Федеральне агентство з освіти Р.Ф. ПДПУ ім. В. Г. Бєлінського
Курсова робота на тему:
«Методика навчання рішенню задач на побудову перерізів многогранників в 10-11 класах»
Виконала:
студентка групи ми-51
Комісарова Л.П.
Перевірила:
Фіногеева І.С.
Пенза, 2007 р .
У стереометрії поряд із задачами на доказ і обчислення вирішуються завдання на побудову, але підхід до методики вивчення дещо інший, ніж у планіметрії.
Задачі на побудову в просторі вирішуються двома методами:
1) Завдання на уявне побудова або завдання на доказ існування фігур;
2) Завдання на проекційному кресленні.
У процесі рішення задач на побудову в уяві встановлюється лише факт існування рішення, саме ж побудова шуканого елемента не виконується. За ідеєю методу елементи, зумовлені умовою задачі, не задаються безпосередньо в просторі, ні на плоскому кресленні, а утримується в уяві. Рішення задачі зводиться до перерахування такої сукупності геометричних операцій, фактичне виконання яких (у випадку якщо їх можна було виконати) призводить до побудови шуканого елемента. Завдання вважається вирішеною, якщо вдається відшукати розглянуту сукупність побудов.
При виконанні «уявних» побудов вважаємо, що, по-перше, вміємо будувати площину, якщо задані визначають її елементи (три точки, що не лежать на одній прямій, або пряма і точка поза її, або дві пересічні прямі, або дві паралельні прямі) , і, по-друге, в будь-якій площині вміємо здійснити всі ті побудови, які обгрунтовані в планіметрії. Так, якщо потрібно провести через дану пряму а довільну площину, беруть довільну точку А поза прямою а (можливість вибору такої точки також постулюється) і вважають, що шукана площину проведена через пряму а і точку А.
Проілюструємо прийом рішення задач на побудову в уяві на прикладі рішення наступної задачі.
Завдання 1. Побудувати площину, паралельну даній площині b і проходить через цю точку В
Рішення. Припустимо, що точка В не лежить в площині b. Рішення завдання в цьому випадку звелася б до перерахування наступної сукупності побудов:
1) в площині b проводимо дві пересічні прямі a і b;
2) через пряму а і точку В проводимо площину g1;
3) у площині g1 через точку В проводимо пряму a1, паралельну прямій а;
4) через пряму b і точку В проводимо площину g2;
5) у площині g2 через точку В проводимо пряму b1, паралельну прямій b;
6) через дві пересічні прямі a1 і b1 проводимо площину b. площину b ¢ - шукана.
Креслення при вирішенні в уяві завдань на побудову може не виконуватися. У тих же випадках, коли до нього вдаються, він відіграє допоміжну роль: креслення необхідний тільки для полегшення роботи уяви, коли просторова уява погано розвинене або коли побудови виявляються громіздкими.
У підручнику такі завдання вирішуються в розділах паралельні і перпендикулярні прямі та площини у просторі в 10 класі, і більшість з них подані з рішенням (найчастіше просто побудова, без аналізу, докази, без дослідження).
При вирішенні завдань на побудову на проекційному кресленні елементи, зумовлені умовою задачі, задаються на зображенні оригіналу (точки, лінії, площини, геометричні тіла простору в будь-який з матеріальних реалізацій або уявні). Для ефективного вирішення завдань на побудову використовуються повні зображення, побудова на яких виконуються без якої б то не було ступеня сваволі.
Рішення «Завдання 1» на проекційному кресленні виконується наступним чином.
Рис. 1
Рішення. Елементи, зумовлені умовою задачі, задаються на зображенні так, як це виконано на малюнку 1:
У площині b (b1) будуємо АМ (А1М) і AN (А1 N). Відповідно до умов проекційного креслення прямі АМ (А1М) і AN (А1 N) служать прямими, що належать плоскостіb (b1). C допомогою лінійки і косинця проводимо через прямі BN1 (B1N1) і BM1 (B1M1), паралельні прямим АМ (А1М) і AN (А1 N). Такі прямі будуються єдиним чином і дійсно зображують прямі, паралельні прямим АМ (А1М) і AN (А1 N). Пересічні прямі BN1 (B1N1) і BM1 (B1M1) визначають шукану площину b ¢.
Рис.2
Навчання рішенню завдань на побудову на проекційному кресленні служить активним і гнучким засобом розвитку просторової уяви учнів.
Практика вирішення завдань на побудову на проекційному кресленні полегшує учням засвоєнні стереометрії. Розвиває навички в побудові зображень, полегшує розуміння курсу креслення.
Однак до теперішнього часу не завершено розробку методики вивчення цього матеріалу в школі. Потребує уточнення обсяг матеріалу, що підлягає вивченню. Не визначено і місце вивчення цих завдань у школі.
Як показав досвід викладання, навчання розв'язання задач на побудову краще починати з навчання розв'язання задач на проекційному кресленні, тому що розуміння цих завдань не вимагає добре розвиненого просторової уяви учнів. Більш того, в процесі вирішення цих завдань просторову уяву настільки розвивається. Що з певного моменту учням стає посильно освоєння задач на побудову, вирішуються в уяві. У цьому випадку учні після знайомства з новим методом на прикладі вирішення однієї-двох завдань інші вирішують самостійно.
Щоб отримати проекційний креслення, що дозволяє конструктивно визначити спільні елементи зображених прямих і площин, тобто вирішити на зображенні так звані позиційні задачі, досить задати, крім зображення точок, прямих, площин і взагалі просторових фігур на площині креслення, зображення їх проекцій на деяку площину, звану основною.
Такий проекційний креслення виходить в результаті подвійного проектування: точки А, В, С, D простору проектуються на основну площину а, потім разом з цією площиною, зі своїми проекціями на ній А ', В', О, D 'і проектують прямими (АА \ ВВ ', СО, DD') проектуються на площину креслення (рис. 3, б).
Рис.3
Навчання рішенню завдань на побудову на проекційному кресленні будується так, щоб учні знайомилися з цими завданнями в порядку зростаючих труднощів, і так, щоб раніше вирішуються завдання в основному готували учнів до розуміння рішення наступних завдань. Останнє досягається тим, що в роботі розглядаються такі типи завдань:
завдання, які вирішуються при введенні проекційного креслення;
завдання-вправи по поточному матеріалу;
задачі на побудову точок і ліній перетину прямих і площин;
програмні завдання на побудові;
задачі на побудову перерізів.
Завдання на проекційному кресленні
Під рішенням завдань на проекційному кресленні розуміють рішення позиційних і метричних задач на повному зображенні.
Введенням поняття про проекційному кресленні зручно виконується у такій послідовності. Найбільш відповідним моментом для проведення такої роботи є уроки, безпосередньо наступні за уроками, на яких доводилася перша теорема існування і на яких учні познайомилися з методами побудови зображень планіметричних оригіналів.
У класі встановлюється, що на кресленні точка площини служить зображенням не тільки точки оригіналу, але й прямий (проектує). Пряма площині може зображати не тільки пряму, але і площину (проектує). Паралельні прямі площині зображують не тільки паралельні прямі оригіналу, але і мимобіжні прямі, що лежать у паралельних площинах проектують, так само як і самі ці площини. Чотири точки площині зображень представляють, наприклад, зображення як чотирьох точок одній площині оригіналу, так і чотирьох точок не лежать в одній площині. Увага учнів звертається і на той факт, що за кресленням неможливо скласти уявлення про відносний взаємне розташування зображених на площині точки і прямої, точки і площини, прямої і площини і т.п. неможливо судити про приналежність точок до прямих і площин, прямих до площин.
З невизначеністю розглянутих зображень можна знайомити учнів відразу після введення поняття про зображення.
Перед введенням проекційного креслення всі ці факти слід узагальнити.
В якості мети учням вказується на необхідність знаходження такого способу побудови зображень просторових фігур, при якому тільки по зображенню можна було б з безумовною необхідністю судити про взаємне розташування точок, прямих і площин простору. Прийом побудови зображень повинен бути таким, щоб тільки по зображенню дозволяв би визначити, паралельні або непаралельні прямі оригіналу, схрещуються вони чи перетинаються, належить точка прямої або площини, пряма-площині.
Далі учням повідомляється, що сформульованих цілей можна досягти, якщо зображення просторових фігур, як і зображення плоских оригіналів, будувати по базису із залученням властивостей зображення.
Спочатку вводимо поняття про базис в оригіналі і на зображенні і показуємо, що для побудови зображення досить ефективно спроектувати лише базисні точки оригіналу. Далі розкриваємо зміст другої теореми існування.
До поняття проекційного креслення можна прийти, якщо отримати зображення однієї з моделей позначення точок у просторі за базисом і з залученням властивостей зображень.
Розглянемо можливості здійснення цього шляху на прикладі моделей позначення точок за допомогою основної площини.
Фіксований базисні точки, будуємо моделей позначення точок зображення точки. Показуємо, що на такому кресленні може бути побудовано, і єдиним чином, зображення будь-який наперед заданої точки оригіналу.
Обгрунтовується і зворотне твердження, що у разі якщо зображення точки буде представлено разом з основою проектирующего відрізка на основній площині, то при фіксованому базисі зображення визначає єдину точку.
Як результат проведених побудов дається визначення заданої точки: «Точка називається заданої на зображенні, якщо при фіксованих базисах вона є зображенням єдиної точки оригіналу».
На побудованому нами зображенні заданими виявляться не тільки ті точки, зображення яких попередньо було побудовано за оригіналом, а й ті точки, для яких одна з точок площини прийнята за зображення власне точки оригіналу, а інша - за зображення її заснування.
Отриманий таким чином проекційний креслення представляє метрично певне зображення.
Прямі площині виявляються заданими на зображенні в тому ж сенсі, що і крапка.
Введення проекційного креслення і рішення задач на побудову на ньому не повинно розглядатися як два окремих етапу навчання.
Однією з труднощів навчання рішенню завдань на побудову на проекційному кресленні є відсутність в існуючій навчальній літературі достатнього числа чітко виділених найпростіших завдань, оволодіння якими забезпечувало б розуміння учнями прийомів вирішення більш складних завдань. Крім того, в методиці не визначилося ще число досить принципів, якими можна було б керуватися при знаходженні вирішення завдань.
Досягненням усвідомленого розуміння досліджуваного матеріалу при будь-якій структурі навчання стане можливим, якщо рішення завдань не буде обмежуватися тільки механічним виконанням побудов. Від учнів необхідно вимагати усних пояснень по ходу виконуваних побудов, аргументованого обгрунтування їх. Слід також домагатися, щоб і побудови, що проводяться в контрольних роботах, супроводжувалися письмовими поясненнями.
Завдання, які вирішуються при введенні проекційного креслення
Першою групою таких завдань є вправи, які розкривають, що невизначеність відновлення оригіналу за кресленням усунена на проекційному кресленні. Учитель показує, що на проекційному кресленні «точка» зображує тільки точку оригіналу, «пряма» - пряму, «площина» - площину.
На проекційному кресленні стає можливим визначати тільки по зображенню взаємне розташування точок, прямих і площин. У порядку вправи з учнями розглядаються способи зображення різних випадків взаємного розташування точки і основної площини.
У ході вправ учням повідомляються і нові необхідні визначення.
У цей період слід дати визначення «сліду» прямий і заданої площині. Визначення записуються в зошиті.
Визначення. Слідом заданої прямої (площини) на основній площині називається точка (пряма) перетину прямої (площини) з основною площиною.
У результаті навчання вирішення цих завдань учнів слід познайомити з двома принципами, на основі яких виконується побудова точок перетину прямої з площиною та побудова прямої, по якій перетинаються площині.
1) для побудови ліній перетину двох площин досить знати дві точки прямої, по якій перетинаються площині, або одну точку і напрямок прямій. Точки прямої, по якій перетинаються площині, визначаються як точки перетину довільної прямої однієї з заданих площин з іншого площиною.
2) для побудови точки перетину прямої з площиною досить побудувати лінію перетину довільної допоміжної площини, проведеної через дану пряму, з даною площиною. Точка перетину даної прямої з даною площиною визначається як точки перетину даної прямої з лінією перетину допоміжної і даної площин.
рис. 4
Завдання: Побудувати точку перетину даної прямої АВ (А1В1) з основною площиною
Рішенням цього завдання є точка перетину (якщо вона існує) прямих АВ і А1В1, так як в оригіналі ці прямі лежать в одній і тій же проектує площині.
При визначенні точок перетину прямих корисно привчати учнів з перших же кроків розглядати побудови на проекційному кресленні як проекцію відповідних побудов в одній з матеріальних реалізацій оригіналу і встановлювати належність чи неналежність розглянутих прямих одній і тій же площині оригіналу. У даному випадку, наприклад, побудова точки перетину прямих АВ і А1В1 можна розглядати як проекцію побудов на аркуші фанери, що становлять проектує площину АА1ВВ1.
Завдання. Побудувати (рис.5) точку перетину довільно заданої прямої а (а1) з проектує площиною φ.
Рис.5
Для вирішення завдання проводимо через задану пряму а (а1) допоміжну проектує площину і будуємо лінію (х) перетину допоміжної і заданої проектують площин. Точка Х (Х1)-точка перетину прямих х і а на зображенні-є зображенням точки перетину цих прямих, так як в оригіналі ці прямі лежать в одній площині. Разом з тим точка Х (Х1) буде точкою перетину прямої а (а1) з проектує площиною φ.
У самому справі, точка Х (Х1) належить прямим а (а1) і х. Пряма х, як лінія перетину площин β і φ, належить площині φ. Отже, і крапка X (X1) належить площині φ, тобто дійсно точка X (Х1) є точкою перетину прямої a (a1) і заданої площині.
Спочатку при виконанні креслень 'корисно позначати допоміжні площині урвищами і обрізами так, як це зроблено на рис. Пізніше, щоб не захаращувати креслення сторонніми лініями, від такого позначення допоміжних площин слід відмовитися і привчити учнів уявляти їх.
Для закріплення рішення цього завдання можна запропонувати наступну систему завдань:
Точки А1 та В1 розташовані на бічних ребрах куба ABCDA1 B1C1D1. Знайти точку перетину прямої (АВ) з площиною верхнього та нижнього підстави.
Точки А1 та В1 розташовані на суміжних бічних гранях куба ABCDA1 B1C1D1. Знайти точку перетину прямої (АВ) з площиною нижньої основи.
Точки А1 та В1 розташовані на двох суміжних ребрах піраміди ABCD. Знайти точку перетину прямої (АВ) з основою піраміди.
Дано тетраедр ABCD і точки M і N, належать бічних гранях. Побудуйте точку перетину прямої MN з площиною ABC.
Точки Н і К розташовані на відповідно на ребрах АВ і АD призми ABCDA1B1C1D1. знайти точку перетину прямої (HF) з прямою (DC); (DD1).
Точки A1 і B1 розташовані відповідно на ребрах АС і АВ піраміди ABCD.Найті точку перетину прямої (A1B1) з прямою (ВС).
Дана піраміда ABCDS.Найті точку перетину прямої (AS) з прямою (ВК), де К-точка належить ребру CS.
Курсова робота на тему:
«Методика навчання рішенню задач на побудову перерізів многогранників в 10-11 класах»
Виконала:
студентка групи ми-51
Комісарова Л.П.
Перевірила:
Фіногеева І.С.
Пенза,
У стереометрії поряд із задачами на доказ і обчислення вирішуються завдання на побудову, але підхід до методики вивчення дещо інший, ніж у планіметрії.
Задачі на побудову в просторі вирішуються двома методами:
1) Завдання на уявне побудова або завдання на доказ існування фігур;
2) Завдання на проекційному кресленні.
У процесі рішення задач на побудову в уяві встановлюється лише факт існування рішення, саме ж побудова шуканого елемента не виконується. За ідеєю методу елементи, зумовлені умовою задачі, не задаються безпосередньо в просторі, ні на плоскому кресленні, а утримується в уяві. Рішення задачі зводиться до перерахування такої сукупності геометричних операцій, фактичне виконання яких (у випадку якщо їх можна було виконати) призводить до побудови шуканого елемента. Завдання вважається вирішеною, якщо вдається відшукати розглянуту сукупність побудов.
При виконанні «уявних» побудов вважаємо, що, по-перше, вміємо будувати площину, якщо задані визначають її елементи (три точки, що не лежать на одній прямій, або пряма і точка поза її, або дві пересічні прямі, або дві паралельні прямі) , і, по-друге, в будь-якій площині вміємо здійснити всі ті побудови, які обгрунтовані в планіметрії. Так, якщо потрібно провести через дану пряму а довільну площину, беруть довільну точку А поза прямою а (можливість вибору такої точки також постулюється) і вважають, що шукана площину проведена через пряму а і точку А.
Проілюструємо прийом рішення задач на побудову в уяві на прикладі рішення наступної задачі.
Завдання 1. Побудувати площину, паралельну даній площині b і проходить через цю точку В
Рішення. Припустимо, що точка В не лежить в площині b. Рішення завдання в цьому випадку звелася б до перерахування наступної сукупності побудов:
1) в площині b проводимо дві пересічні прямі a і b;
2) через пряму а і точку В проводимо площину g1;
3) у площині g1 через точку В проводимо пряму a1, паралельну прямій а;
4) через пряму b і точку В проводимо площину g2;
5) у площині g2 через точку В проводимо пряму b1, паралельну прямій b;
6) через дві пересічні прямі a1 і b1 проводимо площину b. площину b ¢ - шукана.
Креслення при вирішенні в уяві завдань на побудову може не виконуватися. У тих же випадках, коли до нього вдаються, він відіграє допоміжну роль: креслення необхідний тільки для полегшення роботи уяви, коли просторова уява погано розвинене або коли побудови виявляються громіздкими.
У підручнику такі завдання вирішуються в розділах паралельні і перпендикулярні прямі та площини у просторі в 10 класі, і більшість з них подані з рішенням (найчастіше просто побудова, без аналізу, докази, без дослідження).
При вирішенні завдань на побудову на проекційному кресленні елементи, зумовлені умовою задачі, задаються на зображенні оригіналу (точки, лінії, площини, геометричні тіла простору в будь-який з матеріальних реалізацій або уявні). Для ефективного вирішення завдань на побудову використовуються повні зображення, побудова на яких виконуються без якої б то не було ступеня сваволі.
Рішення «Завдання 1» на проекційному кресленні виконується наступним чином.
Рис. 1
Рішення. Елементи, зумовлені умовою задачі, задаються на зображенні так, як це виконано на малюнку 1:
У площині b (b1) будуємо АМ (А1М) і AN (А1 N). Відповідно до умов проекційного креслення прямі АМ (А1М) і AN (А1 N) служать прямими, що належать плоскостіb (b1). C допомогою лінійки і косинця проводимо через прямі BN1 (B1N1) і BM1 (B1M1), паралельні прямим АМ (А1М) і AN (А1 N). Такі прямі будуються єдиним чином і дійсно зображують прямі, паралельні прямим АМ (А1М) і AN (А1 N). Пересічні прямі BN1 (B1N1) і BM1 (B1M1) визначають шукану площину b ¢.
Рис.2
Навчання рішенню завдань на побудову на проекційному кресленні служить активним і гнучким засобом розвитку просторової уяви учнів.
Практика вирішення завдань на побудову на проекційному кресленні полегшує учням засвоєнні стереометрії. Розвиває навички в побудові зображень, полегшує розуміння курсу креслення.
Однак до теперішнього часу не завершено розробку методики вивчення цього матеріалу в школі. Потребує уточнення обсяг матеріалу, що підлягає вивченню. Не визначено і місце вивчення цих завдань у школі.
Як показав досвід викладання, навчання розв'язання задач на побудову краще починати з навчання розв'язання задач на проекційному кресленні, тому що розуміння цих завдань не вимагає добре розвиненого просторової уяви учнів. Більш того, в процесі вирішення цих завдань просторову уяву настільки розвивається. Що з певного моменту учням стає посильно освоєння задач на побудову, вирішуються в уяві. У цьому випадку учні після знайомства з новим методом на прикладі вирішення однієї-двох завдань інші вирішують самостійно.
Щоб отримати проекційний креслення, що дозволяє конструктивно визначити спільні елементи зображених прямих і площин, тобто вирішити на зображенні так звані позиційні задачі, досить задати, крім зображення точок, прямих, площин і взагалі просторових фігур на площині креслення, зображення їх проекцій на деяку площину, звану основною.
Такий проекційний креслення виходить в результаті подвійного проектування: точки А, В, С, D простору проектуються на основну площину а, потім разом з цією площиною, зі своїми проекціями на ній А ', В', О, D 'і проектують прямими (АА \ ВВ ', СО, DD') проектуються на площину креслення (рис. 3, б).
Рис.3
Навчання рішенню завдань на побудову на проекційному кресленні будується так, щоб учні знайомилися з цими завданнями в порядку зростаючих труднощів, і так, щоб раніше вирішуються завдання в основному готували учнів до розуміння рішення наступних завдань. Останнє досягається тим, що в роботі розглядаються такі типи завдань:
завдання, які вирішуються при введенні проекційного креслення;
завдання-вправи по поточному матеріалу;
задачі на побудову точок і ліній перетину прямих і площин;
програмні завдання на побудові;
задачі на побудову перерізів.
Завдання на проекційному кресленні
Під рішенням завдань на проекційному кресленні розуміють рішення позиційних і метричних задач на повному зображенні.
Введенням поняття про проекційному кресленні зручно виконується у такій послідовності. Найбільш відповідним моментом для проведення такої роботи є уроки, безпосередньо наступні за уроками, на яких доводилася перша теорема існування і на яких учні познайомилися з методами побудови зображень планіметричних оригіналів.
У класі встановлюється, що на кресленні точка площини служить зображенням не тільки точки оригіналу, але й прямий (проектує). Пряма площині може зображати не тільки пряму, але і площину (проектує). Паралельні прямі площині зображують не тільки паралельні прямі оригіналу, але і мимобіжні прямі, що лежать у паралельних площинах проектують, так само як і самі ці площини. Чотири точки площині зображень представляють, наприклад, зображення як чотирьох точок одній площині оригіналу, так і чотирьох точок не лежать в одній площині. Увага учнів звертається і на той факт, що за кресленням неможливо скласти уявлення про відносний взаємне розташування зображених на площині точки і прямої, точки і площини, прямої і площини і т.п. неможливо судити про приналежність точок до прямих і площин, прямих до площин.
З невизначеністю розглянутих зображень можна знайомити учнів відразу після введення поняття про зображення.
Перед введенням проекційного креслення всі ці факти слід узагальнити.
В якості мети учням вказується на необхідність знаходження такого способу побудови зображень просторових фігур, при якому тільки по зображенню можна було б з безумовною необхідністю судити про взаємне розташування точок, прямих і площин простору. Прийом побудови зображень повинен бути таким, щоб тільки по зображенню дозволяв би визначити, паралельні або непаралельні прямі оригіналу, схрещуються вони чи перетинаються, належить точка прямої або площини, пряма-площині.
Далі учням повідомляється, що сформульованих цілей можна досягти, якщо зображення просторових фігур, як і зображення плоских оригіналів, будувати по базису із залученням властивостей зображення.
Спочатку вводимо поняття про базис в оригіналі і на зображенні і показуємо, що для побудови зображення досить ефективно спроектувати лише базисні точки оригіналу. Далі розкриваємо зміст другої теореми існування.
До поняття проекційного креслення можна прийти, якщо отримати зображення однієї з моделей позначення точок у просторі за базисом і з залученням властивостей зображень.
Розглянемо можливості здійснення цього шляху на прикладі моделей позначення точок за допомогою основної площини.
Фіксований базисні точки, будуємо моделей позначення точок зображення точки. Показуємо, що на такому кресленні може бути побудовано, і єдиним чином, зображення будь-який наперед заданої точки оригіналу.
Обгрунтовується і зворотне твердження, що у разі якщо зображення точки буде представлено разом з основою проектирующего відрізка на основній площині, то при фіксованому базисі зображення визначає єдину точку.
Як результат проведених побудов дається визначення заданої точки: «Точка називається заданої на зображенні, якщо при фіксованих базисах вона є зображенням єдиної точки оригіналу».
На побудованому нами зображенні заданими виявляться не тільки ті точки, зображення яких попередньо було побудовано за оригіналом, а й ті точки, для яких одна з точок площини прийнята за зображення власне точки оригіналу, а інша - за зображення її заснування.
Отриманий таким чином проекційний креслення представляє метрично певне зображення.
Прямі площині виявляються заданими на зображенні в тому ж сенсі, що і крапка.
Введення проекційного креслення і рішення задач на побудову на ньому не повинно розглядатися як два окремих етапу навчання.
Однією з труднощів навчання рішенню завдань на побудову на проекційному кресленні є відсутність в існуючій навчальній літературі достатнього числа чітко виділених найпростіших завдань, оволодіння якими забезпечувало б розуміння учнями прийомів вирішення більш складних завдань. Крім того, в методиці не визначилося ще число досить принципів, якими можна було б керуватися при знаходженні вирішення завдань.
Досягненням усвідомленого розуміння досліджуваного матеріалу при будь-якій структурі навчання стане можливим, якщо рішення завдань не буде обмежуватися тільки механічним виконанням побудов. Від учнів необхідно вимагати усних пояснень по ходу виконуваних побудов, аргументованого обгрунтування їх. Слід також домагатися, щоб і побудови, що проводяться в контрольних роботах, супроводжувалися письмовими поясненнями.
Завдання, які вирішуються при введенні проекційного креслення
Першою групою таких завдань є вправи, які розкривають, що невизначеність відновлення оригіналу за кресленням усунена на проекційному кресленні. Учитель показує, що на проекційному кресленні «точка» зображує тільки точку оригіналу, «пряма» - пряму, «площина» - площину.
На проекційному кресленні стає можливим визначати тільки по зображенню взаємне розташування точок, прямих і площин. У порядку вправи з учнями розглядаються способи зображення різних випадків взаємного розташування точки і основної площини.
У ході вправ учням повідомляються і нові необхідні визначення.
У цей період слід дати визначення «сліду» прямий і заданої площині. Визначення записуються в зошиті.
Визначення. Слідом заданої прямої (площини) на основній площині називається точка (пряма) перетину прямої (площини) з основною площиною.
У результаті навчання вирішення цих завдань учнів слід познайомити з двома принципами, на основі яких виконується побудова точок перетину прямої з площиною та побудова прямої, по якій перетинаються площині.
1) для побудови ліній перетину двох площин досить знати дві точки прямої, по якій перетинаються площині, або одну точку і напрямок прямій. Точки прямої, по якій перетинаються площині, визначаються як точки перетину довільної прямої однієї з заданих площин з іншого площиною.
2) для побудови точки перетину прямої з площиною досить побудувати лінію перетину довільної допоміжної площини, проведеної через дану пряму, з даною площиною. Точка перетину даної прямої з даною площиною визначається як точки перетину даної прямої з лінією перетину допоміжної і даної площин.
рис. 4
Завдання: Побудувати точку перетину даної прямої АВ (А1В1) з основною площиною
Рішенням цього завдання є точка перетину (якщо вона існує) прямих АВ і А1В1, так як в оригіналі ці прямі лежать в одній і тій же проектує площині.
При визначенні точок перетину прямих корисно привчати учнів з перших же кроків розглядати побудови на проекційному кресленні як проекцію відповідних побудов в одній з матеріальних реалізацій оригіналу і встановлювати належність чи неналежність розглянутих прямих одній і тій же площині оригіналу. У даному випадку, наприклад, побудова точки перетину прямих АВ і А1В1 можна розглядати як проекцію побудов на аркуші фанери, що становлять проектує площину АА1ВВ1.
Завдання. Побудувати (рис.5) точку перетину довільно заданої прямої а (а1) з проектує площиною φ.
Рис.5
Для вирішення завдання проводимо через задану пряму а (а1) допоміжну проектує площину і будуємо лінію (х) перетину допоміжної і заданої проектують площин. Точка Х (Х1)-точка перетину прямих х і а на зображенні-є зображенням точки перетину цих прямих, так як в оригіналі ці прямі лежать в одній площині. Разом з тим точка Х (Х1) буде точкою перетину прямої а (а1) з проектує площиною φ.
У самому справі, точка Х (Х1) належить прямим а (а1) і х. Пряма х, як лінія перетину площин β і φ, належить площині φ. Отже, і крапка X (X1) належить площині φ, тобто дійсно точка X (Х1) є точкою перетину прямої a (a1) і заданої площині.
Спочатку при виконанні креслень 'корисно позначати допоміжні площині урвищами і обрізами так, як це зроблено на рис. Пізніше, щоб не захаращувати креслення сторонніми лініями, від такого позначення допоміжних площин слід відмовитися і привчити учнів уявляти їх.
Для закріплення рішення цього завдання можна запропонувати наступну систему завдань:
Точки А1 та В1 розташовані на бічних ребрах куба ABCDA1 B1C1D1. Знайти точку перетину прямої (АВ) з площиною верхнього та нижнього підстави.
Точки А1 та В1 розташовані на суміжних бічних гранях куба ABCDA1 B1C1D1. Знайти точку перетину прямої (АВ) з площиною нижньої основи.
Точки А1 та В1 розташовані на двох суміжних ребрах піраміди ABCD. Знайти точку перетину прямої (АВ) з основою піраміди.
Дано тетраедр ABCD і точки M і N, належать бічних гранях. Побудуйте точку перетину прямої MN з площиною ABC.
Точки Н і К розташовані на відповідно на ребрах АВ і АD призми ABCDA1B1C1D1. знайти точку перетину прямої (HF) з прямою (DC); (DD1).
Точки A1 і B1 розташовані відповідно на ребрах АС і АВ піраміди ABCD.Найті точку перетину прямої (A1B1) з прямою (ВС).
Дана піраміда ABCDS.Найті точку перетину прямої (AS) з прямою (ВК), де К-точка належить ребру CS.
Дана піраміда ABCDS. Знайти точку перетину прямої (АВ) з прямою (DH), де H-середина ребра BC.
Завдання: Побудувати лінію перетину заданих проектують площин
Рис. 6а
Нехай проектують площині задані проектують прямими АА1 і ВВ1 ТТ1 і РР1. Однією точкою лінії перетину заданих площин буде точка Х1-точка перетину слідів обох площин. В оригіналі лінія перетину проектують площин буде проектує прямий, як лінія перетину двох площин, проведених через паралельні (проектують) прямі. Отже, і на зображенні пряма ХХ1, по якій перетинаються проектують площині, буде паралельна АА1.
Як рішення цієї задачі, так і всіх інших слід розглядати через якомога більшу сукупність окремих випадків. Проектують прямі, що визначають проектують площині, можуть розташовуватися так, що лінія перетину площин буде перебувати або між однією з пар проектують прямих, або між обома парами. Проектують площині слід задавати не тільки однією парою проектують прямих, але й проектує прямий і точкою, що лежить в основний площині.
У всіх випадках рішення слід пов'язувати з побудовами в оригіналі. Якщо, наприклад, проектує площину розглядати як частокіл з щільно прилягають один до одного кілками, то учні повинні розуміти, що лінія перетину буде колом, який знаходиться одночасно і в першій і в другій огорожах. Лінію перетину проектують площин можна розглядати як стик двох листів фанери, які є образами проектують площин.
Завдання: Побудувати лінію перетину двох довільно заданих площин
Рішення завдання відповідно до виставлених принципами, розуміння яких учням до цього моменту має бить.подготовлено, не повинно вже викликати труднощів .. В одній із заданих площин (мал. 5), наприклад у площині φ (φ1), беруться дві довільні допоміжні прямі а (а) і в (у) і будуються точки - точки Х (Х1) і Y (Y1) - перетину цих прямих з площиною β (β1). Пряма XY (X1Y1) - шукана.
Рис. 5
У повсякденній практиці в якості допоміжних прямих вибирають ті, які є вже на кресленні: сліди площин, прямі, що визначаються точками, які задають площину. Одна точка лінії перетину площин, заданих на рис. 6, визначається як точка перетину слідів площин - точка Х (Х1). В якості другої допоміжної прямої а (а,) взята пряма, що лежить в площині яка проектує РP1 ТT1.
Рис. 6
Для закріплення рішення цього завдання можна запропонувати наступну систему завдань:
Площина задана трьома точками, розташованими на суміжних бічних ребрах піраміди (призми). Знайти лінію перетину цієї площини з площиною нижньої основи.
Площина задана трьома точками, розташованими на не суміжних бічних ребрах піраміди, в основі якої лежить чотирикутник. Знайти лінію перетину цієї площини з площиною нижньої основи.
Площина задана трьома точками, дві з них розташовані на суміжних бічних ребрах піраміди, а третя - на бічній грані піраміди. Знайти лінію перетину цієї площини з площиною нижньої основи.
Дана чотирикутна піраміда SABCD. Побудувати лінію перетину двох її граней ASB та CSD
Дана чотирикутна призма ABCDABCD. Знайти лінію перетину площини, заданої точками В, К, L, де В-вершина підстави, точка K належить ребру DD1, точка L належить ребру CC1, з площиною A1B1C1D1.
Точки О і О1 є точками перетину діагоналей підстав куба. Знайти лінії перетину площини, заданої точками О, О1, С з бічними гранями.
Дано SABCD - піраміда. Точка Н-середина DC. Знайти лінію перетину площини, заданої точками A, H, S, з площиною SBC.
Але для повноцінного вирішення завдань на побудові корисно на підставі двох опорних завдань (знаходження точки перетину з площиною і лінії перетину площин) розглянути задачі.
Завдання 1. Знайти точку перетину площини Q, заданої слідом ВС і точкою А (А1), з проектує прямий DD1 (рис. 7а).
Проводимо площину R через точку А (А1) і дану пряму DD1 і на лінії AM перетину площин Q і R знаходимо шукану точку Х (Х1).
Рис 7а
Завдання 2. Побудувати точку перетину трикутника ABC (A1B1C1) з прямою DE (D1E1)
Рис 7б
Знаходимо лінію LM перетину площини трикутника ABC з проектує площиною R, що проходить через дану пряму DE.
У перетині прямих LМ і DE, що лежать в одній площині R, знаходимо шукану точку X, яка на кресленні визначається своїм зображенням і зображенням своєї проекції Х1 на площину П.
Завдання 3. Визначити точку перетину площини Q, заданої слідом АВ і точкою С, з прямою DE (рис 7в).
Через точку С, що належить площині Q, проводимо допоміжну площину S, паралельну проектує площині R, що проходить через дану пряму DE (LC1 | | D1E1). Потім знаходимо лінію LC перетину площини S з площиною Q. Далі будуємо пряму MX перетину площин О і R (MX | | LC).
Точка X є бажана точка перетину, так як вона одночасно належить площині Q і прямої DE.
Рис 7в
Рішенням задачі закінчується обгрунтування принципів побудови прямих, за якими перетинаються площині, і точок перетину прямих і площин. Проте в класі слід вирішити ще декілька завдань, вирішення яких зводиться до побудови точок і ліній перетину прямих і площин.
Отже, при вивченні завдань на побудову на проекційному кресленні учні повинні знати, що:
Крапку простору вважають заданої на проекційному кресленні, якщо задані зображення цієї точки і зображення се проекції на основну площину.
Пряму вважають заданої на проекційному кресленні, якщо задані дві її точки або якщо задані її зображення і зображення її проекції на основну площину.
Площина вважається заданою на проекційному кресленні, якщо задані три точки цій площині, що не лежать на одній прямій, або пряма і точка поза її, або дві пересічні прямі, або дві паралельні прямі.
Якщо всі крапки, прямі і площини зображеної фігури є заданими на проекційному кресленні в зазначеному сенсі, то таке зображення називається повним і можна на ньому побудовою відшукати всі непорожні перетину прямих і площин зображеної фігури, тобто вирішувати різні позиційні задачі.
Рішення задач на побудову перерізів
Робота по ознайомленню учнів з проекційним кресленням може бути продовжена при навчанні рішення завдань на побудову перерізів многогранників.
Навчання рішенню завдань на побудову перерізів можна проводити в наступному плані.
По-перше, початкове ознайомлення учнів з методами побудови перерізів необхідно проводити на метрично певних зображеннях. Зручно, наприклад, це виконати на зображенні куба і правильного тетраедра, супроводжуючи побудови на зображенні демонстрацією відповідних відносин на моделі. Все це буде сприяти зміцненню зв'язку зображення і оригіналу.
По-друге, точки, що визначають січну площину, слід задавати по можливості при різноманітному взаємне розташування цих крапок і багатогранника, перетин якого будується.
Рис. 7
На рис.8 Наведено послідовність перших таких завдань. Січна
площину на цих кресленнях задається точками К (К1), М (М1) і Р (Р).
Рис. 8
При навчанні рішенню як цих завдань, так і будь-який з наступних учням слід виділяти окремі етапи рішення, що представляють собою відомі вже учням завдання на проекційному кресленні.
Рис. 9а
Рис. 9 б
Для побудови перерізу куба, представленого на рис. 9а, достатньо, наприклад, знайти точку перетину ребра СС1 з площиною КМР (К1М1 Р1). Метод побудови цієї точки зручно розкрити учням на прикладі рішення вже відомої їм завдання: на проекційному кресленні (рис. 9б) побудувати точку перетину площини β (β1) і проектує прямий СС1 На допоміжному кресленні слід лише по можливості точно відтворити взаємне розташування точок К (К1 ), M (M1), P (P1) і прямої СС1.
У порядку забезпечення наступності у вирішенні завдань на проекційному кресленні важливо підкреслити думку, що в якості допоміжної площини СС1КК1 могла б бути прийнята довільна площина, проведена через ребро СС1. Разом з тим учнів відразу слід привчати до раціонального вибору допоміжних площин.
При побудові перетини куба (мал. 10а) площиною КМР (К1М1Р1) не слід перешкоджати застосуванню загального методу (рис. 10б). Однак рішення цього завдання слід вести до тих пір, поки учні не здогадаються, що найбільш придатною допоміжної площиною буде площину межі BB1 CC, (рис. 10в), а не площині ВВ1ЕЕ1.
рис. 10а
Рис. 10б рис. 10в
Рис. 11
У той же час для побудови перерізу правильної шестикутної призми, висота якої дорівнює стороні підстави, площиною КМР (K1M1P1) зручніше прийняти в якості допоміжної площину ВВ1ЕЕ1 (рис. 11). У цьому випадку за допомогою однієї допоміжної площини одночасно будуються точки перетину січної площини з двома ребрами призми.
Такий підхід до розв'язання задач на побудову перерізів дає надійне загальне засіб вирішення цих завдань і дозволяє розвивати винахідливість учнів при знаходженні приватних прийомів.
Важливий момент навчання рішенню задач на побудову перерізів при розглянутої методикою становить виділення в умові завдань елементів, які задають січну площину. Якщо умовою завдання січна площина задана точкою і прямою, або пересічними прямими, або паралельними прямими, то, вибираючи на них три точки, зводимо рішення задачі до побудови перерізу площиною, заданої трьома точками.
При побудові перетину правильної шестикутної призми площиною, що проходить через сторону верхнього підстави і утворює з основою даний двогранний кут, перш за все визначається пара пересічних прямих, які задають цю площину.
Січна площина визначається парою пересічних прямих АВ і ММ (рис. 12) і при побудові перетину правильної шестикутної піраміди площиною, що проходить через цю точку М1 підстави піраміди, паралельно одній з великих діагоналей основи і
паралельно висоті піраміди.
Рис. 12
Виділення січної площини - один з важливих етапів вирішення завдань на побудову перерізів.
При вирішенні задач на побудову перерізів в дохідливій формі вдається познайомити учнів з поняттями повного і метрично певного зображень, з рішенням позиційних і метричних задач.
Зображення багатогранників вводиться як метрично визначена відповідно до вищевикладеної методикою навчання побудови зображень. До поняття повного зображення можна підвести учнів, якщо домогтися від них розуміння, що зображення, побудоване за наперед заданим оригіналу, є в той же час зображення більш широкого класу фігур. Учні повинні розуміти, що зображення, наприклад, правильного тетраедра є разом з тим і зображенням всіх трикутних пірамід. Зображення правильної чотирикутної призми, висота якої в два рази більше сторони підстави, є в той же час і зображенням чотирикутних призм, в основі яких, лежить не тільки квадрат і висота яких не тільки в два рази більше сторони підстави, зображенням не тільки прямих призм, але і похилих.
Навичка в побудові перерізів доцільніше виробляти на повних зображеннях, не зв'язуючи себе без потреби з оригіналами наперед заданої форми. Це тим більш корисно, що на повних зображеннях розкриваються і деякі загальні властивості багатогранників.
Корисно, наприклад, не тільки побудувати перетин правильної трикутної призми (рис 13) січною площиною А102С1, де 02 - середина осі призми, але й довести, що площина перетне верхнє і нижнє підстави будь-який з правильних трикутних призм ..
Рис. 13
Для побудови перерізу досить знайти точку (X) перетину ребра ВВ1, з прямою О102, по якій перетинаються допоміжна площину BВ1DO1 з січною площиною. Відрізок XB1 = 30102, так як D1B1 = 3D1O1, і, отже, D1O2 перетне верхнє підстава.
Широкі можливості для проведення такої роботи представляє побудова зображень до завдань з літерними даними.
Наведемо як приклад рішення задачі на побудову перерізу призми площиною.
Завдання. Побудувати переріз п'ятикутною призми площиною, заданої трьома точками, що лежать на бічних ребрах призми.
Нехай дана призма ABCDEA'B'C'D'E 'і три точки М, N, Р, що лежать відповідно на ребрах АА', ЇЇ ', DD', (рис).
Виберемо площину А'В'С нижньої основи за основну площину а, а напрям бічних ребер - за направлення проектування на основну площину. При такому виборі основної площини та напрямки проектування зображення призми є повним, тобто всі елементи призми (грані, ребра і вершини) задані на кресленні, що легко перевірити. Оскільки зображення є повним, то необхідну в задачі побудова реалізувати на кресленні.
Завдання побудови перерізу зводиться в нашому випадку до відшукання точок перетину площини MNP з бічними ребрами (проектують прямими) ВВ 'і СС.
Наведемо символічну запис ходу рішення задачі
(L З MN, α) і (К С NP, α) Þ (MNP ∩ α = KL);
R З C'D ', KL;
(R З C D ') і (CD' З З CD) => (R З З CD);
(R З KL) і (KL MNP) => (R З MNP);
(P З MNP, З CD) і (R З MNP, C'CD) => (MNP ∩ C'CD =
= PR);
(X З C'C, PR) Þ (X = MNP ∩ CC);
S З B'C, KL;
(S З B'C) і (B'C B'BC) => (S З B'BC);
(S З KL) і (KL З MNP) => (S З MNP);
10) (XMNP, B'BC) і (SСMNP, B'BC) => (XS = MNP ∩ B'BC);
11) (Y З XS, B'B) => (Y З MNP, B'B).
Отже, MNPXY - шукане розтин.
Завдання 2. Знайти лінію перетину чотирикутної піраміди SA1B1C1D1 з площиною Q, що проходить через точки L (L1), М (М1) і N (N1) (рис.15).
Рис 15.
Так як точки L, М і N задані на кресленні своїми зображеннями та зображеннями своїх внутрішніх центральних проекцій, то в даному випадку доцільно скористатися центральним проектуванням на площину П з точки S, що з центру, і визначати точки перетину ребер піраміди з площиною Q. Ребра піраміди тут теж можна розглядати як проектують прямі.
З'єднаємо точки L1 з N1, L з N і А1 з М1, потім через
точкуРх = L1N1 ∩ A1M1 проведемо проектує пряму SP1 і знайдемо точку Р = LN ∩ SP1. Далі, пряму MP продовжимо до перетину в точці А з ребром SA. Точка А є точка перетину ребра SA1 з площиною Q.
Чорт. 51.
Щоб знайти точку D перетину ребра SD1 з площиною Q, через крапку R1 = A1M1 ∩ L1D1 проведемо проектує пряму SR1, що перетинає пряму AM в точці R, і пряму LR продовжимо до перетинання з ребром SD1.
Аналогічно можна знайти точки В і С. Але ми тут для визначення точки С використовували точку Т = АМ ∩ ST1 і для побудови точки В знайшли лінію SK1 перетину граней SA1D1 і SB1C1, а крапку К = SK1 ∩ AD з'єднали з точкою С. Відзначимо, що ці прийоми можуть бути використані при перевірці побудов. Лінія ABCD є бажана лінія перетину даної піраміди з площиною.
Використана література
1. А.Р. Зенгіна «Основні принципи побудови зображень у стеріометріі». Державне навчально-педагогічне видавництво Міністерства Освіти РРФСР. М. 1956.
2. А.Д. Сьомушкін «Методика навчання рішенню задач на побудову за стереометрії». Видавництво академії педагогічних наук РРФСР. М. 1959
3. А.А. Столяр «Педагогіка математики». Видавництво «Вища школа» 1986.
Завдання: Побудувати лінію перетину заданих проектують площин
Рис. 6а
Нехай проектують площині задані проектують прямими АА1 і ВВ1 ТТ1 і РР1. Однією точкою лінії перетину заданих площин буде точка Х1-точка перетину слідів обох площин. В оригіналі лінія перетину проектують площин буде проектує прямий, як лінія перетину двох площин, проведених через паралельні (проектують) прямі. Отже, і на зображенні пряма ХХ1, по якій перетинаються проектують площині, буде паралельна АА1.
Як рішення цієї задачі, так і всіх інших слід розглядати через якомога більшу сукупність окремих випадків. Проектують прямі, що визначають проектують площині, можуть розташовуватися так, що лінія перетину площин буде перебувати або між однією з пар проектують прямих, або між обома парами. Проектують площині слід задавати не тільки однією парою проектують прямих, але й проектує прямий і точкою, що лежить в основний площині.
У всіх випадках рішення слід пов'язувати з побудовами в оригіналі. Якщо, наприклад, проектує площину розглядати як частокіл з щільно прилягають один до одного кілками, то учні повинні розуміти, що лінія перетину буде колом, який знаходиться одночасно і в першій і в другій огорожах. Лінію перетину проектують площин можна розглядати як стик двох листів фанери, які є образами проектують площин.
Завдання: Побудувати лінію перетину двох довільно заданих площин
Рішення завдання відповідно до виставлених принципами, розуміння яких учням до цього моменту має бить.подготовлено, не повинно вже викликати труднощів .. В одній із заданих площин (мал. 5), наприклад у площині φ (φ1), беруться дві довільні допоміжні прямі а (а) і в (у) і будуються точки - точки Х (Х1) і Y (Y1) - перетину цих прямих з площиною β (β1). Пряма XY (X1Y1) - шукана.
Рис. 5
У повсякденній практиці в якості допоміжних прямих вибирають ті, які є вже на кресленні: сліди площин, прямі, що визначаються точками, які задають площину. Одна точка лінії перетину площин, заданих на рис. 6, визначається як точка перетину слідів площин - точка Х (Х1). В якості другої допоміжної прямої а (а,) взята пряма, що лежить в площині яка проектує РP1 ТT1.
Рис. 6
Для закріплення рішення цього завдання можна запропонувати наступну систему завдань:
Площина задана трьома точками, розташованими на суміжних бічних ребрах піраміди (призми). Знайти лінію перетину цієї площини з площиною нижньої основи.
Площина задана трьома точками, розташованими на не суміжних бічних ребрах піраміди, в основі якої лежить чотирикутник. Знайти лінію перетину цієї площини з площиною нижньої основи.
Площина задана трьома точками, дві з них розташовані на суміжних бічних ребрах піраміди, а третя - на бічній грані піраміди. Знайти лінію перетину цієї площини з площиною нижньої основи.
Дана чотирикутна піраміда SABCD. Побудувати лінію перетину двох її граней ASB та CSD
Дана чотирикутна призма ABCDABCD. Знайти лінію перетину площини, заданої точками В, К, L, де В-вершина підстави, точка K належить ребру DD1, точка L належить ребру CC1, з площиною A1B1C1D1.
Точки О і О1 є точками перетину діагоналей підстав куба. Знайти лінії перетину площини, заданої точками О, О1, С з бічними гранями.
Дано SABCD - піраміда. Точка Н-середина DC. Знайти лінію перетину площини, заданої точками A, H, S, з площиною SBC.
Але для повноцінного вирішення завдань на побудові корисно на підставі двох опорних завдань (знаходження точки перетину з площиною і лінії перетину площин) розглянути задачі.
Завдання 1. Знайти точку перетину площини Q, заданої слідом ВС і точкою А (А1), з проектує прямий DD1 (рис. 7а).
Проводимо площину R через точку А (А1) і дану пряму DD1 і на лінії AM перетину площин Q і R знаходимо шукану точку Х (Х1).
Рис 7а
Завдання 2. Побудувати точку перетину трикутника ABC (A1B1C1) з прямою DE (D1E1)
Рис 7б
Знаходимо лінію LM перетину площини трикутника ABC з проектує площиною R, що проходить через дану пряму DE.
У перетині прямих LМ і DE, що лежать в одній площині R, знаходимо шукану точку X, яка на кресленні визначається своїм зображенням і зображенням своєї проекції Х1 на площину П.
Завдання 3. Визначити точку перетину площини Q, заданої слідом АВ і точкою С, з прямою DE (рис 7в).
Через точку С, що належить площині Q, проводимо допоміжну площину S, паралельну проектує площині R, що проходить через дану пряму DE (LC1 | | D1E1). Потім знаходимо лінію LC перетину площини S з площиною Q. Далі будуємо пряму MX перетину площин О і R (MX | | LC).
Точка X є бажана точка перетину, так як вона одночасно належить площині Q і прямої DE.
Рис 7в
Рішенням задачі закінчується обгрунтування принципів побудови прямих, за якими перетинаються площині, і точок перетину прямих і площин. Проте в класі слід вирішити ще декілька завдань, вирішення яких зводиться до побудови точок і ліній перетину прямих і площин.
Отже, при вивченні завдань на побудову на проекційному кресленні учні повинні знати, що:
Крапку простору вважають заданої на проекційному кресленні, якщо задані зображення цієї точки і зображення се проекції на основну площину.
Пряму вважають заданої на проекційному кресленні, якщо задані дві її точки або якщо задані її зображення і зображення її проекції на основну площину.
Площина вважається заданою на проекційному кресленні, якщо задані три точки цій площині, що не лежать на одній прямій, або пряма і точка поза її, або дві пересічні прямі, або дві паралельні прямі.
Якщо всі крапки, прямі і площини зображеної фігури є заданими на проекційному кресленні в зазначеному сенсі, то таке зображення називається повним і можна на ньому побудовою відшукати всі непорожні перетину прямих і площин зображеної фігури, тобто вирішувати різні позиційні задачі.
Рішення задач на побудову перерізів
Робота по ознайомленню учнів з проекційним кресленням може бути продовжена при навчанні рішення завдань на побудову перерізів многогранників.
Навчання рішенню завдань на побудову перерізів можна проводити в наступному плані.
По-перше, початкове ознайомлення учнів з методами побудови перерізів необхідно проводити на метрично певних зображеннях. Зручно, наприклад, це виконати на зображенні куба і правильного тетраедра, супроводжуючи побудови на зображенні демонстрацією відповідних відносин на моделі. Все це буде сприяти зміцненню зв'язку зображення і оригіналу.
По-друге, точки, що визначають січну площину, слід задавати по можливості при різноманітному взаємне розташування цих крапок і багатогранника, перетин якого будується.
Рис. 7
На рис.8 Наведено послідовність перших таких завдань. Січна
площину на цих кресленнях задається точками К (К1), М (М1) і Р (Р).
Рис. 8
При навчанні рішенню як цих завдань, так і будь-який з наступних учням слід виділяти окремі етапи рішення, що представляють собою відомі вже учням завдання на проекційному кресленні.
Рис. 9а
Рис. 9 б
Для побудови перерізу куба, представленого на рис. 9а, достатньо, наприклад, знайти точку перетину ребра СС1 з площиною КМР (К1М1 Р1). Метод побудови цієї точки зручно розкрити учням на прикладі рішення вже відомої їм завдання: на проекційному кресленні (рис. 9б) побудувати точку перетину площини β (β1) і проектує прямий СС1 На допоміжному кресленні слід лише по можливості точно відтворити взаємне розташування точок К (К1 ), M (M1), P (P1) і прямої СС1.
У порядку забезпечення наступності у вирішенні завдань на проекційному кресленні важливо підкреслити думку, що в якості допоміжної площини СС1КК1 могла б бути прийнята довільна площина, проведена через ребро СС1. Разом з тим учнів відразу слід привчати до раціонального вибору допоміжних площин.
При побудові перетини куба (мал. 10а) площиною КМР (К1М1Р1) не слід перешкоджати застосуванню загального методу (рис. 10б). Однак рішення цього завдання слід вести до тих пір, поки учні не здогадаються, що найбільш придатною допоміжної площиною буде площину межі BB1 CC, (рис. 10в), а не площині ВВ1ЕЕ1.
рис. 10а
Рис. 10б рис. 10в
Рис. 11
У той же час для побудови перерізу правильної шестикутної призми, висота якої дорівнює стороні підстави, площиною КМР (K1M1P1) зручніше прийняти в якості допоміжної площину ВВ1ЕЕ1 (рис. 11). У цьому випадку за допомогою однієї допоміжної площини одночасно будуються точки перетину січної площини з двома ребрами призми.
Такий підхід до розв'язання задач на побудову перерізів дає надійне загальне засіб вирішення цих завдань і дозволяє розвивати винахідливість учнів при знаходженні приватних прийомів.
Важливий момент навчання рішенню задач на побудову перерізів при розглянутої методикою становить виділення в умові завдань елементів, які задають січну площину. Якщо умовою завдання січна площина задана точкою і прямою, або пересічними прямими, або паралельними прямими, то, вибираючи на них три точки, зводимо рішення задачі до побудови перерізу площиною, заданої трьома точками.
При побудові перетину правильної шестикутної призми площиною, що проходить через сторону верхнього підстави і утворює з основою даний двогранний кут, перш за все визначається пара пересічних прямих, які задають цю площину.
Січна площина визначається парою пересічних прямих АВ і ММ (рис. 12) і при побудові перетину правильної шестикутної піраміди площиною, що проходить через цю точку М1 підстави піраміди, паралельно одній з великих діагоналей основи і
паралельно висоті піраміди.
Рис. 12
Виділення січної площини - один з важливих етапів вирішення завдань на побудову перерізів.
При вирішенні задач на побудову перерізів в дохідливій формі вдається познайомити учнів з поняттями повного і метрично певного зображень, з рішенням позиційних і метричних задач.
Зображення багатогранників вводиться як метрично визначена відповідно до вищевикладеної методикою навчання побудови зображень. До поняття повного зображення можна підвести учнів, якщо домогтися від них розуміння, що зображення, побудоване за наперед заданим оригіналу, є в той же час зображення більш широкого класу фігур. Учні повинні розуміти, що зображення, наприклад, правильного тетраедра є разом з тим і зображенням всіх трикутних пірамід. Зображення правильної чотирикутної призми, висота якої в два рази більше сторони підстави, є в той же час і зображенням чотирикутних призм, в основі яких, лежить не тільки квадрат і висота яких не тільки в два рази більше сторони підстави, зображенням не тільки прямих призм, але і похилих.
Навичка в побудові перерізів доцільніше виробляти на повних зображеннях, не зв'язуючи себе без потреби з оригіналами наперед заданої форми. Це тим більш корисно, що на повних зображеннях розкриваються і деякі загальні властивості багатогранників.
Корисно, наприклад, не тільки побудувати перетин правильної трикутної призми (рис 13) січною площиною А102С1, де 02 - середина осі призми, але й довести, що площина перетне верхнє і нижнє підстави будь-який з правильних трикутних призм ..
Рис. 13
Для побудови перерізу досить знайти точку (X) перетину ребра ВВ1, з прямою О102, по якій перетинаються допоміжна площину BВ1DO1 з січною площиною. Відрізок XB1 = 30102, так як D1B1 = 3D1O1, і, отже, D1O2 перетне верхнє підстава.
Широкі можливості для проведення такої роботи представляє побудова зображень до завдань з літерними даними.
Наведемо як приклад рішення задачі на побудову перерізу призми площиною.
Завдання. Побудувати переріз п'ятикутною призми площиною, заданої трьома точками, що лежать на бічних ребрах призми.
Нехай дана призма ABCDEA'B'C'D'E 'і три точки М, N, Р, що лежать відповідно на ребрах АА', ЇЇ ', DD', (рис).
Виберемо площину А'В'С нижньої основи за основну площину а, а напрям бічних ребер - за направлення проектування на основну площину. При такому виборі основної площини та напрямки проектування зображення призми є повним, тобто всі елементи призми (грані, ребра і вершини) задані на кресленні, що легко перевірити. Оскільки зображення є повним, то необхідну в задачі побудова реалізувати на кресленні.
Завдання побудови перерізу зводиться в нашому випадку до відшукання точок перетину площини MNP з бічними ребрами (проектують прямими) ВВ 'і СС.
Наведемо символічну запис ходу рішення задачі
(L З MN, α) і (К С NP, α) Þ (MNP ∩ α = KL);
R З C'D ', KL;
(R З C D ') і (CD' З З CD) => (R З З CD);
(R З KL) і (KL MNP) => (R З MNP);
(P З MNP, З CD) і (R З MNP, C'CD) => (MNP ∩ C'CD =
= PR);
(X З C'C, PR) Þ (X = MNP ∩ CC);
S З B'C, KL;
(S З B'C) і (B'C B'BC) => (S З B'BC);
(S З KL) і (KL З MNP) => (S З MNP);
10) (XMNP, B'BC) і (SСMNP, B'BC) => (XS = MNP ∩ B'BC);
11) (Y З XS, B'B) => (Y З MNP, B'B).
Отже, MNPXY - шукане розтин.
Завдання 2. Знайти лінію перетину чотирикутної піраміди SA1B1C1D1 з площиною Q, що проходить через точки L (L1), М (М1) і N (N1) (рис.15).
Рис 15.
Так як точки L, М і N задані на кресленні своїми зображеннями та зображеннями своїх внутрішніх центральних проекцій, то в даному випадку доцільно скористатися центральним проектуванням на площину П з точки S, що з центру, і визначати точки перетину ребер піраміди з площиною Q. Ребра піраміди тут теж можна розглядати як проектують прямі.
З'єднаємо точки L1 з N1, L з N і А1 з М1, потім через
точкуРх = L1N1 ∩ A1M1 проведемо проектує пряму SP1 і знайдемо точку Р = LN ∩ SP1. Далі, пряму MP продовжимо до перетину в точці А з ребром SA. Точка А є точка перетину ребра SA1 з площиною Q.
Чорт. 51.
Щоб знайти точку D перетину ребра SD1 з площиною Q, через крапку R1 = A1M1 ∩ L1D1 проведемо проектує пряму SR1, що перетинає пряму AM в точці R, і пряму LR продовжимо до перетинання з ребром SD1.
Аналогічно можна знайти точки В і С. Але ми тут для визначення точки С використовували точку Т = АМ ∩ ST1 і для побудови точки В знайшли лінію SK1 перетину граней SA1D1 і SB1C1, а крапку К = SK1 ∩ AD з'єднали з точкою С. Відзначимо, що ці прийоми можуть бути використані при перевірці побудов. Лінія ABCD є бажана лінія перетину даної піраміди з площиною.
Використана література
1. А.Р. Зенгіна «Основні принципи побудови зображень у стеріометріі». Державне навчально-педагогічне видавництво Міністерства Освіти РРФСР. М. 1956.
2. А.Д. Сьомушкін «Методика навчання рішенню задач на побудову за стереометрії». Видавництво академії педагогічних наук РРФСР. М. 1959
3. А.А. Столяр «Педагогіка математики». Видавництво «Вища школа» 1986.