Зміст
Введення. 3Глава 1. Теоретико-методологічні засади формування математичного поняття дробу на уроках математики. 6
1.1. Процес формування математичних понять на уроках математики 6
1.2. Методика введення математичних понять на уроках математики 16
1.3. Поняття дробу. 24
1.4. Введення і формування математичного поняття дробу на уроках математики. 27
Висновки по 1 главі. 36
Глава 2. Практичне дослідження запровадження та формування математичного поняття дробу на уроках математики. 37
2.1. Зміст і хід експерименту. 37
2.2. Аналіз отриманих результатів. 44
Висновки по 2 чолі. 47
Висновок. 48
Список літератури .. 49
Програми. 50
Введення
Більшість застосувань математики пов'язане з вимірюванням величин. Однак для цих цілей натуральних чисел недостатньо; не завжди одиниця величини вкладається ціле число разів у вимірюваній величині. Щоб у такій ситуації точно висловити результат вимірювання, необхідно розширити запас чисел, ввівши числа, відмінні від натуральних. До цього висновку люди прийшли ще в глибоку давнину: вимірювання довжин, площ, мас та інших величин призвело спочатку до виникнення дробових чисел - отримали раціональні числа, а в V ст. до н.е. математиками школи Піфагора було встановлено, що існують відрізки, довжину яких при обраної одиниці довжини не можна виразити раціональним числом. Пізніше, у зв'язку з вирішенням цієї проблеми, з'явилися числа ірраціональні. Раціональні та ірраціональні числа назвали дійсними.Дійсні числа - не останні в ряду різних чисел. Процес, що почався з розширення множини натуральних чисел, продовжується і сьогодні - цього вимагає розвиток різних наук і самої математики.
Знайомство учнів з дробовими числами відбувається, як правило, в початкових класах. Потім поняття дробу уточнюється і розширюється в середній школі. У зв'язку з цим вчителю необхідно володіти поняттям дробу і раціонального числа, знати правила виконання дій над раціональними числами, властивості цих дій. Все це потрібно не тільки для того щоб математично грамотно ввести поняття дробу і навчати молодших школярів виконувати з ними дії, а й, що не менш важливо, бачити взаємозв'язки множин раціональних і дійсних чисел з множиною натуральних чисел. Без їх розуміння не можна вирішити проблему наступності у навчанні математики в початкових і подальших класах школи.
Виходячи з актуальності даної проблеми ми вибрали темою нашого дослідження «Формування математичних понять» (Дробі.5 клас).
Об'єкт дослідження - процес формування поняття дробу.
Предмет дослідження - прийоми введення та формування математичних понять на уроках математики.
Мета дослідження - розробити прийоми введення та формування математичних понять на уроках математики.
Відповідно до мети в основу дослідження була покладена гіпотеза, що поняття дробу буде сформовано в учнів 5 класів при систематичній і цілеспрямованій роботі, спрямованої на формування поняття дробу як раціонального числа.
У відповідності з метою і гіпотезою були поставлені такі завдання:
- Проаналізувати методико-математичну і психолого-педагогічну літературу і виявити теоретичні положення, пов'язані з поняттям дробу;
- Проаналізувати методико-математичну літературу та виявити прийоми введення і формування поняття дробу на уроках математики, розглянути різні підходи до введення поняття дробу;
- Відібрати й апробувати вправи, спрямовані на формування дробу як раціонального числа;
- Розробити методичні рекомендації щодо прийомів введення та формування дробу як раціонального числа.
Для вирішення поставлених завдань використані методи дослідження: спостереження, педагогічний експеримент, аналіз продуктів діяльності учнів, тестування.
Дослідження проводилися в три етапи:
1 етап - пошуково-теоретичний. У процесі аналізу психолого-педагогічної та методичної літератури були забезпечені методологія, методика дослідження, його понятійний апарат, проблема, об'єкт, предмет, завдання, методи і гіпотеза дослідження.
2 етап - дослідно-експериментальний. На цьому етапі розроблені і проведені уроки математики з використанням завдань творчого характеру, здійснювалася перевірка робочої гіпотези; проводилася обробка отриманих результатів.
3 етап - заключне-узагальнюючий. Цей етап включав обробку та систематизацію матеріалу, апробацію та впровадження результатів у практику.
Всі 3 етапу носили відображення в нашій роботі.
Структура роботи: випускна кваліфікаційна робота складається з вступу, двох розділів, висновків, списку літератури, що включає 20 найменувань, додатків.
База дослідження: Дослідження здійснювалося на базі Семібугровской ЗОШ с. Семібугри Камизякський району.
Піддослідні - учні 5 «А» класу в кількості 14 учнів та учні паралельного 5 «Б» класу в кількості 14 учнів.
Практична значимість дослідження полягає у формуванні математичного поняття дробу як раціонального числа, доборі завдань, спрямованих на формування дробу як раціонального числа.
Глава 1. Теоретико-методологічні засади формування математичного поняття дробу на уроках математики
1.1. Процес формування математичних понять на уроках математики
Ми відрізняємо один об'єкт (явище) від іншого, користуючись різними якостями, ознаками чи особливостями об'єктів (і явищ). Серед різних властивостей досліджуваних об'єктів можна виділити: 1) поодинокі (індивідуальні) властивості; 2) загальні властивості.Для одиничних властивостей деякого об'єкта характерно те, що вони є його відмінними властивостями. Наприклад: а) Найбільша річка в Європі - Волга, б) рівняння другого ступеня з однією змінною - квадратне рівняння.
Загальні властивості деякого об'єкта можуть бути як відмітними, так і неотлічітельнимі його властивостями. Наприклад, люди - хребетні істоти (неотлічітельное властивість). Загальна властивість об'єкта може бути його відмітною властивістю, якщо воно виражає так звані істотні властивості цього об'єкта, властивості, які є її ознаками, що виділяють його з багатьох інших об'єктів. Наприклад, люди - істоти з членороздільної промовою. У процесі відображення в мозку людини цих властивостей об'єктів виникає особлива форма мислення звана поняттям.
Що ж є характерним для такої форми мислення, як поняття?
По-перше, те, що поняття є продукт високоорганізованої матерії, по-друге, те, що поняття відображає матеріальний світ, по-третє, те, що поняття постає в пізнанні як засіб узагальнення, по-четверте, те, що поняття означає специфічно людську діяльність; по-п'яте, те, що формування поняття у свідомості людини невіддільне від його вираження за допомогою мови, записи або символу.
Процес формування деякого поняття - поступовий процес, в якому можна угледіти декілька послідовних стадій. Спробуємо проілюструвати цей процес на простому прикладі - формуванні у дітей поняття про число 3.
1) На першому ступені пізнання діти знайомляться з різними конкретними множинами, такими, наприклад, які зображені на малюнку 1. Вони не тільки бачать кожне з цих множин, а й можуть відчувати на дотик (помацати) ті предмети, з яких ці безлічі складаються. На цій стадії процесу пізнання вони можуть звертати увагу (вбачати) найрізноманітніші конкретні властивості як самих предметів, так і множин, для яких ці предмети є елементами.
Цей процес «бачення» створює у свідомості дитини особливу форму відображення реальної дійсності, яка називається сприйняттям (відчуттям). Чуттєве сприйняття об'єкта є початкова, найпростіша щабель у його пізнанні - перший щабель у формуванні відповідного йому поняття. Сприйняття існує у свідомості людини тільки в той час, коли які-небудь об'єкти або явища впливають на його органи чуття; в той же час воно не зникає безслідно.
2) Приберемо об'єкти, складові кожне безліч, і запропонуємо дітям забути про те, якими були ці об'єкти. Чи було щось спільне, що характеризує кожне з цих множин? У свідомості дітей повинно було відобразитися число предметів в кожному безлічі, то, що скрізь було по «три». Якщо це так, то у свідомості дітей створилася нова форма уявлення про число «три».
3) До цих пір діти мали справу з множинами предметів, в кожному з яких було по 3 предмети. На основі уявного експерименту на наступному ступені пізнання діти повинні побачити, що властивість, виражена в слові «три», характеризує будь-яке безліч будь-яких елементів виду (а, b, c). Тим самим виділена істотна загальна особливість таких множин - «мати три елементи». Тепер можна сказати, що у свідомості дітей сформовано поняття про число 3.
Зрозуміло, що наведена нами ілюстративна схема є лише грубим наближенням до реального процесу мислення. Разом з тим навіть з цього найпростішого ілюстративного прикладу видно, що поняття утворюються шляхом операції узагальнення, яка нерозривно пов'язана з абстрагуванням.
Відзначимо, що відомо кілька видів узагальнення. Один з них будується на основі виділення загальних ознак об'єктів, відкиданні тих, якими вони відрізняються. Так, наприклад, розглядаючи такі поняття, як «трикутник АВС», «трикутник» і «багатокутник», неважко встановити, що основна відмінність між ними полягає саме в ступені узагальненості: поняття «трикутник» ширше, ніж поняття «трикутник АВС», а поняття «багатокутник» ширше, ніж «трикутник». Зростання узагальненості понять відбувається в міру того, як відкидаються ті властивості-ознаки, які відрізняють одні об'єкти від інших. Так, у понятті «багатокутник» виділені лише загальні ознаки, властиві всім багатокутників, ті ж, які відрізняють один вид багатокутника від іншого, відкинуті.
У науковому пізнанні такого роду поняття, звані абстрактними, мають істотне значення, дозволяючи класифікувати об'єкти, порівнювати їх між собою, ототожнювати або розрізняти і т.д.
Узагальнення об'єктів і явищ за допомогою поняття збільшує пізнавальну цінність мислення, по-перше, тому, що більш загальні поняття дають можливість подумки оглянути й вивчити більш простору безліч об'єктів, а по-друге, тому, що, відкидаючи індивідуальні ознаки об'єкта, ми тим самим виявляємо загальні, більш стійкі ознаки, які раніше в рамках більш вузьких понять залишалися нерозкритими.
Інший спосіб узагальнення дозволяє утворювати так звані конкретні поняття. Особливість його полягає в тому, що узагальнення тут відбувається не тільки шляхом виділення загальних властивостей об'єктів, а й шляхом збереження в понятті його особливих і одиничних ознак.
Так, наприклад, в математичному понятті «похідна» зазвичай виступає необхідність поряд з виділенням загальних властивостей, притаманних усім видам похідної, вказати і специфічні властивості цього поняття: похідна неперервної функції, похідна трансцендентної функції і т.п.
Таким чином, на відміну від сприйняття і уявлення, поняття фіксує в нашій свідомості тільки істотні для цього випадку ознаки і властивості (які є ознаками цього поняття).
Отже, поняття - це форма мислення, в якій відображені суттєві (відмінні) властивості об'єктів вивчення.
Поняття вважається правильним, якщо воно вірно відбиває реально існуючі об'єкти.
Кожне поняття може бути розглянуто за змістом і за обсягом. Зміст поняття - це множина всіх істотних ознак даного поняття. Обсяг поняття - безліч об'єктів, до яких вживано дане поняття.
Так, для поняття «паралелограм» зміст буде представлено такими, наприклад, властивостями: 1) протилежні сторони конгруентно; 2) протилежні кути конгруентності, 3) діагоналі в точці перетину діляться навпіл і т.д.
Обсяг поняття «паралелограм» представлений безліччю таких чотирикутників, як: 1) власне паралелограми; 2) ромби, 3) прямокутники; 4) квадрати
Наведений приклад показує, що зміст поняття - це безліч ознак поняття, з яких кожен необхідний, а всі разом достатні для встановлення поняття.
Зміст поняття жорстко визначає його обсяг, і, навпаки, обсяг поняття цілком визначає його зміст. Таким чином, зміна у змісті поняття тягне за собою зміну в його обсязі, і навпаки. Між змістом і обсягом поняття існує у певному сенсі зворотна залежність. Так, наприклад, якщо збільшити зміст поняття паралелограм (діагоналі взаємно перпендикулярні), то відразу зменшиться його обсяг (залишаються лише ромб і квадрат); якщо зменшити зміст цього поняття (зажадати паралельності тільки двох протилежних сторін), збільшиться його обсяг (до названих чотирикутника додасться трапеція).
Якщо, наприклад, збільшити обсяг поняття «скорочення дробу», включивши його в поняття «тотожні перетворення» (розкладання на множники або складові, скорочення дробу і т.д.), то зміст цього поняття зменшиться (можливість поділу компонентів висловлювання на одне і те ж число зникає для більшості тотожних перетворень).
У процесі узагальнення обсяг поняття стає ширше, а його зміст - більш вузьким.
У процесі спеціалізації поняття - навпаки: звужується обсяг поняття, але розширюється його зміст. Слід зауважити, що розглянута залежність між змістом і обсягом деякого поняття має місце лише тоді, коли в процесі зміни змісту обсяг одного поняття є підмножиною обсягу іншого поняття.
Велика роль у процесі формування понять належить мовному та символічного їх виразу. Слово називають носієм поняття. Слово, що означає суворо певне поняття будь-якої галузі науки чи техніки, називається науковим терміном. Наприклад, слово «ромб» - математичний термін. При цьому необхідно, щоб символіка і мова (і зокрема, термін) висловлювали дане поняття однозначно. У якості контрпримера можна навести слова, звані омонімами. Одне з них - відомий шкільний термін «корінь», який можна розуміти в різних сенсах (корінь рівняння, корінь рослини, корінь квадратний із числа, «корінь зла»). У даному випадку слово відіграє негативну роль: поняття не виражається їм однозначно.
З іншого боку, існують різні терміни, які виражають одне й те саме поняття, причому абсолютно однозначно (слова-синоніми). Наприклад, термін «квадрат» можна замінити термінами «правильний чотирикутник», «ромб з прямим кутом» і т.д. У даному випадку роль слова позитивна: воно уточнює поняття.
Процес розкриття змісту поняття полягає в перерахуванні його ознак. Перерахування необхідних і достатніх ознак поняття, зведених у зв'язне речення (мовне 7 або символічне), є визначення поняття (математичного об'єкту). Кожен з ознак, що входять у визначення, повинен бути необхідний, а всі разом - достатні для встановлення даного поняття. У визначенні повинно розкриватися основний зміст поняття. У ньому не повинно міститися зайвих слів; не повинно бути і пропусків. Ось приклад правильного визначення поняття паралелограма: «Паралелограм - чотирикутник, у якого дві протилежні сторони попарно рівні і паралельні»; а ось контрприклади визначень поняття «квадрат»: 1) квадрат - паралелограм, у якого всі кути прямі (недостатнє); 2) квадрат - ромб з прямим кутом (правильне), 3) квадрат - паралелограм з рівними сторонами і з чотирма прямими кутами (надлишкове).
Необхідно, щоб учні розуміли, що ніякі визначення не доводяться. Разом з тим у процесі навчання математики можна (і корисно) мотивувати те чи інше визначення поняття. Хоча визначення поняття - суть умовне угоду, але воно вибирається розумно, виходячи з реальних властивостей того чи іншого поняття чи у відповідності з тими чи іншими вимогами (при введенні нового поняття). Для деяких понять їх визначення і виражають їхні терміни виглядають цілком природними (трикутник - багатокутник з трьома внутрішніми кутами); для інших необхідні мотивування або - пояснення.
Деякі початкові математичні поняття не визначаються (або побічно визначаються через аксіоми). Наприклад, поняття безліч - невизначені поняття.
Визначення кожного поняття можна було б розглядати в динаміці, тобто у вигляді процесу зведення одного поняття до іншого. Послідовність кроків тут кінцева, так як, продовжуючи цей процес, ми неминуче дійдемо до понять, що вважається первісними.
Наприклад (рис.1): квадрат є особливий ромб; ромб - особливий паралелограм; паралелограм - особливий чотирикутник; чотирикутник - особливий багатокутник; багатокутник - особлива геометрична фігура; геометрична фігура - точкове безліч.
Таким чином, ми дійшли до первісних понять: точка і безліч.
У процесі навчання такі поняття повинні бути особливо виділені, а прийняття їх як основних мотивовано.
Поняття може бути правильно визначено різними способами.
1. Через найближчий рід і видову відмінність. Наприклад: квадрат - прямокутник з рівними сторонами; ромб-паралелограм, у якого діагоналі взаємно перпендикулярні.
Мовою теорії множин та математичної логіки сутність цього способу визначення поняття полягає в наступному:
Якщо в багатьох А є елементи х, що володіють деяким властивістю Р (х), і елементи, що не володіють цією властивістю, то ця властивість Р (х) розбиває множину А на дві підмножини:
причому ці дві множини такі:
Тут безліч А є безліч об'єктів, що належать пологовому поняттю, а властивість Р є видовий ознака (видову відмінність) даного поняття. У визначенні «квадрат - прямокутник з рівними сторонами» безліччю А є безліч всіх прямокутників, а властивістю Р (видовим відзнакою поняття «квадрат») є властивість «мати« не сторони ».
2. Генетично (способом, призначена на походження поняття). Наприклад, окружність - безліч всіх точок площини, що знаходяться на даному відстані від даної точки, що лежить у цій площині.
3. Індуктивно. Наприклад, рекурентне рівність an = a n-1 + d визначає арифметичну прогресію.
4. Через абстракцію. Наприклад, натуральне число - характеристика класу еквівалентних множин.
Процес з'ясування обсягу поняття називається класифікацією поняття. Таким чином, під класифікацією розуміється поділ безлічі об'єктів, що становлять обсяг родового поняття, на види. Це поділ грунтується на подібності об'єктів одного виду та відмінності їх від об'єктів інших видів в істотних ознаках.
Наприклад, класифікацію поняття натурального числа можна провести так, як показано на наступній схемі (рис.2).
натуральне число |
просте число |
складене число |
одиниця |
Рис.2.
Правильна класифікація передбачає дотримання певних умов, які можуть бути проілюстровані вищенаведеної схеми класифікації натуральних чисел:
1. Класифікація повинна проводитися за певною ознакою, що залишається незмінним у процесі класифікації. У наведеному прикладі такою ознакою є число простих дільників даного натурального числа.
2. Поняття, що виходять в результаті класифікації, повинні бути взаємно незалежними. У наведеному прикладі це виражається тим, що перетин множин простих, складених чисел та одиниці порожньо.
3. Сума обсягів понять, що виходить при класифікації, повинна дорівнювати обсягу вихідного поняття. У наведеному прикладі числа прості, складові і одиниця вичерпують всі безліч натуральних чисел.
4. У процесі класифікації необхідно переходити до найближчому в даному родовому понятті увазі.
У наведеному прикладі, проводячи класифікацію натуральних чисел, було б невірним підрозділити безліч натуральних чисел на прості числа, числа, що мають три різних дільника, і одиницю. У цьому випадку стався б так званий «стрибок у класифікації», так як раніше слід було б виділити складові числа, а лише потім підрозділити складені числа на числа, що мають три різних дільника, чотири різних дільника і т.д.
Справді, на першому етапі класифікації деякого поняття виділяється деяка властивість - ознака Pi (x). У результаті дослідження деякої безлічі об'єктів А ми виділяємо з цієї множини дві підмножини А1 і А2:
Тим самим ми отримали розбиття множини А на два класи, які відповідають вищенаведеним умовам класифікації.
Бажаючи продовжити процес класифікації даного поняття, ми виділяємо нову властивість Р2 (х) і отримуємо розбиття множини Ai на дві підмножини В) і В2 і т.д.
У результаті послідовно проведених розбиття множини об'єктів, що становлять обсяг деякого поняття, і виникає певна класифікація даного поняття. Так, наприклад, одна з можливих класифікаційних схем поняття «опуклий багатокутник» буде виглядати так (рис.3).
Зауважимо, що в сучасному шкільному курсі геометрії прийнята класифікація чотирикутників, що відрізняється від запропонованої.
У процесі визначення і класифікації понять даної науки утворюється система понять цієї науки.
1.2. Методика введення математичних понять на уроках математики
Відомий французький математик Фреше справедливо зауважує: «Якщо що-небудь дійсно необхідно, так це знищення догматичного методу; не давати ніяких визначень, не вказавши, як вони виникли, для чого вони потрібні, як вони застосовуються». При введенні математичних понять у шкільному навчанні корисно керуватися наступною схемою, яка, однак, повинна бути динамічною, скорочено або доповнюватися в залежності від об'єктивно мінливих умов навчання (складу класу, характеру математичних понять і т.п.).При введенні понять органічно пов'язаних з уже відомими учням поняттями можна застосувати інший шлях, званий абстрактно-дедуктивним.
Так, наприклад, поняття квадратного рівняння можна ввести наступним чином:
1. Дати визначення нового поняття (рівняння виду ах2 + bх + с = 0, де a ≠ 0 називається квадратним), мотивуючи позначає його термін (найбільший показник ступеня невідомого дорівнює двом; рівняння містить квадрат невідомого).
2. Розглянути приватні (і особливі) випадки вираження цього поняття (х2 + рх + с = 0, ах2 + с = 0, ах2 + bх = 0, ах = 0), провівши своєрідну класифікацію цього поняття.
Привести деякі контрприклади цього поняття (запитати, наприклад, учнів, чи буде рівняння виду bх + с = 0 неповним квадратним рівнянням).
3. Ілюструвати введене поняття конкретними прикладами (х2 - 5х + 6 = 0, Зх2 - 27 = 0 і т.д.), щоразу перевіряючи, чи задовольняє кожне з конкретних проявів цього поняття його визначенням.
4. Привести конкретні приклади застосування цього поняття (наприклад, відому формулу S = qt2 / 2 можна розглядати як квадратне рівняння qt2 - 2S = 0; використовувати квадратне рівняння при вирішенні текстових задач).
Конкретно-індуктивний метод знаходить більше застосування в молодших класах; в старших класах найчастіше застосовують абстрактно-дедуктивний метод.
Засвоєння учнями певного математичного поняття передбачає, поряд з чітким уявленням про його обсяг та зміст, вміння застосовувати це поняття в процесі своєї математичної діяльності, а також здатність до актуалізації основних факторів, що відносяться до даного поняття.
Застосовуючи той чи інший математичне поняття при доказі яких-небудь теорем і вирішенні завдань, важливо вміти знаходити Ваш поняття в тих випадках, де воно виступає у більш-менш прихованій формі.
Зокрема, при засвоєнні багатьох геометричних понять велике значення має вміння «впізнавати» це поняття в більш складному або незвично розташованому кресленні.
У зв'язку з цим дуже корисні вправи «по готових кресленнях". Так, наприклад, після ознайомлення з поняттям «рівнобедрений трикутник» учням можна запропонувати наступну серію вправ:
1. За допомогою глазомерной оцінки (а потім, підтвердивши цю оцінку виміром) встановити, які з трикутників, зображених на малюнку 5.
2. Назвіть і покажіть у кожному трикутник основу і бічні сторони.
3. Назвіть і покажіть у кожному з них кути при основі і кут при вершині.
На етапі актуалізації знань при вивченні деякого поняття доцільно виділити серію ситуацій, наявність яких достатньо для виникнення цього поняття.
Так, наприклад, вивчивши в курсі математики 5 - 6 класів поняття про рівність величин кутів, слід звернути увагу учнів на те, що величини кутів рівні, якщо:
а) кути симетричні відносно прямої;
б) кути виходять один з іншого паралельним перенесенням на даний відрізок;
в) дані кути є кутами при основі рівнобедреного трикутника або кутами рівностороннього трикутника;
г) кути виходять один з одного поворотом навколо даної точки на даний кут і т.д.
Цю роботу слід проводити планомірно протягом усього року (а може бути, і декількох років) навчання; список таких ситуацій, пов'язаних з основними поняттями, може і повинен бути продовжений.
При оволодінні поняттями в учнів нерідко виникають різні труднощі і помилки.
Почнемо з розгляду помилок, які можуть з'явитися при визначенні понять, і вкажемо деякі причини їх виникнення.
Перш за все, слід чітко показати учням відмінність, пов'язане з використанням тих чи інших понять у визначенні певного нового поняття. Поняття, відповідне визначається об'єкту, називається визначеним; поняття, за допомогою якого розкривається зміст визначуваного об'єкта, називається визначальним. Так, наприклад, у визначенні «Безліч, що складається з двох різних точок і всіх точок, що лежать між ними, називається відрізком», поняття «відрізок» - визначається поняття, а поняття «безліч точок» - одне з визначальних понять.
Якщо ця відмінність не усвідомлюється учнями, то визначення понять часто дається ними стилістично неправильно.
Основні помилки учнів при формулюванні визначень викликані недотриманням встановлених в логіці «правил визначення", при виконанні яких це розходження також грає велику роль. Перерахуємо найважливіші з цих «правил».
1) Будь-яке визначення повинно бути відповідним, тобто обсяг визначається поняття має дорівнювати обсягу визначає поняття.
Наприклад, визначення «Ромб є паралелограм, у якого дві суміжні сторони рівні між собою» пропорційно, тому що обсяг поняття «ромб» дорівнює обсягу поняття «паралелограм з двома рівними суміжними сторонами» (множини, що визначають обсяги цих понять, збігаються).
Порушення цього правила веде до помилок двоякого роду:
а) Обсяг визначає поняття ширше обсягу визначається поняття. У цьому випадку визначається поняття відноситься до визначального, як вид до роду. Наприклад: «Діаметр окружності є відрізок прямої, що з'єднує дві точки кола». Тут по суті визначена хорда - більш широке поняття, ніж діаметр (у обсяг визначає поняття входять всі хорди колу).
Ця помилка у визначенні даного поняття виникає тому, що ознака видового відмінності («сполучати дві точки кола») належить не тільки діаметрам, але і всім хорд взагалі, а тому за допомогою нього не можна відрізнити діаметри від інших відрізків прямих, що з'єднують точки окружності.
Таке визначення в логіці називається занадто широким.
Щоб учні зрозуміли цю помилку, бажано розглянути з ними динамічний малюнок або діафільм «Коло і коло»
б) Обсяг визначає поняття вже обсягу визначається поняття. Останнє відноситься до першого як рід до виду.
В якості прикладу розглянемо таке визначення: «Ромбом називається прямокутнику двома конгруентними суміжними сторонами». Тут по суті визначено квадрат (більш вузьке поняття, ніж ромб). Ця помилка у визначенні даного поняття виникає тому, що зазначений видовий ознака (прямокутник - параллелограмме двома конгруентними суміжними сторонами) належить лише підмножині множини ромбів, квадратах, тобто є характерною лише для частини багатьох ромбів. Таке визначення в логіці називається занадто вузьким.
2) Визначення не повинно містити в собі «порочного кола», тобто не можна будувати визначення так, щоб визначається поняття визначалося (прихованим або явним чином) за допомогою того ж самого визначається поняття.
Порушення цього правила також веде до помилок двоякого роду:
а) визначає поняття характеризується таким визначальним поняттям, зміст якого стає ясним лише за допомогою самого визначається поняття.
Так, наприклад, визначення «складання є дія знаходження суми» і «сумою називається результат додавання» містять в собі такий «порочне коло». Визначальний поняття суми в цьому випадку не може бути визначено незалежно від визначається поняття - поняття складання.
б) визначали і визначають поняття за змістом тотожні, хоча можуть бути виражені в різних словах.
Таке визначення носить назву тавтології.
Наприклад, «прямий кут - це кут у 90 °», або «Прямим кутом називається кут, сторони якого перпендикулярні».
Отже, в цих помилкових визначеннях сутність визначається об'єкта не розкривається; у визначальному понятті повторюється те, що вже відомо про визначеному понятті.
3) Визначення по можливості не повинно бути негативним. Це означає, що слід уникати таких визначень, яких видову відмінність виступає в якості негативного поняття.
Іноді в математиці все ж використовують «негативні» визначення, зокрема, якщо в них зазначаються ознаки, які не належать певному поняттю.
Однак у процесі навчання математики такі визначення небажані, оскільки вони майже не розкривають змісту поняття, його істотних властивостей, а вказують лише на ті властивості, які не повинні мати визначаються поняття.
Якщо при введенні нового поняття обмежитися тільки формулюванням його визначення і ілюстрацією цього поняття лише одним прикладом, узятим з підручника, не показуючи його наочні моделі, то учні нерідко засвоюють такі поняття неправильно. У учнів це найчастіше проявляється у спробі незаконних узагальнень поняття (узагальнень з несуттєвим ознаками) і змішанні істотних ознак з несуттєвими. Типовою помилкою такого роду є, наприклад, неузнаваніе учнями знайомої геометричної фігури, якщо та має незвичну форму або положення на площині.
Зокрема, учні не «дізнаються» рівнобедрений трикутник, даний у положенні, зазначеному на малюнку 6, а зазнають великих труднощів у встановленні пар подібних трикутників в ситуації, зображеної на малюнку 6, б і т.п.
Велике значення для свідомого засвоєння учнями найважливіших математичних понять має система цілеспрямованих усних запитань і вправ, наприклад, таких:
1. Знайдіть помилку у наступних визначеннях (уточніть кожне з цих визначень):
а) рівносильними рівняннями називаються такі два рівняння, коли корені першого рівняння є корінням другого;
б) пряма, що ділить сторону трикутника навпіл, називається медіаною;
в) відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника і рівний половині третьої сторони, називається середньою лінією трикутника.
2. Наведіть приклади, що вказують на недостатність наступних визначень:
а) дотичній до кривої називається пряма, що має з кривою тільки одну спільну точку (див. рис.7);
Рис.7
б) якщо відстань від будь-якої точки одній лінії L1 до іншої L2 скрізь однаково, то такі лінії називаються паралельними (див. рис.8) і т.д.
Отже, в процесі запровадження та вивчення в школі математичних понять корисно:
1) не вводити нових понять формально; детально конкретизувати нові абстрактні поняття; по можливості застосовувати конкретно-індуктивний метод;
2) вводити поняття найбільш природним для учнів шляхом, по можливості, слід частіше залучати учнів до самостійного вивчення і визначення даного поняття;
3) мотивувати вводяться поняття, терміни, визначення, не допускати в учнів уявлення про довільності введення нових понять;
4) у процесі вивчення нових понять корисно виявити зв'язку нового поняття з уже відомими поняттями; вказувати на аналогію в характеристиці нових понять і понять відомих;
5) на кожному уроці корисно повторювати визначення відомих учням найважливіших математичних понять, пов'язаних з поняттями, які розглядаються на даному уроці, вимагаючи в той же час не стільки запам'ятовування визначень понять напам'ять, скільки правильної передачі суті визначення даного поняття;
6) при оволодінні учнями тими чи іншими математичними поняттями суворо стежити за мовою учнів, вимагати чіткості, стислості і строгості у формулюваннях визначень. Слід мати на увазі, що «профілактика» помилок ефективніше їх виправлення. Займатися такою профілактикою вчителю потрібно постійно.
1.3. Поняття дробу
Нехай потрібно виміряти довжину відрізка х за допомогою одиничного відрізка е (рис). При вимірі виявилося, що відрізок х складається з трьох відрізків, е, і відрізка, який коротше відрізка е. У цьому випадку довжина відрізка х не може бути виражена натуральним числом. Однак, якщо відрізок е розбити на 4 частини, то відрізок х виявиться складається з 14 відрізків, рівних четвертої частини відрізка е. І тоді, говорячи про діне відрізка х, ми повинні вказати два числа 4 і 14: четверта частина відрізка е укладається у відрізку точно 14 разів. Тому домовилися довжину відрізка х записувати у виглядіУ загальному вигляді поняття дробу визначають так. Нехай дано відрізок х і одиничний відрізок е, довжина якого Є. Якщо відрізок х складається з m відрізків, рівних n-ої частини відрізка е, то довжина відрізка х може бути представлена у вигляді
До запису дробу
Дріб
Повернемося до рис., Де показано, що четверта частина відрізка е вклалася у відрізку х точно 14 разів. Очевидно, це не єдиний варіант вибору такої частини відрізка е, яка укладається у відрізку х ціле число разів. Можна взяти восьму частину відрізка е, тоді відрізок х буде складатися з 28 таких частин і довжина його буде виражатися дробом
Взагалі довжина одного і того ж відрізка х при заданому одиничному відрізку е може виражатися різними дробами, причому, якщо довжина виражена дробом
Теорема. Для того щоб дробу
Визначення: Дві дробу
Наприклад
З сформульованих вище теореми і визначення випливає, що дві дробу рівні тоді і тільки тоді, коли вони висловлюють довжину і того ж відрізка.
Нам відомо, що ставлення рівності дробів рефлексивно, симетрично і транзитивне, тобто є відношенням еквівалентності. Тепер, використовуючи визначення рівних дробів, це можна довести.
Теорема. Рівність дробів є відношенням еквівалентності.
Доказ: Дійсно, рівність дробів рефлексивно:
Рівність дробів симетрично:
Воно транзитивній: якщо
У самому справі, так як
З визначення рівних дробів випливає основна властивість дробу:
Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на одне і те ж натуральне число, то вийде дріб, що дорівнює даної.
На цій властивості заснованого скорочення дробів і приведення дробів до спільного знаменника.
Скорочення дробів - це заміна даної дробу інший, рівний даної, але з позбавимо чисельником і знаменником.
Якщо чисельник і знаменник дробу одночасно діляться тільки на одиницю, то дріб називають несократімой. Наприклад,
Приведення дробів до спільного знаменника - це заміна даних дробів, рівними їм дробами, що мають однакові знаменники. Спільним знаменником двох дробів
1.4. Введення і формування математичного поняття дробу на уроках математики
Будь-яке поняття, у тому числі математичне, є абстракцією від багатьох конкретних об'єктів, які описуються ім. У понятті відбиваються стійкі властивості досліджуваних об'єктів, явищ. Ці властивості повторюються у всіх об'єктів, які об'єднуються поняттям. Але кожен реальний об'єкт має деякі інші властивості, притаманні тільки йому. Різниця в несуттєвих властивості тільки відтіняє, підкреслює суттєві.Формування математичних абстракцій може призвести до формалізму в знаннях учнів, якщо оперування ними буде беззмістовно, якщо за кожною абстракцією учень не побачить наочної уявної картини, тобто образу. Ігнорування практичної діяльності учнів з матеріальними або матеріалізованими об'єктами, які несуть наочне знання і формують образи, призводить до появи поверхневих знань, а іноді й до відсутності їх.
Звичайна дріб є, по суті, першою глибокої математичної абстракцією, яка зустрічається в шкільному курсі. Нехтування вчителем змістовною стороною досліджуваних понять, швидкий перехід до формального оперування дробами без достатньо надійної опори на наочність призводять до того, що слабкі, а то й середні учні не розуміють, що вивчається. Часом за позначенням 3 / 5 учень не бачить ніякого образу. Для такого учня та операції над дробами перетворюються в серію незрозумілих процедур, послідовність яких йому доводиться просто запам'ятовувати.
Формуванню вірного уявлення про поняття «звичайна дріб» і вмінню користуватися їм сприяють практичні роботи з матеріалізованими об'єктами. Нижче наведені деякі з матеріалів, за якими доцільно проводити таку роботу.
Освоюючи поняття "звичайна дріб", учень повинен повправлятися в підрахунку числа рівних часток, на які поділено ціле, і числа взятих часткою. Дроби є числа, тому вже на першому етапі потрібно дати учневі можливість порівнювати, користуючись тільки наочністю, отримані дробу з цілими числами, наприклад з 1, і дріб з дробом.
На цьому етапі навчання дуже корисні картки, зразки яких показані нижче. Картка № 1 - це тільки варіант індивідуального завдання (рис.9).
Рис.9
Саме індивідуального. Кожен учень отримує свою картку, яка відрізняється від карток у інших хлопців. Це спонукає учня діяти самостійно, а не просто спостерігати маніпуляції вчителя з моделями, до яких найчастіше зводиться «наочність» при вивченні дробів.
У картці 1 потрібно заповнити таблицю, вказуючи кожну частину, якщо це підказується малюнком, у вигляді "різних" дробів (1 / 2 = 3 / 6). Своєрідною підказкою є жирні лінії, що ділять фігури. Виконуючи запропоновані вправи, учень освоює поняття дробу, помічає основна властивість, підраховує додаток дробу до одиниці. Вже на цьому етапі він зустрічається в неявному вигляді зі складанням дробів, з приведенням дробу до нового знаменника.
По картці учням доводиться відповідати на такі питання:
Яка частина фігури (всього у кожній картці по 8 фігур найрізноманітніших обрисів) зафарбована штрихуванням певного виду?
Яка частина фігури зафарбована штрихуваннями обох видів? (Це питання підводить учнів до складання дробів, наприклад потрібно скласти 6 / 18 і 3 / 18 часткою фігури Е)
Яка частина фігури залишилася без штрихування? (Тут фактично потрібно відняти правильну дріб з 1, наприклад знайти, яка частина постаті С. залишилася без штрихування, якщо заштриховано її 5 / 10 частин)
Косий штрихуванням зафарбовані 4 / 12 частки фігури О, а прямий штрихуванням - 2 / 12 частки тієї ж фігури. Яка штрихування займає більше часткою фігури G? На скільки часткою більше займає у фігурі G коса штрихування, ніж пряма? Рівняння дробів один з одним і віднімання дробів. На скільки частин жирні лінії ділять фігуру В? Скільки в кожній з цих частин міститься 12-х часткою даної фігури?
Розгляньте фігуру F, виділіть в ній 1 / 4 частку. Висловіть дріб 1 / 4 іншими дробами, керуючись фігурою F.
Основна властивість дробу закріплюється за карткою № 2. (Рис.10). Вона розділена на дві частини, в кожній з яких демонструються три способи поділу одного «відрізка» на рівні частини: на 4 частини, на 8 частин і на 16 частин (на 3 частини, на 6 частин і на 12 частин). Учні повинні записати відсутні чисельники у двох з трьох рівних дробів. Для цього їм доведеться виконати наступні дії: виділити на малюнку перший відрізок, заданий однієї з трьох дробів (тієї, що має відомі і чисельник і знаменник); знайти другий відрізок, рівний першому (він розділений на те число частин, яке зазначено знаменником інший дробу ); підрахувати число частин у другому відрізку і записати його в чисельнику другого дробу; подумки розділити один з відрізків на те число частин, яке зазначено знаменником третього дробу, і повідомити, скільки буде потрібно набрати таких частин для третього відрізка такої ж довжини, що і перші два. Як бачимо, такий процес спонукає учнів самостійно оперувати наочним матеріалом і поступово в ході цього оперування виробляти формальне правило.
Вправи з картками № 3 і 4 взаємно зворотні (рис.11). Вони представляють новий аспект освоєння поняття дробу. Виконання запропонованих вправ супроводжується моторними діями, які краще запам'ятовуються учнями з кинестетическим (руховим) типом мислення.
Відзначимо, що в картці № 3 вихідні фігури навмисно ускладнені. Таким чином, забезпечується закріплення у свідомості учнів не геометричного образу, а послідовності арифметичних дій над числом, що виходять в результаті підрахунку рівних елементів фігури. Аналогічно і в картці № 4 у відповідях не виходить "хороший" прямокутник. Учням доводиться поступово переходити від маніпуляцій з геометричними об'єктами до арифметичних дій. Так, якщо перше завдання учні можуть виконати чисто геометрично (приставивши до фігури, що позначає дріб 1 / 2, ще точно таку саму фігуру), то у випадку з дробом 2 / 5 так надійти вже не можна. Доводиться спочатку поділити цю фігуру на 2 частини. У наступному завданні (дріб 3 / 4) такий розподіл не вдається здійснити «безболісно», тобто наочним чином. Доводиться починати з підрахунку числа рівних квадратиків даної фігури.
Для засвоєння способів знаходження дробу від числа і числа за його дробу учням знову пропонується завдання по наочному матеріалу, тобто за картками № 5 і 6. (Рис.12) Виконуючи ці завдання, хлопці звертаються до малюнків. При цьому вони чітко усвідомлюють суть операцій знаходження дробу від числа і числа за його дробу, оскільки з цими операціями зв'язуються наочні картини - образи. Важливо лише у завданнях запропонувати учням достатню кількість образних варіацій, не одну-дві, як часто буває на уроках, а п'ять-шість. На індивідуальній картці такі завдання пред'явити легко, оскільки учень працює один, не знижував темп вивчення матеріалу всім класом. Звичайно, практика оперування дробами не повинна обмежуватися наведеними вправами з наочним матеріалом. Вчитель повинен використовувати і звичайні завдання з навчальних посібників. Робити це він може диференційовано, затримував одних на картках і стимулюючи інших більш складними вправами.
При вивченні складання дробів учням необхідно надати можливість попрацювати з наочним матеріалом, що відображає властивості дробів. У даному випадку використовуються завдання, схожі з тими, що наведені в картці № 7. (Рис.13). Тут тонкі лінії допомагають зрозуміти, яким буде найменший спільний знаменник і що він наочно означає. Підказується і те, якою буде дріб, наведена до нового знаменника. Попрактикував у виконанні таких вправ, учень зможе наочно оцінювати результат складання двох дробів, роблячи необхідні прикидки. Для слабкого учня така робота сповнена сенсу: спираючись на неї, можна вводити алгоритм складання дробів з різними знаменниками, який тепер не буде представлятися дитині незрозумілою процедурою. Паралельно зі складанням на наочному рівні вивчається і операція віднімання дробів. По картці № 7 Доцільно запропонувати школярам знайти різницю дробів:
Майже традиційно правило множення звичайних дробів пояснюють на прикладі знаходження площі прямокутника, довжини сторін якого виражаються даними дробами. Отримавши з одного прикладу "заповітне" правило, починають експлуатувати його, знаходячи твори дробів. Поспішність і формалізм проявляються потім на якості знань.
Для того щоб учень усвідомив правило множення дробів, пов'язав його з наочним чином, корисно запропонувати йому такі вправи:
На картці № 8 (рис.14) одиничні квадрати розбиті на рівні прямокутники. Знайдіть, яку частину від одиничного становить маленький прямокутник. Знайдіть, яку частину від одиничного квадрата А, В, С, Д, Е, F складає прямокутник, виділений жирною лінією.
Знайдіть, яку частину прямокутника, виділеного в кожної з фігур А, В, С, Д, E, F становить маленький прямокутник.
За малюнками А, В, С, Д Е, F. з картки № 8 поясніть сенс множення дробів, записаних під кожною з фігур.
Увага учнів слід звернути на те, що в квадраті Е жирними лініями виділені прямокутники, що містять по три маленьких прямокутника. Таких, прямокутників у квадраті Е 14, а в заштрихованої Фігура - 5. Дріб
Для слабких і середніх учнів виявляться корисними вправи на запис у вигляді неправильної дробу числа, що має цілу і дробову частини, вправи на поділ дробу на ціле число.
Таким чином, наведені картки дозволяють при вивченні математики звертатися до природи речей, знаходити можливість включення дитини в практичну діяльність, в процесі якої в нього формуються образи, що допомагають освоювати досліджувані абстракції.
Висновки по 1 главі
1. Поняття - форма мислення, в якій відображені суттєві властивості об'єктів. Кожне поняття може бути розглянуто за змістом і за обсягом. Зміст поняття - це множина всіх істотних ознак даного поняття. Обсяг поняття - безліч об'єктів, до яких вживано дане поняття.Велика роль у процесі формування понять належить мовному та символічного їх виразу.
2. Засвоєння учнями певного математичного поняття припускає поряд з чітким уявленням про його обсяг та зміст, вміння застосовувати це поняття в процесі своєї математичної діяльності, а також здатність до актуалізації основних факторів, що відносяться до даного поняття.
3. Освоюючи поняття «звичайна дріб», учень повинен повправлятися в підрахунку числа рівних часток, на які поділено ціле, і числа взятих часткою. Дроби є числа, тому вже на першому етапі потрібно дати учневі можливість порівнювати, користуючись тільки наочністю, отримані дробу з цілими числами, наприклад, з 1, і дріб з дробом.
4. При вивченні складання дробів учням необхідно надати можливість попрацювати з наочним матеріалом, що відображає властивості дробів.
Для слабких і середніх учнів виявиться корисними вправами на запис у вигляді неправильної дробу числа.
5. Наочний матеріал дозволяє при вивченні математики звертатися до природи речей, знаходити можливість включення дитини в практичну діяльність, в процесі якої в нього формуються образи, що допомагають освоювати досліджувані абстракції.
Глава 2. Практичне дослідження запровадження та формування математичного поняття дробу на уроках математики
2.1. Зміст і хід експерименту
Експеримент на уроках математики здійснюється на базі Семібугровской ЗОШ села Семібугри Камизякський району Астраханської області.В експерименті брали участь учні 5 «А» класу в кількості 14 чоловік і учні паралельного 5 «Б» класу в кількості 14 чоловік. Вчитель математики - Телеуова Бібігуль Капазовна.
Експеримент включав 3 етапи:
констатуючий;
формуючий;
контрольний.
На етапі констатуючого експерименту нашою метою є з'ясування вихідного стану проведення уроків математики. До початку проведення уроків з проблеми нашого дослідження на етапі констатуючого експерименту ми провели самостійну роботу на перевірку умінь обчислювальних навичок в обох класах. Результати ми помістили в таблицю.
На етапі констатуючого експерименту ми виявили рівень знань, з якими учні підійшли до вивчення звичайного дробу. Для цього експерименту було запропоновано діагностичні тести Т.Д. Гончарової. Навчання на основі технології повного засвоєння, включають завдання, які спираються на знання учнями оперування одиницями вимірювання, виконання логічних завдань, обчислювальні прийоми, вправи на освоєння поняття частки числа з допомогою штрихування фігур, завдання на знаходження частки числа, числа за частки, завдання, виконання яких вимагає вмінь учнів робити дії з числами, використовуючи координатний промені, знаходити місце числі на координатному промені, що сприяють проведенню порівняльної роботи дробу як числа з цілими числами.
Порівняльна характеристика рівня успішності при виконанні завдань, складених на етапі констатуючого експерименту, відображена на діаграмі.
Отримані результати констатуючого експерименту свідчить про те, що знання учнів двох класів знаходяться на одному рівні.
На етапі формуючого експерименту нашою метою є проведення практичного дослідження запровадження та формування математичного поняття дробу на уроках математики.
У ході формуючого експерименту пропонувалися різноманітні завдання, які спираються на формування дробу як раціонального числа. При вирішенні задач на знаходження дробу від числа і числа за його дробу спиралися на сенс поняття дробу, проводилася порівняльна робота. Вводили завдання на зображення дробу на координатному промені, пропонувалися завдання, які спираються на орієнтування одиницями величини, завдання на визначення поняття частки числа з допомогою штрихування фігур, підбиралися завдання творчого характеру, завдання на порівняння дробів, корисними були вправи на запис у вигляді неправильної дробу числа.
Пропонувалися завдання на зображення дробу на координатному промені:
- Прийміть за одиничний відрізок 12 клітин зошити і відзначте на координатному промені точки В (
- Зобразимо на координатному промені одиничний відрізок ОЕ і поділимо його на 6 рівних частин. Яку частку відрізка становить кожна частина? Яку частину відрізка становлять 4 частки?
- Одиничний інтервал дорівнює довжині 6 клітин зошити. Відзначте на координатному промені точки з координатами
- Відзначте на координатному промені точки: А (
- Довжина відрізка АВ дорівнює
Пропонувалися завдання, які спираються на оперування одиницями величин:
- Як називається:
а) одна сота частка метра;
б) одна тисячна частка тонни;
в) одна шестидесятих частка години;
г) одна двадцять четверта доби;
д) одна мільйонна частка кубічного метра;
е) одна мільйонна частка квадратного метра.
- Скільки хвилин: а) у третини години;
б) за чверть години;
в) у половині години;
г) у десятої частки години;
д) у дванадцятій частці години;
е) в шостий частці половини години?
- Скільки секунд:
а) в 5 хвилинах;
б) за чверть години;
в) в одному годині;
г) у чверті хвилини;
д) у третини хвилини;
е) у половині хвилини?
- Яку частину 1м3 становить 1 см3? Яку частину
- Яку частку становлять: а) добу від року;
б) добу від тижня;
в) дециметр від метра;
г) 1 см3 від літра?
- Яку частину тижня становлять: а) п'ять діб;
б) шість діб?
- Скільки хвилин в годині? Яку частину становлять 1 хв., 7 хв., 15 хв.
- Скільки хвилин у
Були включені завдання на визначення поняття частки числа з допомогою штрихування фігур, а саме, визначення заштрихованої і незаштріхованной частини фігури.
Підбиралися завдання творчого характеру:
- Зобразіть квадрат зі стороною
- Накресліть відрізок довжиною
- Придумайте п'ять дробів, у яких чисельник на 3 менше знаменника. Запишіть п'ять дробів, у яких чисельник на 3 менше, знаменника. Запишіть п'ять дробів, у яких чисельник у 3 рази більше знаменника.
- Назвіть 3 правильні дробу, чисельник яких більше, ніж 100. Назвіть 3 неправильних дробу, знаменник яких більше, ніж 200.
- Назвіть 5 дробів, які більші, ніж
Виводили завдання на порівняння дробів:
- Розставте в порядку зростання дробу:
- Замініть зірочку знаком <або> у записах:
а)
- Яка з дробів більше:
а)
- Яка з точок лежить лівіше на координатному промені: а) А (
б) М (
- Чи правда, що: а)
б)
- Порівняйте: а)
Включалися завдання на знання правил читання і запису дробів, правил читання рівностей і нерівностей, що містять дробові числа, виразів і рівнянь, що містять звичайні дроби:
- Прочитайте дробу:
Назвіть чисельник і знаменник кожного дробу.
- Запишіть у вигляді звичайного дробу:
а) три шостих;
б) одна третина;
в) половина;
г) три чверті;
д) сім десятих;
е) одинадцять сотих;
ж) одинадцять сорок восьмих.
- Прочитайте дробу
- Яка з точок лежить лівіше на координатному промені:
а) А (
- Чи правда, що:
а)
- Виконайте дії:
а)
ж)
- Розв'яжіть рівняння: а) х -
г)
Корисними були вправи на запис у вигляді неправильної дробу числа:
- Напишіть всі неправильні дроби з чисельником 5.
- При яких значеннях
- Запишіть п'ять дробів, у яких чисельник у 3 рази більше знаменника.
- Знайдіть всі значення х, при яких дріб
- Назвіть 3 неправильні дроби, знаменник яких більше, ніж 200.
Для себе ми винесли чимало корисного в плані організації та проведенні практичного дослідження запровадження та формування математичного поняття дробу на уроках математики. Таким чином, відзначаючи ефективність проведених уроків, ми прийшли до наступних результатів: підвищення активності та зацікавленості дітей на уроках математики, поліпшення успішності та якості робіт з математики.
Після проведення формуючого експерименту ми провели контрольний експеримент, метою якого було з'ясування ефективності використання практичного дослідження запровадження та формування математичного поняття дробу на уроках математики в 5 класах. Для цього ми провели аналогічну роботу тієї, яка проводилася на етапі констатуючого експерименту. Результати ми помістили в таблицю.
В якості контрольного експерименту ми провели тестування з запропонованим діагностичних тестів Т.Д. Гончарової «Навчання на основі технології повного засвоєння». Тести включали завдання на визначення поняття частки числа з допомогою штрихування, визначення поняття звичайних дробів, правильних і неправильних дробів, засвоєння способів знаходження дробу від числа і числа за його дробу, знання формул додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками.
Порівняльна характеристика рівня успішності при виконанні завдань, складених на етапі контрольного експерименту, відображена на діаграмі.
2.2. Аналіз отриманих результатів
За підсумками експерименту було проведено співставлення даних констатуючого і контрольного експерименту, що показують, що кількість учнів, впоралися із завданням і допустили 1-2 помилки, на контрольному етапі збільшилася. На основі отриманих даних робимо висновок про те, що завдання на формуючому етапі були посильні основного і просунутому рівню учнів, тому відбувся перехід з основного рівня в просунутий.При зіставленні результатів констатуючого і контрольного експерименту ми відзначили значне зростання кількості учнів в експериментальному 5 «А» класі, впоралися із завданнями, перехід деякого кількість учнів, що не справилися із завданнями, до числа учнів, які допустили помилки, Таким чином, перехід з числа впоралися в кількість учнів, які допустили помилки, обумовлює меншу кількість учнів впоралися із завданнями. Поліпшенню успішності та якості робіт учнів в експериментальному класі сприяли проведені розроблені уроки з використанням завдань творчого характеру.
При зіставленні констатуючого і контрольного експерименту, проведеного в контрольному 5 «Б» класі, в якому уроки були розроблені та проведені на основі звичайної методики, ми прийшли до такого висновку, що зростання кількості учнів, впоралися із завданнями, стався, але на відміну від експериментального класу, виявився незначним.
Порівняльна характеристика рівня успішності при виконанні завдань, складених на етапі констатуючого і контрольного експерименту, учнями експериментального і контрольного класу відображена на діаграмі.
5 «а» клас (експериментальний)
5 «б» клас (контрольний)
Зіставивши результати констатуючого і контрольного експерименту, ми відзначили підвищення активності та зацікавленості учнів, поліпшення якості робіт і успішності дітей в 5 класах. Це є практичним підтвердженням висунутої нами гіпотези.
Висновки по 2 чолі
1. Експеримент на уроках математики здійснюється на базі Семібугровской ЗОШ села Семібугри Камизякський району Астраханської області. В експерименті брали участь учні 5 «А» класу в кількості 14 чоловік і учні паралельного 5 «Б» класу в кількості 14 чоловік.2. На цьому етапі констатуючого експерименту нашою метою є з'ясування вихідного стану проведення уроків математики в 5 класах.
3. На етапі формуючого експерименту нашою метою є проведення практичного дослідження запровадження та формування математичного поняття дробу на уроках математики в 5 класах.
4. На етапі контрольного експерименту нашою метою є з'ясування ефективності використання практичного дослідження введення інформування математичного поняття дробу на уроках математики в 5 класах.
5. Зіставивши результати констатуючого і контрольного експерименту, ми відзначимо підвищення активності та зацікавленості учнів, поліпшення якості робіт і успішності дітей в 5 класах. Це є практичним підтвердженням висунутої нами гіпотези.
Висновок
Вчителю необхідно володіти поняттям дробу і раціонального числа, знати правила виконання дій над раціональними числами, властивості цих дій не тільки для того, щоб математично грамотно ввести поняття дробу і навчати молодших школярів виконувати дії, а й, що не менш важливо, бачити взаємозв'язки множин раціональних і дійсних числі з множиною натуральних чисел, без розуміння яких не можна вирішити проблему наступності у навчанні математики в початкових і подальших класах школи.Освоюючи поняття «звичайна дріб», учень повинен повправлятися в підрахунку числа рівних часток, на які поділено ціле, і числа взятих часткою.
Дроби є числа, тому вже на перовому етапі потрібно дати учневі можливість порівнювати, користуючись тільки наочністю, отримані дробу з цілими числами, наприклад з 1, і дріб з дробом.
З введенням різноманітних завдань, що спираються на формування дробу як раціонального числа, порівняльної роботи при вирішенні завдань на знаходження дробу від числа і числа за його дробу, спираючись на зміст поняття дробу, підбором завдань творчого характеру підвищилася активність, зацікавленість учнів, якість робіт і успішність дітей в 5 класах покращився, що дозволило досягти підтвердження висунутої нами гіпотези.
Список літератури
1. Бєляєв О.О., Пермінов В.Я. Філософські та методологічні проблеми математики. - М.: МГУ, 1981. - 214 с.2. Гнеденко Б.В. Математика в сучасному світі. - М.: Просвещение, 1990. - 128 с.
3. Жуков Н.І. Філософські проблеми математики. - Мінськ, 1977. - 95 с.
4. Незбагненна ефективність математики в природничих науках / / Математика - 1991 - № 10 - с.23.
Програми
Додаток 1Долі. Звичайні дроби
| Цілі: | освітні: | знайомство з поняттям частки, звичайного дробу, навчити правильно читати і записувати звичайні дроби. |
| розвиваючі: | розвинути математичне мислення, наочність відтворення, пам'ять, увагу, мову, активність. | |
| виховні: | виховувати любов до математики (інтерес до предмету), самостійність мислення, дисциплінованість, акуратність. | |
| Обладнання: | конспект, підручник Н.Я. Віленкін, В.І. Жохів, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд.5 клас, наочне допомоги. | |
| I. Організація класу | Хід уроку (1 урок): - Здрастуйте, хлопці! Сьогодні урок математики проведу у вас я. Звуть мене Каміла Кожамберліевна. Сідайте. |
| II. Повідомлення теми і цілей уроку | - Сьогодні тема нашого уроку «Долі. Звичайні дроби »Ви познайомитеся з поняттям частки, поняттям звичайного дробу, навчитеся правильно читати і записувати їх. |
| III. Усний рахунок | 5дм 1кг 300г + 1м 35см - 1 т - |
| IV. Пояснення нового матеріалу V Робота з підручником. | - Хлопці, уявіть, що у мене в руках вафельний торт, який поділили на 8 рівних частин. Ці рівні частини називаються частками, т.е.1, 2, 3 ...., 8 - частки. Кожній людині дістанеться одна восьма частка торта, або, коротше «одна восьма торта» і пишуть Ще раз частини - це долі, торт розрізали на 8 рівних частин (часток). Кожна частина становить - Далі, торт розрізали на 8 частин (часток), з яких за обідом з'їли 2 частки. На блюді залишилося 6 часткою. Ці частки позначають Записи виду - Сьогодні в усному рахунку нам доводилося висловлювати одиниці виміру. Якщо 1м = 10ДМ = 100см, то 1см = Якщо 1кг = - Дроби можна зобразити на координатному промені. Згадаймо, що промінь має початок, ноне має кінця. Зобразимо промінь. (Рис) 1 - чисельник, тобто скільки часткою взяли 6 - знаменник (дробова риса, знаменник під рискою), значить на нього ділять. Можна цей відрізок поділити на 4 частини (Рис) Частки Отже, частки - рівні частини Запис виду - Тепер послухайте: - Шматок матеріалу різали на 12 рівних частин (часток). Яку частку всього шматка складає кожна частина? - Яку частину шматка складають 5 часткою? - Молодці! - Тепер отримані знання застосуємо при вирішенні завдань. - Відкрийте стор.140 підручника. Знайдіть і прочитайте завдання № 884. Виконаємо усно. - Яка частина фігури зафарбована? - Молодці! - Виконаємо вже письмово в зошиті наступне завдання № 885. - Креслення який фігури необхідно виконати? - На скільки часткою потрібно розділити фігуру? - Що необхідно зобразити окремо? - Молодці! - Виконаємо наступне завдання № 886. - Про що йдеться? - Що відомо? - Що потрібно виконати? - Розв'яжіть задачу 3 способами? - Молодці! |
| VII Робота з правилами. | - Тепер давайте прочитаємо з вами правило читання дробів на стор.141 підручника. - При читанні дробів потрібно пам'ятати: чисельник дробу - кількісний числівник жіночого роду (одна, дві, вісім і т.д.), а знаменник - порядковий числівник (сьома, сота, двісті тридцятому і т.д.). Наприклад, - Добре. Тепер прочитаємо вірно запису в № 888 (усно). - Молодці! - Як називається одна сота частка метра? - Одна тисячна частка тонни? - Одна двадцять четверта частка доби? - Одна шестидесятих частка години? - Одна мільйонна частка квадратного метра? - Одна мільйонна частка кубічного метра? - Молодці! |
| VIII. Рішення задач | - Прочитайте завдання № 889. - Про що йдеться? - Що відомо? - Що невідомо? - Складемо коротку запис. - Вирішимо її. Запишіть відповідь. - Молодці! |
| Хід уроку (2 урок): | |
| I. Повідомлення цілей уроку | - Сьогодні на 2 уроці ми продовжуємо з вами вивчати тему «Долі. Звичайні дроби », закріпимо правило читання і запису звичайних дробів. |
| II. Закріплення | - Потренуємося в правильному читанні дробів в № 894 (усно). |
| III. Робота з підручниками | - Прочитайте дробу: Назвіть чисельник і знаменник кожного дробу. - Молодці! - Тепер виконаємо наступне завдання вже письмово у зошиті № 895. - Молодці! - Вирішимо завдання. № 890. - Про що йдеться? - Що відомо? - Що потрібно дізнатися? - Складемо коротку запис і вирішимо її. - Молодці! - Наступне завдання під № 891. - Про що йдеться? - Що відомо? - Що невідомо? - Складемо коротку запис і вирішимо. Запишіть відповідь. - Молодці! - Накресліть квадрат зі стороною 6 клітин. Розділіть його на 3 частки і зафарбуйте - Виконайте № 893. - Що відомо? - Що необхідно виконати? - Зобразіть креслення - Яка частина відрізка залишилася невідмічений? - Молодці! |
| V. Геометричний матеріал | - У клумбі квадратної форми розташуйте 10 кущів троянд так, щоб на кожній стороні клумби було по 3 куща порівну. - Молодці! |
| VI. Підсумок уроку. | - З чим ми сьогодні познайомилися? - Що таке частки? - Що таке звичайні дроби? - Що показує чисельник? - Що знаменник? - Що потрібно пам'ятати при читанні дроби? - Молодці! |
| VII. Домашнє завдання | - Запишіть домашнє завдання: п.23. № 907, № 915. - Урок закінчено. До побачення. |
Додаток 2
Правильні і неправильні дроби| Цілі: | освітні: | знайомство з поняттям правильних і неправильних дробів, формувати вміння розв'язувати задачі, використовувати отримані знання при вирішенні завдань. |
| розвиваючі: | розвивати математичне мислення, увага, мова, активність, наочність відтворення | |
| виховні: | виховувати любов до математики, дисциплінованість. | |
| Обладнання: | підручник, конспект, наочний посібник | |
| Хід уроку | ||
| I. Організація класу. | - Здрастуйте, хлопці! Сідайте. | |
| II. Повідомлення теми і цілей уроку. | - Сьогодні у нас з вами нова тема «Правильні і неправильні дроби», ми познайомимося з поняттям правильної і неправильної дробу, розглянемо їх на координатному промені, отримані знання застосуємо у вирішенні завдань. Але перш ніж перейти до вивчення нової теми, нас очікує усний рахунок. | |
| III. Усний рахунок. | 127 + у = 357-85 125 + у-85 = 65 30 + х = 32-х 10 + х +2 = 15 + х-3 - Молодці! | |
| IV Пояснення нового матеріалу. | - Якщо ми розділили торт на 8 частин, то отримували, знаючи, що чисельник вказує скільки часткою взяли, а знаменник, на скільки поділили, що прибравши 1 шматок, залишалося Порівняємо Якщо чисельник менше знаменника, то дріб називається правильною, тобто Якщо чисельник більше знаменника, то дріб неправильна, Також, якщо в дробу чисельник дорівнює знаменника, дріб теж неправильна, ті. - Розглянемо на координатному промені правильні і неправильні дроби. Пам'ятаємо, що промінь має початок, але не має кінця. (Рис) Правильна дріб менше одиниці, неправильна дріб більше або дорівнює одиниці. Наприклад: | |
| V. Робота з підручником. | - Отже, відкрийте стор.152 підручника. Починаємо вирішувати номери. Знайдіть і прочитайте завдання № 974. - Спочатку накресліть відрізок АВ = - А - Вірно. - Наступний № 975. - Не забудьте, що за одиничний відрізок за умовою необхідно прийняти довжину 12 клітин зошити. - Молодці! - Наступний номер № 376 виконаємо за варіантами I варіант - пункт а, II варіант - пункт "б. - Перевіримо. Назвіть записи в зошитах. - Молодці! - Наступний № 977. У цьому номері вам перераховувати всі ці дробу не слід, а тільки вкажіть значення а зі знаком порівняння «>» або «<». | |
| IV. Рішення задач. | - Прочитайте завдання № 978 - Що відомо? - Що невідомо? - Вирішіть, запишіть правильну відповідь - Прочитайте наступну задачу № 979. - Про що йдеться? - Що відомо? - Що невідомо? - Знайдіть значення. Запишіть відповідь. - Молодці! - Наступне завдання № 980 - Про що йдеться? - Що відомо? - Що невідомо? - Складемо коротку запис і вирішимо завдання. - Запишіть відповідь. - Наступне завдання під № 985. | |
| VII. Розминка. | - Скільки хвилин в одному годині? - Яку частину складає 1 хвилина, 7 хвилин, 1 хвилин? - Молодці! | |
| VIII. Геометричний матеріал. | - Вкажіть на даному координатному промені координати точок А, В, С і D, якщо М (10) | |
| IX. Підсумок уроку. | - З чим познайомилися на уроці? - Що запам'яталося на уроці? - Яку дріб називають правильною? - Неправильної? | |
| X. Домашнє завдання. | - Запишіть домашнє завдання: № 981, 988 - Урок закінчено. До побачення. | |
Додаток 3
Контрольна робота № 7| Цілі: | освітні: | проконтролювати знання учнів, формувати вміння відзначати дробу на координатному промені, порівнювати дроби, використовувати знання з оперування одиницями величини, при вирішенні завдань. |
| розвиваючі: | розвивати логічне мислення, пам'ять, увагу, вміння оперувати звичайними дробами. | |
| виховні: | виховувати любов до математики, дисциплінованість, самостійність, охайність. |
| I. Організація класу | - Здрастуйте, хлопці! Приготувати до уроку. Роздайте зошити для контрольних робіт. Сідайте. | |
| II. Постановка мети уроку | - У зошиті запишіть число, контрольну роботу № 7. Зверніть увагу на дошку. Поклали всі ручки. Робота виконується в 2-х варіантах. | |
| III. Контрольна робота | I варіант | II. варіант |
| 1. Прийміть за одиничний відрізок довжину | ||
| 8 кліток зошити | 12 клітин зошити | |
| і відзначте на координатному промені точки: | ||
| A | ||
| 2. Порівняйте числа: | ||
| а) в) | а) в) | |
| 3. Складіть | ||
| 4. Яку частину складають: | ||
| а) 9 см2 від дм2 б) 17 дм3 від м3 в) | а) 7 дм від Ь2 б) 19 см3 від ь3 в) 9 ц від 4 т. | |
| 5. Ширина прямокутника | 5. Довжина прямокутника становить | |
| III. Пояснення етапів контрольної роботи | - У першому завданні пропонується зобразити координатний промінь, відзначити на ньому звичайні дроби. Завдання нескладне, такого характеру завдання вже пропонувалися і ви вирішили його. - У другому завданні пропонується порівняти числа. Вам знадобиться знання на розпізнавання, яка з дробів більше інший. - У третьому - треба скласти числа, але спочатку в I ст. дізнатися скільки становить - У четвертому - вам стане в нагоді знання з оперування одиницями величини. Скільки в квадратному метрі квадратних дециметрів, в кубічному метрі квадратних сантиметрів, кубічних дециметрів, в тонні центнерів, кілограмів. - У п'ятому завданні I ст. відома ширина прямоугольніка.48 см, периметр У II варіанті довжина відома як - Отже, ці завдання вирішуються на дві дії. | |
| IV. Виконання завдань | - Можете почати приступати до виконання контрольної роботи. | |
| V. Підсумок уроку | - Закінчуємо виконувати. Здаємо зошити. Урок закінчено. До побачення. | |
Додаток 4
Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками| Цілі: | освітні: | пояснити учням прийоми дій додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками, ввести формулу буквеної запису, правил складання і віднімання дробів з однаковими знаменниками. Навчити правильно читати і записувати вирази та рівняння, що містять звичайні дроби, формувати вміння розв'язувати задачі на додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками, застосовувати отримані знання при вирішенні завдань. |
| розвиваючі: | розвивати логічне мислення, вміння розв'язувати задачі на додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками, вміння читати вирази та рівняння, що містять звичайні дроби, також, як і вирази та рівняння з натуральними числами, розвивати математичне мислення, пам'ять, мова, активність. | |
| виховні: | виховувати любов до математики, колективізм, дисциплінованість, самостійність мислення, наочність відтворення. | |
| Обладнання: | підручник, конспект, наочне приладдя. | |
| I. Організація класу | - Здрастуйте, хлопці! Приготуйтеся до уроку. Сідайте. |
| II. Повідомлення теми і цілей уроку | - Сьогодні тема нашого уроку «Складання і віднімання дробів з однаковими знаменниками» Ми навчимося складати і віднімати дроби з однаковими знаменниками, використовувати отримані знання при вирішенні завдань. |
| III. Усний рахунок | - Розв'яжіть рівняння: (3х +5 х) 18 = 144 (7у-3у): 8 = 17 (6а + а): 13 = 14 4: (9в-в) = 2 - Поставте замість зірочок знаки «>» або «<» так, щоб вийшло вірне рівність: - Молодці! |
| IV. Пояснення нового матеріалу | - Вафельний торт розрізали на 8 рівних частин (часток). Спочатку на тарілку поклали 3 частини. -Ця яка дріб? ( -Що над дробової рисою? (Чисельник 3). - На що він вказує? (Скільки часткою взяли) - А під дробової рисою? (Знаменатель8). - На що він вказує? (На скільки ділять). - Вірно. - Потім поклали ще 2 шматки торта. - Це якась дріб? ( - Правильно. - Порівняємо - Звернемо увагу: у них якісь знаменники? (Однакові). - Вірно. Дізнаємося тепер, якщо поклали - Для цього необхідно провести дійстві складання дробів з однаковими знаменниками. При складання дробів з однаковими знаменниками чисельник складають, а знаменник залишають той же. - У дробах - Правильно. Складаємо числители. Назвіть їх (3 і 2). - Запишемо правило додавання дробів з однаковим знаменниками за допомогою літер. Дріб -Запишемо цю формулу в зошиті і візьміть у рамочку. - Припустимо, що тепер розрізавши цей самий торт на 8 частин, на тарілку поклали 3 шматки з'їли. Скільки тоді шматків залишилося? Як дізналися? (Віднімемо). - Правильно. При вирахуванні дробів з однаковими знаменниками з чисельника зменшуваного віднімають чисельник від'ємника, а знаменник залишають той же: - За допомогою букв запишемо правило віднімання дробів з однаковими знаменниками. Дріб - Запишіть цю формулу і візьміть у рамочку. - Ще раз при додаванні і відніманні дробів з однаковими знаменниками знаменник залишають той же, він залишається незмінним, його, не чіпають, а чисельники складають і віднімають, тобто виробляють дії тільки з чисельниками, при додаванні складають числители, а знаменник той же, при вирахуванні з чисельника зменшуваного віднімають чисельник від'ємника, а знаменник не чіпають. - Тепер потренуємося, використовуючи отримані знання при вирішенні завдань. |
| V. Робота за підручником | - Відкрийте стор.156 підручника. Знайдіть і прочитайте № 1005 - Про що йдеться? - Що відомо? - Що невідомо? - Складемо коротку запис і вирішимо завдання. - Запишіть відповідь. - Виконуємо наступні номери № 1006 - Про що йдеться? - Що відомо? - Що потрібно знайти? - Складемо коротку запис і вирішимо завдання. - Запишіть відповідь. № 1007 - Про що йдеться? - Назвіть умова. - Назвіть питання - Складемо коротку запис. - Запишіть відповідь. - Розв'яжіть і запишіть відповідь № 1008 - Про що йдеться в задачі? - Що відомо? - Що потрібно дізнатися? - Коротка запис, рішення і відповідь. - Молодці! |
| VI Розминка. | - А тепер невелика розминка за темою «Долі», Мотузку поділили порівну 7 разів. Скільки це часткою? (8) - А якби поділили на 21? (22) - Вірно. Хід уроку (2 урок): |
| I Постановка мети уроку. | - Отже, на 2 уроці продовжуємо знайомство з дією додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками. Звернемося до стор.157, а точніше до правила. - Прочитаємо правило: |
| II Робота з правилом. | Вирази та рівняння, що містять звичайні дроби, читають за тими ж правилами, що і відповідні вирази та рівняння з натуральними числами. Наприклад: - До семи п'ятьдесят третього додати дванадцять п'ятьдесят третій. - Від двадцяти семи сотих відняти дев'ять сотих; - З двадцяти семи сотих відняти дев'ять сотих. Х + - Під ним № 1011 Прочитайте завдання. - Розв'яжіть приклади, правильно читаючи ці вирази. - Наступний № 1012 |
| III Рішення задач. | - Про що йдеться? - Що відомо? - Що невідомо? - Складемо коротку запис і вирішимо її. - Запишіть відповідь. - Наступне завдання під № 1010 - Про що йдеться? - Що відомо? - Що невідомо? - Складемо коротку запис. - Запишіть рішення і відповідь. - І завдання № 1013 - Про що йдеться? - Що відомо? - Що потрібно знайти? - Складемо коротку запис і вирішимо її. - Запишіть відповідь. - Молодці! - Завдання вирішуєте добре, а тепер при правильному читання вирішимо рівняння в № 1018 - Молодці! |
| IV Підсумок уроку. | - З чим познайомилися сьогодні на уроці? - Чим займалися на уроці? |
| V Домашнє завдання. | - Запишіть д / з: № 1015, № 1017. - Урок закінчено. До побачення. |