Доказ нескінченності деяких видів простих чисел

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Спосіб докази нескінченності кількості деяких видів простих чисел

Грецький вчений Евклід ще в ІІІ столітті до нашої ери довів, що кількість простий и х чисел - нескінченний.

Теорема Діріхле стверджує, що в деякій арифметичній прогресії, яка складається з натуральних чисел, кількість простих чисел або нескінченність. Це означає, якщо , Тоді значення многочлена першого ступеня будуть простими числами при заміні нескінченної кількості цілих чисел.

Вже про многочленів другий і про більшою мірою цього не можна було сказати. Нерозв'язною була проблема простих чисел-близнюків.

Нижче ми розглянемо спосіб, за допомогою якого можна вирішити частину цих проблем.

Розглянемо многочлен який при значеннях від до , Дає нескінченний ряд натуральних чисел (1)

А також розглянемо ряд простих чисел (2) деякого типу, про який відомо, що він нескінченний.

Нехай прості числа (2) ділять числа (1) і деякі числа (2) збігаються з деякими числами (1). Застосовуючи спосіб решета Ератосфена, ми побачимо, що кожне просте число c (2) вибиває з ряду чисел (1) частина, а на всі інші прості числа залишиться частина чисел (1).

Якщо p 1 вибиває t / р 1, то p 2 виб'є ще частина чисел (1) з тих, що залишилася, а разом вони виб'ють частина чисел (1).

Для всіх інших простих чисел залишиться

частина чисел (1)

Третє просте число виб'є ще частина, а разом вони виб'ють частина чисел (1). На всі залишилися прості числа з (2) залишиться

частина чисел (1)

Продовжуючи ми отримаємо, що прості числа вибивають

(3)

частина чисел (1), а на решту прості числа залишиться

(4)

частина чисел (1)

Використовуємо той факт, що прості числа від до вибивають всі складні числа в інтервалі від до .

Нехай найбільше просте число з (2) збігається з послідовності (1). Для того щоб з'ясувати, чи є ще прості числа в послідовності (1) більше за досить формулу (4) помножити на число А-кількість чисел (1) на проміжку від до . І якщо

(5)

значить, там ще є прості числа більше і менше .

Розглянемо проблему простих чисел-близнюків

Нехай многочлен першого ступеня , Де , Дає прості числа-близнюки. Потрібно довести, що їх кількість нескінченно. Запишемо всі пари чисел

(6)

Легко показати, що кожне просте число вибиває по дві пари таких чисел, тобто частину.

Нехай

(7)

остання відома нам пара простих чисел-близнюків цього виду. Використовуючи формули (3) ми побачимо, що всі прості числа від до вибивають

(8)

частина чисел (6). А, використовуючи формулу (4) ми отримаємо, що на всі інші прості числа залишиться

(9)

частина чисел (6).

Для того, щоб з'ясувати чи є ще інші пари простих чисел-близнюків у послідовності (6) більше за (7), досить досліджувати формулу (9) на проміжку до .

Якщо

(10)

де А-кількість пар чисел (6) на проміжку від до , Тоді на цьому проміжку є ще хоча б одна пара простих чисел-близнюків даного виду

Так як

тоді останнє число виду (7) менше , Яке буде ділитися простими числами меншими за , Буде число

.

З урахуванням цього формула (10) набуде вигляду

,

де видно, що ліва частина більше одиниці, а це означає, що кількість пар простих чисел-близнюків нескінченно.

Для прикладу розглянемо прості числа-близнюки виду .

Нехай найбільша пара таких чисел. Оскільки числа такого виду непарні, значить, не бере участі. Вираз (10) для даного випадку набуде вигляду , Де очевидно, що воно більше одиниці, а це означає, що кількість пар простих чисел-близнюків виду нескінченно. Таким же способом можна розглядати і більш складні многочлени першого ступеня. Дуже легко доводиться і теорема Чебишова, Гольдбаха-Ейлера.

Розглянемо многочлен другого ступеня

(11)

Дільниками його будуть прості числа виду

(12)

Підставляючи в (11) значення від до одержимо ряд чисел (13). Нехай найбільше просте число виду . Потрібно довести що є ще прості числа виду більше за .

Кожне просте число (12) вибиває з послідовності (13) частина чисел. З урахуванням формули (3) ми отримаємо, що всі прості числа (12) від до вибивають

(14)

частина чисел з послідовності (13) На решту прості числа виду залишиться з урахуванням формули (4)

(15)

частина чисел послідовності (13).

Так як , Тоді останнє число виду менше , Яке буде ділитися простими числами виду меншим за , Буде число . .

Для того, щоб показати, що є ще прості числа

(16)

достатньо довести, що

(17)

Для чого нерівність (17) запишемо по-іншому

(18)

Розглядаючи (18), бачимо, що воно більше за одиницю. Це означає що твердження (16) вірно, а значить, і кількість простих чисел виду нескінченно.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
26.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Закономірність розподілу простих чисел в ряду натуральних чисел
Роль простих чисел в математиці
Алгоритм знаходження простих чисел
Теорія про нескінченність простих чисел близнюків
Теорія про нескінченність простих чисел-близнюків
Розробка методичного посібника на тему Генерація простих чисел
Особливості виготовлення деяких видів порошків
Психологічні тонкощі деяких видів мистецтва
Екологічна сутність життєдіяльності деяких видів комах
© Усі права захищені
написати до нас