Навчання рішенню завдань на відсотки в курсі алгебри основної школи

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ
РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і методики викладання математики
Випускна кваліфікаційна робота
НАВЧАННЯ ВИРІШЕННЯ ЗАВДАНЬ НА ВІДСОТКИ
В КУРСІ АЛГЕБРИ ОСНОВНИЙ ШКОЛИ
(За навчальним комплекту під редакцією Г. В. Дорофєєва)
Виконала студентка V курсу математичного факультету Кисельова О.М.
                                / Підпис /
Науковий керівник
к.п.н., доцент Крутіхін М.В.
                                 / Підпис /
Рецензент
к.п.н., доцент Ситникова І.В.
                                / Підпис /
Допущена до захисту в ГАК
Зав. кафедрою                                                                            Крутіхін М.В.
«      »                     2004
Декан факультету                                                                      Варанкіна В.І.
«      »                    2004
КІРОВ
2004

Зміст

\ T "Мій заголовок; 1; Мій заг2; 2" ВСТУП .................................... .................................................. ........................ 3

Глава I. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВИ ВИВЧЕННЯ ВІДСОТКІВ В КУРСІ АЛГЕБРИ ОСНОВНИЙ ШКОЛИ. 5
§ 1. Особливості навчального комплекту з математики під редакцією Г.В. Дорофєєва. 5
§ 2. Поняття відсотка, основні задачі на відсотки. 8
§ 3. Вивчення теми «Відсотки» у сучасній школі. 12
Глава II. МЕТОДИЧНІ ОСНОВИ ВИВЧЕННЯ ВІДСОТКІВ ПО Навчальний комплект ПІД РЕДАКЦІЄЮ Г.В. ДОРОФЄЄВА. 21
§ 1. Методичні рекомендації викладу теми «Відсотки» за навчальним комплекту під редакцією Г.В. Дорофєєва для V - IX класів. 21
§ 2. Методичні рекомендації для проведення уроку «Прості відсотки» за підручником «Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних »9 кл. під редакцією Г.В. Дорофєєва. 34
§ 3. Методичні рекомендації до проведення факультативу «Завдання на відсотки» в IX класі. 39
§ 4. Дослідне викладання. 46
ВИСНОВОК. 48
СПИСОК ЛІТЕРАРУРИ .. 49

ВСТУП
В даний час приділяється велика увага шкільній освіті як першого ступеня освітнього процесу. Одна з найважливіших його завдань - забезпечити учням глибокі та міцні знання, а також уміння раціонально застосовувати їх у навчальній і практичній діяльності.
Велике практичне значення має вміння розв'язувати задачі на відсотки, тому що поняття відсотка широко використовується як в реальному житті, так і в різних галузях науки.
У шкільному курсі ця тема вивчається в V - VI класі, але в силу вікових особливостей школярів не може бути повністю освоєна. Далі цього питання не приділяється значної уваги. Задачі на відсотки стають прерогативою хімії, яка впроваджує свій погляд на відсотки, а в математиці їх місце тільки в межах завдань на повторення і завдань підвищеної складності. Таким чином, учнями забуваються проблеми універсальності відсотків і різноманітності сфер їх застосування. У зв'язку з цим є актуальним питання про те, щоб задачі на відсотки зайняли гідне місце в VII - IX класах. У цей період школярі вивчають різні види рівнянь і їх систем, закріплення яких ведеться на текстових завданнях, а присутність відсотків у змісті текстових завдань дає можливість зв'язати абстрактні математичні поняття з реальним життям.
Така тенденція простежується в навчальному комплекті з математики під ред. Г.В. Дорофєєва. У VI класі автори комплекту приділяють увагу формуванню поняття відсотка, а у VII - IX класах розглядають основні задачі на відсотки і різні способи їх вирішення. Причому слід відзначити велику різноманітність задач. Але для такого багатого матеріалу не є чіткої методики вивчення, так як комплект ще «молодої» і особливо в школах не поширений.
Тому мета даної роботи полягає у розробці методичних рекомендацій щодо вивчення теми «Відсотки» за підручниками [20], [15], [18], [17], [16].
Об'єктом дослідження є навчання математики в V - IX класів.
Предмет дослідження - навчання розв'язання задач на відсотки в курсі алгебри VII - IX класів.
У даній роботі висунута наступна гіпотеза: Навчання рішенню завдань на відсотки буде більш ефективним, якщо:
1. Формування поняття відсотка почати в V - VI класі.
2. Розглядати різні типи завдань на відсотки протягом всього курсу алгебри VII - IX класу.
3. Використовувати символічну наочність, як при формуванні поняття відсотка, так і при вивченні основних типів завдань.
Завдання даної роботи:
1. Виявити особливості навчального комплекту з математики під ред. Г.В. Дорофєєва.
2. Провести аналіз змісту даного комплекту з точки зору викладу теми «Відсотки».
3. Розробити методичні рекомендації щодо вивчення теми «Відсотки».
4. Здійснити дослідне викладання.
Для досягнення поставлених цілей, перевірки гіпотези та вирішення сформульованих вище завдань були використані наступні методи дослідження:
1. Вивчення навчально-методичної та математичної літератури.
2. Аналіз шкільних підручників.
3. Дослідне викладання.
4. Спостереження під час проведення занять з учнями.

Глава I. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВИ ВИВЧЕННЯ ВІДСОТКІВ В КУРСІ АЛГЕБРИ ОСНОВНИЙ ШКОЛИ.
§ 1. Особливості навчального комплекту з математики під редакцією Г.В. Дорофєєва.
У навчальний комплект з математики під редакцією Г.В. Дорофєєва [1] входять підручники [20], [15], [18], [17], [16]. Це комплект нового покоління. У ньому враховані результати досвіду викладання математики останніх десятиліть, а також відображені сучасні методичні та педагогічні тенденції. Зміст комплекту повністю відповідає сучасним освітнім стандартам. Він рекомендований Міністерством загальної та професійної освіти Російської Федерації для викладання математики в середній школі.
Основні ідеї цього курсу - це загальнокультурна орієнтація змісту, інтелектуальний розвиток учнів засобами математики на матеріалі, що відповідає інтересам і можливостям дітей. Одним з головних відмінностей даного комплекту є те, що велика увага приділяється арифметиці, формуванню обчислювальної культури в її сучасному розумінні. Це прикидка, оцінка та перевірка результатів дій. Зроблено наголос на навчання арифметичним, логічним прийомам рішення текстових завдань.
У підручниках комплекту прийнята наступна система подачі матеріалу. Теоретичний матеріал кожного розділу розбитий на пункти, які завершуються переліком вправ. Запропоновані вправи мають два рівні складності: перший орієнтований на базовий рівень навчання, другий містить розвиваючі завдання. Наприкінці глави виділений пункт «Для тих, кому цікаво», в яких пропонується матеріал, не передбачений шкільною програмою, але запропонований на шкільних олімпіадах. Це дозволяє зробити знання учнів більш міцними, пробудити інтерес до математики. Це рівняння з параметрами, подільність натуральних чисел, приклади використання комбінаторного правила множення та інші питання математики. Для більш успішного засвоєння матеріалу в кожну главу включені питання для повторення і завдання для самоперевірки. До кожного підручника розроблено набір довідково-методичної літератури (робочі зошити, збірники дидактичних матеріалів), що полегшують роботу, як вчителю, так і учня.
Робоча зошит застосовується переважно на початкових етапах вивчення теми. Туди включені завдання, які дозволяють організувати різноманітну практичну діяльність (викреслити, домалювати, зафарбувати). Це звільняє дітей від роботи непринциповий характер, дозволяє збільшити обсяг навчальної роботи і зосередити увагу на головному.
Дидактичні матеріали містять додатковий набір вправ з арифметики, алгебри, аналізу даних, організованих у вигляді самостійної роботи із завданнями різного рівня складності. Матеріал може бути використаний на різних етапах вивчення теми і для різних груп учнів. У кінці збірника вміщено матеріали для позакласної роботи.
Підручники [20], [15] заклали одну з перших «наскрізних» ліній, яку через всі класи проводить один авторський колектив (далі він дещо змінюється, але керівництво Г. В. Дорофєєва залишається незмінним; останні підручники цієї лінії для X - XI класу ще очікуються). Наявність «наскрізний» авторської лінії дає деякі переваги в плані збереження авторських підходів і наступності між блоками класів. У даних підручниках прийнятий природний порядок вивчення дробів: спочатку звичайні, потім десяткові. Питання про знак числа вивчається спочатку на цілих числах, що методично та педагогічно правильніше. Особливо виділяється наочно-діяльнісна геометрія. Є лінія «Аналіз даних». Не дивлячись на те, що арифметична лінія не завершена в порівнянні з традиційно прийнятим обсягом змісту, що вивчається в V - VI класах, це не перешкоджає навчанню в рамках тієї ж авторської лінії.
Підручники [18], [17], [16] є безпосереднім продовженням комплекту [20], [15]. У них отримують подальший розвиток арифметична, алгебраїчна та ймовірнісно-статистична лінії курсу. Деякий матеріал, що вивчалися раніше в V - VI класах перенесений в наступні класи. У рамках однієї лінії підручників такий підхід не порушує цілісності вивчення матеріалу. У зміст курсу алгебри VII - IX класів включено блок арифметичних питань. Приділено увагу подальшому розвитку обчислювальної культури школярів, навчання різним прийомам виконання дій з дробами, в тому числі з використанням калькулятора, обчислення відсотків та ймовірнісно-статистичних характеристик. У VII класі розглянуті також практично значимі питання про ставлення, пропорції, прямої і зворотної пропорційності. У VIII класі приділено увагу формуванню обчислювальних умінь добування квадратного кореня і відпрацювання його найпростіших властивостей. Відпрацювання цих умінь проводиться на арифметичних виразах без використання символіки. Після цього як узагальнення автори пропонують алгебраїчний підхід до поняття кореня. При вивченні прогресій в IX класі зроблений акцент на їх практичне застосування, тому для вивчення запропонована тема «Прості і складні відсотки».
Відбір навчального матеріалу і вибір методичних підходів у підручниках здійснюється з урахуванням можливостей і особливостей дітей даного віку, що сприяє більш глибокому і осмисленому розуміння цих питань. У зв'язку з цим автори курсу переносять розгляд деяких тим на більш пізні терміни. Це дозволяє вивчити практично значимий і цікавий для дітей матеріал, який дозволяє говорити про математику, як про частину загальнолюдської культури.
В даний час у школі не поширений підхід цілісного вивчення математики V - IX класів, тому цей комплект можна назвати комплектом нового покоління.

§ 2. Поняття відсотка, основні задачі на відсотки.
Слово «відсоток» походить від латинського pro centum, що буквально означає «на сотню», «зі ста» або «за сотню». У популярній літературі виникнення цього терміна пов'язують із впровадженням в Європі десяткової системи числення в XV ст. Але ідея вираження частин цілого постійно в одних і тих же величинах, викликана практичними міркуваннями, народилася ще в давнину у вавілонян. Ряд завдань клинописних табличок присвячений обчисленню відсотків, однак вавилонські лихварі вважали не «зі ста», а «з шістдесяти». Відсотки були особливо поширені в Стародавньому Римі. Римляни називали відсотками гроші, які платив боржник позикодавцю за кожну сотню.
Мабуть, відсоток виник в Європі разом з лихварством. Є думка, що поняття відсоток ввів бельгійський вчений Симон Стевін. У 1584 р. він опублікував таблиці відсотків. Вживання терміну «відсоток» у Росії починається в кінці XVIII ст. Довгий час під відсотками розумілося виключно прибуток або збиток на кожні 100 рублів. Вони застосовувалися тільки в торгових і грошових угодах. Потім область їх застосування розширилася, відсотки зустрічаються в господарських і фінансових розрахунках, статистиці, науці і техніці.
Цікаве походження позначення відсотка. Існує версія, що знак% походить від італійського pro cento (Сто), яке в процентних розрахунках часто скорочено писалося cto. Звідси шляхом подальшого скорочення в скоропису буква t перетворилася на похилу межу (/), виник сучасний знак відсотка (див. схему 1).
Як виник знак відсотка?
pro cento → cento → cto → c / o →%


SHAPE \ * MERGEFORMAT Схема 1
Також є припущення, що знак% виник в результаті помилки. У Парижі в 1685 р. була надрукована книга - керівництво по комерційній арифметиці, де помилково складач надрукував знак%.
Зараз відсотки вживаються для порівняння однорідних позитивних кількостей. Один відсоток - це за визначенням одна сота: 1% = . Відповідно, p% = . Один відсоток від кількості А - це, за визначенням, одна сота частина кількості А:
1% від А дорівнює А. Відповідно, p% від А дорівнює А.
Усі завдання на відсотки можна розділити на дві основні групи.
Перша група завдань відноситься до тієї ситуації, коли дано кількість А і деякий відсоток p. Потрібно знайти кількість, яке цей відсоток виражає.
Питання К1. Яке кількість, яка складає p% від А?
Формула відповіді: А.
Обговорення рішення: потрібно обговорити, що приймається за базу в 100%.
Приклад:
У місті N відбулися вибори в міську думу, у яких взяли участь 75% виборців. Тільки 10% від числа що взяли участь у виборах віддали свої голоси партії «зелених». Скільки мешканців проголосували за цю партію, якщо всього в місті 1 мільйон виборців?
Рішення. Тут потрібно двічі застосувати формулу відповіді на питання К1. За умовою, у виборах взяли участь чол. Від них 10% - це .
Відповідь: 75000.
Питання К2. Яке кількість, p% від якого є А?
Формула відповіді: А.
Обговорення. Питання К1 і К2 споріднені. Нехай шукану кількість (в даному випадку стовідсоткова база) є x. Тоді ми знаходимося в ситуації питання К1: А = x. Звідси отримуємо формулу відповіді на питання К2. Можна скористатися іншим способом міркування при відповіді на питання К2: якщо на А доводиться p%, то один відсоток від невідомої кількості є , Відповідно невідома кількість є 100 .
Приклад:
При помелі пшениці виходить 80% борошна. Скільки пшениці потрібно змолоти, щоб отримати 480 кг пшеничного борошна?
Рішення:
За формулою К2 шукану кількість пшениці є 480 = 600 кг
Відповідь: 600 кг.
Питання К3. Яке кількість, більшу ніж А, на p%?
Формула відповіді: А.
Обговорення. У даному випадку стовідсоткова база - це А. Різниця між невідомою кількістю і базою за умовою становить p%, що за формулою відповіді на питання К1 дає А. У результаті шукану кількість є А + А = А.
Питання К4. Яке кількість, менше ніж А, на p%?
Формула відповіді: А.
Обговорення. Аналогічно попередньому випадку. Якщо відповідь на дане питання призводить до негативного числа, то шукану кількість вважають неіснуючим, а саме питання некоректним.
Друга група завдань висвітлює зворотну операцію - обчислення відсотків за відомим кількостей.
Питання П1. Скільки відсотків становить А від В?
Формула відповіді: %.
Обговорення. Потрібно звернути увагу на те, що є стовідсотковою базою (в даному випадку - це В).
Приклад:
В одному місті Канади 70% жителів знає французьку мову і 80% - англійська мова. Скільки відсотків жителів цього міста знають обидві мови (якщо врахувати, що кожен житель міста знає хоча б один з двох мов)?
Алгебраїчне рішення: Нехай x жителів знає лише англійську, y - тільки французький, z - обидві мови. Тоді можна двічі застосувати формулу, відповідну питання П1.

Склавши обидва ці рівності, отримаємо
1 +
Відповідь: 50%.
Геометричне рішення. Розмістимо всіх жителів міста на відрізку так, що знають англійську мову стоять на відрізку ліворуч, а знаючі французький - справа. Якщо цей відрізок - 100%, то загальна частина цих множин є відрізок [30%, 80%] «протяжністю» в 50% (див. рис 1.).
30%
80%
французьку мову
англійська мова

Рис 1.
Питання П2. На скільки відсотків А більше ніж В?
Формула відповіді: %.
Обговорення. Як і під час обговорення питання П1 потрібно визначити стовідсоткову базу (у даному випадку - це В).
Питання П3. На скільки відсотків А менше, ніж В?
Формула відповіді: %.
Обговорення. Конструкція відповіді аналогічна попередньому випадку.
Слід зазначити, що рішення даної групи завдань можна проводити як алгебраїчним, так і геометричним способом.
Таким чином, можна сказати, що завдання на відсотки дуже різноманітні, а поняття відсотка використовується в різних галузях науки і практики.

§ 3. Вивчення теми «Відсотки» у сучасній школі.

Поняття відсотка має широке практичне застосування, тому воно є обов'язковою частиною шкільної програми з математики. Школярі повинні навчитися вирішувати основні задачі на відсотки, представляти їх у вигляді десяткових і звичайних дробів.
Традиційно тема «Відсотки» вивчається в рамках молодших класів середньої ланки. Можна виділити декілька підходів до вивчення даної теми.
Перший підхід. Розгляд відсотків ведеться як окрема тема, без опори на дробу. Знаходження декількох відсотків від числа здійснюється на дві дії. Вивчення дробів ведеться окремою темою, набагато пізніше завдань на відсотки. Таким чином, навчання йде від приватного до загального, що менш ефективно і дає менше можливостей для розвитку учня.
Другий підхід. Задачі на відсотки освоюються як окремий випадок завдань на дробу і всі прийоми рішення переносяться на них, тобто вивчення йде від загального випадку - завдань на дробу, до приватного. У більшості сучасних підручників реалізований другий підхід.
Розглянемо більш детально вивчення даної теми в деяких сучасних підручниках, рекомендованих Міністерством Освіти Росії на 2003/2004 навчальний рік для викладання математики в основній школі.
За підручниками [19], [21] тема «Відсотки» вивчається в V класі. Перед введенням поняття «відсоток» автор пропонує розглянути приклади:
«Соту частина центнера називають кілограмом, соту частину метра - сантиметром, соту частину гектара - акром. Прийнято називати соту частину будь-якої величини відсотком ».
Розглядаються три основні задачі на відсотки:
Завдання виду К1.
Приклад 1: Бригада робітників за день відремонтувала 40% дороги, що має довжину 120 м. Скільки метрів дороги було відремонтовано бригадою за день?
Рішення:
120 м становить 100%
1) 120:100 = 1,2 м становить 1%.
2) м відремонтовано бригадою за день.
Відповідь: За день бригада відремонтувала 48 м дороги.
Завдання виду К2.
Приклад 2: Учень прочитав 72 сторінки, що становить 30% числа всіх сторінок книги. Скільки сторінок у книзі?
Рішення:
Невідоме число - 100%.
1) 72:30 = 2,4 сторінки становить 1%.
2) сторінок становить 100%.
Відповідь: У книзі 240 сторінок.
Завдання виду П1.
Приклад 3: У класі з 40 учнів 32 правильно вирішили задачу. Скільки відсотків учнів правильно розв'язали це завдання?
Рішення:
40 учнів становлять 100%.
1) 40:100 = 0,4 становить 1%.
2) 32:0,4 = 80; 32 учні складають 80%.
Відповідь: 80% учнів правильно вирішили задачу.
Проте ці види завдань не виділяються, тому що в якості основного способу розв'язання задач на відсотки прийнятий спосіб приведення до одиниці. Він володіє певними перевагами:
а) простіше для виконання обчислень;
б) привчає учнів до виділення числа, прийнятого за 100%;
в) вимагає проведення в процесі вирішення конкретної задачі відповідних міркувань, які не включають запам'ятовування правил вирішення того чи іншого виду завдань на відсотки.
Підручник передбачає вирішувати деякі задачі на відсотки з допомогою рівнянь. Ця рекомендація стосується по суті до двох видів завдань: знаходження числа за даним числа його відсотків і знаходження процентного відношення двох чисел. Досвід викладання математики в V класі показує, що учні стикаються з певними труднощами в процесі рішення задач на відсотки, що пов'язано в основному з недостатньою усвідомленістю учнями способу приведення до одиниці. Тому відпрацювання сутності цього способу на дві дії має вирішальне значення в навчанні рішення завдань на відсотки, особливо на початковому етапі засвоєння знань. Завдання, розглянуті в прикладах 2 і 3, можуть бути вирішені за допомогою рівнянь. У V класі рішення задач за допомогою рівнянь цікавить учнів значні труднощі.
Ця тема є однією з останніх у курсі V класу. Далі автори спеціально до теми не повертається. Це не дуже вдало, тому що тема об'єктивно важка.
Дещо інший підхід до цієї теми в підручниках [22] [23]. Вивчення відсотків починається в кінці V класу. Автори визначають відсоток, як іншу назву однієї сотої. «Ми знаємо, що одна друга інакше називається половиною, одна четверта - чвертю, три четвертих - трьома чвертями. Особливу назву має і одна сота: одна сота називається відсотком ». Учні розглядають тільки два види завдань:
Завдання виду К1.
Приклад 4. У школі 800 учнів, 15% з них за чверть отримали п'ятірки з математики. Скільки учнів отримали п'ятірки з математики?
Рішення:
Знайдемо спочатку один відсоток, або одну соту, від числа навчаючи щихся.
800: 100 = 8.
Щоб знайти 15%, потрібно виконати множення:
= 120.
Відповідь: 120 учнів отримали п'ятірки.
Велика увага приділяється зв'язку дробів (десяткових і звичайних) і відсотків.
Завдання виду П1.
Приклад 5. Скільки відсотків від 1 м складає 1см, 9 см, 0,15 м?
У VI класі автори знову повертаються до цієї теми. Учні повторюють матеріал, вивчений у V класі, і розглядаються нові завдання. При цьому для кожного виду завдань проводиться аналогія з діями над десятковими і звичайними дробами, формулюється правило:
Для задачі виду К1.
«1) висловити відсотки звичайної чи десятковим дробом;
2) помножити це число на цей дріб »
А також для задачі виду К2.
«1) висловити відсотки звичайної чи десятковим дробом;
2) розділити дане число на цей дріб »
Приклад 6. За контрольну роботу з математики позначку «4» отримали 9 учнів. Це становить 36% від усіх учнів класу. Скільки учнів у класі?
Рішення:
Висловимо відсотки звичайної чи десятковим дробом: 36% = = 0,36.
Скористаємося правилом знаходження числа за його дробу:
9: = = 25 або 9:0,36 = 25
Відповідь: у класі було 25 учнів.
Далі розглядається задача виду П1.
Спочатку учні розглядають вираз приватного двох чисел у відсотках: «щоб висловити приватне у відсотках, потрібно приватне помножити на 100 і до отриманого добутку приписати знак відсотка».
Тільки після цього вони переходять до вирішення завдання П1.
«Для цього потрібно
1) перше число розділити на вторе;
2) отримане приватне висловити у відсотках »
Приклад 7. У класі 25 учнів, з них 20 піонерів. Скільки відсотків становлять піонери?
Рішення:
Для вирішення потрібно приватне виразити в процентах. = 0,8 = 80%.
Відповідь: піонери становлять 80%.
У кінці теми розглядається задача виду П2 і П3.
«... Щоб дізнатися, на скільки відсотків збільшилася або зменшилася дана величина, необхідно знайти:
1) на скільки одиниць збільшилася або зменшилася ця величина;
2) скільки відсотків становить отримана різниця від первісного значення величини »
Приклад 8. До зниження цін холодильник коштував 250р., Після зниження - 230 р. На скільки відсотків знизилася вартість холодильника?
Рішення:
Дізнаємося, на скільки рублів змінилася ціна холодильника: 250-230 = 20 р.
Знайдемо, скільки відсотків становить отримана різниця від початкової вартості холодильника: = 0,08 = 8%
Відповідь: вартість холодильника знизилася на 8%.
Правила обмежують учнів, не дають їм міркувати над рішенням. Тому кожна задача на відсотки стає алгоритмом і викликає труднощі, якщо правило забуто. Рішення завдань у даному курсі арифметичне. Використання рівнянь при вирішенні починається лише наприкінці року тільки в складних завданнях. Отже, не кожен учень зможе опанувати цим умінням. Тому потрібно включити завдання на відсотки при вивченні рівнянь.
У підручниках [7], [8] поняття відсотка також вивчається в кінці V класу. Перед введенням визначення розглядаються приклади вживання поняття «відсоток»:
«Схожість насіння становить 98 відсотків; у виборах президента Росії взяли участь 65 відсотків виборців ...». Відсоток визначається як позначення сотої частки. У V класі автори розглядають лише два види завдань: завдання виду К1 і К2. Вирішення цих завдань здійснюється арифметичним способом. Велика увага приділяється питанню, яку величину взяти за 100%.
Далі тема «Відсотки» вивчається в VI класі. Тут розглядаються ті ж види завдань, але рішення здійснюється вже алгебраїчним способом (складання лінійних рівнянь). Автори формулюють правила знаходження частини від цілого і цілого з його частини:
«1) щоб знайти частину від цілого, треба ціле (відповідне йому число) помножити на дріб (відповідне цієї частини);
2) щоб знайти ціле по його частині, треба частина (відповідне цієї частини число) розділити на відповідну їй дріб ».
Після цього тема не розглядається.
Дещо інший підхід у підручниках [2], [3]. Відсотки починають вивчатися на початку VI класу. Вводиться поняття відсотка як однієї сотої частини числа (величини). Розглядаються задачі трьох типів:
а) знаходження відсотків від даного числа К1.
Спочатку розглядається знаходження 1% від даного числа. Потім - знаходження довільного числа відсотків.
б) знаходження числа за даним числа його відсотків К2.
Також в першу чергу обговорюється, як знайти число, 1% якого відомий. Потім ця задача розглядається для будь-якого довільного числа відсотків.
в) знаходження процентного відношення двох чисел П1. Автори формулюють правило «Щоб відношення двох чисел виразити у відсотках, можна це відношення помножити на 100»
Всі три типи завдань вирішуються спочатку арифметичним способом, а потім їх вирішують, на основі властивостей пропорційності.
Приклад 9. Знайти 8% від 35.
Рішення: Нехай x - дані число, тоді:
35
x
100%
8%


, X =
Відповідь: 2
Розглядаються також завдання, в яких потрібно збільшити (зменшити) число на деяке число відсотків К3 і К4. Відсотки також використовуються при вивченні діаграм.
У середині навчального року автори знову пропонують повернутися до поняття відсотка. Вони хочуть встановити зв'язок між десятковими дробами і відсотками, згадують раніше вивчений матеріал і пропонують більш складні завдання.
Приклад 10.
Ціну товару збільшили на 10%, потім ще на 10%. На скільки відсотків збільшили ціну товару за два рази?
Тут же розглядаються завдання на суміші та сплави (цей параграф відзначений, як параграф підвищеної складності). Мені здається, що завдання такого типу для шестикласників складні. Тому не кожен вчитель захоче розглядати такі складні завдання з усім класом і дуже важливий пласт завдань залишиться не розглянутим. Але це дуже важливі завдання, яким слід приділити належну увагу, можливо, у старшому віці.
У цьому комплекті також приділяється увага роботі з калькулятором при вирішенні завдань на відсотки. Даному питанню присвячено окремий параграф і розроблена система вправ.
У старших класах тема відсотки розглядається в рамках завдань на повторення і завдань підвищеної складності. У старших класах операції з відсотками стають прерогативою хімії, яка впроваджує свій погляд на відсотки. Тому питання універсальності відсотків і різноманітності сфер їх застосування поступово забуваються учнями.
Покажемо, як пропонується вивчати цей матеріал у навчальних комплектах з математики для V-VI класу під ред. Г. В. Дорофеєва і І.Ф. Шаригіна і для VII - IX класу під ред. Г. В. Дорофеєва.
Перш за все, потрібно відзначити, що при викладенні теми «Відсотки» реалізуються багато загальні методичні особливості, характерні для курсу в цілому. Тема розгортається по спіралі і вивчається в кілька етапів з VI по IX клас включно. При кожному проході учні повертаються до процентів на новому рівні, їх знання поповнюються, додаються нові типи завдань і прийоми рішень. Таке багаторазове звернення до поняття призводить до того, що поступово воно засвоюється міцно і свідомо. З'являється можливість включати завдання, які зараз у діючих підручниках не можуть розглядатися просто в силу вікових особливостей школярів.
Питання, пов'язані з відсотками, дозволяють зробити курс орієнтованим на практику, показати учням, що придбані ними математичні знання застосовуються в повсякденному житті. Інтерес в значній мірі підтримується також і змістом завдань, фабули яких наближені до сучасної тематики і до життєвого досвіду дітей, а потім і підлітків. Це служить досить сильним мотивом для вирішення пропонованих завдань.
Введення відсотків спирається на предметно-практичну діяльність школярів, на геометричну наочність та геометричне моделювання. Широко використовуються малюнки і креслення, що допомагають розібратися в задачі і побачити шлях рішення.
Як і у всіх основних розділах курсу при викладі цієї теми реалізовано широкі можливості для диференційованого навчання учнів. Завдання пропонуються в широкому діапазоні складності - від базових, до досить важких. Учитель може підібрати матеріал, що відповідає можливостям кожного школяра.
При навчанні розв'язування задач на відсотки учні знайомляться з різними способами вирішення завдань, причому безліч прийомів ширше, ніж це буває зазвичай. Учень оволодіває різноманітними способами міркування, збагачуючи свій арсенал прийомів і методів. Але при цьому також важливо, що він має можливість вибору і може користуватися тим прийомом, який йому здається більш зручним.
Глава II. МЕТОДИЧНІ ОСНОВИ ВИВЧЕННЯ ВІДСОТКІВ ПО Навчальний комплект ПІД РЕДАКЦІЄЮ Г.В. ДОРОФЄЄВА.
§ 1. Методичні рекомендації викладу теми «Відсотки» за навчальним комплекту під редакцією Г.В. Дорофєєва для V - IX класів.
Вперше про відсотки учні дізнаються в VI класі. Відсотки пропонується розглядати двічі: на початку навчального року, тобто ще до вивчення десяткових дробів (при повторенні і систематизації матеріалу, пов'язаного зі звичайними дробами), а потім в середині навчального року після вивчення десяткових дробів. «Що таке відсоток» - це перша тема, яка вивчалася лінією. На даному етапі потрібно сформувати розуміння відсотка як спеціального способу вираження частки величини, виробити вміння висловлювати відсоток відповідної звичайної дробом. Відсоток визначається як одна сота частина деякої величини. Причому перед введенням визначення слід розглянути приклади вживання відсотків.
Не варто поспішати приступати до вирішення завдань на знаходження відсотка від деякої величини. Потрібно дати учням можливість звикнути до введеного поняття, освоїти фактично іншу термінологію. Через систему вправ підручника хлопці навчаються вживання нового терміна, «перекладу» завдань з мови часток і дробів на мову відсотків і назад. У результаті ще до вирішення основних завдань на відсотки, учні міцно оволодівають досить великим набором фактів, які допомагають їм у подальшому. Так, вони засвоюють деякі «еквіваленти»: 25% величини - це даної величини; половина деякої величини - це 50%, 30% величини втричі більше, ніж 10% і т.п.
Хлопці вчаться порівнювати частки величини, задані різними способами:
більше, ніж 25%;
деякої величини більше 50% цієї величини;
23% менше чверті; вся величина - це 100% і т.д.
Пропонуються вправи, спрямовані на усвідомлене засвоєння матеріалу.
№ 99. [15] Для кожної фрази з лівого стовпця підберіть відповідну фразу в правому:
1. 100% учнів школи а) половина всіх учнів школи
2. 25% учнів школи б) всі учні школи
3. 10% учнів школи в) чверть всіх учнів
4. 50% учнів школи м) десята частина всіх учнів.
№ 100. [15] Папа отримав премію, 40% якої він витратив на подарунок мамі, 60% - на подарунки дітям. Чи всі гроші витратив тато?
З самого початку освоєння поняття учням рекомендується давати більше завдань, в яких потрібно заштрихувати, зафарбувати, накреслити, вирізати частину фігури. Такого типу вправи не зустрічаються в вищерозглянутих підручниках.
а)
б)
в)
г)
№ 98. [15] Яка частина прямокутника заштрихована (див. рис. 2)? Висловіть цю частину у відсотках.

Рис. 2
Учнів також потрібно познайомити з формою неявного використання відсотків, типової для засобів масової інформації.
№ 128. [15] Поясніть, використовуючи слово «відсоток», що означають такі твердження:
а) 10 москвичів з кожних 100 потребують поліпшення житла;
б) 43 людини з кожних 100 довіряють гороскопам і постійно читають їх;
в) з кожних 100 новонароджених 52 - хлопчики;
г) з кожних 100 жителів Брянська 25 мають домашніх тварин.
Тепер, коли учні досить вільно й усвідомлено володіють поняттям відсотка, можна перейти до задачі на знаходження відсотків деякої величини. Методично доцільно спочатку знаходити один відсоток, а потім кілька відсотків цієї величини.
Що стосується другого прийому рішення (шляхом множення на звичайну дріб), то тут він, звичайно, розглядається, але його обов'язкове засвоєння слід віднести на більш пізні терміни.
Для успішного засвоєння матеріалу можна запропонувати учням формулювання деяких завдань в розгорнутому вигляді, тобто до розглянутого в умові сюжетом поставлені не один, а кілька питань. Так залучається їх увагу до того, яку інформацію можна отримати із ситуації з відсотками.
№ 122. [15] У касі профкому було 900 руб. На оплату проїзних квитків витратили 80% цієї суми. Які питання можна поставити до задачі? Дайте відповідь на них.
№ 124. [15] Середня зарплата в Росії в середині 1993 р. становила 120000 р. До кінця року вона збільшилася на 50%.
1) На скільки рублів збільшилася середня зарплата?
2) Якою стала зарплата до кінця року?
Спеціальна серія завдань присвячена важкого питання про збільшення на 200%, 300% і т.д. Так учні поступово підходять до розуміння того, що, наприклад, збільшення на 100% - це те ж саме, що збільшення у 2 рази і т.д.
№ 139. [15] У першому кварталі 1995 р. квартплата в Москві в будинках з ліфтом була на 100% вище квартплати у будинках без ліфта. У скільки разів квартплата в будинках з ліфтом була вищою квартплати у будинках без ліфта?
До задачі наведено малюнок для того, щоб хід рішення був більш зрозумілим (див. рис. 3).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
200%
100%
Будинки
без ліфта
Будинки
з ліфтом

Рис. 3
У рамках цієї теми учні вже знайомляться з вирішенням задачі виду К1, завдання збільшення (зменшення) величини на кілька відсотків пропонуються як похідних завдання К1.
Другий етап у вивченні відсотків зв'язується з десятковими дробами. Після вивчення десяткових дробів і операцій над ними потрібно знову повернеться до поняття відсотка. Тут пропонується два спеціальних пункту. У пункті «Головне завдання на відсотки» школярі вчаться знаходити відсоток величини множенням на десяткову дріб. Перш ніж приступити до вирішення завдань, потрібно розглянути з учнями правило і вправи на переклад відсотків в десяткову дріб.
«Щоб висловити відсотки десятковим дробом, потрібно число, яке стоїть перед знаком%, розділити на 100 або, що те ж саме, помножити на 0,01»
№ 596. [15] Висловити десятковим дробом:
а) 2,5%, 18,3%, 1,6%, 54,5%;
б) 0,1%, 0,5%, 0,3%, 0,7%;
в) 120%, 137%, 240%, 350%.
Пропонується розглянути різні способи вирішення тієї чи іншої задачі.
Приклад 2. [15] Чоловіча сорочка коштувала 8200 р. Скільки вона стала коштувати, коли її ціна збільшилася на 35%?
Так як 35% - це 0,35, то треба знайти 0,35 від 8200 р.:
(Р.) (на стільки підвищилася ціна).
Тепер знайдемо нову ціну:
8200 +2870 = 11070 (р.).
Можна міркувати інакше. Стара ціна становить 100%, а нова - на 35% більше, тобто вона становить 135%. Так як 135% - це 135:100 = 1,35, то ціна збільшилася в 1,35 рази.
Маємо: (Р.).
Також учні знайомляться з завданнями типу К2. Але автори розглядають ці завдання в рамках вправ групи Б (більш складних).
№ 606. [15] У першу годину роботи продавець продав 40 кг яблук. Це склало 16% від первинної кількості яблук. Скільки кілограмів яблук було у продавця спочатку?
У пункті «Вираз часткою у відсотках» центральною є задача про визначення того, скільки відсотків одна величина становить від іншої.
619. У виборчому окрузі 2500 виборців. У голосуванні взяли участь 1300 виборців. Який відсоток виборців брав участь у голосуванні?
Тут прийнято підхід, відповідно до якого спочатку знаходять, яку частину одна величина становить від іншої, виражають її при необхідності десятковим дробом, а потім - у відсотках.
Не слід поспішати приступати до вирішення нових завдань. У підручнику пропонується система вправ, в яких пропонується висловити дріб (звичайну або десяткову) у відсотках.
№ 615. [15] Прочитайте пропозицію, висловивши дріб у відсотках:
а) бензином заповнили бака;
б) учнів школи їдуть до школи на автобусі;
в) маса сушеної вишні становить маси свіжої вишні;
г) магазин продав привезеного цукру.
Одна з особливостей обчислювальної лінії курсу полягає у формуванні вмінь виконувати прикидку або оцінку результату обчислень. При вивченні відсотків ця робота, природно, триває. Учням пропонуються завдання з повсякденної практики, в яких потрібно знайти наближено за допомогою прикидки відсоток від заданої величини. Для цього досить замінити дані іншими числами, близькими до них і зручними для розрахунків. Так, якщо потрібно прикинути, чому одно 19% від будь-якої величини, то знаходять 20% цієї величини, тобто її п'яту частину.
№ 595. [15] Перед Новим роком магазин знизив ціни на товари на 25%. На скільки приблизно рублів знизилася ціна товару, якщо до зниження вона становила 799 крб.? 1980 руб.? 11890 руб.?
№ 629. [15] Частина фігури заштрихована (див. рис 4.). Визначте, який приблизно відсоток фігури заштрихован, вибравши найбільш підходящий відповідь з даних.
б)
А. 40%
Б. 50%
В. 70%
д)
А. 40%
Б. 60%
В. 80%
А. 10%
Б. 40%
В. 60%
в)

Рис. 4
Третій етап у вивченні відсотків віднесено до 7классу. У силу вікових можливостей семикласників і вже накопиченого ними досвіду роботи з відсотками учням стають доступними багато питань з тих, що традиційно не розглядалися з усім класом, а вивчалися лише як додаткові в роботі з сильними учнями. Учні вже знайомі з усіма основними видами завдань, тепер вони освоюють інші способи їх вирішення, які були їм невідомі.
У першому розділі підручника виділено пункт «Рішення задач на відсотки», в якому вміщено матеріал, що дозволяє згадати відомості з шостого класу і просунутися у вирішенні завдань. Тепер є можливість розглянути більш складні у технічному відношенні завдання. Вони вимагають досить міцного досвіду подання відсотків дробом і навпаки, уміння знаходити відсоток від величини, розуміння того, яка з величин, що беруть участь в задачі, приймається за 100%. Тому на початку теоретичної частини пункту розглядаються прийоми, за допомогою яких десяткова дріб виражається у відсотках і навпаки; тут спеціально виділяється питання про «маленьких» (менше 1%) і «великих» (більше 100%) відсотках, як найбільш важкий для засвоєння.
№ 99. [18] До складу одного з полівітамінів входять мінерали в таких кількостях: кальцій і фосфор - по 4%, магній - 1,6%, залізо - 0,07%, цинк - 0,06%. Скільки міліграмів кожного мінералу міститься в одній таблетці полівітаміну, маса якої 25 г?
№ 88. [18] В кінці 1996 р. робітником була виплачена премія в 250% щомісячної зарплати. Яку премію одержав робочий, зарплата якого була 550 тис. р.?
Пропоновані в системі вправ завдання, як правило, допускають різні способи міркувань, і учні самостійно вибирають більш зручний і зрозумілий для себе.
Крім завдань на знаходження відсотка від величини, розглядаються задачі на знаходження величини за відомим її відсотку.
№ 107. [18] Після підвищення ціни на 30% книга стала коштувати 52 рубля. Скільки коштувала книга до підвищення ціни?
Рішення. Початкова ціна книги складає 100%. Тому 52 руб., Тобто ціна після подорожчання, становить 100% +30% = 130% від первісної ціни. Тепер можна вирішити завдання на знаходження величини за відомим її відсотку.
Міркувати можна по-різному:
1) 1% - це 52: 130 = 0,4 (грн.), а 100% - це 0,4 * 100 = 40 (грн.);
2) 10% - 52:13 = 4 (руб.), 100% - це 4 * 10 = 40 (грн.);
3) 130% - це 1,3, тому 52 крб. становлять 1,3 початкової ціни, а тому початкова ціна дорівнює 52:1,3 = 40 (грн.).
Слід відзначити ще один методичний підхід, використаний у вивченні відсотків. Першу главу укладає розділ «Для тих, кому цікаво», в якому учні ще раз зустрічаються з завданнями на відсотки. Тут розглядається вісім, якщо можна так висловитися, «класичних олімпіадних» завдань. Зазвичай вони не включаються до підручників, тому що є важкими. Наведено більш просте рішення такого класу задач. Слід приділити їм увагу хоча б на гуртку.
Завдання. [18] Книга дорожче альбому на 25%. На скільки відсотків альбом дешевше книги? Вся методика навчання рішенню завдань, прийнята в підручнику, дозволяє показати учням наочний спосіб їх рішень за допомогою малюнків (див. рис. 5). Хоча, звичайно, ці завдання можна вирішувати і арифметично.
Рішення:
Ціна альбому - 100%. Зобразимо її будь-яким відрізком
Збільшимо цей відрізок на 25% тобто на його частини; отримаємо відрізок, відповідний ціною книги.
Тепер ціна книги складає 100%. Вона зображена великим відрізком. Ціна альбому менше ціни книги на цього відрізка. Так як становить 20%, то альбом дешевше книги на 20%.
Ціна книги
Ціна альбому - 100%
на 25% більше
Ціна альбому
Ціна книги - 100%
на 20% менше

Рис. 5
При вивченні наступного розділу «Відносини і пропорції» учні активно користуються досвідом роботи з відсотками і набувають нового. У систему вправ потрібно включити нові задачний ситуації.
№ 191. [18] У сплав входять мідь, олово, сурма щодо 4:15:6. Скільки відсотків сплаву складає кожен метал? («Поділ в даному відношенні»)
№ 252. [18] За певний час за допомогою принтера було роздруковано 30 сторінок. Скільки сторінок роздрукує принтер, продуктивність якого на 50% більше? («Пряма і зворотна пропорційність»)
№ 269. [18] Автомобіль за 2,4 год проїхав 60% всього шляху. Через скільки хвилин йому залишиться проїхати чверть усього відстані, якщо він буде рухатися з тією ж швидкість? («Рішення задач за допомогою пропорцій»)
У міру оволодіння новим математичним апаратом при вивченні алгебри, учні освоюють новий прийом рішення розрахункових задач на відсотки - за допомогою складання рівняння.
№ 501. [18] Вкладник відкрив у банку рахунок. Через рік на його рахунку було 360000 крб., Що склало 120% від суми, яку він вніс спочатку. Скільки рублів вніс вкладник при відкритті рахунку?
У VIII класі в темі «Алгебраїчні дроби» учні знову звертаються до задач на відсотки. Завдання на «концентрацію», «сплави», «банківські розрахунки» - це хороші приклади практичних завдань, що дозволяють продемонструвати, як формальні алгебраїчні знання застосовуються в реальних життєвих ситуаціях. Для того щоб допомогти учням усвідомити на новому рівні підхід до вирішення завдань з відсотками, варто звернути їхню увагу на те, що в підручнику наводяться зразки вирішення ряду завдань. До розібраному зразком учні при бажанні може повернутися знову і використовувати його в якості опори при вирішенні подібного завдання.
№ 187. [17] Розберіть, як за умовою завдання складено рівняння і вирішите задачу. Клієнт відкрив рахунок у банку на деяку суму грошей. Річний дохід за цим вкладом становить 11%. Якби він додав 800 руб., То через рік отримав би прибуток 220 крб. Яка сума була внесена ним до банку?
Рішення. Нехай х руб. - Сума, яку клієнт вніс до банку. Тоді (х +800) руб. було б на вкладі, якби клієнт додав 800 руб.;
0,11 (х +800) руб. - Дохід у 11%, який міг би отримати клієнт з цієї суми.
Так як дохід дорівнює 220 руб., То маємо рівність:
0,11 (х +800) = 220.
№ 205. [17] Два злитку, один з яких містить 35% срібла, а інший 65%, сплавляють і отримують злиток масою 20 р., містить 47% срібла. Яка маса кожного з цих злитків?
При вивченні теми «Системи рівнянь» школярам важливо показати новий метод розв'язання задач на відсотки. Учням пропонується план рішення.
№ 656. [17] У колбу налили деякий кількість 60%-го розчину солі і деяка кількість 80%-го розчину цієї ж солі. Отримали 35 мл розчину, який містить 72% солі. Скільки мілілітрів кожного розчину налили в колбу?
Вирішіть задачу, використовуючи наступний план:
1. Позначте літерами кількість 60%-го і 80%-го розчинів солі.
2. Запишіть рівняння, що зв'язує ці дві величини і загальна кількість розчину.
3. Визначте кількість солі в отриманому розчині.
4. Запишіть рівняння, що зв'язує кількість солі в 60%-ном, 80%-ном і одержані розчинах.
5. Складіть систему і вирішіть її.
У IX класі у розділі «Дробові рівняння» також можна запропонувати завдання на відсотки, вирішення яких грунтується на складанні дробових раціональних рівнянь.
№ 419. [16] На перші і другі премії в конкурсі студентських дипломних робіт було виділено 15 тис. р.., Причому 40% цих грошей пішло на перші премії. Других було видано на 4 більше, ніж перших. Скільки студентів отримали перші премії і скільки другі, якщо відомо, що друга премія становила 50% першою?
Завершується лінія процентних обчислень в IX класі темою «Прості і складні відсотки», включеної до вивчення глави «Арифметична і геометрична прогресії». Відомості про простих і складних відсотках, які самі по собі мають велику практичну значущість, є досить сприятливим матеріалом для застосування знань, отриманих на уроках математики. Можливість спертися на сформовані навички у роботі з відсотками, на вміння скористатися калькулятором, табличним і графічним представленням інформації дозволило розширити діапазон вирішуваних завдань на відсотки.
У підручнику не вводяться формули простих і складних відсотків. Учні повинні вирішувати задачі, спираючись не на формули, а на розуміння на зміст поняття «відсоток», на вміння знаходити відсоток від числа. У темі широко використовується калькулятор, який дозволяє розглядати найрізноманітніші завдання.
№ 639. [16] Один з акціонерів підприємства має 100 акцій, номінальна вартість кожної з яких 50 р. Щорічно йому виплачується із кожної акції дохід в 40% від її номінальної вартості.
а) Який дохід отримає акціонер за 1 рік; за 2 роки; за 10 років; за n років?
б) Через скільки років його загальний дохід перевершить подвоєну вартість акцій?
Автори пропонують також завдання аналітичного характеру.
№ 654. [16] Віктор вклав на десять років по 1000 р. на два різних рахунки - з 10% річних і 20% річних.
а) Яким буде дохід по кожному з цих рахунків через рік? У скільки разів прибуток по другому вкладом буде більше доходу по першому внеску?
б) Яким буде дохід по кожному з цих рахунків за четвертий рік? У скільки разів прибуток по другому вкладом більше, ніж за першим?
Як ви думаєте, чи буде ставлення щорічних доходів по цих вкладах збільшуватися з плином часу і чому?
У ході вирішення пропонованих авторами завдань учні бачать, що поняття арифметичної і геометричної прогресії, а також формули їх сум - це не просто абстрактне абстрактне поняття, а конкретне математичне знання, необхідне для життя.
У даному курсі в руслі нової змістовної лінії «Аналіз даних» формулюються прийоми збору, представлення та аналізу інформації, так чи інакше пов'язаної з відсотками.
Відсотки також використовуються в VI - VII класах для представлення інформації у вигляді таблиць і діаграм, а VIII - IX класах - при вивченні ймовірно-статистичного матеріалу.
№ 155. [15] На діаграмі показано, який відсоток становить той чи інший вид виробів від усієї продукції ательє з пошиття чоловічого одягу.
а) Яка основна продукція даного ательє?
б) Якого кольору піджаки ательє виробляє менше за все? більше за все?
в) Скільки відсотків продукції припадає на піджаки світлого кольору? темного кольору?
г) Який з наступних відповідей може показувати, скільки відсотків всіх виробів становлять жилети: 24%, 17%, 10%, 6%? (Див.рис. 6)
\ S
Рис. 6
№ 675. [16] Закинув старий у річку невід. Прийшов невід з таким уловом (у порядку витягування):
П, О, Л, С, Я, П, К, О, З, К, П, К, Я, С, О, П, П, Л, О, О, Л, С, О, П, Л, П, К, Л, К, П, П, С, П, З, До, Я, П, З, С, О, О, Я, П, П, О, Л, С, Л, С, П, О, П, Л, К, С, О, Я, Л, П, С, О, Л, П, О, К, Л, П, О, О, П, О, Я, Л, П, С, П, О, Л, П, З.
Літерами позначені: З - Золота рибка; К - Карась; Л - Лящ; О - Окунь; П - Пічкур; С - Сом; Я - Язь.
а) Проведіть ранжування низки даних в алфавітному порядку.
б) Складіть таблицю відносних частот.
в) Який відсоток спійманої риби становлять золоті рибки?
г) Використовуючи отриману старим вибірку, оцініть, які види риб найбільш і найменш поширені в місцях, де старий закинув невід.
Таким чином, автори даного курсу приділяють велику увагу поняттю відсотка. За допомогою багатого задачного матеріалу учні можуть побачити все розмаїття застосування даного математичного терміна.
Можна помітити, що поняття відсотка, як математично тривіального, вводиться вже у молодших класах середньої ланки. З огляду на їх вікових особливостей і невисокою математичної грамотності учні не можуть ознайомитися з усім спектром завдань на відсотки. У VII - IX класах даний термін забувається, і найпростіші завдання шостого класу стають для школярів складними. Тому я вважаю за доцільне приділяти відсотками більше уваги, як це зроблено в навчальному комплекті під редакцією Г. В. Дорофеєва.
§ 2. Методичні рекомендації для проведення уроку
«Прості відсотки» за підручником «Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних »9 кл. під редакцією Г.В. Дорофєєва.
Даний урок проводиться в рамках теми «Арифметична і геометрична прогресії». Він має дві основні мети: по-перше, закріпити вивчені поняття, пов'язані з арифметичною прогресією, по-друге, познайомити учнів з новим шляхом вирішення завдань на відсотки. Слід зауважити, що в рамках IX класу відсотки зустрічалися тільки в темі «Рівняння і системи рівнянь» у змісті двох завдань. Отже, розглянемо виклад вищезгаданого уроку.
1. Повторення раніше вивченого матеріалу. Потрібно згадати з учнями:
· Визначення відсотка (Процент від деякої величини - одна сота частина даної величини).
· Як висловлюють відсотки десятковим дробом. Для цього слід запитати учнів загальне правило (Щоб висловити відсотки десятковим дробом, потрібно число, яке стоїть перед знаком відсотка, розділити на 100 або помножити на 0,01) і потім закріпити його при виконанні вправи типу № 636 а), в) (вправу виконати усно).
· Як збільшити (зменшити) величину а на р%. Згадати загальну формулу ( ), Виписати її на дошку, виконати вправу на цю тему (усно) № 637 (Тексти завдань наведені нижче).
2. Виклад нового матеріалу. На цьому етапі слід:
· Пояснити учням, що процентні обчислення доводиться виконувати в різних життєвих ситуаціях, часто - це грошові розрахунки;
· Розглянути мотиваційну завдання та етапи її вирішення.
Завдання: Пішохід перейшов вулицю в недозволеному місці, і міліціонер наклав на нього штраф в 30 р. Штраф необхідно сплатити до 5 березня, після чого за кожен прострочений день буде нараховуватися пеня (від латинського слова poena - покарання) у розмірі 2% від суми штрафу. Скільки доведеться заплатити пішоходу, якщо він прострочить сплату штрафу на 10 днів?
Для вирішення завдання потрібно показати зв'язок з поняттям арифметичній прогресії, визначити її перший член і різницю, оформити рішення задачі на дошці, попередньо згадавши формулу n-го члена арифметичної прогресії.
Приклад оформлення:
Розмір штрафу буде зростати в арифметичній прогресії, де
а 1 = 30; ; = 36 р.
Відповідь: 36 р.
· Підвести підсумок по завданню про те, що її рішення зводиться до знаходження одного з елементів арифметичній прогресії.
3. Закріплення викладеного матеріалу. У рамках цього етапу можна запропонувати учням розв'язати задачі № 638, № 640 (для їх вирішення викликати учнів до дошки), № 653 (учні вирішують самостійно, відповіді виписуються на дошку, при утрудненні розібрати рішення на дошці).
4. Підвести підсумок по уроку. Тут можна сказати учням, що в розглянутому класі завдань використовувалися відсотки, які автори підручника називають простими відсотками. Вирішення цих завдань зводиться до знаходження елементів арифметичній прогресії. На наступному уроці будуть розглянуті складні відсотки, і можна відповісти на питання, що автори підручника назвали простими відсотками, а що - складними.
5. Домашнє завдання № 639.
Завдання, запропоновані до уроку.
№ 636
Висловіть десятковим дробом:
а) 25%, 38%; 60%, 80%;
в) 0,3%; 0,1% та 0,5%; 0,02%.
№ 637
Нехай ціна альбому дорівнює а рублів. Яка буде його ціна, якщо:
а) її підвищать на 20%, на 3%, на 5,5%, на 0,7%;
б) її знизять на 65%, на 80%, на 2%, на 0,8%?
№ 638
Щомісяця сім'я Комарових платить за електроенергію 60 р. За кожен прострочений день стягується пеня в розмірі 0,5% з суми оплати.
а) Скільки заплатять Комарови за електроенергію, якщо вони прострочать оплату на 1 день; на n днів?
б) Через скільки днів їм доведеться заплатити за електроенергію її подвійну вартість?
Рішення:
Плата буде зростати в арифметичній прогресії, де
а 1 = 60
а)

б) n = 200
Відповідь: 200 днів.
№ 640
Ціна нового автомобіля 60 000 грн. При нормальних умовах експлуатації його продажна вартість з кожним роком зменшується на 8% від первісної ціни.
а) За скільки рублів зможе продати автомобіль його власник через 5 років експлуатації? через n років експлуатації?
б) Через скільки років продажна вартість автомобіля стане менше 15000 р.? Чому буде дорівнює ця вартість?
Рішення:
Ціна автомобіля буде зменшуватися в арифметичній прогресії.
a 1 = 60000
a)
б)
тому при п> 9,357 ціна буде меншою, значить п = 10

Відповідь: через 10 років його вартість буде 12000 р.
№ 653
При покупці квартири в споруджуваному будинку покупець уклав із будівельною фірмою наступний договір: відразу після укладення договору він виплачує 10% вартості квартири, а далі починає щомісяця виплачувати 1,5% від її вартості. Вартість купленої їм квартири в доларах США складає 36000.
а) Складіть формулу для обчислення суми, виплаченої покупцем квартири через n місяців після укладення договору. Обчисліть, скільки було виплачено через 1 рік, через 2 роки після укладення договору.
б) Складіть формулу для обчислення суми, яку залишилося заплатити через n місяців з початку дії договору, і знайдіть, скільки залишається заплатити через 1 рік, через 2 роки.
в) На скільки років розрахована виплата вартості квартири?
г) Проілюструйте графічно ситуації, описані у завданнях а) і б), відкладаючи по горизонтальній осі число років, протягом яких проводиться розрахунок, а по вертикальній осі - грошові суми.
Рішення:
Спочатку покупець заплатив р.
Потім борг за квартиру можна уявити вигляді арифметичної прогресії
а 1 = 36000-3600 = 32400
a)


б)


в)
місяців, тобто n = 5 років.
г) див. рис. 7
\ S
Рис. 7
№ 639
Один з акціонерів підприємства має 100 акцій, номінальна вартість кожної з яких 50 р. Щорічно йому виплачується із кожної акції дохід в 40% від її номінальної вартості.
а) Який дохід отримає акціонер за 1 рік; за 3 роки; за 10 років; за n років?
б) Через скільки років його загальний дохід перевершить подвоєну вартість акцій?
Рішення:
Дохід по акціях зростає в арифметичній прогресії.
а 1 = 0
a) a 2 = 2000
б)
n = 5
Відповідь: через 5 років.
§ 3. Методичні рекомендації до проведення факультативу «Завдання на відсотки» в IX класі.
Комплект Г. В. Дорофєєва не поширений в сучасній школі, тому завдання, що містяться в ньому, можна використовувати для проведення факультативу. У курсі алгебри VII - IX класу задач на відсотки не приділяється належної уваги. У той же час учні володіють різноманітними способами вирішення текстових завдань. Даний факультативний курс допоможе учням згадати поняття відсотка, вирішення основних завдань на відсотки, розширити кругозір учнів, підвищить інтерес до математики. На факультативному курсі рекомендується для вирішення деяких завдань використовувати калькулятор, щоб полегшити обчислювальну роботу і навчиться використовувати калькулятор в рамках процентних обчислень.
У факультативний курс можна включити два заняття.
На першому занятті потрібно згадати з учнями визначення відсотка, приклади вживання відсотків, історію виникнення поняття, як знайти один відсоток (кілька відсотків) від деякої величини.
На початку заняття можна запропонувати учням більш просту задачу.
Задача 1.1.
Куртка коштує 250 р. На весняній розпродажу її можна купити на 33% дешевше. Скільки можна заощадити, якщо купити куртку на розпродажі?
Можна розглянути рішення цього завдання двома способами, в яких відображаються різні методи знаходження р% від деякої величини.
1 спосіб: спочатку знайти 1%, а потім 33%.

2 спосіб: висловити 33% десятковим дробом і знайти 0,33 даної величини.

Також можна запропонувати учням завдання на переклад звичайних і десяткових дробів у відсотки, так як це часто викликає труднощі.
Завдання 1.2.
Дано квадрати (див. рис. 8), відповісти на запитання.
1. Яка частина квадрата заштрихована?
2. Висловіть заштрихованную частина десятковим дробом.
3. Скільки відсотків квадрата заштриховано?
4. Скільки відсотків квадрата не заштриховано?

рис. 8
Далі можна запропонувати учням завдання, для вирішення якої потрібно визначити, що взяти за 100%. Для більш ефективного засвоєння завдання можна використовувати малюнок.
Завдання 1.3.
У Росії 150 мільйонів жителів. 70% всіх жителів - міське населення. З них 23% - діти до 16 років. Скільки дітей до 16 років серед міського населення?
Для вирішення завдання можна привести малюнок (див. рис. 9). Потрібно обговорити з учнями дії рішення задачі.
1. Знайти число міського населення з числа всіх жителів Росії.
2. З числа міських жителів знайти число дітей до 16 років.
70%
23%
Діти до 16 років
Міське населення
Жителі Росії
100%

рис. 9
Малюнок (див. рис. 5) допоможе школярам вирішити задачу.

Відповідь: 24150000.
Після докладного обговорення завдання можна дати таке завдання для самостійного рішення.
Завдання 1.4.
У бібліотеці 98000 книг. Книжки російською мовою складають 78% всіх книг, з них 5% - підручники. Скільки підручників російською мовою в бібліотеці? (Відповідь: 3822 книги).
Також у рамках заняття можна включити завдання на порівняння. Пропонуючи ці завдання, можна попросити учнів висловити свої версії відповіді, а потім приступити до вирішення.
Завдання 1.5.
У магазин привезли 3 т картоплі і 900 кг помідорів. У перший день продали 30% всієї картоплі і 45% всіх помідор. Яких овочів продано більше і у скільки разів? (Відповідь: картоплі продали більше, ніж помідор в 2,2 рази).
Завдання 1.6.
Порівняти числа 61% від 83 і 83% від числа 61. (Відповідь: результати рівні.)
На завершення заняття учням можна запропонувати завдання на знаходження величини за відомим кількості відсотків.
Завдання 1.7.
У коробці лежали лампочки, 4 з них розбилися. Розбиті лампочки становили 2% від числа всіх лампочок. Скільки всього лампочок в коробці?
Для вирішення завдання можна використовувати алгебраїчний метод.
Нехай x лампочок в коробці. Тоді можна скласти рівняння:

Відповідь: 200 лампочок.
Потім слід зробити висновок про те, як знаходиться величина за відомим кількості його відсотків, і дати завдання на закріплення.
Завдання 1.8.
У школі 15 учнів навчаються на "5". Це становить 5% учнів школи. Скільки всього учнів у школі? (Відповідь: 300 учнів)
Домашнє завдання.
Завдання 1.
Дан квадрат клітин побудувати фігуру площа, якої становить:
а) 4%, б) 80%; в) 120% від площі квадрата.
Завдання 2.
З молока виходить 22% вершків, з вершків виходить 18% олії. Скільки масла виходить з 10 кг молока?
Завдання 3.
У першу годину роботи продавець продав 40 кг яблук. Це склало 16% від первинної кількості. Скільки кілограмів яблук було у продавця спочатку?
Друге заняття слід почати з перевірки домашнього завдання і лише після цього приступати до вирішення нових завдань.
На початку заняття можна розглянути задачу про збільшення величини на кілька відсотків і згадати метод її рішення.
Завдання 2.1.
Коли ціну товару збільшили на 30%, він став коштувати 52 р. Визначити первісну вартість товару. (Відповідь: 40 грн.).
Після докладного обговорення завдання 2.1. слід запропонувати школярам подібне завдання для самостійного рішення.
Завдання 2.2.
Ціна товару спочатку виросла на 20%, а потім знизилася на 15%, після чого товар став коштувати 102 р. Яка початкова вартість товару? (Відповідь: 100 грн.)
Після розгляду основних завдань на відсотки можна разом з учнями вивести загальні формули вирішення завдань.
Загальні формули:
1.
2. тоді 100%
3. А збільшити на Р%
4. А зменшити на Р%
де А, В - деякі величини.
Далі можна запропонувати вирішити завдання, використовуючи виведені формули. Але перш ніж приступити до вирішення завдання, варто запитати учнів про те, який, на їхню думку, буде результат.
Завдання 2.3.
Ціну товару збільшили на 30%, потім через деякий час зменшили на 30%. Порівняти первісну та нову ціну товару, якщо він коштував 80 р. (Відповідь: первісна ціна більше нової.)
Як правило, ще не вирішуючи завдання, учні роблять висновок, що результати рівні. Тому потрібно обов'язково включати завдання такого плану в факультативний курс, щоб показати «підступність» відсотків.
Потім можна розглянути задачі на розчини та сплави. Для того, щоб задачу більш зрозуміла, можна навести малюнок, що ілюструє умова. Малюнок найкраще робити, обговорюючи його з учнями.
Завдання 2.4.
Скільки грамів води треба додати до 80 г розчину, що містить 15% солі, щоб отримати 12%-ний розчин?
80 г
сіль
H 2 O
15%
(80 + x) г
сіль
H 2 O
12%
х р
H 2 O



Складання таких схем допоможе дітям розібратися в умові і швидше скласти рівняння до задачі.

Можна запропонувати учням скласти інше рівняння, порівнюючи масу води, і зробити висновок про те, яке рівняння простіше.
Решта завдання школярі вирішують самостійно. На дошці можна тільки складати малюнок і записувати рівняння.
Завдання 2.5.
Скільки грамів 25%-го цукрового сиропу треба додати до 200 г води, щоб концентрація цукру в розчині була 5%. (Ця задача аналогічна задачі 2.4.)
Задача 2.6.
x р
сіль
H 2 O
30%
70%
сіль
H 2 O
12%
88%
80 г
сіль
H 2 O
20%
80%
(Х +80) р
Скільки грамів 30%-го розчину солі треба додати до 80 г 12%-го розчину цієї ж солі, щоб отримати 20%-ний розчин.
Завдання 2.7.
Є брухт стали двох сортів, причому перший сорт містить 10% нікелю, а другий 30%. На скільки тонн сталі більше потрібно взяти другого сорту, ніж першого, щоб одержати 200 т сталі з вмістом нікелю 25%?
нікель
10%
х т
нікель
30%
у т
нікель
25%
200 т
Для вирішення цього завдання краще скласти систему рівнянь.

Домашнє завдання.
Завдання 1.
За два художніх альбоми заплатили 172 р. Один альбом на 15% дорожче, ніж інший. Визначити ціну кожного альбому.
Завдання 2.
Скільки грамів води треба додати до 180 г сиропу, концентрація цукру в якому 25%, щоб отримати сироп з концентрацією цукру 20%?
Завдання 3.
Два злитку, один з яких містить 35% срібла, а інший - 65%, сплавляють і отримують злиток масою 20 г, що містить 47% срібла. Яка маса кожного з злитків?
Завдання 4.
Є три посудини, в яких міститься, відповідно, 10, 30 і 5 літрів розчинів соляної кислоти. Процентний вміст кислоти в другому посудині на 10% більше, ніж у першому, а вміст кислоти в третьому посудині дорівнює 40%. Половину розчину з другого судини перелили в перший, а іншу половину - в третій. Після цього процентний вміст кислоти в першому і третьому судинах виявилося однаковим. Скільки відсотків кислоти містив на початку перший розчин?

§ 4. Дослідне викладання
Дослідне викладання проводилося в IX класі Богородської середньої школи. Перед його проведенням була вивчена методична та математична література, розроблена методика проведення факультативу. Було проведено два заняття.
Слід зазначити, що в даному класі викладання математики ведеться за підручником під ред. С.А. Теляковського, а V - VI класі - [19], [21]. Тому в якості основного джерела задачного матеріалу я взяла навчальний комплект з математики під редакцією Г.В. Дорофєєва.
На першому занятті було повторення поняття відсотка і найпростіших задачі типу К1, К2. Треба сказати, що при цьому виникли деякі труднощі. По-перше, діти не могли самостійно сформулювати визначення відсотка, довелося наводити приклади вживання цього поняття (наприклад, в Росії на кожні 100 чоловік припадатиме 12, які мають вищу освіту, це означає, що в Росії 12% населення має вищу освіту) і самої його формулювати. По-друге, учням було важко при вирішенні задач-малюнків (наприклад, дано квадрат, скільки відсотків його площі заштриховано), тому використовувалися навідні запитання:
1. Яка частина квадрата заштрихована? (Це питання викликав особливі труднощі)
2. Висловіть заштрихованную частина десятковим дробом. (Переклад звичайних дробів у десяткові без калькулятора здійснювався досить довго)
3. Скільки відсотків квадрата заштриховано? (Переклад десяткових дробів у відсотки діти проводили швидко)
Заняття побудовано таким чином, що спочатку йшло обговорення рішення задачі через навідні запитання, а потім подібне завдання діти вирішують самостійно. І, треба сказати, така методика була досить ефективна. Завдання для самостійного рішення і домашнє завдання учні зробили без особливих труднощів.
На другому занятті були розібрані завдання типу К3, К4 і виведені загальні формули знаходження відсотків. У ході заняття можна було зробити висновок про те, що ці хлопці володіють технікою узагальнень, тому що після рішення приватних завдань загальні формули були виведені ними без праці. Подальше час заняття було присвячено завданням на концентрацію. Схожі завдання хлопці вивчають в хімії і вони, як правило, викликають труднощі. Для більш ефективного засвоєння вводилася схема умови. Така схема допомагає визначити, що краще взяти за змінну, і скласти рівняння до задачі.
На цьому занятті учні могли користуватися калькулятором. Але виявилося, що вони не вміють раціонально рахувати на калькуляторі. Тому потрібно було пояснювати раціональні прийоми рахунку.
Великий інтерес в учнів викликала завдання 2.3 (Ціну товару збільшили на 30%, потім через деякий час зменшили на 30%. Порівняти первісну та нову ціну товару, якщо він коштував 80 грн.). Більшість школярів вважали, що первісна ціна товару і нова ціна будуть рівні. Деякі вважали, що ціна зміниться, але не могли сказати, чому. Після рішення даного завдання, спільними зусиллями було знайдено відповідь на питання про те, чому ж ціна змінюється.
Перевірка домашнього завдання показала, що матеріал, вивчений на цих двох заняттях, був учнями засвоєний.
Таким чином, я зробила висновок, що завдання на відсотки треба розглядати хоча б у рамках факультативного курсу для сильних учнів. Тому що практика ЄДІ показує, що більшість дітей не справляється з завданнями такого типу.


ВИСНОВОК.
Дане дослідження проводилося з метою розробки методичних рекомендацій щодо вивчення теми «Відсотки» за підручниками Г.В. Дорофєєва. Я вважаю, що ця мета досягнута, тому що мною були розроблені загальні методичні рекомендації до вивчення теми, методичні рекомендації до проведення уроку і факультативу для IX класу.
Основні завдання, які ставилися перед початком дослідження, були виконані. У роботі розглянуті особливості навчального комплекту з математики Г.В Дорофєєва. Проведено аналіз викладу теми «Відсотки» підручників Г. В. Дорофеєва і інших підручниках, рекомендованих Міністерством Освіти Росії на 2003/2004 навчальний рік. За розробленим методичним рекомендаціям було здійснено дослідне викладання. Також була вивчена історія виникнення поняття відсоток і систематизовані всі види завдань на відсотки
Гіпотеза, висунута на початку роботи, підтвердилася. Дійсно, поняття відсотка, як математично тривіального варто вводити в V - VI класах, але різні типи завдань на відсотки слід розглядати і в курсі алгебри VII - IX класу. Використання символічної наочності робить засвоєння поняття відсотка і вміння розв'язувати задачі на відсотки більш ефективним.
Таким чином, можна зробити висновок, що темі «Відсотки» слід приділяти більше уваги, ніж це зроблено в сучасній школі. Не у всіх школах є можливість перейти на комплект Г.В. Дорофєєва, але його можна використовувати як підручник для факультативного курсу.


СПИСОК ЛІТЕРАРУРИ
1. 3000 конкурсних завдань з математики. - М.: Рольф, Айріс-прес, 1998.
2. Арифметика: Учеб. для 5 кл. ощеобразоват. установ / С.М. Нікольський, М.К. Потапов, М.М. Решетніков, А.В. Шовкун. - М.: Просвещение, 2000.
3. Арифметика: Учеб. для 6 кл. ощеобразоват. установ / С.М. Нікольський, М.К. Потапов, М.М. Решетніков, А.В. Шовкун. - М.: Просвещение, 2000.
4. Баранов О.О. Задачі на відсотки як проблема норми слововживання / / Математика в школі. - 2003. - № 5. - С. 50 - 59.
5. Для тих, хто працює за підручниками Г.В. Дорофеєва і І.Ф. Шаригіна / / Математика. - 1999. - № 15. - С. 2-8.
6. Дорофєєв Г.В., Кузнєцова Л.В., Мінаєва С.С., Суворова С.Б. Вивчення відсотків в основній школі / / Математика в школі. - 2002. - № 1 - с. 19 -24.
7. Зубарєва І.І. Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: Учеб. для загаль. установ - М.: Мнемозина, 2003.
8. Зубарєва І.І. Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Учеб. для загаль. установ - М.: Мнемозина, 2002.
9. Козлова Г.М. З досвіду викладання за навчальним комплекту «Математика 5» / / Математика в школі. - 2002. - № 3. - С. 49 - 52.
10. Кузнєцова Л.В. та ін Методичні матеріали до нового підручника для IX класу / / Математика в школі. - 2000. - № 6. - С. 27-33.
11. Кузнєцова Л.В. та ін Методичні матеріали до нового підручника / / Математика в школі. - 1997. - № 3. - С. 34 - 39.
12. Кузнєцова Л.В. та ін Тематичний і підсумковий контроль у VII - IX класах за підручниками за редакцією Г.В. Дорофєєва / / Математика в школі. - 2002. - № 5. - С. 17-25.
13. Кузнєцова Л.В. та ін Тематичний і підсумковий контроль у VII - IX класах за підручниками за редакцією Г.В. Дорофєєва / / Математика в школі. - 2002. - № 9. - С. 33-38.
14. Лейкина Т. Кілька зауважень по роботі з підручником «Математика 7» під ред. Г.В. Дорофєєва / / Математика. - 1999. - № 38. - С. 23-25, 27.
15. Математика. 6 клас: Учеб. для загальноосвітніх навч. закладів / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова та ін; під ред. Г.В. Дорофєєва, І.Ф. Шаригіна. - М.: Дрофа, 1998.
16. Математика. Алгебра. Опції. 9 клас: Учеб. для загальноосвітніх навч. закладів / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова та ін; під ред. Г.В. Дорофєєва. - М.: Дрофа, 2000.
17. Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних. 8 клас: Учеб. для загальноосвітніх навч. закладів / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова та ін; під ред. Г.В. Дорофєєва. - М.: Дрофа, 1999.
18. Математика. Арифметика. Алгебра. Аналіз даних. 7 клас: Учеб. для загальноосвітніх навч. закладів / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова та ін; під ред. Г.В. Дорофєєва. - М.: Дрофа, 1997.
19. Математика: Учеб. для 5 кл. середовищ. шк. / Н.Я. Віленкін, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. В.І. Жохів. - М.: Просвещение, 1992.
20. Математика: Учеб. для 5 класу загальноосвітніх навч. закладів / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова та ін; під ред. Г.В. Дорофєєва, І.Ф. Шаригіна.
21. Математика: Учеб. для 6 кл. загаль. установ / Н.Я. Віленкін, В.І. Жохів, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2001.
22. Нурк Е.Р., Тельгмаа А. Е. Математика. 5 кл.: Учеб. для загаль. Учеб. закладів. - М.: Дрофа, 1999.
23. Нурк Е.Р., Тельгмаа А. Е. Математика.: Учеб. для 6 кл. середовищ. шк. - М.: Просвещение, 1991.
24. Перші уроки з навчального комплекту «Математика 5-8» під ред. Г.В. Дорофеєва і І.Ф. Шаригіна / / Математика. - 1999. - № 27. - С. 9-14.
25. Поляков С. Навіщо потрібна математика тим, кому вона не потрібна? / / Шкільна огляд. - 2002. - № 4. - С. 41 - 43.
26. Практикум з методики викладання математики в середній школі: Учеб. посібник для студентів фіз.-мат. пед. ін-тів / Т.В. Автономова, С.Б. Верченко, В.А. Гусєв та ін; Під ред. В. І. Мішина .- М.: Просвещение, 1993.
27. Програми для загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв: Математика. 5-11 кл. / Укл. Г.М. Кузнєцова, Н.Г. Міндюк. - М.: Дрофа, 2002.
28. Самойлик Г. Історія математики на уроках. Відсотки / / Математика. - 2002 - № 36 - с. 3.
29. Суворова С.Б., Кузнєцова Л.В., Мінаєв С.С. Методичні матеріали до нового підручника / / Математика в школі. - 1998. - № 4. - С. 28 - 37.
30. Шовкун О.В. Ще раз про вивчення відсотків / / Математика в школі. - 1993. - № 1. - С.20 - 22.
31. Шовкун О.В. Від реформи до реформи ... Спроба огляду шкільних підручників з математики / / Шкільна огляд. - 2002. - № 4. - С. 33 -40.
32. Я пізнаю світ: Дитяча енциклопедія: Математика / Укл. А.П. Савін, В.В. Станц, О.Ю. Котова: За заг. ред. О.Г. Хінн - М.: ТОВ «Фірма« Видавництво АСТ »», 1999.


[1] Г.В. Дорофєєв - завідувач відділом математичної освіти Інституту загальної та середньої освіти Російської академії наук, професор, родоначальник літератури для абітурієнтів.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Диплом
174.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Навчання школярів рішенню складових завдань
Методика навчання рішенню комбінаторних завдань
Вивчення методу координат у курсі геометрії основної школи
Методика навчання рішенню сюжетних задач в курсі математики 5-6 класів
Навчання рішенню завдань з розділу Основи алгоритмізації та програмування
Основні принципи побудови методики вивчення стохастичної лінії в курсі математики основної школи
Рішення задач на побудову в курсі геометрії основної школи як засіб розвитку логічного мислення
Розвиток функціональної лінії в курсі алгебри 7-9 класів на прикладі підручників з алгебри під ред
Розвиток функціональної лінії в курсі алгебри 9 липня класів на прикладі підручників з алгебри під ред
© Усі права захищені
написати до нас