Ім'я файлу: вышмат.docx
Розширення: docx
Розмір: 78кб.
Дата: 27.04.2023
скачати
Пов'язані файли:
Документ Microsoft Word (4).docx
Документ Microsoft Word (5).docx
221pdf-8.docx
zx практические.docx
Армения (2).docx
владислава курсовая.docx
андрей лабы.docx
Вар. 1.docx
алекс.docx

1. Функція визначена в усіх точках крім тих де знаменник перетворюється в нуль x=1,x=-1. Область визначення функції наступна

Знайдемо односторонні границі в точках розриву




При знаходженні односторонніх границь подібного вигляду достатньо переконатися в знаку функції та в тому, що знаменник прямує до нуля. В результаті отримаємо границю рівну безмежності або мінус безмежності.
Оскільки в точках x=1,x=-1 функція має нескінченні односторонні границі, то аргументи x=1,x=-1 є точками розриву ІІ роду. Графік функції наведено на рисунку нижче



2. Двічі застосувавши правило Лопіталя, позбуваємося невизначеності типу ∞/∞.


3. 1) Функція визначена всюди, крім точки в якій знаменник перетворюється в нуль x=1. Область визначення складається з двох інтервалів 
2) При підстановці x=0 знайдемо значення функції

Таку ж саму точку отримаємо, якщо прирівняємо функцію до нуля. Точка x=0- єдина точка перетину з осями координат.
3) Перевірка на парність


Отже функція ні парна, ні непарна, неперіодична.
4) В даному випадку маємо одну точку розриву x=1. Обчислимо границі зліва і справа


Отже x=1 – точка розриву другого роду.
5) Для відшукання інтервалів монотонності обчислюємо похідну функції

Прирівнюючи її до нуля матимемо точки підозрілі на екстремум x=0; x=2. Вони розбивають область визначення на інтервали монотонності

Дослідимо поведінку похідної справа та зліва від знайдених точок




Графічно інтервали монотонності матимуть вигляд


Досліджувана функція зростає на інтервалах   та спадає  .

Точка x=0 – точка локального максимуму, x=2 – локального мінімуму. Знайдемо значення функції

6) Для відшукання інтервалів опуклості знайдемо другу похідну

Друга похідна не перетворюється в нуль, а це значить, що функція немає точок перегину.
Проте, це не означає, що функція не є опуклою та вгнутою, детальні пояснення містяться в публікації

Як визначати інтервали опуклості та вгнутості функції?
Зліва від одиниці на інтервалі (-infinity;1) друга похідна менша нуля (перевіряється підстановкою), звідси робимо висновок, що функція опукла.
Після одиниці друга похідна додатна, отже на інтервалі (1; +infinity) функція вгнута.
Як це виглядає на графіку Ви можете побачити з наведеного далі рисунку.

7) Точка x=1 – векртикальна асимптота функції. Рівняння похилої асимптоти має вигляд
y=kx+b
де k, b - границі, що знаходять за правилом


Знаходимо границі



Кінцевий вигляд прямої

8) На основі проведеного аналізу виконуємо побудову графіка функції.



4. Фігура обмежена x=4-y2 - параболою з вершиною у точці O(4;0) і гілками вліво;
та x+2y=4 - прямою, що відтинається на осях у точках (4;0) і (0;2).
Знайдемо точки перетину графіків функцій із системи рівнянь:

При її розв'язанні отримаємо дві точки

Графік параболи та прямої наведено на рисунку


Запишемо межі інтегрування:
D: 0≤x≤4, 
Тут маємо y=√(4-x) - рівняння верхньої частини параболи x=4-y2;
Обчислимо площу фігури знаходженням подвійного інтеграла:

Площа рівна 1,33 одиниць квадратних.

5. Обчислимо похідні по змінній t заданих функцій:

Запишемо межі інтегрування (потрібно попередньо дослідити функцію):   .
Складемо рівняння підінтегральної функції за формулою x'*y-x*y'
 .
Далі через визначений інтеграл обчислюємо площу фігури, що обмежена заданою кривою:

Інтеграл не складний, а кінцева формула проста для розрахунків площі.

6. Підносимо до квадрату рівняння кривої в полярній системі координат (СК).

Межі інтегрування відомі f1=p/4, f2=p/2 за умовою.
Графік фігури, площу якої потрібно знайти має вигляд

Інтегруванням обчислюємо площу фігури, що обмежена параболою:

Для обчислення інтегралу слід виконати заміну змінних, при цьому не забувайте, що зміняться межі інтегрування.
скачати

© Усі права захищені
написати до нас