Станішевський Олег Борисович
Дослідження нескінченності ніколи не закінчиться. пізнання нескінченності не є процес безперервного накопичення знань про неї, це, швидше, поетапний безперервно-історичний процес. На кожному етапі її пізнання розкриваються все нові і нові її сторони. Нескінченність є фундаментальною гносеологічної і онтологічної константою. Першим знанням про неї був апейрон Анаксімандра (VI ст. До н.е.), який означав нескінченне суще. Представник пізнього піфагореїзму Архіт Тарентський (IV ст. До н.е.) так доводив нескінченність всесвіту: "помістилися на самому краї Всесвіту ... був би я в змозі простягнути свою руку або палицю далі за межі цього краю чи ні?" [1, с. 240]. Аристотель, як відомо, заперечував актуальну нескінченність. Він і ввів поняття актуальною і потенційної нескінченності. Правда, логічно не зовсім ясно - як можна говорити про потенційну нескінченності при відсутності нескінченності як такий, тобто актуальної нескінченності. Потім християнство вважало, що воно вирішило проблему нескінченності, надавши її як невід'ємного атрибуту Бога. потім математика в особі диференціального й інтегрального числення взяла нескінченність на своє озброєння. Оскільки нескінченність не мала суворого і чіткого визначення, то в математиці почали з'являтися пов'язані з нею протиріччя. Так, наприклад, нескінченні ряди в математиці розділили на сходяться і розходяться, було також узаконено положення про те, що лінії складаються з точок, площині - з прямих і т.д. До Георга Кантора нічого принципово нового в розумінні нескінченності не було. Заслугою Кантора як раз і є відкриття їм нескінченної ієрархії алеф (Алеф - це нескінченні кардинальні числа, або потужності нескінченних множин). Їм була створена теорія нескінченних множин. Цілком закономірним було те, що в ній почали виявлятися суперечності. Найбільш відомими з них є парадокси Рассела. Про парадокси і протиріччях існує досить велика література. Їх дослідженню присвячені, наприклад, роботи [2], [3], [4], [5]. Проте протиріччя і парадокси в них не вирішуються, а обговорюються. Правда, Бурова у [4] справедливо підкреслює, що пряма не складається з точок, площина не складається з прямих, а те, що в математиці вважається, що пряма складається з точок, є помилкою. Одним словом, протиріччя і парадокси у теорії нескінченних множин зберігаються і понині. За не менш ніж столітнє існування теорії (а точніше - теорій) нескінченних множин у розумінні нескінченності мало що змінилося. Навіть поява нестандартного аналізу (див. про нього в [6]) не внесло повної ясності в розуміння нескінченності. Але незважаючи на протиріччя, математика не збирається відмовлятися від "канторівскої раю", тобто від теорії нескінченних множин (про нескінченне та проблеми нескінченності в доступному викладі див. книжки: "У пошуках нескінченності", "Розповіді про множини" - автор Н.Я . Віленкін; "Невичерпність нескінченності" - автор Ф. Ю. Зігель; "Гра з нескінченністю" - автор угорська математик Р. Петер).
Останнім часом з'явилися публікації, спрямовані на повалення теорії нескінченних множин і негативно оцінюють самого Г. Кантора та його вчення. Ці антіканторовскіе виступу не безпідставні і носять вельми рішучий і безкомпромісний характер. Ми тут покажемо неспроможність подібної антіканторовской тенденції.
Мова йде про публікації та виступах А.А. Зенкіна [7], [8], [9]. Ось як він оцінює свій результат [8, с. 167]: "Таким чином, вперше доведено велике інтуїтивне провидіння (і застереження!) Аристотеля, Лейбніца, Локка, Декарта, Спінози, Канта, Гауса, Коші, Кронекера, Ерміта, Пуанкаре, Брауера, Вітгенштейна, Вейля, Лузіна та багатьох інших видатних математиків і філософів про те, що "актуальна нескінченність" є внутрішньо суперечливим поняттям і тому його використання в математиці - неприпустимо ". Вчення ж Кантора оголошується шкідливим (там же): «саме теорема II Кантора завжди була і залишається сьогодні єдиним (!) Підставою для, воістину, вавилонського стовпотворіння незчисленних ордіналов і недосяжних кардиналів сучасної метаматематики: приберіть теорему II Кантора, і весь цей блискучий супертрансфінітний" вавилон "розсиплеться одноразово, оскільки найбільший розмова про існування нескінченних множин, що розрізняються за своєю потужністю, буде в цьому випадку виглядати всього лише" трансфінітної претензією на порожнє глибокодумність "» і "цікавим патологічним казусом в історії математики, від якого прийдешні покоління прийдуть в жах" . подібних місць з негативною оцінкою Кантора та його навчання в цих статтях дуже достатньо.
На чому грунтується така негативна оцінка теорії нескінченних множин? Грунтується вона на неможливість довести діагональним методом, та і всіма іншими методами, існування нескінченних множин, потужність яких строго більша потужності початкового нескінченної кількості, або коротко - відношення "2M> M" для нескінченної кількості M. Сутність цієї неможливості полягає в наступному. За передбачуваному перерахунку нової множини 2M будують новий, "діагональний", елемент, який жодним чином не може міститися в передбачуваному перерахунку. Кантор і всі його послідовники (в їх числі й наші відомі математики П. С. Александров, А. А. Мальцев) з цього роблять висновок, що нове безліч не можна перерахувати за допомогою вихідного безлічі M, яким, наприклад, може бути безліч натуральних чисел. Проте вся відома теорія нескінченних множин грунтується на аксіомі нескінченності Дедекінда: "безліч є нескінченним, якщо і тільки якщо воно має власне підмножина, в яке взаємно однозначно відображається дане безліч" [10, Т.1, с. 455]. тому, додаючи до будь-якого безкінечного безлічі один новий елемент, ми нічого не змінюємо - потужність даного множини не зміниться. Отже, діагональний метод не повинен закінчуватися виявленням елемента, який не входить у передбачуваний перерахунок безлічі 2M, а повинен бути продовжений включенням "діагонального" елемента у передбачуваний перерахунок і відповідно отриманням нового передбачуваного перерахунку, який вже буде містити і цей "діагональний" елемент. Але потім може бути отриманий наступний "діагональний" елемент і ця процедура може тривати нескінченно, що й означає неможливість довести незліченна безліч 2M. Це, у свою чергу, означає не що інше, як неможливість побудови канторівскої ієрархії Алеф, з чого Зенкін і укладає про неспроможність нескінченності і канторівскої теорії множин.
Але з таким висновком не можна погодитися з двох причин. По-перше, заперечення нескінченності і канторівскої теорії множин є просто-напросто крайній агностицизм. Якщо погодитися з такою точкою зору, то з математики треба буде викинути багато найцікавіші і найважливіші розділи. Втратимо, якщо можна так сказати, нескінченно багато, а знайдемо нескінченно мало. По-друге, концептуальні суперечності з теорії множин можна усунути [11]. Ми тут коротко зупинимося на усуненні тільки тих протиріч, які мають відношення до разбираемому тут протиріччя між прийнятим в теорії множин визначенням нескінченної кількості і діагональним методом Кантора.
Суперечності теорії множин чомусь прийнято називати парадоксами. Напевно, з легкої руки Б. Рассела. І ще тому, напевно, що парадокси відносять до чогось непізнаного і прихованого і тому їх існування в теоріях вважають природним. Але, врешті-решт, парадокси і протиріччя повинні бути дозволені і усунені з теорії. Оскільки ми тут захищаємо право нескінченності на її існування, то й розберемо ми тут лише два концептуальних протиріччя, що мають безпосереднє відношення до цього питання, хоча, звичайно, концептуальних суперечностей у теорії множин значно більше. Перше з них є фундаментальним і являє собою методологічний принцип всієї теорії нескінченних множин. Це - принцип "частина може дорівнювати цілому". Друге концептуальне протиріччя полягає у фактичному відсутності визначення початкової актуальної нескінченності. Розглянемо ці протиріччя по порядку.
На принципі "частина може дорівнювати цілому" як на непорушному фундаменті спочиває аксіома нескінченності Дедекінда, еквівалентна іншим визначенням нескінченності (наприклад, в книзі П. С. Александрова [12, с. 21] аксіома Дедекінда доведено як теорема). Наведемо частина тих протиріч теорії множин, які породжуються цим принципом. Одним з відомих парадоксів є парадокс з розбіжними рядами. Наприклад, знакозмінних ряд S = 1-1 +1-1 + ... в залежності від угруповання його членів може мати будь-яке значення суми S від 0, ± 1, ± 2, ... до ± ∞. І все тому, що при перегрупуванні членів ряду кількість негативних і позитивних членів на підставі принципу "частина може дорівнювати цілому" може мінятися самим довільним чином. Кажуть також, що підмножина парних, або непарних, чисел натурального ряду еквівалентно всього натурального ряду. Такий же парадоксальною є і арифметика над трансфінітної числами, в якій діють інші, ніж в кінцевій арифметиці, правила і які також грунтуються на принципі "частина може дорівнювати цілому". Наприклад, в трансфінітної арифметиці мають місце такі співвідношення: n + ω = ω ≠ ω + n, 2 × ω ≠ ω + ω = ω × 2, ω = n × ω ≠ ω × n та ін Є ще правила виконання арифметичних операцій над кардинальними числами, відмінні і від правил кінцевої арифметики, і від правил трансфінітної арифметики. Так,
визначає кількість елементів у нескінченній множині. А таке доведене Кантором положення, як "число точок відрізка дорівнює числу точок квадрата", настільки сильно вплинуло на математику, що змусило в топології відмовитися від загальноприйнятого в усьому природознавстві параметричного визначення розмірності просторів і прийняти на озброєння індуктивне визначення розмірності, яке визначає континуум будь-яких розмірностей як множини. Всі ці парадокси ніяк не узгоджуються з класичною логікою. в теорії множин з класичною логікою узгоджується як раз тільки одне - діагональний метод Кантора, оскільки в ньому не задіяно суперечливе визначення нескінченної кількості на основі принципу "частина може дорівнювати цілому". Тому якщо і є підстави говорити про помилку Георга Кантора, то не щодо діагонального методу [7], а щодо введеного ним у теорію множин принципу "частина може дорівнювати цілому", який знаходиться у кричущому протиріччі з класичною логікою. В [11] запропоновано відмовитися в теорії нескінченних множин від принципу "частина може дорівнювати цілому" і відповідно від визначення нескінченної кількості по Дедекінду. У результаті в діагональному методі докази відносини 2ω> ω вже не можна буде додати у передбачуваний перерахунок безлічі 2ω новий, "діагональний", елемент, так як це додавання згідно з принципом класичної логіки "частина не може дорівнювати цілому" змінить передбачуваний перерахунок і перетворить його в нове безліч, нееквівалентне передбачуваному перерахунку. Діагональний метод Кантора, таким чином, залишиться непохитним. Підуть також з теорії множин і вище перераховані суперечності, а в нескінченному будуть діяти ті ж закони класичної логіки, що і в кінцевій області.
Цікаво, звісно, задатися питанням: як і чому великі математики доводили і передоказивалі теорему Кантора і не помічали протиріччя між визначенням нескінченної кількості і діагональним методом? Нам здається, чтопрі її доказі, в силу грандіозності наслідків теореми "2M> M", на час або "забували" про принцип "частина може дорівнювати цілому", або підсвідомо підпорядковувалися принципом "частина не може дорівнювати цілому" і тому зупинялися на тому самому місці діагонального методу, де треба було перевірити можливість додавання нового елемента до перевіряється безлічі і повторного побудови іншого нового елемента і т.д. швидше за все, цим і можна пояснити ситуацію з діагональним методом. Тут доречно згадати Б. Рассела і запитати: чому Рассел замість того, щоб розібратися по суті підстав теорії множин та їх протиріч, виставляв на передній план слідства з виявлених ним парадоксів? Чому? Нам здається тому, що критикувати і руйнувати завжди легше, ніж творити, що деконструювати, ламати легше, ніж конструювати. Аналогічним чином йдуть справи і у випадку останніх антіканторовскіх виступів А.А. Зенкіна.
У його статті [9] на основі хибних умовиводів також дискредитується канторівскої теорія множин. На наш погляд, у ній має місце найпростіше змішання кінцевого з безкінечним [9 с.80-81]. Дійсно, там розглядаються дві знакові конструкції (5) і (6). Знакова конструкція (5) - це відповідний запис натурального ряду:
1, 2, 3, ..., w, w +1, w +2, w +3, ...,
де символ w є довільне кінцеве натуральне число. Відповідно три крапки між натуральним числом 3 і натуральним числом w означає, що на його місці знаходиться w-4 натуральних чисел, тобто цілком визначене кінцеве кількість w-4 натуральних чисел. Знакова конструкція (6) - це, як каже автор, "знаменитий канторівскої ряд трансфінітної чисел":
1, 2, 3, ..., ω, ω +1, ω +2, ω +3, ..., ω × 2, ω × 2 +1, ω × 2 +2, ω × 2 +3, ...
(Насправді це не низка трансфінітної чисел, а нескінченний ряд порядкових чисел. Порядкові ж числа включають в себе і кінцеві порядкові числа, і нескінченні, тобто трансфінітної, числа.) Тут символ ω означає найменшу трансфінітної число. Відповідно крапки між числами 3 і ω, з одного боку, і між числами ω +3 і ω × 2, з іншого боку, кажуть про те, що на місці першого багатокрапки знаходиться нескінченну кількість кінцевих натуральних чисел 4, 5, ..., а на місці другого багатокрапки знаходиться таке ж нескінченна кількість трансфінітної чисел ω +4, ω +5, ω +6, ... порівнюючи чисто візуально конструкції (5) і (6), автор робить такий висновок (там же с.81): "таким чином ми фактично побудували (довели побудовою) 1-1-відповідність між безліччю трансфінітної цілих (порядкових) чисел Кантора (6 ) і безліччю всіх кінцевих натуральних чисел із збереженням порядку ". Як можна встановити (1-1)-відповідність, тобто взаємно однозначна відповідність, між безліччю кінцевих чисел (конструкція (5)) і безліччю порядкових чисел, що включають у себе кінцеві порядкові числа і трансфінітної числа (конструкція (6)), невідомо нікому . Тому правильно про це сказано в коментарі до цієї статті. А встановити це відповідність неможливо тому, що трансфінітної числа конструкції (6) - це порядкові типи рахункових цілком упорядкованих множин, які складають незліченну безліч [12, с. 69-70]. Автор же всупереч цьому стверджує на с.81, що "Добре відомо, що канторівскої ряд (6) ... є рахунковим безліччю", чого насправді немає [12, с. 69-70]. А вся справа в тому, що автор всіма силами намагається повалити нескінченність і тому ототожнює кінцеве з нескінченним допомогою надуманого їм (1-1)-відповідності між конструкціями (5) і (6). Причому, автор неточний і в тому, що конструкцію (6) називає "безліччю трансфінітної чисел", хоча в неї входять і кінцеві числа (вони що - теж трансфінітної числа?!). Треба сказати більше. На с.93 у відповіді автора на згаданий коментар знову стверджується, що конструкція (6) є лічильної. Але це невірно! Конструкція (6), як мінімум, має потужність стандартного континууму ω1 = 2ω, про що говорять і П.С. Александров [12, с. 69 і теорема 18 на с. 70], і Ю.І. Манін [13, с. 105]. Це - перше. По-друге, автор наполегливо стверджує [9, с. 81, 93] про ізоморфізмі конструкцій (5) і (6) зі збереженням природного порядку натурального ряду. Але цього теж не може бути, оскільки в конструкції (5) будь-яке натуральне число n (крім першого) має попередника n-1, а в конструкції (6) є нескінченно багато порядкових чисел (так званих граничних) ω, ω × 2, ω × 3 ,..., які не мають попередників (див., наприклад, у Ю. І. Маніна [13, с. 104] чи математичної енциклопедії [10, Т.4, стаття "Порядкове число"]), внаслідок чого в конструкції (6) перед граничними трансфінітамі ω, ω × 2, ω × 3, ... є так звані "дірки", або "чорні діри", в яких містяться міріади лічильно нескінченних множин, а в конструкції (5) таких немає і тому між конструкціями (5) і (6) ніяк не може бути ізоморфізму, тим більше, з збереженням природного порядку натурального ряду.
таким чином, ніякого (1-1)-відповідності між лічильної конструкцією (5) і незліченну конструкцією (6) немає і бути не може. Відповідно немає і бути не може ніякої мови про зведення нескінченного до кінцевого, що намагався зробити Зєнкін.
З усього вищесказаного слід тільки одне: повалення канторівскої теорії множин не має під собою ніяких підстав. Суперечності? Так - у ній є протиріччя, але їх подолання та усунення є цілком посильними і реальними [11].
Перейдемо до другого названого нами концептуального протиріччя - фактичної відсутності визначення початкової актуальної нескінченності. Вразливим в теорії множин є початкова нескінченна безліч, у якості якого виступає безліч натуральних чисел N = 0,1,2,3 ,..., n, ... Воно називається також рахунковим безліччю. Вивчається воно як актуальне безліч, що має потужність ω. Нескінченність ω є найменша нескінченність, оскільки всі числа, менші цієї нескінченності, входять в безліч N, яке включає в себе лише кінцеві числа. Відомим протиріччям є той факт, що безліч N містить лише кінцеві числа - воно ще називається безліччю всіх кінцевих чисел - і, незважаючи на це, постулюється, що воно містить нескінченну кількість ω кінцевих чисел. З точки зору класичної логіки цього не може бути, оскільки кількість чисел у множині N повинне збігатися з максимальним числом цієї множини, тобто число ω, або принаймні число ω-1, повинно входити в множину N. Але це не так - число ω не входить в ряд N, воно називається граничним, до якого прагнуть числа натурального ряду, що записують як: . Причому, в цій та багатьох інших подібних записах має місце нечіткість у розумінні символів нескінченності. Так, запис n → ∞ повинна розумітися просто як фраза "n прямує до нескінченності". Рівність ж межі limn трансфініту ω цілком конкретно, хоча очевидно, що ω ≠ ∞. Не маючи попередника (число ω-1 в теорії множин заборонено), число ω виявляється і магічним, і містичним, і фантастичним. Внаслідок цього між числом ω і всіма кінцевими числами N має місце "дірка", яка одночасно може бути і "чорною дірою", в яку можуть летіти міріади нескінченних множин N, і "чорної антідирой", з якої можна черпати також міріади нескінченних множин. Незважаючи на всю цю екзотику, безліч натуральних чисел залишається незмінним за своєю потужністю, тобто за своєю кількістю елементів. Такий стан речей знаходиться в явному протиріччі з класичною логікою, з її принципом "частина не може дорівнювати цілому". Це, напевно, і спонукало Г. Кантора та Р. Дедекінда ввести в теорію нескінченних множин принцип "частина може дорівнювати цілому" (цей принцип ввів в ужиток ще Микола Кузанський).
Оскільки ми відмовилися від цього принципу, то очевидно, що треба знайти визначення актуальної нескінченності, що відповідає дійсному стану речей. А воно, тобто дійсний стан речей, є наступним. По-перше, оскільки суперечності в нескінченному виникають через порушення принципів класичної логіки, то головним методологічним принципом у визначенні нескінченності повинні бути принципи класичної логіки. По-друге, необхідно мати несуперечливе визначення рахункового множини. Нарешті, по-третє, треба дати чітке і ясне несуперечливе визначення початкової актуальної нескінченності.
Отже, що ж являє собою рахункове безліч? Чи є воно нескінченним, як це загальноприйнято, або ж воно насправді є кінцевим, хоча і необмеженим? Те, що це дуже важливо, видно з такого. Якщо допустити, що рахункове безліч є кінцевим, то тоді знімуться всі його суперечності. По-перше, воно буде містити не нескінченна кількість ω елементів, а кінцеве кількість N, що, як і ω, буде граничним числом для всіх кінцевих чисел, але не нескінченним, а кінцевим, причому таким незбагненно великим кінцевим числом, що всі кінцеві числа n будуть менше його, тобто n <N. По-друге, зніметься і протиріччя між тим, що рахункове безліч містить нескінченну кількість елементів, і тим, що рахункове безліч не містить нескінченних чисел.
А тепер покажемо, що визначення рахункового множини як нескінченної кількості ω є фундаментально суперечливим.
Можна, звичайно, згадати, що рахункове безліч спочатку визначається алгоритмом освіти його елементів n за допомогою звичайнісінького рахунку: n = (n-1) +1. І немає ніяких аргументів на користь того, що серед елементів може знайтися такий елемент, який може породити послідовника n +1, що має нескінченно велике значення. Тому й кажуть, що ω - це найменше нескінченне число, а всі числа, менші ω, є кінцевими числами. Насправді все не так: серед чисел стандартного рахункового безлічі
можна знайти і нескінченні числа.
Дійсно, візьмемо і запишемо всі числа n рахункового безлічі N у звичайній двійковій системі числення: "0 "=... 000," 1 "=... 001, "2 "=... 010 ,...," n "=... rl ... r2r1r0 (rl = 0,1; l = 0,1,2 ,..., L, l - номери двійкових розрядів) і т.д. очевидно, що для запису всіх чисел потрібна деяка кількість L двійкових розрядів. Завідомо відомо, що воно менше нескінченної кількості ω самих чисел n рахункового безлічі N. Та це легко і доводиться - як з використанням теореми Кантора 2ω> ω, так і без неї. Якщо не використовувати теорему Кантора, то треба зауважити, що оскільки всі числа рахункового безлічі є кінцевими, то й кількість L двійкових розрядів для їх запису є кінцевим. Але в такому разі, як відомо з арифметики, кількість чисел, яку може бути записано за допомогою кінцевого числа L розрядів, так само 2L. Оскільки L кінцеве, то й 2L є кінцевим числом. Але це суперечить тому, що кількість усіх кінцевих чисел рахункового безлічі згідно з визначенням є нескінченним. При використанні теореми Кантора треба відмітити те, що двійкові розряди rl представляють собою безліч L, а всі його підмножини - це не що інше як всі кінцеві числа N. Кількість же підмножин безлічі L одно 2L, яке є також нескінченне число ω, тобто 2L = ω, звідки безпосередньо випливає, що L повинно бути нескінченним. По теоремі ж Кантора ω = 2L> L, тобто L <ω, що за визначенням рахункового безлічі значить, що L є кінцевим і належить счетному безлічі, то є . Таким чином, отримуємо протиріччя: з 2L = ω випливає, що L є нескінченним, а з L <ω - що L є кінцевим. Це - з одного боку. З іншого боку можна довести, що рахункове безліч повинно містити нескінченні числа. Подібно до того, як початкова нескінченність ω є межа
, Так і кількість розрядів L можна визначити як межа
, Що дорівнює нескінченності, оскільки функція L (n) є монотонно зростаючою. Позначивши цю межу деяким нескінченним числом w і врахувавши, що w <ω, прийдемо до висновку, що рахункове безліч містить і нескінченне число w <ω, що природно знаходиться в протиріччі з визначенням рахункового множини як множини, що складається лише з кінцевих чисел.
Отже, рахункове безліч є або кінцевим і тоді ніяких пов'язаних з ним протиріч не існує, або вона є нескінченним безліччю, що містить як кінцеві числа, так і нескінченні, наприклад, число w. Але оскільки ми не знаємо - як з як завгодно великого кінцевого числа n за допомогою операції n +1 може з'явитися нам нескінченне число ω, то треба визнати, що рахункове безліч N є кінцевим.
З усього щойно сказаного ми робимо два фундаментальні висновки. Перший висновок: рахункове безліч N = 0,1,2 ,..., n, ... сучасної стандартної математики є кінцевим безліччю, потужність якого дорівнює граничному числа N, не є нескінченним і яке можна називати найбільшим кінцевим числом за аналогією з тим, як називали його найменшим нескінченним числом. Другий висновок: найменшого нескінченної кількості не існує і не існує його в тому сенсі, що для будь-якої нескінченної множини ω існує субстрат-безліч w (безліч двійкових розрядів), потужність якого w є строго меншої потужності ω вихідної безлічі. Іншими словами, поряд з відомим твердженням теорії множин про те, що "не існує найбільшого нескінченної кількості", має місце і твердження про те, що "не існує і найменшого нескінченної кількості". Всі ці проблеми детально вивчені в книзі [11].
Само собою зрозуміло, що граничним безліччю для всіх кінцевих множин n є рахункове безліч N всіх натуральних чисел n і воно є кінцеве безліч. Для нескінченних кардинальних чисел wp існує два граничних кардинала: ω + - найбільший граничний кардинал, до якого прагнуть великі кардинали ω1, ω2, ω3 ,..., і ω-- найменший граничний кардинал, до якого прагнуть малі кардинали ω-1, ω -2, ω-3, ... . Всі кардинали, в тому числі і кінцеві кардинали nk, пов'язані між собою не тільки відомим теоретико-множинним ставленням "безліч всіх підмножин 2M множини M", але і зворотним цього відношення інформаційно-субстратною ставленням IS = log2M (окремим випадком якого є безліч двійкових розрядів для представлення того чи іншого безлічі чисел {0,1,2 ,...}). При цьому нескінченний кардинал ω0 = ω є потужністю початкового нескінченної кількості.
Таким чином, замість двох суперечливих підстав теорії нескінченних множин "частина може дорівнювати цілому" і "рахункове безліч є початкове нескінченна безліч" висунуті й використовуються наступні концептуальні положення:
· Перше: "частина не може дорівнювати цілому", що мовою множин означає: ніяка власна частина ніякого множини не може бути еквівалентною самому безлічі;
· Друге: відоме рахункове безліч натуральних чисел N = 0,1,2, ... є кінцевим безліччю, має потужність, рівну граничним кінцевому числу N;
· Третє: для будь-якої безлічі існує як відоме теоретико-множинне ставлення "безліч всіх підмножин 2M", так і зворотне йому інформаційно-субстратних ставлення "log2M";
· Четверте: початковим нескінченним безліччю є безліч, що має потужність, рівну початкового безкінечного кардиналу ω0 = ω.
З першими трьома положеннями ми вже розібралися. Залишилося розглянути четверте - який об'єкт є початковим нескінченним безліччю? Цей об'єкт має онтологічні підстави і, загалом-то, знайомий і відомий. Він чомусь вважається вторинним по відношенню до стандартного счетному безлічі. Отримують його наступним чином. Зазвичай кажуть: відкладемо на прямій x від точки "0" одиничний відрізок з кінцем, позначеним через "1", від точки "1" відкладемо ще один одиничний відрізок з кінцем, позначеним через "2", і так до нескінченності. Отримані таким чином точки на прямій геометрично ілюструють безліч натуральних чисел (див., наприклад, [14, с. 33-34]). Насправді ж первинним у знанні є не числа, а пряма, або одномірний континуум x. Він символізує першосутність онтологічну нескінченність. Можна сказати, що це про неї говорив Архіт Тарентський. Вона є актуальна нескінченність, але нескінченність континуальна, на відміну від нескінченності множинною. Ось її-то, тобто пряму x, ми і приймаємо в якості початкової онтологічної нескінченності, яку і позначаємо відомим символом "∞", надаючи йому таким чином статус визначеності. Тут нам достатньо її розуміння як нескінченної величини, або довжини. Ця нескінченна величина єдина. Ось тепер, якщо ми відкладемо на прямій x одиничний відрізок e і візьмемо ставлення ∞ / e, то отримаємо початкову теоретико-множинну нескінченність ω = ∞ / e. Це відношення є актуальне розбиття актуальною прямий ∞ на ω кінцевих відрізків e. Воно несе в собі глибокий онтологічний і гносеологічний сенс відносини між актуальним нескінченним ∞ і актуальним кінцевим e, або просто - між кінцевим і нескінченним. Розбиття ω породжує багато чого з єдиного і це багато що є початкове актуальне нескінченна безліч ω = {e1, e2 ,..., eω}, що складається з ω одиничних відрізків e. Про все це докладно йдеться в книзі [11].
Апологію безкінечності ми завершимо зіставленням нескінченної низки W всіх порядкових чисел з нашим нескінченним числовим рядом Ω, що є розвитком і поглибленням сутності ряду порядкових чисел.
Нескінченний ряд W порядкових чисел має вигляд:
W = {0,1,2,3 ,..., n ,...;
ω, ω +1, ω +2, ω +3 ,..., ω + n ,...; ...; ω × n, ω × n +1, ω × n +2, ω × n + 3 ,..., ω × n + n ,...; ...
...; Ω1, ω1 +1 ,...; ω2, ω2 +1 ,...; ...; ωω, ωω +1 ,...; ...}.
Його початком є вже розглядалася вище знакова конструкція (6), або канторівскої нескінченний ряд порядкових чисел. Він має вже згадуваними вище властивостями: за всіма кінцевими числами n слід найменше трансфінітної число ω, яке вказує також кількість попередніх йому кінцевих чисел. Саме ж число ω не має попередника, тобто лівого сусіднього з ним числа ω-1. Будь-яке нескінченне число виду ω, ω × n, ωn, ωω і т.д. є граничним і не має попередника. Не мають попередників і всі числа, кратні, якщо можна так сказати, початкової нескінченності ω. Це означає, що перед усіма цими числами є "дірки". Кажуть, що ряд W не має найбільшого нескінченного числа. Логічно це те ж саме, що говорити, що безліч кінцевих чисел не має найбільшого кінцевого числа.
Нескінченний числовий ряд Ω, вільний від концептуальних протиріч, виглядає наступним чином:
Ω = {0,1,2 ,..., N-1;
N, N +1 ,..., 2N-1 ;;...; nN, nN +1 ,...,( n +1) N-1; ;...; 2N-N, 2N-N +1 ,..., 2N-1;
ω-= 2N, ω-+1, ω-+2 ,..., ω-n-1, ω-n, ω-n +1 ,..., ω-1-1, ω-1, ω -1 +1, ...
..., Ω0-1, ω0, ω0 +1 ,..., ω1 ,..., ωi ,..., ω +}.
Ряд Ω має фундаментальні відмінності від ряду W. По-перше, він не має ніяких концептуальних протиріч. Зокрема, він простий по суті: на ньому справедливі принципи класичної логіки та кінцевої арифметики. По-друге, його рахункове безліч є не нескінченним, а кінцевим. І по-третє, ряд Ω не має у відомому сенсі не тільки найбільшого нескінченного числа, а й найменшого нескінченного числа. Цей факт у ряді Ω відображений символами граничних нескінченностей: ω - найменшою і ω + - найбільшої бесконечностей. Його архітектура істотно відрізняється від архітектури ряду W і полягає в тому, що ряд Ω може бути розбитий на п'ять класів:
-Початковий клас, він же - рахунковий безліч N = 0,1,2 ,..., N-1 усіх кінцевих чисел. Його кардинал N називається кінцевим числом Кагота. Кагот - герой оповідання чукотського письменника Юрія Ритхеу [15] (Кагот шукав числа, які вже не кінцеві, але ще й не нескінченні, і вважав, що той, хто знайде їх, буде щасливий і все дізнається). Про граничний числі Nздесь йдеться, що воно не існує в канторівскої сенсі, тобто в тому сенсі, в якому мовиться у відомій теорії множин про неіснування найбільшою нескінченності в ряді W;
-Проміжний клас чисел від N, N +1, N +2, ... до 2N-1, який представляє собою числа, вже не є кінцевими, але і не є ще нескінченними. Називаються вони числами Кагота;
-Клас малих нескінченних чисел від ω-= 2N, ω-+1, ω-+2, ... до ω0-1. Найменша нескінченне число ω-називається нескінченним числом Кагота. Про його неіснування говориться в тому ж сенсі, що і про неіснування числа N;
-Початкова нескінченне число ω = ω0 = ∞ / e. Воно є онтологічним підставою всіх нескінченних кардинальних чисел - і великих ω1, ω2 ,..., і малих ω-1, ω-2 ,...;
-Клас великих нескінченних чисел від ω +1, ω +2, ... до найбільшого кардинала ω +, про неіснування якого йдеться той же, що і про неіснування чисел N та ω-.
З опису ряду Ω видно, що кінцеві числа пов'язані з нескінченними числами співвідношенням ω-= 2N, яке називається аксіомою кінцевого-нескінченного, або гіпотезою Кагота.
Якщо відволіктися від концептуальних протиріч ряду W, то можна відзначити наступні його схожості та відмінності з нескінченним поряд Ω. Перше: всі кінцеві числа в обох рядах є, взагалі-то, одне і те ж рахункове безліч N, але в ряді W воно постулюється нескінченним з потужністю ω, а в ряді Ω воно обгрунтовується як кінцеве безліч з потужністю N. Крім цього, кількість ω в ряді W не має попередника, а число N у ряді Ω має в якості попередника число N-1 (число N-це (L +1)-розрядне двійкове число 10 ... 00, а число N- 1 - це L-розрядне двійкове число 1 ... 11). Друге: всі числа в ряді W, наступні за кінцевими числами і менші першого незліченної безлічі ω1, є рахунковими трансфінітної числами і характеризують всі лічильні цілком впорядковані множини, тобто це лічильно нескінченні числа, які складають разом з кінцевими числами незліченну безліч потужності ω1 = 2ω [ 12, с. 69-70]; в ряді ж Ω за кінцевими числами слід клас чисел Кагота, вже не кінцевих, але ще й не безкінечних, які разом з кінцевими числами складають найменшу нескінченна безліч ω-= 2N. У певному сенсі формально, а саме в тому сенсі, що якщо числа ω з W зіставляється число N з Ω, а числа ω1 з ряду W-число ω-з Ω, то початкова частина ряду W, що має потужність і представляє собою знакову конструкцію (6), є така ж початкова частина ряду Ω, яка, проте, включає в себе поряд з кінцевими числами числа Кагота, що не є ще нескінченними, але вже і не кінцеві, і має (граничну) найменшу нескінченну потужність ω-. Звичайно, це так в тому сенсі, що не має особливого значення - скільки протиріч має ряд W - стільки ж або на одне більше. Далі в ряді порядкових чисел W йдуть просто трансфінітної числа, що мають потужності ω1, ω2, ... . У ряді ж Ω за числами Кагота йдуть спочатку числа малих нескінченних потужностей ω-,..., ω-2, ω-1, потім - початкове нескінченне число ω0, а за ним - числа потужності ω0, і тільки потім уже йдуть числа великих нескінченних потужностей ω1, ω2 ,..., ω +. як бачимо, ряд W містить в собі як підмножини сходи кардиналів ω, ω1, ω2 ,..., яка має початковий кардинал і не має останнього кардинала, ряд ж Ω має істотно іншу сходи кардиналів ..., ω-2, ω -1, ω0, ω1, ω2 ,..., яка вже не має не тільки останнього кардинала, але і першого, що показує, що безліч трансфінітної чисел стає більш цікавим і багатим.
Таким чином, незважаючи ні на які суперечності, нескінченність у всіх своїх іпостасях була, є і буде. Аристотель говорив: "Infinitum Actu Non Datur!" (Актуальна нескінченність не існує!), Ми ж говоримо: "Infinitum Actu Datur!" (Актуальна нескінченність існує!).
Список літератури
1. Чанишева А.Н. Курс лекцій з стародавньої філософії. М., 1981.
2. Рузавін Г.І. Філософські проблеми основ математики. М., 1983.
3. Бурова І.М. Парадокси теорії множин і діалектика. М., 1976.
4. . Бурова І.М. Розвиток проблеми нескінченності в історії науки. М., 1987.
5. Теребілов О.Ф. Логіка математичного мислення. Л., 1987.
6. Успенський В.А. Що таке нестандартний аналіз? М., 1987.
7. Зенкін А.А. Помилка Георга Кантора. / / Питання філософії. 2000, № 2.
8. Зенкін А.А. Infinitum Actu Non Datur. / / Питання філософії. 2001, № 9.
9. Зенкін А.А. Когнітивна візуалізація трансфінітної об'єктів класичної (канторівскої) теорії множин. / / Нескінченність у математиці: філософські та історичні аспекти. М., 1997.
10. Математична енциклопедія. М., 1977, Т.1, 1984, Т.4.
11. Станішевський О.Б. Аритмологія (Введення в онтологію): Нескінченність і рефлексивна сутність Буття. Таганрог, 2003.
12. Александров П.С. Введення в теорію множин і загальну топологію. М., 1977.
13. Манін Ю.І. Доказові і недоказове. М., 1979.
14. Волков В.А. Елементи теорії множин і розвиток поняття числа. Л., 1978.
15. Ритхеу Ю. Числа Какота. - Вибране. Л., 1982, Т.2.