Зародження і створення теорії дійсного числа
Зміст
1. Зародження і розвиток поняття числа
2. Проблема несумірних або Перший криза в основі математики
2.1 Наслідки першого кризи і спроби його подолання
3. Становлення теорії межі
4. Створення теорії дійсного числа
4.1 Карл Вейерштрасс
4.2 Георг Кантор
4.3 Ріхард Дедекінд
Висновок
1 Зародження і розвиток поняття числа
В основі математики лежить поняття числа, одне з найбільш ранніх і найбільш абстрактних. Воно виникло як узагальнення рахунки окремих предметів. Рахунок властивий не тільки людині, але і, в деякій формі, і тваринам, наприклад кішці, яка відчуває наявність при собі всіх своїх кошенят.
Найбільш рання форма рахунку носить конкретно-чуттєвий характер. Такий рахунок можна виявити у первісних людей і у тварин. Однак не можна з упевненістю сказати, що тільки людина здатна до абстрактного рахунку. Є дані про здатність приматів до символізації рахунку «Примати здатні розпізнавати і узагальнювати ознака« число елементів », встановлювати відповідність між цим абстрактним ознакою і раніше нейтральними для них стимулами - арабськими цифрами. Оперуючи цифрами як символами, вони здатні ранжувати множини і впорядковувати їх за ознакою «число», а також здійснювати число дій, відповідне цифрі. Нарешті, вони здатні до виконання операцій, ізоморфних додаванню, але це питання потребує більш точних досліджень. »[12]. Там же відзначається висока здатність до символізації і узагальненні за ознакою «кількості» у Вранова.
Перехід від «чуттєвого рахунки» до абстрактного здійснюється за допомогою взаємооднозначної відповідності між двома множинами, одне з яких пізніше приймається як би за еталон. Взаємооднозначної відповідність з початку носить також конкретно-чуттєвий характер (наприклад, розташування елементів один напроти одного). Таким способом користуються навіть сучасні люди, коли вважають що-небудь загинаючи пальці. Вважається, що саме рахунок на пальцях лежить в основі десяткової системи числення, прийнятої у європейських народів [10, стор 11]. На цьому етапі узагальнення з'являється знакове позначення числа. Спочатку це були зарубки на дереві, кістках, вузлики на мотузках, кількість яких співпадала зі значенням числа. Конкретно-чуттєве походження чисел знаходить своє відображення в мові. «Спочатку рахунок проводився за допомогою підручних засобів: пальців каменів, ялинових шишок і т.д. Сліди цього збереглися у назві математичних числень: calculus, яке має латинське походження і означає: рахунок камінчиками »[11, стор 17]. З розвитком культури і суспільства з'являється потреба у використанні більш великих чисел, так з'являються різноманітні числові системи. Сучасна десяткова система з'явилася в результаті розвитку стародавніх систем числення. До систем числення попереднім десяткової відносяться:
• Ієрогліфічні непозиційної системи. До неї відноситься Римська система. У ній числа формується з набору вузлових чисел позначених ієрогліфами. Число утворюється з цього набору шляхом дописування праворуч або ліворуч вузлового числа інших вузлових чисел. Значення числа обчислюється за аддитивному або субстрактівному принципом.
• Алфавітні системи числення. Тут числа записуються за допомогою літер. Щоб відрізнити літери від чисел, кожній букві приписується відмітна ознака. Літери використовувані для запису чисел беруться в групи по 9 штук. Для запису одиниць десятків і сотень використовуються різні групи літер, що суттєво ускладнює її використання.
• Позиційні недесяткових системи числення.
Майже одночасно з рахунком зароджуються математичні операції додавання і віднімання (коли зменшуване більше від'ємника). Пізніше з'являється множення, як повторне складання. Розподіл з'являється значно пізніше, ніж множення, хоч уявлення про простих дробах (
Однак навіть в математиці Стародавньої Греції не було єдиного уявлення про те, що таке число. Так у школі Піфагора і Платона вважали одиницю не числом, а «ембріоном числа». Варто відзначити, що міфологічна свідомість давньогрецького суспільства ще не до кінця сприймало математичні і філософські абстракції. «Найменш доступні розумінню широких кіл були саме числа, ці найбільш абстрактні елементи науки того часу» [7, стор 83]. З цих та інших причин математика, її методи і результати виглядали містично. Найбільш розвинутим і філософськи обгрунтованим містичним поглядом на числа були піфагорейство і неопіфагорейство. Спрощено можна сказати, що пифагореизм в основі гармонії світу бачив число, для піфагореїзму всі числа мали містичний сенс. Подібні погляди можна зустріти і сьогодні. Проте слід визнати, що проникнення в філософію понять математики найчастіше було плідним. Як приклад можна навести категорію «Кількість» у філософії Канта і в діалектичній логіці, а також парадокси теорії множин.
Хоча аксіоматично спочатку будується безліч натуральних чисел, потім цілі числа, а потім вже раціональні, історично раціональні числа з'явилися раніше негативних чисел і нуля.
Спочатку поняття нуля виникло як позначення нульового розряду в записі чисел. Перше достовірне використання нуля виявлено в Індії і відноситься до IX століття. Проте точне походження цифри нуль у позиційних системах не відомо. «Одні дослідники (Г. Фреуденталь) припускають, що нуль був позичений у греків ... Інші (Дж. Нідем), навпаки, вважають, що нуль прийшов до Індії зі сходу» [10, стор 183]. В Індії найбільше ясно і повно досліджували питання про застосування до 0 арифметичних операцій, математиком Бхаскара навіть досліджувалося питання про поділ на на 0.
Також в індійській математиці було найбільш чітке уявлення про негативні числах. «Індійські математики, починаючи з Брахмагунти (VII ст.н.е.), систематично користувалися негативними числами і трактували позитивне число як майно, а негативне як борг» [10, стор 190], хоча ми не можемо стверджувати, що негативні числа вперше з'явилися в Індії. Було встановлено, що квадрат негативного числа - число додатне, також ставилися питання про наявність квадратного кореня з від'ємного числа. Діям з негативними числами присвячена ціла глава у творі Бхаскара «Віджаганіта».
Менш ясні уявлення про негативні числах були і у китайців. Їх поява була пов'язана з завданнями, які сьогодні називаються системи лінійних рівнянь. «Так як всі обчислення, в тому числі і перетворення матриці, вироблялися на лічильної дошці, то для позначення негативних чисел застосовувалися лічильні палички іншого кольору чи форми, а у разі запису застосовувалися ієрогліфи різних кольорів» [11, стор.84]. Юшкевич висловлює припущення про те, що подання про негативні числах мав Діофант [10, стор 145].
Хоча ідея ввести позначення для «нічого» виникла в математиці досить давно, але як число нуль довгий час не сприймався. Тим більше повноправними числами не сприймалися негативні числа, думка про те, що є щось менше ніж "ніщо» багатьом здавалася абсурдною. «... Ще Кардано називає негативні числа« фіктивними »[10, стор 315].
Інтерпретація негативного числа як «боргу» у індусів перейняли араби, використання негативних чисел зустрічається в роботах арабського математика Абу-л-Вафи. Вважається, що термін борг був запозичений математиком Середньовіччя Леонардо Пізанський (бл. 1170-після 1250, відомий як Фібоначчі) у арабів. Крім «боргу» існував термін «менше, ніж ніщо». Зачатки геометричної інтерпретації негативних чисел з'являється в роботі М. Штіфеля «Повна арифметика», але тільки після робіт Ферма і Декарта ставлення до негативних числах кардинально змінилося. Застосування негативних чисел і нуля зіграло важливу роль в математиці, дозволило узагальнити багато завдань, спростити деякі обчислення і формалізувати багато алгоритмів.
Як було зазначено раніше, дробу з'явилися набагато раніше ніж цілі числа (
Дроби також були здавна відомі в Індії, згадки про такі дробах як
Кілька слів варто сказати про походження десяткових дробів. Прообразом для десяткових дробів послужили шестидесятиричную дробу, використовувані вавилонянами. Вона нагадувала сучасний спосіб запису дробів тим, що дозволяла записувати цілю і дробову частину однотипно, що значно спрощувало обчислення. Поступово, виникають здогади, що це зручність не пов'язано з якимись особливими властивостями число 60. «Зріє думка про те, що в основу системи таких дробів може бути покладено й те число ... Розуміння цієї думки можна бачити вже в підручнику арифметики середини XII ст., Що приписується Іоанну Севільському. Йордан Немораррій (XIII ст.) Дає навіть спеціальну назву таким систематичним дробям, аналогічним шестидесятеричной »[6, стор 240]. Ідея десяткових дробів використовувалася деякими математиками, але до XIV століття суворого їх побудови не було. У середині XIV ст. французький математик Бонфіс зробив спробу розвинути ідею десяткового числа. Проте його робота носила ескізний характер і не була опублікована.
У першій половині XV теорію десяткового числа побудував самаркандський математик Джемшид Гияседдіна ал-Каші. Він описав десяткову запису числа і описав правила поводження з десятковими дробами. Однак роботи ал-Каші залишалися невідомими аж до середини XX століття.
У Європі десяткові дробу з'явилися завдяки інженеру Симону Стевіном (1548-1620). Він об'єднав окремі ідеї і уявлення про десяткових дробах і полум'яно їх пропагував. Великий інтерес викликали матетіков періодичні дроби. Вони були вперше виявлені арабським матетіком ал-Марадіні в XV ст. У Європі питання про періодичні дробах був серйозно розглянуто Валлісом в 1676 в трактаті з алгебри. Питаннями періодичних дробів займалися також Лейбніц, Ламберт, Ейлер, Бернуллі, Гаус і ін
2 Проблема несумірних або Перший криза в основі математики
Як видно з попереднього історичного екскурсу, твердого розуміння що таке число довгий час не було. З точки зору давніх греків, числом було тільки натуральне число більше одиниці. Кілька більш прогресивна система числення була у вавлонян, іспользущіх шестидесятиричную дробу. Вавилоняни знали теорему Піфагора і стикалися з проблемою вилучення коренів з чисел не мають точного квадрата. Проте, немає даних про те, чи розглядали вони це питання теоретично. «Володіння подібної [шестидесятиричную] системою і випливає звідси впевненість в числових розрахунках неминуче приводили до« наївному »поняттю дійсного числа, майже збігається з тим, яке в наші дні можна зустріти в елементарних підручниках математики (пов'язана з десятковою системою числення) або у фізиків і інженерів. Це поняття не піддається точному визначенню, але його можна виразити, сказавши, що число розглядається як певне завдяки можливості отримувати його наближені значення і вводити їх в обчислення. »[2, стор 146]. Такий же прагматичний підхід до ірраціональних числах був поширений в Індії та Китаї.
Незважаючи на недосконалу систему числення, строгість і теоретичність грецької математики сприяла розвитку уявлень про число. Як вже було зазначено вище, кожне число греки бачили як суму одиниць. Одиниця була твірної кожного числа, а всі числа складалися вимірювалися одиницею. Такий же підхід був до геометричних об'єктів. В основі теорії сумірності лежала ідея про те, що існує єдина одиниця вимірювання всіх відрізків, така що кожен відрізок можна ототожнити з натуральним числом, за кількістю в ньому одиничних відрізків. Звідси природним чином випливало, що відношення двох відрізків можна було описати двома цілими числами, або, кажучи сучасною мовою, раціональним числом. Подібні погляди були поширені у грецькій філософії; так, піфагорійці вважали, що під все можна підвести число, Фалес намагався пояснити різноманіття світу з єдиного початку.
Однак завдяки теоремі Піфагора відкрита ірраціональність, яка була серйозним ударом вченню піфагорійців. Школою Піфагора було встановлено, що відношення діагоналі квадрата до його стороні не може бути раціональним числом. Доказ цього факту є в «Початки» Евкліда. Вважають, що це і є Пифагорейское доказ [10, стор 73]. Наведемо його в сучасному трактуванні [10, стор 73].
Нехай
Зведемо цю дріб у квадрат
Звідси випливає, що
З чого випливає що,
Це чудовий приклад того, що математики називають красивим доказом, деякі дослідники вважають, що це було перше в історії доказ «від протилежного» [1, стор.235]. Можливо, доведенню цієї теореми передували спроби знайти практично загальну міру цих двох величин [7, стор 92].
Це відкриття вразило греків. «... Проблема несумірності отримала гучну популярність серед широких кіл освічених людей» [10, стор 73]. Є легенда про те, що Піфагор в подяку богам приніс у жертву сто биків [7, стор 91]. Можливо було навіть думка що цей результат повинен залишитися таємним [1, стор.235].
Неспівмірність не мала геометричного осмислення. Це явище назвали «алогон», що не піддається осмисленню. Термін «ірраціональність» є латинським перекладом цього слова [7, стр.91]. В історії математики крах піфагорейської арифметики називають Першим кризою математики.
Слідом за відкриттям ірраціональності
2.1 Наслідки першого кризи і спроби його подолання
Відкриття несумірності справила величезний вплив на грецьку думку. «Саме з відкриттям несумірних величин в грецьку математику проникло поняття нескінченності» [1, стор 235]. Справа в тому, що до відкриття несумірності греки знаходили спільну міру за допомогою алгоритму Евкліда. Але разі несумірних відрізків алгоритм переставав бути кінцевим. Цей факт спонукав греків до розгляду нескінченності. Однак поняття нескінченності давалося грекам з працею і глибоко бентежило їх. Труднощі пов'язані з поняттям нескінченного призвели до ще більшої кризи в математиці і знайшли відображення у знаменитих апориях Зенона елейскої. Ці апорії (парадокси) розкривали протиріччя між тими хто вважав що матерія і час нескінченно делімиі тими, хто вважав що існують первинні неподільні одиниці. Наведемо найцікавіші для порушеної теми парадокси по [10].
1. Парадокс «Дихотомія» збудований у припущенні, що простір ділимо до нескінченності. Зміст
1. Зародження і розвиток поняття числа
2. Проблема несумірних або Перший криза в основі математики
2.1 Наслідки першого кризи і спроби його подолання
3. Становлення теорії межі
4. Створення теорії дійсного числа
4.1 Карл Вейерштрасс
4.2 Георг Кантор
4.3 Ріхард Дедекінд
Висновок
1 Зародження і розвиток поняття числа
В основі математики лежить поняття числа, одне з найбільш ранніх і найбільш абстрактних. Воно виникло як узагальнення рахунки окремих предметів. Рахунок властивий не тільки людині, але і, в деякій формі, і тваринам, наприклад кішці, яка відчуває наявність при собі всіх своїх кошенят.
Найбільш рання форма рахунку носить конкретно-чуттєвий характер. Такий рахунок можна виявити у первісних людей і у тварин. Однак не можна з упевненістю сказати, що тільки людина здатна до абстрактного рахунку. Є дані про здатність приматів до символізації рахунку «Примати здатні розпізнавати і узагальнювати ознака« число елементів », встановлювати відповідність між цим абстрактним ознакою і раніше нейтральними для них стимулами - арабськими цифрами. Оперуючи цифрами як символами, вони здатні ранжувати множини і впорядковувати їх за ознакою «число», а також здійснювати число дій, відповідне цифрі. Нарешті, вони здатні до виконання операцій, ізоморфних додаванню, але це питання потребує більш точних досліджень. »[12]. Там же відзначається висока здатність до символізації і узагальненні за ознакою «кількості» у Вранова.
Перехід від «чуттєвого рахунки» до абстрактного здійснюється за допомогою взаємооднозначної відповідності між двома множинами, одне з яких пізніше приймається як би за еталон. Взаємооднозначної відповідність з початку носить також конкретно-чуттєвий характер (наприклад, розташування елементів один напроти одного). Таким способом користуються навіть сучасні люди, коли вважають що-небудь загинаючи пальці. Вважається, що саме рахунок на пальцях лежить в основі десяткової системи числення, прийнятої у європейських народів [10, стор 11]. На цьому етапі узагальнення з'являється знакове позначення числа. Спочатку це були зарубки на дереві, кістках, вузлики на мотузках, кількість яких співпадала зі значенням числа. Конкретно-чуттєве походження чисел знаходить своє відображення в мові. «Спочатку рахунок проводився за допомогою підручних засобів: пальців каменів, ялинових шишок і т.д. Сліди цього збереглися у назві математичних числень: calculus, яке має латинське походження і означає: рахунок камінчиками »[11, стор 17]. З розвитком культури і суспільства з'являється потреба у використанні більш великих чисел, так з'являються різноманітні числові системи. Сучасна десяткова система з'явилася в результаті розвитку стародавніх систем числення. До систем числення попереднім десяткової відносяться:
• Ієрогліфічні непозиційної системи. До неї відноситься Римська система. У ній числа формується з набору вузлових чисел позначених ієрогліфами. Число утворюється з цього набору шляхом дописування праворуч або ліворуч вузлового числа інших вузлових чисел. Значення числа обчислюється за аддитивному або субстрактівному принципом.
• Алфавітні системи числення. Тут числа записуються за допомогою літер. Щоб відрізнити літери від чисел, кожній букві приписується відмітна ознака. Літери використовувані для запису чисел беруться в групи по 9 штук. Для запису одиниць десятків і сотень використовуються різні групи літер, що суттєво ускладнює її використання.
• Позиційні недесяткових системи числення.
Майже одночасно з рахунком зароджуються математичні операції додавання і віднімання (коли зменшуване більше від'ємника). Пізніше з'являється множення, як повторне складання. Розподіл з'являється значно пізніше, ніж множення, хоч уявлення про простих дробах (
Однак навіть в математиці Стародавньої Греції не було єдиного уявлення про те, що таке число. Так у школі Піфагора і Платона вважали одиницю не числом, а «ембріоном числа». Варто відзначити, що міфологічна свідомість давньогрецького суспільства ще не до кінця сприймало математичні і філософські абстракції. «Найменш доступні розумінню широких кіл були саме числа, ці найбільш абстрактні елементи науки того часу» [7, стор 83]. З цих та інших причин математика, її методи і результати виглядали містично. Найбільш розвинутим і філософськи обгрунтованим містичним поглядом на числа були піфагорейство і неопіфагорейство. Спрощено можна сказати, що пифагореизм в основі гармонії світу бачив число, для піфагореїзму всі числа мали містичний сенс. Подібні погляди можна зустріти і сьогодні. Проте слід визнати, що проникнення в філософію понять математики найчастіше було плідним. Як приклад можна навести категорію «Кількість» у філософії Канта і в діалектичній логіці, а також парадокси теорії множин.
Хоча аксіоматично спочатку будується безліч натуральних чисел, потім цілі числа, а потім вже раціональні, історично раціональні числа з'явилися раніше негативних чисел і нуля.
Спочатку поняття нуля виникло як позначення нульового розряду в записі чисел. Перше достовірне використання нуля виявлено в Індії і відноситься до IX століття. Проте точне походження цифри нуль у позиційних системах не відомо. «Одні дослідники (Г. Фреуденталь) припускають, що нуль був позичений у греків ... Інші (Дж. Нідем), навпаки, вважають, що нуль прийшов до Індії зі сходу» [10, стор 183]. В Індії найбільше ясно і повно досліджували питання про застосування до 0 арифметичних операцій, математиком Бхаскара навіть досліджувалося питання про поділ на на 0.
Також в індійській математиці було найбільш чітке уявлення про негативні числах. «Індійські математики, починаючи з Брахмагунти (VII ст.н.е.), систематично користувалися негативними числами і трактували позитивне число як майно, а негативне як борг» [10, стор 190], хоча ми не можемо стверджувати, що негативні числа вперше з'явилися в Індії. Було встановлено, що квадрат негативного числа - число додатне, також ставилися питання про наявність квадратного кореня з від'ємного числа. Діям з негативними числами присвячена ціла глава у творі Бхаскара «Віджаганіта».
Менш ясні уявлення про негативні числах були і у китайців. Їх поява була пов'язана з завданнями, які сьогодні називаються системи лінійних рівнянь. «Так як всі обчислення, в тому числі і перетворення матриці, вироблялися на лічильної дошці, то для позначення негативних чисел застосовувалися лічильні палички іншого кольору чи форми, а у разі запису застосовувалися ієрогліфи різних кольорів» [11, стор.84]. Юшкевич висловлює припущення про те, що подання про негативні числах мав Діофант [10, стор 145].
Хоча ідея ввести позначення для «нічого» виникла в математиці досить давно, але як число нуль довгий час не сприймався. Тим більше повноправними числами не сприймалися негативні числа, думка про те, що є щось менше ніж "ніщо» багатьом здавалася абсурдною. «... Ще Кардано називає негативні числа« фіктивними »[10, стор 315].
Інтерпретація негативного числа як «боргу» у індусів перейняли араби, використання негативних чисел зустрічається в роботах арабського математика Абу-л-Вафи. Вважається, що термін борг був запозичений математиком Середньовіччя Леонардо Пізанський (бл. 1170-після 1250, відомий як Фібоначчі) у арабів. Крім «боргу» існував термін «менше, ніж ніщо». Зачатки геометричної інтерпретації негативних чисел з'являється в роботі М. Штіфеля «Повна арифметика», але тільки після робіт Ферма і Декарта ставлення до негативних числах кардинально змінилося. Застосування негативних чисел і нуля зіграло важливу роль в математиці, дозволило узагальнити багато завдань, спростити деякі обчислення і формалізувати багато алгоритмів.
Як було зазначено раніше, дробу з'явилися набагато раніше ніж цілі числа (
Дроби також були здавна відомі в Індії, згадки про такі дробах як
Кілька слів варто сказати про походження десяткових дробів. Прообразом для десяткових дробів послужили шестидесятиричную дробу, використовувані вавилонянами. Вона нагадувала сучасний спосіб запису дробів тим, що дозволяла записувати цілю і дробову частину однотипно, що значно спрощувало обчислення. Поступово, виникають здогади, що це зручність не пов'язано з якимись особливими властивостями число 60. «Зріє думка про те, що в основу системи таких дробів може бути покладено й те число ... Розуміння цієї думки можна бачити вже в підручнику арифметики середини XII ст., Що приписується Іоанну Севільському. Йордан Немораррій (XIII ст.) Дає навіть спеціальну назву таким систематичним дробям, аналогічним шестидесятеричной »[6, стор 240]. Ідея десяткових дробів використовувалася деякими математиками, але до XIV століття суворого їх побудови не було. У середині XIV ст. французький математик Бонфіс зробив спробу розвинути ідею десяткового числа. Проте його робота носила ескізний характер і не була опублікована.
У першій половині XV теорію десяткового числа побудував самаркандський математик Джемшид Гияседдіна ал-Каші. Він описав десяткову запису числа і описав правила поводження з десятковими дробами. Однак роботи ал-Каші залишалися невідомими аж до середини XX століття.
У Європі десяткові дробу з'явилися завдяки інженеру Симону Стевіном (1548-1620). Він об'єднав окремі ідеї і уявлення про десяткових дробах і полум'яно їх пропагував. Великий інтерес викликали матетіков періодичні дроби. Вони були вперше виявлені арабським матетіком ал-Марадіні в XV ст. У Європі питання про періодичні дробах був серйозно розглянуто Валлісом в 1676 в трактаті з алгебри. Питаннями періодичних дробів займалися також Лейбніц, Ламберт, Ейлер, Бернуллі, Гаус і ін
2 Проблема несумірних або Перший криза в основі математики
Як видно з попереднього історичного екскурсу, твердого розуміння що таке число довгий час не було. З точки зору давніх греків, числом було тільки натуральне число більше одиниці. Кілька більш прогресивна система числення була у вавлонян, іспользущіх шестидесятиричную дробу. Вавилоняни знали теорему Піфагора і стикалися з проблемою вилучення коренів з чисел не мають точного квадрата. Проте, немає даних про те, чи розглядали вони це питання теоретично. «Володіння подібної [шестидесятиричную] системою і випливає звідси впевненість в числових розрахунках неминуче приводили до« наївному »поняттю дійсного числа, майже збігається з тим, яке в наші дні можна зустріти в елементарних підручниках математики (пов'язана з десятковою системою числення) або у фізиків і інженерів. Це поняття не піддається точному визначенню, але його можна виразити, сказавши, що число розглядається як певне завдяки можливості отримувати його наближені значення і вводити їх в обчислення. »[2, стор 146]. Такий же прагматичний підхід до ірраціональних числах був поширений в Індії та Китаї.
Незважаючи на недосконалу систему числення, строгість і теоретичність грецької математики сприяла розвитку уявлень про число. Як вже було зазначено вище, кожне число греки бачили як суму одиниць. Одиниця була твірної кожного числа, а всі числа складалися вимірювалися одиницею. Такий же підхід був до геометричних об'єктів. В основі теорії сумірності лежала ідея про те, що існує єдина одиниця вимірювання всіх відрізків, така що кожен відрізок можна ототожнити з натуральним числом, за кількістю в ньому одиничних відрізків. Звідси природним чином випливало, що відношення двох відрізків можна було описати двома цілими числами, або, кажучи сучасною мовою, раціональним числом. Подібні погляди були поширені у грецькій філософії; так, піфагорійці вважали, що під все можна підвести число, Фалес намагався пояснити різноманіття світу з єдиного початку.
Однак завдяки теоремі Піфагора відкрита ірраціональність, яка була серйозним ударом вченню піфагорійців. Школою Піфагора було встановлено, що відношення діагоналі квадрата до його стороні не може бути раціональним числом. Доказ цього факту є в «Початки» Евкліда. Вважають, що це і є Пифагорейское доказ [10, стор 73]. Наведемо його в сучасному трактуванні [10, стор 73].
Нехай
Зведемо цю дріб у квадрат
Звідси випливає, що
З чого випливає що,
Це чудовий приклад того, що математики називають красивим доказом, деякі дослідники вважають, що це було перше в історії доказ «від протилежного» [1, стор.235]. Можливо, доведенню цієї теореми передували спроби знайти практично загальну міру цих двох величин [7, стор 92].
Це відкриття вразило греків. «... Проблема несумірності отримала гучну популярність серед широких кіл освічених людей» [10, стор 73]. Є легенда про те, що Піфагор в подяку богам приніс у жертву сто биків [7, стор 91]. Можливо було навіть думка що цей результат повинен залишитися таємним [1, стор.235].
Неспівмірність не мала геометричного осмислення. Це явище назвали «алогон», що не піддається осмисленню. Термін «ірраціональність» є латинським перекладом цього слова [7, стр.91]. В історії математики крах піфагорейської арифметики називають Першим кризою математики.
Слідом за відкриттям ірраціональності
2.1 Наслідки першого кризи і спроби його подолання
Відкриття несумірності справила величезний вплив на грецьку думку. «Саме з відкриттям несумірних величин в грецьку математику проникло поняття нескінченності» [1, стор 235]. Справа в тому, що до відкриття несумірності греки знаходили спільну міру за допомогою алгоритму Евкліда. Але разі несумірних відрізків алгоритм переставав бути кінцевим. Цей факт спонукав греків до розгляду нескінченності. Однак поняття нескінченності давалося грекам з працею і глибоко бентежило їх. Труднощі пов'язані з поняттям нескінченного призвели до ще більшої кризи в математиці і знайшли відображення у знаменитих апориях Зенона елейскої. Ці апорії (парадокси) розкривали протиріччя між тими хто вважав що матерія і час нескінченно делімиі тими, хто вважав що існують первинні неподільні одиниці. Наведемо найцікавіші для порушеної теми парадокси по [10].
Рухоме тіло ніколи не досягне кінця шляху, тому що спочатку воно мусить дійти до середини відрізка, потім до середини залишку відрізка, потім до чверті відрізка і так далі. Таким чином тіло повинно пройти нескінченний набір крапок.
2. Парадокс «Стріла», побудований у припущенні, що час простір і час складаються з неподільних елементів.
Стріла в деякий момент часу знаходиться в точці в нерухомому стані. Так як це вірно в кожен момент часу, то стріла спочиває.
Незважаючи на те що, в цих парадокси відображено незнання греками поняття межі, ці парадокси не такі прості. Питання, поставлені Зеноном, обговорювалися філософами і математиками у всі часи. Зокрема такими математикам як Гільберт і Вейль. Але для грецьких математиків питання було в тому, припустимо або не допустимо використовувати нескінченність в математиці. Це питання в грецькій математиці стояло дуже гостро. Наприклад, Протагор (V ст. До н.е.) заперечував навіть всі математичні абстракції [10, стор 94].
Перша концепція нескінченного, яка стала загальноприйнятою в грецькій математиці, була висунута Анаксагором (V ст. До н.е.) і розвинена Евдоксом Кнідським. Евдокс належить метод вичерпання, який був покликаний вирішити проблему несумірних. Для цього він будує теорію величин аксіоматично. Величини в розумінні Евдокса мають різну природу - відрізки, числа, час, але всі величини характеризуються [1]:
1. Транзитивне. «Рівні одного й того ж рівні між собою».
2. «Якщо до рівних додаються рівні, то і залишки будуть рівні».
3. «Якщо від рівних віднімаються рівні, то і залишки будуть рівні».
4. Еквівалентністю. «... Суміщене один з одним рівні між собою».
5. Всі величини одного виду впорядковані, тобто
6. «... Ціле більше частини».
7. «Величини мають відношення один з одним, якщо вони взяті кратно можуть перевершити один одного» (або в сучасному трактуванні: якщо
Побудова цієї аксіоматики було значним кроком у бік теорії дійсного числа.
На безлічі величин Евдокс визначив операцію відносини. Два відносини
1.
2.
3.
Аналогічним способом визначалися і нерівності між відносинами. Цей оператор розбивав всі величини на класи пропорційних один одному. Евдокс також встановив транзитивність операції відношення.
Як зазначено в [2, стор 149], введення едінозначного оператора відносини для будь-якого виду величин, мало на увазі що для будь-якої пари величин
Як видно з визначення, кожне непорівнянне ставлення визначало два класи раціональних чисел. Істотним пробілом було те, що не встановлювалося зворотне відповідність.
Але основі побудови Евдокса виник метод вичерпання, заснований на аксіомі Архімеда. Тепер математики не приписували довжини відрізкам, а порівнювали їх з іншими відрізками. «... метод вичерпання ... дозволив грекам вирішувати завдання, що стали згодом предметом обчислення нескінченно малих »[1, стор 239].
Після розгрому античної культури, її досягнення підхопили араби, в тому числі і «Начала» Евкліда в яких описані ірраціональні числа. Однак математика арабів носила більше практичний, обчислювальний характер. «Переважна місце ... зайняло створення різноманітних обчислювальних методів і вимірювальних засобів для потреб торгівлі, адміністративного управління, землемір, картографії, астрономії, календаря і т.д. »[11, стор 98]. Це сприяло тому, що араби оперували з ірраціональними числами формально не приділяючи особливої уваги теоретичного обгрунтування ірраціональних чисел. З цієї причини грань між «справжніми» числами і ірраціональними поступово стиралася. Також були зведені воєдино несумірність геометричних відрізків і арифметична ірраціональність.
У 1077 Омар Хайям, намагаючись подолати проблему несумірності, у своїй праці «Коментарі до труднощів у вступах книги Евкліда» визначає, два відносини рівними, якщо рівні всі відповідні неповні приватні розкладання цих дробів в безперервні дробу. Хайям показав равносильность цього визначення з античним і ввів множення і ділення відносин. Наприкінці своєї роботи Хайям приходить до необхідності узагальнення поняття числа і розширення його на ірраціональні числа. Ідеї Хайяма здобули визнання серед арабських математиків. Його ідеї розвинув Ат-Тусі, а в XIII ст. кожне відношення з упевненістю прирівнювалася до числа [11, стор 101]. Тут цікаво відзначити, що в Європі до XVI ст. існувало уявлення про несумірних.
У Середньовічній Європі питання, пов'язані з нескінченністю мали здебільшого схоластичний і метафізичний характер.
3 Становлення теорії межі
Сувора математична побудова поняття дійсного числа стала можливою завдяки теорії межі.
Людина, що отримав сучасне математичну освіту важко уявляє собі диференціальне та інтегральне числення без апарату теорії межі. Однак, історично похідна з'явилася раніше межі. Причини такого явища в [1] пояснюються нагальною потребою природознавства в XVII столітті методах диференціального й інтегрального числення.
У XVII ідеї пов'язані з інфінітезимального методами почали бурхливо розвиватися. Тут варто відзначити таких математиків як Декарт, Ферма, Паскаль, Торрічеллі, Кавальєрі, Роберваль, Барроу. Метод квадратур, розроблений в античності, знайшов широке застосування і розвиток. Досліджувався питання дотичних - було дано визначення, більш загальне ніж античне, були побудовані методи відшукання дотичних. Були зроблені спроби ввести похідну. Було навіть встановлено, що задача про знаходження дотичної обратна до задачі про квадратуру.
Незважаючи на відсутність суворості «... математики досягали все більшої майстерності у поводженні з поняттями, що лежать в основі обчислення нескінченно малих» [1, стор 263].
Методи нескінченно малих завойовують популярність у математиків і все більше використовуються і вдосконалюються. Інтегральне і диференціальне числення поступово оформляється і узагальнюється працями таких вчених як Ньютон (1643-1727) і Лейбніц (1646-1716). Так, Ньютон встановив зв'язок між похідної та інтегралом, запропонував новий метод розв'язання рівнянь за допомогою похідної. Він розробив метод флюксій, який пов'язав похідну з миттєвою швидкістю та прискоренням. За допомогою цього методу він розробляв інтегральне і диференціальне числення. Також Ньютон запропонував алгоритм для знаходження похідної функції, заснований на ранній формі теорії меж. Основою і потужним засобом методу флюксій було розкладання функцій в ряди, правда без належного обгрунтування їх збіжності.
Лейбницу ми зобов'язані великою кількістю зручних і красивих позначень в інтегральному і диференціальному численні. До своїх результатами Лейбніц прийшов незалежно від Ньютона. Користуючись знаннями з комбінаторики він розробив формальний метод обчислення інтегралів. Лейбніц ввів поняття диференціала визначивши його через дотичні, знайшов деякі правила знаходження диференціала складної функції, а також ввів диференціали вищих порядків. Також Лейбніцем були розроблені методи пошуку точок екстремуму і точок перегину. Сильною стороною теорії Лейбніца, з точки зору практичних обчислень, була алгорітмічность і формальність.
І Ньютон, і Лейбніц вирішили безліч практично важливих завдань, пользуюясь поняттями нескінченно малих величин, їх точки зору на похідну та інтеграл відрізнялися один від одного. Так Ньютон для вирішення диференціальних завдань використовує метод флюксій, а Лейбніц диференціали. Ньютон розглядає інтегрування як завдання зворотний диференціюванню (в наших поняттях, відшукання первісної), а Лейбніц розглядає інтеграл як суму площ нескінченно малих прямокутників. Цілком звичайно, що дві ці концепції були конкуруючими один одному.
Ньютон і Лейбніц, використовуючи у своїх викладках нескінченно малі, не могли пояснити їх природу, тому що не уявляли собі малої величини і кінцевої і відмінною від 0. Обидва вчені близько підійшли до поняття межі, але «.. вузька концепція числа, не допускала ототожнення деяких відносин з числами, була частково причиною того, що ні в ньютонівської, ні в теорії Лейбніца не могло" прорізатися "поняття межі» [1, стор . 275]. Математики користувалися інтуїтивними і геометричними міркуваннями. Функції розумілися як криві, отримані деякими рухом (так само як їх розглядали стародавні греки). «Перші творці аналізу та їх послідовники приймали як щось само собою зрозуміле справедливість двох основних уявлень про простір і механічному движени» [4, стор 36]. Ймовірно з цієї причини зв'язок між безперервність і диференційовність довгий час вважалися майже синонімами.
Однак метод нескінченно малих довів свою плідність і потрібність математики, від цього проблема фундаменту для інтегрального та диференціального числення ставала ще більш гострою. Суперечки були не тільки серед математиків; жорстким нападкам піддавалася вся математика, наприклад, з боку богослова Д. Берклі. Цей стан математики XVII-XVII отримало назву другої кризи математики.
Слідом за Ньютоном і Лейбніцем спроби визначити поняття нескінченно малої робилися Ейлером, Даламбером і Лагранжем. Ці спроби не можна назвати марними, цими роботами зміцнилося в матетіке поняття функцій, що зіграло свою роль подальші пошуки теорії межі. Однак побудувати зв'язану і логічні обгрунтування теорію не вийшло.
Таким чином до XIX століття в математиці склалася парадоксальна ситуація. У наявності були безсумнівні успіхи математичних наук у природознавстві, розроблена методика звернення з рядами, диференціювання та інтегрування, вирішені багато важливих завдань, але понімнія на чому заснований математичний аналіз не було. Необхідність розібратися з фундаметом нової математики стала загальною і нагальною.
Побудовою стрункою і строгою теорії нескінченно малих ми зобов'язані Огюстену Луї Коші (1789-1857). Слід визнати, що Коші був не першим математиком, хто прийшов до цієї ідеї, але, історично, його роботи зіграли в розвитку математичного аналізу ключову роль. Коші дав загальне визначення межі в описовій формі: «Якщо значення, послідовно приписувані однієї і тієї ж змінної, необмежено наближаються до фіксованого значенням, так що врешті-решт відрізняються від нього як завгодно мало, то останнє називають межею всіх інших» [2]. З точки зору цього визначення стало понтним що таке нескінченно мала величина - це всього лише величина, що має межа дорівнює 0, потім Коші визначив поняття похідної і показав зв'язок цього визначення з диференціалами Лейбніца. Також він побудував першу строгу теорію інтегрування і довів зв'язок інтегрування і диференціювання.
Переоцінити внесок Коші в математику важко. Його роботами відкривалася нова епоха в математиці, «... починається так звана" арифметизації "всієї математики» [3, стор 117]. Завдяки роботам Коші математичний аналіз міцно і заслужено зайняв в математиці одне з головних місць. Методи Коші отримали загальне распрастраненной, застосовувалися опрацьовувалися все XIX століття. Ідеї та методи Коші плідно користуються і узагальнюються сучасними математиками і сьогодні.
4 Створення теорії дійсного числа
Після «наведення порядку» в математичному аналізі постало питання про ситуацію в арифметиці. «До необхідності розробки теорії дійсних чисел приводили багато завдань аналізу та деякі способи міркувань, що застосовувалися при вирішенні цих завдань» [4, стор 61]. Проблема підстави, розуміння того, що ж таке число, в XIX ст. ще не була вирішена. З нашої точки зору, це було завдання про поповнення безлічі раціональних чисел. Її намагалися вирішити таким способом (наведено за [4]):
Визначимо ірраціональне число як межа послідовності раціональних чисел. Треба показати, що така послідовність сходиться. Для цього скористаємося критерієм Коші, який буде справедливий для будь-яких раціональних значень, однак для того щоб відповісти на запитання чи буде він справедливий для дійсних чисел необхідно мати певними ірраціональні числа. Виходив замкнуте коло.
Це завдання було вирішене в XIX столітті з різних точок зору і незалежно один від одного Вейерштрасом, Дедекіндом, Кантором і Мере.
4.1 Карл Вейерштрасс
Карл Вейерштрасс народився в місті Остенфельд (передмістя Еннігерло), в сім'ї секретаря бургомістра. У 1834 р. з успіхом закінчив Пандерборнскую гімназію, його ім'я було в списку 11 найбільш талановитих учнів. За наполяганням батька в 1834 році Вейерштрасс надходить до Боннського університету для здобуття юридичної освіти. Але юридичні науки його не захоплювали, велику частину часу він приділяв заняттям математикою. Через 4 роки Вейерштрасс кидає університет, не здавши жодного іспиту. У 1839 році вступає в Мюнстерський академію, а в 1841 році блискуче здає випускну роботу. Після закінчення університету працює вчителем у провінційних містах Німеччини. У 1845 публікує статтю абелевих функцій, за яку отримує докторську ступінь від Кенігсберзького університету. У 1861 обирається членом Баварської академії наук. З 1856 по 1889 читає лекції в Берлінському унівеситет. Помер Вейрштрасс в 1897 році.
Математичне творчість відрізняється прагненням до ясності і строгості. Як пише про нього Пуанкаре [5]: «Вейерштрасс відмовляється користуватися інтуїцією або принаймні залишає їй тільки ту частину, яку не може у неї забрати» Роботи Вейєрштрасса охоплюють широке коло проблем: абелеві і еліптичні функції, комплексні величини, теорія рядів і багато інші.
Вейерштрасс зіграв головну роль у арифметизації математичного аналізу. Він прагнув до того, щоб всі поняття математики перевести в буквено-числові. Він пішов від будь-яких інтуїтивних і геометричних уявлень поняття функції. Щоб піти від туманних формулювань на кшталт «Необмежена наближення однієї величини до іншої», була створена мова
Вейерштрасс дотримувався точки зору, що суворість аналізу залежить від арифметики. Тому він починає працювати над приведенням в порядок дістався від греків математичного спадщини несумірних. Він відокремлює поняття числа від поняття величини.
Приблизно в 1863 році Карл Вейерштрасс створює теорію дійсних чисел, яка дозволяє логічні нестиковки арифметики. На жаль, він не видавав її, а виклав на лекції своїм учням. Вейерштрасс дав свою побудову в термінах точних частин одиниці, але тут воно розглянуто у сучасному трактуванні.
Покладемо що у нас є раціональні числа. Візьмемо безліч
Таким чином, Вейерштрасс побудував дійсне число. Варто відзначити, що він не прирівнює число до ряду, тим самим уникає логічної помилки своїх попередників. З цієї побудови видно, що воно визначає взаємооднозначної відповідність: з одного боку з раціонального чисел можна побудувати речовій число, з іншого кожне речовій число можна визначити деяким побудовою з дійсних чисел. Крім того, воно використовує актуально нескінченні множини.
Варто ще раз підкреслити, що Вейерштрасс у своєму визначенні дійсного числа виходить тільки з арифметики, не пов'язуючи їх з точками на прямій.
Побудова дійсних чисел дозволило перейти від механічного, геометричного поняття межі до теоретико-множинного. Також за допомогою строго визначення поняття числа Вейерштрасс розвинув теорію аналітичних функцій. Також у роботах Вейєрштрасса зустрічається прообраз того, що ми називаємо потужністю множин.
4.2 Георг Кантор
Народився 3 березня 1845 в Санкт-Петербурзі і ріс там до 11-річного віку. Батько сімейства був членом Петербурзької фондової біржі. Коли він захворів, родина, розраховуючи на більш м'який клімат, в 1856 році переїхала до Німеччини: спочатку в Вісбаден, а потім до Франкфурта. У 1860 році Георг закінчив з відзнакою реальне училище в Дармштадті, вчителі відзначали його виняткові здібності до математики, зокрема, до тригонометрії. Продовжив він отримав освіту в Федеральному політехнічний інституті в Цюріху. Через рік, після смерті батька, Георг отримав спадок і перевівся в Берлінський університет. Там він відвідує відвідує лекції Кронекера, Вейєрштрасса, Куммера. Літо 1866 Кантор провів в університеті Геттінгена, важливому центрі математичної думки. У 1967 році в Берліні отримав ступінь доктора за роботу з теорії чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».
Після нетривалої роботи викладачем у Берлінській школі для дівчаток, Кантор займає місце в Галльської університеті Мартіна Лютера, де і пройде вся його кар'єра. У 1872 році він стає ад'юнкт-професором, тоді ж, під час відпустки, зав'язує дружбу з Ріхардом Дедекіндом. У 34 роки Кантор стає професором математики. У 1879-84 він систематично викладає своє вчення про нескінченність; «ввів поняття граничної точки, похідного безлічі, побудував приклад досконалого безлічі, розвинув одну з теорій ірраціональних чисел, сформулював одну з аксіом безперервності» [8]. Незважаючи на таку успішну кар'єру, мріє про посаду в більш престижному університеті, наприклад, Берлінському. Однак, мріям не вдається втілитися в життя: багато сучасників, в тому числі Кронекер, який розглядається зараз як один із засновників конструктивної математики, з ворожістю відносяться до канторівскої теорії множин, оскільки та стверджує існування множин, задовольняють певним властивостям, - без надання конкретних прикладів множин, елементи яких би дійсно задовольняли цим властивостям.
У 1984 році Кантор випробував напад глибокої депресії і на час відходить від математики, зміщуючи свої інтереси в сторону філософії. Потім повертається до роботи. У 1897 році він припиняє наукову творчість. Помер Кантор в Галле 6 січня 1918.
Одна з актуальних проблем XIX століття була проблема нескінченного розподілу відрізків і існування точки, що належала всім таким стягивающими відрізкам. Це завдання вимагала поняття дійсного числа.
Побудова Кантором теорії дійсного числа було опубліковано 1872 року, майже одночасно з теорією Вейєрштрасса і Дедекінда. У своєму побудові Кантор виходить з наявності раціональних чисел. Потім він вводить фундаментальні послідовності Коші і приписує їм формальний межа. Далі, він розглядає розбиває всі послідовності на класи еквівалентності. До одного й того ж класу послідовності відносяться тоді і тільки тоді, коли їх різниця прагне до нуль, тобто
Якщо
Таким чином, класи еквівалентності описують деякі речові числа. Назвемо їх речовими числами першого порядку. Якщо ми спробуємо утворити дійсне число більшого порядку, складаючи фундаментальні послідовності Коші, то одержимо знову безліч речових чисел першого порядку. Іншими словами, безліч дійсних чисел замкнуто.
Кантор звертає увагу той факт, що у визначенні дійсного числа лежить актуально нескінченна безліч раціональних чисел: «... до визначення якого-небудь ірраціонального числа завжди належить деякий суворо певну безліч перший потужність раціональних чисел» [3].
Зауважимо, що побудова Кантора можна узагальнити на інші об'єкти, що була зроблено Кантором і його послідовниками, «розробка теорій дійсного числа була досить істотною передумовою створення теорії множин» [4, стор 63]. Наприклад, на основі своєї побудови дійсного числа Кантор згодом свою теорію трансфінітної чисел.
Крім того, Кантор ввів поняття потужності множин і довів нееквівалентність ірраціональних і раціональних чисел.
4.3 Ріхард Дедекінд
Дедекінд Ріхард Юліус Вільгельм народився 6 жовтня 1831 року у Брауншвейзі (Нижня Саксонія). Там він провів більшу частину свого життя і помер 12 лютого 1916 року. Відучившись у Карлівському колегіумі у його рідному місті, в 1850 році Дедекінд вступає до Геттінгенського університету, провідний і найстаріший в Нижній Саксонії. У числі його університетських друзів був Бернхард Ріман.
У 1852 році у віці 1921 Дедекінд отримує докторську ступінь за роботу над дисертацією з теорії інтегралів Ейлера. Потім, відучившись в Берлінському університеті 2 роки, він повернувся в Геттінген і на посаді приват-доцента викладав курси теорії ймовірності та геометрії. У 1855 році, після смерті Гауса, його кафедру зайняв Діріхле, спілкування з яким справило величезний вплив на Дедекінда, вони стали близькими друзями. Перший час Дедекінд вивчав еліптичні та абелеві функції. Крім того, він був першим в Геттінгені, хто викладав теорію Галуа і ввів в широке вживання запропоноване Галуа поняття поля.
У 1858 році Дедекінд почав викладати в Технічному університеті в Цюріху. Коли в 1862 році Карлівський колегіум був перетворений в Технічний інститут, Дедекінд повертається в рідний Брауншвейг на посаду професора, де до кінця свого життя викладає.
У 1971 році при перевиданні "Лекцій з теорії чисел" Діріхле, в десятому (у пізніших виданнях - одинадцятому) приписці він виклав свої праці, за які отримав наукове визнання. «Цією та іншими своїми роботами, в яких введено поняття кільця, модуля та ідеалу, Дедекінд заклав основи сучасного аксіоматичного викладу математичних теорій» [13].
У тому ж році він знайомиться з Георгом Кантором. Знайомство перейшло у довголітню дружбу і співробітництво; Дедекінд став одним з перших прихильників канторівскої теорії множин. Сформулював (1888 рік) систему аксіом арифметики (її зазвичай називають аксіомами Пеано), що містить, зокрема, точне формулювання принципу повної математичної індукції. Ввів в математику в узагальненому вигляді теоретико-множинне поняття відображення. У 1894 році Дедекінд пішов на заслужений відпочинок, але продовжував іноді читати лекції і публікуватися.
Він ніколи не був одружений і проживав зі своєї незаміжньої сестрою Юлією. Дедекінд обирався членом в Академії Берліна (1880 рік) і Риму, а також у Французьку Академію наук (1900). Він отримав докторські ступені в університетах Осло, Цюріха і Брауншвейга. Видав лекції з теорії чисел, читані Діріхле, праці Гаусса, а також (разом з Г. Вебером) повне зібрання творів Рімана.
Дедекінд, також як і Вейерштрасс, виявив логічну труднощі переходу від геометричного аналізу до арифметичного, що складається в невизначеності дійсного числа. Своє побудова дійсного числа Дедекінд відносить до осені 1858 року. Похід до матеріального числа Дедекінда близький до підходу Евдокса настільки, що деякі математики не відразу бачили відмінність [10]. Дедекінд виходить з геометричного уявлення про те, що точка ділить пряму на дві частини, які умовно можна назвати правої і лівої. Далі Дедекінд визначає перетин множини раціональних чисел як пару підмножин Q, таку що будь-який елемент з однієї безлічі завжди більше будь-якого елементу з іншої множини. Для визначеності будемо вважати, що
Дедекінд дав одне з перших визначень безперервності: «Якщо розбити всі величини якійсь області, влаштованої безперервним чином, на два таких класу, що кожна величина першого класу менше будь-якої величини другого класу, то або в першому класі існує найбільша величина, або у другому класі існує найменша величина »[4].
Слід зазначити, що незважаючи на безумовну строгість побудови, в підході Дедекінда відчувається велика геометричність, ніж у Вейєрштрасса, «і Дедекінд і Кантор відразу ж висувають аксіому про взаємооднозначної відповідно між побудованими ними дійсними числами і точками прямий» [4, стор 62].
Висновок
Нові погляди в математичному аналізі не приживалися гладко. Жорстко критикував вчення Вейєрштрасса, наприклад, Кронекер. Критику Кантора можна впевнено порівняти з цькуванням. Але час довів правильність обраного курсу. Звичний нам вид математичного будинку багато в чому був побудований завдяки таким вченим як Вейерштрасс, Кантор і Дедекінд.
Побудова дійсного числа завершило будівництво фундаменту для математичного аналізу. Питання аксіоматичної побудови аналізу був практично завершений: все, що залишалося зробити - це побудувати аксіоматику цілих і раціональних чисел. Це завдання було завершено Ж. Пеано в 1889 році. Однак, побудова дійсного числа не є вузькоспеціальних питанням математики, як, наприклад, Велика теорема ферма. Завдяки роботам Вейєрштрасса, Кантора і Дедекінда в обіг увійшли актуально нескінченні об'єкти: дійсне число, стало фактично першим таким об'єктом. Суворі побудови засновані на аксіоматиці, сприяли переходу математиків від «чуттєвого», «інтуїтивного» до абстрактного і строгого. Узагальнені методи побудови дійсного числа стали згодом основою для теорії множин, функціонального аналізу, інтеграла Лебега. Так що з упевненістю можна сказати, що ні одна людина не може стати математиком, не знаючи робіт трьох великих творців математики XIX століття.
Список літератури
[1] А. Даан-Дальмедіко, Ж. Пейффер. Шляхи і лабіринти. Нариси з історії математики. М.: Світ, 1986.
[2] М. Бурбакі. Нариси з історії математики. М.: ІЛ, 1963.
[3] Ф. Клейн. Лекції про розвиток математики в XIX столітті. М.-Л.: Гонти, 1937.
[4] Ф.А. Медведєв. Розвиток теорії множин у XIX. М.: Наука, 1937.
[5] П.Я. Кочина. Карл Вейерштрасс. М.: Наука, 1937.
[6] І.Я. Депман. Історія арифметики. M.: Просвітництво, 1965.
[7] Е. Кольман. Історія математики в давнину. М.: Физматгиз, 1961.
[8] Велика радянська енциклопедія. - 3-е вид. / Гол. ред. Прохоров А. М. - М.: Сов. енциклопедії., 1978.
[9] Енциклопедичний словник. М.: ДПІ «Велика Радянська енциклопедія», 1953.
[10] Історія математики з найдавніших часів до початку XIX століття, під ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1970.
[11] К.А. Рибніков. Історія математики. Т.1. вид. МДУ, 1960.
[12] З.А. Зоріна, І.І. Полєтаєва. Елементарне мислення тварин: навчальний посібник. M.: Аспект Пресс, 2002.
[13] Математика XIX століття. Том 1. Математична логіка. Алгебра. Теорія чисел. Теорія ймовірностей. Під ред. А. Н. Колмогорова та А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1978.
Варто ще раз підкреслити, що Вейерштрасс у своєму визначенні дійсного числа виходить тільки з арифметики, не пов'язуючи їх з точками на прямій.
Побудова дійсних чисел дозволило перейти від механічного, геометричного поняття межі до теоретико-множинного. Також за допомогою строго визначення поняття числа Вейерштрасс розвинув теорію аналітичних функцій. Також у роботах Вейєрштрасса зустрічається прообраз того, що ми називаємо потужністю множин.
4.2 Георг Кантор
Народився 3 березня 1845 в Санкт-Петербурзі і ріс там до 11-річного віку. Батько сімейства був членом Петербурзької фондової біржі. Коли він захворів, родина, розраховуючи на більш м'який клімат, в 1856 році переїхала до Німеччини: спочатку в Вісбаден, а потім до Франкфурта. У 1860 році Георг закінчив з відзнакою реальне училище в Дармштадті, вчителі відзначали його виняткові здібності до математики, зокрема, до тригонометрії. Продовжив він отримав освіту в Федеральному політехнічний інституті в Цюріху. Через рік, після смерті батька, Георг отримав спадок і перевівся в Берлінський університет. Там він відвідує відвідує лекції Кронекера, Вейєрштрасса, Куммера. Літо 1866 Кантор провів в університеті Геттінгена, важливому центрі математичної думки. У 1967 році в Берліні отримав ступінь доктора за роботу з теорії чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».
Після нетривалої роботи викладачем у Берлінській школі для дівчаток, Кантор займає місце в Галльської університеті Мартіна Лютера, де і пройде вся його кар'єра. У 1872 році він стає ад'юнкт-професором, тоді ж, під час відпустки, зав'язує дружбу з Ріхардом Дедекіндом. У 34 роки Кантор стає професором математики. У 1879-84 він систематично викладає своє вчення про нескінченність; «ввів поняття граничної точки, похідного безлічі, побудував приклад досконалого безлічі, розвинув одну з теорій ірраціональних чисел, сформулював одну з аксіом безперервності» [8]. Незважаючи на таку успішну кар'єру, мріє про посаду в більш престижному університеті, наприклад, Берлінському. Однак, мріям не вдається втілитися в життя: багато сучасників, в тому числі Кронекер, який розглядається зараз як один із засновників конструктивної математики, з ворожістю відносяться до канторівскої теорії множин, оскільки та стверджує існування множин, задовольняють певним властивостям, - без надання конкретних прикладів множин, елементи яких би дійсно задовольняли цим властивостям.
У 1984 році Кантор випробував напад глибокої депресії і на час відходить від математики, зміщуючи свої інтереси в сторону філософії. Потім повертається до роботи. У 1897 році він припиняє наукову творчість. Помер Кантор в Галле 6 січня 1918.
Одна з актуальних проблем XIX століття була проблема нескінченного розподілу відрізків і існування точки, що належала всім таким стягивающими відрізкам. Це завдання вимагала поняття дійсного числа.
Побудова Кантором теорії дійсного числа було опубліковано 1872 року, майже одночасно з теорією Вейєрштрасса і Дедекінда. У своєму побудові Кантор виходить з наявності раціональних чисел. Потім він вводить фундаментальні послідовності Коші і приписує їм формальний межа. Далі, він розглядає розбиває всі послідовності на класи еквівалентності. До одного й того ж класу послідовності відносяться тоді і тільки тоді, коли їх різниця прагне до нуль, тобто
Якщо
Таким чином, класи еквівалентності описують деякі речові числа. Назвемо їх речовими числами першого порядку. Якщо ми спробуємо утворити дійсне число більшого порядку, складаючи фундаментальні послідовності Коші, то одержимо знову безліч речових чисел першого порядку. Іншими словами, безліч дійсних чисел замкнуто.
Кантор звертає увагу той факт, що у визначенні дійсного числа лежить актуально нескінченна безліч раціональних чисел: «... до визначення якого-небудь ірраціонального числа завжди належить деякий суворо певну безліч перший потужність раціональних чисел» [3].
Зауважимо, що побудова Кантора можна узагальнити на інші об'єкти, що була зроблено Кантором і його послідовниками, «розробка теорій дійсного числа була досить істотною передумовою створення теорії множин» [4, стор 63]. Наприклад, на основі своєї побудови дійсного числа Кантор згодом свою теорію трансфінітної чисел.
Крім того, Кантор ввів поняття потужності множин і довів нееквівалентність ірраціональних і раціональних чисел.
4.3 Ріхард Дедекінд
Дедекінд Ріхард Юліус Вільгельм народився 6 жовтня 1831 року у Брауншвейзі (Нижня Саксонія). Там він провів більшу частину свого життя і помер 12 лютого 1916 року. Відучившись у Карлівському колегіумі у його рідному місті, в 1850 році Дедекінд вступає до Геттінгенського університету, провідний і найстаріший в Нижній Саксонії. У числі його університетських друзів був Бернхард Ріман.
У 1852 році у віці 1921 Дедекінд отримує докторську ступінь за роботу над дисертацією з теорії інтегралів Ейлера. Потім, відучившись в Берлінському університеті 2 роки, він повернувся в Геттінген і на посаді приват-доцента викладав курси теорії ймовірності та геометрії. У 1855 році, після смерті Гауса, його кафедру зайняв Діріхле, спілкування з яким справило величезний вплив на Дедекінда, вони стали близькими друзями. Перший час Дедекінд вивчав еліптичні та абелеві функції. Крім того, він був першим в Геттінгені, хто викладав теорію Галуа і ввів в широке вживання запропоноване Галуа поняття поля.
У 1858 році Дедекінд почав викладати в Технічному університеті в Цюріху. Коли в 1862 році Карлівський колегіум був перетворений в Технічний інститут, Дедекінд повертається в рідний Брауншвейг на посаду професора, де до кінця свого життя викладає.
У 1971 році при перевиданні "Лекцій з теорії чисел" Діріхле, в десятому (у пізніших виданнях - одинадцятому) приписці він виклав свої праці, за які отримав наукове визнання. «Цією та іншими своїми роботами, в яких введено поняття кільця, модуля та ідеалу, Дедекінд заклав основи сучасного аксіоматичного викладу математичних теорій» [13].
У тому ж році він знайомиться з Георгом Кантором. Знайомство перейшло у довголітню дружбу і співробітництво; Дедекінд став одним з перших прихильників канторівскої теорії множин. Сформулював (1888 рік) систему аксіом арифметики (її зазвичай називають аксіомами Пеано), що містить, зокрема, точне формулювання принципу повної математичної індукції. Ввів в математику в узагальненому вигляді теоретико-множинне поняття відображення. У 1894 році Дедекінд пішов на заслужений відпочинок, але продовжував іноді читати лекції і публікуватися.
Він ніколи не був одружений і проживав зі своєї незаміжньої сестрою Юлією. Дедекінд обирався членом в Академії Берліна (1880 рік) і Риму, а також у Французьку Академію наук (1900). Він отримав докторські ступені в університетах Осло, Цюріха і Брауншвейга. Видав лекції з теорії чисел, читані Діріхле, праці Гаусса, а також (разом з Г. Вебером) повне зібрання творів Рімана.
Дедекінд, також як і Вейерштрасс, виявив логічну труднощі переходу від геометричного аналізу до арифметичного, що складається в невизначеності дійсного числа. Своє побудова дійсного числа Дедекінд відносить до осені 1858 року. Похід до матеріального числа Дедекінда близький до підходу Евдокса настільки, що деякі математики не відразу бачили відмінність [10]. Дедекінд виходить з геометричного уявлення про те, що точка ділить пряму на дві частини, які умовно можна назвати правої і лівої. Далі Дедекінд визначає перетин множини раціональних чисел як пару підмножин Q, таку що будь-який елемент з однієї безлічі завжди більше будь-якого елементу з іншої множини. Для визначеності будемо вважати, що
Дедекінд дав одне з перших визначень безперервності: «Якщо розбити всі величини якійсь області, влаштованої безперервним чином, на два таких класу, що кожна величина першого класу менше будь-якої величини другого класу, то або в першому класі існує найбільша величина, або у другому класі існує найменша величина »[4].
Слід зазначити, що незважаючи на безумовну строгість побудови, в підході Дедекінда відчувається велика геометричність, ніж у Вейєрштрасса, «і Дедекінд і Кантор відразу ж висувають аксіому про взаємооднозначної відповідно між побудованими ними дійсними числами і точками прямий» [4, стор 62].
Висновок
Нові погляди в математичному аналізі не приживалися гладко. Жорстко критикував вчення Вейєрштрасса, наприклад, Кронекер. Критику Кантора можна впевнено порівняти з цькуванням. Але час довів правильність обраного курсу. Звичний нам вид математичного будинку багато в чому був побудований завдяки таким вченим як Вейерштрасс, Кантор і Дедекінд.
Побудова дійсного числа завершило будівництво фундаменту для математичного аналізу. Питання аксіоматичної побудови аналізу був практично завершений: все, що залишалося зробити - це побудувати аксіоматику цілих і раціональних чисел. Це завдання було завершено Ж. Пеано в 1889 році. Однак, побудова дійсного числа не є вузькоспеціальних питанням математики, як, наприклад, Велика теорема ферма. Завдяки роботам Вейєрштрасса, Кантора і Дедекінда в обіг увійшли актуально нескінченні об'єкти: дійсне число, стало фактично першим таким об'єктом. Суворі побудови засновані на аксіоматиці, сприяли переходу математиків від «чуттєвого», «інтуїтивного» до абстрактного і строгого. Узагальнені методи побудови дійсного числа стали згодом основою для теорії множин, функціонального аналізу, інтеграла Лебега. Так що з упевненістю можна сказати, що ні одна людина не може стати математиком, не знаючи робіт трьох великих творців математики XIX століття.
Список літератури
[1] А. Даан-Дальмедіко, Ж. Пейффер. Шляхи і лабіринти. Нариси з історії математики. М.: Світ, 1986.
[2] М. Бурбакі. Нариси з історії математики. М.: ІЛ, 1963.
[3] Ф. Клейн. Лекції про розвиток математики в XIX столітті. М.-Л.: Гонти, 1937.
[4] Ф.А. Медведєв. Розвиток теорії множин у XIX. М.: Наука, 1937.
[5] П.Я. Кочина. Карл Вейерштрасс. М.: Наука, 1937.
[6] І.Я. Депман. Історія арифметики. M.: Просвітництво, 1965.
[7] Е. Кольман. Історія математики в давнину. М.: Физматгиз, 1961.
[8] Велика радянська енциклопедія. - 3-е вид. / Гол. ред. Прохоров А. М. - М.: Сов. енциклопедії., 1978.
[9] Енциклопедичний словник. М.: ДПІ «Велика Радянська енциклопедія», 1953.
[10] Історія математики з найдавніших часів до початку XIX століття, під ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1970.
[11] К.А. Рибніков. Історія математики. Т.1. вид. МДУ, 1960.
[12] З.А. Зоріна, І.І. Полєтаєва. Елементарне мислення тварин: навчальний посібник. M.: Аспект Пресс, 2002.
[13] Математика XIX століття. Том 1. Математична логіка. Алгебра. Теорія чисел. Теорія ймовірностей. Під ред. А. Н. Колмогорова та А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1978.
[1] Далі цитати з «Начал» Евкліда, наведені за [10, стр.96]
[2] Цитата взята з [1, стор 283]
[3] Цитата взята з [4, стор 62]
[4] Цитата взята з [1, стор 291]