Методика навчання рішенню комбінаторних завдань

2.1 Аналіз навчальної літератури
Аналіз почнемо з підручника для 6 класу середньої школи (за редакцією Дорофєєва Г.В., Шаригіна І.Ф.). Автори розглядають комбінаторний принцип множення, різні види сполучень (перестановки, розміщення, поєднання) з повтореннями і без повторень і формули для їх обчислення. Щодо теорії ймовірностей Дорофєєв розглядає поняття випадкової події та обчислення ймовірностей за допомогою формул комбінаторики. Аналогічно цьому видання підручник Зубарєвої І.І., Мордкович А.Г. "Математика 5 (6)".
У підручнику Нікольського С.М. та ін "Аріфметіка5-6" даються лише визначення різних сполук, формули для їх обчислення (6кл.) і класичне визначення ймовірності (8кл.). У цьому підручнику розглянуто мінімальний коло питань. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін в підручнику для загальноосвітніх навчальних закладів "Алгебра. Опції. Аналіз даних ". Розглянув питання, що стосуються виключно теорії ймовірностей. Це класичне визначення ймовірності, поняття про генеральної сукупності і вибірці, їх параметри та оцінки, а також оцінка ймовірності події за частотою.
2.2 Аналіз навчально-методичної літератури з комбінаторики і теорії ймовірностей
У навчальному посібнику для проведення факультативного курсу з теорії ймовірностей Лютікаса В.С. спочатку дані відомості з минулого теорії ймовірностей, потім досить докладно і систематично розглядаються питання комбінаторики, ймовірності події, операцій над вірогідністю, незалежні повторні випробування (формули Бернуллі, Муавра-Лапласа, Пуассона та Лапласа), дискретні та неперервні випадкові величини, а також розглянуті різні цікаві завдання (наприклад, завдання Бюффона, парадокс Бертрана і т.д.). Ця книга цікава як з методичної, так і з пізнавальної точок зору. Вона може бути однаково доступна як вчителю, так і учню, так як написана простою, зрозумілою мовою, в ній дано багато таблиць, діаграм, всі глави знаходяться у взаємозв'язку. Матеріал систематичен і поступово ускладнюється.
Книга призначена для вчителів, які працюють в школах і класах з поглибленим вивченням математики. Вона містить методичні рекомендації щодо вивчення деяких теоретичних питань та вирішення завдань, планування уроків, зразки самостійних і контрольних робіт за всіма темами; ці матеріали написані у відповідності з навчальним посібником Виленкина Н.Я., Івашева-Мусатова О.С. і Шварцбурда С.І.
Книга присвячена елементарної комбінаторики, теорії ймовірностей та їх додатків, в ній систематично використовується теоретико-множинну мову. Абстрактність цієї мови компенсується великою кількістю докладно розібраних прикладів. Завдання зібрані в окремі частини, які можна читати незалежно. Там розглядаються прості моделі, пов'язані з додатками комбінаторики і теорії ймовірностей. Книга призначена для і викладачів, учнів, а також для студентів.
Автори книги для позакласного читання Балк М.Б., Балк Г.Д. в цікавому викладі дають комбінаторики і теорію ймовірностей, крім теорії в цій книзі є історичні відомості, які пропонується дати дітям на заняттях гуртків або факультативі з математики. Після теорії представлений набір цікавих задач на з'єднання без повторень і з повтореннями. На відміну від допомоги Лютікаса В.С. на заняття з теорії ймовірностей представлений матеріал тільки для одного або двох тематичних занять, а комбінаторика розглядається без зв'язку з теорією ймовірності. Але в книзі представлений великий список літератури з комбінаторики і теорії ймовірностей.
Книга є посібником для факультетів підготовки вчителів початкових класів. У ньому дано досить великий обсяг матеріалу з комбінаторики і, переважно, теорії ймовірностей. Цей матеріал відрізняється високим рівнем складності, він поступово ускладнюється, в книзі дані великі історичні відомості.
У статті М.В. Ткачової під назвою "Аналіз даних в підручниках Н.Я. Виленкина і інших "наводиться приклад того, як можна ввести у вивчення математики V-IX класів нову змістовну лінію, основна мета якої - формування в учнів елементарних статистичних знань, а також розвиток комбінаторного та ймовірнісно-статистичних стилів мислення. М.В. Ткачова говорить про те, що питання статистики і комбінаторики можна вводити у вивчення вже зараз, на базі підручників і навчальних посібників Виленкина Н.Я., Жохова В.І., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.І. та ін "Математика 5 " і "Математика 6 " (М.: Мнемозина, 1996 і далі), які зараз найбільш поширені в школах Росії. Так, пропонується в практично кожній темі вирішувати з дітьми комбінаторні задачі при вивченні натуральних чисел, операціях над ними, звичайних, десяткових дробів, операцій над десятковими дробами (5 кл.); При вивченні подільності чисел, множення і ділення натуральних і негативних чисел, при рішенні рівнянь (6 кл.), далі ця лінія ускладнюється введенням елементів статистики і теорії ймовірностей (систематизація та підрахунок даних в частотних таблицях, стовпчасті діаграми, середнє значення і мода як характеристики сукупності числових даних (5 кл.); знаходження частот даних по їх відносним частотах у вибірці заданого об'єму і назад, систематизація і подання даних у частотних таблицях, подання розподілу даних у вибірці у вигляді полігону частот (6 кл.). У статті наведено варіант планування (для 5-6 класів), дані способи адаптації матеріалу підручника до введення елементарних комбінаторних і статистичних знань. Тобто комбінаторний матеріал дається стосовно до тем, що вивчаються в нинішньому шкільному курсі математики. Елементи теорії ймовірностей вводяться на практичних заняттях (наприклад, практична робота по збору, розподілу даних за ознаками, представлення їх у вигляді частотних таблиць) і в завданнях.
Також у журналі "Математика в школі" є стаття від міністерства освіти, в якій йдеться про те, що одним з найважливіших аспектів модернізації змісту математичної освіти полягає у включенні до програми елементів статистики і теорії ймовірностей. Вивчення елементів комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей в основній та старшій школі стане обов'язковим після затвердження федерального компонента державного стандарту загальної освіти. Але у зв'язку з тим, що впровадження в практику цього нового матеріалу потребує кількох років та накопичення методичного досвіду, Міністерство освіти РФ рекомендувало освітнім установам починати його викладання в основній школі вже в 2003-2004 навчальному році перераховано приблизне коло питань, на які слід орієнтуватися вчителям при введенні комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей в основній та старшій школі. Причому рекомендується починати вивчення цих питань уже в 5 класі, тому що, на думку психологів, діти цього віку здатні засвоїти комбінаторний і статистичний матеріал найбільш продуктивно. Крім цього, у статті наведено досить великий список літератури з даної теми (включаючи підручники, вкладиші до них, додаткову літературу по даній темі і матеріали для організації підготовки вчителів).
У 2003 році видавництво «Просвіта» опублікувало навчальний посібник Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г. «Елементи статистики і теорії ймовірностей» (під редакцією С. А. Теляковського). Книга призначена для учнів VII-IX класів і доповнює навчально-методичний комплект: Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., ХОМЕНКО К.І., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9» (під редакцією С. А. Теляковського), який сьогодні є найбільш масовим, найбільш широко використовуваним навчальним посібником з математики в основній школі. Тому вихід у світ доповнення до зазначеного комплекту, призначеного для вивчення ймовірнісно-статистичного матеріалу, свідчить про те, що введення нової ймовірнісно-статистичної лінії в шкільне математичну освіту вже стало реальністю і даний посібник є основним для вивчення цієї лінії.
Навчальний посібник «Елементи статистики і теорії ймовірностей» містить теоретичний і практичний матеріал за елементами статистики та теорії ймовірностей, а також методичний коментар і планування, складене з розрахунку, що на вивченні математики в VII-IX класах відводиться 5 годин на тиждень.
Невелика за обсягом допомога складається з чотирьох параграфів і доповнює підручники:
1. Статистичні характеристики.
2. Статистичні дослідження.
3. Елементи комбінаторики.
4. Початкові відомості з теорії ймовірностей.
Структура посібника аналогічна структурі зазначених вище підручників. Параграфи діляться на пункти. У кожному пункті містяться теоретичні відомості та відповідні вправи. У кінці пункту наводяться вправи для повторення. До кожного параграфу даються додаткові вправи більш високого рівня складності в порівнянні з основними вправами.
Концепція запровадження елементів статистики та теорія ймовірностей в основній школі, якої дотримуються автори нового посібника, в основному співпадає з концепцією, реалізованої в рамках навчального комплекту «Математика 7», «Математика 8», «Математика 9» під редакцією Г. В. Дорофеєва, але матеріал дещо скорочено. Винятком є ​​тільки параграф про елементи комбінаторики. Він поміщений в курс IX класу (а не в VII клас, як це зроблено в УМК під ред. Г. В. Дорофєєва) і містить набагато більше і теоретичних відомостей і практичних вправ, ніж відповідний матеріал у підручнику «Математика 7» під ред. Г. В. Дорофеєва.
Зупинимося докладніше на особливостях пропонованих підходів до вивчення елементів статистики в курсі алгебри 7-8 класів.
У VII класі учні знайомляться з такими найпростішими статистичними характеристиками, як середнє арифметичне, мода, медіана, розмах. Їх змістовний сенс роз'яснюється на прикладах. Учні повинні знати відповідні визначення, навчитися знаходити ці характеристики в нескладних випадках, розуміти їх практичний сенс у конкретних ситуаціях. На вивчення цього матеріалу рекомендується виділити 4 уроки в кінці навчального року за рахунок часу, відведеного на підсумкове повторення.
Середнє арифметичне низки даних є одним з основних статистичних показників. Воно використовується в статистиці поряд з такими середніми величинами, як середня квадратична, середня гармонійна.
Автори докладно розглядають графічні способи представлення статистичних даних. При цьому пропонують використовувати столбчатую діаграму для зображення розподілу частот дискретних даних.
Найбільший обсяг матеріалу запланований для вивчення в IX класі. Цей матеріал об'єднаний в два параграфи: «Елементи комбінаторики» і «Початкові відомості з теорії ймовірностей», причому другий параграф включає два пункти, один з яких - обов'язковий, а рішення про вивчення другого пункту приймає вчитель. На вивчення ймовірнісно-статистичного матеріалу в IX класі виділяється 12 уроків (або, за рішенням вчителя, 15 уроків), з них 8 уроків - на комбінаторики, 3 уроки (або, за рішенням вчителя, 6 уроків) - на теорію ймовірностей і 1 урок - контрольна робота.
Елементи комбінаторики викладаються традиційно. Спочатку на простих прикладах демонструється рішення комбінаторних задач методом перебору можливих варіантів. Потім роз'яснюється і формулюється комбінаторне правило множення (яке найчастіше називають правилом твору).
Далі послідовно вводяться поняття перестановки, розміщення з n елементів по k та поєднання з n елементів по k. За допомогою комбінаторного правила множення виводяться формули для обчислення числа всіляких перестановок, розміщень і сполучень з даного числа n елементів. Виклад матеріалу супроводжується великою кількістю завдань для самостійного рішення. Комбінації з повторенням елементів не розглядаються (крім кількох нескладних прикладів).
Відповідне планування наведено в «Методичному коментарі» наприкінці зазначеної допомоги.
У § 3 «Елементи комбінаторики» міститься чотири пункти:
1. Приклади комбінаторних задач.
2. Перестановки.
3. Розміщення.
4. Поєднання.
Останній параграф посібника «Початкові відомості з теорії ймовірностей» включає в себе два пункти:
1. Імовірність випадкової події.
2. Додавання та множення ймовірностей.
Як вказують автори в методичному коментарі до посібника, у пункті «Імовірність випадкової події» вводяться початкові поняття теорії ймовірностей, формується уявлення про випадкових, достовірних і неможливих події, наведені статистичне та класичне визначення ймовірності. При обчисленні ймовірностей використовуються формули комбінаторики.
Автори посібника використовували той же підхід до введення базових понять теорії ймовірностей, який реалізований в УМК під редакцією Г.В. Дорофєєва: школярам показують, що розуміти під словом «ймовірність» і як оцінювати ймовірність настання нескладних випадкових подій спочатку на якісному рівні - за результатами найпростіших експериментів, а пізніше відбувається кількісний підрахунок ймовірностей. Однак, при реалізації цього підходу автори посібника, будучи жорстко обмеженими виділеним на вивчення часом і, як наслідок, малим обсягом допомоги, проявили певну непослідовність - не змогли уникнути деяких протиріч і не дали чіткої поняття про ймовірність випадкової події та способи її знаходження в різних приватних випадках. Пункт «Імовірність випадкової події» починається з розгляду експерименту і його результату.
В останньому пункті посібника «Додавання та множення ймовірностей» розглядаються теореми додавання і множення ймовірностей та пов'язані з ними поняттями. Автори вводять поняття несумісних подій і розглядають випадки настання одного з двох несумісних подій, не вводячи поняття «сума випадкових подій». Далі роз'яснюється поняття «протилежні події» і формулюється твердження про суму ймовірностей протилежних подій.
У висновку автори формулюють твердження про ймовірність події, що складається в спільному появу двох незалежних подій. При цьому не вводиться поняття «твір випадкових подій», не вводиться і поняття умовної ймовірності.
У висновку відзначимо, що посібник містить велику кількість цікавих, добре підібраних вправ різного рівня складності, до більшості з яких надано відповіді та вказівки за рішенням. На жаль, у відповідях багато помилок, є неточності і помилки (докладний розгляд помилок є в статті В. М. Студенецька, О. М. Фадєєвої «Статистика і теорія ймовірностей на порозі основної школи»).
Матеріал пункту 1 є підготовчим до пунктів 2-4. в ньому розглядаються приклади комбінаторних завдань, при рішенні яких потрібно безпосередньо складати ті чи інші комбінації і лише після цього підраховувати число можливих варіантів. Цей етап дуже важливий. У процесі складання різних комбінацій учні починають розуміти структуру тієї чи іншої комбінації, а також засвоюють способи міркувань і підрахунку варіантів. Тут же роз'яснюється і формулюється комбінаторно правило множення, яке неодноразово використовується при вивченні подальшого матеріалу.
Для того щоб роз'яснити учням сенс цього правила, розглядається така задача: «Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 3, 5, 7, використовуючи в запису числа кожну з них не більше одного разу?».
При вирішенні цього завдання спочатку складається древо всіх можливих варіантів.

Перша цифра	1						3						5						7
Друга цифра	3		5		7		1		5		7		1		3		7		1		3		5
Третя цифра	5	7	3	7	3	5	5	7	1	7	1	5	3	7	1	7	1	3	3	5	1	5	1	3

Далі робиться важливе зауваження, що відповідь на поставлене питання в задачі можна отримати, не виписуючи самі числа і не будуючи дерево можливих варіантів. Міркувати будемо так. Першу цифру тризначного числа можна вибрати чотирма способами. Так після вибору першої цифри залишаться три, то другу цифру можна вибрати з цифр, що залишились вже трьома способами. Нарешті, третю цифру можна вибрати (з решти двох) двома способами. Отже, загальна кількість шуканих тризначних чисел дорівнює добутку 4.3.2 = 24.
Після цього формулюється комбінаторне правило множення: «Нехай є n елементів і потрібно вибрати один за іншим деякі k елементів. Якщо перший елемент можна вибрати n ₁ способами, після чого другий елемент можна вибрати з решти n ₂ способами, потім третій елемент - n ₃ способами і т.д., то число способів, якими можуть бути вибрані всі k елементів, дорівнює добутку n ₁ · n ₂ · n ₃ · ... · n _k ».
Застосування правила множення ілюструється на наступному прикладі:
«З міста А в місто В ведуть дві дороги, з міста В в місто С - три дороги, з міста С до пристані - дві дороги (рис. 1). Туристи хочуть проїхати з міста А через міста В і С до пристані. Скількома способами вони можуть вибрати маршрут?
Рішення. Шлях із А в В туристи можуть вибрати двома способами. Далі в кожному випадку вони можуть проїхати з В в З трьома способами. Значить, є 2.3 варіантів маршруту з А в С. Так як з міста С на пристань можна потрапити двома способами, то всього існує 2.3.2, тобто 12 способів вибору туристами маршруту з міста А до пристані.
Вправи в даному пункті спрямовані на складання різних комбінацій і підрахунок числа можливих варіантів цих комбінацій.
У кінці пункту 4 вміщено завдання змішаного типу, в яких розглядаються різні комбінації елементів (перестановки, розміщення, поєднання).
Додаткові вправи до § 3 «Елементи комбінаторики» включають ускладнені завдання. Вони можуть бути використані в роботі з учнями, які проявляють інтерес і схильності до математики.
У 2004 році видавництвом «Дрофа» було випущено посібник Є.А. Бунімович, В.А. Буличова «Основи статистики та ймовірність» для 5-9 класів. Посібник містить необхідний теоретичний і цікавий практичний матеріал для вивчення нової ймовірнісно-статистичної лінії. Посібник може бути використано разом з будь-яким з діючих підручників.
Мета даного посібника - допомогти дитині у формуванні імовірнісного мислення, в освоєнні шкільного курсу «Ймовірність і статистика», допомогти вчителеві в постановці викладання цього нового матеріалу.
У книзі міститься додатковий теоретичний матеріал і відповідні йому блоки завдань, які можуть виявитися корисними для проведення занять у профільних класах, математичних гуртках і на факультативах. До всіх завдань навчального посібника дано відповіді, а до більшості завдань - докладні вказівки, коментарі та рішення.

2.3 Загальні відомості
У повсякденному житті нам нерідко зустрічаються завдання, які мають декілька різних варіантів рішення. Щоб зробити правильний вибір, важливо не упустити ні один з них. Для цього треба вміти здійснювати перебір всіх можливих варіантів або підраховувати їх число. Завдання, що вимагають такого рішення, називаються комбінаторними. Область математики, в якій вивчають комбінаторні задачі, називається комбінаторика.
Комбінаторика виникла в XVI столітті і спочатку в ній розглядалися комбінаторні задачі, пов'язані в основному з азартними іграми. У процесі вивчення таких завдань були вироблені деякі загальні підходи до їх вирішення, отримані формули для підрахунку числа різних комбінацій.
В даний час комбінаторика є одним з важливих розділів математичної науки. Її методи широко використовуються для вирішення практичних і теоретичних завдань. Встановлено зв'язки комбінаторики з іншими розділами математики.
У початковому навчанні математики роль комбінаторних завдань постійно зростає, оскільки в них закладено великі можливості не тільки для розвитку мислення учнів, а й для підготовки учнів до вирішення проблем, що виникають у повсякденному житті.
Комбінаторні задачі в початковому курсі математики вирішуються, як правило, методом перебору. Для полегшення цього процесу нерідко використовуються таблиці і графи. У зв'язку з цим вчителю необхідні певні вміння та навички вирішення комбінаторних завдань.
Комбінаторика - розділ математики, в якому вивчаються питання про те, скільки різних комбінацій, підлеглих тим чи іншим умовам, можна скласти з заданих об'єктів.
Комбінаторику можна розглядати як введення в теорію ймовірностей, оскільки методи комбінаторики використовуються для вирішення багатьох імовірнісних, в яких мова йде про підрахунок числа можливих результатів і кількості сприятливих результатів в різних конкретних випадках.
Вибором об'єктів і розташуванням їх у тому чи іншому порядку доводиться займатися мало не у всіх областях людської діяльності.
З аналогічними завданнями, які отримали назву комбінаторних, люди стикалися з глибокої давнини. Вже кілька тисячоліть тому в Стародавньому Китаї захопилися складанням магічних квадратів, в яких задані числа розташовувалися так, що їх сума по всіх горизонталях, вертикалях і головним діагоналях була однією і тією ж. У Древній Греції підраховували кількість різних комбінацій довгих і коротких слів у віршованих розмірах, займалися теорією фігурних чисел, вивчали фігури, які можна скласти з частин особливим чином розрізаного квадрата і т.д.
Комбінаторні задачі виникли і у зв'язку з такими іграми, як шашки, шахи, доміно, карти, кістки і т.д.
Комбінаторика стає наукою лише в 18 столітті - у період, коли виникла теорія ймовірностей. Щоб вирішувати теоретико-імовірнісні задачі, потрібно було вміти підраховувати кількість різних комбінацій, підлеглих тим або іншим умовам. Після перших робіт, виконаних у 18 столітті італійським вченим Дж. Кардано, Н. Тарталья, і Г. Галілеєм, такі завдання вивчали французькі математики Б. Паскаль і П. Ферма. Першим розглядав комбінаторики як самостійну галузь науки німецький філософ і математик Г. Лейбніц, який опублікував в 1666 році роботу "Про мистецтво комбінаторики", в якій вперше з'являється сам термін "комбінаторний".
Чудові досягнення в області комбінаторики належать Л. Ейлера. Комбінаторними завданнями цікавилися і математики, які займалися складанням та розгадуванням шифрів, вивченням древніх писемностей. Тепер комбінаторика знаходить застосування у всіх галузях науки і техніки: в біології, де вона застосовується для вивчення складу білків і ДНК, в хімії, в механіці і т.д.
У міру розвитку комбінаторики з'ясувалося, що, незважаючи на зовнішню відмінність досліджуваних нею питань, багато з них мають один і той же математичний зміст і зводяться до задач про кінцевих множинах та їх підмножинах. Поступово з'ясувалося кілька основних типів завдань, до яких зводиться більшість комбінаторних проблем. Важливу область комбінаторики становить теорія перерахувань. З її допомогою можна перерахувати кількість рішень різних комбінаторних задач.
ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ - це розділ математики, що вивчає закономірності, засновані на взаємодії великого числа випадкових явищ (статистичні закономірності).
Відношення числа випадків сприяють події А, до числа всіх можливих випадків називають ймовірністю події А. (6 кл. Підручник для освітніх установ / С. М. Нікольський, О. В. Шовкун та ін, стор.42)
Основи нової математичної теорії - теорії ймовірностей - були закладені в роботах Б. Паскаля та інших математиків XVII століття. У другій половині XIX століття видатні дослідження з теорії ймовірностей велися російськими вченими П.Л. Чебишева (1821-1894), А.А. Марковим (1856-1922) та іншими. До теперішнього часу в Росії склалася сильна школа теорії ймовірностей. Найбільшим її представником був О.М. Колмогоров (1903-1987).

3. Розвиток інтересу до вивчення математики в учнів
В останні роки багато і часто говорять про недостатню ефективність процесу навчання в школі. Головну причину вбачають у тому, що його традиційна організація не відповідає вимогам часу, не створює умов для поліпшення якості навчання і розвитку учнів. З цим важко не погодитися. Вирішення цієї проблеми, головним чином, залежить від того, на отримання якого саме результату орієнтується вчитель у своїй роботі. У зв'язку з цим головним критерієм діяльності вчителя є уявлення про кінцевий результат. Чи хочемо ми дати учневі певний набір знань з предмету або сформувати особистість, готову до творчої діяльності. Головне знайти той важіль, який приведе в рух механізм розвитку творчої діяльності, а разом з тим і особистості учня. Виходячи із загальної мети, що стоїть перед системою навчання, спрямованої на загальний розвиток школярів, курс математики націлений на вирішення наступних завдань:
1. Сприяти просуванню школярів у загальному розвитку, тобто розвивати їх мислення;
2. Дати уявлення про математику як науку, що узагальнює реально існуючі та відбуваються явища і сприяє пізнання навколишньої дійсності;
3. Сформувати знання, вміння та навички, необхідні учневі в житті.
При знайомстві з програмою потрібно мати на увазі, що її зміст не є однорідним і відноситься до трьох різних рівнів, кожен з яких має свою специфіку і потребує різного підходу. Виховати ініціативного, думаючого, відповідальної людини традиційними способами неможливо і програма розвивального навчання - один із шляхів досягнення цієї мети. Проблема, яка особливо турбує освітян, які працюють у підліткових класах - втрата пізнавального інтересу, зниження внутрішньої мотивації навчання.
Педагог повинен виходити з реальної навчальної ситуації. Йому треба не досліджувати мислення дитини, а аналізувати помилки дітей, які вони допускають у процесі виконання навчальних завдань. Головним завданням для педагога є формування в учнів пізнавальної мотивації. А це може відбутися тільки через грамотно побудоване освіту.
3.1 Примірні уроки з теми «Рішення комбінаторних задач і теорія ймовірностей»
Клас: 6 клас
Тема: «Елементи комбінаторики і теорії ймовірностей».
Мета: Повідомлення нових знань, формування вміння вирішувати найпростіші комбінаторні задачі і обчислювати ймовірність подій.
Обладнання: 4 монети, 4 гральних кубика (від 1 до 6), 1 кубик (від 1 до 3), 4 сірникових коробка порожніх, таблиці з видами подій, таблиця для занесення результатів випробувань.
Хід заняття
Повідомлення теми заняття та мети.
З деякими комбінаторними завданнями ви вже знайомі. Наприклад, такі:
1. Скільки двозначних чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4 та 7 (цифри в числі не повторюються)? (Шість: 14, 17, 41, 47, 71, 74).
2. Скільки різних 3-значних чисел можна скласти з цифр 3, 7 і 8 (цифри не повторюються)? (Теж шість: 378, 387, 738, 783, 873, 837).
3. Скільки 4-значних чисел можна скласти з 4 цифр? Розбір рішення. «На 1-е місце в 4-значному числі - 4 варіанти, на 2-е - 3 варіанти, на 3-е - 2 варіанти, на 4-е - 1 варіант». 4 • 3 • 2 • 1 = 24. 4! = 1 • 2 • 3 • 4. 3! = 1 • 2 • 3.
Вводиться визначення: Завдання про підрахунок числа можливих комбінацій називаються комбінаторними.
Комбінаторика - розділ математики, в якому вивчаються питання про те, скільки різних комбінацій, підлеглих тим чи іншим умовам, можна скласти з заданих об'єктів. З комбінаторними завданнями люди зіткнулися з глибокої давнини. Кілька тисячоліть тому в Стародавньому Китаї займалися складанням магічних квадратів. З ними ми знайомилися в 5-му класі.
Інсценована завдання.
Хлопці, уявіть, що ми з вами опинилися наприкінці XIX ст. на заїжджому дворі.
Пасажир ходить, очікуючи кучера. Потім з'являється кучер і пасажир запитує:
- Чи не час запрягати?
- Що ви! - Відповів кучер. - Ще півгодини до від'їзду. За цей час я встигну 20 разів і запрягти, і отпрячь, і знову запрягти. Нам не вперше ...
- А скільки в карету впрягається коней?
- П'ять.
- Скільки часу потрібно було на запряжці коней?
- Так хвилини 2, не більше.
- Ой, чи що? - Засумнівався пасажир. - П'ять коней запрягти у дві хвилини ... Що-то вже дуже скоро!
- І дуже просто, - відповів кучер. - Виведуть коней у збруї, посторонки з праниками, в віжках. Залишається тільки накинути кільця праників на гаки, приструнити двох середніх коней до дишло, взяти віжки в руки, сісти на козли і готово ... Їдь!
- Ну, добре! - Зауважив пасажир. - Припустимо, що таким чином можна запрягти та отпрячь коней хоч 20 разів на півгодини. Але якщо їх доведеться перепрягает одну на місце іншої, та ще всіх, то вже цього не зробити не тільки в півгодини, але і в дві години.
- Теж дріб'язкове справу! - Расхвастался кучер. - Хіба нам не доводиться перепрягает! Та якими завгодно способами я їх всіх перепрягу на годину, а то й менше - одного коня на місце іншої поставив, і готово! Хвилинна справа!
- Ні, ти перепрягі їх не тими способами, які мені до вподоби, - сказав пасажир, - а всіма способами, якими тільки можна перепрячь 5 коней, вважаючи на перепряжку одну хвилину, як ти хвалишся.
Самолюбство кучера було зачеплено.
- Звичайно, усіх коней і всіма способами я перепрягу не більш як за годину.
- Я дав би 100 рублів, щоб подивитися, як ти зробиш це за годину! - Сказав пасажир.
- А я при всій своїй бідності заплачу за ваш проїзд у кареті, якщо я цього не зроблю, - відповів кучер.
Так і домовились.
Отже, хлопці, кучер з пасажиром задали нам задачу: «Скількома способами можна перепрячь п'ять коней?»
Вирішують самі. 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5! = 120 (способів), значить, за одну годину кучер не встигне впоратися із завданням.
Визначення:
У природі, та й у повсякденному житті часто доводиться мати справу з явищами випадковими, тобто з ситуаціями, результат яких не можна точно передбачити. Ви купуєте лотерейний квиток - можете виграти, а можете і не виграти; на виборах може перемогти один кандидат, а може й інший.
Випадковим називається подія, що може відбутися, а може і не відбутися.
Події бувають: рівноможливими (рівноімовірними); малоймовірними; більш імовірними; достовірними; неможливими.
Визначте вид наступних подій:
1. Випадання «орла» або «решки» при підкиданні монети.
2. Зайшли в темну кімнату, включили світло, загорілася лампочка.
3. Якщо перекинути склянку з водою, вода виллється.
4. У спекотний літній день пішов сніг.
Важливо знати, чи можна знайти закономірності у світі випадкового? Чи можна будь-якими способами оцінити шанси настання даного нас випадкового події? Відповідь на ці запитання дає наука, яка так і називається - теорія ймовірностей. Це наука про обчислення ймовірностей випадкових подій.
Практична частина.
Зараз ми з вами проведемо деякі випробування.
1-й ряд: учні підкидають по 25 разів сірникову коробку (таб. 2).
2-й ряд: по 25 разів підкидають монету (таблиця 3). 3-й ряд: по 25 разів - гральний кубик (таблиця 4).
Дається формула для підрахунку частоти
Частота = Число появи подій / Число експериментів
Підраховуємо частоту настання перерахованих вище подій. На дошці заповнюється таблиця 5.
За частотою події визначають ймовірність випадкової події. Чим більше випробувань, тим точніше визначається ймовірність.
Ймовірність події позначається великою латинською літерою P (від французького probabilite, що в перекладі - можливість, ймовірність).
Наприклад, P (A) = 0,5 (ймовірність випадання «орла»).
У XVII ст. Експерименти з монетою проводив француз Жорж Луї де Бюффон, у якого «орел» випав 2048 разів при 4040 випробуваннях.
2048/4040 = 0,51
На початку XX ст. Англійський математик Карл Пірсон провів 24000 експериментів. «Орел» випав 12012 разів. 12012/24000 0,50 P (A) = 50%.
Прикладне значення.
Імовірнісні оцінки широко використовуються у фізиці, біології, соціології, в економіці і політиці, у спорті та повсякденному житті людини. Якщо в прогнозі погоди повідомляють, що завтра буде дощ з вірогідністю 70%, то це значить, що не обов'язково буде дощ, але шанси великі і варто взяти парасольку, виходячи з дому. Уміння оцінювати ймовірність настання подій дуже корисно, наприклад, при вирішенні питання, чи варто брати участь у лотереї або вступати в гру.
Міні-сценка.
Руслан пропонує зіграти Саші з ним в гру. Кожен по черзі кидає кубик, на протилежних гранях якого написані числа 1, 2, 3. Якщо випадає непарне число, то 1 очко отримує Руслан; якщо парне - очко Саші. Виграє той, хто перший набере 30 очок. Кидають кілька разів.
Саша: Ця гра несправедлива, бо на 4 гранях написані непарні числа, а на 2 - парні.
Частота = 4 / 6 = 2 / 3; частота = 2 / 6 = 1 / 3.
- Руслан, у тебе більше шансів, тому що ймовірність більше.
Розглянемо ще один приклад з життя.
У кіоску зустрічаються Оля і Андрій. Ольга вибирає, яку з 3 видів лотереї купити: «Спортлото», «Поле чудес», «Русское лото».
Андрій: Що хочеш купити? Книгу яку-небудь з завданнями?
Оля: Ні, батьки дозволили що-небудь купити. Ось вибираю, квиток який лотереї купити. Візьму «Спортлото».
Андрій: Математик, перш ніж купити квитки тієї чи іншої лотереї, підрахує шанси отримати виграш. Дивись: 49 • 48 • 46 • 47 • 45 • 44 = 10.068.347.520, тому що порядок нам не важливий, то розділимо на 6 ∙ 120 = 720 і отримаємо 13.983.816 способів закреслення. Це твій шанс.
Оля: Добре, квитки цієї лотереї брати не буду, візьму «Поле чудес». Якубович обіцяє повний ящик грошей, якщо вгадаєш переможця в кожній трійці гравців в іграх місяці. Це просто.
Андрій: А ти підрахуй, що протягом місяця проходить 4 передачі, в кожній передачу 3 трійки, та ще 4-а з переможців перших 3. Таким чином, треба вгадати переможця в 16 трійках. У кожній трійці, природно, 3 варіанти вибрати переможця, а всього 316 варіантів, а це 43.046.721 варіант. Шанс ще менше.
Оля: Ну а «Російське лото?» Найпопулярніша лотерея в країні.
Андрій: Так, це треба, щоб ти закрила 30 номерів з 90 можливих. Це 19-значне число. За рахунок того, що в цій грі кілька кіл, то шанси збільшуються до 56 млн.
Оля: Так, Андрій, і як я до цього раніше не додумалася? Скажи, а як ти так швидко вважаєш шанси?
Андрій: Нещодавно прочитав підручник з теорії ймовірностей, от і навчився.
Оля: От і я такий куплю. Спасибі за пораду.
Підведення підсумків.
Отже, хлопці, сьогодні ви познайомилися з елементами комбінаторики і теорії ймовірностей. Імовірність - це очікувана частота того, що якась подія відбудеться.
Визначте, дивлячись на таблицю 1 до якого виду можна віднести кожне з наступних подій:
а) виграш 3 млн. у лотереї;
б) камінь, кинутий у воду, поплив по річці;
в) виходиш на вулицю, а назустріч іде слон;
г) влітку у школярів будуть канікули;
д) на цьому тижні випаде сніг.
Домашнє завдання.
1. Візьміть два гудзики - «з ніжкою» і без неї. Оцініть ймовірність випадання на кожну з сторін гудзиків, провівши 100 експериментів з кожної гудзиком.
2. На 100 батарейок потрапляють 3 браковані. Яка ймовірність купити браковану батарейку?
Клас: 5 клас
Тема: «Елементи комбінаторики».
Мета: Повідомлення нових знань, формування вміння вирішувати найпростіші комбінаторні задачі.
Обладнання: кольорові трикутники і паперу (синій, червоний, зелений, жовтий).
Хід заняття.
Повідомлення теми заняття та мети.
Хлопці, сьогодні ми з вами познайомимося з деякими комбінаторними завданнями. До таких задач відносяться задачі на перебір всіх можливих варіантів або підрахунок таких варіантів. Наприклад:
Завдання 1. Запишіть всі тризначні числа цифрами 1, 2 і 3 без повторення. Скільки таких чисел?
Рішення: Запишемо числа в порядку зростання: 123, 132, 213, 231,312, 321. тут виписані всі числа, що задовольняють умові завдання, без пропусків і повторень. На перше місце можна поставити будь-яку з трьох цифр, на друге місце можна поставити тільки одну з двох, що залишилися, тобто є 3.2 = 6 можливостей зайняти два перших місця. У кожному з цих шести випадків третє місце займе залишилася цифра. Всього таким чином можна скласти тільки 6 тризначних чисел (малюнок 1.)
Завдання 2. Скільки двозначних чисел можна записати, використовуючи цифри 1, 2 і 3?
Рішення: на відміну від завдання 1 тут можна повторювати цифри. Щоб відповісти на питання завдання, можна виписати всі числа без пропусків і повторень:
21 листопада 1931
22 грудня 1932
13 23 33
На першому місці може стояти одна з трьох цифр: 1, 2 або 3. в кожному з цих трьох випадків на друге місце можна поставити одну з трьох цифр 1, 2 або 3. Разом, є 3.3 = 9 двозначних чисел, записаних цифрами 1, 2 і 3.
Практична частина.
Лунають кольорові трикутники з паперу: синій, жовтий, зелений, червоний.
- Хлопці, а тепер давайте подивимося які і скільки можна скласти ялинок із запропонованих трикутників, не повторюючи кольору?
Відповідь: 24 ялиночки.
Учні розкладають на партах ялинки. Результати оформляються на дошці і в зошитах (рис. 2).
- Хлопці, а тепер давайте вирішимо завдання. Коля написав два рази своє ім'я
К О Л Я
К О Л Я
Його сусід по парті зауважив, що Коля може прочитати своє ім'я більше 10 разів, і показав один із способів.
К-О Л Я
К О Л-Я
Скількома способами Коля може прочитати своє ім'я?
Рішення: До кожній букві Про можна прийти двома способами, до кожної букви Л - чотирма способами, до кожної букви Я - вісьмома, а всього прочитати слово можна шістнадцятьма способами.
До О ₂ Л ₄ Я ₈
До О ₂ Л ₄ Я ₈
Завдання. Кинули два гральних кубика. На першому випало 2 очка, на другому 6 очок. Скількома різними способами може випасти 8 очок на цих кубиках?
Рішення: Розглянемо варіанти, коли може випасти 8 очок: 2 × 6, 3 × 5, 4 × 4, 5 × 3, 6 × 2. Ми бачимо, що 8 очок може випасти п'ятьма способами.
Завдання. Вісім друзів вирішили провести турнір з шашок так, щоб кожен зіграв з кожним одну партію. Скільки партій буде зіграно?
Рішення: Кожен гравець повинен зіграти по 7 партій. Розглянемо випадки, коли гравці не повторюються. Перший повинен зіграти 7 партій (з 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 гравцями), другий - 6 партій (з 3, 4, 5, 6, 7, 8 гравцями), третій - 5 партій (з 4 , 5, 6, 7, 8 гравцями), четвертий - 4 партії (з 5, 6, 7, 8 гравцями), п'ятий - 3 партії (з 6, 7, 8 гравцями), шостий - 2 партії (з 7, 8 гравцями), сьомий - 1 партія (з 8-м гравцем). Звідси, кількість партій: 7 +6 +5 +4 +3 +2 +1 = 28.
- Хлопці, сьогодні ми з вами вивчили деякі елементи комбінаторики, вирішили завдання на перебір всіх можливих варіантів.
Домашнє завдання:
1. Запишіть всі тризначні числа, використовуючи цифри 0, 3, 5, 9 з повторенням, без повторень.
2. Чотири подружки купили чотири квитки в кіно. Скількома різними способами вони можуть зайняти свої місця в залі для глядачів?
3. Запишіть своє ім'я. Скількома способами ви можете його прочитати?
4. Скількома способами можна викласти візерунок з чотирьох предметів, використовуючи трикутник, квадрат і круг.
3.2 Експериментальна частина
Методику навчання рішенню комбінаторних завдань і завдань на ймовірність у 5-6 класах основної школи була перевірена на педагогічній практиці шляхом експерименту в 6 «А» класі (гімназичному).
Експеримент був побудований в три етапи:
I. Констатуючий етап. На даному етапі були проведені і оброблені тести на психодіагностику пізнавальних процесів і оцінку мислення у школярів. А також дано завдання на вибіркове вирішення завдань (звичайні, комбінаторні, на теорію вірогідності).
Проведення психодіагностичного тесту на дослідження гнучкості мислення. Методика дозволяє визначити варіативність підходів, гіпотез, вихідних даних, точок зору, операцій, що втягуються в процес розумової діяльності. Тест проводився в групі.
Учням пропонувався бланк, кожному на парту, із записаними анаграма (наборами літер). Протягом 3 хвилин вони повинні скласти з наборів букв слова, не пропускаючи і не додаючи жодної букви. Слова можуть бути тільки іменниками.
Запропонований бланк:
йво УКБ яодл аапл аіцпт отмшр
йлів ІРМ руот орщб уаргшоелсв
АБЛ відм еноб оетл оосвл аашлп
ашр АСД аукл оерм оалмс оесмт
ОЗВ обл іапл октс бреор аілдн
Обробка результатів:

Кількість уч-ся за списком	Кількість учнів, які виконали тест	Показник гнучкості мислення (К-ть складених слів)
		Високий (21 і більше)	Середній (13-20)	Низький (7-12)
31	26	7	18	1

Проведення психодіагностичного тесту на вивчення логічної пам'яті. Методика дозволяє визначити розвиток логічної пам'яті.
Учням зачитується ряд слів, які вони повинні запам'ятати, причому ці слова складають частину пропозицій. Другі частини будуть прочитані дещо пізніше. Вчитель читає слова першого ряду з 5-секундним інтервалом. Після 10-секундного перерви зачитує слова другого ряду з інтервалом 10 сек.
Учні записують пропозиції, складені зі слів першого і другого рядів.
Перший ряд Другий ряд
БАРАБАН ВОСХОД СОНЦЯ
СЕЛА НА КВІТКА БДЖОЛА
БРУД НАЙКРАЩИЙ ВІДПОЧИНОК
БОЯГУЗТВО ПОЖЕЖА
СТАЛАСЯ НА ФАБРИЦІ висів на стіні
У ГОРАХ ДРЕВНІЙ МІСТО
У КІМНАТІ жахливої ​​якості
СОН Дуже спекотно
МОСКВА ХЛОПЧИК
МЕТАЛИ ЗАЛІЗО ТА ЗОЛОТО
НАША КРАЇНА ПРИЧИНА ХВОРОБИ
ПРИНІС КНИГУ передових держав
Пропозиції
Барабан висів на стіні
Бджола сіла на квітку
Бруд - причина хвороби
Боягузтво - огидна якість
Схід сонця в горах
На фабриці сталася пожежа
У кімнаті дуже жарко
Кращий відпочинок - сон
Москва - древнє місто
Залізо і золото - метали
Наша країна - передове держава
Хлопчик приніс книгу
Обробка результатів:

Кількість уч-ся за списком	Кількість учнів, які виконали тест	Показник розвитку логічної пам'яті
		Високий		Середній	Низький
31	26	5	19		2

Завдання на вибіркове вирішення завдань. Учням пропонується три завдання і дається завдання: вирішити дві з них (при бажанні - три).
Завдання 1. В одному пакеті кг цукерок, а в іншому - на менше, ніж у першому. Яка маса цукерок у двох пакетах?
Рішення: 1) (Кг) - у 2-му пакеті
2) (Кг) - усього.
Від
Завдання 2. У кафе пропонують два перші страви: борщ, розсольник - і чотири друга страви: гуляш, котлети, сосиски, пельмені. Вкажіть всі обіди з двох страв, які може замовити відвідувач. Проілюструйте відповідь, побудувавши дерево можливих варіантів.
Рішення:

Борщ				Розсольник
гуляш	котлети	сосиски	пельмені	гуляш	котлети	сосиски	пельмені

Отже, відвідувач може замовити 8 варіантів обідів.
Відповідь: 8 обідів.
Завдання 3. У коробці 3 червоних, 3 жовтих, 3 зелених кулі. Витягуємо навмання 4 кулі. Які з наступних подій неможливі, які - випадкові, а які - достовірні:
А = {всі вийняті кулі одного кольору};
В = {всі вийняті кулі різних кольорів};
С = {серед вийнятих куль є кулі різних кольорів};
D = {серед вийнятих є кулі всіх трьох кольорів}.
Рішення:
Подія А - неможливе: не можна вийняти з коробки чотири кулі одного кольору, так що в ній тільки по три кулі кожного кольору.
Подія В - теж неможливе: кулі в коробці трьох кольорів, а виймаємо чотири.
Подія С - достовірне: адже всі чотири кулі, як ми вже з'ясували не можуть бути одного кольору, тому серед них обов'язково є кулі хоча б двох кольорів.
Подія D - випадкове.
Обробка результатів:

Кількість уч-ся за списком	Кількість учнів, які виконали завдання	3 задачі	1-2 завдання	1-3 завдання	2-3 завдання
31	29	9	12	6	2

На даному етапі був перевірений рівень знань учнів в області комбінаторики і теорії ймовірностей, тому що автор на практиці пробних уроків давав уроки на комбінаторики і теорію ймовірностей у цьому ж класі. Учні показали досить високий рівень знань у даній області.
II. Формуючий етап. На уроках математики даються комбінаторні задачі та завдання на ймовірність у домашньому завданні і використовуються в усному рахунку.
Проведено позакласні заходи на тему: «Елементи комбінаторики і теорії ймовірностей», на яких давався теоретичний і практичний матеріал.
У домашньому завданні даються завдання зі збірника задач (див. додаток 1).
В усному рахунку давалися завдання зі збірника (додаток 1), але не наважувалися самі завдання, а учні повинні були визначити до якого типу відносяться ці завдання. Так само давалися завдання на обчислення факторіала, типу:
1. Ділиться чи є число 30! на:
а) 90; б) 92; в) 94; г) 96?
Рішення. а) 90 = 2.5.9. серед множників числа 30! є числа 2, 5 і 9. Значить, число 30! ділиться на 90.
б) 92 = 4 ∙ 23. серед множників 30! є числа 4, 23. значить, число 30! ділиться на 92.
в) 94 = 2.47. число 47 просте і більше, ніж 30. так як серед множників числа 30! Ні числа 47, то число 30! Не ділиться на 94.
г) 96 = 2.3.16. серед множників 30! є числа 2, 3, 16. значить, число 30! ділиться на 96.
2. Ділиться чи є число 14! на:
а) 168; б) 136; в) 147; г) 132?
3. Знайдіть значення виразу:
а) б) в) г)
Рішення: а)
б)
в)
г)
4. Що більше і у скільки разів:
а) 6! ∙ 5 або 5! ∙ 6 б) (п +1)! ∙ п або п! ∙ (п +1)
Позакласний захід на тему «Елементи комбінаторики»
6 «А» клас (школа № 858)
Мета: Ввести нові знання з теми «Елементи комбінаторики»
Завдання:
1. Освітні:
· Виявити, узагальнити і розширити математичні знання, наявні у дітей на даний момент в області комбінаторики;
· Ввести поняття перестановки, факторіал;
· Розпочати формування умінь щодо застосування знань у вирішенні завдань;
2. Розвиваючі:
· Розвивати логічне мислення, довгострокову пам'ять, уважність;
· Розвивати вміння міркувати, узагальнювати і робити висновки;
· Розвивати правильну математичну мова, обчислювальний навик;
3. Виховні:
· Виховувати посидючість, дисциплінованість, ініціативність;
· Виховувати повагу до викладача, однокласникам.
Хід заходу
1. Організаційний момент: Здравствуйте, сідайте! Сьогодні на уроці ви познайомитесь з комбінаторика.
2. Підготовчий етап.
Ви вже знайомі з деякими завданнями на перебір всіх можливих варіантів, які вирішували за допомогою складання древа.
Наприклад: Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 3, 5, 7, використовуючи в запису числа кожну з них не більше одного разу?
При вирішенні цього завдання спочатку складається древо всіх можливих варіантів (вчитель біля дошки зі слів учнів).

Перша цифра	1						3						5						7
Друга цифра	3		5		7		1		5		7		1		3		7		1		3		5
Третя цифра	5	7	3	7	3	5	5	7	1	7	1	5	3	7	1	7	1	3	3	5	1	5	1	3

3. Введення нових знань
Але як ви вже знаєте, відповідь на поставлене в питання можна отримати, не виписуючи самі числа і не будуючи дерево можливих варіантів. Міркувати будемо так. Першу цифру тризначного числа можна вибрати чотирма способами. Так після вибору першої цифри залишаться три, то другу цифру можна вибрати з цифр, що залишились вже трьома способами. Нарешті, третю цифру можна вибрати (з решти двох) двома способами. Отже, загальна кількість шуканих тризначних чисел дорівнює добутку 4.3.2 = 24.
Відповідь на поставлене на прикладі питання ми знайшли, використовуючи так зване комбінаторне правило множення (записується у зошит).
Нехай є n елементів і потрібно вибрати один за іншим деякі k елементів. Якщо перший елемент можна вибрати n ₁ способами, після чого другий елемент можна вибрати з решти n ₂ способами, потім третій елемент - n ₃ способами і т.д., то число способів, якими можуть бути вибрані всі k елементів, дорівнює добутку n ₁ · n ₂ · n ₃ · ... · n _k.
4. Практичний етап
1. У кафе пропонують два перші страви: борщ, розсольник - і чотири другі страви: гуляш, котлети, сосиски, пельмені. Вкажіть всі обіди з двох страв, які може замовити відвідувач. Проілюструйте відповідь, побудувавши дерево можливих варіантів.
Рішення:

Борщ				Розсольник
гуляш	котлети	сосиски	пельмені	гуляш	котлети	сосиски	пельмені

На перше місце можна вибрати одне з двох страв, на друге - одне з чотирьох страв. Значить кількість обідів з двох страв: 2.4 = 8.
Відповідь: 8 обідів.
2. Стадіон має 4 входи: А, В, С і Д. вкажіть всі можливі способи, якими відвідувач може увійти через один вхід і вийти через інший. Скільки таких способів?
Рішення: Відвідувач може увійти через один з чотирьох входу, а вийти через один з трьох, що залишилися, тобто є 4.3 = 12 способів.
Відповідь: 12 способів.
3. З села Дятлово в село Матвєєвськоє ведуть три дороги, а з села Матвєєвськоє в село Першин - чотири дороги. Скількома способами можна потрапити з Датлова в Першин через Матвєєвськоє?
Рішення: У село Матвєєвськоє з Дятлова можна потрапити трьома способами. А з Матвіївської в Першин - 4 способами. Значить, 3.4 = 12 способів.
Відповідь: 12 способів.
4. Петро вирішив піти на новорічний карнавал у костюмі мушкетера. В ательє прокату йому запропонували на вибір різні за фасоном і кольором предмети: п'ять пар штанів, шість камзолів, три капелюхи, дві пари чобіт. Скільки різних карнавальних костюмів можна скласти з цих предметів?
Рішення: Штани можна вибрати п'ятьма способами, камзоли - шістьма, капелюхи - трьома, чоботи - двома. Значить, костюм можна скласти 5.6.3.2 = 180 способами.
Відповідь: 180 способів.
5. Введення нових знань
Приклад. Нехай є три книги. Позначимо їх літерами a, b, c. Ці книги можна розставити на полиці по-різному: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Кожне з цих розташувань називають перестановкою з трьох елементів.
Перестановкою з n елементів називається кожне розташування цих елементів у певному порядку.
Число перестановок з n елементів позначається символом P _n (читається «Р з n»).
Ми встановили, що Р ₃ = 6. Для того, щоб знайти число перестановок з трьох елементів, можна не виписувати ці перестановки, а скористатися правилом множення. Будемо міркувати так. На перше місце можна поставити будь-який з трьох елементів. Для кожного вибору першого елемента є дві можливості вибору другого з двох інших елементів. Нарешті, для кожного вибору перших двох елементів залишається єдина можливість вибору третього елемента. Значить, число перестановок з трьох елементів одно 3.2.1, тобто 6.
Виведемо тепер формулу для числа перестановок з n елементів.
Нехай ми маємо n елементів. На перше місце можна поставити будь-який з них. Для кожного вибору першого елемента на друге місце можна поставити один з решти n-1 елементів. Для кожного вибору перших двох елементів на третє місце можна поставити один з решти n-2 елементів і т.д. в результаті отримаємо, що
P _n = n (n-1) (n-2) · ... · 3.2.1.
Розташувавши множники в порядку зростання, одержимо
P _n = 1.2.3 · ... · (n -2) (n -1) n.
Для твори перших n натуральних чисел використовується спеціальне позначення: n! (Читається «n факторіал»).
Таким чином, число всіляких перестановок з n елементів обчислюється за формулою P _n = n!
Наприклад, 2! = 1.2 = 2; 5! = 1.2.3.4.5 = 120.
За визначенням вважають, що 1! = 1.
6. Практичний етап
- Хлопці, давайте згадаємо байку І. А. Крилова «Квартет»:
Пустунка мавпа,
Осел,
Козел,
Так клишоногий ведмедик
Затіяли зіграти Квартет.
Дістали нот, баса, альта, дві скрипки
І сіли на лужок під липки -
Полонити своїм мистецтвом світло.
Ударили в смички, деруть, а толку немає.
«Стій, браття, стій!» - Кричить мавпа. - «Чекайте!
Як музиці іти? Адже ви не так сидите.
Ти з басом Мишенька сідай проти альта,
Я, прима, сяду проти втори;
Тоді вже піде музика не та:
У нас затанцюють ліс і гори! »
Розсілися, почали Квартет,
Він все-таки на лад не йде.
«Стривайте ж, я знайшов секрет! -
Кричить Віслюк, - ми вірно вже порозуміємося,
Коль поруч сядемо. »
Послухали осла, сіли чинно в ряд;
А все-таки Квартет не йде на лад.
Ось ще голосніше пішли в них розбори
І суперечки,
Кому і як сидіти.
Сталося Солов'ю на шум їх прилетіти.
Тут з проханням всі до нього, щоб їх вирішити сумнів.
«Мабуть, - кажуть, - візьми на годину терпець,
Щоб Квартет у порядок наш привесть:
І ноти є у нас, і інструменти є,
Скажи, лише як нам сісти! »-
«Щоб музикантом бути, так треба вміння
І вуха ваших поніжніше, -
Їм відповідає Соловей, -
А ви, друзі, як не сідайте, все в музиканти не годитесь ».
Скільки способами можуть розсістися учасники Квартету?
Рішення: Квартет складається з чотирьох учасників. Число способів дорівнює числу перестановок з 4 елементів. Р ₄ = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24. Значить, існує 24 способи.
Відповідь: 24 способи.
5. Скількома способами можуть бути розставлені 8 учасниць фінального забігу на восьми бігових доріжках?
Рішення: Кількість способів дорівнює числу перестановок з 8 елементів.
Р ₈ = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 40320. Значить, існує 40320 способів розстановки учасниць забігу на восьми бігових доріжках.
Відповідь: 40320 способів.
6. Скільки різних чотиризначних чисел, в яких цифри не повторюються, можна скласти з цифр 0, 2, 4, 6?
Рішення: З цифр 0, 2, 4, 6 можна отримати Р ₄ перестановок. З цього числа треба виключити ті перестановки, які починаються з 0, тому натуральне число не може починатися з цифри 0. число таких перестановок одно Р _3. значить, дані число чотиризначних чисел, які можна скласти з цифр 0, 2, 4, 6 дорівнює Р ₄ - Р ₃ = 4! -3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 - 1 ∙ 2 ∙ 3 = 24 - 6 = 18.
Відповідь: 18 чисел.
7. Є дев'ять різних книг, чотири з яких - підручники. Скількома способами можна розставити ці книги на полиці так, щоб всі підручники стояли поруч?
Рішення: Спочатку будемо розглядати підручники як одну книгу. Тоді на полиці треба розставити не 9, а 6 книг це можна зробити Р ₆ способами. У кожній з отриманих комбінацій можна виконати Р ₄ перестановок підручників. Значить, дані число способів розташування книг на полиці дорівнює добутку Р ₆ · Р ₄ = 6! · 4! = 720.24 = 17280.
Відповідь: 17280 способів.
8. Скількома способами 9 осіб можуть стати в чергу до театральної каси?
Рішення: Кількість способів дорівнює числу перестановок з 9 елементів.
Р ₉ = 9! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 362880.
Відповідь: 362880 способів.
9. У розкладі на понеділок шість уроків: алгебра, геометрія, біологія, історія, фізкультура, хімія. Скількома способами можна скласти розклад на цей день так, щоб два уроки математики (алгебра і геометрія) стояли поруч?
Рішення: Розглянемо алгебру та геометрію як один урок. Тоді розклад треба скласти не з 6, а з 5 уроків - Р ₅ способів. У кожній з отриманих комбінацій можна виконати Р ₂ перестановки алгебри і геометрії. Значить, дані число способів складання розкладу:
Р ₅ ∙ Р ₂ = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 1 ∙ 2 = 120 ∙ 2 = 240
Відповідь: 240 способів.
7. Підведення підсумків. Отже, ви познайомилися з деякими правилами комбінаторики і застосували їх при вирішенні завдань. Які це правила?
8. Домашнє завдання:
1. У кафе є три перші страви, п'ять других страв та два третіх. Скількома способами відвідувач кафе може вибрати обід, що складається з першого, другого і третього страв?
Рішення. Перше блюдо можна вибрати 3 способами. Для кожного вибору першої страви існує 5 можливостей вибору другої страви. Отже, перші дві страви можна вибрати 3.5 способами. Нарешті, для кожного вибору третього страви, тобто існує 3.5.2 способів складання обіду з трьох букв. Отже, обід з трьох літер може бути складений 30 способами.
2. Кур'єр повинен рознести пакети в 7 різних установ. Скільки маршрутів він може вибрати?
Рішення: Кількість маршрутів дорівнює числу перестановок з 7 елементів.
Р ₇ = 7! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 5040
Відповідь: 5040 маршрутів.
3. Є дев'ять різних книг, чотири з яких - підручники. Скількома способами можна розставити ці книги на полиці так, щоб всі підручники стояли поруч?
Рішення: Спочатку будемо розглядати підручники як одну книгу. Тоді на полиці треба розставити не 9, а 6 книг це можна зробити Р ₆ способами. У кожній з отриманих комбінацій можна виконати Р ₄ перестановок підручників. Значить, дані число способів розташування книг на полиці дорівнює добутку Р ₆ · Р ₄ = 6! · 4! = 720.24 = 17280.
4. Розрахуйте значення дробу:
а) ; Б) , В) ; Г) ; Д) ; Е)
III. Контролюючий етап. Повторне проведення і обробка тестів на психодіагностику пізнавальних процесів, оцінку мислення у школярів. Повторне завдання на вибіркове вирішення завдань. Обробка результатів і порівняння з результатами констатуючого етапу.
Проведення психодіагностичного тесту на дослідження гнучкості мислення.
Обробка результатів:

Кількість уч-ся за списком	Кількість учнів, які виконали тест	Показник гнучкості мислення (К-ть складених слів)
		Високий (21 і більше)		Середній (13-20)	Низький (7-12)
31	29	14	12		1

Порівняння результатів з результатами констатуючого етапу представлені в діаграмі. Показник гнучкості мислення учнів значно збільшився.
\ S
Проведення психодіагностичного тесту на вивчення логічної пам'яті.
Обробка результатів:

Кількість уч-ся за списком	Кількість учнів, які виконали тест	Показник розвитку логічної пам'яті
		Високий	Середній	Низький
31	29	13	15	1

Порівняння результатів з результатами констатуючого етапу представлено в діаграмі. Показник розвитку логічної пам'яті учнів значно збільшився - більшу кількість учнів впоралося із завданням вірно.
\ S
Завдання на вибіркове вирішення завдань. Учням пропонується три завдання і дається завдання: вирішити дві з них (при бажанні - три).
Завдання 1. У перший день магазин продав 32% наявного ситцю, а в другий день 7%. Після цього залишилося 305 м . скільки ситцю надійшло в магазин?
Рішення:    1) 32 +7 = 39 (%)-продали за 2 дні
2) 100-39 = 61 (%) - залишилося.
3) 305:0,61 = 500 (м) - ситцю надійшло в магазин
Відповідь: 500 м ситцю надійшло в магазин.
Завдання 2. Скількома способами 5 хлопчиків та 5 дівчаток можуть зайняти в театрі в одному ряду місця з 1 по 10? Скількома способами вони можуть це зробити, якщо хлопчики будуть сидіти на непарних місцях, а дівчатка - на парних?
Рішення. Якщо хлопчики і дівчатка сядуть в один ряд у довільному порядку, то це можна зробити Р ₁₀ = _10! = 3628800 способами. Якщо хлопчики сядуть на непарні місця, то існують Р ₅ способів їх розташування. Стількома ж способами можуть розташуватися дівчинки на парних місцях. Кожному способу розташування хлопчиків відповідає Р ₅ способів розташування дівчаток.
Значить, розташуватися так, що хлопчики будуть сидіти на непарних місцях, а дівчатка - на парних, можна Р ₅ · Р ₅ = _5! · 5! = 120.120 = 14400 способами.
Завдання 3. У коробці 2 червоних, 4 жовті, 3 зелених кубика. Витягуємо навмання 5 кубиків. Які з наступних подій неможливі, які - випадкові, а які - достовірні:
А = {всі вийняті кубики одного кольору};
В = {всі вийняті кубики різних кольорів};
С = {серед вийнятих кубиків є кубики різних кольорів};
D = {серед вийнятих є кубики всіх трьох кольорів}.
Рішення:
Подія А - неможливе: не можна вийняти з коробки п'ять кубиків одного кольору, тому що в ній кожного кольору менше п'яти кубиків.
Подія В - теж неможливе: кубики в коробці трьох кольорів, а виймаємо п'ять.
Подія С - достовірне: адже всі п'ять кубиків, як ми вже з'ясували не можуть бути одного кольору, тому серед них обов'язково є кубики хоча б двох кольорів.
Подія D - випадкове.
Обробка результатів:

Кількість уч-ся за списком	Кількість учнів, які виконали завдання	3 задачі	1-2 завдання	1-3 завдання	2-3 завдання
31	29	13	7	6	3

Порівняння результатів з констатуючим етапом представлено в діаграмі.
\ S
Більша кількість учнів вирішило всі три завдання вірно, в тому числі завдання на комбінаторики і ймовірність, що говорить про успішність формуючого етапу експерименту.
Значить, можливо сформувати початкове уявлення про вірогідність і навчити вирішувати комбінаторні задачі учнів 5-6 класів, використовуючи методи проблемного навчання, цікаві завдання, завдання, що містять життєві ситуації і тим самим підвищити показник логічної пам'яті і гнучкості мислення в учнів 5-6 класів.

Висновок
Досліджуючи тему «Методика навчання рішенню комбінаторних задач і формування первинного уявлення про ймовірність» проаналізували науково-методичну літературу, виявили рівень логічного мислення учнів 5-6 класів основної школи. Так само вивчили психологічні особливості учнів 5-6 класів основної школи, вивчили методику ознайомлення учнів з завданнями на комбінаторику. Розроблено фрагменти уроків.
Мета дослідження виконана - вивчили методику навчання рішенню комбінаторних завдань і завдань на ймовірність у 5-6 класах основної школи.
Гіпотеза, покладена в основу дослідження підтверджується - можливо сформувати початкове уявлення про вірогідність і навчити вирішувати комбінаторні задачі учнів 5-6 класів, використовуючи методи проблемного навчання, цікаві завдання.

Бібліографія
1. Бардієр Г.Л. «Тонкощі психологічної допомоги дітям», Видавництво Генезис, М., 2002.
2. Бунімович Е.А., Буличов В.А. Імовірність і статистика. Посібник для загальноосвітніх навчальних закладів. - М.: Дрофа, 2002.
3. Бунімович Е.А., Буличов В.А. Основи статистики та ймовірність. 5-9 кл.: Посібник для загальноосвітніх установ - М.: Дрофа, 2004.
4. Вентцель Є.С., Овчаров Л.А. Завдання і вправи з теорії ймовірностей: Навчальний посібник для студ.втузов - 5 вид., Испр. - М.: Видавничий центр «Академія», 2003.
5. Виготський Л.С. Уява і творчість у дитячому віці. Спб.: Союз, 1997.
6. Дорофєєв Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 5-й клас. Частина 1: Учеб. для загаль. учеб.заведеній. - М.: видавництво «Ювента», 2002.
7. Дорофєєв Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 5-й клас. Частина 2: Учеб. для загаль. учеб.заведеній. - М.: видавництво «Ювента», 2002.
8. Дорофєєв Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й клас. Частина 1: Учеб. для загаль. учеб.заведеній. - М.: видавництво «Ювента», 2002.
9. Дорофєєв Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й клас. Частина 2: Учеб. для загаль. учеб.заведеній. - М.: видавництво «Ювента», 2002.
10. Дорофєєв Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й клас. Частина 3: Учеб. для загаль. учеб.заведеній. - М.: видавництво «Ювента», 2002.
11. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін Математика. 6-й клас: Учеб. для загаль. учеб.заведеній - М.: Дрофа, 1997.
12. Дорофєєв Г. В. Математика. 6-й клас: Робочий зошит: До підручника під редакцією Г. В. Дорофеєва, І. Ф. Шаригіна "Математика 6". - М.: Дрофа, 1998.
13. Крутецкий В.А. Психологія: Учеб. для прискорений. пед. училищ - М.: Просвещение, 1986.
14. Крилов І.А. Байки. - М.: Просвещение, 1985.
15. Локалова Н.П. «Уроки психологічного розвитку в середній школі (5-6 класи), издат. Вісь, М., 1989.
16. Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г. Алгебра. Елементи статистики і теорії ймовірностей. Навчальний посібник для учнів 7-9 класів загальноосвітніх установ / під редакцією Теляковського С.А. - М., «Просвещение», 2003.
17. Немов Р.С. Психологія. Учеб. для студ.высш.пед.учеб.заведений - у 2 кн. Кн.1. загальні основи психології. - М.: Просвіта: Владос, 1994.
18. Нестеренко Ю.В., Олехнік С.М., Потапов М.К. Кращі завдання на кмітливість. - М.: Науково-технічний центр "Університетський": АСТ-ПРЕСС, 1999.
19. Нікольський С.М., Потапов М.К., Решетніков М.М., Шовкун О.В. Арифметика 5-й клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів - Издат. Відділ УНЦ ДО МДУ, 1997
20. Нікольський С.М., Потапов М.К., Решетніков М.М., Шовкун О.В. Арифметика 6-й клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів - Издат. Відділ УНЦ ДО МДУ, 1997
21. Оганесян В.А. Колягін Ю.М., Луканкін Г.Л., Санінскій В.Я. Методика викладання математики в середній школі / Загальна методика. Навчальний посібник для студ. фіз.-мат.фак.пед. інститутів - М.: Просвещение, 1980.
22. Петровський А.В. Практичні заняття з психології. - М., 1972
23. Савельєв Л.Я. Комбінаторика і ймовірність. - Новосибірськ, Наука, 1975.
24. Савін А.П. Енциклопедичний словник юного математика - М.: Педагогіка-Прес, 1997.
25. Свєшнікова А.А. Збірник задач з теорії ймовірностей, математичної статистики та теорії випадкових функцій - М., Наука, 1965.
26. Стойлова Л.П. Математика: Учеб. посібник для студ. середовищ. пед. навч. закладів - М.: Видавничий центр «Академія», 1998
27. Тюрін Ю.М., Макаров А.А., Висоцький І.Р., Ященко І.В. Теорія ймовірностей і статистика. - М.: МЦНМО: АТ «Московські підручники», 2004.
28. Тюрін Ю.М., Макаров А.А., Висоцький І.Р., Ященко І.В. Теорія ймовірностей і статистика. - 2-е вид., Перероблене. - М.: МЦНМО: АТ «Московські підручники», 2008.
29. Фадєєв Д.К., Нікулін М.С., Соколовський І.Ф. Елементи вищої математики для школярів. - М.: Наука, головна редакція фізико-математичної літератури, 1987.
30. Журнал «Математика в школі» № 9, 2001
31. Журнал «Математика в школі» № 5, 2003
32. Журнал «Математика в школі» № 6, 2003
33. Журнал «Математика в школі» № 5, 2004
34. Журнал «Математика в школі» № 6, 2004
35. Журнал «Математика в школі» № 7, 2004.

Програми
Додаток 1
Збірник основних правил комбінаторики і вправ для їх застосування
1. Приклади комбінаторних завдань
Приклад 1. З групи тенісистів, до якої входять чотири людини - Антонов, Григор'єв, Сергєєв і Федоров, тренер виділяє пару для участі у змаганнях. Скільки існує варіантів вибору такої пари?
Рішення: Складемо спочатку всі пари, в які входить Антонов (для стислості будемо писати перші літери прізвищ). Отримаємо три пари: АГ, АС, АФ.
Випишемо тепер пари, в які входить Григор'єв, але не входить Антонов. Таких пар дві: ГС, ГФ.
Далі складемо пари, в які входить Сергєєв, але не входять Антонов і Григор'єв. Така пара тільки одна: СФ.
Інших варіантів складання пар немає, так як всі пари, в які входить Федоров вже складені.
Отже, ми отримали 6 пар:
АГ, АС, АФ
ГС, ГФ
СФ,
тобто 3.2.1 = 6. значить, існує всього шість варіантів вибору тренером пари тенісистів з даної групи.
Спосіб міркувань, яким ми скористалися при вирішенні завдання, називають перебором можливих варіантів.
Приклад 2. Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 3, 5, 7, використовуючи в запису числа кожну з них не більше одного разу?
При вирішенні цього завдання спочатку складається древо всіх можливих варіантів.

Перша цифра	1						3						5						7
Друга цифра	3		5		7		1		5		7		1		3		7		1		3		5
Третя цифра	5	7	3	7	3	5	5	7	1	7	1	5	3	7	1	7	1	3	3	5	1	5	1	3

Зауважимо, що відповідь на поставлене в прикладі питання можна отримати, не виписуючи самі числа і не будуючи дерево можливих варіантів. Міркувати будемо так. Першу цифру тризначного числа можна вибрати чотирма способами. Так після вибору першої цифри залишаться три, то другу цифру можна вибрати з цифр, що залишились вже трьома способами. Нарешті, третю цифру можна вибрати (з решти двох) двома способами. Отже, загальна кількість шуканих тризначних чисел дорівнює добутку 4.3.2 = 24.
Відповідь на поставлене на прикладі 2 питання ми знайшли, використовуючи так зване комбінаторне правило множення.
Нехай є n елементів і потрібно вибрати один за іншим деякі k елементів. Якщо перший елемент можна вибрати n ₁ способами, після чого другий елемент можна вибрати з решти n ₂ способами, потім третій елемент - n ₃ способами і т.д., то число способів, якими можуть бути вибрані всі k елементів, дорівнює добутку n ₁ · n ₂ · n ₃ · ... · n _k.
Приклад 3. З міста А в місто В ведуть дві дороги, з міста В в місто С - три дороги, з міста С до пристані - дві дороги (рис. 1). Туристи хочуть проїхати з міста А через міста В і С до пристані. Скількома способами вони можуть вибрати маршрут?

SHAPE \ * MERGEFORMAT
А В С Пристань Рис. 1
Рішення. Шлях із А в В туристи можуть вибрати двома способами. Далі в кожному випадку вони можуть проїхати з В в З трьома способами. Значить, є 2.3 варіантів маршруту з А в С. Так як з міста С на пристань можна потрапити двома способами, то всього існує 2.3.2, тобто 12 способів вибору туристами маршруту з міста А до пристані.
Вправи в даному пункті спрямовані на складання різних комбінацій і підрахунок числа можливих варіантів цих комбінацій.
Вправи
5. У кафе пропонують два перші страви: борщ, розсольник - і чотири другі страви: гуляш, котлети, сосиски, пельмені. Вкажіть всі обіди з двох страв, які може замовити відвідувач. Проілюструйте відповідь, побудувавши дерево можливих варіантів.
6. Є білий хліб, чорний хліб, сир, ковбаса і варення. Скільки видів бутербродів можна приготувати?
7. На тарілці лежать 5 яблук і 4 апельсини. Скількома способами можна вибрати один плід?
Рішення. За умовами задачі яблуко можна вибрати п'ятьма способами, апельсин - чотирма. Так як у задачі мова йде про вибір «або яблуко, або апельсин», то його, відповідно до правила суми, можна здійснити 5 + 4 = 9 способами.
8. На тарілці лежать 5 яблук і 4 апельсини. Скількома способами можна вибрати кілька плодів, що складається з яблука й апельсина?
Рішення: За умовою задачі яблуко можна вибрати п'ятьма способами, апельсин - чотирма. Так як у задачі мова йде про вибір пари (яблуко, апельсин), то її, згідно з правилом твори, можна вибрати 5.4 = 20 способами.
9. Скільки всього двозначних чисел можна скласти з цифр 7, 4 та 5 за умови, що вони в записі числа не повторюються?
Рішення: щоб записати двозначне число, треба вибрати цифру десятків і цифру одиниць. Згідно з умовою на місці десятків в записі може бути будь-яка з цифр 7, 4 і 5. іншими словами, вибрати цифру десятків можна трьома способами. Після того, як цифра десятків визначена, для вибору цифри одиниць залишається дві можливості, цифри в записі числа не повинні повторюватися. Оскільки будь-яке двозначне число - це упорядкована пара, що складається з цифр десятків і цифр одиниць, то її вибір, згідно з правилом твори, можна здійснити 3.2 = 6 способами.
10. Скільки тризначних чисел можна скласти, використовуючи цифри 7, 4 і 5?
Рішення: в даній задачі розглядаються тризначні числа, так як цифри в записі цих чисел можуть повторюватися, то цифру сотень, цифру десятків і цифру одиниць можна вибрати трьома способами кожну. Оскільки запис тризначного числа представляє собою упорядкований набір з трьох елементів, то, згідно з правилом твору, його вибір можна здійснити 3.3.3 = 27 способами.
11. Скільки всього чотиризначних чисел можна скласти з цифр 0 і 3?
Рішення: Запис чотиризначного числа представляє собою упорядкований набір (кортеж) з чотирьох цифр. Першу цифру - цифру тисяч можна вибрати тільки одним способом, оскільки запис числа не може починатися з нуля. Цифрою сотень може бути або нуль, або три, тобто є два способи вибору. Цифру десятків можна вибрати двома способами, цифру одиниць - двома. Щоб дізнатися, скільки всього чотиризначних чисел можна скласти з цифр 0 і 3, згідно з правилом твору, способи вибору кожної цифри треба перемножити: 1.2.2.2 = 8. таким чином, маємо 8 чотиризначних чисел.
12. Скільки тризначних чисел можна записати, використовуючи цифри 0, 1, 3, 6, 7 і 9, якщо кожна з них може бути використана в записі тільки один раз?
Рішення: Так як запис числа не може починатися з нуля, то цифру сотень можна вибрати п'ятьма способами; вибір можна також здійснити п'ятьма способами, оскільки цифри в записі числа не повинні повторюватися, а одна з шести цифр буде вже використана для запису сотень; після вибору двох цифр (для запису сотень і десятків) вибрати цифру одиниць з даних шести можна чотирма способами. Звідси, за правилом твори, отримуємо, що тризначних чисел можна утворити 5.5.4 = 100 способами.
13. У Ірини п'ять подруг: Віра, Зоя, Марина, Поліна і Світлана. Вона вирішила двох з них запросити в кіно вкажіть всі можливі варіанти вибору подруг. Скільки таких варіантів?
14. Скільки можна скласти пар, вибираючи:
а) перший предмет з 4, а другий з 8;
б) перший предмет з 6, а другий з 3;
в) перший предмет з 15, а другий із 12;
15. У школі є всі класи з 1 по 11. кожен з них має додаткову букву «а», «б», «в», «г» або «д». скільки всього класів у цій школі?
16. На кожному барабані грального автомата зображені символи: «вишня», «лимон» і числа від 1 до 9. автомат має три однакових барабана, які обертаються незалежно один від одного. Скільки всього комбінацій може випасти?
17. Перший клас святкував Новий рік. Кожна дівчинка подарувала кожному хлопчикові листівку, а кожен хлопчик подарував кожній дівчинці гвоздику. Чого було більше - подарованих листівок або подарованих гвоздик?
18. Стадіон має 4 входи: А, В, С і Д. вкажіть всі можливі способи, якими відвідувач може увійти через один вхід і вийти через інший. Скільки таких способів?
19. Вкажіть всі способи, якими можна розкласти три яблука у дві вази (врахуйте при цьому випадки, коли одна з ваз виявиться порожньою).
20. Складіть всі можливі двозначні числа, використовуючи в записі вказані цифри не більше одного разу:
а) 1, 6, 8, б) 0, 3, 4.
21. З цифр 1, 2, 3 складіть всі можливі двозначні числа за умови, що:
а) цифри в числі не повторюються;
б) допускається повторення цифр у числі.
22. Використовуючи цифри 0, 2, 4, 6, складіть всі можливі тризначні числа, в яких цифри не повторюються.
23. У шаховому турнірі беруть участь 9 осіб. Кожен з них зіграв з кожним по одній партії. Скільки всього партій було зіграно?
24. У змаганнях з футболу брало участь 12 команд. Кожна команда провела з кожною з решти по одній грі на своєму полі і по одній грі на полі суперника. Скільки всього ігор було зіграно?
25. При зустрічі 8 чоловік обмінялися рукостисканнями. Скільки всього було зроблено рукостискань?
26. Учні 6 класу вирішили обмінятися фотографіями. Скільки фотографій для цього буде потрібно, якщо в класі 24 людини?
27. На вхідних дверях будинку встановлений домофон, на якому нанесені цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. кожна квартира отримує кодовий замок з двох цифр типу 0-2, 3-7, 7-3, 8-8 і т.п., що дозволяє відкривати вхідні двері. Чи вистачить кодових замків для всіх квартир будинку, якщо в будинку 96 квартир?
28. Із села Дятлово в село Матвєєвськоє ведуть три дороги, а з села Матвєєвськоє в село Першин - чотири дороги. Скількома способами можна потрапити з Датлова в Першин через Матвєєвськоє?
29. У кафе є три перші страви, п'ять других страв та два третіх. Скількома способами відвідувач кафе може вибрати відповідь, що складається з першого, другого і третього страв?
Рішення. Перше блюдо можна вибрати 3 способами. Для кожного вибору першої страви існує 5 можливостей вибору другої страви. Отже, перші дві страви можна вибрати 3.5 способами. Нарешті, для кожного вибору третього страви, тобто існує 3.5.2 способів складання обіду з трьох букв. Отже, обід з трьох літер може бути складений 30 способами.
30. Петро вирішив піти на новорічний карнавал у костюмі мушкетера. В ательє прокату йому запропонували на вибір різні за фасоном і кольором предмети: п'ять пар штанів, шість камзолів, три капелюхи і дві пари чобіт. Скільки різних карнавальних костюмів можна скласти з цих предметів?
2. Перестановки
Найпростішими комбінаціями, які складаються з елементів кінцевого безлічі є перестановки.
Розглянемо приклад 1. Нехай є три книги. Позначимо їх літерами a, b, c. Ці книги можна розставити на полиці по-різному:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Кожне з цих розташувань називають перестановкою з трьох елементів.
Перестановкою з n елементів називається кожне розташування цих елементів у певному порядку.
Число перестановок з n елементів позначається символом P _n (читається «Р з n»).
Ми встановили, що Р ₃ = 6. для того, щоб знайти число перестановок з трьох елементів, можна не виписувати ці перестановки, а скористатися правилом множення. Будемо міркувати так. На перше місце можна поставити будь-який з трьох елементів. Для кожного вибору першого елемента є дві можливості вибору другого з двох інших елементів. Нарешті, для кожного вибору перших двох елементів залишається єдина можливість вибору третього елемента. Значить, число перестановок з трьох елементів одно 3.2.1, тобто 6.
Виведемо тепер формулу для числа перестановок з n елементів.
Нехай ми маємо n елементів. На перше місце можна поставити будь-який з них. Для кожного вибору першого елемента на друге місце можна поставити один з решти n-1 елементів. Для кожного вибору перших двох елементів на третє місце можна поставити один з решти n-2 елементів і т.д. в результаті отримаємо, що
P _n = n (n-1) (n-2) · ... · 3.2.1.
Розташувавши множники в порядку зростання, одержимо
P _n = 1.2.3 · ... · (n -2) (n -1) n.
Для твори перших n натуральних чисел використовується спеціальне позначення: n! (Читається «n факторіал»).
Таким чином, число всіляких перестановок з n елементів обчислюється за формулою P _n = n!
Наприклад, 2! = 1.2 = 2; 5! = 1.2.3.4.5 = 120.
За визначенням вважають, що 1! = 1.
Застосування даної формули ілюструється в посібнику такими прикладами.
Приклад 2. Скількома способами можуть бути розставлені 8 учасниць фінального забігу на восьми бігових доріжках?
Число способів дорівнює числу перестановок з 8 елементів. За формулою числа перестановок знаходимо, що Р ₈ = 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320.
Значить, існує 40320 способів розстановки учасниць забігу на восьми бігових доріжках.
Приклад 3. Скільки різних чотиризначних чисел, в яких цифри не повторюються, можна скласти з цифр 0, 2, 4, 6?
З цифр 0, 2, 4, 6 можна отримати Р ₄ перестановок. З цього числа треба виключити ті перестановки, які починаються з 0, тому натуральне число не може починатися з цифри 0. число таких перестановок одно Р _3. значить, дані число чотиризначних чисел (без повторення цифр), які можна скласти з цифр 0, 2, 4, 6, так само Р ₄ - Р _3. Отримуємо, Р ₄ - Р ₃ = 4! - 3! = 24 - 6 = 18.
Приклад 4. Є дев'ять різних книг, чотири з яких - підручники. Скількома способами можна розставити ці книги на полиці так, щоб всі підручники стояли поруч?
Спочатку будемо розглядати підручники як одну книгу. Тоді на полиці треба розставити не 9, а 6 книг це можна зробити Р ₆ способами. У кожній з отриманих комбінацій можна виконати Р ₄ перестановок підручників. Значить, дані число способів розташування книг на полиці дорівнює добутку Р ₆ · Р ₄ = 6! · 4! = 720.24 = 17280.
Вправи
31. Скількома способами 4 людини можуть розміститися на чотиримісній лавці?
32. Кур'єр повинен рознести пакети в 7 різних установ. Скільки маршрутів він може вибрати?
33. Скількома способами 9 осіб можуть стати в чергу до театральної каси?
34. У автосервіс одночасно приїхали 3 машини для ремонту. Скільки існує способів вибудувати їх у чергу на обслуговування?
35. Скільки є способів роздати спортивні номери з 1 по 5 п'яти хокеїстам?
36. Скільки існує виразів тотожно рівних твору аbcde, які виходять з нього перестановкою множників?
37. Ольга пам'ятає, що телефон подруги закінчується цифрами 5, 6, 7, але забула в якому порядку ці цифри випливають. Вкажіть найбільше число варіантів, які їй доведеться перебрати, щоб додзвонитися подрузі.
38. Скільки шестизначних чисел (без повторення цифр) можна скласти з цифр:
а) 1, 2, 5, 6, 7, 8, б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
39. Скільки серед чотиризначних чисел (без повторення цифр), складених з цифр 3, 5, 7, 9, таких, які:
а) починаються з цифри 3, б) кратні 15?
40. Знайдіть суму цифр всіх чотиризначних чисел, які можна скласти з цифр 1, 3, 5, 7 (без їх повторення).
41. Скільки чисел (без повторення цифр) можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, таких які:
а) більше 3000; б) більше 2000?
42. Сім хлопчиків, до числа яких входять Олег і Ігор, стають у ряд. Знайдіть число можливих комбінацій, якщо:
а) Олег повинен знаходитися в кінці ряду;
б) Олег повинен перебувати на початку ряду, а Ігор - в кінці;
в) Олег і Ігор повинні стояти поруч.
Рішення. а) так як місце Олега фіксовано, то число комбінацій залежить від розташування інших шести хлопчиків. Значить число комбінацій одно Р ₆ = _6! = 1.2.3.4.5.6 = 720.
б) Так як місця Олега та Ігоря фіксовані, то число комбінацій залежить від розташування п'яти інших хлопчиків, тобто одно Р ₅ = _5! = 1.2.3.4.5 = 120.
в) Будемо розглядати пару Олег-Ігор як один елемент. Розташування цієї пари і п'яти інших хлопчиків може бути виконано Р ₆ = _6! способами. У кожній з цих комбінацій Олег і Ігор можуть розташовуватися Р ₂ = _2! Способами. Значить дані число способів розташування хлопчиків одно Р ₆ · Р ₂ = 6! · 2! = 720.2 = 1440.
43. У розкладі на понеділок шість уроків: алгебра, геометрія, біологія, історія, фізкультура, хімія. Скількома способами можна скласти розклад на цей день так, щоб два уроки математики (алгебра і геометрія) стояли поруч?
44. Скільки існує перестановок літер слова «конус», в яких літери к, о, н стоять поруч?
45. Скількома способами можна розставити на полиці 12 книг, з яких 5 книг - це збірки віршів, так, щоб збірники віршів стояли поруч?
46. ​​Скількома способами 5 хлопчиків та 5 дівчаток можуть зайняти в театрі в одному ряду місця з 1 по 10? Скількома способами вони можуть це зробити, якщо хлопчики будуть сидіти на непарних місцях, а дівчатка - на парних?
Рішення. Якщо хлопчики і дівчатка сядуть в один ряд у довільному порядку, то це можна зробити Р ₁₀ = _10! = 3628800 способами. Якщо хлопчики сядуть на непарні місця, то існують Р ₅ способів їх розташування. Стількома ж способами можуть розташуватися дівчинки на парних місцях. Кожному способу розташування хлопчиків відповідає Р ₅ способів розташування дівчаток. Значить, розташуватися так, що хлопчики будуть сидіти на непарних місцях, а дівчатка - на парних, можна Р ₅ · Р ₅ = _5! · 5! = 120.120 = 14400 способами.
47. Ділиться чи є число 30! на:
а) 90; б) 92; в) 94; г) 96?
Рішення. а) 90 = 2.5.9. Серед множників числа 30! є числа 2, 5 і 9. значить, число 30! ділиться на 90.
б) 92 = 4 ∙ 23. Серед множників 30! є числа 4, 23. Значить, число 30! ділиться на 92.
в) 94 = 2.47. Число 47 просте і більше, ніж 30. Так як серед множників числа 30! немає числа 47, то число 30! не ділиться на 94.
г) 96 = 2.3.16. Серед множників 30! є числа 2, 3, 16. Значить, число 30! ділиться на 96.
48. Ділиться чи є число 14! на:
а) 168; б) 136; в) 147; г) 132?
49. Знайдіть значення виразу:
а) б) в) г)
Рішення: а) б)
в) г)
50. Обчисліть значення дробу:
а) ; Б) , В) ; Г) ; Д) ; Е)
51. Випишіть всі натуральні дільники числа:
а) 4!, б) 5!; в) 6!
52. Доведіть, що якщо n <m, то m! ділиться на n! без залишку.
53. Що більше і у скільки разів:
а) 6! ∙ 5 або 5! ∙ 6 б) (п +1)! ∙ п або п! ∙ (п +1)
3. Розміщення
Нехай є 4 кулі і 3 порожніх осередки. Позначимо кулі літерами a, b, c, d. у порожні клітинки можна по-різному розмістити три кулі з цього набору куль. Якщо ми помістимо куля a в першу клітинку, куля b в другу, а куля з в третю клітинку, то одержимо одне з можливих впорядкованих трійок куль:

a

b

c

Обирая по-різному перший, другий і третій кулі, будемо отримувати різні впорядковані трійки куль, наприклад:

a

c

b

b

a

c

a

b

c

Кожну впорядковану трійку, яку можна скласти з чотирьох елементів, називають розміщенням чотирьох елементів по три.
Після цього дається визначення і вводиться відповідне позначення.
Розміщенням з n елементів по k (k ≤ n) називається будь-яка множина, що складається з будь-яких k елементів, взятих у певному порядку з даних n елементів.
Число розміщень з n елементів по k позначають (Читають «А з n по k»).
З визначення випливає, що два розміщення з n елементів по k вважаються різними, якщо вони відрізняються самими елементами або порядком їх розташування.
Складемо з елементів a, b, с, d всі розміщення по три елементи. У першому рядку запишемо всі розміщення, які починаються з елемента a, в другій - з елемента b, в третій - з елемента c, в четвертій - з елемента d. Отримаємо таку таблицю:
abc, abd, acb, acd, adb, adc,
bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,
cab, cad, cba, cbd, cda, bdc,
dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
Зі складеної таблиці видно, що = 24.
Число розміщень з чотирьох елементів по три можна знайти, не виписуючи самих розміщень. Перший елемент можна вибрати чотирма способами, так як їм може бути один з чотирьох елементів. Для кожного обраного першого елемента можна трьома способами вибрати другий елемент із трьох. Нарешті, для кожних перших двох елементів можна двома способами вибрати з двох, що залишилися третій елемент. В результаті одержуємо, що = 4.3.2 = 24.
Наведений спосіб міркувань використовуємо для виведення формули числа розміщень з n елементів по k, де n ≤ k.
Перший елемент можна вибрати n способами. Так як після цього залишається n-1 елементів, то для кожного вибору першого елемента можна n-1 способами вибрати другий елемент. Далі, для кожного вибору перших двох елементів можна n-2 способами вибрати третій елемент (з n-2 залишилися). Нарешті, для кожного вибору першого k-1 елементів можна n - (k - 1) способами вибрати k-й елемент (з n - (k -1) залишилися).
Значить, = N (n - 1) (n - 2) ∙ ... ∙ (n - (k - 1))
Ми отримали формулу для обчислення числа розміщень з n елементів по k.
Наприклад, число розміщень з шістнадцяти елементів по п'ять дорівнює добутку п'яти множників, перший з яких - число 16, а кожен наступний на 1 менше попереднього, тобто = 16.15.14.13.12 = 524160.
У посібнику наводяться приклади застосування формули числа розміщень.
Приклад 1. Учні другого класу вивчають 8 предметів. Скількома способами можна скласти розклад на один день, щоб у ньому було чотири різних предмета?
Будь-яке розклад на один день, складене з 4 різних предметів, відрізняється від іншого або предметами, або порядком проходження предметів. Значить, в цьому прикладі йдеться про розміщення з 8 елементів по 4. Маємо, = 8.7.6.5 = 1684.
Розклад можна скласти 1680 способами.
Приклад 2. Скільки тризначних чисел (без повторення цифр) можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Якщо серед семи цифр немає нуля, то тризначних чисел (без повторення), які можна скласти з цих цифр, дорівнює числу розміщень з 7 елементів по 3. проте серед даних цифр є цифра 0, з якою не може починатися тризначне число. Тому з розміщень з 7 елементів по 3 треба виключити ті елементи, у яких першою цифрою є 0. їх число дорівнює числу розміщень з 6 елементів по 2. значить, дані число тризначних чисел дорівнює .
З даних цифр можна скласти 180 тризначних чисел (без повторення цифр).
Вправи
54. Скількома способами може розміститися сім'я з трьох осіб у чотиримісному купе, якщо інших пасажирів в купе ні?
55. Із 30 учасників зборів треба обрати голову і секретаря. Скількома способами це можна зробити?
56. Скількома способами можуть зайняти перше, друге і третє місця 8 учасниць фінального забігу на дистанцію 100 м?
57. На станції 7 запасних шляхів. Скількома способами можна розставити на них 4 потяги?
58. Скількома способами можна виготовити триколірний прапор з горизонтальними смугами, якщо є матеріал 7 різних кольорів?
59. На змагання з легкої атлетики приїхала команда з 12 спортсменок. Скількома способами тренер може визначити, хто з них побіжить в естафеті 4 × 100 м на першому, другому, третьому і четвертому етапах?
Рішення. У цьому завданні йде мова про розміщення з 12 елементів по 4. Таким чином, дані число вибору спортсменок одно = 12.11.10.9 = 11880 способів.
60. Скількома способами можуть бути розподілені перша, друга і третя премії між 15 учасниками конкурсу?
61. Скількома способами 6 студентів, що здають іспит, можуть зайняти місця в аудиторії, в якій коштує 20 одномісних столів?
62. На сторінці альбому 6 вільних місць для фотографій. Скількома способами можна вкласти у вільні місця:
а) 2 фотографії; б) 4 фотографії; в) 6 фотографій?
63. На площині відзначили 5 точок. Їх треба позначити латинськими літерами. Скількома способами це можна зробити (в латинському алфавіті 26 літер)?
64. Скільки чотиризначних чисел, в яких немає однакових цифр, можна скласти з цифр:
а) 1, 3, 5, 7, 9, б) 0, 2, 4, 6, 8?
65. З тризначних чисел, записаних за допомогою цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторення цифр), скільки таких, в яких:
а) не зустрічаються цифри 6 і 7;
б) цифра 8 є останньою?
66. Скільки існує семизначних телефонних номерів, в кожному з яких всі цифри різні і перша цифра відрізняється від нуля?
Рішення. У цьому завданні йде мова про розміщення з 10 елементів по 7, тобто . Але перша цифра номера повинна відрізнятися від нуля, тобто розміщення з 9 елементів по 6.
Так як з усіх розміщень треба виключити ті, які починаються з цифри 0, то маємо: = 10.9.8.7.6.5.4 - 9.8.7.6.5.4 = 604800 - 60480 = 544320.
67. Скільки різних тризначних чисел (без повторення цифр) можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, таких, які є:
а) парними; б) кратними 5?
4. Сполучення
Нехай є п'ять гвоздик різного кольору. Позначимо їх літерами a, b, c, d, тобто потрібно скласти букет з трьох гвоздик. З'ясуємо, які букети можуть бути складені.
Якщо в букет входить гвоздика а, то можна скласти такі букети:
abc, abd, abe, acd, ace, ade
Якщо в букет не входить гвоздика а, але входить гвоздика b, то можна отримати такі букети:
bcd, bce, bde.
Нарешті, якщо в букет не входить ні гвоздика а, ні гвоздика b, то можливий тільки один варіант складання букета: cde.
Ми вказали всі можливі способи складання букетів, в яких по-різному поєднуються три гвоздики з даних п'яти. Кажуть, що ми склали всі можливі поєднання з п'яти елементів по три.
Поєднанням з п елементів по k (0 <k <n) називається будь-яка множина, складене з k елементів, вибраних з даних п елементів.
Число сполучень з п елементів по k позначають (Читають «С з n по k»).
На відміну від розміщень у сполученнях не має значення, в якому порядку зазначені елементи. Два поєднання з n елементів по k відрізняються один від одного хоча б одним елементом.
У розглянутому прикладі, склавши всі сполучення з 5 елементів по 3, ми знайшли, що
Виведемо формулу числа сполучень з п елементів по k, де k ≤ n. Для цього спочатку з'ясуємо, як виражається через і .
Ми знайшли, що з п'яти елементів a, b, c, d, e можна скласти такі поєднання за трьома елементами:
abc, abd, abe, acd, ace, ade, bed, bec, bde, cde.
У кожному поєднанні виконаємо всі перестановки. Число таких перестановок одно Р _3. У результаті отримаємо всі можливі комбінації з 5 елементів по 5, які відрізняються або самими елементами, або порядком елементів, тобто всі розміщення з 5 елементів по 3. все ми отримаємо розміщень.
Значить, . Звідси .
Аналогічно будемо міркувати і в загальному випадку. Припустимо, сто є безліч, що містить n елементів, і з його елементів складені всі можливі поєднання з k елементів. Число таких сполучень одно . У кожному поєднанні можна виконати P _k перестановок. У результаті ми отримаємо всі розміщення, які можна скласти з n елементів по k. Їх число дорівнює .
Значить, . Звідси, .
Ми отримали формулу: .
Формулу кількості сполучень можна записати в іншому вигляді. Помножимо чисельник і знаменник дробу на (n - k)!, Де n ¹ k. Отримаємо:

Очевидно, що в чисельнику дробу записано добуток натуральних чисел від n до 1, взятих в порядку убування, тобто чисельник дробу дорівнює п!.
Отримуємо формулу: .
Зауважимо, що цю формулу можна використовувати і у випадку, коли n = k, якщо прийняти за визначенням, що 0! = 1.
Приклад 1. Із 15 членів туристичної групи треба вибрати трьох чергових. Скількома способами можна зробити цей вибір?
Кожен вибір відрізняється від іншого хоча б одним черговим. Значить, тут мова йде про сполучення з 15 елементів по 3:
.
Отже, трьох чергових можна вибрати 455 способами.
Приклад 2. З вази з фруктами, в якій лежить 9 яблук і 6 груш, треба вибрати 3 яблука і 2 груші. Скількома способами можна зробити такий вибір?
Вибрати 3 яблука з 9 можна способами, а вибрати 2 груші з 6 можна способами. Так як при кожному виборі яблук груші можна вибрати способами, то зробити вибір фруктів, про який йдеться в задачі, можна способами.

Значить, зазначений вибір фруктів можна зробити 1260 способами.
Вправи
68. У класі 7 осіб успішно займаються математикою. Скількома способами можна вибрати з них двох для участі в математичній олімпіаді?
69. У магазині «Філателія» продається 8 різних наборів марок, присвячених спортивній тематиці. Скількома способами можна вибрати з них 3 набори?
Рішення. Шукане число способу вибору трьох наборів одно .
70. Учням дали список з 10 книг, які рекомендується прочитати під час канікул. Скількома способами учень може вибрати з них 6 книг?
71. Із трьох гравців, заявлених на тенісний матч, треба вибрати двох для виступу в парному розряді (порядок гравців не важливий). Скількома способами це можна зробити?
72. Скількома способами можна вибрати 49 предметів з 50
73. Скількома способами можна відібрати стартову шістку у волейбольному матчі, якщо в команді заявлено 10 гравців?
74. З лабораторії, в якій працюють завідувач і 10 співробітників, треба відправити 5 чоловік у відрядження. Скількома способами це можна зробити, якщо:
а) завідувач лабораторією повинен їхати у відрядження;
б) завідувач лабораторією повинен залишитися?
75. На полиці стоїть 12 книжок: англо-російський словник і 11 художніх творів англійською мовою. Скількома способами читач може вибрати 3 книги, якщо:
а) словник потрібен йому обов'язково, б) словник йому не потрібен?
Рішення. а) Так як вибір англо-російського словника вже зроблений, то що залишилися 2 книги з 11 можна вибрати способами. Отже, .
Значить, вибір можна зробити 55 способами.
б) У цьому випадку треба вибрати 3 книги з 11. це можна зробити способами. Знаходимо, що .
Вибір можна зробити 165 способами.
Відповідь: а) 55 способів;
б) 165 способів.
76. У класі навчаються 16 хлопчиків і 12 дівчаток. Для прибирання території потрібно виділити 4 хлопчиків і 3 дівчаток. Скількома способами це можна зробити?
Рішення. Чотирьох хлопчиків з 16 можна виділити способами, а трьох дівчат з 12 можна виділити способами. Кожному вибору чотирьох хлопчиків відповідає можливостей вибору трьох дівчаток. Значить, зазначений вибір чергових можна зробити × способами.
.
Значить, вибір чергових можна зробити 400400 способами.
Відповідь: 400400 способів.
У завданнях 54-60 розглядаються різні комбінації елементів (перестановки, розміщення, поєднання).
77. Скільки серед всіх перестановок літер слова «висота» таких, які:
а) починаються з літери в;
б) починаються з літери а, а закінчуються літерою т?
78. П'ять хлопчиків і чотири дівчинки хочуть сісти на девятіместную лавку так, щоб кожна дівчинка сиділа між двома хлопчиками. Скількома способами вони можуть це зробити?
79. З 12 солдатів, до числа яких входять Іванов і Петров, треба відправити у наряд 3 чоловік. Скількома способами це можна зробити, якщо:
а) Іванов і Петров повинні піти у наряд;
б) Іванов і петрів повинні залишитися;
в) Іванов повинен піти, а Петров - залишитися?
80. У шаховому гуртку займаються 16 осіб. Скількома способами тренер може вибрати з них для майбутнього турніру:
а) команду з чотирьох осіб;
б) команду з чотирьох осіб, вказавши при цьому, хто з членів команди буде грати на першій, другій, третій і четвертій дошках?
81. Для ремонту школи прибула бригада, що складається з 12 осіб. Трьох з них треба відправити на четвертий поверх, а чотирьох на п'ятий. Скількома способами це можна зробити?
82. Номер машини в деякому місті складається з двох різних букв, взятих з набору М, Н, К, Т, С, і трьох різних цифр. Скільки машин можна забезпечити такими номерами?
83. З групи туристів чотирьох чергових можна вибрати в 13 разів більшим числом способів, ніж двох чергових. Скільки туристів в групі?
Додаткові вправи
84. Скільки існує чотиризначних чисел, кратних 10, якщо цифри в числах можуть повторюватися?
85. Пішохід повинен пройти один квартал на північ і три квартали на захід. Випишіть всі можливі маршрути пішохода.
86. Випишіть всі п'ятизначні числа, записані трьома четвірками і двома одиницями.
87. З цифр 1, 2, 3, 5 склали всі можливі чотиризначні числа (без повторення цифр). Скільки серед них таких цифр, які більше 2000, але менше 5000?
88. Скільки парних чотиризначних чисел, в яких цифри не повторюються, можна записати за допомогою цифр:
а) 1, 2, 3, 7, б) 1, 2, 3, 4?
89. Ділиться чи є число 50! на:
а) 100; б) 305; в) 1550?
90. Знайдіть найменше значення п, при якому число п! закінчується:
а) одним нулем, б) двома нулями; в) трьома нулями.
91. З цифр 1, 2, 3, 4, 5 склали всі можливі тризначні числа (без повторення цифр). Скільки серед них таких, які:
а) кратні 2; б) кратні 3?
92. Скоротіть дріб:
а) ; Б) , В)
93. Розв'яжіть рівняння:
а) ; Б) .
94. Скількома способами з класу, де навчаються 24 учнів, можна вибрати:
а) двох чергових; б) старосту і помічника старости?
95. У Антона шість друзів. Він може запросити в гості одного або декількох з них. Визначте загальне число можливих варіантів.
96. Скільки команд брало участь у фіналі першості, якщо відомо, що кожна команда зіграла з кожною з решти по одній грі на своєму полі і по одній грі на своєму полі і по одній грі на полі суперника, причому всього було зіграно 30 ігор?
97. Скількома способами чотири пасажири: Алексєєв, Смирнов, Федоров і Харитонов - можуть розміститися в дев'яти вагонах поїзда, якщо:
а) всі вони хочуть їхати в різних вагонах;
б) Алексєєв і Смирнов хочуть їхати в одному вагоні, а Смирнов і Харитонов в інших вагонах, причому різних?
98. У 9 «А» класі навчаються 25 учнів, в 9 «Б» - 20 учнів, а в 9 «В» - 18 учнів. Для роботи на пришкільній ділянці треба виділити трьох учнів з 9 «А», двох - із 9 «Б» і одного - з 9 «В». Скільки існує способів вибору студентів для роботи на пришкільній ділянці?
99. З групи туристів потрібно вибрати чергового та його помічника. Якщо туристів було б на одного більше, то можливостей вибору було б в 1,25 рази більше. Скільки туристів в групі?
100. Скількома способами групу з 12 чоловік можна розбити на дві групи:
а) по 4 і 8 чоловік; б) по 5 і 7 осіб?
101. У відділі працюють 5 провідних і 8 старших наукових співробітників. У відрядження треба послати двох ведучих і трьох старших наукових співробітників. Скількома способами може бути зроблений вибір співробітників, яких треба відправити у відрядження?
102. З цифр 1, 2, 3, 4, 5 склали всі можливі тризначні числа (з повторенням цифр) скільки серед них таких, сума цифр яких дорівнює:
а) 3; б) 4; в) 6?
103. З цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 склали всі можливі тризначні числа (без повторення цифр). Скільки серед них таких, сума цифр яких дорівнює:
а) 6; б) 9?
104. Знайдіть значення виразу:
а) ; Б) , В) .
105. Скільки треба взяти елементів, щоб число розміщень з них по 4 було в 12 разів більше, ніж число розміщень з них по 2?
106. Число розміщень з n елементів по 4 в 14 разів більше числа розміщень з п - 2 елементів по 3. Знайдіть п.
107. Розв'яжіть рівняння:
а)
б)
в)
г)
108. Школярі з Волгограда зібралися на канікули поїхати до Москви, відвідавши по дорозі Нижній Новгород. З Волгограда в Нижній Новгород можна відправитися на теплоході або поїзді, а з Нижнього Новгорода до Москви на літаку, теплоході або автобусі. Скількома різними способами хлопці можуть здійснити свою подорож? Назвіть всі можливі варіанти цієї подорожі.
109. Скільки різних двозначних чисел можна записати, використовуючи цифри 3, 4, 5 і 6? Скільки різних двозначних чисел можна записати, використовуючи при записі числа кожну із зазначених цифр тільки один раз? Запишіть ці числа.
110. Скільки тризначних чисел можна скласти з трьох різних, не рівних нулю цифр? Чи залежить результат від того, які цифри будуть взяті? Вкажіть який-небудь спосіб перебору тризначних чисел, при якому жодне число не може бути пропущено.
111. Скільки всіляких тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3 і 4 так, щоб цифри в записі числа не повторювалися? Чи зміниться рішення цієї задачі, якщо замість цифри 4 буде дана цифра 0?
112. Скільки всіляких чотиризначних чисел можна скласти, використовуючи для запису цифри 1, 2, 3 та 4? Яка різниця між найбільшим і найменшим з них?
113. Скільки п'ятизначних чисел, перші (ліворуч) три цифри яких 2, 3 і 4, можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4 і 5? Чи зміниться відповідь цієї задачі, якщо цифри числа не будуть повторюватися?
114. З цифр 0, 1, 2, 3,4 становлять всілякі п'ятизначні числа, причому так, що в записі даного числа містяться всі дані цифри. Скільки можна скласти таких чисел? Чому буде дорівнює різниця між найменшим і найбільшим з отриманих чисел?
115. Скільки натуральних чисел, менших 1000, можна записати, використовуючи цифри 7, 4 і 5? Скільки серед них парних? Непарних? Кратних 5?
Розміщення та поєднання
116. Покажіть, що в наведених нижче завданнях розглядаються розміщення з n елементів по k; визначте значення n і k і знайдіть число розміщень:
а) З 20 учнів класу треба вибрати старосту, його заступника і редактора газети. Скількома способами це можна зробити?

б) У класі вивчаються 7 предметів. У середу 4 уроки, причому всі різні. Скількома способами можна скласти розклад на середу?
в) У змаганні беруть участь 10 чоловік. Скількома способами можуть розподілитися між ними місця?
г) Скільки всіляких тризначних чисел можна записати, використовуючи цифри 3, 4, 5 і 6?
117. Покажіть, що в наведених нижче завданнях розглядаються поєднання з n елементів по k; визначте значення n і k і знайдіть число для кожного завдання:
а) Скількома способами можна вибрати з 6 чоловік комісію, що складається з трьох чоловік?
б) Скількома способами можна вибрати 4 фарби з 10 різних барв?
118. Двоє людей обмінялися своїми фотокартками. Скільки було фотокарток?
119. Двоє людей потиснули один одному руки. Скільки було рукостискань? А якщо 15 чоловік потиснули один одному руки, то, скільки буде рукостискань?
120. Скількома способами можна розставити на полиці 3 різні книги?
121. 15 осіб зіграли один з одним по одній партії в шахи по одній партії. Скільки було зіграно партій?
122. На площині відзначили 7 точок. Кожні дві точки з'єднали відрізком. Скільки вийшло відрізків?
123. Вирішіть такі завдання, використовуючи формули. Відповідь перевірте за допомогою перебору всіх можливих варіантів:
а) Скільки словників необхідно перекладачеві, щоб він міг перекладати безпосередньо з будь-якого з чотирьох мов - російської, англійської, німецької та французької на будь-який інший з цих мов?
б) Державні прапори деяких країн складаються з трьох горизонтальних смуг різного кольору. Скільки різних варіантів прапорів з білою, синьою і червоною смугами можна скласти?
в) Хлопчик вибрав в бібліотеці 5 книг. За правилами бібліотеки одночасно можна взяти тільки дві книги. Скільки у хлопчика варіантів вибору двох книг з п'яти?
г) чотири одного зібралися на футбольний матч. Але їм вдалося купити тільки три квитки. Зі скількох варіантів їм треба вибрати трійку щасливців? Як здійснити вибір, щоб у всіх хлопців були рівні шанси потрапити на матч?
д) У класі три людини добре співають, двоє інших грають на гітарі, а ще один уміє показувати фокуси. Скільком способами можна здійснити концертну бригаду з співака, гітариста і фокусника?
е) Завдання Леонарда Ейлера. Троє панів при вході в ресторан віддали швейцарові свої капелюхи, а при виході отримали їх назад. Скільки існують варіантів, за яких кожен з них отримає чужу капелюх?
ж) Є тканину двох кольорів: блакитна і зелена, і потрібно оббити диван, крісло і стілець. Скільки існує різних варіантів оббивки цих меблів?
124. Аня, Боря, Віра і Гена - найкращі лижники школи. На змагання треба вибрати трьох із них. Скількома способами це можна зробити?
125. Коло розділили на дві частини і вирішили розфарбувати їх олівцями різних кольорів. Скількома способами можна це зробити, якщо є червоний, синій і зелений олівці?
126. При виготовленні авторучки корпус і ковпачок можуть мати однаковий чи різний колір. На фабриці є пластмаса чотирьох кольорів: білого, червоного, синього і зеленого. Які відрізняються за кольором ручки можна виготовити?
127. На пряме взяли 4 точки. Скільки всього вийшло відрізків, кінцями яких є ці точки?
128. За свої малюнки учень отримав дві позитивні оцінки. Якими вони можуть бути?
129. У змаганнях беруть участь 5 футбольних команд. Кожна команда грає один раз з кожною з решти команд. Скільки матчів буде зіграно?

Додаток 2
Таблиця 1. Види подій:

1	Рівноможливими
2	Малоймовірні
3	Більш вірогідні
4	Достовірні
5	Неможливі

Таблиця 2. Варіанти падіння сірникової коробки:

Плазом	На ребро	На попá
SHAPE \ * MERGEFORMAT

Таблиця 3. Варіанти падіння монети:

ОРЕЛ	Решко
SHAPE \ * MERGEFORMAT	SHAPE \ * MERGEFORMAT

Таблиця 5. Результати експерименту:

коробок			монета		гральний кубик
плазом	на ребро	на попа	орел	решка	1	2	3	4	5	6

Додаток 3.
Малюнок 1. Древо складання тризначних чисел із цифр 1, 2, 3 без повторення.

1		2		3
2	3	1	3	1	2
3	2	3	1	2	1

Малюнок 2.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

Додаток 4
Діаграма 1. Порівняння показників гнучкості мислення.
\ S
Діаграма 2. Порівняння показників розвитку логічної пам'яті.
\ S
Діаграма 3. Порівняння показників вибору і рішення учнями завдань.
\ S