Міністерство освіти Російської Федерації
Саратовський державний технічний університет
Інститут бізнесу та ділового адміністрування
Кафедра: ММЛ
Курсова робота
з дисципліни:
"Математичні методи в теорії прийняття рішень"
Виконав:
студент 4 курсу З / Про
47 А групи
Кулахметов Д.А.
Перевірив:
Розен В.В.
Саратов 2006
Зміст
Введення
Прийняття рішення за багатьма критеріями (багатокритеріальна оптимізація)
Облік невизначених пасивних умов
Висновок
Список використаної літератури
Мета цієї курсової роботи буде не тільки полягати в теоретичному доведенні, але і будуть зроблені реальні практичні розрахунки та обчислення, які ми застосовуємо в підприємницькій справі. У більшості теоретичних завданнях мова йде про постановки та методи розв'язання задач, що не містять невизначеностей. Однак, як правило, більшість реальних інженерних завдань містить у тому чи іншому вигляді невизначеність. Можна навіть стверджувати, що вирішення завдань з урахуванням різного виду невизначеностей є загальним випадком, а прийняття рішень без їх обліку - приватним. Однак, через концептуальних і методичних труднощів в даний час не існує єдиного методологічного підходу до вирішення таких завдань. Тим не менш, накопичено достатньо велика кількість методів формалізації постановки і прийняття рішень з урахуванням невизначеностей. При використанні цих методів слід мати на увазі, що всі вони носять рекомендаційний характер і вибір остаточного рішення завжди залишається за людиною (ОПР). Ми розглянемо дію теорії математичних рішень, доцільність застосування критеріїв Вальда, Лапласа, Гурвіца, Севіджа, для кожного випадку, навчимося діяти практично розумно, знайдемо їх плюси і мінуси, а також буде доведена суть всієї роботи і ефективність застосування їх в різних ситуаціях. Для нас це питання є "архіважливим", тому що стрімко розвиває російський ринок не прощає помилок і ми зобов'язані довести головну суть застосування математики на практиці.
Якщо результати оцінюються за m критеріям, де m> 1, то така задача прийняття рішення називається багатокритеріальної.
Основна складність логічного аналізу багатокритеріальних завдань: ефект непорівнянність результатів.
Непорівнянність результатів є формою невизначеності, яка пов'язана з прагненням приймає рішення "досягти суперечливих цілей".
Математична модель ЗПР при багатьох критеріях може бути представлена у вигляді (D; f1, ..., fm), де D - деяка множина допустимих результатів, f1 - числова функція, задана на безлічі D, при цьому f1 (a) - оцінка результату a по j - му критерію.
Критерій fj називається позитивним, якщо приймає рішення прагне до його збільшення, і негативним, якщо він прагне до його зменшення.
У багатокритеріальної ЗПР з позитивними критеріями мета приймає рішення: отримання результату, що має як можна більш високі оцінки за кожним критерієм.
Для будь-якого результату a є D набір його оцінок за всіма критеріями, тобто (F1 (a), ..., fm (a)) є векторна оцінка результату a. Векторна оцінка результату містить повну інформацію про цінність цього результату для приймаючого рішення і порівняння будь-яких результатів замінюється порівнянням їх векторних оцінок.
Основне відношення, за яким здійснюється порівняння векторних оцінок - це відношення домінування по Парето.
Визначення: кажуть, що векторна оцінка y = (y1, ..., ym) домінує по Парето векторну оцінку yґ = (y1ґ, ..., ymґ), якщо кожного j = 1, ..., m виконується нерівність y ≥ yґ, причому, по крайней мірою, для одного індексу нерівність повинна бути строгим.
Визначення: векторна оцінка y * називається Парето-оптимальною в деякій множині векторних оцінок, якщо вона є максимальним елементом цієї множини щодо Парето-домінування (тобто якщо в цій множині не існує такої векторної оцінки, яка домінує по Парето векторну оцінку y * ).
Перенесемо тепер ці поняття на результати.
Визначення: кажуть, що результат a1 домінує по Парето результат a2, якщо векторна оцінка результату a1 домінує векторну оцінку результату a2.
Визначення: результат a * є D називається Парето-оптимальним виходом в множині D, якщо він не домінує за Парето ніяким іншим результатом їх безлічі D (тобто якщо векторна оцінка результату a * є Парето-оптимальною в множині векторних оцінок).
Парето-оптимальність результату a * означає, що він не може бути поліпшений ні по одному з критеріїв без погіршення по якому-небудь іншому критерію.
Перейдемо до проблеми оптимальності для багатокритеріальних ЗПР. Сформулювати єдиний принцип для класу таких завдань не представляється можливим, тому що поняття векторного оптимуму не визначено. Зазначимо спочатку необхідна умова оптимальності: якщо результат a * є D не є Парето-оптимальним. Він не може "претендувати на роль" оптимального результату. Однак у типових випадках Парето-оптимальних результатів може бути кілька.
Загальна методика дослідження ЗПР на основі математичного моделювання може бути реалізована в рамках одного з наступних підходів.
Перший підхід. Для заданої багатокритеріальної ЗПР знаходиться безліч Парето - оптимальних результатів. А вибір конкретного оптимального результату з цієї множини надається приймає рішення.
Другий підхід. Проводиться звуження множини Парето-оптимальних результатів за допомогою формальних процедур, що полегшує остаточний вибір результату для прийняття рішення.
Розглянемо деякі простейщіе способи звуження Парето-оптимального безлічі.
Вказівка нижніх меж критеріїв.
Додаткова інформація про оптимальний кінець a * є D в цьому випадку має такий вигляд fj (a *) ≥ yj j = 1, ..., m
При вказівці нижніх меж критеріїв оптимальним може вважатися тільки такий Парето-оптимальний результат, для якого оцінка по кожному з критеріїв j = 1, ..., m не нижче призначеної оцінки fj. Таким чином, відбувається звуження Парето-оптимального безлічі за рахунок умови. Остаточний вибір Парето-оптимального результату виробляється з звуженого Парето-оптимального безлічі приймає рішення.
Основний недолік полягає в тому, що оптимальне рішення стає суб'єктивним, тому що залежить від величини призначених кордонів критеріїв і від остаточного вибору, що здійснюється приймає рішення.
Субоптимизации роблять у такий спосіб: виділяють один із критеріїв, а за всіма іншими критеріями призначають нижні межі. Оптимальним при цьому вважається результат, максимізує виділений критерій на безлічі результатів, оцінки яких за іншими критеріями не нижче призначених.
Всякі завдання прийняття рішення є:
Альтернативи (варіанти, плани, допустимі альтернативи)
Виходячи (Результати)
Оптимальні рішення (Найкращі рішення)
Математична модель ЗПР включає в себе формальний опис цих компонентів.
X - множина допустимих альтернатив
A - безліч можливих результатів
У математичній моделі ЗПР: а) реалізаційна структура
б) цільова структура.
Реалізаційна структура встановлює зв'язок між альтернативами і результатами. Слід мати на увазі, що в загальному випадку вибір тієї чи іншої альтернативи не визначає отримує результат: він залежить також від інших факторів. Найчастіше зв'язок між альтернативою і результатом встановлюється за допомогою середовища і введенням додаткової компоненти Y - множина всіх станах середовища. Середовище це те, що при вибраній альтернативі визначає однозначно результат.
Визначення: Функція реалізація це відображення кожної пари виду (x, y) єX, Y.
де x альтернатива (xєX)
y стан середовища (yєY)
відображення кожного виду ставить у відповідності її результат.
(X, y) → a
За характером організаційної структури всі завдання діляться на три види:
1. Прийняття рішень в умовах визначеності характеризується тим, що приймаючий рішення знає стан середовища.
2. Прийняття рішень в умовах невизначеності характеризується тим, що приймаючий рішення не знає стан середовища, але знає безліч всіх середовищ.
3. Прийняття рішень несе інформацію про ймовірні появ тих чи інших станів середовища, тоді говорять що прийняття рішень відбувається в умовах ризику.
Компонента ЗПР.
Цільова структура ЗПР дає оцінку результатів з точки зору приймає рішення. Ця оцінка представляє функція: φ: A → ΙR кожному результату ставиться число відповідно оцінки з точки зору приймає рішення. В економіці в якості оцінки виступає прибуток, дохід, але не завжди. Час виконання якого-небудь проекту, частка ринку завоювання фірмою.
Компонента φ · F є функція яка кожній парі виду (x, y) ставить у відповідність число-оцінку результату F (x, y).
Компонента діє послідовно!
φ · F (x, y) = φ (F (x, y)) - є число, яке є оцінкою ситуації (x, y).
Прийняття рішень в умовах визначеності.
При прийняття рішень в умовах визначеності стан середовища відомо, тому ми його виключаємо з питання. Оціночна функція задається відразу на безлічі їх допустимих альтернатив і являє собою числове значення: f: x → R
f (x) Оцінка альтернативи x (з точки зору приймає рішення)
оцінка альтернативи є певний критерій, який може бути позитивним і негативним.
Позитивний критерій такий, яким ми хочемо збільшити, а негативний навпаки, зменшити. Принцип оптимальності алтернативою називається оптимальною якщо вона максимізує позитивний критерій (або мімінізірует негативний).
x * єx ↔ f (x *) = maxf (x) позитивний критерій
xєX
f (x *) = minf (x) негативний критерій
xєX
Відповідно до критерію Вальда як оптимальної вибирається стратегія, гарантує виграш не менший, ніж "нижня ціна гри з природою":
Правило вибору рішення відповідно до критерію Вальда можна інтерпретувати в такий спосіб: матриця рішень [W ir] доповнюється ще одним стовпцем з найменших результатів W ir кожного рядка. Вибрати належить той варіант, у рядку якого стоїть найбільше значення W ir цього стовпця.
Вибране таким чином рішення повністю виключає ризик. Це означає, що приймає рішення не може зіткнутися з гіршим результатом, ніж той, на який він орієнтується. Які б умови V j не зустрілися, відповідний результат не може бути нижчим за W. Це властивість змушує вважати критерій Вальда одним з фундаментальних. Тому в технічних завданнях він застосовується найчастіше як свідомо, так і несвідомо. Однак у практичних ситуаціях зайвий песимізм цього критерію може виявитися дуже невигідним.
Застосування цього критерію може бути виправдано, якщо ситуація, в якій приймається рішення, характеризується наступними обставинами:
про ймовірність появи стану V j нічого не відомо;
з появою стану V j необхідно рахуватися;
реалізується лише мала кількість рішень;
не допускається ніякої ризик.
Критерій Байєса-Лапласа на відміну від критерію Вальда, враховує кожне з можливих наслідків всіх варіантів рішень:
Відповідне правило вибору можна інтерпретувати в такий спосіб: матриця рішень [W ij] доповнюється ще одним стовпцем, що містить математичне сподівання значень кожної з рядків. Вибирається той варіант, у рядках якого стоїть найбільше значення W ir цього стовпця.
Критерій Байєса-Лапласа пред'являє до ситуації, в якій приймається рішення, такі вимоги:
ймовірність появи стану V j відома і не залежить від часу;
прийняте рішення теоретично допускає нескінченно велика кількість реалізацій;
допускається деякий ризик при малих числах реалізацій.
Відповідно до критерію Севіджа як оптимальної вибирається така стратегія, за якої величина ризику приймає найменше значення в самій неблагополучній ситуації:
Тут величину W можна трактувати як максимальний додатковий виграш, який досягається, якщо в стані V j замість варіанту U i вибрати інший, оптимальний для цього зовнішнього стану, варіант.
Відповідне критерієм Севіджа правило вибору наступне: кожен елемент матриці рішень [W ij] віднімається від найбільшого результату max W ij відповідного стовпця. Різниці утворюють матрицю залишків. Ця матриця поповнюється стовпцем найбільших різниць W ir. Вибирається той варіант, у рядку якого стоїть найменше значення.
Згідно з критерієм Гурвіца вибирається така стратегія, яка займає деяке проміжне положення між крайнім песимізмом і оптимізмом:
де r - коефіцієнт песимізму, обираний в інтервалі [0,1].
Правило вибору згідно з цим критерієм наступне: матриця рішень [W ij] доповнюється стовпцем, що містить середні зважені найменшого та найбільшого результатів для кожного рядка. Вибирається той варіант, у рядках якого стоять найбільші елементи W ir цього стовпця.
При r = 1 критерій Гурвіца перетворюється на критерій Вальда (песиміста), а при r = 0 - в критерій азартного гравця. Звідси ясно, яке значення має ваговій множник r. У технічних додатках правильно вибрати цей множник буває так само важко, як правильно вибрати критерій. Тому найчастіше ваговій множник r = 0.5 приймається як середньої точки зору.
Критерій Гурвіца пред'являє до ситуації, в якій приймається рішення, такі вимоги:
про ймовірність появи стану V j нічого не відомо;
з появою стану V j необхідно рахуватися;
реалізується лише мала кількість рішень;
допускається деякий ризик.
Критерій Ходжа-Лемана базується одночасно на критеріях Вальда і Байеса-Лапласа:
Правило вибору, відповідне цим критерієм, формулюється наступним чином: матриця рішень [W ij] доповнюється стовпцем, складеним з середніх зважених (з постійними вагами) математичного сподівання і найменшого результату кожного рядка. Відбирається той варіант рішення, в рядку якого стоїть найбільше значення цього стовпця.
При z = 1 критерій перетворюється на критерій Байеса-Лапласа, а при z = 0 перетворюється на критерій Вальда. Таким чином, вибір параметра z схильний до впливу суб'єктивізму. Крім того, поза увагою залишається і число реалізацій. Тому цей критерій рідко застосовується при прийнятті технічних рішень.
Критерій Ходжа-Лемана пред'являє до ситуації, в якій приймається рішення, такі вимоги:
про ймовірність появи стану V j нічого не відомо, але деякі припущення про розподіл ймовірностей можливі;
прийняте рішення теоретично допускає нескінченно велика кількість реалізацій;
допускається деякий ризик при малих числах реалізацій.
Загальні рекомендацій з вибору того чи іншого критерію дати важко. Проте зазначимо таке: якщо в окремих ситуаціях не допустимо навіть мінімальний ризик, то слід застосовувати критерій Вальда; якщо певний ризик цілком прийнятний, то можна скористатися критерієм Севіджа. Можна рекомендувати одночасно застосовувати по черзі різні критерії. Після цього серед декількох варіантів, відібраних таким чином як оптимальних, доводиться вольовим рішенням виділяти певну остаточне рішення.
Такий підхід дозволяє, по-перше, краще проникнути в усі внутрішні зв'язки проблеми прийняття рішень і, по-друге, послаблює вплив
Саратовський державний технічний університет
Інститут бізнесу та ділового адміністрування
Кафедра: ММЛ
Курсова робота
з дисципліни:
"Математичні методи в теорії прийняття рішень"
Виконав:
студент 4 курсу З / Про
47 А групи
Кулахметов Д.А.
Перевірив:
Розен В.В.
Саратов 2006
Зміст
Введення
Прийняття рішення за багатьма критеріями (багатокритеріальна оптимізація)
Облік невизначених пасивних умов
Висновок
Список використаної літератури
Введення
В даний час ми все частіше починаємо ставити собі запитання: "Як застосувати математичні методи розрахунку в бізнесі, підприємництві, виробництві, та й просто в житті"? Як домогтися "теоретичної підкованості" у вирішенні багатьох виникають перед нами завдань? Як розрахувати відсоток заважає справі конкуренції і обчислити частку успіху в наших, суперначінаніях, коли, деколи на карті стоїть благополуччя всієї родини? Як знизити ймовірні промахи до мінімуму? Виявляється, насправді, зробити це досить просто.Мета цієї курсової роботи буде не тільки полягати в теоретичному доведенні, але і будуть зроблені реальні практичні розрахунки та обчислення, які ми застосовуємо в підприємницькій справі. У більшості теоретичних завданнях мова йде про постановки та методи розв'язання задач, що не містять невизначеностей. Однак, як правило, більшість реальних інженерних завдань містить у тому чи іншому вигляді невизначеність. Можна навіть стверджувати, що вирішення завдань з урахуванням різного виду невизначеностей є загальним випадком, а прийняття рішень без їх обліку - приватним. Однак, через концептуальних і методичних труднощів в даний час не існує єдиного методологічного підходу до вирішення таких завдань. Тим не менш, накопичено достатньо велика кількість методів формалізації постановки і прийняття рішень з урахуванням невизначеностей. При використанні цих методів слід мати на увазі, що всі вони носять рекомендаційний характер і вибір остаточного рішення завжди залишається за людиною (ОПР). Ми розглянемо дію теорії математичних рішень, доцільність застосування критеріїв Вальда, Лапласа, Гурвіца, Севіджа, для кожного випадку, навчимося діяти практично розумно, знайдемо їх плюси і мінуси, а також буде доведена суть всієї роботи і ефективність застосування їх в різних ситуаціях. Для нас це питання є "архіважливим", тому що стрімко розвиває російський ринок не прощає помилок і ми зобов'язані довести головну суть застосування математики на практиці.
Прийняття рішення за багатьма критеріями (багатокритеріальна оптимізація)
В економічних задачах основними критеріями служать економічна ефективність і вартість при цьому кожний з цих критеріїв може бути поділені на більш приватні критерії.Якщо результати оцінюються за m критеріям, де m> 1, то така задача прийняття рішення називається багатокритеріальної.
Основна складність логічного аналізу багатокритеріальних завдань: ефект непорівнянність результатів.
Непорівнянність результатів є формою невизначеності, яка пов'язана з прагненням приймає рішення "досягти суперечливих цілей".
Математична модель ЗПР при багатьох критеріях може бути представлена у вигляді (D; f1, ..., fm), де D - деяка множина допустимих результатів, f1 - числова функція, задана на безлічі D, при цьому f1 (a) - оцінка результату a по j - му критерію.
Критерій fj називається позитивним, якщо приймає рішення прагне до його збільшення, і негативним, якщо він прагне до його зменшення.
У багатокритеріальної ЗПР з позитивними критеріями мета приймає рішення: отримання результату, що має як можна більш високі оцінки за кожним критерієм.
Для будь-якого результату a є D набір його оцінок за всіма критеріями, тобто (F1 (a), ..., fm (a)) є векторна оцінка результату a. Векторна оцінка результату містить повну інформацію про цінність цього результату для приймаючого рішення і порівняння будь-яких результатів замінюється порівнянням їх векторних оцінок.
Основне відношення, за яким здійснюється порівняння векторних оцінок - це відношення домінування по Парето.
Визначення: кажуть, що векторна оцінка y = (y1, ..., ym) домінує по Парето векторну оцінку yґ = (y1ґ, ..., ymґ), якщо кожного j = 1, ..., m виконується нерівність y ≥ yґ, причому, по крайней мірою, для одного індексу нерівність повинна бути строгим.
Визначення: векторна оцінка y * називається Парето-оптимальною в деякій множині векторних оцінок, якщо вона є максимальним елементом цієї множини щодо Парето-домінування (тобто якщо в цій множині не існує такої векторної оцінки, яка домінує по Парето векторну оцінку y * ).
Перенесемо тепер ці поняття на результати.
Визначення: кажуть, що результат a1 домінує по Парето результат a2, якщо векторна оцінка результату a1 домінує векторну оцінку результату a2.
Визначення: результат a * є D називається Парето-оптимальним виходом в множині D, якщо він не домінує за Парето ніяким іншим результатом їх безлічі D (тобто якщо векторна оцінка результату a * є Парето-оптимальною в множині векторних оцінок).
Парето-оптимальність результату a * означає, що він не може бути поліпшений ні по одному з критеріїв без погіршення по якому-небудь іншому критерію.
Перейдемо до проблеми оптимальності для багатокритеріальних ЗПР. Сформулювати єдиний принцип для класу таких завдань не представляється можливим, тому що поняття векторного оптимуму не визначено. Зазначимо спочатку необхідна умова оптимальності: якщо результат a * є D не є Парето-оптимальним. Він не може "претендувати на роль" оптимального результату. Однак у типових випадках Парето-оптимальних результатів може бути кілька.
Загальна методика дослідження ЗПР на основі математичного моделювання може бути реалізована в рамках одного з наступних підходів.
Перший підхід. Для заданої багатокритеріальної ЗПР знаходиться безліч Парето - оптимальних результатів. А вибір конкретного оптимального результату з цієї множини надається приймає рішення.
Другий підхід. Проводиться звуження множини Парето-оптимальних результатів за допомогою формальних процедур, що полегшує остаточний вибір результату для прийняття рішення.
Розглянемо деякі простейщіе способи звуження Парето-оптимального безлічі.
Вказівка нижніх меж критеріїв.
Додаткова інформація про оптимальний кінець a * є D в цьому випадку має такий вигляд fj (a *) ≥ yj j = 1, ..., m
При вказівці нижніх меж критеріїв оптимальним може вважатися тільки такий Парето-оптимальний результат, для якого оцінка по кожному з критеріїв j = 1, ..., m не нижче призначеної оцінки fj. Таким чином, відбувається звуження Парето-оптимального безлічі за рахунок умови. Остаточний вибір Парето-оптимального результату виробляється з звуженого Парето-оптимального безлічі приймає рішення.
Основний недолік полягає в тому, що оптимальне рішення стає суб'єктивним, тому що залежить від величини призначених кордонів критеріїв і від остаточного вибору, що здійснюється приймає рішення.
Субоптимизации роблять у такий спосіб: виділяють один із критеріїв, а за всіма іншими критеріями призначають нижні межі. Оптимальним при цьому вважається результат, максимізує виділений критерій на безлічі результатів, оцінки яких за іншими критеріями не нижче призначених.
Всякі завдання прийняття рішення є:
Альтернативи (варіанти, плани, допустимі альтернативи)
Виходячи (Результати)
Оптимальні рішення (Найкращі рішення)
Математична модель ЗПР включає в себе формальний опис цих компонентів.
X - множина допустимих альтернатив
A - безліч можливих результатів
У математичній моделі ЗПР: а) реалізаційна структура
б) цільова структура.
Реалізаційна структура встановлює зв'язок між альтернативами і результатами. Слід мати на увазі, що в загальному випадку вибір тієї чи іншої альтернативи не визначає отримує результат: він залежить також від інших факторів. Найчастіше зв'язок між альтернативою і результатом встановлюється за допомогою середовища і введенням додаткової компоненти Y - множина всіх станах середовища. Середовище це те, що при вибраній альтернативі визначає однозначно результат.
Визначення: Функція реалізація це відображення кожної пари виду (x, y) єX, Y.
де x альтернатива (xєX)
y стан середовища (yєY)
відображення кожного виду ставить у відповідності її результат.
(X, y) → a
За характером організаційної структури всі завдання діляться на три види:
1. Прийняття рішень в умовах визначеності характеризується тим, що приймаючий рішення знає стан середовища.
2. Прийняття рішень в умовах невизначеності характеризується тим, що приймаючий рішення не знає стан середовища, але знає безліч всіх середовищ.
3. Прийняття рішень несе інформацію про ймовірні появ тих чи інших станів середовища, тоді говорять що прийняття рішень відбувається в умовах ризику.
Компонента ЗПР.
Цільова структура ЗПР дає оцінку результатів з точки зору приймає рішення. Ця оцінка представляє функція: φ: A → ΙR кожному результату ставиться число відповідно оцінки з точки зору приймає рішення. В економіці в якості оцінки виступає прибуток, дохід, але не завжди. Час виконання якого-небудь проекту, частка ринку завоювання фірмою.
Компонента φ · F є функція яка кожній парі виду (x, y) ставить у відповідність число-оцінку результату F (x, y).
Компонента діє послідовно!
φ · F (x, y) = φ (F (x, y)) - є число, яке є оцінкою ситуації (x, y).
Прийняття рішень в умовах визначеності.
При прийняття рішень в умовах визначеності стан середовища відомо, тому ми його виключаємо з питання. Оціночна функція задається відразу на безлічі їх допустимих альтернатив і являє собою числове значення: f: x → R
f (x) Оцінка альтернативи x (з точки зору приймає рішення)
оцінка альтернативи є певний критерій, який може бути позитивним і негативним.
Позитивний критерій такий, яким ми хочемо збільшити, а негативний навпаки, зменшити. Принцип оптимальності алтернативою називається оптимальною якщо вона максимізує позитивний критерій (або мімінізірует негативний).
x * єx ↔ f (x *) = maxf (x) позитивний критерій
xєX
f (x *) = minf (x) негативний критерій
xєX
Облік невизначених пасивних умов
Невизначені фактори, закон розподілу яких невідомий, є найбільш характерними при дослідженні якості адаптивних систем. Саме на цей випадок слід орієнтуватися при виборі гнучких конструкторських рішень. Методичний облік таких факторів базується на формуванні спеціальних критеріїв, на основі яких приймаються рішення. Критерії Вальда, Севіджа, Гурвіца і Лапласа вже давно і міцно увійшли в теорію прийняття рішень.Відповідно до критерію Вальда як оптимальної вибирається стратегія, гарантує виграш не менший, ніж "нижня ціна гри з природою":
Правило вибору рішення відповідно до критерію Вальда можна інтерпретувати в такий спосіб: матриця рішень [W ir] доповнюється ще одним стовпцем з найменших результатів W ir кожного рядка. Вибрати належить той варіант, у рядку якого стоїть найбільше значення W ir цього стовпця.
Вибране таким чином рішення повністю виключає ризик. Це означає, що приймає рішення не може зіткнутися з гіршим результатом, ніж той, на який він орієнтується. Які б умови V j не зустрілися, відповідний результат не може бути нижчим за W. Це властивість змушує вважати критерій Вальда одним з фундаментальних. Тому в технічних завданнях він застосовується найчастіше як свідомо, так і несвідомо. Однак у практичних ситуаціях зайвий песимізм цього критерію може виявитися дуже невигідним.
Застосування цього критерію може бути виправдано, якщо ситуація, в якій приймається рішення, характеризується наступними обставинами:
про ймовірність появи стану V j нічого не відомо;
з появою стану V j необхідно рахуватися;
реалізується лише мала кількість рішень;
не допускається ніякої ризик.
Критерій Байєса-Лапласа на відміну від критерію Вальда, враховує кожне з можливих наслідків всіх варіантів рішень:
Відповідне правило вибору можна інтерпретувати в такий спосіб: матриця рішень [W ij] доповнюється ще одним стовпцем, що містить математичне сподівання значень кожної з рядків. Вибирається той варіант, у рядках якого стоїть найбільше значення W ir цього стовпця.
Критерій Байєса-Лапласа пред'являє до ситуації, в якій приймається рішення, такі вимоги:
ймовірність появи стану V j відома і не залежить від часу;
прийняте рішення теоретично допускає нескінченно велика кількість реалізацій;
допускається деякий ризик при малих числах реалізацій.
Відповідно до критерію Севіджа як оптимальної вибирається така стратегія, за якої величина ризику приймає найменше значення в самій неблагополучній ситуації:
Тут величину W можна трактувати як максимальний додатковий виграш, який досягається, якщо в стані V j замість варіанту U i вибрати інший, оптимальний для цього зовнішнього стану, варіант.
Відповідне критерієм Севіджа правило вибору наступне: кожен елемент матриці рішень [W ij] віднімається від найбільшого результату max W ij відповідного стовпця. Різниці утворюють матрицю залишків. Ця матриця поповнюється стовпцем найбільших різниць W ir. Вибирається той варіант, у рядку якого стоїть найменше значення.
Згідно з критерієм Гурвіца вибирається така стратегія, яка займає деяке проміжне положення між крайнім песимізмом і оптимізмом:
де r - коефіцієнт песимізму, обираний в інтервалі [0,1].
Правило вибору згідно з цим критерієм наступне: матриця рішень [W ij] доповнюється стовпцем, що містить середні зважені найменшого та найбільшого результатів для кожного рядка. Вибирається той варіант, у рядках якого стоять найбільші елементи W ir цього стовпця.
При r = 1 критерій Гурвіца перетворюється на критерій Вальда (песиміста), а при r = 0 - в критерій азартного гравця. Звідси ясно, яке значення має ваговій множник r. У технічних додатках правильно вибрати цей множник буває так само важко, як правильно вибрати критерій. Тому найчастіше ваговій множник r = 0.5 приймається як середньої точки зору.
Критерій Гурвіца пред'являє до ситуації, в якій приймається рішення, такі вимоги:
про ймовірність появи стану V j нічого не відомо;
з появою стану V j необхідно рахуватися;
реалізується лише мала кількість рішень;
допускається деякий ризик.
Критерій Ходжа-Лемана базується одночасно на критеріях Вальда і Байеса-Лапласа:
Правило вибору, відповідне цим критерієм, формулюється наступним чином: матриця рішень [W ij] доповнюється стовпцем, складеним з середніх зважених (з постійними вагами) математичного сподівання і найменшого результату кожного рядка. Відбирається той варіант рішення, в рядку якого стоїть найбільше значення цього стовпця.
При z = 1 критерій перетворюється на критерій Байеса-Лапласа, а при z = 0 перетворюється на критерій Вальда. Таким чином, вибір параметра z схильний до впливу суб'єктивізму. Крім того, поза увагою залишається і число реалізацій. Тому цей критерій рідко застосовується при прийнятті технічних рішень.
Критерій Ходжа-Лемана пред'являє до ситуації, в якій приймається рішення, такі вимоги:
про ймовірність появи стану V j нічого не відомо, але деякі припущення про розподіл ймовірностей можливі;
прийняте рішення теоретично допускає нескінченно велика кількість реалізацій;
допускається деякий ризик при малих числах реалізацій.
Загальні рекомендацій з вибору того чи іншого критерію дати важко. Проте зазначимо таке: якщо в окремих ситуаціях не допустимо навіть мінімальний ризик, то слід застосовувати критерій Вальда; якщо певний ризик цілком прийнятний, то можна скористатися критерієм Севіджа. Можна рекомендувати одночасно застосовувати по черзі різні критерії. Після цього серед декількох варіантів, відібраних таким чином як оптимальних, доводиться вольовим рішенням виділяти певну остаточне рішення.
Такий підхід дозволяє, по-перше, краще проникнути в усі внутрішні зв'язки проблеми прийняття рішень і, по-друге, послаблює вплив
суб'єктивного чинника. Крім того, в області технічних завдань різні критерії часто призводять до одного результату.
Критерій найбільш ймовірного результату.
Цей критерій припускає заміну випадкової ситуації детермінованою шляхом заміни випадкової величини прибутку (або витрат) єдиним значенням, що мають найбільшу ймовірність реалізації. Використання даного критерію, також як і в попередньому випадку в значній мірі спирається на досвід та інтуїцію. При цьому необхідно враховувати дві обставини, що утрудняють застосування цього критерію:
критерій не можна використовувати, якщо найбільша ймовірність події неприпустимо мала;
застосування критерію неможливо, якщо кілька значень ймовірностей можливого результату рівні між собою.
Завдання 1
Знайти оптимальний варіант електростанції за критеріями Лапласа, Вальда, Гурвіца з показниками 0,8 і 0,3 і Севіджа по заданій таблиці ефективностей:
Таблиця ефективностей
Рішення:
Критерій Лапласа:
L (1) = 1 / 4 * 33 = 8,25
L (2) = 1 / 4 * 33 = 8,25
L (3) = 1 / 4 * 35 = 8,75
L (4) = 1 / 4 * 34 = 8,5
Висновок: за критерієм Лапласа оптимальним рішенням являє вибір 3 типу електростанції.
Критерій Вальда: за критерієм Вальда оптимальним рішенням є вибір 4 типу електростанції.
Критерій Гурвіца:
Н (1) = 0,8 * 4 + (1-0,8) * 11 = 5,4
Н (2) = 0,8 * 5 + (1-0,8) * 10 = 6
Н (3) = 0,8 * 3 + (1-0,8) * 14 = 5,2
Н (4) = 0,8 * 7 + (1-0,8) * 12 = 8
Н (1) = 0,3 * 4 + (1-0,3) * 11 = 8,9
Н (2) = 0,3 * 5 + (1-0,3) * 10 = 8,5
Н (3) = 0,3 * 3 + (1-0,3) * 14 = 10,7
Н (4) = 0,3 * 7 + (1-0,3) * 12 = 10,5
Висновок: за критерієм Гурвіца оптимальним рішенням є вибір 3 і 4 типу електростанції.
Критерій Севіджа:
Висновок: за критерієм Севіджа оптимальним рішенням є вибір 4 типу електростанції.
Відповідь: оптимальне рішення - вибір 4 електростанції.
Завдання 2
Знайти оптимальне рішення задачі про бурінні нафтової свердловини за критерієм математичного очікування з урахуванням результату експерименту:
Таблиця результатів сейсморазведок
Таблиця прибутків
Рішення:
Х 1 - бурити; Х 2 - не бурити.
Р (С) = 0,52; Р (М) = 0,18; Р (Б) = 0,4
Побудоване дерево визначає гру керівників групи з природою. Знайдемо ймовірність кожного ходу.
Р (А) = Р (А ∩ В)
Р 0 (С) = Р (С ∩ О) / Р (О) = 0,5 / 0,7 = 0,71
Р 0 (М) = Р (М ∩ О) / Р (О) = 0,08 / 0,7 = 0,11
Р 0 (Б) = Р (Б ∩ О) / Р (О) = 0,12 / 0,7 = 0,17
Р 3 (С) = Р (С ∩ З) / Р (З) = 0,02 / 0,4 = 0,05
Р 3 (М) = Р (М ∩ З) / Р (З) = 0,1 / 0,4 = 0,25
Р 3 (Б) = Р (Б ∩ З) / Р (З) = 0,28 / 0,4 = 0,7
а = а 1 * р 1 + а 2 * р 2 + а 3 * р 3
b = max {b 1, b 2, b 3}
а =- 50 * 0,52 +30 * 0,18 +250 * 0,4 =- 26 +5,4 +100 = 79,4
а =- 50 * 0,71 +30 * 0,11 +250 * 0,17 =- 35,5 +3,3 +42,5 = 20,3
а =- 50 * 0,05 +30 * 0,25 +250 * 0,7 =- 2,5 +7,5 +175 = 180
Завдання 3.
При виборі квартири в якості істотних ознак взяті: Р 1 - метраж (м 2), Р 2 - час поїздки на роботу (хв), Р 3 - час поїздки в зону відпочинку (хв).
а) знайти варіанти, оптимальні за Парето;
б) знайти єдиний оптимальний варіант методом субоптимизации, призначивши верхні межі за критеріями Р 1 і Р 2.
Таблиця критеріїв
Рішення:
а) варіанти, оптимальні за Парето: 1> 4
б) р 1 - не менше 45
р 2 - не більше 30
Висновок: оптимальним варіантом при виборі квартири є 4 варіант.
Відповідь: варіант 4
2. Розен В.В. "Математичні моделі прийняття рішень в економіці"
3. Є.С. Венцель "Дослідження операцій" Москва Рад. родно 1972
4. Браверманн Е.М. "Математичні моделі планування правління в економічних системах" Москва "Наука" 1976 рік
5. Гейл Д. "Теорія лінійних економічних моделей" Москва ІЛ 1963год
6. Андрєєв В.М., Герасимов Ю.Ю. Прийняття оптимальних рішень: Теорія та застосування в лісовій справі. Йоенсуу: Вид-во ун-ту Йоенсуу, 1999.200 с.
7. Мойсеєв М.М., Математичні методи системного аналізу М. Наука 1981 487 с.
8. Є.С. Вентцель Дослідження операцій. Завдання, принципи, методологія. М. Наука 1988 206 с.
Критерій найбільш ймовірного результату.
Цей критерій припускає заміну випадкової ситуації детермінованою шляхом заміни випадкової величини прибутку (або витрат) єдиним значенням, що мають найбільшу ймовірність реалізації. Використання даного критерію, також як і в попередньому випадку в значній мірі спирається на досвід та інтуїцію. При цьому необхідно враховувати дві обставини, що утрудняють застосування цього критерію:
критерій не можна використовувати, якщо найбільша ймовірність події неприпустимо мала;
застосування критерію неможливо, якщо кілька значень ймовірностей можливого результату рівні між собою.
Завдання 1
Знайти оптимальний варіант електростанції за критеріями Лапласа, Вальда, Гурвіца з показниками 0,8 і 0,3 і Севіджа по заданій таблиці ефективностей:
| Середа Варіанти | У 1 | У 2 | У 3 | У 4 |
| А 1 | 10 | 8 | 4 | 11 |
| А 2 | 9 | 9 | 5 | 10 |
| А 3 | 8 | 10 | 3 | 14 |
| А 4 | 7 | 7 | 8 | 12 |
Рішення:
| У 1 | У 2 | У 3 | У 4 | Критерій Вальда | Крит. Лапласа | Критерій Гурвіца | |
| А 1 | 10 | 8 | 4 | 11 | 4 | 8,25 | 5,4 8,9 |
| А 2 | 9 | 9 | 5 | 10 | 8,25 | 6 8,5 | |
| А 3 | 8 | 10 | 3 | 14 | 3 | 8,75 | 5,2 10,7 |
| А 4 | 7 | 7 | 8 | 12 | 7 | 8,5 | 8 10,5 |
| 10 | 10 | 8 | 14 |
L (1) = 1 / 4 * 33 = 8,25
L (2) = 1 / 4 * 33 = 8,25
L (3) = 1 / 4 * 35 = 8,75
L (4) = 1 / 4 * 34 = 8,5
Висновок: за критерієм Лапласа оптимальним рішенням являє вибір 3 типу електростанції.
Критерій Вальда: за критерієм Вальда оптимальним рішенням є вибір 4 типу електростанції.
Критерій Гурвіца:
Н (1) = 0,8 * 4 + (1-0,8) * 11 = 5,4
Н (2) = 0,8 * 5 + (1-0,8) * 10 = 6
Н (3) = 0,8 * 3 + (1-0,8) * 14 = 5,2
Н (4) = 0,8 * 7 + (1-0,8) * 12 = 8
Н (1) = 0,3 * 4 + (1-0,3) * 11 = 8,9
Н (2) = 0,3 * 5 + (1-0,3) * 10 = 8,5
Н (3) = 0,3 * 3 + (1-0,3) * 14 = 10,7
Н (4) = 0,3 * 7 + (1-0,3) * 12 = 10,5
Висновок: за критерієм Гурвіца оптимальним рішенням є вибір 3 і 4 типу електростанції.
Критерій Севіджа:
| У 1 | У 2 | У 3 | У 4 | Критерій Севіджа | |
| А 1 | 0 | 2 | 4 | 3 | 4 |
| А 2 | 1 | 1 | 3 | 4 | 4 |
| А 3 | 2 | 0 | 5 | 5 | |
| А 4 | 3 | 3 | 0 | 2 | 3 |
Відповідь: оптимальне рішення - вибір 4 електростанції.
Завдання 2
Знайти оптимальне рішення задачі про бурінні нафтової свердловини за критерієм математичного очікування з урахуванням результату експерименту:
| Стан свердловини | Тип грунту | |
| Відкритий | Замкнуте | |
| З | 50 | 2 |
| М | 8 | 10 |
| Б | 12 | 28 |
| З | М | Б | |
| Х | -50 | 30 | 250 |
| Х | 0 | 0 | 0 |
Таблиця прибутків
Рішення:
Х 1 - бурити; Х 2 - не бурити.
Р (С) = 0,52; Р (М) = 0,18; Р (Б) = 0,4
| Стан свердловини | Тип грунту | Всього | |
| Відкритий | Замкнуте | ||
| З | 50 | 2 | 52 |
| М | 8 | 10 | 18 |
| Б | 12 | 28 | 40 |
| Всього | 70 | 40 | 110 |
Початок |
Відкритий |
Замкнуте |
Е |
α |
β |
х 1 |
х 2 |
х 1 |
х 2 |
х 1 |
х 2 |
Побудоване дерево визначає гру керівників групи з природою. Знайдемо ймовірність кожного ходу.
Р (А) = Р (А ∩ В)
Р 0 (С) = Р (С ∩ О) / Р (О) = 0,5 / 0,7 = 0,71
Р 0 (М) = Р (М ∩ О) / Р (О) = 0,08 / 0,7 = 0,11
Р 0 (Б) = Р (Б ∩ О) / Р (О) = 0,12 / 0,7 = 0,17
Р 3 (С) = Р (С ∩ З) / Р (З) = 0,02 / 0,4 = 0,05
Р 3 (М) = Р (М ∩ З) / Р (З) = 0,1 / 0,4 = 0,25
Р 3 (Б) = Р (Б ∩ З) / Р (З) = 0,28 / 0,4 = 0,7
а = а 1 * р 1 + а 2 * р 2 + а 3 * р 3
b = max {b 1, b 2, b 3}
а =- 50 * 0,52 +30 * 0,18 +250 * 0,4 =- 26 +5,4 +100 = 79,4
а =- 50 * 0,71 +30 * 0,11 +250 * 0,17 =- 35,5 +3,3 +42,5 = 20,3
а =- 50 * 0,05 +30 * 0,25 +250 * 0,7 =- 2,5 +7,5 +175 = 180
Завдання 3.
При виборі квартири в якості істотних ознак взяті: Р 1 - метраж (м 2), Р 2 - час поїздки на роботу (хв), Р 3 - час поїздки в зону відпочинку (хв).
а) знайти варіанти, оптимальні за Парето;
б) знайти єдиний оптимальний варіант методом субоптимизации, призначивши верхні межі за критеріями Р 1 і Р 2.
| Критерії Варіанти | Р 1 | Р 2 | Р 3 |
| 1 | 45 | 30 | 20 |
| 2 | 60 | 40 | 30 |
| 3 | 42 | 20 | 10 |
| 4 | 45 | 30 | 15 |
| 5 | 48 | 45 | 25 |
Рішення:
| Р 1 | Р 2 | Р 3 | |
| 1 | 45 | 30 | 20 |
| 2 | 60 | 40 | 30 |
| 3 | 42 | 20 | 10 |
| 4 | 45 | 30 | 15 |
| 5 | 48 | 45 | 25 |
б) р 1 - не менше 45
р 2 - не більше 30
Висновок: оптимальним варіантом при виборі квартири є 4 варіант.
Відповідь: варіант 4
Висновок
Застосування математичних методів у бізнесі і конкурентній боротьбі за виживання (процвітання) виробництва стало невід'ємною частиною російської економіці і з кожним роком стає все прогресивніше. Ми довели практичною частиною роботи, що це можливо, цим треба користуватися і навчитися впроваджувати теорії Лапласа і інших в управління і способи дослідження ринку збуту і виробництва. Часи "простий комерції" давно забулися і ми, будучи людьми освіченими, зобов'язані застосовувати свої знання і головні постулати на практиці. Математичні методи застосовні не тільки в економіці, звичайно, ними зручно користуватися і буденних ситуаціях, наприклад в городництві (при вирощуванні будь-якої культури). Уміння міркувати, робити правильні висновки, обгрунтовувати свої судження, тобто вміння мислити логічно є невід'ємною якістю інтелігентної людини. Крім інтелігентності ми торкаємося той факт, коли є можливість економії грошових ресурсів та матеріальних. Адже застосувавши математичні теорії і зробивши правильні розрахунки, ми не будемо гнати техніку за тисячу кілометрів і закуповувати необхідні комплектуючі, знаючи, що висновки показали, що кампанія збиткова! Це накладає на нас відповідальність перед підлеглими, за майбутні помилки, та й просто це цікаво. Цікаво знати те, чого не знають інші. Мудрість і знання роблять з нас, справжніх людей. Людина з великої букви, думає не тільки про себе і вчиться не на своїх помилках. І потім, передбачати ситуацію дар лише обраних, а ми вчимося це робити без всякого дару природи. Треба лише застосовувати логіку і мислення і у нас все вийде.Список використаної літератури
1. Розен В.В. "Теорія ігор і економічна моделювання" 19962. Розен В.В. "Математичні моделі прийняття рішень в економіці"
3. Є.С. Венцель "Дослідження операцій" Москва Рад. родно 1972
4. Браверманн Е.М. "Математичні моделі планування правління в економічних системах" Москва "Наука" 1976 рік
5. Гейл Д. "Теорія лінійних економічних моделей" Москва ІЛ 1963год
6. Андрєєв В.М., Герасимов Ю.Ю. Прийняття оптимальних рішень: Теорія та застосування в лісовій справі. Йоенсуу: Вид-во ун-ту Йоенсуу, 1999.200 с.
7. Мойсеєв М.М., Математичні методи системного аналізу М. Наука 1981 487 с.
8. Є.С. Вентцель Дослідження операцій. Завдання, принципи, методологія. М. Наука 1988 206 с.