Кафедра: Соціологія і Обществознание
Реферат
на тему: "Властивості функцій переваги"
Введення
Представляється, що насправді причинний залежність швидше зворотна: рівень якості життя визначає більшість демографічних характеристик від народжуваності, здоров'я, захворюваності і т. д. до смертності. Таким чином, завдання ставиться так: визначити значення аргументу - рівня якості життя, знаючи багато значень однієї функції від різних аргументів - значень цих рівнів. Але поки завдання сильно спрощена, тому що якість життя пов'язане також з екологічною ситуацією, забезпеченістю населення різного гатунку благами, нарешті, з політичною ситуацією. Але всі зазначені фактори і досить неясні, розпливчасті залежності люди відчувають і виявляють у своїй поведінці, вибираючи, наприклад, при переходах кращі умови (якість) життя.
Одним із проявів такого вибору є рух населення в будь-яких його формах: механічних, соціальних, професійних і т. д., коли люди переходять з групи в групу, «голосуючи ногами» за кращу якість життя, вибираючи краще з пропонованих ім. Таким чином, рух населення може служити основою для виявлення багатьох характеристик груп, у тому числі і якості життя в них. Тому необхідно, в першу чергу якщо розвивати висловлену точку зору, виявити залежність переваг, яка виявляється в рухливості як усього населення, так і, перш за все, окремої людини, від залежних їм характеристик x, і можливостей його вибору y.
Якщо не буде обумовлено протилежне, далі завжди буде передбачатися, що людина x належить до групи i, а пропоноване йому місце y, знаходиться в групі j. Але перш ніж рухатися далі, потрібно відзначити зв'язок переваг людей і ймовірностей (інтенсивностей) їх пересувань, які також як переваги самі не спостерігаються, але для оцінки імовірності вже є підходи, що включають методи статистики руху людських ресурсів, взагалі, і робочої сили, зокрема.
Очевидно, якщо немає людей, що володіють умовами x в групі i і віддають перевагу умови y у групі j, то немає і переходів з i в j. Отже, при y гірших, ніж x ймовірність (інтенсивність) переходу з i в j дорівнює 0, тобто як ймовірність переходу, так і переваги людей залежать від x і y. Більш того, чим вище переваги, тим більше інтенсивність переходу, тому останні або пропорційні першим, або залежать від них монотонно зростаючим чином. Отже, слід починати з дослідження функцій переваги, а потім переходити до виду залежності вірогідності або інтенсивностей від цих переваги. Уточненню виду функцій переваги окремої людини буде присвячено подальше дослідження цієї глави.
1. Основні припущення
Далі для ясності викладу матеріалу будемо використовувати досить гладку функцію переваги f (x, y), тобто не лише безперервну, але і безупинно диференційовану, якщо це необхідно, стільки разів, скільки це здасться потрібними. За остаточним результату будемо судити наскільки обгрунтовані початкові припущення, так як перегони в результатах можуть виникати не тільки через відсутність безперервності функції, а й з-за дискретності використовуваних значень аргументів.
До цих пір ніде не підкреслювалося, що різні люди можуть реагувати на фактори рухливості по різному. тому функції привабливості, що фігурують у всіх наступних співвідношеннях, можуть бути у різних людей різні. При практичних розрахунках функції привабливості зазвичай параметризують. Щоб параметри не змінювалися від людини до людини їх вважають однаковими, виправдано чи ні вважаючи, що вся залежність від конкретної людини вже закладена в чинники x, тобто виконано наступне припущення.
Гіпотеза 1 (про збіг). Всі люди реагують на фактори y, що визначають їх умови життя і роботи, подібним чином, тобто переваги залежать від самої людини тільки через x, тому, залежність функції привабливості f (x, y) від факторів x і y для всіх людей і груп однакова.
Перша група припущень, придатних для уточнення виду функції переваги по суті справи вже була описана, коли розглядалися заходи добробуту (або бідності) суспільства. По-перше, при інших незмінних умов зі збільшенням значення будь-якого фактора, скажімо, x s, - зарплати або доходу, на старому місці x переваги будь-якого іншого місця зменшуються. Цей принцип, що стосується індивідуальних (не виробничих) потреб людини або домогосподарства давно відомий народної мудрості: «від добра - добра не шукають». Математично він означає, що ефективність фактора x s негативна, або формально -
По-друге, передбачається, що спадання переваг з зростанням x загасає - відбувається насичення індивідуальних потреб [1]. Цей принцип (припущення) призводить до зниження ефективності дії фактора x s при його збільшенні, тобто математично
Однак, поки залишимо розвиток цих досить загальних припущень до майбутнього і зупинимося на деяких більш конкретних, а тому і приватних питаннях другої групи.
Розглянемо два місця роботи або проживання, перше з яких надає займає його індивіду набір x, а друге - y. Тоді перевагу нового місця y людиною, що знаходиться на старому x, дорівнюватиме f (x, y). Нехай набір y змінився через збільшення на dy s компоненти y s, скажімо доходу, а всі інші компоненти залишилися на колишньому рівні. Тоді відбулася зміна у перевазі на величину df (x, y). Перевага і пов'язану з нею інтенсивність можна повернути на колишній рівень (тобто зробити df (x, y) = 0), змінивши компоненту x s набору x на величину dx s, тобто збільшивши дохід x s на старому місці x.
Основне припущення полягає в тому, що який би не був набір умов x і y зміна однієї з компонент dy s (наприклад, доходу) на новому місці може бути відшкодовано зміною тієї ж самої компоненти (доходу) dx s на старому так, що зміни в перевагу не буде. При цьому зміна доходу на старому місці dx s пропорційно зміні доходу на новому dy s, що очевидно. Припустимо додатково, що коефіцієнт пропорційності залежить лише від рівнів доходу x 1 на старому і y s на новому місцях особливим чином.
Дійсно, оскільки df (x, y) =
Гіпотеза 2 (про самовозмещеніі). Уподобання та інтенсивності переходу не змінюються при пропорційній зміні умов з коефіцієнтами пропорційності, залежними тільки від рівнів самих умов x s і y s для будь-яких s.
2. Уточнення виду залежності
Далі будуть наведені деякі визначення і те, що з них випливає для більшої визначеності функції привабливості.
Математично в припущенні про збіг частина, що стосується пропорційності зміни умов dx s і dy s, означає, що
де через 'позначено диференціювання.
З справедливості гіпотези 2, тобто з незмінності інтенсивностей переходу при виконанні (2.1), випливає, що функції переваги для аргументів з індексом s задовольняють рівнянням
де індекс s у функцій j »і y» з'явився через те, що коефіцієнти пропорційності в гіпотезі 2 можуть бути різними для різних умов, тобто залежати від самого умови, отже, і від його номера s. Різні функції f і y підкреслюють лише те, що ставлення до «журавлю в небі» - y інше, ніж до «синицю в руках» - x.
Рішенням диференціального рівняння (2.2), якщо (2.1) справедливо для будь-якого s, буде довільна дифференцируемая функція F від m аргументів z s (s = 1,2, ..., m), де замість аргументів стоять різниці f s (x s) - y s (y s), тобто
f (x, y) = F [y 1 (y 1) - f 1 (x 1), y 2 (y 2) - f 2 (x s), ¼, y m (y m) - f m (x m)]. (2.3)
Крім того, з (2.3) слід виконання гіпотези 1 про збіг. Отже, справедливо наступне твердження.
Теорема 1. Для виконання гіпотез 1 і 2 (тобто співвідношень (2.1) та (2.2) незалежність усіх функцій з них від людини) необхідно і достатньо, щоб функція привабливості мала вигляд (2.3)
Зауваження. Легко послабити вимога гіпотези 1, вважаючи, вона справедлива лише для людей кожної групи i. Для цього потрібно врахувати залежність всіх довільних функцій F, f і y від групи, додавши до них ще індекс i. Крім того, вже згадувалося монотонно зростаюча перетворення функції привабливості, що переводить переваги в інтенсивності переходу, що може залежати від групи, що містить людини x. Це далі використовується перетворення також еквівалентно додаванню індексу i, який відображає вплив групи, але лише на функцію F.
Результат теореми говорить лише про те, що гіпотези 1 і 2 еквівалентні співвідношенню (2.3). Якщо ж функцію привабливості неможливо привести до такого виду, то, значить, одна з гіпотез несправедлива, але залишається не ясним, що потрібно правити. Слабкою втіхою служить і те, що всі використовувані на практиці функції легко приводяться до виду (2.3) підбором перетворень факторів f і y функції F.
Таким чином, виконання вимог такої взаємодії факторів, яке виражається гіпотезою 2 про самовозмещеніі, дозволяє ще більше уточнити функцію переваги (привабливості). Але це уточнення означає тільки, що завжди можна залишити тієї ж самої привабливість нової групи, що виникла через зміни в ній будь-якого фактора, зміною того ж самого фактора в старій. Проте залишається відкритим питання про вирівнювання привабливості через зміни одного фактора, наприклад, доходу шляхом зміни інших факторів, наприклад, екологічних та житлових умов. У даному випадку все залежить від виду довільної функції F (z 1, z 2, ...., Z m), яка визначає привабливість (перевага).
Якщо ж завідомо ясно, що всі фактори x (і, відповідно, y) можна розділити на кілька сукупностей так, що ефективність дії на переваги окремої людини факторів з однієї не схильні до впливу чинників з іншої, то виникає завдання: чи може таке властивість незалежності ефективності факторів з однієї сукупності від значень з іншої (або коротше незалежності по ефективності) дати можливість уточнити функцію переваги. Не зменшуючи спільності, можна почати з двох сукупностей x = (x 1, x 2) (y = (y 1, y 2)). Потім, розбиваючи при можливості одну з них на дві частини, отримаємо три сукупності і так далі.
Прикладом можливості розбиття факторів на дві сукупності можуть бути такі: перша - екологічні показники, друга - показники кримінальної обстановки. Дійсно, хіба може вплинути на ефективність дії чистоти (або забрудненості) води на переваги окремої людини, величина іншого чинника - кількості розкрадань автомобілів. І, навпаки, ефективність дії такого параметра, як кількість автомобільних крадіжок, навряд чи може змінитися через збільшення або зменшення забрудненості води. Іншими словами, чистота води і кількість автомобільних крадіжок не змінюють силу впливу (ефективність) один одного на привабливість, хоча і впливають на переваги окремої людини.
Визначення. Сукупності факторів x 1 (y 1) і x 2 (y 2), що утворюють повний набір x = (x 1, x 2) [y = (y 1, y 2)], незалежні по ефективності, якщо величина зміни привабливості при зміні факторів одного сукупності не залежать від значень факторів інший.
Математично незалежність по ефективності означає, що
Теорема 2. Розбиття факторів x та y, на дві сукупності (x 1, x 2) [x = (x 1, x 2)] і (y 1, y 2) [y = (y 1, y 2)] незалежних по ефективності, існує тоді і тільки
тоді, коли функція привабливості
f (x, y) = F 1 (x 1, y 1) + F 2 (x 2, y 2). (2.5)
Наслідок 1. Всі фактори x (y) незалежні по ефективності тоді і тільки тоді, коли
f (x, y) =
Достатність умов (2.5) і (2.6) теореми 2 і слідства 1 для виконання (2.4) перевіряється простим диференціюванням, а необхідність (2.4) випливає з рішень системи диференціальних рівнянь (2.4) в приватних похідних, які мають загальний вигляд, наведений в (2.5 ). Співвідношення (2.6) виходить з (2.5), у разі, коли спочатку відщеплюється x 1 (y 1) як безлічі G 1, потім з залишився безлічі G 2 виділяється x 2 (y 2) і т. д. поки в G 2 не залишається один останній фактор x m (y m).
Наслідок 2. Для незалежних по ефективності факторів гіпотези 1 про збіг і 2 про самовозмещеніі виконані, коли
f (x, y) =
і, навпаки, з (2.7) випливає, що справедлива гіпотеза 1, всі фактори x (y) незалежні за ефективністю і для будь-якого з них виконана гіпотеза 2.
3. Приклади конкретних функцій. Теорема 1 і слідства 1 і 2 дозволяє обмежити клас функцій привабливості від факторів, які на практиці або просто рівні. або пропорційні интенсивностям переходу l ij. Розберемо декілька прикладів, у яких буде розглянуто попарне зміну факторів, незалежно від значень всіх інших, передбачуваних фіксованими.
Приклад 1. Нехай привабливості, пропорційні интенсивностям переходу, не змінюються, якщо чинники x 1 і y 1. змінюються на одну і ту ж величину. Тоді з гіпотези 2, точніше з (2.1) випливає, що dx 1 = dy 1. Звідки виходить.
Приклад 2. Нехай фактори x 2 і y 2 в деяких двох групах, наприклад, галузях економіки, змінюються так, що їх відносні збільшення dx 2 / x 2 і dy 2 / y 2 однакові, тобто dx 2 / x 2 = dy 2 / y 2, і при цьому не змінюється привабливість галузі, пропонує умови y для людини, що знаходиться на рівні x. Тоді привабливості переходів між ними l ij залежать лише від ставлення факторів y 2 / x 2. Це випливає з того, що з гіпотези 2 отримуємо y '2 (z) =
Приклад 3. Якщо незмінні переваги, що визначають інтенсивності переходу, при відношенні приростів факторів x 3 та y 3, назад пропорційних до відношення рівнів, ними вже досягнутих, тобто dx 3 / dy 3 = 1 / (x 3 / y 3) або x 3 dx 3 = y 3 dy 3. Тоді з умови (2.1) гіпотези 2 слід, що y '3 =
Приклад 4. Нехай m = 3 і функції F l (l = 1,2,3), фігурують слідстві 2, лінійні, тобто F l (z) = a l + b l z. Якщо для теореми 1 F (z) = a + b T z, тоді результуючі функції F від трьох аргументів і для слідства 2 і для теореми 1 збігаються та є рівними
Реферат
на тему: "Властивості функцій переваги"
Введення
Представляється, що насправді причинний залежність швидше зворотна: рівень якості життя визначає більшість демографічних характеристик від народжуваності, здоров'я, захворюваності і т. д. до смертності. Таким чином, завдання ставиться так: визначити значення аргументу - рівня якості життя, знаючи багато значень однієї функції від різних аргументів - значень цих рівнів. Але поки завдання сильно спрощена, тому що якість життя пов'язане також з екологічною ситуацією, забезпеченістю населення різного гатунку благами, нарешті, з політичною ситуацією. Але всі зазначені фактори і досить неясні, розпливчасті залежності люди відчувають і виявляють у своїй поведінці, вибираючи, наприклад, при переходах кращі умови (якість) життя.
Одним із проявів такого вибору є рух населення в будь-яких його формах: механічних, соціальних, професійних і т. д., коли люди переходять з групи в групу, «голосуючи ногами» за кращу якість життя, вибираючи краще з пропонованих ім. Таким чином, рух населення може служити основою для виявлення багатьох характеристик груп, у тому числі і якості життя в них. Тому необхідно, в першу чергу якщо розвивати висловлену точку зору, виявити залежність переваг, яка виявляється в рухливості як усього населення, так і, перш за все, окремої людини, від залежних їм характеристик x, і можливостей його вибору y.
Якщо не буде обумовлено протилежне, далі завжди буде передбачатися, що людина x належить до групи i, а пропоноване йому місце y, знаходиться в групі j. Але перш ніж рухатися далі, потрібно відзначити зв'язок переваг людей і ймовірностей (інтенсивностей) їх пересувань, які також як переваги самі не спостерігаються, але для оцінки імовірності вже є підходи, що включають методи статистики руху людських ресурсів, взагалі, і робочої сили, зокрема.
Очевидно, якщо немає людей, що володіють умовами x в групі i і віддають перевагу умови y у групі j, то немає і переходів з i в j. Отже, при y гірших, ніж x ймовірність (інтенсивність) переходу з i в j дорівнює 0, тобто як ймовірність переходу, так і переваги людей залежать від x і y. Більш того, чим вище переваги, тим більше інтенсивність переходу, тому останні або пропорційні першим, або залежать від них монотонно зростаючим чином. Отже, слід починати з дослідження функцій переваги, а потім переходити до виду залежності вірогідності або інтенсивностей від цих переваги. Уточненню виду функцій переваги окремої людини буде присвячено подальше дослідження цієї глави.
1. Основні припущення
Далі для ясності викладу матеріалу будемо використовувати досить гладку функцію переваги f (x, y), тобто не лише безперервну, але і безупинно диференційовану, якщо це необхідно, стільки разів, скільки це здасться потрібними. За остаточним результату будемо судити наскільки обгрунтовані початкові припущення, так як перегони в результатах можуть виникати не тільки через відсутність безперервності функції, а й з-за дискретності використовуваних значень аргументів.
До цих пір ніде не підкреслювалося, що різні люди можуть реагувати на фактори рухливості по різному. тому функції привабливості, що фігурують у всіх наступних співвідношеннях, можуть бути у різних людей різні. При практичних розрахунках функції привабливості зазвичай параметризують. Щоб параметри не змінювалися від людини до людини їх вважають однаковими, виправдано чи ні вважаючи, що вся залежність від конкретної людини вже закладена в чинники x, тобто виконано наступне припущення.
Гіпотеза 1 (про збіг). Всі люди реагують на фактори y, що визначають їх умови життя і роботи, подібним чином, тобто переваги залежать від самої людини тільки через x, тому, залежність функції привабливості f (x, y) від факторів x і y для всіх людей і груп однакова.
Перша група припущень, придатних для уточнення виду функції переваги по суті справи вже була описана, коли розглядалися заходи добробуту (або бідності) суспільства. По-перше, при інших незмінних умов зі збільшенням значення будь-якого фактора, скажімо, x s, - зарплати або доходу, на старому місці x переваги будь-якого іншого місця зменшуються. Цей принцип, що стосується індивідуальних (не виробничих) потреб людини або домогосподарства давно відомий народної мудрості: «від добра - добра не шукають». Математично він означає, що ефективність фактора x s негативна, або формально -
По-друге, передбачається, що спадання переваг з зростанням x загасає - відбувається насичення індивідуальних потреб [1]. Цей принцип (припущення) призводить до зниження ефективності дії фактора x s при його збільшенні, тобто математично
Однак, поки залишимо розвиток цих досить загальних припущень до майбутнього і зупинимося на деяких більш конкретних, а тому і приватних питаннях другої групи.
Розглянемо два місця роботи або проживання, перше з яких надає займає його індивіду набір x, а друге - y. Тоді перевагу нового місця y людиною, що знаходиться на старому x, дорівнюватиме f (x, y). Нехай набір y змінився через збільшення на dy s компоненти y s, скажімо доходу, а всі інші компоненти залишилися на колишньому рівні. Тоді відбулася зміна у перевазі на величину df (x, y). Перевага і пов'язану з нею інтенсивність можна повернути на колишній рівень (тобто зробити df (x, y) = 0), змінивши компоненту x s набору x на величину dx s, тобто збільшивши дохід x s на старому місці x.
Основне припущення полягає в тому, що який би не був набір умов x і y зміна однієї з компонент dy s (наприклад, доходу) на новому місці може бути відшкодовано зміною тієї ж самої компоненти (доходу) dx s на старому так, що зміни в перевагу не буде. При цьому зміна доходу на старому місці dx s пропорційно зміні доходу на новому dy s, що очевидно. Припустимо додатково, що коефіцієнт пропорційності залежить лише від рівнів доходу x 1 на старому і y s на новому місцях особливим чином.
Дійсно, оскільки df (x, y) =
Гіпотеза 2 (про самовозмещеніі). Уподобання та інтенсивності переходу не змінюються при пропорційній зміні умов з коефіцієнтами пропорційності, залежними тільки від рівнів самих умов x s і y s для будь-яких s.
2. Уточнення виду залежності
Далі будуть наведені деякі визначення і те, що з них випливає для більшої визначеності функції привабливості.
Математично в припущенні про збіг частина, що стосується пропорційності зміни умов dx s і dy s, означає, що
де через 'позначено диференціювання.
З справедливості гіпотези 2, тобто з незмінності інтенсивностей переходу при виконанні (2.1), випливає, що функції переваги для аргументів з індексом s задовольняють рівнянням
де індекс s у функцій j »і y» з'явився через те, що коефіцієнти пропорційності в гіпотезі 2 можуть бути різними для різних умов, тобто залежати від самого умови, отже, і від його номера s. Різні функції f і y підкреслюють лише те, що ставлення до «журавлю в небі» - y інше, ніж до «синицю в руках» - x.
Рішенням диференціального рівняння (2.2), якщо (2.1) справедливо для будь-якого s, буде довільна дифференцируемая функція F від m аргументів z s (s = 1,2, ..., m), де замість аргументів стоять різниці f s (x s) - y s (y s), тобто
f (x, y) = F [y 1 (y 1) - f 1 (x 1), y 2 (y 2) - f 2 (x s), ¼, y m (y m) - f m (x m)]. (2.3)
Крім того, з (2.3) слід виконання гіпотези 1 про збіг. Отже, справедливо наступне твердження.
Теорема 1. Для виконання гіпотез 1 і 2 (тобто співвідношень (2.1) та (2.2) незалежність усіх функцій з них від людини) необхідно і достатньо, щоб функція привабливості мала вигляд (2.3)
Зауваження. Легко послабити вимога гіпотези 1, вважаючи, вона справедлива лише для людей кожної групи i. Для цього потрібно врахувати залежність всіх довільних функцій F, f і y від групи, додавши до них ще індекс i. Крім того, вже згадувалося монотонно зростаюча перетворення функції привабливості, що переводить переваги в інтенсивності переходу, що може залежати від групи, що містить людини x. Це далі використовується перетворення також еквівалентно додаванню індексу i, який відображає вплив групи, але лише на функцію F.
Результат теореми говорить лише про те, що гіпотези 1 і 2 еквівалентні співвідношенню (2.3). Якщо ж функцію привабливості неможливо привести до такого виду, то, значить, одна з гіпотез несправедлива, але залишається не ясним, що потрібно правити. Слабкою втіхою служить і те, що всі використовувані на практиці функції легко приводяться до виду (2.3) підбором перетворень факторів f і y функції F.
Таким чином, виконання вимог такої взаємодії факторів, яке виражається гіпотезою 2 про самовозмещеніі, дозволяє ще більше уточнити функцію переваги (привабливості). Але це уточнення означає тільки, що завжди можна залишити тієї ж самої привабливість нової групи, що виникла через зміни в ній будь-якого фактора, зміною того ж самого фактора в старій. Проте залишається відкритим питання про вирівнювання привабливості через зміни одного фактора, наприклад, доходу шляхом зміни інших факторів, наприклад, екологічних та житлових умов. У даному випадку все залежить від виду довільної функції F (z 1, z 2, ...., Z m), яка визначає привабливість (перевага).
Якщо ж завідомо ясно, що всі фактори x (і, відповідно, y) можна розділити на кілька сукупностей так, що ефективність дії на переваги окремої людини факторів з однієї не схильні до впливу чинників з іншої, то виникає завдання: чи може таке властивість незалежності ефективності факторів з однієї сукупності від значень з іншої (або коротше незалежності по ефективності) дати можливість уточнити функцію переваги. Не зменшуючи спільності, можна почати з двох сукупностей x = (x 1, x 2) (y = (y 1, y 2)). Потім, розбиваючи при можливості одну з них на дві частини, отримаємо три сукупності і так далі.
Прикладом можливості розбиття факторів на дві сукупності можуть бути такі: перша - екологічні показники, друга - показники кримінальної обстановки. Дійсно, хіба може вплинути на ефективність дії чистоти (або забрудненості) води на переваги окремої людини, величина іншого чинника - кількості розкрадань автомобілів. І, навпаки, ефективність дії такого параметра, як кількість автомобільних крадіжок, навряд чи може змінитися через збільшення або зменшення забрудненості води. Іншими словами, чистота води і кількість автомобільних крадіжок не змінюють силу впливу (ефективність) один одного на привабливість, хоча і впливають на переваги окремої людини.
Визначення. Сукупності факторів x 1 (y 1) і x 2 (y 2), що утворюють повний набір x = (x 1, x 2) [y = (y 1, y 2)], незалежні по ефективності, якщо величина зміни привабливості при зміні факторів одного сукупності не залежать від значень факторів інший.
Математично незалежність по ефективності означає, що
Теорема 2. Розбиття факторів x та y, на дві сукупності (x 1, x 2) [x = (x 1, x 2)] і (y 1, y 2) [y = (y 1, y 2)] незалежних по ефективності, існує тоді і тільки
тоді, коли функція привабливості
f (x, y) = F 1 (x 1, y 1) + F 2 (x 2, y 2). (2.5)
Наслідок 1. Всі фактори x (y) незалежні по ефективності тоді і тільки тоді, коли
f (x, y) =
Достатність умов (2.5) і (2.6) теореми 2 і слідства 1 для виконання (2.4) перевіряється простим диференціюванням, а необхідність (2.4) випливає з рішень системи диференціальних рівнянь (2.4) в приватних похідних, які мають загальний вигляд, наведений в (2.5 ). Співвідношення (2.6) виходить з (2.5), у разі, коли спочатку відщеплюється x 1 (y 1) як безлічі G 1, потім з залишився безлічі G 2 виділяється x 2 (y 2) і т. д. поки в G 2 не залишається один останній фактор x m (y m).
Наслідок 2. Для незалежних по ефективності факторів гіпотези 1 про збіг і 2 про самовозмещеніі виконані, коли
f (x, y) =
і, навпаки, з (2.7) випливає, що справедлива гіпотеза 1, всі фактори x (y) незалежні за ефективністю і для будь-якого з них виконана гіпотеза 2.
3. Приклади конкретних функцій. Теорема 1 і слідства 1 і 2 дозволяє обмежити клас функцій привабливості від факторів, які на практиці або просто рівні. або пропорційні интенсивностям переходу l ij. Розберемо декілька прикладів, у яких буде розглянуто попарне зміну факторів, незалежно від значень всіх інших, передбачуваних фіксованими.
Приклад 1. Нехай привабливості, пропорційні интенсивностям переходу, не змінюються, якщо чинники x 1 і y 1. змінюються на одну і ту ж величину. Тоді з гіпотези 2, точніше з (2.1) випливає, що dx 1 = dy 1. Звідки виходить.
Приклад 2. Нехай фактори x 2 і y 2 в деяких двох групах, наприклад, галузях економіки, змінюються так, що їх відносні збільшення dx 2 / x 2 і dy 2 / y 2 однакові, тобто dx 2 / x 2 = dy 2 / y 2, і при цьому не змінюється привабливість галузі, пропонує умови y для людини, що знаходиться на рівні x. Тоді привабливості переходів між ними l ij залежать лише від ставлення факторів y 2 / x 2. Це випливає з того, що з гіпотези 2 отримуємо y '2 (z) =
Приклад 3. Якщо незмінні переваги, що визначають інтенсивності переходу, при відношенні приростів факторів x 3 та y 3, назад пропорційних до відношення рівнів, ними вже досягнутих, тобто dx 3 / dy 3 = 1 / (x 3 / y 3) або x 3 dx 3 = y 3 dy 3. Тоді з умови (2.1) гіпотези 2 слід, що y '3 =
Приклад 4. Нехай m = 3 і функції F l (l = 1,2,3), фігурують слідстві 2, лінійні, тобто F l (z) = a l + b l z. Якщо для теореми 1 F (z) = a + b T z, тоді результуючі функції F від трьох аргументів і для слідства 2 і для теореми 1 збігаються та є рівними
F (z 1, z 2, z 3) = a + b 1 z 1 + b 2 z 2 + b 3 z 3.
де для слідства 2 a = a 1 + a 2 + a 3. а) Припустимо, що всі фактори задовольняють прикладу 1. Тоді, якщо факторами x людина володіє в групі i, а чинники y йому запропоновані у групі j, то інтенсивність його переходу на нове місце буде пропорційна
f (x, y) = a + b 1 (y 1 - x 1) + b 2 (y 2 - x 2) + b 3 (y 3 - x 3).
б) Якщо ж перший фактор задовольняє прикладу 1, другий - наприклад 2, а третій - прикладу 3, то інтенсивність переходів однаково відносяться чинності гіпотези 1 до благ-факторам людей їх груп i до групи j буде
l ij μ f (x, y) = a + b 1 (y 1 - x 1) + b 2 ln (y 2 / x 2) + b 3 (y
Приклад 5. Нехай m = 3 і всі три фактори задовольняють прикладу 2, а функція фігурує в теоремі 1 така
F (z 1, z 2, z 3) = exp (a + b 1 z 1 + b 2 z 2 + b 3 z 3).
Тим самим передбачається, що немає незалежності щодо ефективності (див. завдання 2). Тоді інтенсивності l ij переходів пропорційні таких функцій від факторів:
f (x, y) = exp [a + b 1 ln (y 1 / x 1) + b 2 ln (y 2 / x 2) + b 3 (ln (y 3 / x 3)] =
= A
де A = e a. Очевидно, що в цьому прикладі зміни інтенсивностей переходів l ij і переваг при зміні якого-небудь одного фактора x l або y l (l = 1,2,3) залежить від значень всіх інших факторів, хоча співвідношення ( 2.1) виконано, а, отже, справедливість гіпотези 2 не порушена.
У всіх прикладах гіпотеза 1 виконана, тому що всі коефіцієнти a, A, і b i НЕ залежать від групи, до якої віднесено людина, що володіє набором благ x. Більш того, звернемо увагу на те, що в прикладах ніде не враховувалося розходження в коефіцієнтах пропорційності f і y збільшень чинників-благ. Таким чином, набір функцій від факторів, які відповідають умовам гіпотез 1 і 2 вельми широкий.
Завдання.
1. Нехай I (y 1, y 2) - індикатор вікового інтервалу (y 1, y 2), де початок і кінець - вік людини (повне число років), тобто функція від віку z, що дорівнює 1 при y 1, <z <y 2. і 0 у інших випадках. Нехай C означає, що «потрібен поп», B - «потрібна попадя, A -« потрібна попова дочка ». Функція F (z) = A · I (18,30) + B · I (0,7) + C · I (60,100). Відповідайте на питання з приказки: «кому потрібен поп? кому попадя? кому попова дочка? », виражені останнім співвідношенням.
2. Перевірте, що ефективності дії факторів на функцію привабливості з прикладу 2 залежить від усіх інших параметрів
3. Нехай z = (y - x) і вектори-стовпці y і x розділені на два подвектора y 1, y 2 і x 1, x 2 так, що вектор z існує і дорівнює [(y 1 - x 1) T, (y 2 - x 2) T] T = (z 1, z 2). Якщо матриці A 1 і A 2 такі, що z T Az існує і A =
Довідки та посилання
Слід зазначити, що фактори в існуючих для практичних застосувань моделей руху населення завжди задовольняють умовам гіпотез 1 і 2, а деякі з них ще й незалежні по ефективності. Так, вид функції з прикладу 4 а) зустрічався в роботі [Бородкін і Соболєва], а перші два доданки з прикладу 4 б) використовувалися, правда трохи в іншій ситуації, в роботі [Rogers]. Вигляд цих залежностей, званий часто економістами моделями, вказує на те, що передбачається, згодні всі з цим чи ні, виконання умов гіпотез 1, 2 і всі задовольняють прикладу 1 фактори незалежні по ефективності. Останнє твердження обгрунтовано безпосередньо наслідком 2 і тими функціями регресії, які використовувалися в згаданих роботах.
Більш складна модель залежності рухливості людей від благ-факторів на старому та новому місцях - функція з прикладу 5 для більшого числа чинників - застосовувалася роботі [Матлин]. Для неї виконані умови гіпотез 1 і 2, що випливає з теореми 1, але ефективності всіх чинників залежать від рівня інших.
Дослідники рухливості населення завжди вводили функції привабливості одних умов (скажімо, майбутніх) в порівнянні з іншими (наприклад, вже наявними у людини) тільки з змістовних міркувань. Більше того, ці міркування завжди були обмежені можливістю оцінки впливу окремих факторів на саму привабливість, так як хотілося якомога швидше отримати вплив зміни кожного чинника на потоки і управляти ними. У цьому розділі зроблена спроба, з теоретичних позицій, осмислити постійно використовувані функції, приклади яких наведено. Тому при введенні загальних функцій з'являється можливість появи гістерезису в часі, коли людина не приживається на новому місці, про що починають говорити демографи.
Література
1. Бартоломью Д. Стохастичні моделі соціальних процесів. Вид. «Фінанси та статистика», Москва, 1985 р.
2. Бідність: альтернативні підходи до визначення і виміру. Cornegie Endowment for International Peace. М. 1998
3. Бєлкіна Т.А., Льовочкіна М.С. Дослідження моделі оптимального управління недержавним пенсійним фондом. У збірнику «Математичні моделі економіки». Вид. МГІЕМ, 2002
4. Борокін Ф.М., С.В. Соболєва. Прогнозування міграції та чисельності населення системою диференціальних рівнянь. Збірник Математичні методи в соціології. Новосибірськ, 1974 т.
5. Бреєв Б.Д. Старовірів О.В. Про один метод обліку факторів у русі населення. «Економіка і математичні методи», № 1, 1979 р.
6. Гаврилець Ю.М. Компроміс інтересів і справедливість в оплаті праці (модельний аналіз). «Економіка і математичні методи», том 28, випуск 1. 1992
7. Гаврилець Ю.М. Модель рівноважного функціонування економіки зі змінною структурою населення. «Економіка і математичні методи», тому 30, вип. 2, 1994 р.
8. Гегель Г. Політичні твори, Вид. «Наука». М. 1978
9. 12. Гончаренко А.Б., Старовірів О.В. Рухливість населення і якість життя. Економіка і математичні методи. Том 37, випуск 1. М. 2002
10. Зайончковська Ж.А. Новосели у містах (методи вивчення рухливості). «Статистика», М. 1974
11. Заславська Т.І., Ривкіна Р. В. Соціологія економічного життя. Вид. «Наука», Новосибірськ, 1991 р.
12. Ізард У. Методи регіонального аналізу: введення в науку про регіони. М.: «Прогрес», 1966.
13. Кемкеі Снелл. Кібернетичному моделювання. Вид. «Рад. Радіо », М. 1972 г.
14. Кендалл М.Дж.і А. Стьюарт Теорія розподілів «Наука», М: 1966 р.
15. Колмогоров А. Н. Теорія ймовірностей і математична статистика. Вид. «Наука», М. 1986
16. Култигін В. П. Класична соціологія. Вид. «Наука», М. 2000
17. Леман Е. Перевірка статистичних гіпотез. «Наука». М: 1964 р.
18. Матлин І.С. «Моделювання розміщення населення». Вид. «Наука», М.1975 р.
19. Міграція населення (редактор Воробйова О.Д.). Вид. Міністерства у справах федерації, національної та міграційної політики РФ. М. 2001
20. Моделювання соціальних процесів. Вид. РЕА ім. Плеханова, М.1993 р.
21. Нестерова Д., Сабірьянова К. Інвестиції в людський капітал у перехідний період у Росії. Науковий доповідь № 99-04, РПЕІ / Фонд Євразія, 1999.
22. Орлов О.І. Стійкість у соціально-економічних моделях. М: Вид. «Наука», 1979.
23. Рао С.Р. «Лінійні статистичні методи та їх застосування». «Наука», М: 1968 р.
24. Результати обстеження руху трудових ресурсів Латвійської РСР за 1973 рік, Рига, Центральне статистичне управління при Раді Міністрів Латвійської РСР, 1975.
25. Російські статистичні щорічники: Держкомстат Росії. - М.
26. Вересень Амартія. Про етику та економіці. Вид. «Наука», М. 1996 г.
27. Система знань про народонаселення (редактор Валенте Д.І.) «Вища школа», М. 1991 р.
28. Соболєва С.В. «Демографічні процеси в регіональному та соціально-еконо-ного розвитку». Вид. «Наука», Новосибірськ, 1998 р.
29. Сучасна демографія. Під ред. А.Я. Кваші, В.А. Іонцева. Вид. МДУ. 1995
30. Старовірів О.В. (1978). Складні фактори в моделях руху населення. Збірник Прикладної багатовимірний статистичний аналіз. «Наука», Москва.
31. Старовірів О.В. (1979) Моделі руху населення. Вид. «Наука» Москва.
32. Старовірів О.В. (1997). Умови життя і міжгрупових мобільність. Економіка і математичні методи. Том 33, вип. 4
33. Старовірів О.В. (1997) Ази математичної демографії. Вид. «Наука», М.
34. Старовірів О.В. (2003) Загальна модель руху населення. Праці міжнародної науково-практичної конференції з міграції населення та перспективам демографічного розвитку: Росії. Вид. ГУ ІМЕІ при МЕ, М.
35. Староверова Т.О. Про розподіл соціальної допомоги бідним. «Економіка і математичні методи». № 1, Москва, 2003 р.
36. Товстий зошит. Економічна школа. Випуск 2. СП б. 1992
37. Фіхтенгольц Г.Ф. Курс диференціального й інтегрального числення. Том I. Стор. 188-189.
38. Чапек В.М. та ін До питання про міграцію з Росії інтелектуальних ресурсів праці. У збірнику «Міжнародна конференція Міграція населення і перспективи демографічного розвитку Росії». Вид. ГУ ІМЕІ, М. 2003
39. Alonso W. Theory of Movements: Introduction. Berkley. Institute of Urban and Regional Development. University of California, 1976.
40. Atkinson A. On the Measurement of Poverty. Econometrica, 1987. Vol.55, No 4.
41. Bartholomew DJ (1982). Stochastic Models for Social Processes. J. Wiley. Chichester - New York.
42. Begg D, Fischer S, Dornbusch R. Economics. McGraw-Hill. London, New York, 1991
43. Bourguignon François. Decomposable Income Inequality Measures. Econometrica, v. 47, № 3. 1979.
44. Bourguignon F., G. Fields «Discontinuous loss from Poverty, generalized measures, and optimal transfers to the poor». XI the World Congress of IEA. Tunis, 18-22 December 1995.
45. Cossinus H. (1976). Quelque points de vue sur l'analyse des talleaux d'echauges. Annals de L'ISEE, N22-23.
46. Cowell F. Measures of Distribution Change: An Axiomatic Approach. The Review of Economic Studies, Vol. LII (1), No 168. 1985.
47. Dagum C. Inequality Measure between Income Distributions with Applications. Econommetrica, v. 48, N7, 1980
48. Isard W. (1960). Methods of Regional Analysis: an Introduction to Regional Science. New York.
49. Journal of Econometrics. V 42, № 1, за 1989 р.
50. Fields. Place-to-Place Migration: Some new Evidence. Review of Economics and Statistics. Vol. LXI, N1, 19879.
51. Foster JE, Shorrocks AF «Poverty Orderings». Econometrica, V.56, № 1, 1988.
52. Holmlund В. Labour Mobility. IUI, Stokholm, (1984).
53. Ravallion M. Poverty Comparison. Harwood Academic Publisher, 1992.
54. Ravenstein EG The Lows of Migration. Journal of the Royal Statistical Society. 1885 і 1889 роки, XLVIII і LII
55. Rogers A. Introduction to Mathematical Demography, John Willey, 1975.
56. Rosen S. Human Capital. In Handbook of Public Economics, Vol. 1. Ed. Auerbach and Feldstein, Amsterdam: North Holland. 1985
57. Sen A. Poverty; an Ordinal Approach to Measurement. Econometrica, 1976, No 2.
58. Shakhnovich R., Yudashkina G. Wage-Setting and Employment Behavior of Enterprises during the Period of Economic Transition. WP № 01-04, EERC. 2001
59. Shorrocks AF The class of Additively Decomposable Measures. Econometrica, v. 48, ¹ 3. 1980.
60. Shorrocks Antony «Notes end Comments Revisiting the Sen Poverty Index», Econometrica. Vol. 63, No 5. (September, 1995, pp 1225-1230.
61. Weidlich W., G. Haag (Eds), (1988). International Migration. Springer - Verlag, New York - London - Tokyo.
де для слідства 2 a = a 1 + a 2 + a 3. а) Припустимо, що всі фактори задовольняють прикладу 1. Тоді, якщо факторами x людина володіє в групі i, а чинники y йому запропоновані у групі j, то інтенсивність його переходу на нове місце буде пропорційна
f (x, y) = a + b 1 (y 1 - x 1) + b 2 (y 2 - x 2) + b 3 (y 3 - x 3).
б) Якщо ж перший фактор задовольняє прикладу 1, другий - наприклад 2, а третій - прикладу 3, то інтенсивність переходів однаково відносяться чинності гіпотези 1 до благ-факторам людей їх груп i до групи j буде
l ij μ f (x, y) = a + b 1 (y 1 - x 1) + b 2 ln (y 2 / x 2) + b 3 (y
Приклад 5. Нехай m = 3 і всі три фактори задовольняють прикладу 2, а функція фігурує в теоремі 1 така
F (z 1, z 2, z 3) = exp (a + b 1 z 1 + b 2 z 2 + b 3 z 3).
Тим самим передбачається, що немає незалежності щодо ефективності (див. завдання 2). Тоді інтенсивності l ij переходів пропорційні таких функцій від факторів:
f (x, y) = exp [a + b 1 ln (y 1 / x 1) + b 2 ln (y 2 / x 2) + b 3 (ln (y 3 / x 3)] =
= A
де A = e a. Очевидно, що в цьому прикладі зміни інтенсивностей переходів l ij і переваг при зміні якого-небудь одного фактора x l або y l (l = 1,2,3) залежить від значень всіх інших факторів, хоча співвідношення ( 2.1) виконано, а, отже, справедливість гіпотези 2 не порушена.
У всіх прикладах гіпотеза 1 виконана, тому що всі коефіцієнти a, A, і b i НЕ залежать від групи, до якої віднесено людина, що володіє набором благ x. Більш того, звернемо увагу на те, що в прикладах ніде не враховувалося розходження в коефіцієнтах пропорційності f і y збільшень чинників-благ. Таким чином, набір функцій від факторів, які відповідають умовам гіпотез 1 і 2 вельми широкий.
Завдання.
1. Нехай I (y 1, y 2) - індикатор вікового інтервалу (y 1, y 2), де початок і кінець - вік людини (повне число років), тобто функція від віку z, що дорівнює 1 при y 1, <z <y 2. і 0 у інших випадках. Нехай C означає, що «потрібен поп», B - «потрібна попадя, A -« потрібна попова дочка ». Функція F (z) = A · I (18,30) + B · I (0,7) + C · I (60,100). Відповідайте на питання з приказки: «кому потрібен поп? кому попадя? кому попова дочка? », виражені останнім співвідношенням.
2. Перевірте, що ефективності дії факторів на функцію привабливості з прикладу 2 залежить від усіх інших параметрів
3. Нехай z = (y - x) і вектори-стовпці y і x розділені на два подвектора y 1, y 2 і x 1, x 2 так, що вектор z існує і дорівнює [(y 1 - x 1) T, (y 2 - x 2) T] T = (z 1, z 2). Якщо матриці A 1 і A 2 такі, що z T Az існує і A =
Довідки та посилання
Слід зазначити, що фактори в існуючих для практичних застосувань моделей руху населення завжди задовольняють умовам гіпотез 1 і 2, а деякі з них ще й незалежні по ефективності. Так, вид функції з прикладу 4 а) зустрічався в роботі [Бородкін і Соболєва], а перші два доданки з прикладу 4 б) використовувалися, правда трохи в іншій ситуації, в роботі [Rogers]. Вигляд цих залежностей, званий часто економістами моделями, вказує на те, що передбачається, згодні всі з цим чи ні, виконання умов гіпотез 1, 2 і всі задовольняють прикладу 1 фактори незалежні по ефективності. Останнє твердження обгрунтовано безпосередньо наслідком 2 і тими функціями регресії, які використовувалися в згаданих роботах.
Більш складна модель залежності рухливості людей від благ-факторів на старому та новому місцях - функція з прикладу 5 для більшого числа чинників - застосовувалася роботі [Матлин]. Для неї виконані умови гіпотез 1 і 2, що випливає з теореми 1, але ефективності всіх чинників залежать від рівня інших.
Дослідники рухливості населення завжди вводили функції привабливості одних умов (скажімо, майбутніх) в порівнянні з іншими (наприклад, вже наявними у людини) тільки з змістовних міркувань. Більше того, ці міркування завжди були обмежені можливістю оцінки впливу окремих факторів на саму привабливість, так як хотілося якомога швидше отримати вплив зміни кожного чинника на потоки і управляти ними. У цьому розділі зроблена спроба, з теоретичних позицій, осмислити постійно використовувані функції, приклади яких наведено. Тому при введенні загальних функцій з'являється можливість появи гістерезису в часі, коли людина не приживається на новому місці, про що починають говорити демографи.
Література
1. Бартоломью Д. Стохастичні моделі соціальних процесів. Вид. «Фінанси та статистика», Москва, 1985 р.
2. Бідність: альтернативні підходи до визначення і виміру. Cornegie Endowment for International Peace. М. 1998
3. Бєлкіна Т.А., Льовочкіна М.С. Дослідження моделі оптимального управління недержавним пенсійним фондом. У збірнику «Математичні моделі економіки». Вид. МГІЕМ, 2002
4. Борокін Ф.М., С.В. Соболєва. Прогнозування міграції та чисельності населення системою диференціальних рівнянь. Збірник Математичні методи в соціології. Новосибірськ, 1974 т.
5. Бреєв Б.Д. Старовірів О.В. Про один метод обліку факторів у русі населення. «Економіка і математичні методи», № 1, 1979 р.
6. Гаврилець Ю.М. Компроміс інтересів і справедливість в оплаті праці (модельний аналіз). «Економіка і математичні методи», том 28, випуск 1. 1992
7. Гаврилець Ю.М. Модель рівноважного функціонування економіки зі змінною структурою населення. «Економіка і математичні методи», тому 30, вип. 2, 1994 р.
8. Гегель Г. Політичні твори, Вид. «Наука». М. 1978
9. 12. Гончаренко А.Б., Старовірів О.В. Рухливість населення і якість життя. Економіка і математичні методи. Том 37, випуск 1. М. 2002
10. Зайончковська Ж.А. Новосели у містах (методи вивчення рухливості). «Статистика», М. 1974
11. Заславська Т.І., Ривкіна Р. В. Соціологія економічного життя. Вид. «Наука», Новосибірськ, 1991 р.
12. Ізард У. Методи регіонального аналізу: введення в науку про регіони. М.: «Прогрес», 1966.
13. Кемкеі Снелл. Кібернетичному моделювання. Вид. «Рад. Радіо », М. 1972 г.
14. Кендалл М.Дж.і А. Стьюарт Теорія розподілів «Наука», М: 1966 р.
15. Колмогоров А. Н. Теорія ймовірностей і математична статистика. Вид. «Наука», М. 1986
16. Култигін В. П. Класична соціологія. Вид. «Наука», М. 2000
17. Леман Е. Перевірка статистичних гіпотез. «Наука». М: 1964 р.
18. Матлин І.С. «Моделювання розміщення населення». Вид. «Наука», М.1975 р.
19. Міграція населення (редактор Воробйова О.Д.). Вид. Міністерства у справах федерації, національної та міграційної політики РФ. М. 2001
20. Моделювання соціальних процесів. Вид. РЕА ім. Плеханова, М.1993 р.
21. Нестерова Д., Сабірьянова К. Інвестиції в людський капітал у перехідний період у Росії. Науковий доповідь № 99-04, РПЕІ / Фонд Євразія, 1999.
22. Орлов О.І. Стійкість у соціально-економічних моделях. М: Вид. «Наука», 1979.
23. Рао С.Р. «Лінійні статистичні методи та їх застосування». «Наука», М: 1968 р.
24. Результати обстеження руху трудових ресурсів Латвійської РСР за 1973 рік, Рига, Центральне статистичне управління при Раді Міністрів Латвійської РСР, 1975.
25. Російські статистичні щорічники: Держкомстат Росії. - М.
26. Вересень Амартія. Про етику та економіці. Вид. «Наука», М. 1996 г.
27. Система знань про народонаселення (редактор Валенте Д.І.) «Вища школа», М. 1991 р.
28. Соболєва С.В. «Демографічні процеси в регіональному та соціально-еконо-ного розвитку». Вид. «Наука», Новосибірськ, 1998 р.
29. Сучасна демографія. Під ред. А.Я. Кваші, В.А. Іонцева. Вид. МДУ. 1995
30. Старовірів О.В. (1978). Складні фактори в моделях руху населення. Збірник Прикладної багатовимірний статистичний аналіз. «Наука», Москва.
31. Старовірів О.В. (1979) Моделі руху населення. Вид. «Наука» Москва.
32. Старовірів О.В. (1997). Умови життя і міжгрупових мобільність. Економіка і математичні методи. Том 33, вип. 4
33. Старовірів О.В. (1997) Ази математичної демографії. Вид. «Наука», М.
34. Старовірів О.В. (2003) Загальна модель руху населення. Праці міжнародної науково-практичної конференції з міграції населення та перспективам демографічного розвитку: Росії. Вид. ГУ ІМЕІ при МЕ, М.
35. Староверова Т.О. Про розподіл соціальної допомоги бідним. «Економіка і математичні методи». № 1, Москва, 2003 р.
36. Товстий зошит. Економічна школа. Випуск 2. СП б. 1992
37. Фіхтенгольц Г.Ф. Курс диференціального й інтегрального числення. Том I. Стор. 188-189.
38. Чапек В.М. та ін До питання про міграцію з Росії інтелектуальних ресурсів праці. У збірнику «Міжнародна конференція Міграція населення і перспективи демографічного розвитку Росії». Вид. ГУ ІМЕІ, М. 2003
39. Alonso W. Theory of Movements: Introduction. Berkley. Institute of Urban and Regional Development. University of California, 1976.
40. Atkinson A. On the Measurement of Poverty. Econometrica, 1987. Vol.55, No 4.
41. Bartholomew DJ (1982). Stochastic Models for Social Processes. J. Wiley. Chichester - New York.
42. Begg D, Fischer S, Dornbusch R. Economics. McGraw-Hill. London, New York, 1991
43. Bourguignon François. Decomposable Income Inequality Measures. Econometrica, v. 47, № 3. 1979.
44. Bourguignon F., G. Fields «Discontinuous loss from Poverty, generalized measures, and optimal transfers to the poor». XI the World Congress of IEA. Tunis, 18-22 December 1995.
45. Cossinus H. (1976). Quelque points de vue sur l'analyse des talleaux d'echauges. Annals de L'ISEE, N22-23.
46. Cowell F. Measures of Distribution Change: An Axiomatic Approach. The Review of Economic Studies, Vol. LII (1), No 168. 1985.
47. Dagum C. Inequality Measure between Income Distributions with Applications. Econommetrica, v. 48, N7, 1980
48. Isard W. (1960). Methods of Regional Analysis: an Introduction to Regional Science. New York.
49. Journal of Econometrics. V 42, № 1, за 1989 р.
50. Fields. Place-to-Place Migration: Some new Evidence. Review of Economics and Statistics. Vol. LXI, N1, 19879.
51. Foster JE, Shorrocks AF «Poverty Orderings». Econometrica, V.56, № 1, 1988.
52. Holmlund В. Labour Mobility. IUI, Stokholm, (1984).
53. Ravallion M. Poverty Comparison. Harwood Academic Publisher, 1992.
54. Ravenstein EG The Lows of Migration. Journal of the Royal Statistical Society. 1885 і 1889 роки, XLVIII і LII
55. Rogers A. Introduction to Mathematical Demography, John Willey, 1975.
56. Rosen S. Human Capital. In Handbook of Public Economics, Vol. 1. Ed. Auerbach and Feldstein, Amsterdam: North Holland. 1985
57. Sen A. Poverty; an Ordinal Approach to Measurement. Econometrica, 1976, No 2.
58. Shakhnovich R., Yudashkina G. Wage-Setting and Employment Behavior of Enterprises during the Period of Economic Transition. WP № 01-04, EERC. 2001
59. Shorrocks AF The class of Additively Decomposable Measures. Econometrica, v. 48, ¹ 3. 1980.
60. Shorrocks Antony «Notes end Comments Revisiting the Sen Poverty Index», Econometrica. Vol. 63, No 5. (September, 1995, pp 1225-1230.
61. Weidlich W., G. Haag (Eds), (1988). International Migration. Springer - Verlag, New York - London - Tokyo.