Хід уроку.
Діяльність вчителя | Діяльність учня | |
- Ми завершили вивчення великої теми курсу стереометрії «Перпендикулярність прямих і площин». Як ця тема у нас з'явилася? - Добре. У планіметрії ми вивчали перпендикулярність прямих. А які об'єкти можуть бути перпендикулярні у просторі? - Так! Тому і тема називається «Перпендикулярність прямих і площин». | - У планіметрії ми розглядали різні випадки розташування двох прямих щодо наявності у них спільних точок, зокрема перпендикулярність прямих. За аналогією з вивченням теми «Паралельність прямих і площин», ми припустили, що аналогічні поняття можна ввести і в стереометрії. - Перпендикулярно в просторі можуть бути дві прямі, пряма і площина, дві площини. | |
- Що ж ми вивчали в темі «Перпендикулярність прямих і площин»? - А які завдання вирішували? - Ви бачите, який це великий матеріал, скільки в ньому різних теорем, задач. На його розгляд ми витратили 14 уроків. Що нам треба зробити тепер? - А що означає привести знання в систему? - Правильно. А як буде звучати тема сьогоднішнього уроку? - Добре. Цілі ми вже сформулювали. Запишемо тему. | -Визначення перпендикулярності різних об'єктів, доводили ознаки і властивості перпендикулярності, способи знаходження відстаней і кутів між прямими, прямою і площиною, площинами. - Доводили перпендикулярність об'єктів, знаходили відповідні відстані і кути. - Привести отримані знання та вміння в систему і підготуватися до контрольної роботи. - Виділити основні поняття, встановити взаємозв'язок між ними, а також виділити основні типи завдань і методи їх вирішення. - Перпендикулярність прямих і площин. | |
- Перпендикулярність яких об'єктів ми вивчили? - Будемо працювати з таблицею. <Відкриває заголовок таблиці 1> - Отже, в темі ми виділили три блоки, пов'язані з перпендикулярно. Згадаймо, визначення перпендикулярності кожної пари об'єктів і виділимо спосіб докази перпендикулярності кожної пари. Які прямі називаються перпендикулярними? - Як можуть бути розташовані перпендикулярні прямі в просторі? <Відкриває відповідний малюнок> - Який теоретичний факт, пов'язаний з перпендикулярно прямих ми вивчали? - Сформулюйте її. <Відкриває рисунок> - Поговоримо про перпендикулярність прямої і площини. Почнемо з визначення. <Відкриває рисунок> - У цій частині було доведено багато теорем, подумайте, які теореми ви б віднесли до неї. Називайте і формулюйте їх. <Відкриває відповідні малюнки> - У цю частину ми віднесемо теорему про три перпендикуляри і зворотну до неї. А як ви думаєте чому? -Молодець! Розглянемо останню частину. Які дві площини називаються перпендикулярними? -Які факти можна віднести в цю частину? - Правильно. Отже, тема «Перпендикулярність прямих і площин» з'явилася за аналогією з темою «Перпендикулярність прямих на площині». Я нагадаю вам, що багато визначення та теореми ви формулювали самі по аналогії з відомими визначеннями в планіметрії або узагальнюючи їх - замінюючи прямі на площині, промені на півплощині. При доведенні теорем в кожному наступному блоці використовувалися теореми попереднього блоку <показує стовпці> і теоретичні положення теми «Паралельність прямих і площин». Однак і перпендикулярність працює на паралельність - ми отримали нові властивості і ознаки паралельності прямих і паралельності площин. Подивіться на малюнки 7 і 8. Наприклад, сформулюйте ознака паралельності прямих по малюнку 7. -Добре. Продовжите пропозицію: «Дві прямі в просторі перпендикулярні, якщо ...». <Аналогічна робота проводиться для решти двох випадків> | - Перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин. - Дві прямі в просторі називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90 0. - Вони можуть перетинатися і схрещуватися. - Лема про перпендикулярність двох паралельних прямих третьою. <Формулюють> - Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині. - Ознака перпендикулярності прямої і площини <формулює>. - Теорема про зв'язок між паралельними прямих і їх перпендикулярно до площини <формулює>. - Теорема про зв'язок між паралельними двох площин і їх перпендикулярно до прямої <формулює>. - Тому що вона доводиться за допомогою визначення прямої перпендикулярної до площини. - Дві площини, що перетинаються називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90 0. -Ознака перпендикулярності двох площин. - Дві прямі в просторі паралельні, якщо вони перпендикулярні деякій площині. Дві прямі в просторі перпендикулярні, якщо - Одна з них перпендикулярна деякої прямої, а інша їй паралельна; - Одна з них перпендикулярна деякій площині, а інша лежить у цій площині; - Одна з них є похилій до деякої площини, а інша лежить у цій площині і перпендикулярна проекції першої прямої. <Учні формулюють наступні евристики: Пряма і площина в просторі перпендикулярні, якщо - Пряма перпендикулярна двом пересічним прямим, які лежать в цій площині; - Пряма паралельна деякої іншої прямої, перпендикулярної даній площині; - Дана площина паралельна деякої іншої площини, перпендикулярної даної прямої. Дві площини перпендикулярні, якщо одна з цих площин містить пряму, перпендикулярну другій площині. > | |
-Давайте тепер попрацюємо із завданням. Розглянемо наступну конфігурацію: дано рівносторонній трикутник АВС, через середину Про боку АВ проведено перпендикуляр ОD до площини АВС, побудовані відрізки DА, DВ, DС, ОС. Запишемо що дано. Завдання 1: знайдіть пари перпендикулярних прямих, прямої і площини, двох площин, виділіть теоретичний базис докази. - Працюємо в парах. Перший ряд шукає пари перпендикулярних прямих, другий - перпендикулярних прямої і площини, третій ряд - пари перпендикулярних площин. Даю вам 5 хвилин. - Почнемо з першого ряду. Робіть записи в зошиті. <Записи на дошці робить учень> -Добре. Послухаємо тепер другий ряд. -Третій ряд, будь ласка. | <Працюють> <Учні називають по одній знайденої парі по черзі, називаючи те положення, яке використовували> - DO ^ AB (DO ^ ABC, значить, за визначенням прямий, перпендикулярної площини, DO, зокрема, перпендикулярно АВ) - DO ^ AC, DO ^ BC (аналогічно) - DC ^ AB (по лемі, теоремі про три перпендикуляри, лемі). -DO ^ ABC (за умовою). -AB ^ COD, CO ^ ADB (за ознакою перпендикулярності прямої і площини). -DAB ^ ABC (за ознакою перпендикулярності площин) -DOC ^ ABC (за ознакою перпендикулярності площин) -DOC ^ ADB (за ознакою перпендикулярності площин). | |
- Ми знаємо, що вивчена тема дозволяє ввести метричні характеристики простору: відстані між об'єктами і кути між ними. | ||
Давайте повторимо, як визначаються відстані між різними фігурами. <Відкриває заголовок: «Відстані у просторі»> <Учитель відкриває по черзі кожен малюнок в таблиці> -Що називається відстанню від точки до прямої? -Які ще відстані можете назвати? - Згадайте, як ми вирішували задачі про знаходження відстаней. - Тобто рішення таких задач зводилося завжди до вирішення трикутників, тому відзначимо це у таблиці. - Тепер згадаємо, які кути ми розглядали. <Відкриває заголовок: «Кути в просторі»> - Опишіть це поняття. <Відкриває відповідний малюнок> - Які ще кути ви знаєте? - Рішення задач на знаходження кутів теж зводиться до вирішення трикутників. | - Відстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, проведеного від цієї точки до даної прямої. - Від точки до площини. Це довжина перпендикуляра, проведеного виданої точки до даної площини. - Відстань між паралельними прямими. Це відстань від довільної точки однієї прямої до іншого. - Між паралельними прямою і площиною. Це відстань від довільної точки прямої до площини. - Між паралельними площинами - відстань від довільної точки однієї з площин до іншої. - Між перехресними прямими-відстань між однією з цих прямих і площиною, проведеною через іншу пряму паралельно першою. - Спочатку ми будували відрізок, довжина якого дорівнює шуканого відстані. Потім включали його в трикутник. - Кут між прямими. - Якщо прямі перетинаються, то кутом між ними називається найменший з кутів, утворених при їх перетині. Якщо прямі схрещуються, то треба провести прямі, паралельні даними через довільні точки простору і шукати кут між ними. - Кут між прямою і площиною, що перетинає цю пряму і не перпендикулярну до неї - це кут між прямою та її проекцією на цю площину. - І кут між площинами - це найменший двогранний кут, утворений при їх перетині. | |
- Повернемося до задачі. Знайдіть кути нахилу прямих DA, DB, DC до площини ABC. Будемо використовувати той же малюнок. Дві хвилини вам на роздуми. - Почнемо з першого завдання. - Як обчислювати кут ми тільки поговоримо, а обчислення зробите будинку. Продовжуй. -Другий ряд, будь ласка. -І останній кут? -Вирішимо будинку. -Наступне завдання. Знайдіть відстані від т. D до пл. АВС, від С до АDВ, від А до dос. Працюємо по рядах і по тому ж малюнку. -Дуже добре! Тепер знайдіть відстані від точки D до прямих АВ, ВС, АС. Це завдання будемо вирішувати на новому малюнку. -Отже, почнемо. -Далі. Перш ніж обчислювати, потрібно правильно побудувати шуканий відрізок. Нехай хто-небудь вийде до дошки і побудує його. - Ми не знаємо як зобразити перпендикуляр з точки D до прямої НД У якій ще площині розташована пряма ВС? - Чим є шукана пряма по відношенню до цієї площини? - Тобто пряма ПС повинно бути перпендикулярна до похилої. Що це означає? - А через яку точку пройде проекція похилої? - Значить потрібно спочатку зобразити перпендикуляр з точки О до прямої НД Чи можемо ми це зробити? - А якщо б ми і про трикутник АВС нічого не знали, то як би зобразили перпендикуляр з точки D до прямої ВС? - Як знайти DК? - Як знайти відстань від D до АС? Побудуйте його на дошці. - Знайдіть лінійні кути двогранних кутів при ребрах АС і ВС. Це завдання № 7. - Назвіть їх і доведіть. -Як їх знайти? | - Так як ОD ^ АВС, то АТ - проекція похилої АD на площину АВС, отже ÐDАО - кут між DА і АВС. - Його можна знайти з прямокутного трикутника АОD: DО дано, а АТ дорівнює половині АВ. -Кут між DВ і АВС - це ÐDВО. -Кут між DС і АВС - це ÐDСО. - Так як DО - перпендикуляр, проведений з точки D до площини АВС, то DО - шукане відстань. - Ми доводили, що СО ^ DАВ, значить СО-відстань від С до DАВ. -АВ ^ dос, то АТ-відстань від А до dос. Так як DО перпендикулярно АВ, то DО - відстань між D і прямої АВ. -АВС. - Похилої. - Вона повинна бути перпендикулярною до проекції. - Через точку О, так як вона проекція точки D. - Так. Спочатку побудуємо перпендикуляр до ЗС, що проходить через точку А. Нехай М-середина ВС, тоді АМ - медіана правильного ΔАВС, а, отже, і висота. Проведемо ОК паралельно АМ, тоді ОК ^ ВС, і ОК-проекція DК на АВС. При цьому DК ^ ВС (по теоремі про три перпендикуляри). Тому DК-відстань від точки D до прямої НД - Довільно. - Його можна знайти з трикутника DОК. DО відомо, ОК дорівнює половині АМ, так як ОК - середня лінія ΔАМВ. - Аналогічно, причому DL одно DК. - Вони вже побудовані. - ÐDКО - лінійний кут двогранного кута при ребрі ПС (за визначенням), так як ОК перпендикулярна ВС і DК перпендикулярна НД Аналогічно, ÐDLО - лінійний кут двогранного кута при ребрі АС. - Наприклад, ÐDКО можна знайти з прямокутного трикутника DОК. А кут DLO дорівнює куту DКО. | |
- Це всі завдання, які ми планували вирішити на уроці. - А тепер підіб'ємо підсумки сьогоднішньої роботи. Ми говорили про поняття перпендикулярності у просторі. Сказали, що перпендикулярними можуть бути дві прямі, пряма і площина, дві площини. - Які типи завдань нами були розглянуті? -Як ви думаєте яке значення має дана тема в курсі стереометрії? | -На доказ перпендикулярності об'єктів, завдання на знаходження відстані від точки до прямої, від точки до площини, завдання на знаходження кутів між прямою і площиною, між площинами. -Дозволяє ввести метричні характеристики простору, тобто визначення кутів і відстаней між основними фігурами. | |
- Що ви тепер умієте робити? - Необхідно пам'ятати, що кожне побудова потрібно обгрунтувати перш, ніж проводити обчислення. | - Ми вміємо доводити перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин; вирішувати основні завдання на обчислення відстаней і кутів, як щось знаходити відстань від точки до прямої і від точки до площини, знаходити кути між прямою і площиною, між площинами. | |
Будинки оформити рішення останньої задачі і підготуватися до контрольної роботи. |
Відстані в просторі (Таблиця 1)
Кути в просторі
Перпендикулярність прямих і площин
Від точки до прямої | Між паралельними прямими | Від точки до площини | Між паралель - них прямою і площиною | Між паралельними площинами | Між перехресними прямими |
AM ^ α | AM ^ β | AM ^ β | |||
Рішення трикутників |
Між прямими | Між похилій до площини і площиною | Між площинами |
0 ° <φ ≤ 90 ° | 0 ° <φ <90 ° | 0 ° <φ ≤ 90 ° |
Рішення трикутників |
Перпендикулярність прямих і площин
Перпендикулярні прямі | Перпендикулярні пряма і площина | Перпендикулярні площині |
Записи на дошці і в зошитах
Перпендикулярність прямих і площин
Дано: ΔАВС - рівносторонній,
О - середина АВ,
ОD ^ АВС.
АВ = 6см, ОD = 3см.
1. Знайти пари перпендикулярних прямих.
Рішення.
а) DO ^ AB, DO ^ AC, DO ^ BC (за визначенням прямий, перпендикулярної площині).
б) DC ^ AB (по лемі, теоремі про три перпендикуляри, лемі).
2. Знайти пари перпендикулярних прямої і площини.
Рішення.
а) DO ^ ABC (за умовою).
б) AB ^ COD, CO ^ ADB (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).
3. Знайти пари двох площин.
Рішення.
DAB ^ ABC, DOC ^ АВС, DOC ^ ADB (за ознакою перпендикулярності площин).
4.Найті кути між DA, DB, DC та площиною ABC.
Рішення.
Так як ОD ^ АВС, то АТ - проекція похилої АD на площину АВС, отже ÐDАО - кут між DА і АВС.
5. Знайдіть відстані від т. D до площини АВС, від С до D А В, від А до D ОС.
6. Знайдіть відстані від точки D до прямих АВ, ВС, АС.
Перпендикулярність прямих і площин
Дано: ΔАВС - рівносторонній,
О - середина АВ,
ОD ^ АВС.
АВ = 6см, ОD = 3см.
1. Знайти пари перпендикулярних прямих.
Рішення.
а) DO ^ AB, DO ^ AC, DO ^ BC (за визначенням прямий, перпендикулярної площині).
б) DC ^ AB (по лемі, теоремі про три перпендикуляри, лемі).
2. Знайти пари перпендикулярних прямої і площини.
Рішення.
а) DO ^ ABC (за умовою).
б) AB ^ COD, CO ^ ADB (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).
3. Знайти пари двох площин.
Рішення.
DAB ^ ABC, DOC ^ АВС, DOC ^ ADB (за ознакою перпендикулярності площин).
4.Найті кути між DA, DB, DC та площиною ABC.
Рішення.
Так як ОD ^ АВС, то АТ - проекція похилої АD на площину АВС, отже ÐDАО - кут між DА і АВС.
5. Знайдіть відстані від т. D до площини АВС, від С до D А В, від А до D ОС.