Додаток певного інтеграла до вирішення завдань практичного змісту

Забайкальський державний гуманітарно-педагогічний університет
ім. Н.Г. Чернишевського
Фізико-математичний факультет
Кафедра математичного аналізу
Додаток певного інтеграла до вирішення завдань
практичного змісту
Курсова робота
Виконала: студентка 4 курсу ОЗО
ФМФ Ракова Катерина Вікторівна
Науковий керівник: завідувач
кафедрою математичного аналізу
Степанова Лілія Едуардівна
Чита, 2007

Зміст
Введення. 3
1. Історична довідка. 6
2. Умови існування певного інтеграла. 10
3. Додаток інтегрального числення. 11
3.1 Загальні поняття. 11
3.2 Інтегральне числення в геометрії. 13
3.2.1 Обчислення довжини дуги плоскої кривої .. 13
3.2.2 Обчислення об'єму тіла. 16
3.2.3 Обчислення площі поверхні обертання. 18
3.2.4. Обчислення площ плоских фігур ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 20
3.3 Механічні додаток певного інтеграла. 23
3.3.1 Робота змінної сили .. 23
3.3.2 Шлях, пройдений тілом .. 24
3.3.3 Тиск рідини на вертикальну платівку .. 25
3.3.4 Обчислення статичних моментів і координат центра ваги плоскої кривої 26
3.3.5Вичісленіе статичних моментів і координат центра ваги плоскої фігури 28
3.4 Інтегральне числення в біології. 31
3.4.1 Чисельність популяції. 31
3.4.2 ............................................... .................................................. Біомаса популяції ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
3.4.3 Середня довжина прольоту. 33
3.5 Інтегральне числення в економіці. 35
Висновок. 39
Література. 40

Введення
Знаходження похідної f '(x) або диференціала df = f' (x) dx функції f (x) є основним завданням диференціального числення. В інтегральному численні вирішується зворотна задача: за заданої функції f (x) потрібно знайти таку функцію F (x), що F '(х) = f (x) або F (x) = F' (x) dx = f (x ) dx .. Таким чином, основним завданням інтегрального числення є відновлення функції F (x) за відомою похідної (диференціалу) цієї функції. Інтегральне числення має численні застосування в геометрії, механіці, фізиці й техніці. Воно дає загальний метод знаходження площ, обсягів, центрів тяжіння і т. д.
Задача про знаходженні площі
Визначити площу P криволінійної трапеції ABCD (рис. 1)

Рис 1

Розділимо підставу АВ нашої фігури довільним чином на частини і проведемо ординати, відповідні точкам розподілу; тоді криволінійна трапеція розіб'ється на ряд смужок. Замінимо тепер наближено кожну смужку деякого прямокутника, основа якого той же, що й у смужки, а висота співпадає з однією з ординат смужки, скажімо з крайньою зліва. Таким чином, криволінійна фігура заміниться деякої ступінчастою фігурою, складеної з окремих прямокутників.
Позначимо абсциси точок розподілу через

= A <X

<... <X

= B.
Підстава i - го прямокутника дорівнює різниці X

- X

(ΔX

). Висота дорівнює y

= F (X

). Тому площа i - го прямокутника буде y

ΔX

= F (X

) ΔX

.
Підсумувавши площі всіх прямокутників, отримаємо наближене значення площі P криволінійної трапеції
P =

ΔX

або P =

f (X

) ΔX

.
Похибка цієї рівності при безмежному убуванні всіх ΔX

прагне до нуля. Точне значення площі P вийде як межа:
P = Lim

ΔX

або P = Lim

f (X

) ΔX

,
У припущенні, що всі ΔX

одночасно прагнуть до 0.
Для позначення граничного значення суми

y ΔX Лейбніц і ввів символ ∫ ydx, де ydx нагадує типове доданок суми, а ∫ є стилізована літера S - початкова буква латинського слова "Summa". Так як площа, що представляє це граничне значення, в той же час є первісною для функції у, то той же символ зберігся і для позначення первісної функції. Згодом, з введенням функціонального позначення, стали писати
∫ f (x) dx,
якщо мова йде про змінної площі, і

f (x) dx,
- У разі площі фіксованого фігури ABCD, що відповідає зміні х від а до b.
Визначення. Нехай функція f (X

) Задана в деякому проміжку [a, b]. Розіб'ємо цей проміжок довільним чином на частини, вставивши між a і b точки поділу. Найбільшу з різниць ΔX

= X

- X

(I = 0, 1,2,. .., N-1) позначимо через λ.
Візьмемо в кожному з часткових проміжків [X

, X

] В сваволі точку X = ξ
X ≤ ξ ≤ X (I = 0, 1, ..., n-1)
і складемо суму
σ =

f (ξ ) ΔX

Нехай I кінцевий межа даної суми
I =

σ.
Кінцевий межа I суми σ при

називається визначеним інтегралом функції f (x) у проміжку від a до b і позначається символом
I =

f (x) dx
У случе існування такої межі функція f (x) називається інтегровною в проміжку [a, b].
Числа a і b носять назву, відповідно, нижнього і верхнього меж інтеграла. При постійних межах певний інтеграл представляє собою постійне число.
Наведене визначення належить Ріманом (B. Riemann), коор вперше висловив її в загальній формі і досліджував область його застосування. [7]

1. Історична довідка
Інтеграл (від лат. Integer - цілий) - одне з найважливіших понять математики, яке виникло у зв'язку з потребою, з одного боку відшукувати функції по їх похідним (наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений точкою, що рухається, за швидкістю цієї точки), а з іншого - вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу і т. п.
Символ введений Лейбніцем ( 1675 р .). Цей знак є зміною латинської літери S (першої літери слова сума). Саме слово інтеграл придумав Я. Бернуллі ( 1690 р .). Ймовірно, воно походить від латинського integero, що перекладається як приводити до свого попереднього стану, відновлювати. (Дійсно, операція інтегрування "відновлює" функцію, диференціюванням якої отримана підінтегральна функція.) Можливо походження слова інтеграл інше: слово integer означає цілий.
У ході листування І. Бернуллі і Г. Лейбніц погодилися з пропозицією Я. Бернуллі. Тоді ж, в 1696г., З'явилося й назва нової гілки математики - інтегральне числення (calculus integralis), яке ввів І. Бернуллі.
Інші відомі терміни, пов'язані з інтегрального числення, з'явилися значно пізніше. Употребляющееся зараз назва первообразная функція замінило більш раннє "примітивна функція", яке ввів Лагранж ( 1797 р .). Латинське слово primitivus перекладається як "початковий": F (x) = - початкова (або первісна, або первообразная) для функції f (x), яка виходить з F (x) диференціюванням.
У сучасній літературі безліч всіх первісних для функції f (x) називається також невизначеним інтегралом. Це поняття виділив Лейбніц, який зауважив, що всі первісних функцій відрізняються на довільну сталу. А називають визначеним інтегралом (позначення ввів К. Фур'є (1768-1830), але межі інтегрування вказував вже Ейлер).
Найважливіше з історії інтегрального числення
Виникнення завдань інтегрального числення пов'язано із знаходженням площ і обсягів. Ряд завдань такого роду було вирішено математиками стародавньої Греції. Антична математика передбачила ідеї інтегрального числення в значно більшою мірою, ніж диференціального числення. Велику роль при вирішенні таких завдань грав вичерпний метод, створений Евдоксом Кнідським (бл. 408 - бл. 355 до н. Е..) І широко застосовувався Архімедом (бл. 287 - 212 до н. Е..).
Однак Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів і понять про інтегралі, а тим більше не створив алгоритму інтегрального числення. Вчені Середнього та Близького Сходу в IX - XV століттях вивчали і перекладали праці Архімеда на загальнодоступний в їх середовищі арабську мову, але істотно нових результатів в інтегральному численні вони не отримали.
Діяльність європейських вчених у цей час була ще більш скромною. Лише у XVI і XVII століттях розвиток природничих наук поставило перед математикою Європи ряд нових завдань, зокрема завдання на знаходження квадратур (завдання на обчислення площ фігур), кубатури (завдання на обчислення об'ємів тіл) та визначення центрів ваги.
Праці Архімеда, вперше видані в 1544 (латинською та грецькою мовами), стали залучати широку увагу, і їх вивчення стало одним з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального числення. Архімед передбачив багато ідей інтегрального числення. Але знадобилося понад півтори тисячі років, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження і були доведені до рівня обчислення.
Математики XVII століття, отримали багато нових результати, навчалися на працях Архімеда. Активно працював і інший метод - метод неподільних, який також зародився в Стародавній Греції. Наприклад, криволінійну трапецію вони уявляли собі складеної з вертикальних відрізків довжиною f (x), яким проте приписували площу, рівну нескінченно малою величиною f (x) dx. Згідно з таким розумінням шукана площа вважалася рівною сумі S = нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі складові у цій сумі - нулі, але нулі особливого роду, які складені в нескінченному числі, дають цілком певну позитивну суму.
На такій уявній тепер щонайменше сумнівною основі І. Кеплер (1571 - 1630 рр..) У своїх творах "Нова астрономія" ( 1609 р .) І "Стереометрія винних бочок" ( 1615 р .) Правильно вирахував низку площ (наприклад площу фігури, обмеженої еліпсом) і обсягів (тіло різалося на нескінченно тонкі пластинки).
Ці дослідження були продовжені італійськими математиками Б. Кавальєрі (1598 - 1647 роки) та Е. Торрічеллі (1608 -1647 роки).
У XVII столітті були зроблені багато відкриттів, пов'язані з інтегрального числення. Так, П. Ферма вже в 1629 році вирішив задачу квадратури будь-якій кривій y =, де N - ціле (тобто вивів формулу), і на цій основі вирішив низку завдань на знаходження центрів тяжіння. І. Кеплер при виведенні своїх знаменитих законів руху планет, фактично спирався на ідею наближеного інтегрування. І. Барроу (1603-1677 роки), учитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв'язку інтегрування і диференціювання. Велике значення мали роботи з поданням функції у вигляді степеневих рядів.
Однак при всій значущості результатів, отриманих математиками XVII століття, обчислення ще не було. Необхідно було виділити загальні ідеї, що лежать в основі рішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв'язок операцій диференціювання та інтегрування, що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніц, що відкрили незалежно один від одного факт, відомий вам під назвою формули Ньютона - Лейбніца. Тим самим остаточно оформився загальний метод. Треба було ще навчитися знаходити Первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового обчислення і т. п. Але головне вже було зроблено: диференціальне та інтегральне числення створено.
Методи математичного аналізу активно розвивалися в наступному сторіччі (в першу чергу слід назвати імена Л. Ейлера, що завершив систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій, та І. Бернуллі). У розвитку інтегрального числення взяли участь російські математики М. В. Остроградський (1801 - 1862 рр..), В. Я. Буняковський (1804 - 1889 рр..), П. Л. Чебишов (1821 - 1894 рр..). Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, довів, що існують інтеграли, не виразність через елементарні функції.
Суворе виклад теорії інтеграла з'явилося тільки в минулому столітті, Вирішення цього завдання пов'язане з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків німецького вченого Б. Рімана (1826 - 1866 рр..), Французького математика Г. Дарбу (1842 - 1917).
Відповіді на багато питань, пов'язаних з існуванням площ і обсягів фігур, були отримані з створенням До Жорданом (1826 - 1922 рр..) Теорії міри.
Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку 20 століття були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 рр..) Та А. Данжуа (1884 - 1974) радянським математиком А. Я. Хічіним (1894 -1959 рр..)

2. Умови існування певного інтеграла
1. Інтегрована функція необхідно обмежена.
Якби функція f (x) була в проміжку [a, b] необмежена, то - при будь-якому розбитті проміжку на частини - вона зберегла б подібна властивість хоч в одній з частин. Тоді за рахунок вибору в цій частині точки

можна було б зробити f (

), А з нею і суму

, - Як завгодно великий; при цих умовах кінцевого межі для

існувати не могло б.
2.Для існування певного інтеграла необхідно і достатньо, щоб було
(S - s) = 0
s =

ΔX

, S =

ΔX

,
де m

і M

- Точні нижня і верхня межі. Суми Дарбу s і S служать точними, відповідно, нижньою і верхньою межами для інтегральних сум. [7]

3. Додаток інтегрального числення
3.1 Загальні поняття
Нехай потрібно знайти значення будь - якої геометричної або фізичної величини A (площа фігури, об'єм тіла, тиск рідини на вертикальну пластину і т. д.), пов'язаної з відрізком [a, b] зміни змінної x. Передбачається, що при розбитті відрізка [a, b] крапкою з

(A, b) на частини [a, c] і [c, b] значення величини A, відповідне всьому відрізку [a, b] дорівнює сумі її значень, що відповідають [a, c] і [c, b].
Для перебування цієї величини А можна керуватися однією з двох схем: I схема (або метод інтегральних сум) і II схема (або метод диференціала). [5]
Перша схема базується на визначенні певного інтеграла.
1. Точками x = A, x , ..., X = B розбити відрізок [a, b] на n частин. Відповідно до цього, що цікавить нас величина A розіб'ється на n "елементарних складових"
Δ A

(I = 1, ..., n): A = ΔA

+ ΔA

+ ... + ΔA

2. Уявити кожне "елементарне доданок" у вигляді твору деякої функції (яка визначається з умови задачі), обчисленої в довільній точці відповідного відрізка на його довжину:
Δ A

≈ f (c

) ΔX

При знаходженні наближеного значення ДЛ; припустимі деякі спрощення: дугу на малій ділянці можна замінити хордою, стягує її кінці; змінну швидкість на малій ділянці можна наближено вважати сталою і т. д.
Отримаємо наближене значення величини А у вигляді інтегральної суми:
A ≈ f (c

) ΔX

+ ... + F (c

) ΔX

f (c

) ΔX

1. Шукана величина А дорівнює межі інтегральної суми, тобто
A =

f (c

) ΔX

f (x) dx.
Зазначений "метод сум", як бачимо, заснований на представленні інтеграла як про суму нескінченно великого числа нескінченно малих доданків.
Схема I була застосована для з'ясування геометричного і фізичного змісту певного інтеграла.
Друга схема являє собою кілька видозмінену схему I і називається "метод диференціала" чи "метод відкидання нескінченно малих вищих порядків":
1) на відрізку [а, b] вибираємо довільне значення х і розглядаємо змінний відрізок [a, x]. На цьому відрізку величина A стає функцією x: А - А (x), т. е. вважаємо, що частина шуканої величини А є невідома функція А (x), де x тобто [А, b] - один з параметрів величини А;
2) знаходимо головну частину приросту ΔA при зміні x на малу величину Δ x; = d х, т. е. знаходимо диференціал dA функції A = А (x): d A - f (x) dx, де f (x), що визначається з умови задачі, функція змінної x (Тут також можливі різні спрощення);
3) вважаючи, що d А ≈ ΔA при Δx

0, знаходимо шукану величину шляхом інтегрування dA в межах від а до b:

A (b) = A =

f (x) dx.

3.2 Інтегральне числення в геометрії
3.2.1 Обчислення довжини дуги плоскої кривої
Прямокутні координати
Нехай у прямокутних координатах дана плоска крива AB, рівняння якої y = f (x), де a ≤ x ≤ b. (Рис 2) [7]
Під довжиною дуги AB розуміється межа, до якого прагнути довжина ламаної лінії, вписаної в цю дугу, коли число ланок ламаної необмежено зростає, а довжина найбільшого ланки її прагнути до нуля.
Застосуємо схему I (метод сум).
1. Точками X

= A, X

, ..., X

= B (X

≤ X

≤ ... ≤ X

) Розіб'ємо відрізок [a, b] на n частин. Нехай цим точкам відповідають точки M

= A, M

, ..., M

= B на кривій AB. Проведемо хорди M

, M

, ..., M

, Довжини яких позначимо відповідно через ΔL

, ΔL

, ..., ΔL

Рис 2

Отримаємо ломанную M

... M

, Довжина якої дорівнює L

= ΔL

+ ΔL

+ ... + ΔL

ΔL

.
2. Довжину хорди (або ланки ламаної) ΔL

можна знайти за теоремою Піфагора з трикутника з катетами ΔX

і ΔY

:
ΔL

, Де ΔX

= X

- X

, ΔY

= F (X

) - F (X

).
По теоремі Лагранжа про кінцевий збільшенні функції ΔY

) ΔX

, Де C

, X

). Тому
ΔL

,
а довжина всієї ламаної M

... M

дорівнює
L

ΔL

.
Довжина кривої AB, за визначенням, дорівнює L =

ΔL

. Зауважимо, що при ΔL

0 також і ΔX

0 (ΔL

і отже | ΔX

| <ΔL

). Функція

неперервна на відрізку [a, b], так як, за умовою, неперервна функція f

(X). Отже, існує границя інтегральної суми L

ΔL

, Коду max ΔX

0:
L =

dx.
Таким чином, L =

dx.
Приклад: Знайти довжину кола радіуса R. (Рис 3) [5]
Рішення:

Знайдемо ¼ частина її довжини від точки (0; R) до точки (R; 0). Так як y =

, ¼ L =

dx = R arcsin

= R

Рис 3

Значить L = 2

R.
Полярні координати
Нехай крива AB задана рівнянням в полярних координатах r = r (

. Припустимо, що r (

) І r

(

) Неперервні на відрізку [

].
Якщо в равенствах x = r cos

, Y = r sin

, Що зв'язують полярні і декартові координати, параметром вважати кут

, То криву AB можна задати параметрично

Тоді

Тому

Застосовуючи формулу L =

, Отримуємо
L =

Приклад: Знайти довжину кардиоиду r = a (1 + cos

).
[5]

Рис 4

Рішення: Кардіоїда r = a (1 + cos

) Симетрична щодо полярної осі. Знайдемо половину
(Рис. 4) довжини кардиоиду:
½ L =

= A

= 2a

cos

= 4a sin

= 4a.
3.2.2 Обчислення об'єму тіла
Обчислення об'єму тіла за відомими площами паралельних перерізів
Нехай потрібно знайти об'єм V тіла (рис 5), причому відомі площі перерізів цього тіла площинами, перпендикулярними деякої осі, наприклад осі Ox: S = S (x), a ≤ x ≤ b [5]
Застосуємо схему II (метод диференціала).

Рис 5

1. Через довільну точку x [А; b] проведемо площину П, перпендикулярну осі Ох. Позначимо через S (x) площа перерізу тіла цією площиною; S (x) вважаємо відомою і безперервно змінюється при зміні x. Через v (x) позначимо обсяг частини тіла, що лежить лівіше площині П. Будемо вважати, що на відрізку [а; x] величина v є функція від x, т. е. v = В (x) (v (a) = 0, v (b) = V).
2. Знаходимо диференціал dV функції v = V (x). Він являє собою
"Елементарний шар" тіла, укладений між паралельними площинами, що перетинають вісь Ох у точках x і x + Δx, який приблизно може бути прийнятий за циліндр з основою S (x) і висотою dx. Тому диференціал об'єму dV = S (х) d х.
2. Знаходимо шукану величину V шляхом інтегрування d А в межах від a до b:
V = S (x) dx
Формула об'єму тіла за площею паралельних перерізів
Приклад: Знайти об'єм еліпсоїда

(Рис 6) [5]

Рис 6

Рішення: Розсікаючи еліпсоїд площиною, паралельній площині OYZ і на відстані х від неї (- a ≤ x ≤ b.), Отримаємо еліпс

Площа цього еліпса дорівнює S (x) =

bc (1 -

). Тому, за формулою маємо
V =

bc (1 -

) Dx =

a bc.
Обсяг тіла обертання
Хай навколо осі Ох обертається криволінійна трапеція, обмежена безперервної лінією у = f (х) ≥ 0, відрізком а ≤ х ≤ b і прямими х = а і х = b (Рис 7). Отримана від обертання фігура називається тілом обертання. Перетин цього тіла площиною, перпендикулярної осі Ох, проведеної через довільну точку х осі O х), є коло з радіусом у = f (х). Отже,
S (x) = y .
Застосовуючи формулу V = S (x) dx об'єму тіла за площею
паралельних перерізів, отримуємо

dx.
Якщо криволінійна трапеція обмежена графіком неперервної функції x =

(X) ≥ 0 і прямими x = 0, y = c, y = d (c <

Рис 7

d), то об'єм тіла, утвореного обертанням цієї трапеції навколо осі Оу, за аналогією з формулою V = S (x) dx, дорівнює
V =

x dy.
Приклад: Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями у = , X = 0, у = 2

навколо осі Оу. [5]
Рішення: За формулою V =

x dy.
знаходимо:
V

2ydy =

= 8

.
3.2. 3 Обчислення площі поверхні обертання
Нехай крива АВ є графіком функції у = f (х) ≥ 0, де х [А; b], а функція у = f (х) та її похідна у '= f' (х) неперервні на цьому відрізку.
Знайдемо площу S поверхні, утвореної обертанням кривої АВ навколо осі Ох (рис 8).
Застосуємо схему II (метод диференціала).
1. Через довільну точку х [А; b] проведемо площину П, перпендикулярну осі Ох. Площина П перетинає поверхню обертання по колу з радіусом у - f (х). Величина S поверхні частини фігури обертання, що лежить лівіше площині, є функцією від х, т. е. s = s (х) (s (а) = 0 і s (b) = S).
2. Дамо аргументу х прирощення Dх = d х. Через точку х + d х [А; b] також проведемо площину, перпендикулярну осі Ох. Функція s = s (х) одержить збільшення Δs, зображеного на малюнку у вигляді "паска".

Рис 8

Знайдемо диференціал площі ds, замінюючи утворену між перерізами фігуру усіченим конусом, утворює якого дорівнює dl, а радіуси підстав рівні у і у + d у. Площа його бічній поверхні дорівнює ds =

(У + у + d у) • d 1 = 2

ydl +

dydl. Відкидаючи твір d у d 1 як нескінченно малу вищого порядку, ніж ds, отримуємо ds = 2

у dl, або, так як d 1 = dx.
3. Інтегруючи отримане рівність у межах від х = а до х = b, отримуємо
S

= 2

y dx.
Якщо крива AB задана параметричними рівняннями x = x (t), y = y (t), t

≤ t

, То формула для площі поверхні обертання приймає вигляд
S

= 2

dt.
Приклад: Знайти площу поверхні кулі радіуса R. [5]
Рішення: Чи можна вважати, що поверхня кулі утворена обертанням півкола y =

,-R ≤ x ≤ R, навколо осі Ox. За формулою S

= 2

y dx знаходимо
S = 2

3.2.4.1. Обчислення площ плоских фігур
Прямокутні координати
Нехай функція f (х) неперервна на сегменті [а; b]. Якщо f (х) ≥ 0 на [а; b] то площа S криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = f (х), у = 0, х = а, х = b, дорівнює інтегралу

Якщо ж f (x) ≤ 0 на [а; b] то - f (х) ≥ 0 на [а; b]. Тому площа S відповідної криволінійної трапеції виразиться формулою

або

Якщо, нарешті, крива y = f (х) перетинає вісь Ох, то сегмент [а; b] треба розбити на частини, в межах яких f (х) не змінює знака, і до кожної такої частини застосувати ту з формул, яка їй відповідає.

Рис 9

Приклад. Знайти площу плоскої фігури, обмеженої параболою y = x ^2, прямими х = 1, х = 3 і віссю Ох (рис 9) . [1]
Рішення. Користуючись формулою

, Знаходимо шукану площу
S =

Рис 10

Приклад. Знайти площу плоскої фігури, обмеженої графіком функції у = sin х і віссю абсцис за умови

(Рис 10). [1]
Рішення. Розбиваємо сегмент [0;

] На два сегменти [0;

] І [

, 2

]. На першому з них sinx ≥ 0, на другому - sinx ≤ 0. Отже, використовуючи формули

, Маємо, що шукана площа

Полярні координати.
Нехай потрібно визначити площу сектора ОАВ, обмеженого променями

і кривої АВ (рис 11), заданої в полярній системі координат рівнянням r = r (

), Де r (

) - Функція, неперервна на сегменті [

;

Рис 11

Рис 12

Розіб'ємо відрізок [

;

] На п частин точками

о <

1 <... <

і покладемо: Δ

k = 1, 2, ..., n. Найбільшу з цих різниць позначимо через

= Max Δ

. Розіб'ємо даний сектор на п частин променями

(K = 1, 2, ..., п - 1). Замінимо k-й елементарний сектор круговим сектором радіуса r (

), Де

.
Тоді сума

- Приблизно площа сектора OAB. Звідси:

Приклад. Знайти площу плоскої фігури, обмеженої кардиоиду г = a (1 + соs

) (Рис 12). [7]
Рішення. Враховуючи симетричність кривої відносно полярної осі, за формулою

отримуємо:

3.3 Механічні додаток певного інтеграла
3.3.1 Робота змінної сили
Нехай матеріальна точка М переміщається уздовж осі Ох під дією змінної сили F = F (х), спрямованої паралельно цій осі. Робота, проведена силою при переміщенні точки М з положення х = а в положення х = b (а <b Ь), знаходиться за формулою
A =

Приклад. Яку роботу треба затратити, щоб розтягнути пру-'-' Жіну на 0,05 м , Якщо сила 100 Н розтягує пружину на 0,01 м ? [5]
Рішення: За законом Гука пружна сила, що розтягує пружину, пропорційна цій розтягуванню х, т. тобто F = k х, де k - Коефіцієнт пропорційності. Згідно з умовою задачі, сила F = 100 Н розтягує пружину на х = 0,01 м ; Отже, 100 = k 0,01, звідки k = 10000; отже, F = 10000 х.
Шукана робота на підставі формули A =

дорівнює
A =

Приклад. Знайти роботу, яку необхідно затратити, щоб викачати через край рідина з вертикального циліндричного резервуара висоти Н м і радіусом основи R м (рис 13). [5]

Рис 13

Рішення: Робота, що витрачається на підняття тіла вагою р на висоту h, дорівнює р. • Н. Але різні шари рідини в резервуарі знаходяться на різних глибинах і висота підняття (до краю резервуара) різних шарів не однакова.
Для вирішення поставленого завдання застосуємо схему II (метод диференціала). Введемо систему координат.
1. Робота, що витрачається на викачування з резервуара шару рідини товщиною х (0 ≤ х ≤ Н), є функція від х, т. е. А = А (х), де (0 ≤ х ≤ Н) (A (0) = 0, A (H) = А _0).
2. Знаходимо головну частину приросту ΔA при зміні х на величину Dх = dx, т. е. знаходимо диференціал d А функції А (х).
Зважаючи на малість d х вважаємо, що "елементарний" шар рідини знаходиться на одній глибині х (від краю резервуара). Тоді d А = d рх, де d р - вага цього шару; він дорівнює g

АV, де g - прискорення свободногопаденія,

- Щільність рідини, dv - об'єм "елементарного" шару рідини (на малюнку він виділений), тобто d р = g . Обсяг зазначеного шару рідини, очевидно, дорівнює

, Де dx-висота циліндра (шару),

- Площа її підстави, тобто dv =

.
Таким чином, d р = . і
3) Інтегруючи отримане рівність у межах від х = 0 до х = Н, знаходимо
A

3. Березня .2 Шлях, пройдений тілом
Нехай матеріальна точка переміщується по прямій зі змінною швидкістю v = V (t). Знайдемо шлях S, пройдений нею за проміжок часу від t

до t _2.
Рішення: З фізичного змісту похідної відомо, що при русі точки в одному напрямку "швидкість прямолінійного руху
дорівнює похідною від шляху за часом ", тобто v (t) =

. Звідси випливає, що dS = v (t) dt. Інтегруючи отримане рівність у межах від t

до t

,
отримуємо S =

Приклад. Знайти шлях, пройдений тілом за 4 секунди від початку руху, якщо швидкість тіла v (t) = 10 t + 2 (м / с). [5]
Рішення: Якщо v (t) = 10t + 2 (м / с), то шлях, пройдений тілом від початку руху (t = 0) до кінця 4-ї секунди, дорівнює
S =

3.3.3 Тиск рідини на вертикальну платівку
За законом Паскаля тиск рідини на горизонтальну пластину дорівнює вазі стовпа цієї рідини, що має підставою платівку, а заввишки - глибину її занурення від вільної поверхні рідини, тобто Р = g

, Де g - прискорення вільного падіння,

- Щільність рідини, S - площа пластинки, h - глибина її занурення.
За цією формулою можна шукати тиск рідини на вертикально занурену платівку, так як її різні точки лежать на різних глибинах.
Нехай в рідину занурена вертикально пластина, обмежена лініями х = а, х = b, y і y . Для знаходження тиску Р рідини на цю пластину застосуємо схему II (метод диференціала).

1. Нехай частина шуканої величини Р є функція від х: р = р (х), т. е. р = р (х) - тиск на частину пластини, відповідне відрізку [а; b] значень змінної х, де х [A; b] (р (a) = 0, р (b) = Р).

Рис 14

2. Дамо аргументу х прирощення Δx = d х. Функція р (х) одержить збільшення Δр (на малюнку - смужка-шар товщини d х). Знайдемо диференціал d р цієї функції. Зважаючи на малість d х будемо наближено вважати смужку прямокутником, всі точки якої знаходяться на одній глибині х, тобто платівка ця - горизонтальна.
Тоді за законом Паскаля d р = .

3. Інтегруючи отримане рівність у межах від х = а до х = b, отримаємо
P =

або P =

Приклад. Визначити величину тиску води на півколо, вертикально занурений в рідину, якщо його радіус R, а центр Про знаходиться на вільній поверхні води (рис 15). [5]
Рішення: Скористаємося отриманої формулою для знаходження тиску рідини на вертикальну платівку. У даному випадку платівка обмежена лініями у = -

, Y

, X = 0, x = R.

P =

Рис 15

3.3.4 Обчислення статичних моментів і координат центра ваги плоскої кривої
Нехай на площині Оху задана система матеріальних точок М (Х ; У ), М ₂ (х _2; y

), ..., M

; Y

) Відповідне масами m

, M

, ..., M ".
Статичним моментом S _Х системи матеріальних точок відносно осі Ох називається сума добутків мас цих точок на їх ординати (тобто на відстані цих точок від осі Ох):

Аналогічно визначається статистичний момент S

цієї системи відносно осі Oy: S

.
Якщо маси розподілені безперервним чином вздовж деякої кривої, то для вираження статичного моменту знадобиться інтегрування.
Нехай у = f / (х) (a ≤ х ≤ b) - це рівняння матеріальної кривої АВ. Будемо вважати її однорідною з постійною лінійною щільністю

(

= Const).
Для довільного х [А; b] на кривій АВ знайдеться точка з координатами (х; у). Виділимо на кривій елементарний ділянку довжини dl, що мiстить точку (х; у). Тоді маса цієї ділянки дорівнює

. Приймемо цю ділянку dl наближено за точку, віддалену від осі Ох на відстані у. Тоді диференціал статичного моменту dS

("Елементарний момент") буде дорівнює

, Тобто

.
Звідси випливає, що статичний момент S _Х кривої АВ відносно осі Ох дорівнює

Аналогічно знаходимо S

Статичні моменти S _Х і S _У кривої дозволяють легко встановити положення її центру ваги (центру мас).
Центром ваги матеріальної плоскої кривої у = f (х), х 6 [а; b] називається точка площини, що володіє наступною властивістю: якщо в цій точці зосередити всю масу т заданої кривої, то статичний момент цієї точки відносно будь-координатної осі буде дорівнює статичному моменту всієї кривої у = f (х) щодо тієї ж осі. Позначимо через С (х _с; у _с) центр ваги кривої АВ.
З визначення центру ваги слідують рівності

або

. Звідси

або

Приклад. Знайти центр ваги однорідної дуги кола x

+ Y

⁼ R ^2, розташованої в першій координатній чверті (рис 16). [5]

Рис 16

Рішення: Очевидно, довжина зазначеної кола дорівнює

, Тобто

. Знайдемо статистичний момент її відносно осі Ох. Оскільки рівняння дуги є

, То (

)

.
Стало бути,

Так як дана дуга симетрична щодо бісектриси першого координатного кута, то x _з = у _с = Отже, центр ваги має координати ( ; ).

3.3.5 Обчислення статичних моментів і координат центру

тяжкості плоскої фігури
Нехай дана матеріальна плоска фігура (платівка), обмежену кривою у = f (х) ≥ 0 і прямими у = 0, х = а, х = b) (рис 17).
Будемо вважати, що поверхнева щільність платівки постійна (

= Const). Тоді маса всієї платівки дорівнює

т. е.

. Виділимо елементарний ділянку пластинки у вигляді нескінченно вузької вертикальної смуги і будемо наближено вважати його прямокутником.
Тоді маса його дорівнює

. Центр ваги

прямокутника лежить на перетині діагоналей прямокутника. Ця точка

відстоїть від осі Ох на ½ y, а від осі Оу на x (наближено; точніше на відстані х + ½ Δ x ). Тоді для елементарних статичних моментів відносно осей Ох і Оу виконані співвідношення

Отже,

За аналогією з плоскою кривою отримуємо, позначивши координати центра ваги плоскої фігури (пластинки) через С (x

; Y

), Що

.
Звідси

або
x

Приклад. Знайдемо координати центру ваги півкола

(

= Const) (рис 18).

Рис 18

[5]
Рішення: Очевидно (зважаючи симетрії фігури відносно осі Oy), що

. Площа півкола дорівнює

. Знаходимо S x:

Стало бути,

Отже, центр ваги має координати З (0;

)
3.4 Інтегральне числення в біології
3.4.1 Чисельність популяції.
Число особин у популяції (чисельність популяції) змінюється з часом. Якщо умови існування популяції сприятливі, то народжуваність перевищує смертність, і загальне число особин у популяції зростає з часом. Назвемо швидкістю росту популяції приріст числа особин в одиницю часу. Позначимо цю швидкість v = v (t). У "старих", що встановилися популяціях, давно мешкають в даній місцевості, швидкість росту v (T) мала і повільно прямує до нуля. Але якщо популяція молода, її взаємини з іншими місцевими популяціями ще не встановилися або існують зовнішні причини, що змінюють ці взаємини, наприклад свідоме втручання людини, то v (T) може значно коливатися, зменшуючись або збільшуючись. [1]
Якщо відома швидкість зростання популяції v t /), то ми можемо знайти приріст чисельності популяції за проміжок часу від tо до Т. Справді, з визначення v (t) випливає, що ця функція є похідною від чисельності популяції N (t) в момент t, і, отже , чисельність популяції N (t) є первісною для v (T). Тому
N (t) - N (t ) = .
Відомо, що в умовах необмежених ресурсів харчування
швидкість росту багатьох популяцій експоненційна, тобто v (t) = ае . Популяція в цьому випадку як би "не старіє". Такі умови можна створити, наприклад, для мікроорганізмів, пересаджуючи час від часу розвивається культуру в нові ємності з живильним середовищем. Застосовуючи формулу (1), в цьому випадку отримаємо:
N (t) = N (t

) + A

= N (t

) +

= N (t

) +

- E

)
За формулою, подібної N (t) = N (t

) + A

= N (t

) +

= N (t

) +

- E

)
, Підраховують, зокрема, чисельність культивованих цвілевих грибків, які виділяють пеніцилін. [1]

3.4.2.1 Біомаса популяції.
Розглянемо популяцію, в якій маса особини помітно змінюється протягом життя, і підрахуємо загальну біомасу популяції.
Нехай

означає вік в тих чи інших одиницях часу, а N (

) - Число особин популяції, вік яких дорівнює

. Нехай, нарешті, P (

) - Середня маса особини віку

, А М (

) - Біомаса всіх особин у віці від 0 до

[1].
Помітивши, що твір N (

) P (

) Дорівнює біомасі всіх особин віку

, Розглянемо різницю
M (

+ Δ

) - M (

),
де Δ

> 0. Очевидно, що ця різниця, рівна біомасі всіх особин у віці від

до

+ Δ

, Задовольняє нерівностям:
N (

) Р (

) Δ

≤ M (

+ Δ

) - M (

) ≤ N (

) P (

) Δ

,
де N (

) Р (

) - Найменше, а - N (

) P (

) - Найбільше значення функції N (

) Р (

) На відрізку [

+ Δ

]. Враховуючи, що Δ

> 0, з нерівностей N (

) Р (

) Δ

≤ M (

+ Δ

) - M (

) ≤ N (

) P (

) Δ

,
маємо:
N (

) Р (

) ≤

≤ N (

) P (

)
З безперервності функції N (

) Р (

) (Її безперервність випливає з безперервності N (

) І Р (

)) Випливає, що

[N (

) Р (

)] =

[N (

) P (

)] = N (

) Р (

)
Тому будемо мати:

= N (

) Р (

)
або

= N (

) Р (

)

Отже, біомаса М (

) Є первісною для N (

) Р (

). Звідси:
M (T) - M (0) =

N ( ) Р ( ) Dt

Рис 19

де Т - максимальний вік особини в даній популяції. Так як М (0), очевидно, дорівнює нулю, то остаточно одержуємо:
М (Т) =

N ( ) Р ( ) Dt
3 .4. 3 Середня довжина прольоту.
У деяких дослідженнях необхідно знати середню довжину пробігу, або середню довжину шляху при проходженні тваринам деякого фіксованого ділянки. Наведемо відповідний розрахунок для птахів. Нехай ділянкою буде коло радіуса R. Будемо вважати, що R не дуже велике, тому що більшість птахів досліджуваного виду перетинає це коло по прямій.
Птах може під будь-яким кутом в будь-якій точці перетнути коло. У залежності від цього довжина її прольоту над колом може бути рівної будь величиною від 0 до 2я,. Нас цікавить середня довжина прольоту. Позначимо її через. [1]
Оскільки коло симетричний щодо будь-якого свого діаметра, нам достатньо обмежитися лише тими птахами, які летять в якому-небудь одному напрямку, паралельному осі Оу. Тоді середня довжина прольоту - це середня відстань між дугами АСВ і АС В. Іншими словами, це середнє значення функції f

(Х) - f (Х), де у = f (Х) - рівняння верхньої дуги, а у = f ₂ (х) - рівняння нижньої дуги, тобто
L =

або
L =

.
Так як

дорівнює площі криволінійної трапеції аАСВ b), а

дорівнює площі криволінійної трапеції ААС У b, то їх різниця дорівнює площі кола, тобто

R ^2. Різниця b - а дорівнює, очевидно, 2 R. Підставивши це в L =

.
, Отримаємо:
L =

R.
Наведені приклади далеко не вичерпують можливих додатків певного інтеграла в біології. [1]
3. 5 Інтегральне числення в економіці
У курсі мікроекономіки часто розглядають так звані граничні величини, тобто для даної величини, що подається деякою функцією у = f (x), розглядають її похідну f'x. Наприклад, якщо дана функція витрат С залежно від обсягу q товару, що випускається С = З (q), то граничні витрати будуть задаватися похідною цієї функції МС = С '(q). Її економічний сенс - це витрати на виробництво додаткової одиниці товару, що випускається. Тому часто доводиться знаходити функцію витрат по даній функції граничних витрат. [6]
Приклад. Дана функція граничних витрат МС = З q ² - 48q + 202, 1 ≤ q ≤ 20. Знайти функцію витрат С = С (q) і обчислити витрати у випадку виробництва 10 одиниць товару, якщо відомо, що витрати для виробництва першої одиниці товару склали 50 руб. [4]
Рішення. Функцію витрат знаходимо інтегруванням:
C (q) =

,
де константа Зі знаходиться з даної умови С (1) = 50, так що С ₀ = 50, оскільки інтеграл звертається в нуль. Інтегруючи, отримаємо функцію витрат
C (q) = q

.
Підставляючи q = 10 в отриману формулу, знаходимо шукане значення
З (10) = 670.
Ще одним прикладом застосування певного інтеграла є знаходження дисконтованої вартості грошового потоку.
Припустимо спочатку, що для кожного дискретного моменту часу t = 1, 2, 3, ... задана величина грошового потоку R ((t). Якщо ставку відсотка позначити через р., то дисконтовану вартість кожної з величин R (1), R (2), R (3), ... знайдемо за відомим формулами:
R (1) (1 + p)

, R (2) (1 + p)

, R (3) (1 + p)

, ....
Тоді дисконтовану вартість грошового потоку знайдемо, підсумовуючи ці величини:
П =

,
де п - загальна кількість періодів часу.
У неперервної моделі час змінюється безперервно, тобто для кожного моменту часу 0 ≤ t ≤ Т, де [0, T] - аналізований період часу, задана величина I (t) - швидкість зміни грошового потоку (тобто величина грошового потоку за проміжок часу від t до t + dt наближено дорівнює I (t) dt. Для отримання величини П змінимо формулу П =

. А саме, знак підсумовування замінимо на знак визначеного інтеграла, формули обчислення дисконтованої вартості в дискретному випадку замінимо на їх безперервний аналог, і тоді формула П =

, Прийме наступний вигляд:
П =

.
Приклад. Під будівництво гідроелектростанції заданий безперервний грошовий потік зі швидкістю I (t) = - t ² +20 T +5 (млрд крб. / рік) протягом 20 років з річною процентною ставкою р = 5%. Знайти дисконтовану вартість цього потоку. [4]
Рішення. За формулою П =

маємо
П =

.
Щоб обчислити цей інтеграл, виконаємо спочатку заміну змінної:
s = -0,05 t, t =-20s, dt =-20ds.
При цьому нові межі інтегрування виходять підстановкою старих меж у формулу заміни: s

= 0, s

= -1. Маємо
-
П = -20

(- 400s ² - 400s + 5) e

= 20

(- 400s ² - 400s +5) e

ds.
До останнього інтегралу застосуємо формулу інтегрування частинами, вважаючи і =-400s

- 400s + 5, d і = (-800s - 400) ds, dv = e

ds, v = е . Тому
П = 20 ((-400s ² - 400s + 5) е

(800s + 400) ds.
У першому доданку підставимо межі інтегрування, а до другого доданку ще раз застосуємо формулу інтегрування частинами, вважаючи і = 800s + 400, d і = 800ds. Маємо
П = 20 (5 - 5e

+ (800s + 400) e

800e

ds) =
= 20 (5 - 5е - 1 +400 + (800 - 400) e - 1 - 800 + 800е - 1) =
= 20 (1195е-1 -395).
Остаточно отримаємо П = 892 (млрд руб.).
Далі розглянемо деяку модель економічного зростання, запропоновану Є.Д. Домаром. Основні припущення цій моді сформульовані нижче.
1. Будь-яке зміна величини швидкості грошового потоку I (t) впливає як на сукупний попит, так і на зміну обсягу виробництва.
2. Швидкість зміни величини попиту Y (t) пропорційна похідної швидкості грошового потоку з коефіцієнтом пропорційності K = 1 / s, де s - гранична величина накопичення. Це припущення можна записати у вигляді рівняння

3 Економічний потенціал до (тобто величина вартості това-які можна зробити) пропорційний обсягу оборот-"коштів К з коефіцієнтом пропорційності р, k = рК. Диференціюючи по t, отримаємо

.
У моделі Домара передбачається, що весь економічний потенціал повністю використовується, іншими словами, У = к. Диференціюючи по t, отримаємо

.
Підставляючи

, Маємо

= PI, .
Щоб знайти функцію I (t) з рівняння

= PI, , Проінтегруємо обидві частини останнього рівності по t від 0 до t. Отримаємо

, Або ln | I (t) |

= Pst ,
Звідки ln | I | = ln | I (0) | + pst. Потенціюючи остання рівність, отримаємо остаточний вираз для I (t):
I (t) = I (0) e

,
де I (0) - це швидкість грошового потоку в початковий момент часу.
Таким чином, для того щоб підтримувати рівновагу між обсягом вироблених благ і сукупним попитом на них, швидкість грошового потоку повинна зростати з експоненційної швидкістю згідно з формулою
I (t) = I (0) e

Висновок
Розглянуті вище приклади практичних завдань, дають нам чітке уявлення значущості певного інтеграла для їх розв'язності.
Важко назвати наукову галузь, в якій би не застосовувалися методи інтегрального числення, в загальному, і властивості визначеного інтеграла, зокрема. Так в процесі виконання курсової роботи нами було розглянуто приклади практичних завдань у галузі фізики, геометрії, механіки, біології та економіки. Звичайно, це ще далеко не вичерпний список наук, які використовують інтегральний метод для пошуку установлюваної величини при вирішенні конкретної задачі, і встановлення теоретичних фактів.
Також певний інтеграл використовується для вивчення власне самої математики. Наприклад, при розв'язуванні диференціальних рівнянь, які в свою чергу вносять свій незамінний внесок у вирішення завдань практичного змісту. Можна сказати, що визначений інтеграл - це деякий фундамент для вивчення математики. Звідси й важливість знання методів їх вирішення.
З усього вище сказаного зрозуміло, чому знайомство з визначеним інтегралом відбувається ще в рамках середньої загальноосвітньої школи, де учні вивчають не тільки поняття інтеграла і його властивості, а й деякі його додатки.
Подальша наша робота над даною темою планується саме в напрямку розгляду методики і ліній вивчення певного інтеграла в школі.

Література
1. Баврін І.І. Вища математика - М.: Просвещение, 1993. - 319.
2. Бермантт А.Ф. , Арамановіч І.Г. Короткий курс математичного аналізу для втузів - М.: Наука, 1971. - 736с.
3. Красс М.C Основи математики і її застосування в економічній освіті
4. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення для втузів, Том 2-М. : Наука, 1985.-560с.
5. Письмовий Д.Т. Конспект лекцій з вищої математики - M.: Айріс - прес, 2003. - 288 c.
6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А Математика в економіки - M.: Фінанси і статистика, 2005. - 560c.
7. Фіхтенгольц Том 2
8. Шипачьов В.С. Вища математика - М: Наука, 2003 - 684c.