МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
варіант № 6
КАЛІНІНГРАД
2006
Зміст
2. Рівняння тренду на основі лінійної залежності ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. 13
Завдання:
Теоретичні питання:
1. Види середніх величин. Функції середніх в статистиці.
2. Рівняння тренду на основі лінійної залежності.
Практичні завдання:
1. Десять людей різного віку мають наступні параметри:
1. Визначити результативний ознака.
2. Розрахувати парні і приватні коефіцієнти кореляції. Зробити висновки.
2. При контрольній вибірковій перевірці відсотка вологості грунту фермерських господарств регіону отримано наступні дані:
1. З імовірністю 0.95 і 0.99 встановити межу, в якому знаходиться середній відсоток вмісту вологи.
2. Зробити висновки.
1. Середні величини
1.1. Поняття середньої величини і значення методу середніх величин.
Значення, що відображають розмір ознаки суспільного явища, різняться між собою. Це називають варіацією явища. З іншого боку, різні елементи належать одному і тому ж явищу, роблять вплив один на одного, тому значення ознак в таких елементів зближуються, що дає можливість розглядати їх як єдину сукупність. Для дослідження сукупності, яка має різними значеннями ознаки в окремих її одиниць, необхідно мати єдину типову для сукупності величину ознаки, що дозволяє аналізувати сукупність і порівнювати динамічні зміни в сукупності. Для цього застосовується середня величина. Середня величина розраховується тільки за кількісними ознаками.
Середня величина це:
1) найбільш типове для сукупності значення ознаки;
2) обсяг ознаки сукупності, розподілений порівну між одиницями сукупності.
Середня величина є показником, що розраховується шляхом зіставлення абсолютних або відносних величин. Для отримання потрібної середньої величини необхідно коректно визначити ті показники, які варто співвіднести, тобто побудувати вихідне співвідношення середньої. Початкове співвідношення відображає сутність розраховується середньої величини. Для кожної середньої величини може бути тільки одне початкове співвідношення. Середня величина має двоїстий характер: з одного боку вона характеризує сукупність в цілому, а з іншого боку, вона відноситься до одиниці сукупності, і також є характеристикою одиниці сукупності. Середня величина може приймати такі значення, які не притаманні безпосередньо жодному з елементів досліджуваної сукупності, крім того, на практиці часто середня величина для дискретного ознаки виражається як для безперервного.
Середня величина є рівнодіючої всіх факторів, що впливають на досліджуване явище. Тобто, при розрахунку середніх величин взаимопогашающиеся вплив випадкових (пертурбаційний, індивідуальних) факторів і, таким чином, можливе визначення закономірності, властивою досліджуваного явища. Значення досліджуваної ознаки приймають різні розміри, що знаходяться в певному інтервалі. Тобто існує можливість говорити про розподіл розмірів ознаки, схильному до впливу цілого ряду факторів. Тоді середня величина є показником центру розподілу. Необхідно підкреслити важливість розуміння середньої величини як центру розподілу, так як на цьому грунтується подальший статистичний аналіз.
1.2. Умови застосування середніх величин в аналізі.
Обов'язковою умовою розрахунку середніх величин для досліджуваної сукупності є її однорідність. Дійсно, припустимо, що окремі елементи сукупності, внаслідок схильності впливу деякого випадкового фактора, мають дуже великі (або занадто малі) величини досліджуваного ознаки, що істотно відрізняються від інших. Такі елементи вплинуть на розмір середньої для даної сукупності, тому середня не буде висловлювати найбільш характерну для сукупності величину ознаки.
Якщо досліджуване явище не є однорідним, то його розбивають на групи, які містять тільки однорідні елементи. Для такого явища розраховуються спочатку середні по групах, які називаються групові середні, - вони будуть висловлювати найбільш типову величину явища в кожній групі. Потім розраховується для всіх елементів загальна середня величина, що характеризує явище в цілому, - вона розраховується як середня з групових середніх, зважених за кількістю елементів сукупності, включених до кожної групи.
Ще однією важливою умовою застосування середніх величин в аналізі є достатня кількість одиниць у сукупності, за якою розраховується середнє значення ознаки. Достатність аналізованих одиниць забезпечується коректним визначенням меж досліджуваної сукупності, тобто закладається ще на початковому етапі статистичного дослідження.
Визначення максимального і мінімального значення ознаки в досліджуваній сукупності також є умовою застосування середньої величини в аналізі. У разі великих відхилень між крайніми значеннями і середньої, необхідно перевірити приналежність екстремумів до досліджуваної сукупності. Якщо сильна мінливість ознаки викликана випадковими, короткочасними чинниками, то, можливо, крайні значення не характерні для сукупності. Отже, їх слід виключити з аналізу, тому що вони впливають на розмір середньої величини.
1.3. Види середніх величин, способи їх обчислення.
У статистиці виділяють кілька видів середніх величин:
1. За наявності ознаки-ваги:
а) невиважена середня величина;
б) зважена середня величина.
2. За формою розрахунку:
а) середня арифметична величина;
б) середня гармонійна величина;
в) середня геометрична величина;
г) середня квадратична, кубічна і т.д. величини.
3. За охопленням сукупності:
а) групова середня величина;
б) загальна середня величина.
Середні величини різняться в залежності від обліку ознак, що впливають на осереднену величину: Якщо середня величина розраховується для ознаки, без врахування впливу на нього будь-яких інших ознак, то така середня величина називається середньої невиваженою або простої середньої. Якщо є відомості про вплив на осередненій ознака певної ознаки або декількох ознак, які необхідно врахувати при розрахунку для коректного розрахунку середньої величини, то розраховується середня зважена.
При виборі виду середньої величини виходять з сутності осередненою ознаки і його взаємозв'язку з підсумковим (визначальним) показником. Величина підсумкового показника не повинна змінюватися при заміні індивідуальних значень ознаки середньої величиною. Здатність середніх величин зберігати властивості статистичних сукупностей називають визначальним властивістю.
Загальна формула ступеневій середньої виглядає наступним чином:
.
`X = k Ö x 1 k + x 2 k + ... + x n k.
n
Зі зміною показника ступеня k вираз даної функції змінюється, і в кожному окремому випадку приходить до певного виду середньої.
Види статечних середніх величин.
1.3.1. Середня арифметична величина.
1). Середня арифметична не зважена величина - найбільш характерна форма середньої, на прикладі якої можна виявити всі властивості середньої. Якщо показник ступеня дорівнює 1, то отримуємо таку форму середньої. Така середня величина називається середньої арифметичної простої (незваженої).
`X = å x i
n
x i - Значення досліджуваного ознаки для i-того елемента сукупності;
n - число спостережень (число одиниць сукупності).
Дана форма середньої величини є найбільш поширеною. Вона виходить шляхом співвідношення сумарного обсягу індивідуальних значень ознаки кожного елемента сукупності і числа елементів сукупності. Середня арифметична невиважена застосовується в тому випадку, якщо є відомості про обсяг осередненою ознаки.
2) Середня арифметична зважена величина.
Якщо є відомості про кількість або частці одиниць сукупності з тим чи іншим значенням осередненою ознаки, то розраховується середня арифметична зважена:
`X = å x i * f i
åf i
x i - індивідуальні значення осередненою ознаки в окремих одиниць сукупності;
f i - значення ознаки-ваги для кожної одиниці сукупності.
У залежності від осередненою даних виділяють кілька випадків застосування середньої арифметичної зваженої величини:
- Розрахунок середньої арифметичної зваженої в разі, якщо осередненою ознака виражений в абсолютних величинах, а ознака-вага представлений первинним показником;
- Розрахунок середньої арифметичної зваженої в разі, якщо осередненою ознака представлений в інтервальному вигляді, тобто коли дані, що знаходяться у чисельнику вихідного співвідношення, розраховуються наступним чином: спочатку визначаються середини інтервалів (x i), потім серединне значення для кожного інтервалу множиться на значення ознаки-ваги для цього інтервалу (f i); отримані твори сумуються (åx i * f i). Отриманий таким чином чисельник співвідноситься з сумою значень ознаки-ваги.
- Розрахунок середньої арифметичної зваженої, якщо як осередненою ознаки приймається питома вага (тобто коли сукупність поділена на підгрупи, в кожній з яких визначено кількість одиниць, які мають досліджуваним ознакою, частка таких одиниць у загальній чисельності підгрупи, і необхідно розрахувати середнє значення частки у всіх підгрупах.
1.3.2. Середня гармонійна величина.
1) Середня гармонійна невиважена величина.
Якщо показник ступеня дорівнює (-1), то утворюється наступна форма середньої:
`X = n.
å (1 / x i)
x i - індивідуальні значення осередненою ознаки в окремих одиниць сукупності.
Така середня величина називається середньої гармонійної простої (незваженої). Вона взаємопов'язана з середньою арифметичною невиваженою як величина, зворотна середньої арифметичної, розрахований із зворотних значень ознаки. Середня гармонійна невиважена величина застосовується в тому випадку, якщо відповідно до вихідного співвідношенню середньої необхідно, щоб у знаменнику розташовувалися зворотні значення осередненою ознаки. Даний вид середньої застосовується також, якщо значення ознак-ваг однакові, отже, утворюється тотожність між середньої гармонійної зваженої і середньої гармонійної невиваженою.
2) Середня гармонійна зважена величина.
Середня гармонійна зважена величина має наступний вигляд:
`X = å f i.
å (1 / x i) * f i
х i - осереднена ознака;
Середня гармонійна зважена величина розраховується в тому випадку, якщо наявні дані надають відомості про обсяг визначального показника, що розраховується як добуток осередненою ознаки і ознаки-ваги. І якщо є також відомості про індивідуальні значеннях осередненою ознаки, а дані про окремі значеннях ознаки ваги відсутні.
Така форма середньої застосовується, коли необхідно розрахувати:
- Загальну середню з групових середніх величин; - середню відносну величину, якщо не відома величина, що знаходиться в знаменнику осередненою ознаки.
1.3.3. Середня геометрична величина.
1) Середня геометрична невиважена величина.
Якщо показник ступеня дорівнює 0, то отримуємо таку форму середньої:
.
x = n Ö x 1 * x 2 * ... * x n.
n
x i - індивідуальні значення ознаки в окремих одиниць сукупності;
Пx i - твір індивідуальних значень осередненою ознаки;
n - число елементів сукупності.
Така середня величина називається середньої геометричної простої (незваженої).
Дана форма середньої відрізняється від інших форм, описаних вище, в тій же мірі, як арифметична прогресія від геометричній. Тобто, в разі розрахунку середніх арифметичної і гармонійної елементи сукупності представляли собою або:
- Абсолютні величини, які могли бути підсумовані між собою;
- Відносні величини, які шляхом додаткових розрахунків переводилися в абсолютні, і потім підсумовувалися.
У даній формі середньої елементами досліджуваної сукупності є:
- Відносні величини, об'єднані в ряд динаміки, тобто з урахуванням чинника часу. Наприклад, темпи зростання, або відносні величини планового завдання та виконання плану, або відносні величини порівняння, розраховані для декількох періодів. Тобто, в якості одиниць сукупності виступають величини, отримані шляхом співвіднесення різних ознак, тому для таких величин середня розраховується через їхній твір. Крім того, як вже зазначалося вище, вторинні показники, якими є відносні величини динаміки, не можуть додаватися.
- Максимальна і мінімальна величини ознаки. Тобто, у випадку якщо відомі лише екстремальні значення ознаки (хmin і хmax), то середня розраховується як корінь квадратний твори між ними.
2) Середня геометрична зважена величина.
Дана форма середньої застосовується коли темпи зростання залишаються незмінними протягом декількох періодів. Формула середньої геометричної зваженої визначається наступним чином:
.
`X = å fi Ö x 1 f1 * x 2 f2 * ... * X n fn
х i - кількість періодів, протягом яких темпи зростання залишалися незмінними;
За охопленням сукупності виділяють групову середню і загальну середню. Такі види середніх застосовуються, коли існує необхідність розбити сукупність на групи для більш повного вивчення. Тоді однією з характеристик виділених груп буде служити групова середня. Вона розраховується за тими ж принципами, що і загальна середня, тобто об'єм групи досліджується як обсяг окремої сукупності. Причому, середнє значення групових середніх, зважених за кількістю одиниць або за сумарним значенням ознаки-ваги в групі буде одно загальної середньої.
РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ Іммануїла Канта
кафедра управління господарством |
Контрольна робота
з дисципліни «Статистика»варіант № 6
КАЛІНІНГРАД
2006
Зміст
Завдання ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... 3
1. Види середніх величин. Функції середніх в статистиці ... ... ... ... ... ... ... ... 42. Рівняння тренду на основі лінійної залежності ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. 13
Задача 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 20
Завдання 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 24
Список використаних джерел ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 25
Завдання:
Теоретичні питання:
1. Види середніх величин. Функції середніх в статистиці.
2. Рівняння тренду на основі лінійної залежності.
Практичні завдання:
1. Десять людей різного віку мають наступні параметри:
| Вік, років | 18 | 20 | 21 | 22 | 22 | 24 | 25 | 26 | 31 | 39 |
| Зріст, см | 174 | 183 | 182 | 180 | 178 | 179 | 185 | 185 | 184 | 182 |
| Вага, кг | 65 | 73 | 69 | 74 | 77 | 75 | 78 | 84 | 79 | 79 |
1. Визначити результативний ознака.
2. Розрахувати парні і приватні коефіцієнти кореляції. Зробити висновки.
2. При контрольній вибірковій перевірці відсотка вологості грунту фермерських господарств регіону отримано наступні дані:
| 3.8 | 3.9 | 4.0 | 3.6 | 4.5 | 4.1 | 4.0 | 3.2 |
2. Зробити висновки.
1. Середні величини
1.1. Поняття середньої величини і значення методу середніх величин.
Значення, що відображають розмір ознаки суспільного явища, різняться між собою. Це називають варіацією явища. З іншого боку, різні елементи належать одному і тому ж явищу, роблять вплив один на одного, тому значення ознак в таких елементів зближуються, що дає можливість розглядати їх як єдину сукупність. Для дослідження сукупності, яка має різними значеннями ознаки в окремих її одиниць, необхідно мати єдину типову для сукупності величину ознаки, що дозволяє аналізувати сукупність і порівнювати динамічні зміни в сукупності. Для цього застосовується середня величина. Середня величина розраховується тільки за кількісними ознаками.
Середня величина це:
1) найбільш типове для сукупності значення ознаки;
2) обсяг ознаки сукупності, розподілений порівну між одиницями сукупності.
Середня величина є показником, що розраховується шляхом зіставлення абсолютних або відносних величин. Для отримання потрібної середньої величини необхідно коректно визначити ті показники, які варто співвіднести, тобто побудувати вихідне співвідношення середньої. Початкове співвідношення відображає сутність розраховується середньої величини. Для кожної середньої величини може бути тільки одне початкове співвідношення. Середня величина має двоїстий характер: з одного боку вона характеризує сукупність в цілому, а з іншого боку, вона відноситься до одиниці сукупності, і також є характеристикою одиниці сукупності. Середня величина може приймати такі значення, які не притаманні безпосередньо жодному з елементів досліджуваної сукупності, крім того, на практиці часто середня величина для дискретного ознаки виражається як для безперервного.
Середня величина є рівнодіючої всіх факторів, що впливають на досліджуване явище. Тобто, при розрахунку середніх величин взаимопогашающиеся вплив випадкових (пертурбаційний, індивідуальних) факторів і, таким чином, можливе визначення закономірності, властивою досліджуваного явища. Значення досліджуваної ознаки приймають різні розміри, що знаходяться в певному інтервалі. Тобто існує можливість говорити про розподіл розмірів ознаки, схильному до впливу цілого ряду факторів. Тоді середня величина є показником центру розподілу. Необхідно підкреслити важливість розуміння середньої величини як центру розподілу, так як на цьому грунтується подальший статистичний аналіз.
1.2. Умови застосування середніх величин в аналізі.
Обов'язковою умовою розрахунку середніх величин для досліджуваної сукупності є її однорідність. Дійсно, припустимо, що окремі елементи сукупності, внаслідок схильності впливу деякого випадкового фактора, мають дуже великі (або занадто малі) величини досліджуваного ознаки, що істотно відрізняються від інших. Такі елементи вплинуть на розмір середньої для даної сукупності, тому середня не буде висловлювати найбільш характерну для сукупності величину ознаки.
Якщо досліджуване явище не є однорідним, то його розбивають на групи, які містять тільки однорідні елементи. Для такого явища розраховуються спочатку середні по групах, які називаються групові середні, - вони будуть висловлювати найбільш типову величину явища в кожній групі. Потім розраховується для всіх елементів загальна середня величина, що характеризує явище в цілому, - вона розраховується як середня з групових середніх, зважених за кількістю елементів сукупності, включених до кожної групи.
Ще однією важливою умовою застосування середніх величин в аналізі є достатня кількість одиниць у сукупності, за якою розраховується середнє значення ознаки. Достатність аналізованих одиниць забезпечується коректним визначенням меж досліджуваної сукупності, тобто закладається ще на початковому етапі статистичного дослідження.
Визначення максимального і мінімального значення ознаки в досліджуваній сукупності також є умовою застосування середньої величини в аналізі. У разі великих відхилень між крайніми значеннями і середньої, необхідно перевірити приналежність екстремумів до досліджуваної сукупності. Якщо сильна мінливість ознаки викликана випадковими, короткочасними чинниками, то, можливо, крайні значення не характерні для сукупності. Отже, їх слід виключити з аналізу, тому що вони впливають на розмір середньої величини.
1.3. Види середніх величин, способи їх обчислення.
У статистиці виділяють кілька видів середніх величин:
1. За наявності ознаки-ваги:
а) невиважена середня величина;
б) зважена середня величина.
2. За формою розрахунку:
а) середня арифметична величина;
б) середня гармонійна величина;
в) середня геометрична величина;
г) середня квадратична, кубічна і т.д. величини.
3. За охопленням сукупності:
а) групова середня величина;
б) загальна середня величина.
Середні величини різняться в залежності від обліку ознак, що впливають на осереднену величину: Якщо середня величина розраховується для ознаки, без врахування впливу на нього будь-яких інших ознак, то така середня величина називається середньої невиваженою або простої середньої. Якщо є відомості про вплив на осередненій ознака певної ознаки або декількох ознак, які необхідно врахувати при розрахунку для коректного розрахунку середньої величини, то розраховується середня зважена.
При виборі виду середньої величини виходять з сутності осередненою ознаки і його взаємозв'язку з підсумковим (визначальним) показником. Величина підсумкового показника не повинна змінюватися при заміні індивідуальних значень ознаки середньої величиною. Здатність середніх величин зберігати властивості статистичних сукупностей називають визначальним властивістю.
Загальна формула ступеневій середньої виглядає наступним чином:
.
`X = k Ö x 1 k + x 2 k + ... + x n k.
n
Зі зміною показника ступеня k вираз даної функції змінюється, і в кожному окремому випадку приходить до певного виду середньої.
Види статечних середніх величин.
| k | Вид середньої | Проста | Зважена |
| -1 | Середня гармонійна | `X = n. å 1 / x i | `X = å f i. å (1 / x i) * f i |
| 0 | Середня геометрична | . `X = n Ö x 1 * x 2 * ... * X n | . `` X = å fi Ö x 1 f1 * x 2 f2 * ... * X n fn |
| 1 | Середня арифметична | `X = å x i. n | `X = å x i * f i. åf i |
| 2 | Середня квадратична | . `X = Ö å x i 2 * f i. åf i | . `X = Ö å x i 2 n |
1). Середня арифметична не зважена величина - найбільш характерна форма середньої, на прикладі якої можна виявити всі властивості середньої. Якщо показник ступеня дорівнює 1, то отримуємо таку форму середньої. Така середня величина називається середньої арифметичної простої (незваженої).
`X = å x i
n
x i - Значення досліджуваного ознаки для i-того елемента сукупності;
n - число спостережень (число одиниць сукупності).
Дана форма середньої величини є найбільш поширеною. Вона виходить шляхом співвідношення сумарного обсягу індивідуальних значень ознаки кожного елемента сукупності і числа елементів сукупності. Середня арифметична невиважена застосовується в тому випадку, якщо є відомості про обсяг осередненою ознаки.
2) Середня арифметична зважена величина.
Якщо є відомості про кількість або частці одиниць сукупності з тим чи іншим значенням осередненою ознаки, то розраховується середня арифметична зважена:
`X = å x i * f i
åf i
x i - індивідуальні значення осередненою ознаки в окремих одиниць сукупності;
f i - значення ознаки-ваги для кожної одиниці сукупності.
У залежності від осередненою даних виділяють кілька випадків застосування середньої арифметичної зваженої величини:
- Розрахунок середньої арифметичної зваженої в разі, якщо осередненою ознака виражений в абсолютних величинах, а ознака-вага представлений первинним показником;
- Розрахунок середньої арифметичної зваженої в разі, якщо осередненою ознака представлений в інтервальному вигляді, тобто коли дані, що знаходяться у чисельнику вихідного співвідношення, розраховуються наступним чином: спочатку визначаються середини інтервалів (x i), потім серединне значення для кожного інтервалу множиться на значення ознаки-ваги для цього інтервалу (f i); отримані твори сумуються (åx i * f i). Отриманий таким чином чисельник співвідноситься з сумою значень ознаки-ваги.
- Розрахунок середньої арифметичної зваженої, якщо як осередненою ознаки приймається питома вага (тобто коли сукупність поділена на підгрупи, в кожній з яких визначено кількість одиниць, які мають досліджуваним ознакою, частка таких одиниць у загальній чисельності підгрупи, і необхідно розрахувати середнє значення частки у всіх підгрупах.
1.3.2. Середня гармонійна величина.
1) Середня гармонійна невиважена величина.
Якщо показник ступеня дорівнює (-1), то утворюється наступна форма середньої:
`X = n.
å (1 / x i)
x i - індивідуальні значення осередненою ознаки в окремих одиниць сукупності.
Така середня величина називається середньої гармонійної простої (незваженої). Вона взаємопов'язана з середньою арифметичною невиваженою як величина, зворотна середньої арифметичної, розрахований із зворотних значень ознаки. Середня гармонійна невиважена величина застосовується в тому випадку, якщо відповідно до вихідного співвідношенню середньої необхідно, щоб у знаменнику розташовувалися зворотні значення осередненою ознаки. Даний вид середньої застосовується також, якщо значення ознак-ваг однакові, отже, утворюється тотожність між середньої гармонійної зваженої і середньої гармонійної невиваженою.
2) Середня гармонійна зважена величина.
Середня гармонійна зважена величина має наступний вигляд:
`X = å f i.
å (1 / x i) * f i
х i - осереднена ознака;
Середня гармонійна зважена величина розраховується в тому випадку, якщо наявні дані надають відомості про обсяг визначального показника, що розраховується як добуток осередненою ознаки і ознаки-ваги. І якщо є також відомості про індивідуальні значеннях осередненою ознаки, а дані про окремі значеннях ознаки ваги відсутні.
Така форма середньої застосовується, коли необхідно розрахувати:
- Загальну середню з групових середніх величин; - середню відносну величину, якщо не відома величина, що знаходиться в знаменнику осередненою ознаки.
1.3.3. Середня геометрична величина.
1) Середня геометрична невиважена величина.
Якщо показник ступеня дорівнює 0, то отримуємо таку форму середньої:
.
x = n Ö x 1 * x 2 * ... * x n.
n
x i - індивідуальні значення ознаки в окремих одиниць сукупності;
Пx i - твір індивідуальних значень осередненою ознаки;
n - число елементів сукупності.
Така середня величина називається середньої геометричної простої (незваженої).
Дана форма середньої відрізняється від інших форм, описаних вище, в тій же мірі, як арифметична прогресія від геометричній. Тобто, в разі розрахунку середніх арифметичної і гармонійної елементи сукупності представляли собою або:
- Абсолютні величини, які могли бути підсумовані між собою;
- Відносні величини, які шляхом додаткових розрахунків переводилися в абсолютні, і потім підсумовувалися.
У даній формі середньої елементами досліджуваної сукупності є:
- Відносні величини, об'єднані в ряд динаміки, тобто з урахуванням чинника часу. Наприклад, темпи зростання, або відносні величини планового завдання та виконання плану, або відносні величини порівняння, розраховані для декількох періодів. Тобто, в якості одиниць сукупності виступають величини, отримані шляхом співвіднесення різних ознак, тому для таких величин середня розраховується через їхній твір. Крім того, як вже зазначалося вище, вторинні показники, якими є відносні величини динаміки, не можуть додаватися.
- Максимальна і мінімальна величини ознаки. Тобто, у випадку якщо відомі лише екстремальні значення ознаки (хmin і хmax), то середня розраховується як корінь квадратний твори між ними.
2) Середня геометрична зважена величина.
Дана форма середньої застосовується коли темпи зростання залишаються незмінними протягом декількох періодів. Формула середньої геометричної зваженої визначається наступним чином:
.
`X = å fi Ö x 1 f1 * x 2 f2 * ... * X n fn
х i - кількість періодів, протягом яких темпи зростання залишалися незмінними;
За охопленням сукупності виділяють групову середню і загальну середню. Такі види середніх застосовуються, коли існує необхідність розбити сукупність на групи для більш повного вивчення. Тоді однією з характеристик виділених груп буде служити групова середня. Вона розраховується за тими ж принципами, що і загальна середня, тобто об'єм групи досліджується як обсяг окремої сукупності. Причому, середнє значення групових середніх, зважених за кількістю одиниць або за сумарним значенням ознаки-ваги в групі буде одно загальної середньої.
2. Рівняння тренду на основі лінійної залежності.
2.1. Основні елементи тимчасового ряду.
Можна побудувати економетричну модель, використовуючи два типи вихідних даних:
-Дані, що характеризують сукупність різних об'єктів у певний момент часу.
-Дані, що характеризують один об'єкт за ряд послідовних моментів часу.
Моделі, побудовані за даними першого типу, називаються просторовими. Моделі, побудовані на основі другого типу даних, називаються тимчасовими рядами.
Часовий ряд - це сукупність значень якого-небудь показника за кілька послідовних моментів або періодів часу. Кожен рівень часового ряду формується під впливом великої кількості факторів, які умовно можна підрозділити на три групи:
-Фактори, що формують тенденцію ряду.
-Фактори, що формують циклічні коливання ряду.
-Випадкові фактори.
При різних поєднаннях в досліджуваному явищі чи процесі цих чинників залежність рівнів ряду від часу може приймати різні форми.
По-перше, більшість тимчасових рядів економічних показників мають тенденцію, що характеризує сукупний довгостроковий вплив безлічі факторів на динаміку показника, що вивчається. Очевидно, що ці фактори, взяті окремо, можуть надавати різноспрямований вплив на досліджуваний показник. Однак у сукупності вони формують його зростаючу або убуваючу тенденцію. На рис. 1. Показаний часовий ряд, що містить зростаючу тенденцію.
Y t |
t |
Рис. 1. |
По-друге, досліджуваний показник може бути підданий циклічним коливанням. Ці коливання можуть носити сезонний характер, оскільки економічна діяльність низки галузей економіки залежить від пори року. При наявності великих масивів даних за тривалі проміжки часу можна виявити циклічні коливання, пов'язані із загальною динамікою кон'юнктури ринку, а також з фазою бізнес циклу, в якій знаходиться економіка країни. На рис. 2. Представлений часовий ряд, який містить лише сезонну компоненту.
Y t |
t |
Рис. 2. |
Деякі тимчасові ряди не містять тенденції і циклічної компоненти, а кожен наступний їх рівень базується як сума середнього рівня ряду і деякої випадкової компоненти. Приклад ряду, який містить тільки випадкову компоненту, наведено на рис. 3.
Y t |
t |
Рис. 3. |
Очевидно, що реальні дані не йдуть повністю з будь-яких описаних моделей. Частіше за все вони містять всі три компоненти. Кожен їх рівень формується під впливом тенденції, сезонних коливань і випадкової компоненти.
У більшості випадків фактичний рівень часового ряду можна представити як суму або твір трендової, циклічної та випадкової компонент. Модель, в якій часовий ряд представлений як сума перерахованих компонент, називається адитивною моделлю. Модель, в якій тимчасової ряд представлений як добуток перерахованих компонент, називається мультиплікативної моделлю.
2.2. Автокорреляция рівнів часового ряду.
При наявності в тимчасовому ряді тенденції і циклічних коливань значення кожного наступного рівня ряду залежать від попередніх. Кореляційну залежність між послідовними рівнями тимчасового ряду називають автокореляції. Кількісно її можна виміряти за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції між рівнями вихідного часового ряду і рівнями цього ряду, зсунутими в часі.
Одна з робочих формул для розрахунку коефіцієнта кореляції має вигляд:
r xy = å (x j - `x) * (y j -` y).
Öå (x j - `x) 2 * å (y j -` y) 2
В якості змінної x ми розглянемо ряд y 2, y 3, ... y t; в якості змінної y розглянемо ряд y 1, y 2, ... y t -1. Тоді ця формула набуде вигляду:
r 1 = å (y t - `y 1) * (y t-1 -` y 2); де `y 1 = å y t ; `Y 2 = å y t-1 .
Öå (y t - `y 1) 2 * å (y t-1 -` y 2) 2 n - 1 n - 1
Цю величину називають коефіцієнтом автокореляції рівнів ряду першого порядку. Число періодів, за якими розраховується коефіцієнт автокореляції, називають лагом. Зі збільшенням лага число пар значень, за якими розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується.
Властивості коефіцієнта автокореляції:
-По-перше, він будується за аналогією з лінійним коефіцієнтом кореляції і таким чином характеризує тісноту тільки лінійного зв'язку поточного і попереднього рівнів ряду. Тому за коефіцієнтом автокореляції можна судити про наявність лінійної тенденції.
-По-друге, за знаком коефіцієнта автокореляції не можна робити висновок про зростаючу або спадної тенденції в рівнях ряду.
Послідовність коефіцієнтів автокореляції рівнів першого, другого, і т.д. порядків називають автокорреляционной функцією часового ряду. Графік залежності її значень від величини лага називається коррелограммой. Аналіз автокореляційної функції і коррелограмми дозволяє визначити лаг, при якому автокорреляция найбільш висока, а, отже, і лаг, при якому зв'язок між поточним і попереднім рівнями ряду найбільш тісний, тобто за допомогою аналізу автокореляційної функції і коррелограмми можна виявити структуру ряду.
Якщо найбільш високим виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку, досліджуваний ряд містить тільки тенденцію. Якщо найбільш високим виявився коефіцієнт автокореляції порядку t, ряд містить циклічні коливання з періодичністю в t моментів часу. Якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не є значимим, можна зробити висновок: або ряд не містить тенденції і циклічних коливань, або ряд містить сильну нелінійну тенденцію, для виявлення якої потрібно провести додатковий аналіз.
2.3. Моделювання тенденції часового ряду.
Одним з найбільш поширених способів моделювання тенденції часового ряду є побудова аналітичної функції, що характеризує залежність рівнів ряду від часу, або тренда. Цей спосіб називають аналітичним вирівнюванням тимчасового ряду.
Оскільки залежність від часу може приймати різні форми, для її формалізації можна використовувати різні види функції. Для побудови трендів найчастіше застосовуються наступні функції:
-Лінійний тренд: `y t = A + b * t;
-Гіпербола: `y t = a + b / t;
-Експонентний тренд: `y t = e a + b * t;
-Тренд у формі степеневої функції: `y t = a * t b;
-Парабола: `y t = a + b 1 * t + b 2 * t 2 + ... + B k * t k;
Параметри кожного з цих трендів можна визначити методом найменших квадратів, використовуючи в якості незалежної змінної час t = 1, 2, ... , N, а в якості залежної змінної - фактичні рівні тимчасового ряду y t. Для нелінійних трендів попередньо проводять стандартну процедуру їх лінеаризації.
Існує кілька способів визначення типу тенденції. До числа найбільш поширених засобів належать якісний аналіз досліджуваного процесу, побудова і візуальний аналіз графіка залежності рівнів ряду від часу, розрахунок деяких основних показників динаміки. У цих же цілях можна використовувати і коефіцієнти автокореляції рівнів ряду. Тип тенденції можна визначити шляхом порівняння коефіцієнтів автокорреляция першого порядку, розрахованих за вихідним і перетвореним рівнями ряду. Якщо часовий ряд має лінійну тенденцію, то його сусідні рівні y t і y t -1 тісно корелюють. У цьому випадку коефіцієнт автокореляції першого порядку рівнів вихідного ряду має бути високим. Якщо тимчасової ряд містить не6лінейную тенденцію, наприклад, у формі експоненти, то коефіцієнт автокореляції першого порядку по логарифмам рівнів вихідного ряду буде вище, ніж відповідний коефіцієнт, розрахований за рівнями ряду. Чим сильніше виражена нелінійна тенденція в досліджуваному часовому ряді, тим більшою мірою будуть відрізнятися значення зазначених коефіцієнтів.
Вибір найкращого рівняння у випадку, якщо ряд містить нелінійну тенденцію, можна здійснити шляхом перебору основних форм тренда, розрахунку по кожному рівнянню скоригованого коефіцієнта детермінації R і вибору рівняння тренду з максимальним значенням скоригованого коефіцієнта детермінації.
Високі значення коефіцієнтів автокореляції першого, другого і третього порядків свідчать про те, що ряд містить тенденцію. Приблизно рівні значення коефіцієнтів автокореляції за рівнями цього ряду і по логарифмам рівнів дозволяють зробити наступний висновок: якщо ряд містить нелінійну тенденцію, то вона виражена у неявній формі. Тому для моделювання його тенденції в рівній мірі доцільно використовувати і лінійну, і нелінійну функції, наприклад ступеневій або експонентний тренд. Для виявлення найкращого рівняння тренду необхідно визначити параметри основних видів трендів.
Найбільш просту економічну інтерпретацію мають параметри лінійного і експонентного трендів. Параметри лінійного тренда:
a - початковий рівень часового ряду в момент часу t = 0;
b - середній за період абсолютний приріст рівнів ряду.
Розрахункові за лінійним тренду значення рівнів часового ряду визначаються двома способами. По-перше, можна послідовно підставляти в знайдене рівняння тренда значення t = 1, 2, ..., n. По-друге, відповідно до інтерпретацією параметрів лінійного тренду кожний наступний рівень ряду є сума попереднього рівня та середнього ланцюгового абсолютного приросту.
Завдання № 1
Десять людей різного віку мають наступні параметри:
| Вік, років | 18 | 20 | 21 | 22 | 22 | 24 | 25 | 26 | 31 | 39 |
| Зріст, см | 174 | 183 | 182 | 180 | 178 | 179 | 185 | 185 | 184 | 182 |
| Вага, кг | 65 | 73 | 69 | 74 | 77 | 75 | 78 | 84 | 79 | 79 |
1. Визначити результативний ознака.
2. Розрахувати парні і приватні коефіцієнти кореляції. Зробити висновки.
Розрахуємо залежність росту від віку:
Фактор (X): вік.
Результативний ознака (Y): ріст.
| № | X | Y | X * Y | X2 | Y2 | Yx | Y-Yx | (Y-Yx) 2 | . (X - X) 2 |
| 1 | 18 | 174 | 3132 | 324 | 30276 | 179.50 | -5.50 | 30.25 | 46.24 |
| 2 | 20 | 183 | 3660 | 400 | 33489 | 180.00 | 3.00 | 9.00 | 23.04 |
| 3 | 21 | 182 | 3822 | 441 | 33124 | 180.25 | 1.75 | 3.06 | 14.44 |
| 4 | 22 | 180 | 3960 | 484 | 32400 | 180.50 | -0.50 | 0.25 | 7.84 |
| 5 | 22 | 178 | 3916 | 484 | 31684 | 180.50 | -2.50 | 6.25 | 7.84 |
| 6 | 24 | 179 | 4296 | 576 | 32041 | 181.00 | -2.00 | 4.00 | 0.64 |
| 7 | 25 | 185 | 4625 | 625 | 34225 | 181.25 | 3.75 | 14.06 | 0.04 |
| 8 | 26 | 185 | 4810 | 676 | 34225 | 181.50 | 3.50 | 12.25 | 1.44 |
| 9 | 31 | 184 | 5704 | 961 | 33856 | 182.75 | 1.25 | 1.56 | 38.44 |
| 10 | 39 | 182 | 7098 | 1521 | 33124 | 184.75 | -2.75 | 7.56 | 201.64 |
| S | 248 | 1812 | 45023 | 6492 | 328444 | 1812 | 0.00 | 88.24 | 341.6 |
a * åx + b * åx 2 = åx * y
248 * a + 6492 * b = 45023
a = 1812 - 248 * b => 1812 - 248 * b * 248 + 6492 * b = 45023
10 жовтня
b = 0.25
a = 175
r = å x * y - (å x * å y) / n = 45023 - (248 * 1812) / 10 =>
Ö (åx 2 - (åx) 2 / n) * (åy 2 - (åy) 2 / n) Ö (6492 - 248 2 / 10) * (328 444 - 1812 2 / 10)
r = 0.44 - пряма помірний зв'язок
r 2 = 0.19 - зростання на 19% залежить від віку
Тест Фішера:
F cp = r 2 * (N - 2)
1 - r 2
F cp = 0.19 * (10 - 2) = 1.78
1 - 0.19
F табл = 5.32
F cp <F табл => нульова гіпотеза підтвердилася, рівняння статистично незначимо.
Розрахуємо залежність ваги від віку:
Фактор (X): вік.
Результативний ознака (Y): вага.
| № | X | Y | X * Y | X2 | Y2 | Yx | Y-Yx | (Y-Yx) 2 | . (X - X) 2 |
| 1 | 18 | 65 | 1170 | 324 | 4225 | 71.70 | -6.70 | 44.89 | 46.24 |
| 2 | 20 | 73 | 1460 | 400 | 5329 | 72.76 | 0.24 | 0.058 | 23.04 |
| 3 | 21 | 69 | 1449 | 441 | 4761 | 73.29 | -4.29 | 18.40 | 14.44 |
| 4 | 22 | 74 | 1628 | 484 | 5476 | 73.82 | 0.18 | 0.032 | 7.84 |
| 5 | 22 | 77 | 1694 | 484 | 5929 | 73.82 | 3.18 | 10.11 | 7.84 |
| 6 | 24 | 75 | 1800 | 576 | 5625 | 74.88 | 0.12 | 0.014 | 0.64 |
| 7 | 25 | 78 | 1950 | 625 | 6084 | 75.41 | 2.59 | 6.71 | 0.04 |
| 8 | 26 | 84 | 2184 | 676 | 7056 | 75.94 | 8.06 | 64.96 | 1.44 |
| 9 | 31 | 79 | 2449 | 961 | 6241 | 78.59 | 0.41 | 0.17 | 38.44 |
| 10 | 39 | 79 | 3081 | 1521 | 6241 | 82.83 | -3.83 | 14.67 | 201.64 |
| S | 248 | 753 | 18856 | 6492 | 56967 | 753.04 | -0.04 | 160 | 341.6 |
a * åx + b * åx 2 = åx * y
248 * a + 6492 * b = 18856
a = 753 - 248 * b => 1812 - 248 * b * 248 + 6492 * b = 18856
10 жовтня
b = 0.53
a = 62
r = å x * y - (å x * å y) / n = 18856 - (248 * 753) / 10 =>
Ö (åx 2 - (åx) 2 / n) * (åy 2 - (åy) 2 / n) Ö (6492 - 248 2 / 10) * (56967 - 753 2 / 10)
r = 0.6 - помітна прямий зв'язок
r 2 = 0.36 - вага на 36% залежить від віку
Тест Фішера:
F cp = r 2 * (N - 2)
1 - r 2
F cp = 0.36 * (10 - 2) = 4.5
1 - 0.36
F табл = 5.32
F cp <F табл => нульова гіпотеза підтвердилася, рівняння статистично незначимо.
Розрахуємо залежність ваги від зростання:
Фактор (X): ріст.
Результативний ознака (Y): вага.
Визначимо параметри лінійної функції за допомогою системи рівнянь:
n * a + b * åx = åy
a * åx + b * åx 2 = åx * y
10 * a + 1812 * b = 753
1812 * a + 328 444 * b = 136562
a = 753 - 1812 * b => 753 - 1812 * b * 1812 + 328 444 * b = 136562
10 жовтня
b = 1.08
a = -120
r = å x * y - (å x * å y) / n = 136562 - (1812 * 753) / 10 =>
Ö (åx 2 - (åx) 2 / n) * (åy 2 - (åy) 2 / n) Ö (328444 - 1812 2 / 10) * (56967 - 753 2 / 10)
r = 0.69 - помітна прямий зв'язок
r 2 = 0.47 - вага на 47% залежить від зростання
`X = 1812/10 = 181.2
Тест Фішера:
F cp = r 2 * (n - 2)
1 - r 2
F cp = 0.47 * (10 - 2) = 7.1
1 - 0.47
F табл = 5.32
F cp> F табл => нульова гіпотеза не підтвердилася, рівняння має економічний сенс.
Тест Стьюдента:
Розрахуємо випадкові помилки:
.
m a = Ö å (y - y x) 2 * å x 2.
n - 2 n * å (x - `x) 2
.
m b = Ö å (y - y x) 2 / (n - 2)
å (x - `x) 2
.
m r = Ö 1 - r 2
n - 2
.
m a = Ö 138.19 * 328 444 = 72
8 10 * 109.6
.
m b = Ö 138.19 / (10 - 2) = 1
109.6
.
m r = Ö 1 - 0.47 = 0.26
10 - 2
t a = a / m a = 120/72 = 1.67
t b = b / m b = 1.08 / 1 = 1.08
t r = r / m r = 0.69/0.26 = 2.65
t табл = 2.3
Для розрахунку довірчого інтервалу розрахуємо граничну помилку:
D a = t табл - t a = 2.3 - 1.67 = 0.63
D b = t табл - t b = 2.3 - 1.08 = 1.22
D r = t табл - t r = 2.3 - 2.65 = -0.35
Розрахуємо довірчі інтервали:
g a = a ± D a = -121.03 ¸ 119.77
g b = b ± D b = -0.14 ¸ 2.3
g r = r ± D r = 0.34 ¸ 1.04
1. З імовірністю 0.95 і 0.99 встановити межу, в якому знаходиться середній відсоток вмісту вологи.
2. Зробити висновки.
Генеральна середня: `x = å x = 31.1 = 3.8875
n 8
Генеральна дисперсія: d 2 = å (x - `x) 2 = 1.8875 = 0.1261
n 8 .
Середня квадратична стандартна помилка: m `x = Ö d 2 = Ö 0.1261 = 0.126
n 8
Гранична помилка вибірки: D `x = t * m` x
З таблиці значень t-критерію Стьюдента:
t 0.95 = 2.4469
t 0.99 = 3.7074
Для ймовірності 0.95, гранична помилка вибірки:
D `x = 2.4469 * 0.126 = 0.308
Для ймовірності 0.99, гранична помилка вибірки:
D `x = 3.7074 * 0.126 = 0.467
Довірчі інтервали:
`X - D` x £ `x ³` x + D `x
Межа середнього відсотка вмісту вологи з імовірністю 0.95:
3.5795 ¸ 4.1955
Межа середнього відсотка вмісту вологи з імовірністю 0.99:
3.4205 ¸ 4.3545
З отриманих значень видно, що при збільшенні ширини довірчого інтервалу, ймовірність попадання в нього середнього значення досліджуваного параметра підвищується.
Список використаних джерел:
1. Єфімова М. Р., Петрова Є. В., Румянцев В. М. "Загальна теорія статистики", - М.: Инфра-М, 2000р.
2. Шмойловой Р. А. "Теорія статистики", - М.: Фінанси і статистика, 1996р.
3. Пасхавер І.С. "Середні величини в статистиці", - М.: Статистика, 1979р.
4. Єлісєєва Н.В. "Економетрика", - М.: Инфра-М, 1998.
r 2 = 0.36 - вага на 36% залежить від віку
Тест Фішера:
F cp = r 2 * (N - 2)
1 - r 2
F cp = 0.36 * (10 - 2) = 4.5
1 - 0.36
F табл = 5.32
F cp <F табл => нульова гіпотеза підтвердилася, рівняння статистично незначимо.
Розрахуємо залежність ваги від зростання:
Фактор (X): ріст.
Результативний ознака (Y): вага.
| № | X | Y | X * Y | X2 | Y2 | Yx | Y-Yx | (Y-Yx) 2 | . (X - X) 2 |
| 1 | 174 | 65 | 11310 | 30276 | 4225 | 67.52 | -2.52 | 6.35 | 51.84 |
| 2 | 183 | 73 | 13359 | 33489 | 5329 | 77.24 | -4.24 | 17.98 | 3.24 |
| 3 | 182 | 69 | 12558 | 33124 | 4761 | 76.16 | -7.16 | 51.26 | 0.64 |
| 4 | 180 | 74 | 13320 | 32400 | 5476 | 74.00 | 0 | 0 | 1.44 |
| 5 | 178 | 77 | 13706 | 31684 | 5929 | 71.84 | 5.16 | 26.63 | 10.24 |
| 6 | 179 | 75 | 13425 | 32041 | 5625 | 72.92 | 2.08 | 4.33 | 4.84 |
| 7 | 185 | 78 | 14430 | 34225 | 6084 | 79.40 | -1.40 | 1.96 | 14.44 |
| 8 | 185 | 84 | 15540 | 34225 | 7056 | 79.40 | 4.60 | 21.16 | 14.44 |
| 9 | 184 | 79 | 14536 | 33856 | 6241 | 78.32 | 0.68 | 0.46 | 7.84 |
| 10 | 182 | 79 | 14378 | 33124 | 6241 | 76.16 | 2.84 | 8.06 | 0.64 |
| S | 1812 | 753 | 136562 | 328444 | 56967 | 752.96 | 0.04 | 138.19 | 109.6 |
1812 * a + 328 444 * b = 136562
a = 753 - 1812 * b => 753 - 1812 * b * 1812 + 328 444 * b = 136562
10 жовтня
b = 1.08
a = -120
r = å x * y - (å x * å y) / n = 136562 - (1812 * 753) / 10 =>
Ö (åx 2 - (åx) 2 / n) * (åy 2 - (åy) 2 / n) Ö (328444 - 1812 2 / 10) * (56967 - 753 2 / 10)
r = 0.69 - помітна прямий зв'язок
r 2 = 0.47 - вага на 47% залежить від зростання
`X = 1812/10 = 181.2
Тест Фішера:
F cp = r 2 * (n - 2)
1 - r 2
F cp = 0.47 * (10 - 2) = 7.1
1 - 0.47
F табл = 5.32
F cp> F табл => нульова гіпотеза не підтвердилася, рівняння має економічний сенс.
Тест Стьюдента:
Розрахуємо випадкові помилки:
.
m a = Ö å (y - y x) 2 * å x 2.
n - 2 n * å (x - `x) 2
.
m b = Ö å (y - y x) 2 / (n - 2)
å (x - `x) 2
.
m r = Ö 1 - r 2
n - 2
.
m a = Ö 138.19 * 328 444 = 72
8 10 * 109.6
.
m b = Ö 138.19 / (10 - 2) = 1
109.6
.
m r = Ö 1 - 0.47 = 0.26
10 - 2
t a = a / m a = 120/72 = 1.67
t b = b / m b = 1.08 / 1 = 1.08
t r = r / m r = 0.69/0.26 = 2.65
t табл = 2.3
Для розрахунку довірчого інтервалу розрахуємо граничну помилку:
D a = t табл - t a = 2.3 - 1.67 = 0.63
D b = t табл - t b = 2.3 - 1.08 = 1.22
D r = t табл - t r = 2.3 - 2.65 = -0.35
Розрахуємо довірчі інтервали:
g a = a ± D a = -121.03 ¸ 119.77
g b = b ± D b = -0.14 ¸ 2.3
g r = r ± D r = 0.34 ¸ 1.04
Завдання № 2
При контрольній вибірковій перевірці відсотка вологості грунту фермерських господарств регіону отримано наступні дані:| 3.8 | 3.9 | 4.0 | 3.6 | 4.5 | 4.1 | 4.0 | 3.2 |
2. Зробити висновки.
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | å |
| x | 3.8 | 3.9 | 4.0 | 3.6 | 4.5 | 4.1 | 4.0 | 3.2 | 31.1 |
| (X - `x) | -0.09 | 0.01 | 0.11 | -0.29 | 0.61 | 0.21 | 0.11 | -0.69 | 0.00 |
| (X - `x) 2 | 0.0081 | 0.0001 | 0.0121 | 0.0841 | 0.3721 | 0.0441 | 0.0121 | 0.4761 | 1.0088 |
n 8
Генеральна дисперсія: d 2 = å (x - `x) 2 = 1.8875 = 0.1261
n 8 .
Середня квадратична стандартна помилка: m `x = Ö d 2 = Ö 0.1261 = 0.126
n 8
Гранична помилка вибірки: D `x = t * m` x
З таблиці значень t-критерію Стьюдента:
t 0.95 = 2.4469
t 0.99 = 3.7074
Для ймовірності 0.95, гранична помилка вибірки:
D `x = 2.4469 * 0.126 = 0.308
Для ймовірності 0.99, гранична помилка вибірки:
D `x = 3.7074 * 0.126 = 0.467
Довірчі інтервали:
`X - D` x £ `x ³` x + D `x
Межа середнього відсотка вмісту вологи з імовірністю 0.95:
3.5795 ¸ 4.1955
Межа середнього відсотка вмісту вологи з імовірністю 0.99:
3.4205 ¸ 4.3545
З отриманих значень видно, що при збільшенні ширини довірчого інтервалу, ймовірність попадання в нього середнього значення досліджуваного параметра підвищується.
Список використаних джерел:
1. Єфімова М. Р., Петрова Є. В., Румянцев В. М. "Загальна теорія статистики", - М.: Инфра-М, 2000р.
2. Шмойловой Р. А. "Теорія статистики", - М.: Фінанси і статистика, 1996р.
3. Пасхавер І.С. "Середні величини в статистиці", - М.: Статистика, 1979р.
4. Єлісєєва Н.В. "Економетрика", - М.: Инфра-М, 1998.