Статистичні розрахунки загального індексу цін собівартості і коефіцієнта детермінації

Задача 1

Є дані 24 заводів однієї з галузей промисловості (табл.1.1).
Таблиця 1.1
З метою вивчення залежності між середньорічною вартістю основних виробничих фондів і випуском валової продукції проведіть групування за середньорічної вартості основних фондів, утворивши 4 групи заводів з рівними інтервалами. По кожній групі і сумісності заводів підрахуйте:
1) число заводів;
2) середньорічну вартість основних фондів - всього і в середньому на один завод;
3) вартість валової продукції - всього і в середньому на один завод;
4) рівень фондовіддачі по групах. Результати подайте у вигляді групової таблиці. Зробіть висновки.
Рішення:
1. Визначимо величину інтервалу группировочного ознаки.
Середньорічна вартість основних фондів є групувальні ознакою.

де x _max - Максимальне значення;
x _min - Мінімальне значення группировочного ознаки;
s - число утворених груп.
2. Визначимо межі інтервалів.
x _min ® 0,5 ... 2,4
2,4 ... 4,2
4,2 ... 6,3
6,3 ... 8,1 ¬ x _max
Складемо допоміжну таблицю.
Таблиця 1.2 Допоміжна таблиця.

№ п / п	Групи по с / г вартості ОФ	Номер заводу	Середньорічна вартість ОФ, млн. грн.	Валова продукція в зіставлення на. цінах, грн.
1	0,5 - 2,4	1	1,7	1,5
		8	0,5	0,2
		12	0,9	0,7
		13	1,2	1,1
		20	1	0,8
	Разом	5	5,3	4,3
2	2,4 - 4,3	2	3,9	4,4
		3	3,5	4,5
		5	3,2	2
		7	3,3	4
		9	3,2	3,6
		11	3,6	3
		22	2,7	2,5
		23	2,8	3,2
	Разом	8	26,2	27,2
3	4,3 - 6,2	4	4,9	4,5
		6	5,1	4,4
		10	5,6	7,8
		15	4,6	5,6
		18	5,5	8,5
		21	4,8	4,5
	Разом	6	30,5	35,3
4	6,2 - 8,1	14	7	7,7
		16	8,1	7,8
		17	6,4	6
		19	6,7	6,5
		24	6,8	6,8
	Разом	5	35	34,8
	Всього	24	97	101,6

Групові показники робочої таблиці і обчислені на їх основі середні показники занесемо в зведену аналітичну таблицю.
Таблиця 1.3 Групування заводів з середньорічної вартості ОФ.

Групи, № п \ п	Групи з СР / г вартості ОФ	Кількість заводів, шт.	Середня СР / рік ст-ть ОФ, млн. грн.	Валова продукція в порівнянних цінах, грн
				всього	на один завод
А	Б	1	2	3	4
1	0,5 - 2,4	5	1,06	4,3	0,86
2	2,4 - 4,3	8	3,275	27,2	3,4
3	4,3 - 6,2	6	5,08	35,3	5,88
4	6,2 - 8,1	5	7	34,8	6,96
	Разом	24	4,1	101,6	4,2

Середньорічна вартість ОФ: Вартість валової продукції:
5,3 / 5 = 1,064,3 / 5 = 0,86
26,2 / 8 = 3,27527,2 / 8 = 3,4
30,5 / 6 = 5,08 35,3 / 6 = 5,88
35 / 5 = 7 34,8 / 5 = 6,96
Разом: 97/24 = 4,1 Разом: 101,6 / 24 = 4,2
Висновок: зі зростанням середньорічної вартості основних фондів зростає вартість валової продукції, отже, між досліджуваними показниками існує пряма залежність.

Задача 2

Є дані по двом заводам, що виробляють однорідну продукцію (табл.2)
Таблиця 2

Номер заводу	1998		1999
	Витрати часу на одиницю продукції, год	Виготовлення продукції, шт.	Витрати часу на одиницю продукції, год	Витрати часу на всю продукцію, год
1	2,5	150	1,9	380
2	3,2	250	3,4	850

Обчисліть середні витрати часу на виготовлення одиниці продукції за двом заводам з 1998 по 1999 роки.
Вкажіть, який вид середньої необхідно застосувати при обчисленні цих показників.
Рішення:
Якщо у статистичній сукупності дано ознака x _i і f _i його частота, то розрахунок ведемо за формулою середньої арифметичної зваженої.

2,9 (ч)
Якщо дано ознака x _i, немає його частоти f _i, а дан обсяг M = x _i f _i поширення явища, тоді розрахунок ведемо за формулою середньої гармонійної зваженої:

2,7 (ч)
У середньому витрати часу на виготовлення одиниці продукції в 1998 році вище, ніж у 1999 р.

Задача 3

Для визначення середньої суми вкладу в ощадних касах району, що має 9000 вкладників, проведена 10%-я механічна вибірка, результати якої представлені в табл.3.
Таблиця 3.

Групи вкладів за розміром, грн. - X i	До 200	200-400	400-600	600-800	Св.800	Разом
Кількість вкладників - f i	85	110	220	350	135	900
	100	300	500	700	900
x - A	-600	-400	-200	0	200
	-3	-2	-1	0	1
	-255	-220	-220	0	135	-560
	-475	-275	-75	125	325
	225625	75625	5625	15625	105625
	19178125	8318750	1237500	5468750	14259375	48462500

За даними вибіркового обстеження обчислити:
застосовуючи спосіб моментів:
а) середню суму внесків;
б) дисперсію і середнє квадратичне відхилення вкладу;
коефіцієнт варіації;
з ймовірністю 0,954 можливі межі, в яких перебуває середня сума вкладів в ощадкасі району;
з ймовірністю 0,954 можливі межі, в яких знаходиться питома вага вкладників, внесок яких не перевищує 400 грн.
Рішення:
Середню суму вкладів способом моментів визначимо за формулою:

де А - постійна величина, на яку зменшуються всі значення ознаки.
У варіаційних рядах з рівними інтервалами в якості такої величини приймається варіанту ряду з найбільшою частотою.
i = величина інтервалу.
Знаходимо середини інтервалів:
200 + 400 / 2 = 300 - для закритих інтервалів;
Для відкритих інтервалів друга межа добудовується:
0 + 200 / 2 = 100
Величина інтервалу i = 200.
Найбільша частота дорівнює 350, отже А = 700.

Висновок: в середньому сума вкладів становить 575 грн.
Дисперсія: ;
Коефіцієнт варіації:
Середньоквадратичне відхилення: ;

Задача 4

Є дані про малюкової смертності на Україну (табл.4.1).
Таблиця 4.1

Рік	1990	1995	1996	1997	1998	1999
Померло дітей у віці до 1 року (всього), тис. чол.	12,5	11,7	11,9	10,6	9,4	9,2

Для аналізу ряду динаміки перелічіть:
1) абсолютний приріст, темпи росту і приросту (по роках і до базисного 1995 р), абсолютний вміст 1% приросту (отримані показники подайте у вигляді таблиці);
2) середньорічний темп зростання і приросту малюкової смертності: а) з 1990 по 1996 роки, б) з 1995 по 1999 роки, в) з 1990 по 1999 роки. Зобразіть вихідні дані графічно. Зробіть висновки.
Рішення:
1. Абсолютний приріст (Δ _i) визначається як різниця між двома рівнями динамічного ряду і показує, на скільки даний рівень ряду перевищує рівень, прийнятий за базу порівняння Δ _i = y _{i-y баз,} де y _i - рівень порівнюваного періоду; y _баз - базисний рівень.
При порівнянні зі змінною базою абсолютний приріст буде дорівнює Δ _i = y _{i-y i -1,} де y _i - рівень порівнюваного періоду; y _{i -1} - попередній рівень.
Темпи зростання визначаються як процентне відношення двох порівнюваних рівнів:
При порівнянні з базисом:
.
По роках:
.
Темп приросту показує, на скільки відсотків рівень даного періоду більше (або менше) базисного рівня.
По відношенню до базисного:
;
по роках:

або можна обчислювати так:
Тп = Тр-100%.
Абсолютна утримання 1% приросту - порівняння темпу приросту з показником абсолютної зростання:
.
2. Середньорічна малюкова смертність обчислюється за формулою:
.

3. Середньорічний абсолютний приріст обчислюється за формулою:
.

4. Базисний темп росту за допомогою взаємозв'язку ланцюгових темпів зростання обчислюється за формулою:
.
5. Середньорічний темп зростання обчислюється за формулою:
.
Середньорічний темп приросту обчислюється за формулою:
.
Розраховані дані представимо в таблиці 4.2

Таблиця 4.2

Як базисний беремо 1995
\ S

Задача 5

Реалізація товарів на колгоспному ринку характеризується даними представленими в табл.5.
Таблиця 5.
Визначте:
1) загальний індекс фізичного обсягу продукції;
2) загальний індекс цін і абсолютний розмір економії (перевитрати) від зміни цін;
3) на підставі обчислених індексів визначити індекс товарообігу.
Рішення.
Індекс являє собою відносну величину, що отримується в результаті зіставлення рівнів складних соціально-економічних показників в часі, в просторі або з планом.
Індивідуальними називаються індекси, що характеризують зміни тільки одного елемента сукупності.
Загальний індекс відображає зміну по всій сукупності елементів складного явища.
Вартість - це якісний показник.
Фізичний обсяг продукції - кількісний показник.
Загальний індекс фізичного обсягу продукції обчислюється за формулою:
,
де p ₀ і р ₁ - ціна одиниці товару відповідно в базисному і звітному періодах; q ₀ і q _{1 -} кількість (фізичний обсяг) товару відповідно в базисному і звітному періодах. Кількість проданих товарів збільшилася на 19,4%.
Або в грошах: 30,4 - 25,45 = 4,95 тис. грн.
Загальний індекс вартості обчислюється за формулою:

Отже, ціни на дані товари в середньому збільшилися на 46,7%.
Сума заощаджених або перевитрачено грошей:
сума зросла на 46,7%, отже, населення в звітному періоді на купівлю даних товарів додатково витратить: 44,6 - 30,4 = 14,2 тис. грн.
Загальний індекс товарообороту обчислюється за формулою:


Товарообіг в середньому зріс на 75,2%.
Взаємозв'язок індексів:

1,467 * 1, 194 = 1,752

Задача 6

Є дані про випуск однойменної продукції і її собівартості по двом заводам (табл.6).

Таблиця 6.
Обчисліть індекси:
1) собівартості змінного складу;
2) собівартості постійного складу;
3) структурних зрушень. Поясніть отримані результати.
Рішення.
Індекс собівартості змінного складу обчислюється за формулою:

де z ₀ і z _{1 -} собівартість одиниці продукції відповідно базисного і звітного періодів;
q ₀ і q _{1 -} кількість (фізичний обсяг) продукції відповідно в базисному і звітному періодах.

Індекс показує, що середня собівартість за двом заводам підвищилася на 0,6%, це підвищення обумовлене зміною собівартості продукції по кожному заводу і зміною структури продукції (збільшенням обсягу випуску).
Виявимо вплив кожного з цих факторів.
Індекс собівартості постійного складу обчислюється за формулою:


Тобто собівартість продукції за двома заводам в середньому зросла на 0,3%.
Індекс собівартості структурних зрушень обчислюється за формулою:
або

Взаємозв'язок індексів:

1,003 * 1,003 = 1,006
Висновок:
Індекс собівартості змінного складу залежить від зміни рівня собівартості і від зміни обсягу виробництва, тобто середній приріст собівартості склало 0,6%.
Індекс собівартості постійного складу показує зміну собівартості при фіксованому обсязі виробництва, тобто в середньому по заводам собівартість підвищилася на 0,3%. Індекс собівартості змінного складу вище, ніж індекс собівартості постійного складу, це свідчить про те, що відбулися сприятливі структурні зрушення. Індекс структурних зрушень дорівнює 1,003%, тобто за рахунок зміни обсягів виробництва по заводах середня собівартість підвищилася на 0,3%.

Задача 7

Для вивчення тісноти зв'язку між випуском валової продукції на один завод (результативна ознака Y) і оснащеністю заводів основними виробничими фондами (факторний ознака X) за даними задачі 1 визначити коефіцієнт детермінації і емпіричне кореляційне відношення.

Рішення: показником тісноти зв'язку між факторами, є лінійний коефіцієнт кореляції. Лінійний коефіцієнт кореляції обчислимо за формулою:
.
Лінійне рівняння регресії має вигляд: y = bx-а.
Коефіцієнт детермінації показує наскільки варіація ознаки залежить від чинника, покладеного в основу групування та обчислюється за формулою:

де d ² - внутригрупповая дисперсія; s ² - загальна дисперсія.
Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки, який залежить від всіх умов у даній сукупності. Міжгрупова дисперсія відображає варіацію досліджуваної ознаки, яка виникає під впливом фактору, покладеного в основу групування та розраховується за формулою:

де середнє значення по окремих групах; f _i - частота кожної групи.

Середня з внутрішньогрупових дисперсія:

де - Дисперсія кожної групи.

Емпіричне кореляційне відношення розраховується за формулою:

Всі розрахункові дані наведені в таблиці 7.

Таблиця 7

\ S
Підставивши обчислені значення у формулу, отримаємо:
Коефіцієнт детермінації h ² = 0,87.
Емпіричне кореляційне відношення має вигляд: у = 1,0873 х - 0,161.
Лінійний коефіцієнт кореляції r = 0,93.
a = 0,161 b = 1,0873
Так як значення коефіцієнта кореляції близьке до одиниці, то між випуском валової продукції і оснащеністю заводів основними виробничими фондами є тісна залежність.
b - коефіцієнт регресії, т.к b> 0, то зв'язок прямий.

Список використаної літератури

1. Адамов В.Є. Факторний індексний аналіз. - М.: Статистика, 1997.
2. Єлісєєва І.І., Юзбашев М.М. Загальна теорія статистики: Підручник. - М.: Фінанси і статистика, 2004.
3. Єфімова М.Р., Рябцев В.Ф. Загальна теорія статистики: Підручник. М.: Фінанси і статистика, 1999.