В.Н. Катасонов
1. Народження нескінченності
Нескінченність є одна з фундаментальних категорій людської думки. Тема нескінченності не є прерогативою ні однієї спеціальної галузі культури: нескінченне як символ, як проблема, як таїнство присутній і в мистецтві, і в науці, і у філософії, і в богослов'ї. Ставлення до нескінченності в різних культурах різне.
Антична думка в основному розглядає нескінченне як неоформлене, як нестан і, отже, недосконале. У піфагорейської списку протилежностей нескінченне стоїть на стороні поганого (злого). Буття в античної думки тісно пов'язане з категорією міри і межі. Нескінченне в цьому сенсі виступає як безмежне, безмежне, майже не існує - nohm. Нескінченне є щось близьке до хаосу, а іноді й ототожнюється з ним. Нескінченне зближується у Платона і Аристотеля з категорією матерії як безформним і в силу цього як би неіснуючим, що осягається лише «незаконнонародженим умовиводом» під-лежачим субстратом речей. Нескінченне як безмежне саме по собі немислимо, стверджує Платон у «Філеб»: «... Безмежна безліч окремих речей і [властивостей], що містяться в них, неминуче робить також безмежній і безглуздої твою думку, внаслідок чого ти ніколи ні в чому не звертаєш уваги ні на яке число »[1]. Буття речі доставляється ідеєю (або формою), яка обмежує нескінченне, здійснюючи «вписування» речі в впорядковане єдність Космосу.
У той же час є античні філософи, які позитивніше використовують категорію нескінченного. Перш за все до них відноситься Анаксимандр, у якого головним початком космології служить апейрон (грец. noriepa - букв. Безмежне), з якого виникають і в який повертаються всі речі (проте з відомих фрагментами не зовсім ясно, чи є апейрон вищим битійственний початком або тільки хаотичної сумішшю основних елементів). Крім того, тут потрібно назвати атомістів Левкіппа і Демокріта, у яких нескінченне порожній простір містить нескінченну кількість атомів, що утворюють нескінченну кількість світів. Однак розуміння руху в просторово-часовому континуумі, допускає нескінченну подільність, стикається з непереборними апоріями, висунутими Зенон Елейський. Починаючи з V ст. до н.е. і аж до сьогоднішнього дня ці апорії незмінно відтворюються в європейській думки, яка намагається зрозуміти структуру континууму.
Панівне ставлення до нескінченності в античності все ж інше. В остаточному вигляді воно було виражено Аристотелем. Для Аристотеля нескінченність існує тільки потенційно як можливість безмежного зміни: «Нескінченна є матерія для завершеності величин і ціле тільки в можливості, а не в дійсності; воно ділимо і при зменшенні і зворотному додатку, а цілим і обмеженим [нескінченне] виявляється не саме по собі , а по відношенню до іншого, і оскільки воно нескінченно, воно не охоплює, а охоплюється. Тому воно й пізнати, як нескінченне, бо матерія [як така] не має форми »[2]. Не існує актуально нескінченного тіла, кінцевий і сам космос, не існує нескінченної послідовності причин (тому що в противному випадку, за Арістотелем, була відсутня б первісна справжня причина руху). Актуально нескінченне не дано ні почуттів, ні розуму. Потенційна нескінченність реалізується в Аристотеля для чисел у напрямку зростання - натуральний ряд, а для величин у напрямку убування - потенційно нескінченне поділ даного відрізка. Безпосередньо залежить від цього кола ідей антична математика завжди мислить свої «прямі» і «площині» як кінцеві, хоча і досить великі відрізки або шматки площин (на відміну від новоєвропейської математики, в якій вже з XVII ст. Починають розглядати нескінченні прямі, наприклад, в проективної геометрії).
У неоплатонізмі поступово, не без істотного впливу східної містики, пробиває собі дорогу нове позитивне розуміння нескінченного. Перехідним ступенем служили тут філософські погляди Філона Олександрійського, який дав елліністичну транскрипцію біблійного розуміння Божества. Єдиний у Гребля, що стоїть вище Ума і, отже, вище якої визначеності і форми (зокрема, числа), не може бути названо нескінченним. Але Розум Плотін називає нескінченним у наступних значеннях: у сенсі його нескінченного могутності, його єдності і самодостатності. Усе, що існує виявляється тим самим між двома нескінченно: актуальною нескінченністю божественного Розуму та потенційної нескінченністю меональной матерії, позбавленої кордонів і форми і отримує свої визначення тільки через «віддзеркалення» досконалостей вищого буття.
Суттєвий перелом у ставленні нескінченного відбувається з утвердженням в європейській культурі християнства. Антична культура не має прикладу нескінченної «речі», яку вона могла б осмислити. Думка про нескінченність виявляється для неї як би тільки блукаючим луною неіснуючого вигуку ... Але в християнському світорозумінні така нескінченна «річ» знайдена: це - сам Бог, всемогутній, всезнаючий і нескінченно милостивий. Разом з християнством у європейську культуру приходить і ідея творення світу ex nihilo, з нічого. Сама ця ідея творіння як переходу від ніщо до буття також символізує собою актуальну нескінченність: якщо формування чогось нового з іншого, попереднього природно залежить від співвідношення мощі творчого початку і опору матеріалу, то ідея творіння з нічого вимагає вже нескінченної мощі Творця, що долає саму онтологічну протилежність буття і ніщо. З актуальною ж нескінченністю пов'язано і християнське розуміння свободи. Бог вільно творить світ, в Його творчому акті немає ніякої логічної необхідності, зв'язує божественну волю і як би вимірює її. У цій спонтанності творчого імпульсу, що розриває будь-яку логічну безперервність, прихована актуальна нескінченність божественної любові, дарує буття всіх речей і людині.
Не тільки християнський Бог у собі виявляється актуально нескінченним, а й творіння, в різній мірі, і особливо людина як «образ Божий», несе на собі відбиток досконалостей Творця. Однак це розуміння затверджується не відразу. У Орігена ще в наявності найсильніша залежність від основних постулатів грецької думки: навіть Бог не зможе бути нескінченним, тому що нескінченне не має форми і немислимо. Якби Бог був нескінченним, то Він не міг би мислити Самого Себе. Вища досконалість Бога і його кінцівку необхідно пов'язані, по Орігену. Але вже Августин ставить питання: невже Бог не може мислити всіх чисел (натуральний ряд) разом? Кінцівка Бога несумісна, за Августином, з божественним гідністю. Стосовно ж створеного світу зсув відбувається ще пізніше. У Альберта Великого і Фоми Аквіната ще повністю панують аристотелевские заборони: в світі не може існувати актуальна нескінченність. Навіть точки континууму існують в ньому лише потенційно.
2. Спроби «приручення» нескінченного
«Легалізація» актуальної нескінченності в тварному світі історично була тісно пов'язана з обговоренням природи людської душі. Остання створена, згідно християнської теології, «за образом Божим». В якій мірі божественні досконалості відбилися в людській душі? Вже Дунс Скот наполягав, що людська душа по своїй природі перевершує ту кінцівку, яка характерна для всього створеного: адже людська душа здатна сприймати божественну благодать, тобто самого нескінченного Бога. Отже, їй дарована деяка, адекватна предмету сприйняття, нескінченна сприймає здатність. Ще далі йдуть містики. Екхарт прямо вчить про те, що в глибині людської душі є нетварной божественна «іскорка». Як сопріродная Богу, ця «іскорка», природно, актуально нескінченна. Подібне розуміння образу Божого прокладало дорогу пантеїзму і не раз засуджувалося католицької церквою. Проте в XV ст. кардинал Микола Кузанський розвиває своє вчення про збіг абсолютного максимуму та абсолютного мінімуму. У рамках цього вчення нескінченне, абсолютний максимум стає «адекватним заходом» всіх кінцевих речей. Розуміння співвідношення нескінченного і кінцевого принципово змінюється по відношенню до античного: якщо для останнього все кінцеве було актуальним, а нескінченне виступало лише як потенційне, то для Кузанця - навпаки, будь-яка кінцева річ виступає як потенційне обмеження актуально нескінченної божественної можливості - буття (possest)! Аналогічно і в рамках пантеїзму Спінози виявляється, що omnis determinatio est negatio (кожне визначення є заперечення): не через межу, не через обмеження безформної матерії отримують речі своє буття, а саме від підлягає нескінченної божественної субстанції, всередині якої самовизначення виступає як часткова негація. Божественна субстанція - природа має нескінченні атрибути, в тому числі протяжність і тривалість. Час же, число і міра є тільки кінцевими, або потенційно нескінченними, засобами уяви. В аналізі проблеми нескінченного Спіноза передбачає підходи до нескінченного у творця теорії множин Г. Кантора.
Спекулятивна теологія Миколи Кузанського також служить підставою уявлень і про нескінченність Всесвіту. Бог є «підставою» світу: те, що міститься в Бозі «в згорнутому вигляді», світ «розгортає» у просторі та часі. Просторова протяжність світу і час його існування не можуть бути кінцевими, тому що вони «виражають» нескінченність Бога. Хоча світ не є нескінченним у тому ж сенсі, як і Бог, - світ не є все, що може бути, - тим не менше його пріватівной нескінченність (не Infinitum, а Indeterminatum) включає в себе нескінченність простору і часу. Перегляд М. Коперником геоцентричної системи і полемічний талант Дж. Бруно допомагають цій тезі Кузанця стати найвищою мірою популярним до XVIII століття.
На тлі інших філософів XVII ст. В. Лейбніц виступає як найбільш переконаний захисник існування актуальної нескінченності. Тема нескінченності обговорювалася Лейбніцем в різних аспектах. Актуально нескінченно, перш за все, кількість субстанцій - монад в Універсум. Кожна частина матерії є також актуально нескінченну сукупність монад. Стійкість агрегатів цих монад пов'язана з особливими принципами їх підпорядкування і з законом встановленої гармонії. «Всяку частина матерії можна уявити на зразок саду, повного рослин, і ставу, повного риб. Але кожна гілка рослини, кожен член тварини, кожна крапля його соків є знов такий же сад або такий же ставок »(« Монадологія », № 67). І ця ієрархія вкладених один в одного світів триває у Лейбніца до нескінченності. Кожна монада представляє у своїх сприйняттях весь нескінченний універсум, нескінченний як у просторі, так і в часі. Це розуміння веде Лейбніца в психології до формулювання концепції нескінченно малих («підсвідомих») сприйнять. У математиці ж це призводить до особливого розуміння структури просторового континууму і, нарешті, до створення диференціального й інтегрального числень. Лейбніцевской ідеї щодо актуальної нескінченності залишаються у вищій мірі дієвими і по суті неперевершеними всі наступні три століття (див. [3, т. 1], особливо гл. 2). Лейбніц же вказав і на характерну аналогію між проблемами свободи і структури континууму (див. [4, с. 312-314] - «Про свободу»). Обидві мають загальний логічний корінь, пов'язаний з актуальною нескінченністю.
Однак Лейбніц добре розумів, що опанувати нескінченністю в науці не вдається чисто технічними засобами (на відміну, наприклад, від Б. Больцано, надії якого впоратися з нескінченністю чисто формально, в рамках деякого обчислення, явно вбачаються в його «Парадоксах нескінченного» - див [5, гл. I, § 5]). Просування науки в нескінченне, - як в нескінченно мале, так і нескінченно велике, - вимагає «інтелектуальної оптики» з нескінченним збільшенням, вимагає метафізики, нових метафізичних постулатів. І великий німецький вчений і філософ явно формулює ці постулати. Головним тут є принцип безперервності Лейбніца чи, точніше, деяке конкретне його вираз: принцип законопостоянства. «Принцип же цей полягає в тому, що властивості речей завжди і всюди є такими ж, які вони зараз і тут», - формулює цей принцип Лейбніц у листі до королеви Пруссії Софії-Шарлотті (див. [4, т. 3, с. 389]). Принцип цей застосовується до нескінченного, тобто стверджується, що «на нескінченності» все буде відбуватися так само, як і в кінцевому. Саме цей постулат дозволяє Лейбницу розглядати «нескінченно малі трикутники» у диференційному численні в одному ряду з кінцевими, наполягати на справедливості преформістской доктрини в ембріології і затверджувати в метафізиці існування безперервної шкали розташованих у напрямку зростання досконалості монад, що йде від «непробужденних» монад мінералів через рослини , тварин і людини аж до вищої субстанції ... - До Самого Бога. Принцип законопостоянства, тісно пов'язаний з лейбніцевской принципом достатньої підстави, як би «пов'язує» божественну волю з божественною мудрістю і, встановлюючи тотальну логічну когерентність світу, не залишає ні єдиної можливості для будь-яких онтологічних «зяяння», будь то випадкова подія чи диво. ..
Нових істотних ініціатив у справі «приручення» нескінченності довелося чекати після Лейбніца майже 200 років. З 1870-х рр.. Г. Кантор починає друкувати свої роботи по теорії множин. Кантор будує особливі нескінченні числа (ордінали) та їх арифметику. Основні свої роботи він написав у рамках «наївною» теорії множин виходячи з уявлення про самоочевидність основного поняття безлічі. Однак досить швидко з'ясувалося, що в цьому, здавалося б, «самоочевидним» понятті приховані досить глибокі проблеми, а в «наївному» підході до поняття множини - серйозні твердження про нескінченності, зміст яких при більш уважному розгляді виявляється глибоко проблематичним. Аксіоматизації теорії множин виявила ці фундаментальні передумови наших побудов з нескінченністю, ці постулати, які й необхідні нам для «природного» розвитку теорії і які в той же самий час залишаються у вищій мірі загадковими. Одне з таких положень - знаменита аксіома вибору. Формулювання її досить проста: якщо дано деякий (нескінченне) безліч множин, то можна скласти нову множину, взявши з кожного даного тільки по одному елементу. Це, на перший погляд, просте твердження при більш уважному розгляді виявляється вкрай незрозумілим. Як вибрати один з елементів довільної множини? Якщо б, наприклад, це безліч було впорядкованим, то ми могли б взяти найменший (якщо він існує) елемент цієї множини щодо заданого порядку. Однак процедура впорядкування безлічі сама як раз і спирається на аксіому вибору. З іншого боку, як робити цю послідовність виборів у часі? Якщо не в часі, то як тоді? .. З якого безлічі ми повинні почати? .. (Неважко бачити, що тут знову, як це підкреслював Лейбніц, виступає зв'язок проблеми нескінченності і проблеми свободи.) Спроби відповісти на всі ці питання самі породжують складні проблеми. А в той же самий час аксіома вибору необхідна для доказу фундаментального положення теорії множин - порівнянності будь-яких потужностей множин. Крім того, аксіома вибору явно чи неявно використовується в багатьох положеннях математичного аналізу (лема Больцано - Вейєрштрасса про збіжної підпослідовності будь обмеженою послідовності, теорема Коші про кінцеві прирости, теорема Лопіталя про розкриття невизначеностей і т.д.). Тому ми змушені зберігати цю аксіому в якості деякого постулату нашого пізнання, повністю усвідомлюючи нашу «нав'язливість» щодо нескінченного ...
Прикладів подібної нав'язливості історія становлення теорії множин знає чимало. Один з найбільш знаменитих - це континуум-гіпотеза. Г. Кантор дуже сподівався і наполегливо прагнув довести, що наступна за величиною після потужності множини натуральних чисел a0 йде якраз потужність множини, що представляє собою арифметичну модель континууму (докладніше див, наприклад, [5, гл. 5, § 1]).
2a0 = a1
Однак ні самому Кантор, ні його послідовникам довести цього не вдалося. У 1963 р. П. Коен показав, що континуум-гіпотезу не можна ні довести, ні спростувати в рамках теорії множин Цермело - Френкеля ... Більш того, Коен схилявся до того, що потужність континууму більше [6, с. 42], ніж будь-яке an для будь-якого n, більше aw і т.д. (W є перший нескінченний ордінал, відповідний множині натуральних чисел {1, 2, 3 ,...})... Нескінченне викриває наші наївні очікування, що в ньому «все відбувається так, як тут і тепер». У нескінченному занадто багато можливостей. І головне, незрозуміло взагалі, як ці можливості можна було б «врахувати», інвентаризувати.
3. Умудренное незнання
Навіть у своїх найпростіших варіантах світ теорії множин виявляється найвищою мірою парадоксальним. Важко відразу уявити, що прийняття аксіоми вибору, настільки здавалося б природного твердження, призводить до парадоксу Банаха - Тарського: «Використовуючи аксіому вибору, можна розбити кулю на кінцеве число частин, які можна переставити так, що вийдуть дві кулі такого ж розміру, як і вихідний куля »[7, с. 42]. І відразу, звичайно, виникає питання: а як це співвідноситься з фізичним світом? Невже таке можливе і в відношенні речовини? .. Або ж аксіома вибору тут непридатна? .. Ми не знаємо відповідей на ці питання.
Так звані парадокси, а точніше, найскладніші апорії, були «язвою» теорії множин з найперших етапів її входження в науковий обіг, вже з 1890-х рр.. Так, Б. Рассел, аналізуючи канторівскої теорему про так званий «безлічі-ступеня» (теорема про те, що багато всіх підмножин даної множини має потужність більшу, ніж вихідна безліч), виділив поняття «множини, яка не є елементом самого себе». Наприклад, множина всіх множин не буде таким безліччю, а безліч натуральних чисел є множиною, що не збігається ні з яким своїм елементом. Якщо ми розглянемо безліч М всіх множин, які не є елементами самого себе, то ми не зможемо ні негативно, ні ствердно відповісти на запитання: чи буде воно саме безліччю того ж типу, що і його елементи, тобто множиною, що не містить самого себе в якості елемента? Якщо ми відповімо ствердно, звідси випливає, що М як містить всі множини, що не є власним елементом, має містити й себе, що суперечить припущенню. Якщо ж ми відповімо негативно, тобто М не є множиною, що не містить себе в якості елемента, тоді, значить, М утримує себе в якості свого елемента, але всі елементи М суть безлічі, що не містять себе в якості свого елемента, тобто ми знову отримуємо протиріччя. На підставі таких міркувань Рассел сформулював визначення предикативних і непредикативних властивостей множин. Тільки перші можуть дійсно визначати множини; використання ж других веде до парадоксів. Ці спостереження втілилися в подальшому в так звану теорію типів, яку Рассел розвивав спільно з Уайтхед.
Іншим дуже неприємним казусом був парадокс Буран-Форті. Мова в ньому йде про безліч W всіх порядкових чисел. Згідно конструкціям Кантора, це безліч цілком впорядковано, і, отже, вона повинна мати відповідний порядковий тип b. Цей тип b повинен бути більше, ніж всі типи, що містяться в W. Однак за умовою W є об'єднання всіх порядкових типів, тобто b теж входить до W. І ми тим самим приходимо до протиріччя: b> b. Буран-Форті робив з цього парадоксу той висновок, що канторівскої теорема про порівнянності будь-яких ордіналов невірна. І тоді руйнувалося також затвердження і про порівнянності будь-яких кардиналів (потужностей).
Кантор намагався піти від парадоксів, пов'язаних із «дуже великими» множинами, по суті, знову ... введенням нових аксіом. Вже до кінця 1990-х рр.. він пропонує (в листах до Дедекінду) розрізняти множинність (або сукупність) (Vielheit) і безліч (Menge). Не всяка множинність є безліч. Якщо «спільне буття» всіх елементів деякої множинності (сукупності) можна «мислити без протиріччя», то ми говоримо, - за Кантором, - що нам дано деякий безліч. В іншому випадку ми можемо говорити тільки про множинність або неконсістентной сукупності. Наприклад, саме такий випадок, коли ми розглядаємо «сукупність усього мислимого» або множини всіх множин, які не є елементом самого себе з парадоксу Рассела. Власне кажучи, теорія множин у своїй змістовній частині дійсна тільки для множин, а не для будь-яких сукупностей.
Але як же практично визначати, чи буде сукупність консистентним чи ні? На підставі чого ми можемо стверджувати, що множинності, яким приписуються навіть перші кардинальні числа: a0 (потужність будь-якого рахункового множини), a1, .., an - є консистентними? Відповідь Кантора визначення та ... непереконливий: твердження про консистентності цих множин є «аксіома узагальненої трансфінітної арифметики» (див. [5, гл. 5, § 3]). Але знову, чи не є постулювання подібних властивостей для нескінченності нічим не виправданої «нав'язливістю» щодо цього таємничого «об'єкта»?
Цікаво зауважити, що разом з визнанням існування неконсістентних сукупностей валилася одна з основних інтенцій теорії множин. Кантор з самого початку прагнув подолати потенційність, «погану нескінченність» потенційної нескінченності, прагнув затвердити розгляд нескінченного як актуальної даності. Але врешті-решт це виявилося в принципі неможливим. Наприклад, вся сукупність ордіналов (бере участь, зокрема, і в парадоксі Буран-Форті) є неконсістентной ... «Теорія множин, - пише чеський математик П. Вопенка, - зусилля якої були спрямовані на актуалізацію потенційної нескінченності, виявилася нездатною потенційність усунути, а тільки змогла перемістити її в більш високу сферу» [8, с. 24].
Драматичні події історії «приручення» актуальної нескінченності в науці викликають у пам'яті класичну дихотомію християнського богослов'я: апофатичного і катафатіческій шлях пізнання Бога. Катафатіческое (від грец. Vokitajatak - ствердну) богослов'я описує Бога так, як Він нам є в одкровенні. Тут Богу личать імена - Мудрість, Любов, Доброта і т.д., взяті в найвищому ступені. Проте в своїй природі, у своїй суті Бог залишається трансцендентним і незбагненним. Бог неіменуем у своїй глибині, і шлях наближення до нього є шлях християнської містики. Відповідне цього богослов'я називається апофатичного (від грец. AjVokitajop - негативний). «Шлях негативний, апофатичного прагне пізнати Бога не в тому, що Він є" (тобто не у відповідності з нашим створеним досвідом), а в тому, що Він не є », - пише В.М. Лоський [9, с. 261-336]. Шлях цей складається в послідовності заперечень: виключається все створене, все створене якості, включаючи і «небеса», тобто ангельський світ. Далі виключаються самі піднесені атрибути: добрість, любов, мудрість, - так як Бог вище і всього цього. І нарешті, буття, бо Бог як джерело самого існування вище і буття. Залишається лише містичний досвід невимовного предстоянія Живому Богу, обличчям до Особі ...
Ця традиційна богословська дихотомія як би відлунює і в наукових інтерпретаціях нескінченності. Історично традиційний, «консервативний» підхід до нескінченності, укорінений ще в грецькій античності, - саме «апофатичного». Відмовляючись розглядати актуально нескінченне, визнаючи тільки потенційну нескінченність, ми як би залишаємося «по цей бік» від нескінченності, розглядаємо її лише з точки зору кінцевого. Спекулятивні ж побудови з актуально нескінченним є вже «катафатіка»: ми претендуємо пізнати нескінченне у самому собі. Вся складність в тому, що нескінченність, дійсно, нам певною мірою «дана». Кантор справедливо писав, що якщо ми визнаємо потенційну нескінченність, то ми повинні визнати і актуальну [10, с. 297]. Актуальна нескінченність є хіба що «вмістилище», в якому розгортається ряд потенційної нескінченності (наприклад, натуральний ряд чисел: 1,2,3 ,..), і це вмістилище має бути вже актуально даними. Ми «бачимо» це вмістилище як би «бічним зором»; точніше кажучи, ми не можемо «бачити» цього вмістилища як окремий «об'єкт», тому що ми самі є його частина, а грань між суб'єктом і об'єктом виявляється тут знятої ... Кантор прав, що нам дано це «осяжний вмістилище», проте яким повинен бути «спосіб пересування» по ньому - питання складне і спірне ... У нашому сприйнятті актуально нескінченного «по той бік» суб'єкт-об'єктної межі знову вбачається деяка паралель з апофатика християнського досвіду, в якій предстояння Богу лицем до лиця також «несліянно і нероздільно». Хоча, звичайно, є й суттєва різниця: досвід, так би мовити, «математичної апофатика» характерно безособовий ... Швидше його можна уподібнити неоплатонічної апофатика: в цьому «всі» актуально нескінченного відкривається нам як би тільки «простір» для особистої зустрічі (див., наприклад, [9]).
Ми говорили вище, що позитивні спроби осмислення нескінченності почалися в європейській думки саме з приходом християнства. Наявність цієї «пуповини», що зв'язує проблеми нескінченності і теологію, в новітній час було ще раз переконливо засвідчено роботами Кантора. Чотири століття наполегливих зусиль щодо осмислення нескінченного не принесли нам багато нового знання. Нескінченність і сьогодні залишається для нас глибокою таємницею, такий же незбагненною, як свобода, особистість, Бог. Ці спроби, проте, дозволили «розчистити грунт», краще усвідомити, що ми дійсно знаємо, що нам тільки здається, а чого ми просто дуже хочемо ... Завдяки цьому ми сьогодні можемо, зокрема, краще оцінити мудрість слів, сказаних на зорі новоєвропейської науки одним з її геніальних піонерів, Блез Паскаль: «Ми знаємо, що є нескінченність, але ми не знаємо її природи ... Можна, отже, також дуже добре знати, що Бог є, не знаючи того, що Він є, і ми не повинні укладати, що Бога немає з того, що ми неясно усвідомлюємо Його природу »(див. [11, p. 161] ).
Список літератури
1. Платон. Філеб. - 17E, 4-8 (пров. Н. В. Самсонова).
2. Аристотель. Фізика. 207a, 22-27 (пер. В. П. Карпова).
3. Катасонов В.М. Метафізична математика XVII століття. М.: Наука, 1993.
4. Лейбніц Г.В. Твори у чотирьох томах. Т. 1. М., 1982. С. 312-317.
5. Катасонов В.М. Боровся з нескінченним: Філософсько-релігійні аспекти генезису теорії множин Г. Кантора. М.: Мартис, 1999.
6. Коен П.Дж. Теорія множин і континуум-гіпотеза. Бібліотека СБ «Математика». М., 1982.
7. Довідкова книга з математичної логіки. Ч. II. Теорія множин. М., 1982.
8. Вопенка П. Математика в альтернативної теорії множин. Нове у закордонній науці / / Математика. М.: Світ, 1983. № 31.
9. Лоський В.М. Догматичне богослов'я / / Містичне богослов'я. Київ, 1991. С. 261-336.
10. Кантор Г. Праці з теорії множин / Відп. ред. О.М. Колмогоров, А.П. Юшкевич. М., 1985.
Pensees / / Pensees de Pascal et de Nicole. Paris, 1852.