Оптимізаційні методи вирішення економічних завдань

Зміст
\ T "ЗАГОЛОВОК_2; 2; ЗАГОЛОВОК_3; 3; Заголовок_1; 1; Запровадження; 1; Додаток; 1" Введення
1 Оптимізаційні методи вирішення економічних завдань.
2 Багатокритерійна оптимізація. Методи відомості багатокритеріальної задачі до однокритерійним
3 Гладка оптимізація.
4 Опукла оптимізація. Умова опуклості.
5 Економіко-математична модель реструктуризації вугільної промисловості. Критерій оптимізаційної задачі
Висновок
Література

Введення
Вугільна промисловість є однією з базових у народно-господарському комплексі України. Вугілля споживається майже у всіх галузях народного господарства і визначає в основному темпи і можливий рівень розвитку виробництва чорних і кольорових металів, електричної та теплової енергії, інших галузей промисловості. Кам'яне і буре вугілля служать вихідною сировиною для низки галузей хімічної промисловості.
Внаслідок великої глибини вугільних покладів і невеликої потужності пластів вугільна промисловість Україна має гірші показники видобутку вугілля в порівнянні з деякими країнами СНД та світу. Видобуток вугілля в здійснюється в незрівнянно гірших гірничо-геологічних умовах, ніж в інших країнах світу. Це - головна об'єктивна причина великих питомих витрат матеріальних, енергетичних, трудових ресурсів, а також того, що продуктивність праці набагато нижче світової. Крім того, галузь втрачає найбільш підготовлених, кваліфікованих фахівців. Велика частина шахт нерентабельна, тобто сумарні витрати на видобуток вугілля перевищують його вартість на ринку.
В даний час галузь вимагає впровадження завдань оптимізаційного типу, в яких потрібно знайти найкраще або оптимальне рішення при заданих умовах виробництва. Досвід західноєвропейських держав, практично завершили оптимізаційний процес у вугільній промисловості, і Росії, стартові позиції якої схожі з України, підтверджує необхідність підтримки та контролю з боку держави при реалізації намічених програм.
Таким чином, необхідно відзначити, що вивчення економічних завдань оптимізаційного типу відносяться до вугільної промисловості є актуальним предметом дослідження. Наявність великої кількості проблем вимагає детального їх вивчення і розробки напрямків щодо їх вирішення.

1 Оптимізаційні методи вирішення економічних завдань
До економічним завданням оптимізаційного типу відносяться завдання, в яких потрібно знайти найкраще або оптимальне рішення при заданих умовах виробництва. Такі завдання називаються завданнями на максимум або мінімум. Особливістю завдань оптимізаційного типу є багатоваріантність їх рішень, обумовлена ​​наступними причинами: взаємозамінністю ресурсів; взаємозамінністю готових видів продукції; існуванням альтернативних технологій виробництва; неоднаковість техніко-економічних показників навіть однотипних господарських суб'єктів.
Можливі два підходи до постановки оптимізаційних завдань: при першому підході потрібно отримати максимальні кінцеві результати при заданих умовах виробництва; при другому підході потрібно отримати задані кінцеві результати при мінімальних витратах ресурсів.
Математичний інструментарій, що дозволяє вирішувати економічні завдання оптимального типу, називається програмуванням. Розрізняють лінійне і нелінійне програмування.
На практиці найбільше поширення набуло лінійне програмування.
Методи лінійного програмування в математиці відомі під назвою загальної задачі лінійного програмування. Аналітична формулювання загальної задачі лінійного програмування. Загальна задача лінійного програмування формулюється наступним чином:
Знайти рішення {Х _1, Х _2, .... Х _n}, що дозволяє максимізувати або мінімізувати цільову функцію
F = C ₁ X ₁ + C ₂ X ₂ + ... + C _n X _n
за умов

Х ₁ ≥ 0; Х ₂ ≥ 0; ...; Х _n ≥ 0.
Це розгорнута запис загальної задачі лінійного програмування. Скорочена запис цієї моделі має вигляд:
Знайти рішення {X _j}, що дозволяє максимізувати (мінімізувати) функцію

за умов
, I = 1,2, ..., n;
X _j ≥ 0, j = 1,2, ..., n.
Вищенаведені запису загальної задачі лінійного програмування називають аналітичної формою запису.
Будь-яке рішення, яке задовольняє умовам, називається допустимим рішенням. Допустиме рішення систем нерівностей, що задовольняє цільової функції, називається оптимальним рішенням. Таке рішення єдино при заданих умовах.
Матрична форма запису загальної задачі лінійного програмування

при обмеженнях AX ≤ B
X ≥ 0
де С = (з _1, с _2, ..., з _n);

де С - матриця-рядок
А - матриця системи
Х - матриця-стовпець змінних
В - матриця-стовпець вільних членів
2 Багатокритерійна оптимізація. Методи відомості багатокритеріальної задачі до однокритерійним.
Багатокритеріальна оптимізація являє собою мінімізацію нікого вектора цілей F (x), на якій можуть бути накладені додаткові обмеження або граничні значення
Зазначимо, що оскільки F (x) є певним вектором, то будь-які компоненти F (x) являюся конкуруючими і відсутня якесь єдине рішення поставленої задачі. Замість цього, для опису характеристик цілей вводиться концепція безлічі точок неулучшаемих рішень (так звана оптимальність за Парето). Неухудшаемое рішення є таке рішення, в якому поліпшення в одній з цілей призводить до нікому ослаблення інший. Для більш точного формулювання даної концепції розглянемо якусь область допустимих рішень в параметричному просторі , Яке задовольняє всіх прийнятим обмеженням.
Звідси можливо визначити відповідну область допустимих рішень для простору цільових функцій .
, Де
за умови
Визначення. Точка є неулучшаемим рішенням, якщо для деякої околиці немає нікого такого, що

Стратегія зважених сум
Дана стратегія зважених сум перетворює многокритериальную завдання мінімізації вектора в якусь скалярну завдання шляхом побудови якихось зважених сум для всіх вибраних об'єктів.

Далі вже до даної задачі оптимізації вже може бути застосований стандартний алгоритм оптимізації без наявності обмежень. У цьому випадку розглядаються зважені коефіцієнти для кожної з обраних цілей. Зважені коефіцієнти необов'язково повинні безпосередньо відповідати відносної значимості відповідної мети або брати до уваги взаємовплив між конкретно вибраними цілями. Більш того, межі неулучшаемих рішень можуть бути і не досягнуто, так що певні рішення є по суті недосяжними.
Метод -Обмежень
Якийсь певний спосіб, який певною мірою дозволяє подолати проблему опуклості методу зважених сум, є метод -Обмежень. У цьому випадку здійснюється мінімізація основної мети і при поданні інших цілей у формі обмежень типу нерівностей.

при виконанні умови

Подібний підхід дозволяє визначити якусь кількість неулучшаемих рішень для випадку увігнутою кордону, що, по суті, є недоступним в методі зважених сум, наприклад, в точці шуканого рішення і . Проте проблемою даного методу є відповідний вибір , Який міг би гарантувати допустимість нікого рішення.
Метод досягнення мети
Описаний далі метод являє собою метод досягнення мети Гембік. Даний метод включає в себе вираз для безлічі намірів розробника , Яке пов'язане з безліччю цілей . Таке формулювання завдання допускає, що цілі можуть бути або недо-або передостіжімимі, і що дає розробникові можливість відносно точно висловити вихідні наміри. Відносна ступінь недо-або передостіжімості поставлених намірів контролюється за допомогою вектора зважених коефіцієнтів і може бути представлена ​​як стандартна задача оптимізації за допомогою наступної формулювання

За умови, що

Член вносить в цю задачу елемент ослаблення, що, інакше кажучи, позначає жорсткість заданого наміри. Ваговий вектор w дає досліднику можливість досить точно висловити міру взаємозв'язку між двома цілями. Наприклад, установка вагового вектора w як рівного вихідного наміру вказує на те, що досягнутий той же самий відсоток недо-або передостіжімості мети . За допомогою установки в нуль окремого вагового коефіцієнта (тобто ) Можна внести жорсткі обмеження в поставлену задачу. Метод досягнення мети забезпечує відповідну інтуїтивну інтерпретацію поставленої дослідницької мети і яка, в свою чергу, є цілком вирішуваною за допомогою стандартних процедур оптимізації.
3 Гладка оптимізація.
Метод множників Лагранжа дозволяє відшукувати максимум або мінімум функції при обмеженнях-равенствах. Основна ідея методу полягає в переході від завдання на умовний екстремум до задачі відшукання безумовного екстремуму деякої побудованої функції Лагранжа. Нехай задана завдання НП при обмеженнях-равенствах виду
мінімізувати
при обмеженнях

Припустимо, що всі функції - Диференційовні. Введемо набір змінних (Число яких дорівнює числу обмежень), які називаються множниками Лагранжа, і складемо функцію Лагранжа такого виду:

Справедливо таке твердження для того щоб вектор був рішенням задачі при обмеженнях необхідно, щоб існував такий вектор , Що пара векторів задовольняла б системі рівнянь


множників Лагранжа, який складається з наступних кроків.
Складають функцію Лагранжа
Знаходять приватні похідні
Вирішують систему рівнянь

і відшукують точки , Що задовольняють системі.
Знайдені точки далі досліджують на максимум (або мінімум).
Сідлова точка і завдання нелінійного програмування
Розглянемо функцію Лагранжа
Визначення Пара векторів називається сідловою функції Лагранжа , Якщо при всіх виконується умова

Нерівність називають нерівністю для сідлової точки. Очевидно, що в сідлової точці виконується умова

Між поняттям сідлової точки функції Лагранжа і рішенням задачі НП існує взаємозв'язок, яка встановлюється в наступній теоремі.
Теорема. Нехай і все опуклі та функції задовольняють умові регулярності Слейтера. Вектор є рішенням задачі НП тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор , Що

Теорема Куна-Таккера. Нехай функції , Мають безперервні приватні похідні на деякій відкритій множині , Що містить точку . Якщо є точкою мінімуму функції при обмеженнях , Що задовольняють умові регулярності у вигляді лінійної незалежності векторів , То існують такі невід'ємні множники Лагранжа , Що


Визначимо функцію Лагранжа наступним чином:

Тоді теорему Куна-Таккера можна записати у вигляді



Зауважимо, що множники Лагранжа в задачі НП з обмеженнями-рівностями є знаконеопределеннимі, тоді як в теоремі Куна-Таккера вони повинні бути позитивними.
Кожній задачі лінійного програмування відповідає двоїста задача. Двоїста задача стосовно вихідної завданню будується за такими правилами:
· Якщо вихідна завдання ставиться на максимум, то двоїста ставиться на мінімум і навпаки.
· Коефіцієнти цільової функції вихідної задачі стають правими частинами обмежень двоїстої задачі. Праві частини обмежень вихідної задачі стають коефіцієнтами цільової функції двоїстої задачі.
· Якщо A-матриця коефіцієнтів вихідної задачі, то транспонована матриця TA буде матрицею коефіцієнтів двоїстої задачі.
· У задачі на максимум всі обмеження мають знак ≤ (=), а в задачі на мінімум всі обмеження мають знак ≥.
· Кількість змінних в двоїстої задачі дорівнює числу обмежень у вихідній задачі. Кожному обмеження вихідної задачі відповідає мінлива двоїстої задачі. Якщо обмеження вихідної завдань має знак (≥), то відповідна змінна двоїстої задачі неотрицательна. Якщо обмеження має знак (=), то відповідна змінна двоїстої задачі може приймати позитивні і негативні значення і навпаки.
4 Опукла оптимізація. Умова опуклості
Основне завдання опуклого програмування
Нехай задано опукле і замкнутий безліч . Розглянемо безліч
= { }, = ( , ..., ), Î .
де ( ) - Увігнуті (опуклі вгору) безперервні на скалярні функції. У теорії математичного програмування кожен елемент Î прийнято називати допустимим планом, а саме безліч - Безліччю допустимих планів.
Формальна постановка задачі опуклого програмування
Задачу
,
де опукла, а визначається вищенаведеними умовами, називається основним завданням опуклого програмування.
REF _Ref433730605 \ r \ * MERGEFORMAT 0 означає, що ставиться завдання:
Якщо існує мінімальне значення функції на множині , То серед всіх допустимих планів знайти оптимальний план , Для якого
= =
при цьому число називають значенням завдання.
Якщо оптимального плану не існує, то потрібно
· Або знайти значення завдання як точну нижню межу значень функції на множині :
=
· Або переконатися, що необмежена знизу на безлічі ;
· Або переконатися в тому, що безліч допустимих планів порожньо.
Для вирішення запропонованої оптимізаційної задачі слід виконати наступні дії:
· Визначити безліч .
· Визначити вектор-функцію = ( , ..., ) І вектор Î .
· Визначити безліч допустимих планів = { }.
· Привести задачу до стандартної формі основної задачі опуклого програмування і визначити оптимізується функція .
· Перевірити, чи є отримана оптимізаційна задача ЗВП, для цього
· Перевірити на опуклість безліч ;
· Перевірити на опуклість функцію .
У разі успіху п. REF _Ref435679505 \ r \ * MERGEFORMAT 
· Побудувати функцію Лагранжа отриманої ЗВП.
· За допомогою диференціальних умов Куна-Таккера знайти сідлові точки побудованої функції Лагранжа.
У разі невдачі п. REF _Ref435679505 \ r \ * MERGEFORMAT  спробувати знайти інші методи розв'язання задачі.
Методи субградієнтного оптимізації. Ці ітеративні процедури формують послідовність векторів {l ^k}.
Фундаментальний теоретичний результат полягає в тому, що
.
Розмір кроку на практиці зазвичай вибирають, слідуючи,

де q ^k - скаляр, 0 <q ^k 2 і z * - верхня межа для n (D). Зазвичай z * одержують евристикою для P. У методі гілок і меж z * - поточний рекорд. Послідовність q ^k, як правило, починається з q ⁰ = 2 і потім q ^k ділиться навпіл, через фіксовану кількість ітерацій, залежне від розмірності задачі.
5 Економіко-математична модель реструктуризації вугільної промисловості. Критерій оптимізаційної задачі
У зв'язку з різким скороченням обсягів капітальних вкладень з боку держави у вугільну промисловість і відпрацюванням запасів вугілля на шахтах, для виходу з кризового стану вугільної промисловості, проводиться її оптимізація. Як відомо, в результаті ліквідації гірничих підприємств виникає ряд проблем, серед них найбільш гострі соціально-економічні. Ці проблеми необхідно вирішувати шляхом удосконалення нормативно-технічної документації з проведення реструктуризації вугільної промисловості України.
Одним з розроблюваних варіантів вдосконалення нормативної документації та створення на її основі узагальненого керівництва з оптимізації вугільної промисловості, є створення економіко-математичної моделі ліквідації гірничого підприємства. За результатами рішення оптимізаційної задачі, описаної даною моделлю, будуть зроблені конкретні пропозиції щодо вдосконалення існуючої нормативної бази реструктуризації.
Дана модель являє собою задачу лінійного програмування, в якій буде визначено кількість необхідних бюджетних витрат для здійснення заходів щодо ліквідації гірничих підприємств за різними напрямками.
Отримана модель заснована на одній з існуючих математичних моделей на рівні галузей промисловості. Ця модель - «Модель розподілу капітальних вкладень на перехідні і знову починається об'єкти будівництва». При використанні цієї моделі можна одержати значення капітальних вкладень по роках планового періоду для перехідних і знову починається об'єктів будівництва. У даному випадку вирішується задача оптимального розподілу ліміту капітальних вкладень по об'єктах будівництва таким чином, щоб підвищити економічну ефективність плану капітального будівництва і вчасно ввести необхідні потужності.
Проаналізувавши вищезазначену модель, за критерій оптимізації в розробляється моделі реструктуризації вугільної промисловості була прийнята економічна ефективність ліквідації гірничого підприємства.
Постановка оптимізаційної задачі в нашому випадку робиться на основі наступних умов:
1) При ліквідації шахти виникають різні витрати, які здійснюються за рахунок державного фінансування, їх можна укрупнено розділити по декількох напрямках;
2) Звітність про проведення робіт з ліквідації підприємств компанія «Укрвуглереструктуризація» надає за певні періоди часу, отже, фінансування здійснюється через рівномірні періоди часу;
3) За рахунок того, що збиткова шахта перестає працювати, виникає економія бюджетних коштів, спрямованих на підтримку шахт погашення їхніх збитків шляхом виплат дотацій;
4) Витрати по різних напрямах ліквідації шахт проектуються на підставі кошторисної вартості виробництва певних робіт із закриття шахт; ця кошторисна вартість розраховується за існуючим нормативним документам;
5) Необхідно врахувати, що бюджетне фінансування лімітовано в кожному періоді;
6) Витрати по кожному напрямку ліквідації гірничого підприємства неповинні перевищувати сумарну кошторисну вартість;
7) Окремо необхідно врахувати забезпечення соціального захисту, вивільнюваних працівників.
Цільова функція отриманої математичної моделі з урахуванням критерії економічної ефективності ліквідації гірничого підприємства сформульована таким чином:
F = ΣΣ (1 + E) ^t-1 Q _i → max
де i - напрям ліквідаційних витрат;
t - період здійснення витрат;
x _i - витрати на ліквідацію;
P _{u-економія} в результаті ліквідації шахт за рахунок відсутності дотацій на покриття збитків;
(1 + E) ^t-1 - коефіцієнт дисконтування отриманої економії до моменту виникнення витрат;
Q _i - сумарна кошторисна вартість проведення робіт із закриття шахти за певним напрямком.
Так як модель знаходиться в процесі розробки, то обмеження в задачі ще остаточно не сформульовані. Хоча вже на даний момент прийнято, що серед обмежень будуть ліміт бюджетного фінансування (K _i) і кошторисна вартість:
ΣX _u ≤ K _i
ΣX _u ≤ Q _i
Рішення оптимізаційної задачі за отриманою моделі реструктуризації вугільної промисловості покаже, скільки по якому напрямку ліквідації гірничого підприємства необхідно коштів і як їх розподілити. Передбачається, що найбільшу вагу, як обмеження, внесуть витрати на соціальні потреби. Вони ж будуть вступати в протиріччя з цільовою функцією задачі (скорочення витрат на ліквідацію підприємств не повинно проводитися за рахунок соціальної сфери). Компроміс буде знайдено шляхом зміни величини сумарної кошторисної вартості.

Висновок
Вугільна промисловість займає важливе місце в народногосподарському комплексі України. Вона забезпечує національну безпеку в паливній сфері, надає сировину для металургійної та хімічної промисловості, електроенергетики.
На території України виділяють три основні вугільні басейни: Донецький кам'яновугільний басейн, Львівсько-Волинський кам'яновугільний басейн Придніпровський буровугільний басейн. Проте основним місцем видобутку можна вважати Донбас.
Проблеми розвитку вугільної промисловості України, і, зокрема, Донбасу є загальнодержавними і заходи щодо їх вирішення мають визначатися Національної державною програмою. У процесі реалізації якої в Донбасі повинен послабиться демографічний і екологічний прес.
Оцінка світового досвіду процесу реструктуризації вугільної промисловості показала, що це складний економічний процес і він був необхідний. В Україні за його проведення було допущено багато негативних явищ: він зводився в основному до закриття шахт і не завжди науково обгрунтовано; відсутні кошти для проведення внутрішньої реструктуризації на діючих шахтах. Тому, для додання реструктуризації системного характеру, необхідно внести доповнення до Указу Президента України «Про розроблення Енергетичної стратегії України на період до 2030 р . і на подальшу перспективу », в яких би визначилася необхідність розробки в рамках Стратегії окремої програми реструктуризації вугільної промисловості.
Збільшення вартості ліквідації шахт в даний час в порівнянні з 70-80-ми роками до певної міри пояснюється деякою зміною Правил безпеки, відповідних інструкцій до них та іншими нормативними документами. Проте багато видів робіт, які закладаються в проекти, на нашу думку, не обов'язкові. Зіставлення показує, що середні витрати на ліквідацію представницької шахти складають приблизно 80 млн. грн., Тоді як у минулі роки вони були 10 млн. грн. Навіть з урахуванням прийняття посилених вимог діючих нормативних документів витрати на ліквідацію однієї шахти можна знизити в кілька разів.
При реформуванні, прогнозуванні розвитку паливно-енергетичного комплексу країни слід враховувати світові тенденції розробки та застосування принципово нових технологій, радикально підвищують ефективність вилучення, переробки та використання вугілля, а також виробництва з видобутого вугілля облагородженого, екологічно чистого палива, промислового використання шахтного метану.
Необхідно розробляти на державному рівні комплексні довгострокові програми з енерготехнологій, які передбачають спільне науково-технічне та організаційно-фінансове вирішення проблем вугільної промисловості та енергетики.
Інтеграція України до ЄС зажадає проведення радикальних заходів щодо підвищення конкурентоспроможності вітчизняної вугільної промисловості шляхом прискорення її реструктуризації, технічної модернізації та фінансового оздоровлення. Необхідно тимчасово істотно збільшити бюджетне фінансування галузі, щоб на порозі вступу до ЄС вона могла нормально функціонувати, надалі зменшуючи свою фінансову залежність від держбюджету. Було б небажано, щоб, інтегруючись до ЄС, України була змушена відмовитися від наміченого нарощування і тим більше піти на зменшення обсягів виробництва вугільної продукції, так як це створило б певні загрози для її енергетичної безпеки.
Таким чином, представляється доцільним розробити, та затвердити Міністерством палива та енергетики або Кабінетом Міністрів України низку порматівно-правових документів, у яких викладені питання знайшли б своє рішення. Оптимізаційні методи і Економіко-математичні моделі РЕСТРУКТУРИЗАЦІЇ ВУГІЛЬНОЇ ПРОМИСЛОВОСТІ

Література
1. Дорохов В. А., Шевцов Н. Р., Фам Ван Лам. Сучасний стан сзакритіем шахт у вугільній галузі Україна / Збірник праць кафедри СШ ІПС, ДонНТУ - Донецьк, 2001
2. Шевцов Н. Р. Сучасний стан та перспективи розвитку проблемизакритія шахт / Збірник праць кафедри СШ і ПС, ДонНТУ - Донецьк, 2001
3. Крушевський А. В. Довідник з економіко-математичних моделей і методу. - Київ: Техніка, 1982. - 208с.
4. Агафонов Г.В., Орєхова Л.М., Санєєв Б.Г., Соколов А.Д. Методи і моделі оптимізації розвитку систем вугільної промисловості / / Бєляєв Л.С., Воропай Н.І., Кононов Ю.Д. та ін Методи дослідження і управління системами енергетики / За ред. Меренкова А.П. і Руденко Ю.М. - Новосибірськ, Наука, 1987, - 476c.
5. Агафонов Г.В., Орєхова Л.М., Попов С.П., Соколов А.Д. Автоматизоване робоче місце дослідника перспектив розвитку вугільних басейнів / / Технологія програмування 90-х: Тез. міжнар. конференції-ярмарку. - Київ, 1991. - С. 140-141.