Дослідження функцій

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

ВИЩА МАТЕМАТИКА

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

ЗМІСТ

1. Основні теореми диференціального числення

1.1 Локальні екстремуми функції

1.2 Основні теореми диференціального числення: Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа

2. Дослідження функцій

2.1 Достатні умови екстремуму функції

2.2 Дослідження функцій на опуклість і увігнутість. Точка перегину

2.3 Асимптоти графіка функції

2.4 Загальна схема побудови графіка функції

Література

1. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОБЧИСЛЕННЯ

1.1 Локальні екстремуми функції

Нехай задана функція у = f (х) на множині Х і х 0 - внутрішня точка безлічі Х.

Позначимо через U (х 0) околиця точки х 0. У точці х 0 функція f (Х) має локальний максимум, якщо існує така околиця U (х 0) точки х 0, що для всіх х з цієї околиці виконана умова f (Х) £ f 0).

Аналогічно: функція f (Х) має в точці х 0 локальний мінімум, якщо існує така околиця U (х 0) точки х 0, що для всіх х з цієї околиці виконана умова f (Х) ³ f 0).

Точки локальних максимуму і мінімуму називаються точками локальних екстремумів, а значення функції в них - локальними екстремумами функції.

Нехай функція f (Х) визначена на відрізку [а, b] і має локальний екстремум на якомусь з кінців цього відрізка. Тоді такий екстремум називається локальним одностороннім або крайовим екстремумів. У цьому випадку відповідна околиця є правою для «а» і лівої для «b» полуокрестностью.

Проілюструємо дані вище визначення:

На малюнку точки х 1, х 3 - точки локального мінімуму, точки х 2, х 4 - точки локального максимуму, х = а - крайового максимуму, х = b - крайового мінімуму.

Зауважимо, що поряд з локальними мінімумом і максимумом визначають так звані глобальні мінімуми і максимуми функції f (х) на відрізку [a, b]. На малюнку точка х = а - точка глобального максимуму (у цій точці функція f (х) приймає найбільше значення на відрізку [a, b]), точка х = х 3 - точка відповідно глобального мінімуму.

1.2 Основні теореми диференціального числення: Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа

Розглянемо деякі теореми, які дозволять у подальшому проводити дослідження поведінки функцій. Вони носять назви основних теорем математичного аналізу або основних теорем диференціального обчислення, оскільки вказують на взаємозв'язок похідної функції в точці і її поведінки в цій точці. Розглянемо теорему Ферма.

П'єр Ферма (1601-1665) - французький математик. За професією - юрист. Математикою займався у вільний час. Ферма - один з творців теорії чисел. З його ім'ям пов'язані дві теореми: велика теорема Ферма (для будь-якого натурального числа n> 2 рівняння х n + y n = z n не має рішень у цілих позитивних числах х, у, z) і мала теорема Ферма (якщо р - просте число і а - ціле число, не ділиться на р, то а р-1 - 1 ділиться на р).

Теорема Ферма. Нехай функція f (Х) визначена на інтервалі (а, b) і в деякій точці х 0 Î (а, b) має локальний екстремум. Тоді, якщо в точці х 0 існує кінцева похідна f '(X 0), то f '(X 0) = 0.

Доказ.

Нехай, для визначеності, в точці х 0 функція має локальний мінімум, тобто f (Х) ³ f 0), œх Î U (х 0). Тоді в силу діфференцируємості

f (Х) в точці х 0 отримаємо:

при х> х 0:

при х <х 0:

Отже, ці нерівності в силу діфференцируємості мають місце одночасно лише коли

Теорема доведена.

Геометричний сенс теореми Ферма: якщо х 0 Î (а, b) є точкою мінімуму або максимуму функції f (Х) і в цій точці існує похідна функц ії, то дотична, проведена до графіка функції в точці (х 0, f 0)), паралельна осі О х:


Зауважимо, що обидві умови теореми Ферма - інтервал (а, b) і дифференцируемость функції в точці локального екстремуму - обов'язкові.

Приклад 1. У = ç х ÷, х Î (-1; 1).

У точці х 0 = 0 функція має мінімум, але в цій точці похідна не існує. Отже, теорема Ферма для даної функції невірна (не виконується умова діфференцируємості функції в точці х 0).

Приклад 2. У = х 3, х Î [-1, 1].

У точці х 0 = 1 функція має крайової максимум. Теорема Ферма не виконується, так як точка х 0 = 1 Ï (-1; 1).

Мішель Ролль (1652-1719) - французький математик, член Паризької академії наук. Розробив метод відділення дійсних коренів алгебраїчних рівнянь.

Теорема Ролля. Нехай функція f (X) неп реривна на відрізку [а, b], дифференцируема на (а, b), f (А) = f (b). Тоді існує хоча б одна точка x, а <x <b, така, що f '(X) = 0.

Доказ:

1) якщо f (X) = const на [a, b], то f '(Х) = 0, œх Î (a, b);

2) якщо f (X) ¹ const на [a, b], то безперервна на [a, b] функція досягає найбільшого і найменшого значень в деяких точках відрізка

[A, b]. Отже, max f (X) або min f (X) обов'язково досягається у внутрішній точці x відрізка [a, b], а по теоремі Ферма маємо, що f '(X) = 0.

Теорема доведена.

Геометричний сенс теореми Ролля: при виконанні умов теореми всередині відрізка [a, b] обов'язково знайдеться хоча б одна точка x, така, що дотична до графіка f (X) в точці (x, f (X)) ïï ​​Ox (див. малюнок).

Зауважимо, що всі умови теореми істотні.

Приклад 3. F (x) = ç х ÷, х Î [-1, 1]. F (-1) = f (1) = 1.

У точці х = 0 порушено умова діфференцируємості. Отже, теорема Ролля не застосовується - ні в одній точці відрізка [-1; 1] похідна в нуль не звертається.

Приклад 4.

Для даної функції f (0) = f (1) = 0, але в жодній точці інтервалу

(0; 1) похідна не дорівнює 0, так як теорема Ролля не виконується - функція не є безперервною на [0, 1].

Огюстен Коші (1789-1857) - французький математик, член Паризької академії наук, почесний член Петербурзької і багатьох інших академій. Праці Коші відносяться до математичного аналізу, диференціальних рівнянь, алгебри, геометрії та інших математичних наук.

Теорема Коші. Нехай функції f (Х) і g (х) неперервні на відрізку

[A, b] і діфференцируєми на інтервалі (a, b), причому g '(х) ¹ 0, œх Î (a, b). Тоді на (a, b) знайдеться точка x, така, що

. (1)

Доказ.

Розглянемо допоміжну функцію Функція F (х) неперервна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причому F (а) = F (b) = 0. Отже, за теоремою Ролля на (a, b) існує точка x, така, що F '(x) = 0:

Отже:

.

Теорема доведена.

Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) - французький математик і механік, почесний член Паризької та Петербурзької академій. Йому належать видатні дослідження з математичного аналізу, з різних питань диференціальних рівнянь, з алгебри та теорії чис їв, механіки, астрономії. Лагранж вперше ввів в розгляд потрійні інтеграли, запропонував позначення для похідної (y ', f' (x)).

Теорема Лагранжа. Нехай функція f (х) неперервна на [a, b], дифференцируема на інтервалі (a, b). Тоді на (a, b) знайдеться точка x, така, що

(2)

Доказ.

З формули (1) при g ​​(x) = x отримуємо формулу (2).

Теорема доведена.

Рівність (2) називають формулою кінцевих приростів або формулою Лагранжа про середню.

Геометричний сенс теореми Лагранжа.

При виконанні умов теореми всередині відрізка [a, b] обов'язково знайдеться хоча б одна точка x, така, що дотична до графіка функції f (x) в точці (x, f (X)) паралельна січною, що проходить через точки А (а, f (А)) і В (b, f (b)) (див. малюнок).

Розглянемо наслідки з теореми Лагранжа:

1. (Умова сталості функції на відрізку). Нехай функція f (X) неперервна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Якщо f '(X) = 0, œх Î (a, b), то функція f (x) постійна на [a, b].

2. Нехай функції f (X) і g (х) неперервні на відрізку [a, b], діфференцируєми на інтервалі (a, b), f '(X) = g' (х), œх Î (a, b). Тоді f (X) = g (х) + С, де С = const.

3. (Умова монотонності функції). Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], дифференцируемая на інтервалі (a, b). Тоді, якщо f '(X)> 0, œх Î (a, b), то f (X) строго монотонно зростає на (a, b). Якщо ж f '(X) <0,

œх Î (a, b), то f (X) строго монотонно убуває на (a, b).

2. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

2.1 Достатні умови екстремуму функції

У лекції 1 ми розглянули основні теореми математичного аналізу, які широко використовуються при дослідженні функції, побудові її графіка.

По теоремі Ферма: з діфференцируємості функції f (X) в точці локального екстремуму х 0 випливає, що f '(X 0) = 0. Дана умова є необхідною умовою існування в точці локального екстремуму, тобто якщо в точці х 0 - екстремум функції f (X) і в цій точці існує похідна, то f '(X 0) = 0. Точки х 0, в яких f '(X 0) = 0, називаються стаціонарними точками функції. Зауважимо, що рівність нулю похідної

в точці не є достатнім для існування локального екстремуму в цій точці.


Приклад 1. У = х 3, у '= 3х 2, у' (0) = 0, але

в точці х 0 = 0 немає екстремуму.

Точками, підозрілими на екстремум функції f (X) на інтервалі (a, b), є точки, в яких похідна існує і дорівнює 0 або вона не існує або дорівнює нескінченності. На малюнках функції мають мінімум в точці х 0 = 0:

f '(0) = 0 f' (0) $ f '(0) = ¥

Розглянемо достатні умови існування в точці локального екстремуму, які дозволять відповісти на питання: «Чи є в точці екстремум і який саме - мінімум або максимум?».

Теорема 1 (перше достатня умова екстремуму). Нехай безперервна функція f (X) дифференцируема в деякій проколеної околиці U (x 0) точки х 0 (проколота околиця означає, що сама точка х 0 викидається з околиці) і неперервна в точці х 0. Тоді:

1) якщо (1)

то в точці х 0 - локальний максимум;

2) якщо (2)

то в точці х 0 - локальний мінімум.

Доказ.

З нерівностей (1) і Наслідок 3 теореми Лагранжа (про монотонності функції) випливає, що при х <х 0 функція не убуває, а при х> х 0 функція не зростає, тобто

(3)

Отже, з (3) одержуємо, що в точці х 0 функція має локальний максимум.

Аналогічно можна розглянути нерівності (2) для локального мінімуму:


f (x) f (x)

f '(х) ³ 0 f' (х) £ 0 f '(х) £ 0 f' (х) ³ 0

Теорема доведена.

Приклад 2. Дослідити на монотонність і локальний екстремум функцію за допомогою похідної першого порядку.

Рішення. Знайдемо стаціонарні точки функції:

Þ х 2 -1 = 0 Þ х 1 = -1, х 2 = 1.

Зауважимо, що дана функція не визначена в точці х = 0. Отже:

х

(- ¥; -1)

- 1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; + ¥)

у '

+

0

-

-

-

0

+

у


- 2


-


2


max min

Тобто функція зростає на інтервалах (- ¥; -1) і (1; + ¥), убуває на інтервалах (-1; 0), (0; 1), має локальний максимум у точці

х 1 = -1, рівний у max (-1) = -2; має локальний мінімум в точці х 2 = 1,

у min (1) = 2.

Теорема 2 (друге достатня умова екстремуму). Нехай функція f (x) двічі неперервно-диференційована. Якщо х 0 - стаціонарна точка

(F ' 0) = 0), в якій f'' 0)> 0, то в точці х 0 функція має локальний мінімум. Якщо ж f'' 0) <0, то в точці х 0 функція має локальний максимум.

Доказ. Нехай для визначеності f'' 0)> 0. Тоді

Отже:

при х 0, f ' (Х) <0,

при х > Х 0, f ' (Х)> 0.

Тому за теоремою 1 в точці х 0 функція має локальний мінімум.

Теорема доведена.

Приклад 3. Дослідити на екстремум функцію за допомогою другої похідної.

Рішення. У прикладі 2 для даної функції ми знайшли першу похідну і стаціонарні точки х 1 = -1, х 2 = 1.

Знайдемо другу похідну даної функції:

Знайдемо значення другої похідної в стаціонарних точках.

Þ в точці х 1 = -1 функція має локальний максимум;

Þ в точці х 2 = 1 функція має локальний мінімум (по теоремі 2).

Зауважимо, що теорема 1 більш універсальна. Теорема 2 дозволяє проаналізувати на екстремум лише точки, в яких перша похідна дорівнює нулю, тоді як теорема 1 розглядається три випадки: рівність похідної нулю, похідна не існує, дорівнює нескінченності в підозрілих на екстремум точках.

2.2 Дослідження функцій на опуклість і увігнутість. Точка перегину

Нехай функція f (х) задана на інтервалі (a, b) і х 1, х 2 - будь-які різні точки цього інтервалу. Через точки А (х 1, f 1)) і В (х 2, f 2)) графіка функції f (Х) проведемо пряму, відрізок АВ якої називається хордою. Рівняння цієї прямої запишемо у вигляді у = у (х).

Функція f (Х) називається опуклою вниз на інтервалі (a, b), якщо для будь-яких точок х 1, х 2 Î (a, b), а £ х 12 £ b, хорда АВ лежить не нижче графіка цієї функції, т . тобто якщо f (Х) £ у (х), œ х Î 1, х 2] Ì (a, b):

Зауважимо, що опуклу вниз функцію іноді називають увігнутою функцією. Аналогічно визначається опуклість функції вгору.

Функція f (Х) називається опуклою вгору на інтервалі (a, b), якщо для будь-яких точок х 1, х 2 Î (a, b), а £ х 12 £ b, хорда АВ лежить не вище графіка цієї функції, тобто якщо f (Х) ³ у (х), œ х Î 1, х 2] Ì (a, b):

Теорема 3 (достатня умова опуклості). Якщо f (Х) - двічі безупинно диференціюємо а на інтервалі (a, b) і

1) f''(х)> 0, œ х Î (A, b), то на (a, b) функція f (Х) опукла вниз;

2) f''(х) <0, œ х Î (A, b), то на (a, b) функція f (Х) опукла вгору.

Точка х 0 називається точкою п е регіба функції f (Х), якщо $ d - навкруги-ність точки х 0, що для всіх х Î0 - d, х 0) графік функції знаходиться з одного боку дотичній, а для всіх х Î0, х 0 + d) - з іншого боку каса -котельної, проведеної до графіка функції f (Х) в точці х 0, тобто точка х 0 - точка перегину функції f (Х), якщо при переході через точку х 0 функція f (Х) змінює характер опуклості:


х 0 - d х 0 х 0 + d

Теорема 4 (необхідна умова існування точки перегину). Якщо функція f (Х) має безперервну в точці х 0 похідну f''і х 0 - точка перегину, то f''(х 0) = 0.

Доказ.

Якби f''(х 0) <0 або f''(х 0)> 0, то по теоремі 3 в точці х 0 функція f (Х) була б опукла вгору або вниз. Отже, f''(х 0) = 0.

Теорема доведена.

Теорема 5 (достатня умова перегину). Якщо функція f (Х) двічі безупинно дифференцируема в околиці точки х 0 і при переході через точку х 0 похідна f''(х) змінює знак, то точка х 0 є точкою перегину функції f (Х).


Приклад 4. Дослідити на опуклість і знайти точки перегину функції у = х 3.

Рішення. У '= 3х 2, у''= 6х = 0 Þ х 0 = 0 - точка, підозрілою на перегин.

У точці х 0 = 0 функція у = х 3 має перегин:

х

(- ¥, 0)

0

(0; + ¥)

в''

-

0

+

у

опукла вгору

0

опукла вниз



точка перегину


Приклад 5. Дослідити на опуклість і знайти точки перегину функції .

Рішення. У прикладі 3 ми вже знаходили другу похідну даної функції . Так як то точок підозрілих на перегин немає. Розглянемо проміжки опуклості:

х

(- ¥, 0)

0

(0; + ¥)

в''

-

-

+

у

опукла вгору

-

опукла вниз



функція не визначена


2. 3 Асимптоти графіка функції

Асимптотой будемо називати пряму, до якої графік функції необмежено близько наближається. Розрізняють вертикальні і похилі асимптоти.

Пряма х = х 0 називається вертикальною асимптотой графіка функції f (Х), якщо хоча б один з меж f 0 - 0) або f 0 + 0) дорівнює нескінченності.

Приклад 6. Знайти вертикальні асимптоти функцій:

а) б) в)

Рішення. Вертикальними асимптотами функцій будуть прямі х = х 0, де х 0 - точки, в яких функція не визначена.

а) х = 3 - вертикальна асимптота функції . Дійсно, ;

б) х = 2, х = - 4 - вертикальні асимптоти функції . Дійсно,

,

;

в) х = 0 - вертикальна асимптота функції Дійсно, .

Пряма у = kx + b називається похилій асимптотой графіка неперервної функції f (Х) при х ® + ¥ або х ® - ¥, якщо f (Х) = kx + b + α (х), , Тобто якщо похила асимптота для графіка функції f (Х) існує, то різниця ординат функції f (Х) і прямої у = kx + b у точці х прямує до 0 при х ® + ¥ або при х ® - ¥.

Теорема 6. Для того щоб пряма у = kx + b була похилій асимптотой графіка функції f (Х) при х ® + ¥ або х ® - ¥, необхідно і достатньо існування кінцевих меж:

(4)

Отже, якщо хоча б один з даних меж не існує або дорівнює нескінченності, то функція не має похилих асимптот.

Приклад 7. Знайти похилі асимптоти функції

Рішення. Знайдемо межі (4):

Отже, k = 1.

Отже, b = 0.

Таким чином, функція має похилу асимптоту

у = kx + b = 1 · х + 0 = х.

Відповідь: у = х - похила асимптота.

Приклад 8. Знайти асимптоти функції .

Рішення.

а) функція невизначена в точках х 1 = -1, х 2 = 1. Отже, прямі х 1 = -1, х 2 = 1 - вертикальні асимптоти даної функції.

Дійсно, .

;

б) у = kx + b.

Отже, у = 2х + 1 - похила асимптота даної функції.

Відповідь: х 1 = -1, х 2 = 1 - вертикальні, у = 2х + 1 - похила асімп-

тоти.

2.4 Загальна схема побудови графіка функції

1. Знаходимо область визначення функції.

2. Досліджуємо функцію на періодичність, парність або непарність.

3. Досліджуємо функцію на монотонність та екстремум.

4. Знаходимо проміжки опуклості і точки перегину.

5. Знаходимо асимптоти графіка функції.

6. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат.

7. Будуємо графік.

Перш ніж перейти до прикладів, нагадаємо визначення парності і непарності функції.

Функція у = f (Х) називається парною, якщо для будь-якого значення х, взятого з області визначення функції, значення (-х) також принад-лежить області визначення і виконується рівність f (Х) = f (-Х). Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

Функція у = f (Х) називається непарною для будь-якого значення х, взятого з області визначення функції, значення (-х) також належить об-ласті визначення, і виконується рівність f (-Х) = - f (Х). Графік не-парної функції симетричний відносно початку координат.

Приклад 9. Побудувати графік .

Рішення. Ми використовуємо дані, отримані для цієї функції в інших прикладах.

1. D (у) = (- ¥; 0) È (0; + ¥).

2. Отже, функція непарна. Її графік буде симетричний відносно початку координат.

3. (Див. приклад 2). Досліджуємо функцію на монотонність та екстремум:

х

(- ¥; -1)

- 1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; + ¥)

у '

+

0

-

-

-

0

+

у


- 2


-


2


max min

4. (Див. приклад 5). Досліджуємо функцію на опуклість і знайдемо точки перегину.

х

(- ¥, 0)

0

(0; + ¥)

в''

-

-

+

у

опукла вгору

-

опукла вниз



функція не визначена


Незважаючи на те, що функція поміняла характер опуклості при переході через точку х = 0, але в ній немає перегину, тому що в цій точці функція не визначена.

5. (Див. приклади 6 і 7). Знайдемо асимптоти функції:

а) х = 0 - вертикальна асимптота;

б) у = х - похила асимптота.

6. Точок перетину з осями координат у даній функції немає, так як , При будь-яких х Î ú, а х = 0 Ï D (у).

7. За отриманими даними будуємо графік функції:

Приклад 10. Побудувати графік функції .

Рішення.

1. D (у) = (- ¥; -1) È (-1; 1) È (1; + ¥).

2. - Функція непарна. Отже, графік функції буде симетричний відносно початку координат.

3. Досліджуємо функцію на монотонність та екстремум:

2 - х 4 = 0, х 2 · (3 - х 2) = 0, х 1 = 0, х 2 = , Х 3 = .

х

(- ¥; )

( ; 0)

- 1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; )

( ; + ¥)

у '

-

0

+

-

+

0

+

-

+

0

-

у


2,6


-


0


-


- 2,6


4. Досліджуємо функцію на опуклість та точки перегину:

х = 0 - точка, підозрілою на перегин.

х

(- ¥; -1)

- 1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(0; + ¥)

в''

+

-

-

0

+

-

-

у

опукла

вниз

-

опукла

вгору

0

опукла вниз

-

опукла

вниз




перегин



5. Знайдемо асимптоти функції:

а) х = -1, х = 1 - вертикальні асимптоти.

Дійсно:

б) у = kx + b.

,

Þ у =-1х + 0 = - х - похила асимптота.

6. Знайдемо точки перетинання з осями координат:

х = 0 Þ у = 0 Þ (0, 0) - точка перетину з осями координат.

7. Будуємо графік:

ЛІТЕРАТУРА

  1. Гусак А. А. Математичний аналіз і диференціальні рівняння .- Мн.: Тетрасістемс, 1998. - 415 с.

  2. Мінченков Ю. В. Вища математика. Похідна функції. Диференціал функції: Навчально-методичний посібник .- Мн.: ЧІУіП, 2007 .- 20 с.


Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
95кб. | скачати


Схожі роботи:
Дослідження функцій і побудова їх графіків
Дослідження функцій управління в організації
Дослідження функцій органів дихання
Повне дослідження функцій і побудова їх графіків
Черепні нерви анатомічна будова і дослідження функцій
Інтерполяція функцій 2
Податки та їх функцій
Апроксимація функцій
© Усі права захищені
написати до нас