ВИЩА МАТЕМАТИКА
ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
ЗМІСТ
1. Основні теореми диференціального числення
1.1 Локальні екстремуми функції
1.2 Основні теореми диференціального числення: Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа
2. Дослідження функцій
2.1 Достатні умови екстремуму функції
2.2 Дослідження функцій на опуклість і увігнутість. Точка перегину
2.3 Асимптоти графіка функції
2.4 Загальна схема побудови графіка функції
Література
1. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОБЧИСЛЕННЯ
1.1 Локальні екстремуми функції
Нехай задана функція у = f (х) на множині Х і х 0 - внутрішня точка безлічі Х.
Позначимо через U (х 0) околиця точки х 0. У точці х 0 функція f (Х) має локальний максимум, якщо існує така околиця U (х 0) точки х 0, що для всіх х з цієї околиці виконана умова f (Х) £ f (Х 0).
Аналогічно: функція f (Х) має в точці х 0 локальний мінімум, якщо існує така околиця U (х 0) точки х 0, що для всіх х з цієї околиці виконана умова f (Х) ³ f (Х 0).
Точки локальних максимуму і мінімуму називаються точками локальних екстремумів, а значення функції в них - локальними екстремумами функції.
Нехай функція f (Х) визначена на відрізку [а, b] і має локальний екстремум на якомусь з кінців цього відрізка. Тоді такий екстремум називається локальним одностороннім або крайовим екстремумів. У цьому випадку відповідна околиця є правою для «а» і лівої для «b» полуокрестностью.
Проілюструємо дані вище визначення:
На малюнку точки х 1, х 3 - точки локального мінімуму, точки х 2, х 4 - точки локального максимуму, х = а - крайового максимуму, х = b - крайового мінімуму.
Зауважимо, що поряд з локальними мінімумом і максимумом визначають так звані глобальні мінімуми і максимуми функції f (х) на відрізку [a, b]. На малюнку точка х = а - точка глобального максимуму (у цій точці функція f (х) приймає найбільше значення на відрізку [a, b]), точка х = х 3 - точка відповідно глобального мінімуму.
1.2 Основні теореми диференціального числення: Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа
Розглянемо деякі теореми, які дозволять у подальшому проводити дослідження поведінки функцій. Вони носять назви основних теорем математичного аналізу або основних теорем диференціального обчислення, оскільки вказують на взаємозв'язок похідної функції в точці і її поведінки в цій точці. Розглянемо теорему Ферма.
П'єр Ферма (1601-1665) - французький математик. За професією - юрист. Математикою займався у вільний час. Ферма - один з творців теорії чисел. З його ім'ям пов'язані дві теореми: велика теорема Ферма (для будь-якого натурального числа n> 2 рівняння х n + y n = z n не має рішень у цілих позитивних числах х, у, z) і мала теорема Ферма (якщо р - просте число і а - ціле число, не ділиться на р, то а р-1 - 1 ділиться на р).
Теорема Ферма. Нехай функція f (Х) визначена на інтервалі (а, b) і в деякій точці х 0 Î (а, b) має локальний екстремум. Тоді, якщо в точці х 0 існує кінцева похідна f '(X 0), то f '(X 0) = 0.
Доказ.
Нехай, для визначеності, в точці х 0 функція має локальний мінімум, тобто f (Х) ³ f (Х 0), œх Î U (х 0). Тоді в силу діфференцируємості
f (Х) в точці х 0 отримаємо:
при х> х 0:
при х <х 0:
Отже, ці нерівності в силу діфференцируємості мають місце одночасно лише коли
Теорема доведена.
Геометричний сенс теореми Ферма: якщо х 0 Î (а, b) є точкою мінімуму або максимуму функції f (Х) і в цій точці існує похідна функц ії, то дотична, проведена до графіка функції в точці (х 0, f (Х 0)), паралельна осі О х:
Зауважимо, що обидві умови теореми Ферма - інтервал (а, b) і дифференцируемость функції в точці локального екстремуму - обов'язкові.
Приклад 1. У = ç х ÷, х Î (-1; 1).
У точці х 0 = 0 функція має мінімум, але в цій точці похідна не існує. Отже, теорема Ферма для даної функції невірна (не виконується умова діфференцируємості функції в точці х 0).
Приклад 2. У = х 3, х Î [-1, 1].
У точці х 0 = 1 функція має крайової максимум. Теорема Ферма не виконується, так як точка х 0 = 1 Ï (-1; 1).
Мішель Ролль (1652-1719) - французький математик, член Паризької академії наук. Розробив метод відділення дійсних коренів алгебраїчних рівнянь.
Теорема Ролля. Нехай функція f (X) неп реривна на відрізку [а, b], дифференцируема на (а, b), f (А) = f (b). Тоді існує хоча б одна точка x, а <x <b, така, що f '(X) = 0.
Доказ:
1) якщо f (X) = const на [a, b], то f '(Х) = 0, œх Î (a, b);
2) якщо f (X) ¹ const на [a, b], то безперервна на [a, b] функція досягає найбільшого і найменшого значень в деяких точках відрізка
[A, b]. Отже, max f (X) або min f (X) обов'язково досягається у внутрішній точці x відрізка [a, b], а по теоремі Ферма маємо, що f '(X) = 0.
Теорема доведена.
Геометричний сенс теореми Ролля: при виконанні умов теореми всередині відрізка [a, b] обов'язково знайдеться хоча б одна точка x, така, що дотична до графіка f (X) в точці (x, f (X)) ïï Ox (див. малюнок).
Зауважимо, що всі умови теореми істотні.
Приклад 3. F (x) = ç х ÷, х Î [-1, 1]. F (-1) = f (1) = 1.
У точці х = 0 порушено умова діфференцируємості. Отже, теорема Ролля не застосовується - ні в одній точці відрізка [-1; 1] похідна в нуль не звертається.
Приклад 4.
Для даної функції f (0) = f (1) = 0, але в жодній точці інтервалу
(0; 1) похідна не дорівнює 0, так як теорема Ролля не виконується - функція не є безперервною на [0, 1].
Огюстен Коші (1789-1857) - французький математик, член Паризької академії наук, почесний член Петербурзької і багатьох інших академій. Праці Коші відносяться до математичного аналізу, диференціальних рівнянь, алгебри, геометрії та інших математичних наук.
Теорема Коші. Нехай функції f (Х) і g (х) неперервні на відрізку
[A, b] і діфференцируєми на інтервалі (a, b), причому g '(х) ¹ 0, œх Î (a, b). Тоді на (a, b) знайдеться точка x, така, що
. (1)
Доказ.
Розглянемо допоміжну функцію Функція F (х) неперервна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причому F (а) = F (b) = 0. Отже, за теоремою Ролля на (a, b) існує точка x, така, що F '(x) = 0:
Отже:
.
Теорема доведена.
Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) - французький математик і механік, почесний член Паризької та Петербурзької академій. Йому належать видатні дослідження з математичного аналізу, з різних питань диференціальних рівнянь, з алгебри та теорії чис їв, механіки, астрономії. Лагранж вперше ввів в розгляд потрійні інтеграли, запропонував позначення для похідної (y ', f' (x)).
Теорема Лагранжа. Нехай функція f (х) неперервна на [a, b], дифференцируема на інтервалі (a, b). Тоді на (a, b) знайдеться точка x, така, що
(2)
Доказ.
З формули (1) при g (x) = x отримуємо формулу (2).
Теорема доведена.
Рівність (2) називають формулою кінцевих приростів або формулою Лагранжа про середню.
Геометричний сенс теореми Лагранжа.
При виконанні умов теореми всередині відрізка [a, b] обов'язково знайдеться хоча б одна точка x, така, що дотична до графіка функції f (x) в точці (x, f (X)) паралельна січною, що проходить через точки А (а, f (А)) і В (b, f (b)) (див. малюнок).
Розглянемо наслідки з теореми Лагранжа:
1. (Умова сталості функції на відрізку). Нехай функція f (X) неперервна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Якщо f '(X) = 0, œх Î (a, b), то функція f (x) постійна на [a, b].
2. Нехай функції f (X) і g (х) неперервні на відрізку [a, b], діфференцируєми на інтервалі (a, b), f '(X) = g' (х), œх Î (a, b). Тоді f (X) = g (х) + С, де С = const.
3. (Умова монотонності функції). Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], дифференцируемая на інтервалі (a, b). Тоді, якщо f '(X)> 0, œх Î (a, b), то f (X) строго монотонно зростає на (a, b). Якщо ж f '(X) <0,
œх Î (a, b), то f (X) строго монотонно убуває на (a, b).
2. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
2.1 Достатні умови екстремуму функції
У лекції 1 ми розглянули основні теореми математичного аналізу, які широко використовуються при дослідженні функції, побудові її графіка.
По теоремі Ферма: з діфференцируємості функції f (X) в точці локального екстремуму х 0 випливає, що f '(X 0) = 0. Дана умова є необхідною умовою існування в точці локального екстремуму, тобто якщо в точці х 0 - екстремум функції f (X) і в цій точці існує похідна, то f '(X 0) = 0. Точки х 0, в яких f '(X 0) = 0, називаються стаціонарними точками функції. Зауважимо, що рівність нулю похідної
в точці не є достатнім для існування локального екстремуму в цій точці.
Приклад 1. У = х 3, у '= 3х 2, у' (0) = 0, але
в точці х 0 = 0 немає екстремуму.
Точками, підозрілими на екстремум функції f (X) на інтервалі (a, b), є точки, в яких похідна існує і дорівнює 0 або вона не існує або дорівнює нескінченності. На малюнках функції мають мінімум в точці х 0 = 0:
f '(0) = 0 f' (0) $ f '(0) = ¥
Розглянемо достатні умови існування в точці локального екстремуму, які дозволять відповісти на питання: «Чи є в точці екстремум і який саме - мінімум або максимум?».
Теорема 1 (перше достатня умова екстремуму). Нехай безперервна функція f (X) дифференцируема в деякій проколеної околиці U (x 0) точки х 0 (проколота околиця означає, що сама точка х 0 викидається з околиці) і неперервна в точці х 0. Тоді:
1) якщо (1)
то в точці х 0 - локальний максимум;
2) якщо (2)
то в точці х 0 - локальний мінімум.
Доказ.
З нерівностей (1) і Наслідок 3 теореми Лагранжа (про монотонності функції) випливає, що при х <х 0 функція не убуває, а при х> х 0 функція не зростає, тобто
(3)
Отже, з (3) одержуємо, що в точці х 0 функція має локальний максимум.
Аналогічно можна розглянути нерівності (2) для локального мінімуму:
f (x) f (x)
f '(х) ³ 0 f' (х) £ 0 f '(х) £ 0 f' (х) ³ 0
Теорема доведена.
Приклад 2. Дослідити на монотонність і локальний екстремум функцію за допомогою похідної першого порядку.
Рішення. Знайдемо стаціонарні точки функції:
Þ х 2 -1 = 0 Þ х 1 = -1, х 2 = 1.
Зауважимо, що дана функція не визначена в точці х = 0. Отже:
х | (- ¥; -1) | - 1 | (-1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1; + ¥) |
у ' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |
у | - 2 | - | 2 |
max min
Тобто функція зростає на інтервалах (- ¥; -1) і (1; + ¥), убуває на інтервалах (-1; 0), (0; 1), має локальний максимум у точці
х 1 = -1, рівний у max (-1) = -2; має локальний мінімум в точці х 2 = 1,
у min (1) = 2.
Теорема 2 (друге достатня умова екстремуму). Нехай функція f (x) двічі неперервно-диференційована. Якщо х 0 - стаціонарна точка
(F ' (Х 0) = 0), в якій f'' (Х 0)> 0, то в точці х 0 функція має локальний мінімум. Якщо ж f'' (Х 0) <0, то в точці х 0 функція має локальний максимум.
Доказ. Нехай для визначеності f'' (Х 0)> 0. Тоді
Отже:
при х <Х 0, f ' (Х) <0,
при х > Х 0, f ' (Х)> 0.
Тому за теоремою 1 в точці х 0 функція має локальний мінімум.
Теорема доведена.
Приклад 3. Дослідити на екстремум функцію за допомогою другої похідної.
Рішення. У прикладі 2 для даної функції ми знайшли першу похідну і стаціонарні точки х 1 = -1, х 2 = 1.
Знайдемо другу похідну даної функції:
Знайдемо значення другої похідної в стаціонарних точках.
Þ в точці х 1 = -1 функція має локальний максимум;
Þ в точці х 2 = 1 функція має локальний мінімум (по теоремі 2).
Зауважимо, що теорема 1 більш універсальна. Теорема 2 дозволяє проаналізувати на екстремум лише точки, в яких перша похідна дорівнює нулю, тоді як теорема 1 розглядається три випадки: рівність похідної нулю, похідна не існує, дорівнює нескінченності в підозрілих на екстремум точках.
2.2 Дослідження функцій на опуклість і увігнутість. Точка перегину
Нехай функція f (х) задана на інтервалі (a, b) і х 1, х 2 - будь-які різні точки цього інтервалу. Через точки А (х 1, f (Х 1)) і В (х 2, f (Х 2)) графіка функції f (Х) проведемо пряму, відрізок АВ якої називається хордою. Рівняння цієї прямої запишемо у вигляді у = у (х).
Функція f (Х) називається опуклою вниз на інтервалі (a, b), якщо для будь-яких точок х 1, х 2 Î (a, b), а £ х 1 <х 2 £ b, хорда АВ лежить не нижче графіка цієї функції, т . тобто якщо f (Х) £ у (х), œ х Î [Х 1, х 2] Ì (a, b):
Зауважимо, що опуклу вниз функцію іноді називають увігнутою функцією. Аналогічно визначається опуклість функції вгору.
Функція f (Х) називається опуклою вгору на інтервалі (a, b), якщо для будь-яких точок х 1, х 2 Î (a, b), а £ х 1 <х 2 £ b, хорда АВ лежить не вище графіка цієї функції, тобто якщо f (Х) ³ у (х), œ х Î [Х 1, х 2] Ì (a, b):
Теорема 3 (достатня умова опуклості). Якщо f (Х) - двічі безупинно диференціюємо а на інтервалі (a, b) і
1) f''(х)> 0, œ х Î (A, b), то на (a, b) функція f (Х) опукла вниз;
2) f''(х) <0, œ х Î (A, b), то на (a, b) функція f (Х) опукла вгору.
Точка х 0 називається точкою п е регіба функції f (Х), якщо $ d - навкруги-ність точки х 0, що для всіх х Î (х 0 - d, х 0) графік функції знаходиться з одного боку дотичній, а для всіх х Î (х 0, х 0 + d) - з іншого боку каса -котельної, проведеної до графіка функції f (Х) в точці х 0, тобто точка х 0 - точка перегину функції f (Х), якщо при переході через точку х 0 функція f (Х) змінює характер опуклості:
х 0 - d х 0 х 0 + d
Теорема 4 (необхідна умова існування точки перегину). Якщо функція f (Х) має безперервну в точці х 0 похідну f''і х 0 - точка перегину, то f''(х 0) = 0.
Доказ.
Якби f''(х 0) <0 або f''(х 0)> 0, то по теоремі 3 в точці х 0 функція f (Х) була б опукла вгору або вниз. Отже, f''(х 0) = 0.
Теорема доведена.
Теорема 5 (достатня умова перегину). Якщо функція f (Х) двічі безупинно дифференцируема в околиці точки х 0 і при переході через точку х 0 похідна f''(х) змінює знак, то точка х 0 є точкою перегину функції f (Х).
Приклад 4. Дослідити на опуклість і знайти точки перегину функції у = х 3.
Рішення. У '= 3х 2, у''= 6х = 0 Þ х 0 = 0 - точка, підозрілою на перегин.
У точці х 0 = 0 функція у = х 3 має перегин:
х | (- ¥, 0) | 0 | (0; + ¥) |
в'' |
- | 0 | + | |
у | опукла вгору | 0 | опукла вниз |
точка перегину |
Приклад 5. Дослідити на опуклість і знайти точки перегину функції .
Рішення. У прикладі 3 ми вже знаходили другу похідну даної функції . Так як то точок підозрілих на перегин немає. Розглянемо проміжки опуклості:
х | (- ¥, 0) | 0 | (0; + ¥) |
в'' | - | - | + |
у | опукла вгору | - | опукла вниз |
функція не визначена |
2. 3 Асимптоти графіка функції
Асимптотой будемо називати пряму, до якої графік функції необмежено близько наближається. Розрізняють вертикальні і похилі асимптоти.
Пряма х = х 0 називається вертикальною асимптотой графіка функції f (Х), якщо хоча б один з меж f (Х 0 - 0) або f (Х 0 + 0) дорівнює нескінченності.
Приклад 6. Знайти вертикальні асимптоти функцій:
а) б) в)
Рішення. Вертикальними асимптотами функцій будуть прямі х = х 0, де х 0 - точки, в яких функція не визначена.
а) х = 3 - вертикальна асимптота функції . Дійсно, ;
б) х = 2, х = - 4 - вертикальні асимптоти функції . Дійсно,
,
;
в) х = 0 - вертикальна асимптота функції Дійсно, .
Пряма у = kx + b називається похилій асимптотой графіка неперервної функції f (Х) при х ® + ¥ або х ® - ¥, якщо f (Х) = kx + b + α (х), , Тобто якщо похила асимптота для графіка функції f (Х) існує, то різниця ординат функції f (Х) і прямої у = kx + b у точці х прямує до 0 при х ® + ¥ або при х ® - ¥.
Теорема 6. Для того щоб пряма у = kx + b була похилій асимптотой графіка функції f (Х) при х ® + ¥ або х ® - ¥, необхідно і достатньо існування кінцевих меж:
(4)
Отже, якщо хоча б один з даних меж не існує або дорівнює нескінченності, то функція не має похилих асимптот.
Приклад 7. Знайти похилі асимптоти функції
Рішення. Знайдемо межі (4):
Отже, k = 1.
Отже, b = 0.
Таким чином, функція має похилу асимптоту
у = kx + b = 1 · х + 0 = х.
Відповідь: у = х - похила асимптота.
Приклад 8. Знайти асимптоти функції .
Рішення.
а) функція невизначена в точках х 1 = -1, х 2 = 1. Отже, прямі х 1 = -1, х 2 = 1 - вертикальні асимптоти даної функції.
Дійсно, .
;
б) у = kx + b.
Отже, у = 2х + 1 - похила асимптота даної функції.
Відповідь: х 1 = -1, х 2 = 1 - вертикальні, у = 2х + 1 - похила асімп-
тоти.
2.4 Загальна схема побудови графіка функції
1. Знаходимо область визначення функції.
2. Досліджуємо функцію на періодичність, парність або непарність.
3. Досліджуємо функцію на монотонність та екстремум.
4. Знаходимо проміжки опуклості і точки перегину.
5. Знаходимо асимптоти графіка функції.
6. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат.
7. Будуємо графік.
Перш ніж перейти до прикладів, нагадаємо визначення парності і непарності функції.
Функція у = f (Х) називається парною, якщо для будь-якого значення х, взятого з області визначення функції, значення (-х) також принад-лежить області визначення і виконується рівність f (Х) = f (-Х). Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.
Функція у = f (Х) називається непарною для будь-якого значення х, взятого з області визначення функції, значення (-х) також належить об-ласті визначення, і виконується рівність f (-Х) = - f (Х). Графік не-парної функції симетричний відносно початку координат.
Приклад 9. Побудувати графік .
Рішення. Ми використовуємо дані, отримані для цієї функції в інших прикладах.
1. D (у) = (- ¥; 0) È (0; + ¥).
2. Отже, функція непарна. Її графік буде симетричний відносно початку координат.
3. (Див. приклад 2). Досліджуємо функцію на монотонність та екстремум:
х | (- ¥; -1) | - 1 | (-1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1; + ¥) |
у ' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |
у | - 2 | - | 2 |
max min
4. (Див. приклад 5). Досліджуємо функцію на опуклість і знайдемо точки перегину.
х | (- ¥, 0) | 0 | (0; + ¥) |
в'' | - | - | + |
у | опукла вгору | - | опукла вниз |
функція не визначена |
Незважаючи на те, що функція поміняла характер опуклості при переході через точку х = 0, але в ній немає перегину, тому що в цій точці функція не визначена.
5. (Див. приклади 6 і 7). Знайдемо асимптоти функції:
а) х = 0 - вертикальна асимптота;
б) у = х - похила асимптота.
6. Точок перетину з осями координат у даній функції немає, так як , При будь-яких х Î ú, а х = 0 Ï D (у).
7. За отриманими даними будуємо графік функції:
Приклад 10. Побудувати графік функції .
Рішення.
1. D (у) = (- ¥; -1) È (-1; 1) È (1; + ¥).
2. - Функція непарна. Отже, графік функції буде симетричний відносно початку координат.
3. Досліджуємо функцію на монотонність та екстремум:
3х 2 - х 4 = 0, х 2 · (3 - х 2) = 0, х 1 = 0, х 2 = , Х 3 = .
х | (- ¥; ) |
( ; 0) | - 1 | (-1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1; ) | ( ; + ¥) | ||||
у ' | - | 0 | + | - | + | 0 | + | - | + | 0 | - |
у | 2,6 | - | 0 | - | - 2,6 |
4. Досліджуємо функцію на опуклість та точки перегину:
х = 0 - точка, підозрілою на перегин.
х | (- ¥; -1) | - 1 | (-1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (0; + ¥) |
в'' | + | - | - | 0 | + | - | - |
у | опукла вниз | - | опукла вгору | 0 | опукла вниз | - | опукла вниз |
перегин |
5. Знайдемо асимптоти функції:
а) х = -1, х = 1 - вертикальні асимптоти.
Дійсно:
б) у = kx + b.
,
Þ у =-1х + 0 = - х - похила асимптота.
6. Знайдемо точки перетинання з осями координат:
х = 0 Þ у = 0 Þ (0, 0) - точка перетину з осями координат.
7. Будуємо графік:
ЛІТЕРАТУРА
Гусак А. А. Математичний аналіз і диференціальні рівняння .- Мн.: Тетрасістемс, 1998. - 415 с.
Мінченков Ю. В. Вища математика. Похідна функції. Диференціал функції: Навчально-методичний посібник .- Мн.: ЧІУіП, 2007 .- 20 с.