Завдання 1. На підставі даних вибіркового спостереження була проведена угруповання кількості розмов по тривалості:
Виконати вторинну угрупування, щоб забезпечити показність останньої групи. Утворити 4 групи з нерівними інтервалами: 3-5, 5-8, 8-12, понад 12 хв.
Рішення:
Проведемо вторинну угрупування:
Завдання 2. По наступним даним порівняти склад зайнятого населення двох областей, обчисливши відносний показник, що характеризує співвідношення між чисельністю працівників виробничої діяльності та працівників двох інших сфер діяльності
Рішення:
Визначимо відносну величину між чисельністю працівників виробничої сфери діяльності та інших сфер діяльності по областях:
- Між чисельністю сфери виробництва та апарату управління:
а) для області I:
б) для області II:
Висновок: на чисельність виробничої сфери працівників апарату управління у другій області припадати на 5,38% більше, ніж у першій (15,23 - 9,85)
- Між чисельністю сфери виробництва та іншими видами діяльності:
а) для області I:
б) для області II:
Висновок: на чисельність виробничої сфери працівників інших видів діяльності в другій області припадати на 8,29% більше, ніж у першій (28,91 - 20,62)
Завдання 3. Визначте середню продуктивність праці в цілому по підприємству в I півріччі за такими даними:
Визначте, як коливається даний показник.
Рішення:
Розрахуємо середню продуктивність праці за формулою середньої арифметичної зваженої:
,
де - Середня продуктивність праці по підприємству; - Продуктивність праці робітника в i-му цеху; - Число робітників; - Продуктивність праці робітників i-го цеху заводу.
Розрахуємо розмір варіації:
1) дисперсія (σ 2)
2) середнє квадратичне відхилення (σ):
3) коефіцієнт варіації (V):
.
Завдання 4. За даними задачі 1:
1) визначте середнє значення досліджуваного ознаки, моду і медіану;
2) побудуйте гістограму;
3) оціните характер асиметрії.
Рішення:
Розрахуємо середнє значення досліджуваного ознаки:
Розрахуємо моду:
де - Початок (нижня межа) модального інтервалу; - Величина інтервалу; - Частота модального інтервалу; - Частота інтервалу, що передує модальному; - Частота інтервалу, наступного за модальним.
Розрахуємо медіану:
де - Початок (нижня межа) медіанного інтервалу; - Величина інтервалу; - Сума всіх частот ряду; - Сума накопичених частот варіантів до медіанного; - Частота медіанного інтервалу.
Побудуємо графік інтервального ряду розподілу: (гістограма):
\ S
Так як М 0> М Е> , То перед нами лівостороння асиметрія.
Завдання 5. Щорічні темпи приросту продукції (у% до попереднього року) склали:
Обчисліть за наведені роки базисні темпи зростання по відношенню до початкового (базисного) році і середньорічні темпи зростання і приросту за весь період.
Рішення:
Розрахуємо середній рівень ряду за формулою середньої арифметичної простої:
,
Залежно від завдання дослідження абсолютні прирости (зниження) Δy, темпи приросту (зниження) Т
Розрахуємо базисні темпи зростання по відношенню до початкового року:
- 2-ий рік по відношенню до 1-го:
- 3-ій рік по відношенню до 1-го:
- 4-ий рік по відношенню до 1-го:
- 5-ий рік по відношенню до 1-го:
Розрахуємо середньорічний темп зростання за весь період:
Розрахуємо середньорічний темп приросту:
Завдання 6. По наступним даним перелічіть загальний та індивідуальні індекси собівартості і суму економіки.
Рішення:
Розрахуємо витрати на товарну продукцію в базисному періоді:
- Для виробу А:
Z 0 = 220 + 220 * 7,5% = 236,5 млн. руб.
- Для виробу Б:
Z 0 = 305 + 305 * 4,5% = 318,725 млн. руб.
- Для виробу В:
Z 0 = 148 + 148 * 3,0% = 152,44 млн. руб.
Розрахуємо загальний індекс:
Розрахуємо індивідуальні індекси:
- Для виробу А:
- Для виробу Б:
- Для виробу В:
Розрахуємо економію по кожному виробу:
- По виробі А:
Е = Z 1 - Z 0 = 220 - 236,5 = - 16,6 млн. руб.
- По виробі Б:
Е = Z 1 - Z 0 = 305 - 318,725 = - 13,725 млн. руб.
- По виробу В:
Е = Z 1 - Z 0 = 148 - 152,44 = - 4,44 млн. руб.
Завдання 7. У звітному періоді відбулося зниження цін на 5% при збільшенні фізичного обсягу продукції на 15%. Визначте:
1) зміна вартості продукції в звітному періоді в порівнянні з базисним періодом;
2) абсолютна зміна вартості продукції за рахунок зміни фізичного обсягу продукції;
3) абсолютна та відносна зміна вартості продукції за рахунок зміни цін.
Рішення:
Розрахуємо вартість продукції і фізичний об'єм:
q 1 = q 0 + q 0 * 15% = q 0 + 0,15 * q 0 = 1,15 * q 0
P 1 = P 0 - P 0 * 5% = Р 0 - 0,05 * Р 0 = 0,95 * Р 0
Таким чином, зміна вартості у звітному періоді в порівнянні з базисним:
Розрахуємо абсолютна зміна вартості продукції за рахунок зміни фізичного обсягу продукції:
Розрахуємо абсолютне і відносне зміна вартості продукції за рахунок зміни цін:
Завдання 8. Зміна середньої річної чисельності працівників галузі характеризується наступними даними:
Зобразіть ці дані у вигляді графіків: а) прямокутних (Столбикова і стрічкових), б) квадратних. Який з цих графіків найбільш наочно зображує зміна чисельності працівників у даній галузі за 1980-2005 рр..? Сформулюйте висновки, які випливають з графічних зображень.
А) - Столбикова:
\ S
- Стрічкова:
\ S
б) Квадратна:
\ S
На мій погляд, найбільш повно відображає зміну чисельності працівників у даній галузі столбиковой діаграма. Відповідно до даних графіків, можна зробити висновок, що протягом 1980 - 2005 рр.. чисельність працівників збільшилася в два рази і продовжує рости.
Завдання 9. Хронометраж роботи верстатника дав наступні результати:
Визначте середню трудомісткість виготовлення деталі і граничну помилку цього показника з ймовірністю 0,954, враховуючи, що хронометраж проводиться при масовому випуску. Які результати вийдуть, якщо взяти ймовірність 0,997?
Рішення:
Розрахуємо середню трудомісткість виготовлення деталі:
Розрахуємо середню внутригрупповую дисперсію:
Розрахуємо середню помилку вибіркової середньої при повторному відборі
де - Дисперсія вибіркової сукупності; n - обсяг (кількість одиниць) вибірки.
Розрахуємо граничну похибку вибірки, при, t = 2 (для p = 0,954):
Розрахуємо граничну похибку вибірки, при, t = 3 (для p = 0,997):
Завдання 10. Є такі дані про тривалість виробничого стажу та середньому відсотку виконання норм виробітку по 30 робочим-відрядникам цеху про тривалості виробничого стажу і середньому відсотку виконання норм виробітку:
Визначте:
1) середній відсоток виконання норм виробітку по цеху;
2) вид кореляційної залежності між даними показниками;
3) параметри рівняння регресії;
4) тісноту досліджуваної зв'язку.
Рішення:
Розрахуємо середній відсоток виконання норм виробітку по цеху:
Визначимо вид кореляційної залежності між даними показниками:
В якості лінії регресії використовуємо рівняння прямої:
,
де y - результативний (залежний) ознака; x - факторний (незалежний) ознака; a і b - параметри рівняння прямої.
Для визначення параметрів a і b за методом найменших квадратів складається система двох нормальних рівнянь:
,
.
Вирішуючи цю систему рівнянь, знаходимо:
Для вимірювання тісноти зв'язку з цим використовуємо коефіцієнт кореляції, що обчислюється за формулою:
Тривалість розмови, мін. | 3-5 | 5-7 | 7-9 | 9-11 | 11-13 | Понад 13 | Всього розмов |
Число розмов | 90 | 85 | 70 | 60 | 30 | 5 | 340 |
Рішення:
Проведемо вторинну угрупування:
Тривалість розмови, мін. | 3-5 | 5-8 | 8-12 | Понад 12 | Всього розмов |
Число розмов | 90 | 108 | 117 | 25 | 340 |
Категорії діяльності | Кількість працівників, чол. | |
У I області | У II області | |
Сфера виробництва | 3250 | 2560 |
Апарат управління | 320 | 390 |
Інші види діяльності | 670 | 740 |
Визначимо відносну величину між чисельністю працівників виробничої сфери діяльності та інших сфер діяльності по областях:
- Між чисельністю сфери виробництва та апарату управління:
а) для області I:
б) для області II:
Висновок: на чисельність виробничої сфери працівників апарату управління у другій області припадати на 5,38% більше, ніж у першій (15,23 - 9,85)
- Між чисельністю сфери виробництва та іншими видами діяльності:
а) для області I:
б) для області II:
Висновок: на чисельність виробничої сфери працівників інших видів діяльності в другій області припадати на 8,29% більше, ніж у першій (28,91 - 20,62)
Завдання 3. Визначте середню продуктивність праці в цілому по підприємству в I півріччі за такими даними:
Цех | Продуктивність праці, млн. р. / чол. | Середньооблікова кількість працівників, чол. |
№ 1 | 80 | 60 |
№ 2 | 68 | 50 |
№ 3 | 55 | 30 |
Рішення:
Розрахуємо середню продуктивність праці за формулою середньої арифметичної зваженої:
де
Розрахуємо розмір варіації:
1) дисперсія (σ 2)
2) середнє квадратичне відхилення (σ):
3) коефіцієнт варіації (V):
Завдання 4. За даними задачі 1:
1) визначте середнє значення досліджуваного ознаки, моду і медіану;
2) побудуйте гістограму;
3) оціните характер асиметрії.
Рішення:
Розрахуємо середнє значення досліджуваного ознаки:
Розрахуємо моду:
де
Розрахуємо медіану:
де
Побудуємо графік інтервального ряду розподілу: (гістограма):
Так як М 0> М Е>
Завдання 5. Щорічні темпи приросту продукції (у% до попереднього року) склали:
Роки | 1-й | 2-й | Третя | 4-й | 5-й |
Темпи приросту | 2,4 | 1,7 | 2,0 | 1,5 | 2,8 |
Рішення:
Розрахуємо середній рівень ряду за формулою середньої арифметичної простої:
Залежно від завдання дослідження абсолютні прирости (зниження) Δy, темпи приросту (зниження) Т
Розрахуємо базисні темпи зростання по відношенню до початкового року:
- 2-ий рік по відношенню до 1-го:
- 3-ій рік по відношенню до 1-го:
- 4-ий рік по відношенню до 1-го:
- 5-ий рік по відношенню до 1-го:
Розрахуємо середньорічний темп зростання за весь період:
Розрахуємо середньорічний темп приросту:
Завдання 6. По наступним даним перелічіть загальний та індивідуальні індекси собівартості і суму економіки.
Виріб | Витрати на товарну продукцію, млрд. р.. | Обсяг виробництва у звітному році, тис. од. | Зниження собівартості одиниці продукції в порівнянні з базисним періодом,% |
А | 220 | 4,5 | 7,5 |
Б | 305 | 6,0 | 4,5 |
У | 148 | 2,8 | 3,0 |
Розрахуємо витрати на товарну продукцію в базисному періоді:
- Для виробу А:
Z 0 = 220 + 220 * 7,5% = 236,5 млн. руб.
- Для виробу Б:
Z 0 = 305 + 305 * 4,5% = 318,725 млн. руб.
- Для виробу В:
Z 0 = 148 + 148 * 3,0% = 152,44 млн. руб.
Розрахуємо загальний індекс:
Розрахуємо індивідуальні індекси:
- Для виробу А:
- Для виробу Б:
- Для виробу В:
Розрахуємо економію по кожному виробу:
- По виробі А:
Е = Z 1 - Z 0 = 220 - 236,5 = - 16,6 млн. руб.
- По виробі Б:
Е = Z 1 - Z 0 = 305 - 318,725 = - 13,725 млн. руб.
- По виробу В:
Е = Z 1 - Z 0 = 148 - 152,44 = - 4,44 млн. руб.
Завдання 7. У звітному періоді відбулося зниження цін на 5% при збільшенні фізичного обсягу продукції на 15%. Визначте:
1) зміна вартості продукції в звітному періоді в порівнянні з базисним періодом;
2) абсолютна зміна вартості продукції за рахунок зміни фізичного обсягу продукції;
3) абсолютна та відносна зміна вартості продукції за рахунок зміни цін.
Рішення:
Розрахуємо вартість продукції і фізичний об'єм:
q 1 = q 0 + q 0 * 15% = q 0 + 0,15 * q 0 = 1,15 * q 0
P 1 = P 0 - P 0 * 5% = Р 0 - 0,05 * Р 0 = 0,95 * Р 0
Таким чином, зміна вартості у звітному періоді в порівнянні з базисним:
Розрахуємо абсолютна зміна вартості продукції за рахунок зміни фізичного обсягу продукції:
Розрахуємо абсолютне і відносне зміна вартості продукції за рахунок зміни цін:
Завдання 8. Зміна середньої річної чисельності працівників галузі характеризується наступними даними:
Роки | 1980 | 1990 | 2000 | 2005 (прогноз) |
Чисельність працівників, тис. чол. | 153,2 | 226,1 | 315,9 | 340,5 |
А) - Столбикова:
- Стрічкова:
б) Квадратна:
На мій погляд, найбільш повно відображає зміну чисельності працівників у даній галузі столбиковой діаграма. Відповідно до даних графіків, можна зробити висновок, що протягом 1980 - 2005 рр.. чисельність працівників збільшилася в два рази і продовжує рости.
Завдання 9. Хронометраж роботи верстатника дав наступні результати:
Витрати часу на виготовлення однієї деталі, хв. | 20-21 | 21-22 | 22-23 | 23-24 |
Число виготовлених деталей | 6 | 13 | 10 | 7 |
Рішення:
Розрахуємо середню трудомісткість виготовлення деталі:
Розрахуємо середню внутригрупповую дисперсію:
Розрахуємо середню помилку вибіркової середньої при повторному відборі
де
Розрахуємо граничну похибку вибірки, при, t = 2 (для p = 0,954):
Розрахуємо граничну похибку вибірки, при, t = 3 (для p = 0,997):
Завдання 10. Є такі дані про тривалість виробничого стажу та середньому відсотку виконання норм виробітку по 30 робочим-відрядникам цеху про тривалості виробничого стажу і середньому відсотку виконання норм виробітку:
Групи робітників за тривалості стажу роботи, років | Число робочих, чол. | Середній відсоток виконання норм виробітку одним робочим |
До 5 | 8 | 100,5 |
5-10 | 10 | 104,0 |
10-15 | 8 | 106,0 |
15-20 | 2 | 107,0 |
20 і більше | 2 | 110,0 |
1) середній відсоток виконання норм виробітку по цеху;
2) вид кореляційної залежності між даними показниками;
3) параметри рівняння регресії;
4) тісноту досліджуваної зв'язку.
Рішення:
Розрахуємо середній відсоток виконання норм виробітку по цеху:
Визначимо вид кореляційної залежності між даними показниками:
В якості лінії регресії використовуємо рівняння прямої:
де y - результативний (залежний) ознака; x - факторний (незалежний) ознака; a і b - параметри рівняння прямої.
Для визначення параметрів a і b за методом найменших квадратів складається система двох нормальних рівнянь:
Вирішуючи цю систему рівнянь, знаходимо:
Для вимірювання тісноти зв'язку з цим використовуємо коефіцієнт кореляції, що обчислюється за формулою: