Математика нескінченності

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Юрій Лебедєв

Аш-функція Хевісайда

Все відбувається по щаблях,

Як життя сама.

Я відчуваю, що поступово

Сходжу з розуму.

М. Глазков, 1943 р.

Одного разу ввечері Серафим Серафимович Аралов, директор музею історії МХТИ ім. Д.І. Менделєєва, подзвонив мені і сказав, що у зв'язку з реконструкцією будинку біля метро «Смоленська» під загрозою знаходяться залишки архіву відомого хіміка Петра Петровича Будникова. Потрібно було спробувати врятувати документи. Наступного дня у мене був зайнятий, і ми домовилися поїхати за паперами післязавтра. На жаль! Ми запізнилися. Саме назавтра весь «непотріб» з будніковской квартири був викинутий будівельниками на смітник. З тих пір я не можу проходити спокійно повз куп будівельного сміття - мені все здається, що серед цих палиць, битої цегли і шматків паперу можуть валятися чиїсь рукописи, втрата яких призведе у відчай майбутніх істориків науки.

І, уявіть собі, ці побоювання виявилися не марними! Через деякий - досить тривалий - час випадок знову поманив мене до архівних вишукувань. У покинутій селі Копйова Костромської області, де я проводив літо, звалився від старості будинок, і я, дивлячись не ще пилять купу старих колод, соломи, обдертих шпалер, згадав історію будніковского архіву. А раптом?!

Коли у мене в руках виявилася стара картонна папка, я був вже впевнений, що в ній не вирізки з газет про «цариці полів» кукурудзі. І зовсім не здивувався тому, що моя впевненість виправдалася. У папці знаходилися рукописи або, точніше, чернетки двох статей - «Принципи семіотичної термодинаміки», «Відмова від виключення» - і ціла пачка інших, для прочитання яких буде потрібно ще багато зусиль. Ні імені автора, ні дати написання на листках не було. Найімовірніше, папку забув хтось із «дикунів» минулих років. Не маючи можливості порозумітися з автором, я вирішив запропонувати вашій увазі свій варіант розшифровки однієї з цих до крайності недбало написаних неудобочітаемимі почерком статей.

Я довго не міг зрозуміти, до якого жанру відноситься знайдена мною рукопис, чого хотів невідомий автор? Тепер, як мені здається, я знайшов відповідь. Папка зберігала наукові фантазії! Цей жанр, широко відомий завдяки працям С. Лема, не слід плутати з науковою фантастикою, в якій настільки ж плідно працював Лем. «Соляріс» - це наукова фантастика, а «Історія бітіческой літератури» - це наукова фантазія. І оскільки будь-який жанр, крім нудного, має право претендувати на увагу читача, знайдені мною тексти спробують реалізувати це своє право. Наскільки воно законне, судіть самі.

Відмова від виключення

... Одні співробітники весь час займалися розподілом нуля

на нуль на настільних «мерседесах», а інші відпрошувалися

у відрядження на нескінченність ...

А. і Б. Стругацькі. Понеділок починається в суботу

Листок першу

Весь попередній досвід стверджує нас

у вірі, що природа являє собою реалізацію

найпростіших математично мислимих елементів.

А. Ейнштейн. Про метод теоретичної фізики.

Спенсеровскій лекція, 10 липня 1939

Що значить «найпростіших»? коли влітку 1966 р. я задумався над дивним забороною арифметики - забороною поділу на нуль, мені здавалося, що найпростішим елементом, альфою і омегою всієї теорії чисел є нуль. Тепер ясно, що і він також складний, як і все в світі. Як точно сказав про це Леонардо да Вінчі: «Серед великих речей, який знаходиться між нас, існування Ніщо - річ найбільша!»

Зараз не важливо, звідки взялася впевненість у тому, що нуль - повноправне число, та й не важливо строго математичне розуміння терміну «число». Все подальше - не більше ніж інтуїтивна здогадка, з якою професіонали (якщо захочуть!) Можуть витягти «наукову компоненту», а решта, смію сподіватися, порадіють тим асоціаціям, які виникнуть при читанні.

До речі, скажу для професіоналів, що і про роботи індійського математика і астронома VI ... VII ст. Брахмагупти, який розглядав вживання нуля у всіх арифметичних діях, я тоді, влітку 1966 р., абсолютно нічого не знав.

Головне, по-моєму, все-таки те, що ідея виникла. Прав Ейнштейн, «відкриття не є справою логічного мислення, навіть якщо кінцевий продукт пов'язаний з логічною формою».

Отже, твердження: нуль є число.

Наслідок: 1 / 0 - теж число! Але 1 / 0> M, де M - як завгодно велике! І це дуже важливо - існує число, яке якісно відрізняється від будь-якого досі відомого. Якісно нове число ... k-число. Нехай так і позначається надалі. Цікаво відзначити, що серед «нескінченних» чисел воно не єдине, воно тільки початок ряду: k, 2k, 3k і т.д. Числова вісь переступила поріг нескінченності.

Листок друга

Дорогу здолає той, хто йде ...

Рігведа. Гімн щедрості, X століття до н.е.

Ще раз. Для ясності, k-число так само конкретно і єдино, як і будь-яке інше число. Просто раніше нескінченність була тією сміттєвої купою, куди валили уламки всіх функцій, які розбилися при діленні на нуль.

(Хм. .. Знову мотив сміттєвої купи, в якій і була знайдена ця рукопис ... Але не в цьому справа. Фраза в автора вийшла виразною, але по суті вона неправильна, бо з натяжкою може бути віднесена лише до потенційної нескінченності, до актуальною ж і зовсім непридатна. Крім того, в ній мається на увазі, що нуль - це межа функції, і нескінченність - функціональна. У тексті ж розглядається числова нескінченність. Але не будемо чіплятися, як будь-яка подібна фраза, інтуїтивно вона може бути і глибока. - Ю.Л.)

Більш того, k-числа - продовження осі дійсних чисел:

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - ... - K - 2k - 3k - 4k - 5k - 6k-...

А що таке ∞ · k? Може бути, це - k2? У такому випадку - знову якісний стрибок у напрямку зростання чисел і числова вісь приймає вигляд:

0 - 1 - 2 - ... - K - 2k - 3k - ... - K2 - 2k2 - 3k2 - ... - K3 - 2k3 - 3k3 - ... - Kn -

Ці відрізки числової осі мають якісні кордону k, k2, ..., kn. Але вони не ізольовані один від одного. Все той же нуль зв'язує їх. Дійсно,

k2 · 0 = k · k · 0 = k · 1 / 0 · 0 = k,

бо нуль - число, і його можна скорочувати як звичайні числа. Звідси правило: при множенні на нуль в області чисел виду kn відбувається перехід в область чисел виду kn-1. При поділі на нуль, що рівносильно множенню на k, відбувається перехід в область kn +1.

Листок третій

Розкиданих у пилу по магазинах

(Де їх ніхто не брав і не бере!)

Моїм віршам, як дорогоцінним винам,

Настане свій час.

М.І. Цвєтаєва, травень 1913 р., Коктебель

На жаль! .. Все нове - це добре забуте старе. Цитую з «Підстав алгебри Леонарда Ейлера частини першої первия три відділення, переведенния з французької мови на Російській, з багатьма прісовокупленіем, Василем Вісковатова, Академії Наук екстраординарним академіком». Видано в 1812 р. в Санкт-Петербурзі:

Ǥ 83

... Через те, дріб 1 / ∞ показує приватне, що походить від ділення 1 на ∞, і ми знаємо також, що коли ділене 1 на приватне число 1 / ∞ або 0, як раніше ми бачили, розділиться, то вийде дільник ∞, і з цього отримуємо ми нове поняття про нескінченність, а саме, що она походить від поділу 1 на 0; навіщо по справедливості сказати можна, що 1, розділена на 0, означає нескінченно велике число, або ∞ ... »

Отже, про те, що 1 / 0 є саме число, а не межа функції, сказано ще в XVIII ст. Ейлером! Однак здорово ж пропилілась на книжкових полицях ця «новина» ...

(Може бути, саме ця пропиленность і заважає сучасним математикам сприймати її серйозно? Адже k-числа не тільки не ввійшли до шкільних підручників, але й серед викладачів математики мало хто про них знає. - Ю.Л.)

Але чи вистачить емоцій. Продовжу цитату:

Ǥ 84

Тут слід ще спростувати досить звичайне оману: багато хто стверджує, що нескінченно велике кількість збільшено вже бути не може; але се думка не узгоджується з вищезгаданими твердими підставами. Бо коли 1 / 0 нескінченно велике число означає, і 2 / 0 незаперечно в два рази більше 1 / 0, то з цього випливає, що нескінченно велике число зробитися може ще вдвічі, або навіть у кілька разів більше ».

І чого це я так бурхливо радів? Мої «прозріння» - це лише кілька елементарних тверджень з області чисел, великих нескінченності, про які ще в XVIII ст. говорив Ейлер.

(Так, Ейлер говорив цілком виразно. Але слухали його чомусь впол-вуха. - Ю.Л.)

Листок четвертий

Якщо ж існують математичні предмети, то необхідно,

щоб вони або перебували в чуттєво сприймається ...

небудь існували окремо від чуттєво сприйманого ...

а якщо вони не існують ні тим, ні іншим чином, то вони або

взагалі не існують, або існують іншим способом.

Аристотель, Метафізика, кн. 13, гл. 1

Отже, числова вісь включає якісно однорідні відрізки, розділені особливими точками. Назвемо їх точками зв'язку. Зручно розглядати математику цілих k-чисел. Узагальнення може бути отримано при множенні цілих k-чисел на якесь нерівне цілого a. Розглянемо відрізки між точками зв'язку. Почнемо з відрізка від 1 до k. Далі - від k до k2, ще далі - від k2 до k3. У цій серії відрізків узагальненої числової осі точками зв'язку є числа виду kn, де n - ціле позитивне. Просуваючись у тому ж напрямку далі, ми зустрінемося з точками зв'язку нового виду: при n = k точка зв'язку має вигляд kk. Точки зв'язки в першій серії можна назвати точками зв'язку першого роду (символ k входить в них один раз), у другій - крапками зв'язку другого роду (символ k входить в них два рази). Наприклад, kk, k2k, kk ^ 2, kk +1 і т.д. Але й вони не замикають послідовність! Виникають точки зв'язку третього роду: kk ^ k! А там і четвертого, п'ятого ... Якісне різноманітність числової осі безмежно. І безмежно велике розмаїття якісно різних нескінченних чисел.

(А чому, власне, потрібно тут дивуватися? Нескінченність - це елемент якогось непорожньої безлічі, і було б більш дивно, якщо б воно раптом виявилося одиничним. - Ю.Л.)

Листок п'ятому

Розповіли страшне,

Далі точну адресу.

Б. Пастернак. Зірки влітку.

Ну, а тепер можна крикнути «Еврика!». А якщо n = -2? У цьому випадку:

k-2 = 1/k2 = 1 / (1 / 0) 2 = 02!

Це число отримане від множення нуля на нуль. Отже, воно на розряд менше нуля - дивись правило множення на нуль в «Листку другому». У самому нулі - нескінченно багато k-чисел, що мають негативну ступінь. У тиші нуля приховано нескінченне рух Всесвітів ...

Вдивімося пильніше в нуль. Спочатку ми побачимо:

- -1 - 0 - +1 - або --k0 - k-1 - + k0 -

Глибше:

- -0 - 02 - +0 - або --k-1 - k-2 - + k-1 -

І нарешті, зрозумівши ідею складної будови нуля:

--0n-1 - 0n - +0 n-1 - або --k-(n-1) - k-n - + k-(n-1) -

Таким чином, нуль безмежно глибокий, а кордон між плюсом і мінусом більш непроникна, ніж межа між одиницею і нескінченністю, оскільки у другому випадку між одиницею і нескінченністю одна точка зв'язку першого роду - k, а в першому - незліченна безліч точок зв'язку як завгодно великого роду.

Тепер дуже важливе зауваження. Звичайно приймають, що 1 + 0 = 1. У цьому є певний практичний сенс. Якщо до k-числу вищого розряду додати число нижчого розряду, то воно «не зміниться». Справді, що значить Всесвіт плюс атом? Без великого гріха результат такої статури можна прийняти рівним Всесвіту. Але ж це не так ...

Сума двох k-чисел, одне з яких належить до нижчого розряду, висловлює структуру k-числа. Ця сума і дорівнює одному з доданків, і в той же час відрізняється від нього! Це трохи схоже на тонку структуру ліній спектра. Число, цей математичний атом, не є «первокірпічіков», воно має структуру! Воно містить у собі суперечність - тотожне і нетотожні самому собі - і, отже, здатна до якійсь формі руху і розвитку.

Листок шостий

Справді, коли ж було інакше, коли це осуджувалося,

коли заборонялося, коли не можна було того, що можна?

М.Т. Цицерон. «На захист Марка Целія Руфа»

Виявляється, k-числа не можуть поскаржитися на відсутність уваги до себе. На одну відому мені роботу в цій області - до вже цитованої Ейлера - є принаймні дві критичні нотатки. Уявляю їх у хронологічній послідовності із збереженням граматики:

Перша. Це виноска В. Вісковатова в розбирати книги «Підстав алгебри ...» під номером 31. У тексті Ейлер виводить формулу ряду:

1 / (1 - a) = 1 + a + a2 + a3 + ... + An + an +1 / (1 - a)

і пише: «Покладемо, по-перше, а = 1, наш ряд зробиться:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + і так далі нескінченно;

а дріб, якої він повинен бути рівний, зробиться 1 / 0. Але ми вже відзначили вище, що 1 / 0 є число нескінченно велике ». На що В. Висковатов - перекладач і коментатор - зауважує: «Візьмемо загальний вираз

1 / (1 - a) = 1 + a + a2 + a3 + ... + An + an +1 / (1 - a).

Коли покладемо а = 1, то вийде 1 / 0 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 / 0 або 1 / 0 + n + 1 = 1 / 0, і коли 1 / 0 почитати за кількість, то вийде n + 1 = 0, що зовсім безглуздо ...

Коли у виразі 1 / 0 = n + 1 + 1 / 0 обидва кількості помножити на нуль, то вийде

1 = (n + 1) · 0 + 1 або 1 = 1, що дуже справедливо, і так те ж саме вираз

1 / 0 = n + 1 + 1 / 0 вести може і до безглуздого і до істинного висновку; а се саме показує, що вираз це саме є безглузде ».

Дуже докладно, але ... невірно! Помилка Вісковатова полягає в тому, що через відсутність чіткого поняття k-числа і його розрядів він не зрозумів суті суми

n + 1 + 1 / 0.

У даному випадку в правій частині стоїть сума k + n + 1, де n + 1 = (n + 1) · k0, тобто сума k і k0, якась може бути записана просто як k (за аналогією з 1 + 0 = 1). Множачи ж на нуль обидві частини, ми переводимо їх в розряд k-чисел нижчого порядку. А тут аналогічне рівність звично, а тому і очевидно: 1 + 0 = 1.

(Автор заступився за честь Ейлера. Це невеликий подвиг! От якщо хтось заступиться за Вісковатова проти Ейлера і автора - це буде мужнім вчинком. Звичайно, якщо причина тому не просте впертість. - Ю.Л.)

Друга. У «Математичних рукописах» Карл Маркс пише: «... так як 1 / 0 = 1 / (1 - 1), а 1 / (1 - 1) = 2.1 / 2 · (1 - 1) = 2 / (2 - 2), то знову-таки 2 / 0 = 1 / 0. З тим же успіхом, як за допомогою ряду з одиниць начебто

1 / 0 = 1 / (1 - 1) = 1 + 1 + 1 + ...

можна представити ∞ допомогою нескінченного ряду чисел, що ростуть в будь-якому заданому відношенні. Хоча при цьому певна частина одного нескінченного ряду може бути дорівнює 1 / 2, 1 / 3 і т.д. певної частини іншого нескінченного ряду, але ні перша, ні друга певна частина не знаходиться в якій-небудь пропорції до всього безкінечного ряду, і в цьому випадку можна сказати тільки, що ряди як і різному крокують у нескінченність »(Курсив К. Маркса.)

Може бути, хтось визнає моє твердження блюзнірським, але я все-таки ризикну стверджувати: в даному випадку Маркс був не правий! Хоча й переконливо продемонстрував недостатню доказовість ейлеровского твердження про те, що 2 / 0> 1 / 0. Довести ж це більш строго можна наступним чином:

1 / 0 = 1 / (1 - 1) = 2.1 / (2 · (1 - 1)) = 2 / (2.0) = 1 / 0.

Помилка Маркса в тому, що 2.0 ≠ 0, так як 2.0 = 2 · k-1, що зовсім не те ж саме, що k-1.

Цікаво відзначити, що Маркс звертався до поняття нуля і в інших роботах. Наприклад, у праці «Про диференціалі» він абсолютно чітко розділив «нуль-число» і «нуль-межа» як абсолютно різні самостійні поняття.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Виробництво і технології | Реферат
28.7кб. | скачати


Схожі роботи:
Апологія Нескінченності
Простір без нескінченності
Концепція нескінченності й космологічна еволюція
Науково-філософські концепції нескінченності і християнство
Доказ нескінченності деяких видів простих чисел
Математика 2
Математика 3
Математика
Вища математика 2
© Усі права захищені
написати до нас