АНО ВПО «НАЦІОНАЛЬНИЙ ІНСТИТУТ ІМЕНІ КАТЕРИНИ ВЕЛИКОЇ»
Контрольне завдання
З дисципліни: «Математика»
Москві 2010 р.
Контрольне завдання:
Вправи
1. Дана послідовність а n = (3 n -5) / (4 n +1). Встановити номер n 0, починаючи з якого виконується нерівність │ а n - А │ <1 / 500.
Відп. N 0 = 719.
Знайти:
2. Lim (3 - √ х) / (х 2 -81). Відп. -1/108.
х → 9
3. Lim (5х 2 -8) / (х 3-3х 2 +11). Відп. 0.
х → ∞
Перевірити безперервність наступного:
4. у = 5х / (х 3 +8). Відп. При всіх х ≠ -2 функція неперервна.
5. у = (х 2 +4) / √ (х 2 -36). Відп. Функція неперервна при всіх значеннях
│ х │> 6.
6. Визначити точки розриву функції у = (8х +2) / (16х 2 -1).
Відп. Точки х 1 =- 1 / 4 і х 2 = 1 / 4.
Задача 1
Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:
Рішення
Виконаємо поділ змінних, для цього розділимо обидві частини рівняння на :
Проинтегрируем обидві частини рівняння і виконаємо перетворення:
Відповідь
Задача 2
Проінтегрувати однорідне диференціальне рівняння:
Рішення
Рішення однорідних диференціальних рівнянь здійснюється за допомогою підстановки:
,
З урахуванням цього, вихідне рівняння прийме вигляд:
Виконаємо поділ змінних, для цього помножимо обидві частини рівняння на , Отримаємо,
Проинтегрируем обидві частини рівняння і виконаємо перетворення:
Повертаючись до змінної y, одержимо загальний інтеграл вихідного рівняння:
Відповідь
Задача 3
Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:
Рішення
Покажемо, що дане рівняння є однорідним, тобто може бути представлено у вигляді, . Перетворимо праву частину рівняння:
Отже, дане рівняння є однорідним і для його вирішення будемо використовувати підстановку,
З урахуванням цього, рівняння прийме вигляд:
Виконаємо поділ змінних, для цього помножимо обидві частини рівняння на ,
Проинтегрируем обидві частини рівняння,
Повертаючись до змінної y, одержимо,
Відповідь
Задача 4
Вирішити лінійне диференціальне рівняння:
Рішення
Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:
Так як коріння характеристичного рівняння дійсні і різні, то рішення диференціального рівняння матиме вигляд:
Відповідь
Задача 5
Знайти спільне рішення диференціального рівняння:
Рішення
Загальне рішення неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді:
,
де - Приватне рішення вихідного неоднорідного ДУ,
- Спільне рішення відповідного однорідного рівняння:
Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:
Так як коріння характеристичного рівняння дійсні і збігаються, то загальне рішення однорідного ДУ матиме вигляд:
Враховуючи, що права частина має спеціальний вид, то приватне рішення неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді,
,
де A, B, C - невизначені коефіцієнти. Знайдемо першу і другу похідні по x від і підставимо отримані результати у вихідне рівняння:
Прирівняємо коефіцієнти при відповідних ступенях x і визначимо їх:
Отже, приватне рішення неоднорідного ДУ прийме вигляд:
Остаточно, спільне рішення вихідного ДУ:
Відповідь
Задача 6
Вирішити рівняння:
Рішення
Загальне рішення неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді:
,
де - Приватне рішення вихідного неоднорідного ДУ,
- Спільне рішення відповідного однорідного рівняння:
Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:
Так як коріння характеристичного рівняння дійсні і різні, то загальний розв'язок однорідного ДУ матиме вигляд:
Враховуючи, що права частина має спеціальний вид, то приватне рішення неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді,
,
де A, B, C - невизначені коефіцієнти. Знайдемо першу і другу похідні по x від і підставимо отримані результати у вихідне рівняння:
Прирівняємо коефіцієнти при відповідних ступенях x і визначимо їх:
Отже, приватне рішення неоднорідного ДУ прийме вигляд:
Остаточно, спільне рішення вихідного ДУ:
Відповідь
Коментарі до вирішення
У задачі № 1, помилка в передбачуваному відповіді, упущений показник ступеня при x.
У задачі № 3, відповідь слід залишити у вигляді, що містить модуль , Тому що немає достатніх підстав його зняти.