсно, проводимо на площині ряд довільних прямих і до них через точки А і В перпендикуляри. Отримуємо, що в кожній з точок А і В пучок прямих. При цьому кожній прямий пучка з центром у точці А відповідає певна пряма, їй паралельна, що належить пучку з центром у точці В.
Після цього слід вирішити завдання на побудову. Через точку А поза даною прямою провести пряму, паралельну даній.
Запис завдання на дошці: Дана пряма MN та поза її точка А. Провести через точку А пряму, паралельну даній.
Рішення. З даної точки А проводять до прямої MN за допомогою лінійки та креслярського трикутника перпендикуляр АР. Потім проводять через точку А до прямої АР перпендикуляр АК також за допомогою лінійки та креслярського трикутника. Пряма АК паралельна MN на підставі теореми: дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні.
Необхідно запропонувати учням зробити кілька побудов, різна розташувавши пряму MN щодо краю дошки або аркуша паперу.
Коли побудова виконано, викладач повинен вказати, що необхідно ще досліджувати, чи немає крім побудованої прямої ще інший прямий, яка також проходить через точку А і паралельна даній прямій MN, і що якщо такої немає, то проведена пряма є єдиною прямою, що проходить через точку А паралельно прямий MN.
Учням роз'яснюється, що довести це положення не можна за допомогою відомих нам аксіом і теорем і що віковий досвід людства, набутий рішенням практичних завдань, навів ще древніх геометрів до висновку, що
через цю точку поза прямою на площині можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.
Остання судження є аксіома про паралельні.
Не зайве вказати учням, що, починаючи з найдавніших часів, кращими математиками все ж робилися спроби довести аксіому про паралельні, тобто розглядати її як теорему, яка, як вони припускали, може бути доведена за допомогою вже прийнятих аксіом. Однак їх спроби були і залишилися безуспішними. В даний час міркуваннями, що виходять за межі елементарного курсу геометрії, встановлено, що аксіому про паралельні не можна довести без внесення додаткових аксіом до числа тих, які встановлені Евклідом.
На аксіомі про паралельні і наслідки з неї слід загострити увагу учнів.
Учні повинні вміти формулювати словами запис: на площині АВ çç CD і CDççMN, вміти зробити до неї потрібний креслення і після відповідного докази записати висновок, що випливає з взаємного розташування прямих АВ, CD і MN. А саме, що АВççMN. До читання такого роду записів і вченню по запису зробити відповідний висновок слід привчати учнів.
Більшість підручників зазвичай призводить аксіому про паралельні безпосередньо перед розглядом зворотної теореми про паралельні, тобто теореми: дві паралельні прямі, пересічені третьої, утворюють рівні внутрішні навхрест лежачі кути, так як доказ цієї теореми грунтується на аксіомі про паралельні. Для прямого теореми: дві прямі, пересічені третьої, паралельні, якщо внутрішні навхрест лежачі кути рівні - немає необхідності в застосуванні аксіоми про паралельні. Для доказу прямий теореми достатньо попередніх аксіом.
Наводячи все ж аксіому про паралельні раніше, а саме - у зв'язку з аналізом виконання завдання про проведення прямої, паралельної даній прямій, вважаємо, що при такому розташуванні матеріалу учням доступне розуміння необхідності аксіоми про паралельні.
1.2. Кути при паралельних прямих
Ознайомлення учнів з кутами, утвореними двома паралельними і січної, доцільно почати з повторення властивостей кутів, утворених двома пересічними прямими, розглянути одержувані протилежні і суміжні кути і лише потім перейти до розгляду кутів, утворених трьома попарно пересічними прямими, з яких одна по відношенню до двох іншим, паралельним, називається січною.
Одержуваних при цьому восьми кутах даються назви. Потрібно вказати, що не слід вимагати від учнів запам'ятовування всіх найменувань кутів, утворених двома паралельними прямими і січної. Досить, якщо учні вміють чітко розбиратися в розташуванні відповідних і внутрішніх навхрест лежачих кутів. Доводиться, що певна залежність між кутами якої-небудь однієї з наступних дванадцяти пар кутів - Ð3 і Ð5, Ð4 і Ð6, Ð1 і Ð7, Ð2 і Ð8, Ð1і Ð5, Ð4 і Ð8, Ð2 і Ð6, Ð3 і Ð7, Ð4 і Ð5, Ð1 і Ð8, Ð3 і Ð6, Ð2 і Ð7 - тягне за собою певну залежність між кутами кожній з інших пар. Так, якщо перша пара кутів дорівнює, то рівні і наступні сім пар кутів, а останні чотири пари кутів поповнювальні і т.д.
Недаремно звернути увагу учнів на наступне: кути, утворені при перетині двох паралельних третьої прямий, січної, - у загальному випадку кути гострі й тупі, при цьому всі гострі кути між собою і всі тупі кути між собою рівні, а будь-яка пара кутів, з яких один гострий, а інший тупий, - кути поповнювальні. Якщо ж хоча б один з восьми кутів - прямий, то всі кути рівні і всі кути попарно поповнювальні.
1.3. Ознаки паралельності прямих
У ряді підручників теорема про ознаки паралельності двох прямих, які перетнув третьої, доводиться способом від противного.
Це доказ наступне: припустимо, що прямі АВ і CD не паралельні. Тоді вони можуть перетнутися або в якій-небудь точці О, що лежить права від січної EF, або в якій-небудь точці О1, що лежить зліва від січної EF. Якщо АВ і CD перетнуться в точці О, то отриманому трикутнику OMN Ð1 <Ð2. Однак це суперечить умові, згідно з яким Ð1 = Ð2, а тому припущення, що прямі АВ і CD перетнуться в точці О, невірно. Отже, прямі АВ і CD не можуть перетнутися, отже, вони паралельні: АВççCD. До того ж висновку приводить припущення, що прямі АВ і CD перетнуться в деякій точці О1, ліворуч від січної EF.
Прямий доказ даної теореми, наведене в підручнику, слід віддати перевагу доказам від протилежного, викладеним вище, так як метод доведення від супротивного завжди представляє для учнів труднощі, зумовлені тим, що доводиться приймати в якості вихідної умови для ланцюга висновків протилежне тому, що потрібно довести.
Після опрацювання теореми про ознаки паралельності двох прямих слід повернутися до задачі на побудову прямої, що проходить через дану точку А паралельно даної прямої MN.
Побудова. Через точку А проводиться під довільним кутом a до прямої MN січна EF, і при точці А будується кут, рівний кутку a, як кут відповідний або внутрішній навхрест лежить так, щоб одна сторона кута збіглася з січною EF. Слід вказати, що побудова, раніше наведене та зводиться до побудови двох перпендикулярів до третьої прямий, аналогічно останньому побудови.
Учням повинні бути надані практичні вказівки про проведення паралельних прямих за допомогою лінійки та креслярського трикутника. Вказується, що при паралельному переміщенні креслярського трикутника вздовж ребра лінійки прямі, проведені вздовж одного з катетів або гіпотенузи креслярського трикутника, утворюють разом з ребром лінійки рівні відповідні кути, в силу чого проводяться прямі паралельні.
Теорема: дві паралельні прямі, пересічені третьої, утворюють рівні внутрішні навхрест лежачі кути - є теоремою, зворотної теоремі про ознаки паралельності двох прямих. У підручниках вона доводиться методом від супротивного, і як наслідок з неї наведено судження: пряма, перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, перпенди-РНА і до іншої.
         Можна навести й прямий доказ зазначеної теореми, але тоді необхідно спершу довести, як наслідок з аксіоми про паралельні, що пряма, перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, перпендикулярна і до іншої.
         Після опрацювання теореми, зворотної теоремі про ознаки паралельності двох прямих, можна разом з учнями скласти у вигляді таблиці зведення ознак паралельності прямих.
1.4. Ознаки непаралельності прямих
Для прямого теореми, що виражає ознаки паралельності двох прямих, і їй зворотного також вірні й протилежні теореми:
I. Якщо при перетині двох прямих третьою 1) внутрішні навхрест лежачі кути не рівні, 2) зовнішні навхрест лежачі кути не рівні, 3) відповідні кути не рівні, 4) внутрішні односторонні кути не поповнювальні, тобто сума їх більше або менше 2 d, і 5) зовнішні односторонні кути не поповнювальні, то прямі не паралельні.
II. Якщо дві прямі не паралельні, то при перетині їх третьої прямій: 1) внутрішні навхрест лежачі кути не рівні, 2) зовнішні навхрест лежачі кути не рівні, 3) відповідні кути не рівні, 4) внутрішні односторонні кути не складають у сумі 2 d і 5) зовнішні односторонні кути не складають у сумі 2 d.
Теореми ці доводяться методом від протилежного. Теореми висловлюють ознаки непаралельності двох прямих.
Наведемо доказ одного з ознак непаралельності: якщо при перетині двох прямих третьою сума внутрішніх односторонніх кутів не дорівнює 2 d, то прямі не паралельні, і вони отже, перетинаються.

Припустимо, що АВççCD, тоді Ða + Ðb = 2d. Але це суперечить умові, а тому прийняте допущення невірно. Якщо ж пряма АВ не паралельна прямій CD, то прямі перетинаються.
Розглянуте доказ одного з ознак непаралллельності прямих, а також докази інших ознак можуть служити темами для самостійної роботи учнів.
Наведений ознака непаралельності прямих, доповнений твердженням, що прямі перетнуться по той бік січної, на якій сума внутрішніх односторонніх кутів менше 2d, був прийнятий Евклідом як аксіома паралельних прямих і відомий як V постулат Евкліда.
У Евкліда аксіома свідчить: якщо дві прямі лінії зустрічаються з третьої так, що сума внутрішніх кутів, що лежать по один бік третьої, менше двох прямих кутів, то дві перші прямі при достатньому своє продовження зустрінуться по той бік третьої прямий, на якій сума внутрішніх кутів менше двох прямих.
У сучасних елементарних курсах геометрії V постулат Евкліда замінюється рівносильній йому аксіомою про паралельні, даної ще Проклом (412-485), одним з коментаторів Евкліда.
Слід зупинитися на одному з ознак непаралельності прямих, який використовується при доказі теореми: через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло і притому тільки одну.
Теорема (ознака непаралельності). Перпендикуляри до двох пересічних прямим перетинаються.
Дійсно, якщо допустити, що MN і KL не присікається, то MNççKL. Але в такому випадку пряма АВ, перпендикулярна до MN, буде перпендикулярна і до KL, так як MNççKL. Отже, і CD і АВ перпендикулярні до KL, але CD і AB перетинаються в деякій точці Р, отже, з точки Р проведені до KL два перпендикуляра, AB і CD, що неможливо. А тому припущення, що MNççKL невірно. Якщо ж MN не паралельна KL, то MN і KL перетинаються.
Остання теорема представляє для учнів значні труднощі. Тому доцільно розглянути її пізніше (на наступному році навчання геометрії) для обгрунтування висновку теореми про проведення окружності через три точки, що не лежать на одній прямій.
1.5. Кути з взаємно паралельними сторонами, кути із взаємно перпендикулярними сторонами.
Теорему про властивість кутів з відповідно паралельними сторонами слід розглянути для випадків, коли дані кути або обидва гострі, або обидва тупі, або один з них гострий, а інший тупий.
Теорема знаходить широке застосування при вивченні властивостей різних фігур і, зокрема, чотирикутника.
Зустрічається іноді при формулюванні теорем вказівку на те, що сторони кутів з відповідно паралельними сторонами можуть мати або однакову або протилежний напрямок, вважаємо непотрібним.
Якщо користуватися терміном «напрям», то слід було б роз'яснити, що має розуміти під цим словом. Досить звернути увагу учнів на те, що кути з відповідно паралельними сторонами рівні, якщо вони обидва гострі або обидва тупі, якщо ж один з кутів тупий, а інший гострий, то вони в сумі становлять 2d.
Теорема про кути з відповідно перпендикулярними сторонами може бути дана безпосередньо після теореми про властивості кутів з відповідно паралельними сторонами. Учням наводяться приклади використання властивостей кутів з відповідно паралельними і перпендикулярними сторонами в приладах і деталях машин.
1.6. Сума кутів трикутника
При виведенні теореми про суму кутів трикутника можна використовувати наочні посібники. Вирізають трикутник АВС, пронумеровуються його кути, потім обривають їх і прикладають один до одного. Виходить Ð1 + Ð2 + Ð3 = 2d. Проводять з вершини З трикутника АВС висоту СD і перегинають трикутник так, щоб висота ділилася навпіл, тобто вершина З впала в точку D - підстава висоти. Лінія перегину MN є середня лінія трикутника АВС. Потім перегинають рівнобедрені трикутники АМD і DNB за їх висот, при цьому вершини А і В співпадуть з точкою D і Ð1 + Ð2 + Ð3 = 2d.
Слід пам'ятати, що використанням наочних посібників в систематичному курсі геометрії аж ніяк не ставиться завдання підмінити логічний доказ якої-небудь пропозиції дослідної перевіркою його.
Наочні посібники повинні лише сприяти розумінню учнями того чи іншого геометричного факту, властивостей тієї чи іншої геометричної фігури і взаємно розташування окремих її елементів.
При визначенні величини кута трикутника слід нагадати учням про розглянутої раніше теоремі про зовнішній вугіллі трикутника і вказати, що теорема про суму кутів трикутника дозволяє і побудовою і обчисленням встановити числову залежність між кутами зовнішніми і внутрішніми, не суміжними з ними.
Як наслідок з теореми про суму кутів трикутника доводиться, що в прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута в 30 градусів, дорівнює половині гіпотенузи.

Під час викладу матеріалу учням слід поставити питання і прості завдання, сприяють кращому засвоєнню нового матеріалу. Наприклад,

1. Які прямі називаються паралельними?
2. При якому положенні січної рівні всі кути, утворені двома паралельними прямими і цієї січної?
3. Пряма, проведена в трикутнику паралельно підставі, відсікає від нього малий трикутник. Довести, що відсікається трикутник і даний рівнокутні.
4. Обчислити всі кути, утворені двома паралельними і січної, якщо відомо, що один з кутів дорівнює 72 градуси.
5. Внутрішні односторонні кути відповідно рівні 54 ⁰ і 123 ^0. На скільки градусів треба повернути одну з прямих навколо точки її перетину з січною, щоб прямі були паралельні?
6. Довести, що бісектриси: а) двох рівних, але не протилежних кутів, утворених двома паралельними прямими і січної, паралельні, б) двох нерівних кутів при тих же прямих і січної - перпендикулярні.
7. Дано дві паралельні прямі АВ і CD і січна EF, що перетинає дані прямі в точках K та L. Проведені бісектриси KM і KN кутів AKL і BKL відтинають на прямій CD відрізок MN. Знайти довжину MN, якщо відомо, що відрізок KL січної, укладений між паралельними, дорівнює а. Відповідь: 2а
8. Який вид трикутника, в якому: а) сума двох будь-яких кутів більше d, б) сума двох кутів дорівнює d, в) сума двох кутів менше d?
Відповідь: а) гострокутий, б) прямокутний, в) тупокутний.
9. У скільки разів сума зовнішніх кутів трикутника більше суми внутрішніх його кутів? Відповідь: в 2 рази.
10. Чи можуть всі зовнішні вугілля трикутника бути: а) гострими, б) тупими, в) прямими? Відповідь: а) ні, б) так, в) немає.
11. У якому трикутнику кожен зовнішній кут вдвічі більше кожного із внутрішніх кутів? Відповідь: рівносторонній.

РОЗДІЛ 2
Проведення практичних уроків з теми «Паралельність прямих і
використання ознак паралельності при вирішенні

геометричних завдань »

2.1. УРОК 1

Тема. Сума кутів трикутника.
Мета: систематизувати відомості про трикутники, довести дослідним шляхом теорему про суму кутів трикутника, сформувати звички знаходження різних способів доказу цієї теореми, показати застосування набутих знань у практичній діяльності, розвивати вміння аналізувати, робити висновки, працювати творчо.

ХІД УРОКУ

І. Актуалізація опорних знань.
Актуалізація теоретичного матеріалу проводиться у формі гейми "Далі, далі ..." гри "Щасливий випадок". За одну хвилину потрібно дати максимальну кількість правильних відповідей.

Питання для першої команди

1. Фігура, яка складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки, називається .....
(Трикутник)
2. Розділ геометрії, в якому вивчають фігури на площині, називається .....
(Планіметрії)
3. Кут, більший 90 ⁰ і менше 180 ^0, називається .....
(Тупий кут)
4. Властивість вертикальних кутів ...
(Рівні)
5. Перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, яка містить протилежну сторону трикутника, називається ......
(Висота трикутника)
6. У трикутник кути при основі ......
(Рівні)
7. Трикутник, один з кутів якого прямий, називається .......
(Прямокутний)
8. Якщо дві паралельні прямі пересічені третьої, то внутрішні різносторонні кути ........
(Рівні)
9. Твердження, яке приймається без доведення, називається ......
(Аксіома)

Питання для другої команди

1. Кут, менше, ніж 90 ^0, називається ......
(Гострим кутом)
2. Основними геометричними фігурами на площині є ......
(Пряма, відрізок, окружність)
3. Якщо сторона кута є перпендикулярним до полупрямой, то кут
називається ........
(Прямим кутом)
4. Сума суміжних кутів дорівнює .....
(180 градусів)
5. Якщо дві сторони трикутника рівні, то він називається ......
(Рівнобедрений)
6. Відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони, називається ......
(Медіаною)
7. У трикутник медіана, проведена до основи, є .......
(Висотою)
8. Якщо при перетині двох прямих третьою внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі .....
(Паралельно)
9.Теорема, у якої умова є висновком, а висновок є умовою, називається ........
(Лемма)

Питання для третьої команди

1. Розгорнутий кут дорівнює .......
(180 градусам)
2. "Геометрія" в перекладі на українську мову означає ........
(Наука про вимірювання землі)
3. Кут, що дорівнює 90 ^0, називається ........
(Прямим)
4. Прямі на площині, які не перетинаються, називаються .......
(Паралельними)
5. Промінь, який виходить з вершини кута і ділить кут навпіл, називається ......
(Біссектріссой)
6. Якщо в трикутнику два кути рівні, то він .....
(Рівнобедрений)
7. Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається ......
(Равностронній)
8. Якщо при перетині двох прямих третьою сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 ^0, то прямі ......
(Паралельно)
9. Твердження, які потребує доведення, називається ......
(Теореми)
ІІ. Мотивація навчальної діяльності.
Ви тільки почали вивчати геометрію, але вже знаєте назви елементів трикутників та їх види, а також ознаки рівності трикутників.
Трикутник грає в геометрії особливу роль. Без перебільшення можна сказати, що вся геометрія з часів "Начал" Евкліда базується на "трьох китах" - трьох ознаках рівності трикутників. За кілька тисячоліть геометри так детально вивчили трикутник, що часом говорять про "геометрії трикутника" як про самостійне розділі елементарної геометрії. Серед всіх метричних властивостей трикутника, які вивчаються в 7-му класі, найважливішим є властивість суми кутів трикутника.
ІІІ. Вивчення нового матеріалу.
У зошитах намалюйте довільний трикутник. Далі, за допомогою транспортира виміряйте градусні заходи кутів трикутника і знайдіть їх суму.
Як ви думаєте, чи випадково сума кутів трикутника виявилася близькою до 180 ^0?
Властивість суми кутів трикутника характерне тим, що воно зовсім не очевидно. До того ж, трикутники можуть бути найрізноманітнішими - від маленьких, які ми будуємо в зошитах, до велетенських, які можна побудувати на поверхні Землі або уявити, з'єднавши відрізками три зірки на небі. Для всіх цих трикутників справедливо одне і те ж рівність. Доведемо теорему про суму кутів трикутника.
Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює 180 ^0.
Учитель доводить на дошці теорему. Учні записують теорему у свої зошити.
IV. Застосування теореми до вирішення завдань.
1. Знайдіть третій кут трикутника АВС, використовуючи дані таблиці:
2. Вирішіть завдання 19 (1), 22 (1), 23 (1), 20 (1) з параграфа 4 підручника (Погорєлов О. В. Геометрія: Планіметрія. Підручник для 7-9 кл. Серед. Шк. - К., Освіта, 1997).
3. Якщо один з кутів трикутника тупий, то якими мають бути два інші його кута?
А чи правильно зворотне твердження?
4. Вирішіть завдання самостійно.
Завдання 1. Дан: DАВС, ÐС = 70 ^0, Ам-бісектриса, ÐМАСС = 40 ^0. Знайти ÐВАС, Ð (АВС.
Завдання 2. Дан: DАВС, AD = DB = DC. Довести: ÐАВС = 90 ^0.
5. Як визначити градусну міру кута, частина якого разом з вершиною витерли?
6. Яку найменшу кількість кутів трикутника потрібно задати, щоб визначити залишок кутів у випадку, якщо трикутник:
а) довільний, б) прямокутний; в) рівнобедрений; г) рівносторонній;
д.) прямокутний рівнобедрений?
V. Практичне застосування знань.
Властивість кутів прямокутного рівнобедреного трикутника знав ще одного із перших творців геометричній науки давньогрецький вчений Фалес. Використовуючи її, він вимірював висоту єгипетської піраміди по довжині її тіні. За легендою, Фалес вибрав день і час, коли довжина його власної тіні дорівнювало його зростання, оскільки в цей момент висота піраміди також повинна дорівнювати довжині тіні, яку вона відкидає. Звичайно, довжину тіні потрібно було вирахувати від середньої точки квадратної основи піраміди, але ширину основи Фалес міг вимірювати безпосередньо. Таким чином можна вимірювати висоту будь-якого дерева.
VI. Підсумок уроку.
Сьогодні на уроці ми довели дослідним шляхом теорему про суму кутів трикутника, навчилися застосовувати набуті знання у практичній діяльності. Ми ще раз переконалися, що геометрія це наука, яка виникла з потреб людини. Адже, як писав Галіллей: "Природа розмовляє мовою математики: літери цієї мови - кола, трикутники та інші математичні фігури».
V. Домашнє завдання.
Читати пункт 33, вирішити завдання 19 (2), 22 (2), 26 з параграфа 4 підручники.

2.2. УРОК 2

Тема. Ознаки паралельності прямих (Частина 1).
Мета: ввести поняття січної, внутрішніх односторонніх кутів, внутрішніх різносторонніх кутів, довести теореми 4.1, 4.2, сформулювати теорему 4.3 (без доведення) (Погорєлов О. В. Геометрія: Планіметрія. Підручник для 7-9 кл. Середовищ. Шк. - До ., Освіта, 1997).

ХІД УРОКУ

І. Вивчення нового матеріалу.
Якщо новий матеріал вміщає багато інформації, досить складною для сприйняття, то починають урок з нового матеріалу. Учитель на дошці вводить нові поняття такі як січна, внутрішні односторонні кути, внутрішні різносторонні кути, доводить теореми 4.1, 4.2 і формулює теорему 4.3 (без доведення). Учні роблять опорний конспект у зошитах.
ІІ. Рішення задач на дошці з докладним поясненням
Застосування теореми 4.1 можна продемонструвати на прикладі рішення наступної задачі.
Завдання 1. Прямі АВ і CD паралельні. Доведіть, що якщо відрізок ВС перетинає пряму AD, то точка перетину належить відрізку AD.
Застосування теореми 4.2. можна продемонструвати на прикладі рішення наступної задачі.
Завдання 2. Дано пряма АВ і точка С, не лежить на цій прямій. Доведіть, що через точку С можна провести пряму, паралельну прямій АВ.
Застосування теореми 4.3. можна продемонструвати на прикладі рішення наступної задачі.
Завдання 3. Прямі АС і ВD паралельні, причому точки А і D лежать по різні сторони від січної НД Доведіть, що 1) кути DBC і ACB внутрішні навхрест лежачі щодо січної Нд, лютий) промінь НД проходить між сторонами кута АВD, 3) кути САВ і DBA внутрішні односторонні щодо січної АВ.
ІІІ. Рішення задач по готових плакатів.
  IV. Домашнє завдання
Завдання 1. Доведіть, що якщо деяка пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає і іншу.
Завдання 2. Доведіть, що якщо дві прямі перетинаються, то будь-яка третя пряма перетинає принаймні одну з цих прямих.
Завдання 3. Дан трикутник АВС. На стороні АВ відзначена точка В1, а стороні АС - точка С1. Назвіть внутрішні односторонні і внутрішні навхрест лежачі кути при прямих АВ, АС і січної В1С1.
Завдання 4. Кут АВС дорівнює 80 ^0, а кут BCD дорівнює 120 ^0. Чи можуть прямі АВ і CD бути паралельними? Відповідь обгрунтуйте.

2.3. УРОК 3
Тема. Ознаки паралельності прямих (Частина 2).
Мета: навчити учнів застосовувати ознаки паралельності прямих до вирішення завдань.
Обладнання. Таблиці з малюнками до завдань і коротким записом умови.

ХІД УРОКУ

І. Актуалізація опорних знань.
Згадати ознаки рівності трикутників, теореми про суміжні і вертикальні кути, суму кутів трикутника
ІІ. Математичний диктант.

Варіант 1

1. Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо ...
2. Пряма називається січною, якщо ...
3. Внутрішніми навхрест лежать кутами при перетині двох прямих a і b січної c (див. рис.) Є кути ...
Зовнішніми односторонніми є кути ...
4. Ознака паралельності двох прямих полягає в наступному: ...
5. Якщо дві прямі паралельні третьої, то ...

Варіант 2

1. Дві прямі на площині називаються не паралельними, якщо ...
2. Паралельність прямих позначається ...
3. Зовнішніми навхрест лежать кутами при перетині двох прямих a і b січної c (див. рис.) Є кути ...
Внутрішніми односторонніми є кути ...
4. Аксіома паралельних прямих полягає в наступному: ...
5. Якщо дві прямі паралельні третьої, то ...
ІІІ. Рішення задач.
Знайдіть пари паралельних прямих (відрізків) і доведіть їх паралельність.

Розібравши завдання усно, учні записують її в зошит
IV. Самостійна робота.
Варіант 1.
         Завдання 1. Різниця двох внутрішніх односторонніх кутів при двох паралельних прямих і січної дорівнює 30 ^0. Знайдіть ці кути.
Завдання 3. Один з кутів, які виходять при перетині двох паралельних прямих січною дорівнює 72 ^0. Знайдіть інші сім кутів.
Варіант 2.
Завдання 2. Сума двох внутрішніх навхрест лежачих кутів при двох паралельних прямих і січної дорівнює 150 ^0. Знайдіть ці кути.
Завдання 4. Один з кутів, які виходять при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 30 ^0. Чи може один з інших семи кутів дорівнювати 70 ^0? Поясніть відповідь.
СПИ СОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУР И
1. Ліщенко В.М. Сума кутів трикутник / / МАТЕМАТИКА, № 41 (149), 2001 с.7-11
2. Ліщенко В.М. Сума кутів трикутник / / МАТЕМАТИКА, № 40 (148), 2001 з. 7.
3. Погорєлов А.В. Геометрія: Підручник для 7-11 кл. середовищ. шк. - 2-е вид. - М.:
Просвітництво, 1991. - 384 с.
4. Погорєлов А.В. Геометрія: Планіметрія. Підручник для 7-9 кл. середовищ. шк. -
К., Освіта, 1997.
5. Готман Е.Г., Скопець З.А. Завдання одне-рішення разние.-К.: Рад. шк., 1988.-173 с.
6. Лоповок Л.М. Факультативні завдання з геометрії для 7-11 класів:
Посібник для вчителів. - К.: Рад. шк., 1990. - 128с.